2020中考数学精选例题解析：一元二次方程的解法
一元二次方程四种解法例题
一元二次方程四种解法例题一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。
下面是四种解法例题：1. 解法一：使用因式分解法例题：解方程x^2 - 5x + 6 = 0解答：首先，观察方程中的系数 a、b、c，可以发现 a = 1，b = -5，c = 6。
根据因式分解法，我们需要找到两个数的乘积等于 c，且两个数的和等于 b。
在本例中，c = 6，因此我们需要找到两个数的乘积等于 6。
观察可知，3 和 2 的乘积等于 6，且它们的和等于 -5。
因此，我们可以将方程进行因式分解：(x - 3)(x - 2) = 0根据零乘法，当一个乘积等于 0 时，至少有一个因子等于 0。
因此，我们可以得到以下两个方程：x - 3 = 0 或 x - 2 = 0解上述两个方程，得到：x = 3 或 x = 2所以，方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为 x = 3 或 x = 2。
2. 解法二：使用求根公式例题：解方程2x^2 - 3x - 2 = 0解答：根据求根公式，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的根可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在本例中，a = 2，b = -3，c = -2。
将这些值代入求根公式，我们可以得到：x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4*2*(-2))) / (2*2)= (3 ± √(9 + 16)) / 4= (3 ± √25) / 4= (3 ± 5) / 4因此，我们得到两个解：x1 = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2x2 = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -1/2所以，方程2x^2 - 3x - 2 = 0的解为 x = 2 或 x = -1/2。
3. 解法三：使用配方法例题：解方程x^2 + 4x - 5 = 0解答：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用配方法来求解。
一元二次方程的解法(公式法3种题型)(解析版)
一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca−≥利用开平方法，得：x += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b ac a −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠， 当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：（1） 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）012=+x（B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=−+x x（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4） 一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根；B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ；（2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例2.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：22720x x −+=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：22720x x −+=，∴2,7,2a b c ==−=，244942233b ac ∆=−=−⨯⨯=，∴x ==，解得：12x x ==．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 例4．用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x =．【解析】（1）132a b c ===−，，1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴123355x x −==，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x =的运用．例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x ==；22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++−=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析． (2)5k ≤−．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到()25k ∆=−，根据非负数的性质得到0∆≥，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到13x =−，22kx =−．根据题意得到27k −≥，即可求得k 的取值范围．【详解】（1）解：()()21436k k ∆=+−−2211224k k k =++−+ 21025k k =−+()250k =−≥，∴方程总有实数根； （2）解：∵()250k ∆=−≥，∴()()152k k x −+±−=，解方程得：13x =−，22kx =−，由于方程有一个根不小于7， ∴27k −≥， 解得：5k ≤−．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=． (1)若该方程有一个根是2x =，求m 的值；(2)求证：无论m 取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)32m =(2)证明见解析【分析】（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=的一个根为2x =，∴224210m m −+−=，∴32m =；（2）证明：由题意得，()()()222242421484410b ac m m m m m ∆=−=−−−=−+=−≥，∴无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)1k <【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出122,1==+x x k ，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=，∴1,(3),22a b k c k ==−+=+ ∵[]224(3)41(22)−=−+−⨯⨯+b ac k k221k k =−+2(1)0k =−≥，∴此方程总有两个实数根； （2）∵()23220x k x k −+++=∵2(1)k ∆=−∴3(1)2+±−==k k x解得:122,1==+x x k ，∵方程有一个根小于2， ∴12k +<， 解得1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程2430x x ++=根的情况，下列说法中正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2430x x ++=其中1a =，4b =，3c =，∴2Δ441340=−⨯⨯=>，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，∴()2440k ∆=−−≥，∴4k ≤，∴四个选项中只有A 选项符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程240x x k −−=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．5− B ．4− C ．3− D ．2【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −−=无实数根，∴()2440k ∆=−+<，∴4k <−，∴四个选项中，只有A 选项符合题意， 故A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．4．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1−【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，∴()2240k ∆=−−<，∴1k >，∴四个选项中，只有选项A 符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k > B ．4k > C ．0k < D ．4k <【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，∴()2416440b ac k ∆=−=−−<，解得：0k <故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1k ≥且2k ≠【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根， ∴()()()22024210k k −≠⎧⎪⎨−−−⨯−≥⎪⎩ ∴21k k ≠⎧⎨≥⎩，即1k ≥且2k ≠． 故答案为：1k ≥且2k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和跟的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于x 的方程20x x m −+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =______．【答案】14【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△0=，求出m 的值即可．【详解】解：关于x 的方程20(x x m m −+=为常数）有两个相等的实数根，∴△2(1)40m =−−=，解得14m =．故答案为：14．【点睛】本题考查的是根的判别式，孰知当△0=时，一元二次方程2(0)y ax bx c a =++≠有两个相等的实数根是解答此题的关键．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．【答案】5a =−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，∴将1x =代入方程240x ax ++=，得140a ++=，解得：5a =−， 故答案为：5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于x 的方程()21210m x x −−+=有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】2m ≤/2m ≥【分析】分当10m −=时，当10m −≠，即1m ≠时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当10m −=时，即1m =时，原方程即为210x −+=，解得12x =，符合题意；当10m −≠，即1m ≠时，∵关于x 的方程()21210m x x −−+= ∴()()22410m ∆=−−−≥，解得2m ≤且1m ≠； 综上所述，2m ≤， 故答案为：2m ≤．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程25x x −+____________0=没有实数根．【答案】7（答案不唯一）【分析】设这个常数为a ，根据根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ，∴方程250x x a −+=没有实数根，∴()2540a ∆=−−<，∴254a >，∴7a =满足题意，故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x 的方程24x x −+________=0有两个不相等的实数根． 【答案】1（答案不唯一）【分析】根据方程的系数结合根的判别式2=40b ac ∆−>，即可得出关于c 的不等式，求解即可得出答案．【详解】解：1a =，4b =−，设常数为c ，()22=44410b ac c ∆−=−−⨯⨯>4c ∴<故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根． 【答案】见解析【分析】根据224()41b ac m n mn ∆=−=+−⨯⨯，再判断出的符号，即可得出结论． 【详解】解∶2222()412()m n mn m n mn m n ∆=+−⨯⨯=+−=−，m n ≠()2m n ∴−>∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式2Δ4b ac =−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根． 13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x 的一元二次方程210x ax a −+−=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)5a >【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）利用因式分解法解方程求出方程两个根为1211x x a ==−，，再根据该方程有一实数根大于4进行求解即可．【详解】（1）解：∵知关于x 的一元二次方程为210x ax a −+−=，∴()()()222414420a a a a a ∆=−−−=−+=−≥，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x ax a −+−=，∴()()110x x a −+−=，∴10x −=或10x a +−=， 解得1211x x a ==−，，∵该方程有一实数根大于4， ∴14a −>， ∴5a >．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数时，求x 的值． 【答案】(1)98m >−且0m ≠(2)10x =，21x =【分析】（1）由0∆>得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知1m =−，还原方程，利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：由题意得：2(23)4(1)0m m m +−+>， 解得：98m >−且0m ≠；（2）由（1）知，m 最小整数为1−，此时方程为：20x x −+=，解得：10x =，21x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．【答案】(1)28n m =−(2)见解析【分析】（1）根据根的判别式符号进行求解；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）由题意得：()242n m ∆=−⋅−28n m ∆=+方程有两个相等的实数根， 0∴∆=280n m ∴+= 28n m ∴=−（2）当2n m =−()228m m ∆=−+2Δ44m m =++()224420m m m ++=+≥∴方程始终有两个实数根【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程2440x x +−=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，()24414320∆=−⨯⨯−=>，∴原方程有两个不相等的实数根， 故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程250x ax −−=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．