函数的定义域及求法讲解

函数
一、函数的定义域及求法
1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；
2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；
3、正切函数：x ≠kπ+ π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠kπ,k ∈Z ；
4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；
5、定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法；
6、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．
[例题]：
1、求下列函数的定义域
3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围．[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论]
当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3，→原函数的定义域为R；
当m≠0时，则mx2-4mx+m+3＞0，
①m＜0时，显然原函数定义域不为R；
②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0 时，即０＜m＜１，原函数定义域为R，
所以当m∈[0,1) 时，原函数定义域为R．
4、求函数y=log
x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域．
2
[解析]：［求原函数的值域］
由题意可知，即求原函数的值域，
∵x≥4,∴log2x≥2∴y≥3
所以函数y=log2x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域是[3，+∞)．
5、函数f(2x)的定义域是[-1，1]，求f(log
x)的定义域．
2
[解析]：由题意可知2-1≤2x≤21→f(x)定义域为[1/2，2] → 1/2≤log2x≤2→√￣2≤x≤4．
x)的定义域是[√￣2,4]．
所以f(log
2
二、函数的值域及求法
1、一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；
2、二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a ，当a＜0时，
y≤-△/4a ；
3、反比例函数的值域：y≠0 ；
4、指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R；
5、正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为R；
6、值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．
[例题]：：求下列函数的值域
[解析]：
1、[利用求反函数的定义域求值域]
先求其反函数：f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中x≠2，
由其反函数的定义域，可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2} 2、[利用反比例函数的值域不等于0]
由题意可得，
因此，原函数的值域为[1/2,+∞)
4、[利用分离变量法和换元法]
设法2x＝t，其中t＞0，则原函数可化为y=(t+1)/(t-1)→ t=(y+1)/(y-1) ＞０
∴y>1或y<-1
5、[利用零点讨论法]
由题意可知函数有3个零点-3，1，2，
①当x<-3 时，y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x∴y>9
②当-3≤x<1 时，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6∴5<y≤9
③当1≤x<2 时，
y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4∴5≤y<6
④当x ≥2时，y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x∴y≥6
综合前面四种情况可得，原函数的值域是[5,+∞)
6、[利用函数的有界性]
三、函数的单调性及应用
1、A为函数f(x)定义域内某一区间，
2、单调性的判定：作差f(x
1)-f(x
2
)判定；根据函数图象判定；
3、复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增、同减，f(g(x)) 为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x)) 为减函数．
[例题]：
(4+3x-x2)的单调递增区间．
2、设a＞0且a≠1，试求函数y=log
a
[解析]：[利用复合函数的单调性的判定]
由题意可得原函数的定义域是（－１，４），
设u=4+3x-x2，其对称轴是x=3/2 ，
所以函数u=4+3x-x2，在区间（－１，3/2 ]上单调递增；在区间[3/2 ，4）上单调递减．
①a＞１时，y=log a u 在其定义域内为增函数，由x↑→u↑→y↑，
(4+3x-x2) 得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（－１，3/2 ]，即为函数y=log
a
的单调递增区间．
②０＜a＜１时，y=log a u 在其定义域内为减函数，由
x↑→u↓→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2 ，4），即为函数(4+3x-x2)的单调递增区间．
y=log
a
(2-ax) 在[0，1]上是x 的减函数，求a的取值范围。

3、已知y=log
a
[解析]：[利用复合函数的单调性的判定]
由题意可知，a＞０．设u＝g(x)=2－ax，则g(x)在［０，１］上是减函数，且x=１时，
g(x)有最小值u
=2-a ．
min
=2-a＞０则可，得a 又因为u＝g(x)＝2－ax＞０，所以，只要u
min
＜２．
又y=log
(2-ax) 在[0，1]上是x 减函数，u＝g(x)在［０，１］上是
a
减函数，
u是增函数，故a＞１．
即x↑→u↓→y↓，所以y=log
a
综上所述，得１＜a＜2．
４、已知f(x)的定义域为（０，＋∞），且在其上为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 ，试解不等式f(x)+f(x-2)<3 ．
［解析］：［此题的关键是求函数值３所对应的自变量的值］
由题意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2 ，3=2+1=f(4)+f(2)=f(4×2)=f(8)
又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x)
所以原不等式可化成f(x2-2x)<f(8)
所以原不等式的解集为｛x|2<x<4｝
四、函数的奇偶性及应用
1、函数f(x)的定义域为D，x∈D ，f(-x)=f(x) → f(x)是偶函数；f(-x)=-f(x)→是奇函数
2、奇偶性的判定：作和差f(-x)± f(x)=0 判定；作商f(x)/f(-x)= ±1,f(x)≠0 判定
3、奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称；
4、函数的图象关于原点对称奇函数；
函数的图象关y轴对称偶函数
5、函数既为奇函数又为偶函数f(x)=0,且定义域关于原点对称;
6、复合函数的奇偶性：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇．
[例题]：
[解析]：①[利用作和差判断]
由题意可知，函数的定义域是R，设x为R内任意实数，
即，f(x) = -f(x) ，∴原函数是奇函数．
②［利用作商法判断］
由题意可知，函数的定义域是R，设x为R内任意实数，
（２）∵f(x) 的图象关于直线x=1对称，
∴ f[1-(1-x)]＝f[1+(1-x)] ，x∈R ，即f(x) ＝f(2-x) ，
又∵ f(x)在R上为偶函数，→ f(-x)＝f(x)＝f(2-x)＝f(2+x)
∴ f(x)是周期的函数，且2是它的一个周期．
五、函数的周期性及应用
1、设函数y=f(x)的定义域为D，x∈D,存在非0常数T，有f(x+T)=f(x)→f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期；
2、正弦、余弦函数的最小正周期为2π，函数y=Asin(ωx+φ)和
y=Acos(ωx+φ)的最小正周期是T = 2π/|ω| ；
3、正切、余切函数的最小正周期为π，函数y=Atan(ωx+φ)和
y=Acot(ωx+φ)的周期是T=π/|ω| ；
4、周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法；
5、一般地，sinωx 和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半，tanωx 和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变（如：y=|cos2x| 的周期是
π/2 ，y=|cotx|的周期是π．
[例题]：
1、求函数y = |sinx|+|cosx|的最小正周期．
[解析]：[利用周期函数的定义]
y = |sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx|
=|cos(x + π/2)|+|sin(x + π/2)|
即对于定义域内的每一个x，当x增加到(x + π/2)时，函数值重复
出现，因此函数的最小正周期是π/2 ．
3、求函数y=sin3x+tan(2x/5) 的最小正周期．
[解析]：[最小公倍数法和公式法]，
（设f(x)、g(x) 是定义在公共集合上的两上三角周期函数，T1、、
T 2分别是它们的周期，且T
1
≠T
2
，则f(x)± g(x) 的最小正周期等于T
1
、、
T
2
的最小公倍数．）
（注：分数的最小公倍数= 分子的最小公倍数/分母的最大公约数）．
由题意可知，sin3x的周期是T
1= 2π/3，tan(2x/5)的周期是T
2
=5π/2，
∴原函数的周期是T=10π/1 =10π．4、求函数y=|tanx|的最小正周期．[解析]：[利用函数的图象求函数的周期] 函数y=|tanx|的简图如图：
由函数y=|tanx|的简图可知，
其最小正周期是π．
5、设f(x)是（-∞，+∞）上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x,求f(7.5)
［解析］：[利用周期函数的定义]
由题意可知，f(2+x) = f(x)
∴f(7.5) ＝f(8-0.5) ＝f(-0.5) ＝－f(0.5) ＝－０.５。