定积分在几何中的应用 说课稿 教案 教学设计

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定积分在几何中的应用

【教学目标】

1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.

【教法指导】

本节学习重点:会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.

本节学习难点:会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.

【教学过程】 ☆探索新知☆

探究点一 求不分割型图形的面积

思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积?

答 求由曲线围成的面积,要根据图形,确定积分上下限,用定积分来表示面积,然后计算定积分即可. 例1 计算由曲线y 2=x ,y =x 2所围图形的面积S .

因此,所求图形的面积为

S =S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD =ʃ10x d x -ʃ10x 2d x =23x 32|10-13x 3|10=23-13=13

. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤:

(1)根据题意画出图形;

(2)找出范围,确定积分上、下限;

(3)确定被积函数;

(4)将面积用定积分表示;

(5)用微积分基本定理计算定积分,求出结果.

跟踪训练1 求由抛物线y =x 2

-4与直线y =-x +2所围成图形的面积.

解 由⎩

⎪⎨⎪⎧ y =x 2-4y =-x +2 得⎩⎪⎨⎪⎧ x =-3y =5或⎩⎪⎨⎪⎧ x =2y =0,

所以直线y =-x +2与抛物线y =x 2-4的交点为(-3,5)和(2,0),设所求图形面积为S ,

根据图形可得S =ʃ2-3(-x +2)d x -ʃ2-3(x 2

-4)d x

=(2x -12x 2)|2-3-(13x 3-4x )|2-3=252-(-253)=1256

. 探究点二 分割型图形面积的求解

思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时,这种图形的面积如何求呢?

例2 计算由直线y =x -4,曲线y =2x 以及x 轴所围图形的面积S .

解 方法一 作出直线y =x -4,曲线y =2x 的草图.

解方程组⎩⎨⎧ y =2x ,

y =x -4

得直线y =x -4与曲线y =2x 交点的坐标为(8,4).

直线y =x -4与x 轴的交点为(4,0).

因此,所求图形的面积为

S =S 1+S 2

=ʃ402x d x +[]ʃ 842x d x -ʃ 84x -4d x

=22332x |40+22332x |84-12

(x -4)2|84 =403

.

方法二 把y 看成积分变量,则

S =ʃ40(y +4-12y 2)d y =(12y 2+4y -16y 3)|40 =403

. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形,一定要确定图形范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限,若积分变量选x 运算较繁锁,则积分变量可选y ,同时要更换积分上、下限.

跟踪训练2 求由曲线y =x ,y =2-x ,y =-13

x 所围成图形的面积. 解 画出图形,如图所示.

得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1),

所以S =ʃ10[x -(-13x )]d x +ʃ31[(2-x )-(-13

x )]d x =ʃ10(x +13x )d x +ʃ31(2-x +13

x )d x =(23x 32+16x 2)|10+(2x -12x 2+16

x 2)|31 =23+16+(2x -13

x 2)|31 =56+6-13×9-2+13

=136

. 探究点三 定积分的综合应用

例3 在曲线y =x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112

,试求:切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程.

解 如图,设切点A (x 0,y 0),

其中x 0≠0,

由y ′=2x ,过点A 的切线方程为

y -y 0=2x 0(x -x 0),

即y =2x 0x -x 20,

令y =0,得x =x 02,即C (x 0

2,0),

=12(x 0-x 02)·x 20=14

x 30. ∴S =13x 30-14x 30=112x 30=112

. ∴x 0=1,

从而切点为A (1,1),

切线方程为2x -y -1=0.

反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识,运用待定系数法,先设出切点的坐标,利用导数的几何意义,建立了切线方程,然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积,根据条件建立方程求解,从而使问题得以解决.

跟踪训练3 如图所示,直线y =kx 分抛物线y =x -x 2

与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.

解 抛物线y =x -x 2

与x 轴两交点的横坐标为x 1=0,x 2=1,

所以,抛物线与x 轴所围图形的面积 S =ʃ1

0(x -x 2)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2

2-13x 3|1

0=16. 又⎩⎪⎨⎪⎧ y =x -x 2,y =kx ,

又知S =16,所以(1-k )3=12,

于是k =1- 3

12=1-34

2.

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