概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题测验及答案
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第三章 多维随机变量及其分布
一、填空题
1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-.
2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F 0 .
3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ),(y x F
4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F )(x F X
5、设随机变量),(Y X 的概率密度为
⎩
⎨
⎧<<<<--=其它
04
2,20)
6(),(y x y x k y x f ，则=k
8
1
. 6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布.
7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则
=⎰
∞+∞
-)(x f X
1 .
8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 .
X
Y
0 1 2 3 j P ⋅ 1 0
8
3 8
3 0
86 3
81 0
8
1 8
2 ⋅i P
81 83 83 8
1
9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为
Y X
1
2 3
1 61 91 181 2
3
1
α β 则βα,应满足的条件是 18
6
=
+βα ；若X 与Y 相互独立，则=α 184 ，=β 182 .
10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度
=),(y x f 2
2221
y x e
+-
π
，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z
4
22
21x e
-
π .
12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为
()()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧
≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2
22则 A =__1___。 二、证明和计算题
1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为X ，第二次取的球上标的数字Y ，求),(Y X 的联合分布律.
解：031
}1,1{⋅===Y X P 31
131}2,1{=⋅===Y X P
31
2132}1,2{=⋅===Y X P
3
1
2132}2,2{=⋅===Y X P
2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X 为投入1号信箱的信数，Y 为投入2 号信箱的信数，求),(Y X 的联合分布律.
X Y 1 2
1 0
31 2
3
1 3
1
解：X 的可能取值为0,1,2,3
Y 的可能取值为0,1,2,3
33
1
}0,0{===Y X P
33
3
}1,0{===Y X P 3323333}2,0{====C Y X P
3
31
}3,0{=
==Y X P 333}0,1{=
==Y X P 3
323}1,1{⨯===Y X P 33
1
3}2,1{⨯===Y X P 0}3,1{===Y X P 32
33}0,2{C Y X P ===
333
}1,2{===Y X P 0}2,2{===Y X P 0}3,2{===Y X P 33
1
}0,3{===Y X P 0}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P
X Y
1 2 3
271 273 273 271 1 273 276 273 0 2 273 273 0 0 3 27
1 0 0 0 3、设 函 数 F(x , y) = ⎩⎨
⎧≤+>+1
20
121y x y x ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的
联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。
解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数
因 P{0 < ξ ≤ 2， 0 < η ≤1}= F(2 , 1) - F(0 , 1) - F(2 , 0) + F(0 , 0)
= 1- 1- 1 + 0 =
-
1 < 0 故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。
4、设⎰+∞=≥0
1)(,0)(dx x g x g 且，有⎪
⎩⎪⎨⎧+∞<≤++=其它,
0,0,][)
(2),(2
222y x y x y x g y x f π 证明：),(y x f 可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。