材料力学-扭转-计算公式及例题
材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学第四版课件 第三章 扭转
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
扭转刚度(材料力学)
最大切应力：
max
T Wt
扭转截面系数
单位长度扭转角：
j T
GIt 相当极惯性矩
短边中点的切应力： max
其中 Wt b3 It b4
、、 ——与 m h 相关的因数 b
对于B的扭转角jCB。
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
B
lAB
A
lAC
C
解： 1）求扭矩 BA段 AC段
T1 955N m T2 637N m
M2 Ⅰ
M1
Ⅱ
M3
d
B
lAB
A
lAC
C
2）求扭转角
j AB
T1l AB GIp
955103 300 80103 π 704
1.52103 rad
32
jCA
变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Tmax=
9.56 kN•m ，轴的许可单位长度扭转角[j' ]=0.3 /m 。
试选择轴的直径。
解：1、按强度条件确定外直径D
max
Tmax Wp
Tmax
πD3 1 4
[ ]
16
D 3
π
16Tmax
1 4 [
]
3
16 9.56 106 π 1 0.54 40
等直非圆杆自由扭转时的应力和变形
Ⅰ、等直非圆形截面杆扭转时的变形特点
横向线变 横截面发生翘曲
成曲线
不再保持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
非圆杆两种类型的扭转
1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时 ——自由扭转(纯扭转) 此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加 正应力产生
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学 第4章_扭转
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
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§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
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4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
扭转强度计算公式
扭转强度计算公式
扭转强度是指材料可以承受持续转变外力的能力，它也是衡量材料结构强度的一个重要指标。
由于它对于确定材料性能及其结构安全性起着重要作用，因此了解扭转强度和计算其值非常重要。
扭转强度的计算可以通过以下公式来实现：T=F * r / J，其中T为扭转强度，F为外力，r为外力的作用半径，J为扭转截面积矩，即材料主轴线上的横截面积。
通过上述公式可以看出，要计算扭转强度，必须先确定外力F和扭转截面积矩J的大小。
外力F是指作用在材料上的外力，可以通过实验来确定。
而扭转截面积矩J是指材料的横截面积，可以通过实验或理论计算来确定。
在实际应用中，扭转强度的计算还受到水平和垂直外力的影响，因此，在计算扭转强度时，必须考虑外力的方向和强度。
在计算扭转强度时还要考虑材料的尺寸、形状和结构，以及外力的作用点。
这些因素都会影响材料的扭转强度，因此，在计算扭转强度时，必须将这些因素考虑在内。
要计算材料扭转强度，必须先确定外力F和扭转截面积矩J，还要考虑材料尺寸、形状和结构以及外力方向和强度等因素。
通过恰当的计算，可以准确地测量出材料的扭转强度，从而为结构的安全性
提供可靠的参考。
《材料力学》扭转习题解
第三章扭转习题解[习题3-1] 一传动轴作匀速转动， 转速n = 200r/min ，轴上装有五个轮子，主动轮 II 输入 的功率为60 kW ，从动轮，I ，山，IV ，V 依次输出18 kW ，12 kW ，22 kW 和8kW 。
试 作轴的扭图。
解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩）T e = 9.55 血n外力偶矩计算（kW 换算成kN.m ）题目编号 轮子编号轮子作用功率（kW ）转速r/mi nTe (kN.m ) 习题3-1I 从动轮 18 200 0.859II主动轮 60 200 2.865III从动轮 12 200 0.573IV从动轮 22 200 1.051V从动轮82000.382（2）作扭矩图。