可能有实数根，也可能没有 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为250x ax −−=，∴()()22451200a a ∆=−−⨯−⨯=+>，∴关于x 的一元二次方程250x ax −−=有两个不相等的实数根，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k ≥ C ．0k < D ．0k ≤【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，可知240b ac −≥，求出解即可．【详解】∵一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，∴240b ac −≥，即224[(1)]0k −−−≥， 解得0k ≥． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．1k >−B ．1k <C ．1k >−且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，∴0k ≠且0∆>，即2(2)4(1)0k −−⨯⨯−>， 解得1k >−且0k ≠． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+−x x __________0=有两个相等的实数根． 【答案】1【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式得出a 的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ， ∵要使原方程有两个相等的实数根， ∴()2=240a ∆−−=，∴1a =，∴满足题意的常数可以为1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程220x x m −+=没有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】1m >/1m <【分析】根据一元二次方程无实数根得到Δ0<，代入即可得出答案．【详解】方程220x x m −+=没有实数根，4410m ∴∆=−⨯⨯<， 1m ∴>，故答案为：1m >．【点睛】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式24b ac ∆=−是解题的关键．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=． (1)若该方程的一个根为2−，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：无论a 取何实数，该方程都有实数根． 【答案】(1)3a =，该方程的另一根为1− (2)证明见解析【分析】（1）先根据一元二次方程解的定义把2x =−代入到210x ax a ++−=中求出a 的值，再利用因式分解法解方程即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=的一个根为2−，∴4210a a −+−=， ∴3a =，∴原方程即为2320x x ++=，∴()()120x x ++=，解得=1x −或2x =−， ∴方程的另一个根为1−；（2）解：∵关于x 的一元二次方程为210x ax a ++−=，∴()()222414420a a a a a ∆=−−=−+=−≥，∴无论a 取何实数，该方程都有实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，求出此时方程的根． 【答案】(1)43m ≤且0m ≠(2)11x =，23x =【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式0∆≥，可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论，结合m 为正整数，可得出m 的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根，∴()20Δ4430m m ≠⎧⎪⎨=−−⨯⨯≥⎪⎩， 解得：43m ≤且0m ≠，∴m 的取值范围为43m ≤且0m ≠；（2）∵43m ≤且0m ≠，且m 为正整数， ∴1m =，∴原方程为2430x x −+=，即()()310x x −−=， 解得：11x =，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）代入m 的值，求出方程的解．9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=（m 为常数，且0m ≠）(1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个实数根；①不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______； ②若m 为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2−；②1m =±或2m =±【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；（2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m 为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得()()22=442444b ac m m m ∆−=−−−2216164161640m m m m =−+−+=>，∴方程总有实数根； （2）解：①∵关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=有两个实数根，∴2422m x m −±==， ∴1224222242222m m m x x m m m −+−−−====−，，∴不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为2−， 故答案为：2−；②由①得，方程的两个实数根为12222mx x m −==−，，∵m 为整数，且方程的两个实数根都是整数， ∴2222m m m −=−为整数，∴1m =±或2m =±．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程2(1)(3)20m x m x +−++=． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析(2)0m =【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【详解】（1）（1）证明：①1m =−时，该方程为一元一次方程220x −+=，有实数根1x =；②1m ≠−时，该方程为一元二次方程，2(3)8(1)m m ∆=+−+221m m =−+2(1)m =−，不论m 为何值时，2(1)0m −…， ∴0∆…， ∴方程总有实数根；综上，不论m 为何值时，方程总有实数根．（2）解：解方程得，(3)(1)2(1)m m x m +±−=+， 11x =，221x m =+，方程有两个不相等的正整数根，m 为整数，0m ∴=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；0∆=⇔方程有两个相等的实数根；0∆<⇔方程没有实数根是解题的关键．【答案】22212x x x −−或【分析】根据分式的混合运算法则化简后，再求出x 的值，代入求值即可．【详解】解：221222121x x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭−−−−+++()()()()()22112221121x x x x x x x x x x x ⎡⎤=÷⎢⎥⎣⎦+−−−−++++()()()()21211112x x x x x x +=⨯++−−()2211x x x =−− 22221x x x =−−∵210x x −−=，∴21x x −=，∴原式()2221x x x −=−2211x =−⨯12x =−， 对于210x x −−=来说，1,1,1,a b c ==−=−∵()()22414115b ac −=−−⨯⨯−=，∴x =，∴12x x ==，∴当x =时，原式12x =−，当x =时，原式12x =−=．【点睛】此题考查了分式的化简求值，解一元二次方程等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解下列方程：2231x x +=【答案】x x ==12，【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可；【详解】解：原方程可化为：22310x x +−=a b c ===−231 ， ，()b ac −=−⨯⨯−=>2243421170x ∴==x x ==12，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的基本解法是解题的关键． 13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于x 的方程220x mx m +−=−．(1)当该方程的一个根为1−时，求m 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】(1)1=2m ，方程的另一根为32(2)见解析【分析】（1）把1x =−代入原方程求得m 的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】（1）解：把1x =−代入方程 220x mx m +−=−得 120m m ++−=∴1=2m ，把1=2m 代入到原方程得 213022x x −−=∴1x =−或3=2x 故答案为：1=2m ，方程的另一根为32；（2）证明：∵方程220x mx m +−=−，∴根的判别式()()()224224m m m ∆=−−−=−+∵()220m −≥∴()2240m ∆=−+> ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键． 14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：(1)2820x x −−=（配方法）(2)2320x x ++=（公式法）【答案】(1)14x =+24x =−(2)11x =−，22x =−【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；（2）利用公式法计算即可．【详解】（1）解：2820x x −−=移项，得：282x x −=，配方，得：2228424x x −+=+，即()2418x −=，由此可得：4x −=±14x =+24x =−（2）解：2320x x ++=1a =，3b =，2c =，224341210b ac ∆=−=−⨯⨯=>，方程有两个不等的实数根，3131212x −±−±===⨯，即11x =−，22x =−．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．。
专题：一元二次方程的八种解法(后附答案)【精品】
专题：一元二次方程的八种解法方法1 形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)时，用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤：(1)看：看是否符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.1．用直接开平方法解下列方程：(1)x2－25＝0; (2)4x2＝1；(3)81x2－25＝0； (4)(2y－3)2－64＝0；(5)3(x＋1)2＝13； (6)(3x＋2)2＝25；(7)(x＋1)2－4＝0; (8)(2－x)2－9＝0.方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项.(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式.(4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.2．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－2＝0； (2)x2-10x+29=0;（3）x2+2x=2; (4)x2－6x＋1＝2x－15；3.用配方法解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0; (2)12x 2－6x －7＝0.(3)x 2＋16x －13＝0； (4)2x 2－3x －6＝0；方法3 能化成形如（x+a ）（x+b ）=0时，用因式分解法求解用因式分解法解一元二次方程的“四步法”（“右化零，左分解，两因式，各求解”）4.用因式分解法解下列方程：(1)x 2－8x ＝0； (2)5x 2＋20x ＋20＝0；。
2020-2021中考数学一元二次方程组-经典压轴题附详细答案
2020-2021中考数学一元二次方程组-经典压轴题附详细答案一、一元二次方程1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x1，x2=13．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．4．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．5．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x1=﹣13，x2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x1=﹣13，x2=23．点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.6．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=7．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) . (1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）t = 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理计算AB 的长，再根据相似比例表示PE 的长度，再结合矩形的性质即可求得t 的值.（2）根据面积相等列出方程，求解即可. 【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，90,8,6C AC BC ︒∠===，10AB ∴===102//,,1068PA PE AE t PE AE PE BC AB BC AC -∴==∴== 34(102),(102)55PE t AE t ∴=-=-，当PE CF =时，四边形PECF 是矩形，3(102)5t t ∴-= 解得3011t = （2）由题意22424116825552t t =+=⨯⨯⨯整理得2t 550t -+=，解得t =52t ∴=，ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍。
中考总复习数学第3节 一元二次方程及其应用
边的长是方程 x2－8x＋12＝0 的解，则这个三角形的周
长是 17 ．
3. (2020·无锡)解方程：x2＋x－1＝0.
解：x1＝－1＋2
5，x2＝－1－2
5 .
4. (2020·荆州)阅读下列“问题”与“提示”后，将 解方程的过程补充完整，求出 x 的值．
【问题】解方程：x2＋2x＋4 x2＋2x－5＝0. 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设 x2＋2x＝t(t≥0)，则有 x2＋2x＝t2， 原方程可化为：t2＋4t－5＝0. 【续解】
－4ac ＞ 0.即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的 范围．(2)将 x＝1 代入方程 x2＋2x＋a－2＝0 得到 a
的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【自主作答】(1)b2－4ac＝22－4×1×(a－2)＝12－ 4a＞0，解得 a＜3.
(2)设方程的另一根为 x1，由解的定义及根与系数的 1＋2＋a－2＝0， a＝－1，
关系，得 1×x1＝a－2， 解得 x1＝－3，则 a 的值是 －1，该方程的另一根为－3.
