定积分在几何中的应用 说课稿 教案 教学设计
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定积分在几何中的应用
【教学目标】
1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.
【教法指导】
本节学习重点:会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.
本节学习难点:会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.
【教学过程】 ☆探索新知☆
探究点一 求不分割型图形的面积
思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积?
答 求由曲线围成的面积,要根据图形,确定积分上下限,用定积分来表示面积,然后计算定积分即可. 例1 计算由曲线y 2=x ,y =x 2所围图形的面积S .
因此,所求图形的面积为
S =S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD =ʃ10x d x -ʃ10x 2d x =23x 32|10-13x 3|10=23-13=13
. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤:
(1)根据题意画出图形;
(2)找出范围,确定积分上、下限;
(3)确定被积函数;
(4)将面积用定积分表示;
(5)用微积分基本定理计算定积分,求出结果.
跟踪训练1 求由抛物线y =x 2
-4与直线y =-x +2所围成图形的面积.
解 由⎩
⎪⎨⎪⎧ y =x 2-4y =-x +2 得⎩⎪⎨⎪⎧ x =-3y =5或⎩⎪⎨⎪⎧ x =2y =0,
所以直线y =-x +2与抛物线y =x 2-4的交点为(-3,5)和(2,0),设所求图形面积为S ,
根据图形可得S =ʃ2-3(-x +2)d x -ʃ2-3(x 2
-4)d x
=(2x -12x 2)|2-3-(13x 3-4x )|2-3=252-(-253)=1256
. 探究点二 分割型图形面积的求解
思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时,这种图形的面积如何求呢?
例2 计算由直线y =x -4,曲线y =2x 以及x 轴所围图形的面积S .
解 方法一 作出直线y =x -4,曲线y =2x 的草图.
解方程组⎩⎨⎧ y =2x ,
y =x -4
得直线y =x -4与曲线y =2x 交点的坐标为(8,4).
直线y =x -4与x 轴的交点为(4,0).
因此,所求图形的面积为
S =S 1+S 2
=ʃ402x d x +[]ʃ 842x d x -ʃ 84x -4d x
=22332x |40+22332x |84-12
(x -4)2|84 =403
.
方法二 把y 看成积分变量,则
S =ʃ40(y +4-12y 2)d y =(12y 2+4y -16y 3)|40 =403
. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形,一定要确定图形范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限,若积分变量选x 运算较繁锁,则积分变量可选y ,同时要更换积分上、下限.
跟踪训练2 求由曲线y =x ,y =2-x ,y =-13
x 所围成图形的面积. 解 画出图形,如图所示.
得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1),
所以S =ʃ10[x -(-13x )]d x +ʃ31[(2-x )-(-13
x )]d x =ʃ10(x +13x )d x +ʃ31(2-x +13
x )d x =(23x 32+16x 2)|10+(2x -12x 2+16
x 2)|31 =23+16+(2x -13
x 2)|31 =56+6-13×9-2+13
=136
. 探究点三 定积分的综合应用
例3 在曲线y =x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112
,试求:切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程.
解 如图,设切点A (x 0,y 0),
其中x 0≠0,
由y ′=2x ,过点A 的切线方程为
y -y 0=2x 0(x -x 0),
即y =2x 0x -x 20,
令y =0,得x =x 02,即C (x 0
2,0),
=12(x 0-x 02)·x 20=14
x 30. ∴S =13x 30-14x 30=112x 30=112
. ∴x 0=1,
从而切点为A (1,1),
切线方程为2x -y -1=0.
反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识,运用待定系数法,先设出切点的坐标,利用导数的几何意义,建立了切线方程,然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积,根据条件建立方程求解,从而使问题得以解决.
跟踪训练3 如图所示,直线y =kx 分抛物线y =x -x 2
与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.
解 抛物线y =x -x 2
与x 轴两交点的横坐标为x 1=0,x 2=1,
所以,抛物线与x 轴所围图形的面积 S =ʃ1
0(x -x 2)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
2-13x 3|1
0=16. 又⎩⎪⎨⎪⎧ y =x -x 2,y =kx ,
又知S =16,所以(1-k )3=12,
于是k =1- 3
12=1-34
2.