用 595[习题3-2] —钻探机的功率为l0kW ，转速n = 180r/min 。
钻杆钻入土层的深度I = 40m 。
如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度 图。
资料个人收集整理，勿做商业用途 解：（1）求分布力偶的集度= 9.549x® =0.5305(kN m)180M e 0.5305 m = --- = ------l 40= 0.0133(kN /m)设钻杆轴为x 轴, 则:Z M x =0ml =Me1 4325A1 2 0055 1m 3.5 mLSC.3SZm ，并作钻杆的扭矩M e =9.549 丛n L7S mT 图(kN.m)（2）作钻杆的扭矩图T(x) = —mx =—牛X =-0.0133x 。
x<^[0,40] T(0) =0 ;T(40) = M e = —0.5 305kN m) 扭矩图如图所示。
［习题3-3］圆轴的直径d =50mm ，转速为120r/min 。
若该轴横截面上的最大切应力等于 60 MPa ，试问所传递的功率为多大？ 资料个人收集整理，勿做商业用途 解：（1）计算圆形截面的抗扭截面模量： 1 3 W p =—血3 P16（2 ）计算扭矩1 3 3 = 16®4159 倔=24544(mm ) 2= 60N / mm23T =60N/mm x 24544mm =1472640N ・mm = 1.473(kN ・m)（3）计算所传递的功率T = M e =9.549山=1.473(kN -m)n N k =1.473x120/9.549 =18.5(kW)［习题3-4］空心钢轴的外径 D = 100mm ，内径d =50mm 。
材料抗扭计算公式
材料抗扭计算公式
1.扭转公式：
扭转公式可以表示为：
T=K*τ*A
其中，T为极限扭矩，K为比例系数，τ为材料的切应力，A为截面积。
2.扭转角度公式：
扭转角度公式可以表示为：
θ=(TL*L)/(G*J)
其中，θ为扭转角度，TL为加载扭矩，L为材料的长度，G为剪切模量，J为挠度抵抗矩。
3.最大剪应力公式：
最大剪应力公式可以表示为：
τ_max = T * r / (J * φ)
其中，τ_max为最大剪应力，T为扭矩，r为材料中的半径，J为挠度抵抗矩，φ为截面形状修正系数。
总结：
材料抗扭计算的公式主要包括扭转公式、扭转角度公式和最大剪应力公式。
这些公式根据材料的力学性质和几何形状，可以计算出材料的极限
抗扭力、扭转角度和最大剪应力等参数。
在工程设计和材料选择中，这些
公式可以用于评估材料的强度和稳定性，从而确保设计的可靠性和安全性。
电气工程师-公共基础-材料力学-扭转
电气工程师-公共基础-材料力学-扭转[单选题]1.已知实心圆轴按强度条件可承担的最大扭矩为T，若改变该轴的直径，使其横截面积增加1倍。
则可承担的最大扭矩为()。
[2019年真（江南博哥）题]A.B.2TC.D.4T正确答案：C参考解析：扭转剪应力公式为：。
式中，Wp为抗扭截面系数，且。
当横截面面积增加一倍时，直径变为原来的倍。
根据扭转剪应力公式，当最大剪应力不变时，直径变为原来的倍时，可承受的最大扭矩为。
[单选题]2.圆轴直径为d，剪切弹性模量为G，在外力作用下发生扭转变形，现测得单位长度扭转角为θ，圆轴的最大切应力是()。
[2013、2010年真题]A.τ＝（16θG）/（πd3）B.τ＝（θGπd3）/16C.τ＝θGdD.τ＝θGd/2正确答案：D参考解析：由公式θ＝T/（GIp）得：T＝θGIp。
其中，Ip＝（d/2）·Wp。
则最大切应力τ＝T/Wp＝GθIp/Wp＝θGd/2。
[单选题]3.在一套传动系统中，有多根圆轴，假设所有圆轴传递的功率相同，转速不同。
该系统的圆轴转速与其扭矩的关系是()。
[2016、2014年真题]A.转速快的轴扭矩大B.转速慢的轴扭矩大C.全部轴的扭矩相同D.无法确定正确答案：B参考解析：根据公式T＝9550P/n可知，在功率相同的情况下转速慢的轴扭矩大。
式中，T为扭矩（N·m）；P为功率（kW）；n为转速（r/min）；9550为常系数。
[单选题]4.图5-3-1所示两根圆轴，横截面面积相同，但分别为实心圆和空心圆。
在相同的扭矩T作用下，两轴最大切应力的关系是()。
[2013年真题]图5-3-1A.τa＜τbB.τa＝τbC.τa＞τbD.不能确定正确答案：C参考解析：设d1为实心圆直径，D2为空心圆截面外径，d2为空心圆截面内径，α2＝d2/D2。