类型3：一元二次方程的应用 ►例3沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产 企业在两年内的销售额从 20 万元增加到 80 万元．设这 两年的销售额的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为 () A．20(1＋2x)＝80 B．2×20(1＋x)＝80 C．20(1＋x2)＝80 D．20(1＋x)2＝80
数学 中考总复习
第3节 一元二次方程及其应用
类型1：一元二次方程的解法 ►例1分别用两种不同的方法解下列一元二次方程： (1)x2＋6x＝1； (2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0.
分析：公式法是解一元二次方程通用的方法，在运
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一元二次方程及其应用考点一、一元二次方程的解法（10分）1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
考点二、一元二次方程根的判别式（3分）根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆考点三、一元二次方程根与系数的关系（3分）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
考点四、分式方程（8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
2020中考数学专题汇编 一元二次方程 含解析
一元二次方程一、选择题1．（2020湖州）已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．实数根的个数与实数b 的取值有关【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．2．（2020·铜仁）已知m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +2＝0的两个根，则k 的值等于（ ） A ．7 B ．7或6 C ．6或﹣7 D ．6{答案}B {解析}有两种情况：①m 、n 中有一个的值为4，即4是方程的一个解，所以16－24＋k ＋2=0，解得k=6；②m=n ≠4，即方程有两个相等的实数根，所以36－4（k+2）=0，解得k=7。
因此本题选B ． 3．（2020·黔西南州）已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2 B ．m ≤2 C ．m ＜2且m ≠1 D ．m ≤2且m ≠1 {答案}D{解析}本题考查了根的判别式的性质:当b2－4ac ≥0时，方程有实数根．因为关于x 的一元二次方程x2－2x ＋m ＝0有实数根，所以b2－4ac ＝22－4(m －1)×1≥0，解得m ≤2．又因为(m －1)x2＋2x ＋1＝0是一元二次方程，所以m －1≠0．综上所述，m 的取值范围是m ≤2且m ≠1，因此本题选D ． 4．（2020·新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．2104x x -+= B ．2240x x ++= C ．220x x -+= D ．220x x -={答案}D{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项中方程的根的判别式b2－4ac 的值，若b2－4ac ＞0，则一元二次方程有两个不相等的实数根．在方程x2－2x ＝0中，因为a ＝1，b ＝－2，c ＝0，所以b2－4ac ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，所以有两个不相等的实数根，因此本题选D ．5．（2020·遵义）已知x 1，x 2是方程x 2－3x －2＝0的两根，则x 21＋x 22的值为（ ）A ．5B ．10C ．11D ．13{答案}D{解析}本题考查一元二次方程根与系数的关系．∵x1，x2是方程x2－3x －2＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1·x2＝－2，∴x 21＋x 22＝（x1＋x2）2－2 x1·x2＝9＋4＝13． 故选D.6．（2020·黔东南州）已知关于x 的一元二次方程x 2+5x ﹣m ＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）A ．﹣7B ．7C ．3D ．﹣3 {答案}A{解析}根据一元二次方程根与系数的关系“12bx x a+=”求解． 设x1＝2，另一个根为x2，则2+ x2＝﹣5，解得X2＝﹣7． 7．（2020·安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．x 2+1＝2xB ．x 2+1＝0C ．x 2﹣2x ＝3 D ．x 2﹣2x ＝0{答案}A{解析}逐项分析如下：8．（2020·聊城）用配方法解一元二次方程2－3－1＝0，配方正确的是（ ） A ．(x －43)2＝1617 B ．(x －43)2＝21C ．(x －23)2＝413 D ．(x －23)2＝411{答案}A{解析}由2x2－3x －1＝0，得2x2－3x ＝1，∴x2－23x ＝21，x2－23x ＋(43)2＝21＋(43)2，∴(x －43)2＝1617．本题中“23x ”即完全平方式“a2－2ab ＋b2”中的“2ab ”，确定b 值是完成配方的关键． 9．（2020·河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则可列方程为( ) A. 5000(12)7500x B. 5 000×2(1+x )=7 500C. 25000(1)7500x D. 250005000(1)5000(1)7500x x{答案}C{解析}2017年的快递业务收入为5000亿元，设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则2018年的快递业务收入为5000（1+x ）亿元， 2019年的快递业务收入是在2018年的基础上增加的，∴2019年的快递业务收入为5000(1+x)＝5000(1+x) (1+x)，即用 5000(1+x)2表示，∴可列方程是25000(1)7500x ．10．（2020·黑龙江龙东）已知2+√3是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0的一个实数根，则实数m 的值是（ ）A ．0B ．1C ．﹣3D ．﹣1 {答案} B{解析}本题考查了一元二次方程解的概念，将实数根代入原方程，解：根据题意，得（2+√3）2﹣4×（2+√3）+m ＝0，解得m ＝1；故选：B ．11．(2020自贡)关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +2＝0有两个相等实数根，则a 的值为（ ） A ．12B ．−12C ．1D ．﹣1{答案} A ．{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系，同时要考虑二次项系数不为零，解：∵关于x 的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，∴{a ≠0△=(−2)2−4×a ×2=0，∴a =12． 因此本题选A ． 12．（2020·南京）关于x 的方程(x －1)(x ＋2)＝p 2(p 为常数)的根的情况，下列结论正确的是( )A ．两个正根B ．两个负根C ．一个正根，一个负根D ．无实数根 {答案}C{解析}【解析】化简方程，得：x 2＋x －2－p 2＝0，根据的判别式△＝12－4×1×(－2－p 2)＝1＋8＋4p 2＝9＋4p 2＞0，故该方程有两个不相等实数根.13．（2020·菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＝0的两个根，则k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．3或4D ．7 {答案}C{解析}结合一元二次方程的解及判别式，根据边长3是底边长还是腰长分类讨论求解，注意所得解需符合三角形的三边关系．①当3为等腰三角形的底边长时，两腰长为一元二次方程的两相等实根，则△＝(－4)2－4k ＝0，解得k ＝4，此时，两腰的和=x 1+x 2=4＞3，满足三角形三边的关系，∴k ＝4；②当3为等腰三角形的腰长时，则x ＝3为一元二次方程的一个解，把x ＝3代入方程，得9－12＋k ＝0，解得k ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x 1=1，x 2=3，因为1+3＞3，符合三角形的三边关系，所以k ＝3．综上可知，k 的值为3或4．14．（2020·湖北荆州）定义新运算“a b ”：对于任意实数a ，b ，都有1a b a b a b ，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4343431716.若x k x （k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况为（ ）A. 有一个实数根B.有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D.没有实数根 {答案}C{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的情况的判别方法．由定义新运算可得2210x xk ，∴2221411540k k ，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题选C ．15．（2020·怀化）已知一元二次方程x 2﹣kx +4＝0有两个相等的实数根，则k 的值为（ ） A ．k ＝4 B ．k ＝﹣4C ．k ＝±4D ．k ＝±2{答案}C{解析}根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值． 解：∵一元二次方程x 2﹣kx +4＝0有两个相等的实数根， ∴△＝（﹣k ）2﹣4×1×4＝0， 解得：k ＝±4． 故选：C ．16.(2020·潍坊)关于x 的一元二次方程2(3)10x k x k +-+-=根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根 D. 无法确定 {答案}A{解析}本题考查了一元二次方程的根的判别式..一元二次方程20(0)ax bx c a b c a ++=≠、、是常数，中，若240b ac ->，则方程有两个不相等的实数根；若240b ac -=，则方程有两个相等的实数根；240b ac -<，则方程没有实数根.显然△=2(3)4(1)k k ---=2225(1)40k k k -+=-+>.故选A.17.(2020·潍坊)若221m m +=，则2483m m +-的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2D. 1{答案}D{解析}本题考查了整体数学思想.2483m m +-=24(2)34131m m +-=⨯-=.故选D. 18．（2020·营口）一元二次方程x 2－5x +6＝0的解为（ ）A ．x 1=2，x 2=－3B ．x 1=－2，x 2=3C ．x 1=－2，x 2=－3D ．x 1=2，x 2=3 {答案}D{解析}对于x2－5x+6＝0，△=（－5）2－4×1×6=1，由求根公式可得x=(5)21=512，∴x1=2，x2=3是原方程的解．19．（2020·滨州）对于任意实数k ，关于x 的方程221(5)22502x k x k k -++++=的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法判定 {答案}B{解析}本题考查了根的判别式，221(5)22502x k x k k -++++=，△=[-（k+5）]2 -4×12×（k2+2k+25）=-k2+6k-25=-（k-3）2-16，不论k 为何值，-（k-3）2≤0，即△=-（k-3）2-16＜0，所以方程没有实数根，因此本题选B ．20．（2020·临沂）一元二次方程2480x x --=的解是（ ）A.12x =-+22x =--B.12x =+22x =-C.12x =+22x =-D.1x =，2x =-{答案}B{解析}考虑到此一元二次方程是一般形式，直接套用公式比较简洁：2x ===±12x =+22x =-B 正确．21. （2020·广州）直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 {答案}D{解析}本题考查了一次函数的性质、一元二次方程的根的判别式，由“y x a =+不经过第二象限”可得0a ≤.当0a =时，原方程即为210x +=，此时实数解只有1个；当0a <时，此一元二次方程的根的判别式24440b ac a ∆=-=->，此时方程有2个不相等的实数根．因此关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数为1个或2个．因此本题选D ．本题容易漏掉0a =的情况．22．（2020·通辽）关于x 的方程kx 2﹣6x +9＝0有实数根，k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1且k ≠0B ．k ＜1C ．k ≤1且k ≠0D ．k ≤1{答案}D{解析}若k =0，则方程为﹣6x +9＝0，得x =32，有解；若k ≠0，则kx 2﹣6x +9＝0是一元二次方程，令△=（－6）2－4×9k ≥0，则方程有解，此时可得k ≤1；综上可得k ≤1．4．（2020·邵阳）设方程x 2－4x －5＝0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+x 2的值为（ ） A .3 B.- C. D .-2 {答案}A{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由2320x x -+=可知，其二次项系数1a =，一次项系数3b =-，由韦达定理：12x x +(3)31b a -=-=-=，因此本题选A ． 23. （2020·攀枝花） 若关于x 的方程20x x m --=没有实数根，则m 的值可以为（ ）A. 1-B. 14- C. 0 D. 1 {答案}A{解析}由方程无实数根可知140m +<，得14m <-，则A 符合题意. 24．（2020·广西北部湾经济区）一元二次方程x 2﹣2x +1＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不等的实数根B ．有两个相等的实数根2323C ．无实数根D ．无法确定{答案} B{解析}∵a ＝1，b ＝﹣2，c ＝1， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0， ∴有两个相等的实数根，因此本题选B ．25．（2020·天门仙桃潜江）关于x 的方程0)1(222=-+-+m m x m x 有两个实数根α，β，且α 2＋β 2=12，那么m 的值为A ．－1B ．－4C ．－4或1D ．－1或4{答案}A ，解析：本题考查了根与系数的关系, 根的判别式,x 的方程0)1(222=-+-+m m x m x 有两个实数根α，β，∴α+β=2(m −1),αβ=2m −m ，∵α 2＋β 2=12， ∴()αββα22－+ =12，∴4(m −1)2−2(2m −m)=12，解得：m=4或m=−1，∵△=4(m −1)2−4(2m −m)△0，解得：m△1.故m=4舍去，∴m=−1.26．（2020·武威）已知x ＝1是一元二次方程（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0的一个根，则m 的值为（ ） A ．﹣1或2B ．﹣1C ．2D ．0【解析】把x ＝1代入（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0得： m ﹣2+4﹣m 2＝0， ﹣m 2+m +2＝0，解得：m 1＝2，m 2＝﹣1，∵（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0是一元二次方程， ∴m ﹣2≠0， ∴m ≠2， ∴m ＝﹣1， 故选：B ．二、填空题 27．（2020·黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了________个人． {答案}10{解析}本题考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据题意得1＋x ＋x(1＋x)＝121，即(1＋x)2＝121，解得x1＝10，x2＝－12（舍去），因此本题答案为10． 28．（2019·上海）如果关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0没有实数根，那么实数m 的取值范围是 ．{答案}D{解析}△方程x2－x ＋m ＝0没有实数根，△△＝1－4m ＜0，∴m ＞14．29．（2020·枣庄）已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋a 2－1＝0有一个根为x ＝0，则a ＝_______． {答案}－1{解析}利用方程根的定义与一元二次方程的定义解题．把x ＝0代入方程，得a2－1＝0，解得a ＝±1．因为(a －1)x2－2x ＋a2－1＝0是关于x 的一元二次方程，故有a －1≠0，即a≠1，∴a ＝－1． 30．（2020·乐山）已知y ≠0，且x 2－3xy －4y 2＝0，则xy 的值是________．{答案}4或－1{解析}将已知等式两边同除以y 2进行变形，再利用因式分解法解关于x y 的一元二次方程即可．∵y ≠0，∴两边同除以y 2得：(x y )2－3(x y )－4＝0，因式分解得：(x y －4)(x y ＋1)＝0，解得x y ＝4或x y＝－1．31.（2020·北京）已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是 ．{答案}1{解析}本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程有相等实数根的条件是△＝0，即△＝4–4k ＝0，解得k ＝1．（2020·江西）8.若关于x 的一元二次方程220x kx --=的一个根为1x =，则这个一元二次方程的另一个根为 ．【解析】设一元二次方程的两根为21,x x ，并设11=x ，根据acx x =21，可得212-=⋅x ，∴另外一根为-2，故答案为-232.（2020·扬州）方程（x +1）2=9的根是 . {答案} x 1=2，x 2=-4{解析}本题考查了直接开平方法解一元二次方程，本题直接开方求解即可．（x +1）2=9，x +1=±3，x 1=2，x 2=-4．故答案为x 1=2，x 2=-4．33．(2020·荆门)已知关于x 的一元二次方程x 2－4mx ＋3m 2＝0(m ＞0)的一个根比另一个根大2，则m 的值为______． {答案}1{解析}设原方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝3m 2．依题意，得｜x 1－x 2｜＝2．∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，∴16m 2－12m 2＝4．解得m 1＝－1(不合题意，舍去)，m 2＝1．34．（2020·南通）x 1，x 2为方程x 2－4x －2020＝0的两根，则x 12－2x 1＋2x 2的值为 ▲ ． {答案}2028{解析}根据方程根的定义和根与系数的关系求解． ∵x 1为方程x 2－4x －2020＝0的根，∴211420200x x --=，∴21142020x x -=，∵x 1，x 2为方程x 2－4x －2020＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝4，∴x 12－2x 1＋2x 2＝ x 12－4x 1＋2（x 1＋x 2）＝2020＋2×4＝2028．35．（2020·泰州）方程2230x x +-=的两根为1x 、2x 则12x x ⋅的值为______． {答案}－3{解析}本题考查了根与系数关系，根据公式12x x ⋅＝ca，可得本题结果为－3． 36．（2020·镇江）一元二次方程 x 2−2x =0 的两根分别为 ．{答案}x 1＝2，x 2＝0{解析}本题考查了一元二次方程的解法，本题用因式分解法比较简便，方程可化为x (x －2)＝0，∴x ＝0或x －2＝0． 37．（2020·常州）若关于x 的方程x 2＋ax －2＝0有一个根是1，则a ＝________． {答案}a ＝2{解析}本题考查了一元二次方程的根的意义，把x ＝1代入方程得：1＋a －2＝1，∴a ＝2（2020·本溪）13．（3分）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k ＝0无实数根，则k 的取值范围是 ． {答案} k ＜﹣1{解析}由“关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k ＝0无实数根”可知：△＝4+4k ＜0，∴k ＜﹣138．(2020·青海)在解一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0时，小明看错了一次项系数b ，得到的解为x 1＝2，x 2＝3；小刚看错了常数项c ，得到的解为x 1＝1，x 2＝4．请你写出正确的一元二次方程______． {答案}x 2－5x ＋6＝0{解析}由小明的结果可知c ＝2×3＝6，由小刚的结果可知b ＝－(1＋4)＝－5．所以原一元二次方程是x 2－5x ＋6＝0．39．(2020·成都)关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根，则实数m 的取值范围是 ． {答案}m ≤72．{解析}根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可． 解：△关于x 的一元二次方程2x2﹣4x+m −32=0有实数根，△△＝（﹣4）2﹣4×2×（m −32）＝16﹣8m+12≥0，解得：m ≤72，故答案为：m ≤72．40．（2020·黄冈）已知是x 1，x 2一元二次方程x 2－2x －1=0的两根，则121x x = ． {答案}﹣1{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由题意得121x x =-，所以1211x x =-，因此本题答案为﹣1．41．（2020·抚顺本溪辽阳）若关于x 的一元二次方程x 2＋2x －k ＝0无实根．则k 的取值范围是 ． {答案} k ＜－1{解析}根据一元二次方程根的判别式可知，当△＝b2－4ac ＜0时方程无实根，即可列式求值．∵关于x 的一元二次方程x2＋2x －k ＝0无实根，∴△＝22－4×1×(－k)＝4＋4k ＜0，解得k ＜－1．故答案为k ＜－1． 42．（2020·内江）已知关于x 的一元二次方程()221330m x mx -++=有一实数根为1-，则该方程的另一个实数根为_____________{答案}13-{解析}本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m 的一元二次方程，解得m 的值，然后根据一元二次方程的定义确定m 的值． 把x=-1代入()221330m x mx -++=得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，△(m-1)2≠0，△m ≠1．△m=4.△方程为9x2+12x+3=0.设另一个根为a,则-a=39. △a=-13.因此本题答案为－13． 43．（2020·宜宾）已知一元二次方程x 2+2x ﹣8＝0的两根为x 1、x 2，则21x x +2x 1x 2+12xx ＝ ． {答案}－372{解析}根据一元二次方程根与系数的关系得出两根之和与两根之积，再将21x x +2x1x2+12x x 用两根之和与两根之积表示，从而得到式子的值．∵一元二次方程x2+2x ﹣8＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，∴21x x +2x1x2+12x x ＝2x1x2+221212x x x x +＝2×（﹣8）+2121212()2x x x x x x +- ＝﹣16+2(2)2(8)8--⨯--＝－372．44．（2020·咸宁）若关于x 的一元二次方程2(2)x n +=有实数根，则n 的取值范围是__________．{答案} n≥0{解析}本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，∵关于x 的一元二次方程2(2)x n +=有实数根，而2(2)0x +≥，∴n≥0，，因此本题填n≥0．45.（2020·娄底）一元二次方程220x x c -+=有两个相等的实数根，则c = ． {答案}1{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，方程220x x c -+=有两个相等的实数根，240,b ac ∴=-=()22410,c ∴--⨯•= 44,c ∴= 1c ∴=，因此本题填1．46．（2020·东营）如果关于x 的一元二次方程260xx m 有实数根，那么m 的取值范围是 ．{答案}m ≤9{解析}本题考查了根的判别式的性质:当b 2－4ac ≥0时，方程有实数根．因为关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有实数根，所以b 2－4ac ＝62－4m ×1≥0，解得m ≤9．47．（2020·毕节）关于x 的一元二次方程（k ＋2）x 2＋6 x ＋k 2＋k －2＝0有一个根是0，则k 的值是_________． {答案}1，{解析}本题考查一元二次方程的根．解： ∵x ＝0，∴关于x 的一元二次方程为k 2＋k －2＝0．∴（k ＋2）（k －1）＝0． ∴k 1＝－2，k 2＝1．∵k ＋2≠0，∴k 1＝－2（舍去）． 故答案为148.（2020·郴州）已知关于x 的一元二次方程0522=+-c x x 有两个相等的实数根，则=c ． {答案}{解析}根据题意得△＝（－5）2－4×2×c ＝0，解得c ＝．故答案为：．49．（2020·威海）一元二次方程4x （x ﹣2）＝x ﹣2的解为 x 1＝2，x 2=14． 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】：4x （x ﹣2）＝x ﹣2 4x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0 （x ﹣2）（4x ﹣1）＝0 x ﹣2＝0或4x ﹣1＝0 解得x 1＝2，x 2=14． 故答案为：x 1＝2，x 2=14．50．（2020·烟台）关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 m ＞0且m ≠1 ．【解析】根据题意得m ﹣1≠0且△＝22﹣4（m ﹣1）×（﹣1）＞0，解得m ＞0且m ≠1．故答案为：m ＞0且m ≠1．时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 51．（2020·淄博）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +2m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 m ＜18．【解析】∵方程有两个不相等的实数根，a ＝1，b ＝﹣1，c ＝2m∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×1×2m ＞0，解得m ＜18，故答案为m ＜18． 52.（2020·吉林）一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为______． 【答案】13【解析】∵a=1，b=3，c=-1，∴△=b 2-4ac=9+4=13．∴一元二次方程x 2+3x-1=0根的判别式的值为13． 故答案为：13．53.（2020·永州）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】m ＞﹣4．【解析】由已知得：△=b 2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m ）=16+4m ＞0，解得：m ＞﹣4．54．