由最大切应力公式τmax＝T/WP，由两轴截面面积相等得：πd12/4＝πD22（1－α22）/4，即：实心圆截面的抗扭截面系数WPa＝πd13/16；空心圆截面的WPb＝πD23（1－α24）/16，因此两轴的抗扭截面系数之比为：故τa＞τb。
材料力学 扭转 计算公式及例题
Ip
m4
0.1
求
Ip m4
4.00E-02
求
Ip m4
1.00E-01
求
WP m3
1.99E-01
求
WP m3
1.00E-01 求 d mm
1.01E+03 求 d mm
1.00E+03
数据状态 代号 单位 数值
数据状态 代号 单位 数值
已知 φ ° 1 已知 θ °/m 2
已知
求
代号 θmax
Ip Mn max
G [θ]
单位 °/m
m4 N·m Pa °/m
序号 1 2 3
名称 外力偶矩
功率 转速
代号 T NK n
序号
1 2 3
名称
横截面上的最大扭矩 抗扭截面模量 材料许用切应力
代号 圆轴扭转时的强度条件
Mn max WP
[τ]
序号
名称
强度计算
代号
1
横截面上的最大扭矩
2
Wp
πD3 16
公 圆式柱 公圆式柱 形， 形，
求
WP
m3
1.00E-01 求 d mm
1.01E+03 求 d mm
1.00E+03
公式
圆柱形，实心
Ip
πD 4 32
Wp
πD3 16
公式
公式
圆柱形，空心
圆柱形，薄壁
I
p
π（D4 32
d4）
πD4（1- 32
4）
Ip 2πr03t
Wp
πD3
已知 Mn(AC) K N·m 1.43
已知 G MPa
材料力学扭转教学课件PPT
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
材料力学基础公式
材料力学基础公式一、轴向拉压。
1. 内力 - 轴力（N）- 截面法：N = ∑ F_外（轴力等于截面一侧外力的代数和，拉力为正，压力为负）2. 应力 - 正应力（σ）- σ=(N)/(A)（A为横截面面积）3. 变形 - 轴向变形（Δ L）- 胡克定律：Δ L=(NL)/(EA)（L为杆件原长，E为弹性模量）- 线应变：varepsilon=(Δ L)/(L)，且σ = Evarepsilon二、扭转。
1. 内力 - 扭矩（T）- 截面法：T=∑ M_外（扭矩等于截面一侧外力偶矩的代数和，右手螺旋法则确定正负，拇指指向截面外法线为正）2. 应力 - 切应力（τ）- 对于圆轴扭转：τ=(Tρ)/(I_p)（ρ为所求点到圆心的距离，I_p为极惯性矩）- 在圆轴表面：τ_max=(T)/(W_t)（W_t为抗扭截面系数）3. 变形 - 扭转角（φ）- φ=(TL)/(GI_p)（G为剪切弹性模量）三、弯曲内力。
1. 剪力（V）和弯矩（M）- 截面法：- 剪力V=∑ F_y（截面一侧y方向外力的代数和）- 弯矩M=∑ M_z（截面一侧对z轴外力矩的代数和）- 剪力图和弯矩图：- 集中力作用处，剪力图有突变（突变值等于集中力大小），弯矩图有折角。
- 集中力偶作用处，弯矩图有突变（突变值等于集中力偶大小），剪力图无变化。
2. 弯曲正应力（σ）- σ=(My)/(I_z)（y为所求点到中性轴的距离，I_z为截面对z轴的惯性矩）- 最大正应力：σ_max=(M)/(W_z)（W_z为抗弯截面系数）3. 弯曲切应力（τ）- 对于矩形截面：τ=(VQ)/(Ib)（Q为所求点以上（或以下）部分面积对中性轴的静矩，b为截面宽度）- 对于圆形截面：τ=(4V)/(3A)（A为圆形截面面积）四、梁的变形。
1. 挠曲线近似微分方程。
- EIfrac{d^2y}{dx^2} = M(x)（y为挠度，x为梁轴线坐标）2. 用叠加法求梁的变形。
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学课件 第四章扭转
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
材料力学-扭转问题解读
Me2=T2=557 N.m
Me3=T3=185.7 N.m
由
max
T Wt
Wt
D 3
16
T1 16.54 MPa Wt 1
max E
T2 max H 22.69 MPa Wt 2
Me
Me
Me （ +） T n Me
右手螺旋法则 , 确定内力正负
（ +） n T
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
例 已知PkA=19kW,PkB=44kW, PkC=25kW, n =150rpm 求:作图示传动轴的扭矩图.
MA
MB
MC
解: 1. 求外力偶 MA= 9549 19 =1210Nm
4 4
d 2 76mm
5.选同一直径时
d d1 86.4mm
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
4580 N m 7640 N m
d1
受力合理
C
M e2
A
M e1
d2
B M e3
4580 N m
3060 N m
一 变形几何关系
dx d
d
dx
T
二 物理条件： G G d dx 三 平衡条件：dT dA
d
T
T dT dA
A
材料力学（扭转）
τ
dy
τ
τ´
c
t
z
dx d
3 剪切胡克定律
τ =τ′
当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
τ = G ⋅γ
剪切弹性模量
26
§3–4 等直圆杆扭转时的应力和变形
一 等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面
27
无数薄壁圆筒
表
里
28
等直圆杆扭转实验观察： 1. 平截面假设； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍平行。
P P
二 受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线 平面内的力偶作用，两力偶大小 相等，转向相反。
3
三 变形特点 各横截面绕轴线发生相对转动 即：任意两截面间有相对的角位移 — 扭转角
扭转角（ϕAB）：B截面绕轴线相对A截面转动的角位移。 切应变（γ）：直角的改变量。
ϕAB
A
O B
A
γ
O
B
M
M
4
四轴 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
γ =ϕ⋅RL
l
2 剪切胡克定律
τT
当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
τ = G ⋅γ
剪切弹性模量 Pa
ϕγ
21
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个 常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
G= E
2(1 + ν )
22
一 受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的力偶作用，两力偶 大小相等，转向相反。
24
三 薄壁圆筒的扭转 1 实验结论 ① 无轴向正应力 ② 无径向正应力 ③ 切应力环向均布 ④ 切应力径向均布
材料力学3-第三章扭转
第三章扭转目录第三章扭转 3§3－1 扭转的概念 3一、定义 3二、基本概念 3三、实例 3§3－2 外力偶矩计算、扭矩和扭矩图 3一、外力偶矩计算 3二、扭矩和扭矩图 3§3－3 纯剪切 5一、薄壁圆筒扭转时的剪应力 5二、剪应力互等定理 5三、剪应变、剪切胡克定律 6§3－4 圆轴扭转时的应力 6一、圆轴扭转时的应力计算公式 6二、极惯性矩计算 7三、圆轴扭转强度条件 7§3－5 圆周扭转时的变形 9一、相邻截面扭转角计算公式 9第三章扭转§3－1 扭转的概念一、定义在杆两端作用两大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶，使杆的任意两个截面发生绕轴的相对转动。
杆件的这种变形形式称为扭转。
二、基本概念轴：工程中一般将发生扭转变形的直杆称为轴扭转角：扭转时杆的任意两个横截面的相对角位移三、实例搅拌机轴、汽车传动轴等1、螺丝刀杆工作时受扭2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭3、机器中的传动轴工作时受扭。
§3－2 外力偶矩计算、扭矩和扭矩图一、外力偶矩计算在工程实际中，作用于轴上的外力偶矩往往上未知的，已知的往往是轴的转速以及轴上各轮所传送的功率。
以下图所示的齿轮轴简图为例，主动轮B的输入功率经轴的传递，由从动轮A、C输出给其它构件。
1. 外力偶矩与功率、角速度关系2. 外力偶矩与功率、转速关系(1马力=735.5N?m/s)二、扭转杆件的内力——扭矩和扭矩图1、扭转杆件的内力（截面法）由平衡方程，，称为截面m-m上的扭矩。