（2020·云南）若关于x 的一元二次方程x 2+2x +c ＝0有两个相等的实数根，则实数c 的值为 ． {答案}1{解析}若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b 2﹣4ac ＝0，建立关于c 的等式，求出c 的值即可．三、解答题 55．（2020·贵阳）（12分）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y （人）与时间x （分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x ≤15） 时间x （分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15 人数y （人）170320450560650720770800810810（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？ {答案}解：（1）由表格中数据的变化趋势可知，△当0≤x≤9时，y 是x 的二次函数，△当x ＝0时，y ＝0，△二次函数的关系式可设为：y ＝ax2+bx ，由题意可得：{170=a +b 450=9a +3b，解得：{a =−10b =180，△二次函数关系式为：y ＝﹣10x2+180x ，△当9＜x≤15时，y ＝180，△y 与x 之间的函数关系式为：y ={−10x 2+180x(0≤x ≤9)180(9＜x ≤15)；（2）设第x 分钟时的排队人数为w 人，由题意可得：w ＝y ﹣40x ={−10x 2+140x(0≤x ≤9)810−40x(9＜x ≤15)，△当0≤x≤9时，w ＝﹣10x2+140x ＝﹣10（x ﹣7）2+490，△当x ＝7时，w 的最大值＝490，△当9＜x≤15时，w ＝810﹣40x ，w 随x 的增大而减小，△210≤w ＜450，△排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810﹣40x ＝0，解得：x ＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟； （3）设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得：12×20（m+2）≥810， 解得m ≥118，△m 是整数，△m ≥118的最小整数是2，△一开始就应该至少增加2个检测点．56.（2020·江苏徐州）（1）解方程：2x 2-5x +3=0；{解析} （1）利用因式分解法来解这个方程；{答案}解：（1）∵2x2-5x+3=0，∴（2x-3）（x-1）=0，∴x1=32，x2=1.57．（2020·南京）解方程：x 2－2x －3＝0.{解析}观察方程的系数特征，适合运用配方法解方程. {答案}解：移项，得：x 2－2x ＝3，配方，得：x 2－2x ＋1＝3＋1，即(x －1)2＝4. 两边同时开方，得：x －1＝±2， △x 1＝3，x 2＝－1.58．（2020·无锡）解方程：（1）x 2＋x －1＝0解：（1）x 2＋x －1＝0，△＝5，∴x ＝－1±5259.(2020·南充）已知1x ，2x 是一元二次方程0222=++-k x x 的两个实数根.（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式21121-=+k x x 成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由. {解析}（1）根据一元二次方程0222=++-k x x 的两个实数根得到△=（﹣2）2﹣4（k+2）≥0，解关于k 的不等式即可；（2）根据根与系数的关系得出含有k 的式子，将等式变形后代入，解答关于k 的方程，注意舍去不符合题意的值．{答案}解：（1）∵一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k +2）≥0，解得：k ≤﹣1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝2，x 1x 2＝k +2．∵11x +21x ＝k ﹣2， ∴1212x x x x +＝22k +＝k ﹣2， ∴k 2﹣6＝0，解得：k 1，k 2．又∵k ≤﹣1，∴k ．∴存在这样的k 值，使得等式11x +21x ＝k ﹣2，成立，k ． 60．（2020·齐齐哈尔）解方程：x 2﹣5x +6＝0解：∵x 2﹣5x +6＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，则x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝2，x 2＝3．61.（2020·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程2x -(2k+1)x 21+2k -2=0. (1)求证:无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根1x ，2x 满足1x -2x =3，求k 的值.{解析}考查根的判别式和根与系数的关系式定理.（1）直接将方程中的各项系数代入根的判别式2=4b ac ∆-得到一个大于0的式子即可证明.（2）利用根与系数的关式得到：1221x x k +=+，212122x x k =-，然后再代入到由已知转化得来的式子21212)49x x x x +-=（，代入可求k 的值.{答案}解：（1）∵∆=221(21)4(2)2k k +--＝2244128k k k ++-+＝2249k k ++ ＝221)7k ++（ ∵无论k 取任何实数，221)0k +≥（，∴221)7k ++（>0. ∴无论k 取任何实数,方程总有两个不相等的实数根.（2）由一元二次方程的根与系数的关系定理，得： 1221x x k +=+，212122x x k =-. ∵123x x -=，∴212)9x x -=（，即21212)49x x x x +-=（ ∴22121)4(2)92k k +-⨯-=（，化简得：220k k +=.∴解得k 的值是0，－2.62.（2020·随州）已知关于x 的一元二次方程2x +(2m+1)x+m-2-0.(1)求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根1x ，2x ，且1x +2x +31x 2x =1，求m 的值.(1)证明：依题意可得△=2)-4(m -1)+(2m 2…………1分=9+4m 2＞0， 故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根.………3分(2)解：由根与系数的关系可得：⎩⎨⎧-=+-=+2)12(2121m x x m x x ，………………5分 由1x +2x +31x 2x =1，得-(2m+1)+3(m-2)=1，解得m=8.……7分63．（2020·鄂州）已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值． {解析}本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．（1）根据方程有两个实数根得出△＝()()24411k --⨯⨯+≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k 表示出x 1＋x 2和x 1x 2的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．{答案}解：（1）∵关于x 的一元二次方程2410x x k -++=有两个实数根，∴△≥0，即()()24411k --⨯⨯+≥0，解得：k ≤3，故k 的取值范围为：k ≤3．（2）由根与系数的关系可得124x x +=，121x x k =+ 由1212334x x x x +=-可得()12121234x x x x x x +=-， 代入x 1＋x 2和x 1x 2的值，可得：12141k k =+-+ 解得：13k =-，25k =（舍去），经检验，3k =-是原方程的根，故3k =-．64．（2020·湖北荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值. 【问题】解方程：2224250x x xx【提示】可以用“换元法”解方程. t （t ≥0），则有222x x t ， 原方程可化为：2450tt 【续解】229t{解析}在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子．本题用来换元的式子t ，其两边分别平方后有222x x t ，这样原方程可变形为关于t 的一元二次方程，即可求得t 的值，再根据所设条件对t 的值进行讨论后作出取舍，即可求出x 的值． {答案}解：【续解】229t ∴23t ，即11t ，25t ∵220tx x ， ∴221tx x ， 则有221x x ，配方，得：212x 解得：112x ，212x 经检验：112x ，212x 是原方程的根.65．（2020·宜昌）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内地方面积.材料：某地有A ，B 两家商贸公司（以下简称A ，B 公司）.去年下半年A ，B 公司营销区域面积分别为m 平方千米，n 平方千米，其中m =3n ，公共营销区域面积与A 公司营销区域面积的比为29；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A 公司营销区域面积比去年下半年增长了x %，B 公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A 公司的4倍，公共营销区域面积与A 公司营销区域面积的比为37，同时公共营销区域面积与A ，B 两公司总营销区域面积．．．．．．．的比比去年下半年增加了x 个百分点. 问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B 公司营销区域面积的比），并解答；（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A 公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B 公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比.{解析}（1）通过设未知数找等量关系：公共营销区域面积与A 公司营销区域面积的比为29等列出方程，最后求解即可．（答案不唯一）（2）设B 公司每半年每平方千来产生的经济收益为a.则A 公司为1.5a ．去年下半年A ，B 公司产生的总经济收益为1.5a ×3n +a ×n =5.5na今年上半年A ，B 公司产生的总经济收益比去年下半年增加了x 个百分点为1.5a ×3n ×(1 +x%)+ an × (1 +4×x% )．设增加的百分点为x%，找等量关系：公共营销区域面积与A ，B 两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x 个百分点，列出方程求解即可．{答案}解：（1）问题1:求去年下半年公共营销区域面积与B 公司营销区域面积的比 解答：3n ×29=23n 23n ：n =23问题2:A 公司营销区城面积比B 公司营销区域的面积多多少?解答: 3n −n =2n问题3:求去年下半年公共营销区域面积与两个公司总营销区域面积的解答：3n ×29=23n 23n ÷(3n +n −23n)=15（2）[37×3n(1+x%)]÷[3n(1+x%)+n(1+4x%)−37×3n(1+x%)]=3n×29÷(3n+n−23n)+x%100(x%)2+45x%−13=0解得x%=20%，x%= 65%(舍去)设B公司每半年每平方千来产生的经济收益为a.则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a今年上半年A，B公司产生的总经济收益为1.5a×3n×(1 + 20%)+ an×(1 +4×20% )=7.2na去年下半年A，B公司产生的总经济收益为1.5a×3n+a×n=5.5na去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为(5.5na):(7.2na)=55:7266．（2020·滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每下克水果售价为多少元?（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？{解析}本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，（1）根据月销售量=500-（销售单价-50）×10来求解，（2）设每千克水果售价为x元，由利润=每千克的利润×销售的数量得方程再求解，（3）设每千克水果售价为m 元，获得的月利润为y元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，有二次函数的性质求解．{答案}解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果=500-10×（55-50）=450千克；（2）设每千克水果售价为x元，由题意可得：8750=（x-40）[500-10（x-50）]，解得：x1=65，x2=75，答：每千克水果售价为65元或75元；（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得：y=（m-40）[500-10（m-50）]=-10（m-70）2+9000，∴当m=70时，y有最大值为9000元，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．67．（2020·玉林）已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求111aa b-++的值.{解析}（1）直接根据一元二次方程根的判别式求出k的范围；（2）首先把代数式化简转化为两根积和两根的和的形式，然后再根据根与系数的关系求出代数式的值．{答案}解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4－4×1×（－k）＞0，∴k＞－1；（2）111aa b-++＝()()()()(1)1(1)1111a b aa b a b+⨯+-++++＝1111ab a a abab a b ab a b+---=++++++，∵a＋b＝－2，ab＝k，∴原式＝11abab a b-+++＝1121kk-=-++.68．（2020·黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根，∴△＝[m]2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，解得：m≥0．（2）∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2＝﹣m，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，。
中考数学专题复习(有答案) 一元二次方程的解法及应用
第2节 一元二次方程的解法及应用A 组1．(2020聊城)用配方法解一元二次方程2x 2－3x －1＝0，配方正确的是( A )A.⎝⎛⎭⎫x －342＝1716B ．⎝⎛⎭⎫x －342＝12 C ．⎝⎛⎭⎫x －322＝134 D ．⎝⎛⎭⎫x －322＝114 2．(2020鹤岗)已知2＋3是关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0的一个实数根，则实数m 的值是( B )A ．0B ．1C ．－3D ．－13．(2020鄂州)目前以5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G 用户2万户，计划到2021年底全市5G 用户数累计达到8.72万户．设全市5G 用户数年平均增长率为x ，则x 值为( C )A ．20%B ．30%C ．40%D ．50%4．如果关于x 的方程x 2－4x ＋m ＝0有两个相等的实数根，那么m 的值是 4 ．5．(2020邵阳改编)设方程x 2－4x －5＝0的两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为 4 ．6．(2020南京)解方程：x 2－2x －3＝0.解：因式分解，得(x －3)(x ＋1)＝0.解得x 1＝3，x 2＝－1.B 组7．(2020河南)定义运算：m ☆n ＝mn 2－mn －1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x ＝0的根的情况为( A )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根8．(2020鄂州)已知关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0有两实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程两实数根分别为x 1，x 2，且3x 1＋3x 2＝x 1x 2－4，求实数k 的值． 解：(1)由题意，得Δ＝16－4(k ＋1)＝16－4k －4＝12－4k ≥0，∴k ≤3.(2)由题意，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝k ＋1.∵3x 1＋3x 2＝x 1x 2－4， ∴3（x 1＋x 2）x 1x 2＝x 1x 2－4. ∴3×4k ＋1＝k ＋1－4. 解得k 1＝5，k 2＝－3，∵k ≤3，∴k ＝－3.C 组9．【新考法】(2020河北)有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上a 2，同时B 区就会自动减去3a ，且均显示化简后的结果．已知A ，B 两区初始显示的分别是25和－16，如图．如，第一次按键后，A ，B 两区分别显示：――→第一次按键(1)从初始状态按2次后，分别求A ，B 两区显示的结果；(2)从初始状态按4次后，计算A ，B 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．解：(1)A 区显示的结果为25＋2a 2，B 区显示的结果为－16－6a .(2)这个和不能为负数，理由如下：根据题意，得A ，B 两区代数式的和为25＋4a 2＋(－16－12a )＝25＋4a 2－16－12a ＝4a 2－12a ＋9＝(2a －3)2.∵(2a －3)2≥0，∴A ，B 两区代数式的和不能为负数．。
2020-2021中考数学一元二次方程组-经典压轴题附答案解析
2020-2021中考数学一元二次方程组-经典压轴题附答案解析一、一元二次方程1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．【答案】0. 【解析】 【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩V＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，2．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．3．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+ 152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．4．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k （k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可； （2）有（1）可知方程的两根，再有条件x 1＞x 2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系. 请你解答下列问题：5． y 与x 的函数关系式为：y=1.7x （x≤m ）;或( x≥m) ；6．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且221212615x x x x +=-，求k 的值.【答案】（1）32k ≥ （2）4 【解析】 试题分析：根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论.根据韦达定理可得：212121114x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值. 试题解析：因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得32 k≥.根据韦达定理，()221212111141 1.114kkx x k x x k+-++=-=+⋅==+，因为221212615x x x x+=-，所以()212128150x x x x+-+=，将上式代入可得()2211811504k k⎛⎫+-++=⎪⎝⎭，整理得2280k k--=，解得1242k k，==-，又因为32k≥，所以4k=.7．如图，在Rt ABCV中，90B=o∠，10AC cm=，6BC cm=，现有两点P、Q的分别从点A和点B同时出发，沿边AB，BC向终点C移动．已知点P，Q的速度分别为2/cm s，1/cm s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P，Q两点移动时间为xs．问是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于216cm？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于216cm，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ、PB的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵90B∠=o，10AC=，6BC=，∴8AB=．∴BQ x=，82PB x=-；假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于216cm，则()1168821622x x⨯⨯--=，整理得：2480x x-+=，∵1632160=-=-<V，∴假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于216cm．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.8．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤174，∴a的最大整数值为4，此时方程为x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．10．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值. 【答案】（1）详见解析；（2）p=±1. 【解析】 【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0， x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2， ∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0， ∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2， ∴52=5（6﹣p 2）， ∴p=±1．考点：根的判别式；根与系数的关系．11．关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-4x +2=0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】（1）k ＜4且k ≠2.（2）m =0或m =83-. 【解析】 分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k 的不等式组，解不等式组即可求得对应的k 的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的k 的值，代入原方程，解方程求得x 的值，然后把所得x 的值分别代入方程x 2+mx -1=0即可求得对应的m 的值. 详解：(1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根，∴△=16-8(k-2)=32-8k ＞0且k-2≠0. 解得：k ＜4且k≠2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3， 将k=3代入原方程得：方程x 2-4x+3=0， 解此方程得：x 1=1，x 2=3.把x=1时，代入方程x 2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0. 把x=3时，代入方程x 2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83-. ∴m=0或m=83-.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.12．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y +4＝0 ①，解得y 1＝1，y 2＝4． 当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1； 当y ＝4时，x 2＝4，∴x ＝±2；∴原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝﹣1，x 3＝2，x 4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12＝0． 【答案】（1）换元，降次；（2）x 1=﹣3，x 2=2． 【解析】 【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x 2+x =y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2． 由x 2+x =6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x =﹣2，得方程x 2+x +2=0，b 2﹣4ac =1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．13．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【答案】(1) △ABC 是等腰三角形；(2)△ABC 是直角三角形；(3) x 1=0，x 2=﹣1． 【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a ，b 的等式，进而得出a=b ，即可判断△ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a ，b ，c 的等式，进而判断△ABC 的形状； （3）利用△ABC 是等边三角形，则a=b=c ，进而代入方程求出即可． 试题解析：（1）△ABC 是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c ）×（﹣1）2﹣2b+（a ﹣c ）=0， ∴a+c ﹣2b+a ﹣c=0， ∴a ﹣b=0， ∴a=b ，∴△ABC 是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b ）2﹣4（a+c ）（a ﹣c ）=0， ∴4b 2﹣4a 2+4c 2=0， ∴a 2=b 2+c 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）当△ABC 是等边三角形，∴（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，可整理为： 2ax 2+2ax=0， ∴x 2+x=0，解得：x 1=0，x 2=﹣1． 考点：一元二次方程的应用．14．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0①有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k =1时，求x 12+x 22的值． 【答案】（1）k >–14；（2）7 【解析】 【分析】（1）由方程根的判别式可得到关于k 的不等式，则可求得k 的取值范围； （2）由根与系数的关系，可求x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，代入求值即可． 【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴>0∆，即()22214410k k k +-=+>，解得14k >-；（2）当2k =时，方程为2x 5x 40++=， ∵125x x +=-，121=x x ，∴()222121212225817x x x x x x +=+-=-=.【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．15．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元； () 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？ 【答案】（1）2280；（2）15 【解析】 【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值. 【详解】 （1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多， 设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=． 解得 15x = 225x =， ∵2005150x -≥， ∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.。