按右手螺旋法则把表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线的方向一致时，为正；反之，为负。
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。
以横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应截面上的扭矩，绘成的图形称为扭矩图。
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求 AB段Mn（1-1剖面）
K N·m 4.50 背向剖切面为正
求 BC段Mn（2-2剖
面） K N·m
-4.50
求 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.50
D>=103mm
已知 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.5
求
IP m4 1.19E-05
求 φB-A
° 0.216
求 ΦC-B
K N·m
K N·m
K N·m
K N·m
数值
0.62
2.05
1.43
0.62
横截面上的力偶矩的方向，为外力偶矩（如T1,T2,T3）指向剖切面为负，背向剖切面为正
校核AC段 的强度(实
数据状态
代号
单位
数值 校核DB段 的强度(实
数据状态
代号
单位
已知 d1 mm 40
已知 d2 mm
已知 Mn(AC) K N·m 0.62
°/m
m4
1.05E+01 5.00E-01 1.50E-08
，试设 计截面的内
求 D0 mm 63.38
求 d mm 60.44
求 A1/A2
mm 0.51
d2=70mm。 。材料的许用切应 轴的强度和刚度。
。材料的许用切应 轴的强度和刚度。
求 CD段Mn（2-2剖面）
K N·m 0.62 背向剖切面为正
° -0.270
求 φD-C
° -0.108
强度计算 序号
名称
代号
单位
max
M n max Wp
[ ]
1
横截面上的最大扭 矩
Mn max
N·m
2
抗扭截面模量
WP
m3
3
材料许用切应力
[τ]
Pa
序号 1 2 3 4 5
刚度条件 名称
单位长度上的最大 扭转角
极惯性矩
横截面上的最大扭 矩
剪切弹性模量 许用单位扭转角
求 D mm 75.56
已知 D0 mm 63.38
例：有一个阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮，如图所示。轴的直径分别为d1=40mm，d2=70mm 已知作用在轴上外力偶矩分别为T1=0.62KN·m，T2=2.05KN·m，T3=1.43KN·m。材料的许用切应 力[τ]=60MPa，G=8×104MPa，轴的许用单位长度扭转角为[θ]=2°/m，试校核轴的强度和刚度。
实心轴
数据状态 代号 单位 数值
已知 [τ] M Pa 40
已知 Mn max K N·m
2
空心轴
数据状态 代号 单位 数值
已知 α 无 0.8
已知 WP m3
0.00005
面积比 空心比实心
数据状态 代号 单位 数值
已知
已知
D
d
mm
mm
75.55524026 60.44419221
求 WP m3 5.00E-05
单位
max
M n max Wp
[ ]
N·m m3
max
M n max Wp
[ ]
Pa
单位 °(度)
m4 N·m Pa
m
M n l 180 G IP π
单位
°/m
m4 N·m Pa
max
Mnmax G IP
180 π
[]
°/m
单位
m4 m3 r0=D0/2
公式
圆柱形，实心
Ip
πD 4 32
Wp
πD3 16
公 圆式柱 公圆式柱 形， 形，
求
WP
m3
1.00E-01 求 d mm
1.01E+03 求 d mm
1.00E+03
公式
圆柱形，实心
Ip
πD 4 32
Wp
πD3 16
公式
ห้องสมุดไป่ตู้公式
圆柱形，空心
圆柱形，薄壁
I
p
π（D4 32
d4）
πD4（1- 32
4）
Ip 2πr03t
Wp
πD3
求 φD-A
° -0.162
max
Mnmax G IP
180 π
[]