2020-2021全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题汇总含详细答案
2020-2021全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题汇总含详细答案一、一元二次方程1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值． 【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．【答案】0. 【解析】 【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩V＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，3．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可. 试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1，x 2=14．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.5．解方程：（2x+1）2=2x+1． 【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0， ∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0， 则x=0或2x+1=0， 解得：x=0或x=﹣12．6．计算题（1）先化简，再求值：21x x -÷（1+211x -），其中x=2017．（2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值． 【答案】（1）2018；（2）m=4 【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21x x -÷（1+211x -）=2221111x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x +-⋅- =x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0， 解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.7．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1354x +=，235x -=. 【解析】 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m +->g g，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1354x +=，2354x -=. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.8．关于x 的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）-1. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根. (2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗 的最小值. 【详解】(1)证明：依题意，得．，∴ ．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得，∵ 方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.9．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．10．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。
2020年初三数学一元二次方程经典例题及答案解析
2020年初三数学一元二次方程经典例题1．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．2．解方程（1）2x2+3x﹣1＝0（2）（x+3）2＝（1﹣2x）23．解方程：（1）（x﹣2）（x﹣5）+1＝0（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）4．解方程：（1）x2＝4x（2）x2﹣3x﹣10＝05．解下列方程（1）（3x﹣8）2＝4（2x﹣3）2（2）5x（x﹣3）＝6﹣2x2020年初三数学一元二次方程经典例题答案1．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根．【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；（2）依照题意，找出k值，进而可得出原方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：k＞﹣2且k≠﹣1，∴实数k的取值范围为k＞﹣2且k≠﹣1．（2）∵k＞﹣2且k≠﹣1，∴满足条件的k的最小整数值为0，此时原方程为x2﹣2＝0，解得：x1＝，x2＝﹣．【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0，找出关于k的一元一次不等式组；（2）根据题意，确定k的值．2．解方程（1）2x2+3x﹣1＝0（2）（x+3）2＝（1﹣2x）2【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程；（2）先移项得到（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）a＝2，b＝3，c＝﹣1，△＝32﹣4×2×（﹣1）＝17，x＝，所以x1＝，x2＝；（2）（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，x+3+1﹣2x＝0或x+3﹣1+2x＝0，所以x1＝4，x2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解方程．3．解方程：（1）（x﹣2）（x﹣5）+1＝0（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）【分析】（1）整理为一般式，再利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）将方程整理为一般式，得：x2﹣7x+11＝0，∵a＝1，b＝﹣7，c＝11，∴△＝（﹣7）2﹣4×1×11＝5＞0，则x＝，即x1＝，x2＝（2）∵3（x﹣2）2＝x（x﹣2），∴3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，则（x﹣2）（2x﹣6）＝0，∴x﹣2＝0或2x﹣6＝0，解得x1＝2，x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．解方程：（1）x2＝4x（2）x2﹣3x﹣10＝0【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝0，∴x（x﹣4）＝0，则x＝0或x﹣4＝0，解得x1＝0，x2＝4；（2）∵x2﹣3x﹣10＝0，∴（x﹣5）（x+2）＝0，则x﹣5＝0或x+2＝0，解得x1＝5，x2＝﹣2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5．解下列方程（1）（3x﹣8）2＝4（2x﹣3）2（2）5x（x﹣3）＝6﹣2x【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵（3x﹣8）2＝4（2x﹣3）2，∴3x﹣8＝2（2x﹣3）或3x﹣8＝﹣2（2x﹣3），解得x＝2或x＝﹣2；（2）∵5x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），∴5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（5x+2）＝0，则x﹣3＝0或5x+2＝0，解得x＝3或x＝﹣0.4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．。
2020年中考数学试题《一元二次方程》试题精编含答案
2020年中考数学试题《一元二次方程》试题精编含答案1．（2020•西藏）列方程（组）解应用题某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．2．（2020•黔南州）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点A1、A2、A3…A48分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：（1）填写上图中第四个图中y的值为，第五个图中y的值为．（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为，当x＝48时，对应的y＝．（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？3．（2020•呼和浩特）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求x2+y2的值．4．（2020•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．5．（2020•玉林）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求﹣的值．6．（2020•黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．7．（2020•宜昌）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m＝3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B 两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．8．（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0【续解】9．（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？10．（2020•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．11．（2020•河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．如，第一次按键后，A，B两区分别显示：（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．12．（2020•徐州）（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0；（2）解不等式组：．13．（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．14．（2020•广东）已知关于x，y的方程组与的解相同．（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．15．（2020•鄂州）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．16．（2020•齐齐哈尔）解方程：x2﹣5x+6＝017．（2020•重庆）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加a%．求a的值．18．（2020•无锡）解方程：（1）x2+x﹣1＝0；（2）．19．（2020•南充）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．20．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．21．（2020•嘉兴）比较x2+1与2x的大小．（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：①当x＝1时，x2+12x；②当x＝0时，x2+12x；③当x＝﹣2时，x2+12x．（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．22．（2020•南京）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．23．（2019•阿坝州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．