单位 N·m KW r/min
公式
T 9550 N K n
单位 时的强度条件
N·m m3 Pa
公式
max
M n max Wp
[ ]
序号
名称 代号 单位
1
极惯性矩 Ip m4
2
抗扭截面模 量
WP
m3
3
α=d/D
r0=D0/2，平 均半径，D0
L
θ
m
°/m
2
0.5
已知
求
L
φ
m
°
1
2
强度计算
数据状态
已知
已知
求
代号 单位 数值
[τ]
Mpa
60
Mn max KN·m 1.05E+01
WP m3 1.75E-04
max
M n max Wp
[ ]
数据状态 代号 单位 数值
已知 G
Mpa
80000
刚度计算
已知
已知
求
Mn max
θmax
Ip
KN·m
代号 θmax
Ip Mn max
G [θ]
单位 °/m
m4 N·m Pa °/m
序号 1 2 3
名称 外力偶矩
功率 转速
代号 T NK n
序号
1 2 3
名称
横截面上的最大扭矩 抗扭截面模量 材料许用切应力
代号 圆轴扭转时的强度条件
Mn max WP
[τ]
序号
名称
强度计算
代号
1
横截面上的最大扭矩
2
80
已知 [θ]（注意单
位） °/m 0.3
已知 Mn(AC) K N·m
4.5
已知 Mn(AC) K N·m
4.5
求 D mm 65.92
已知 G MPa
8.00E+04
D>=66mm
求 D mm 102.28
根据题 意计，算选扭转 角φD-A=
数据状态
代号
单位 数值 数据状态 代号 单位
已知
D
mm 105 已知 L1 m
抗扭截面模量
3
材料许用切应力
Mn max WP
[τ]
序号 1 2 3 4 5
变形计算 名称 扭转角 极惯性矩 横截面上的扭矩 剪切弹性模量 杆件长度
代号 φ Ip Mn G l
序号 1 2 3 4 5
刚度条件 名称 单位长度上的最大扭转角 极惯性矩 横截面上的最大扭矩 剪切弹性模量 许用单位扭转角
代号 θmax
0.1994 已知
Ip
m4
0.1
求
Ip m4
4.00E-02
求
Ip m4
1.00E-01
求
WP m3
1.99E-01
求
WP m3
1.00E-01 求 d mm
1.01E+03 求 d mm
1.00E+03
数据状态 代号 单位 数值
数据状态 代号 单位 数值
已知 φ ° 1 已知 θ °/m 2
已知
求
数据状态 代号 单位 数值
已知 NK KW 1
已知 n
r/min 100
求 T KN·m 0.0955
例：传动轴系钢制的实心圆轴，其承受最大扭矩为2KN·m，[τ]=40MPa，试设 计圆轴的直径D。若将此轴改为内外直径比d/D=0.8的空心轴，试设计截面的内 外直径，并比较实心圆轴和空心圆轴的用料。
已知 Mn(AC) K N·m 1.43
已知 G MPa
8.00E+04
已知 G MPa
8.00E+04
21.23
求 IP m4 2.51E-07
求 IP m4 2.36E-06
例：如图装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知 T1=1.5KN·m，T2=3KN·m T3=9KN·m，T4=4.5KN·m；各轮的间距为L1=0.8m，L2=1.0m，L3=1.2m；材料的[τ]=80MPa [θ]=0.3°/m，G=8×104MPa。试求：（1）设计轴的直径D；（2）若轴的直径D0=105mm 全轴的相对角φD-A。
已知作用在轴上外力偶矩分别为T1=0.62KN·m，T2=2.05KN·m，T3=1.43KN·m。材料的许用切应 力[τ]=60MPa，G=8×104MPa，轴的许用单位长度扭转角为[θ]=2°/m，试校核轴的强度和刚度。
画扭矩图
数据状态
已知
已知
已知
求
代号
T1
T2
T3
AC段Mn（1-1剖面）
单位
16
(14)
Wp 2πr02t
已知 Mn(AC) K N·m
求 WP m3 1.26E-05
求 WP m3
求 τmax MPa 49.34
求 τmax MPa
数值
校核AC段 的刚度(实
数据状态
代号
单位
数值 校核DB段 的刚度(实
数据状态
代号
单位
数值
70
已知 d1 mm 40
已知 d1 mm 70
1.43
6.73E-05
已知 Mn(AC) K N·m 0.62
画扭矩图