24．（2019•无锡）（1）解方程：2x2﹣x﹣5＝0；（2）解不等式组：．25．（2019•大连）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年该村的人均收入是多少元？26．（2019•徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？27．（2019•玉林）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？28．（2019•绥化）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．29．（2019•齐齐哈尔）解方程：x2+6x＝﹣7．30．（2019•贺州）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？31．（2019•安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？32．（2019•邵阳）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．33．（2019•贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？34．（2019•襄阳）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？35．（2019•北京）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．36．（2019•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．37．（2019•黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．38．（2019•东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？39．（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．40．（2019•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．参考答案1．【解答】解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．2．【解答】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．故答案为：10；15．（2）∵1＝，3＝，6＝，10＝，15＝，∴y＝，当x＝48时，y＝＝1128．故答案为：y＝；1128．（3）依题意，得：＝190，化简，得：x2﹣x﹣380＝0，解得：x1＝20，x2＝﹣19（不合题意，舍去）．答：该班共有20名女生．3．【解答】解：令xy＝a，x+y＝b，则原方程组可化为：，整理得：，②﹣①得：11a2＝275，解得：a2＝25，代入②可得：b＝4，∴方程组的解为：或，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝b2﹣2a，当a＝5时，x+y＝4，xy＝5，∴x＝4﹣y，代入xy＝5，可得y2﹣4y+5＝0，此时△＝16﹣20＜0，方程无解，故不符合题意，当a＝﹣5时，x2+y2＝26，因此x2+y2的值为26．4．【解答】解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，整理得：16+8k﹣32≥0，解得：k≥2，∴k的取值范围是：k≥2．故答案为：k≥2．（2）由题意得：，由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，整理得：k2﹣4k+3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，又由（1）中可知k≥2，∴k的值为k＝3．故答案为：k＝3．5．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，解得k＞﹣1．∴k的取值范围为k＞﹣1；（2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k，﹣＝＝＝1．6．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根，∴△＝（）2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，解得：m≥0．（2）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，解得：m＝9．7．【解答】解：（1）问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比？3n×＝n，n：n＝；（2）依题意有×3n（1+x%）＝[3n（1+x%）+n（1+4x%）﹣×3n（1+x%）][3n×÷（3n+n﹣n）+x%]，100（x%）2+45x%﹣13＝0，解得x%＝20%，x%＝﹣65%（舍去），设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a，今年上半年两公司总经济收益为1.5a×3n×（1+20%）+an×（1+4×20%）＝7.2na，去年下半年两公司总经济收益为1.5a×3n+an＝5.5na，故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为（5.5na）：（7.2na）＝55：72．故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为55：72．8．【解答】解：（t+5）（t﹣1）＝0，t+5＝0或t﹣1＝0，∴t1＝﹣5，t2＝1，当t＝﹣5时，＝﹣5，此方程无解；当t＝1时，＝1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；经检验，原方程的解为x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．9．【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000（1+x）2＝24200解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%．（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．答：预计4月份平均日产量为26620个．10．【解答】（1）证明：∵△＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+4m+1﹣4m+8＝4m2+9＞0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出，由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，解得m＝8．11．【解答】解：（1）A区显示的结果为：25+2a2，B区显示的结果为：﹣16﹣6a；（2）这个和不能为负数，理由：根据题意得，25+4a2+（﹣16﹣12a）＝25+4a2﹣16﹣12a＝4a2﹣12a+9；∵（2a﹣3）2≥0，∴这个和不能为负数．12．【解答】解：（1）2x2﹣5x+3＝0，（2x﹣3）（x﹣1）＝0，∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝1；（2）解不等式①，得x＜3．解不等式②，得x＞﹣4．则原不等式的解集为：﹣4＜x＜3．13．【解答】解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k2+4k+1﹣2k2+8＝2k2+4k+9＝2（k+1）2+7＞0，∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，∴2（k+1）2+7＞0，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，∵x1﹣x2＝3，∴（x1﹣x2）2＝9，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，化简得k2+2k＝0，解得k＝0或k＝﹣2．14．【解答】解：（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组的解，解得，，代入原方程组得，a＝﹣4，b＝12；（2）当a＝﹣4，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣4x+12＝0，解得，x1＝x2＝2，又∵（2）2+（2）2＝（2）2，∴以2、2、2为边的三角形是等腰直角三角形．15．【解答】解：（1）△＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，∴k≤3．（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，∵＝x1x2﹣4，∴＝x1x2﹣4，∴，∴k＝5或k＝﹣3，由（1）可知：k＝5舍去，∴k＝﹣3．16．【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，则x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．17．【解答】解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意得，，解得：，答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；（2）2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）＝21600（1+a%），解得：a1＝0（不合题意舍去），a2＝10，答：a的值为10．18．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2），解①得，x≥0，解②得，x＜1，所以不等式组的解集为0≤x＜1．19．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，解得：k≤﹣1．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．∵+＝k﹣2，∴＝＝k﹣2，∴k2﹣6＝0，解得：k1＝﹣，k2＝．又∵k≤﹣1，∴k＝﹣．∴存在这样的k值，使得等式+＝k﹣2成立，k值为﹣．20．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．21．【解答】解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；②当x＝0时，x2+1＞2x；③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．（2）x2+1≥2x．证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，∴x2+1≥2x．故答案为：＝；＞；＞．22．【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0，x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．23．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，解得k＞﹣2．24．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣5，∴△＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣5）＝41＞0，则x＝；（2）解不等式3（x+1）＞x﹣1，得：x＞﹣2，解不等式≥2x，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤2．25．【解答】解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意得：20000（1+x）2＝24200，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．（2）24200×（1+10%）＝26620（元）．答：预测2019年该村的人均收入是26620元．26．【解答】解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，整理，得：2x2﹣25x+50＝0，解得：x1＝，x2＝10．当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．27．【解答】解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意得，2.5（1+x）2＝3.6，解得：x＝0.2，x＝﹣2.2（不合题意舍去），答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；（2）解法一：3.6×（1+20%）＝4.32万（kg），4.32÷0.32＝13.5（个），3.6÷0.32＝11.25（个），∴13.5﹣11.25＝2.25（个），故至少再增加3个销售点．解法二：设至少再增加y个销售点，根据题意得，3.6+0.32y≥3.6×（1+20%），解得：y≥，答：至少再增加3个销售点．28．【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，解得：x＝，∴k＝0符合题意；当k≠0时，原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤．综上所述，k的取值范围为k≤．（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，∴x1+x2＝，x1x2＝．∵x1+x2+x1x2＝4，∴+＝4，解得：k＝1，经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．∴k的值为1．29．【解答】解：∵x2+6x＝﹣7，∴x2+6x+9＝﹣7+9，即（x+3）2＝2，则x+3＝±，∴x＝﹣3±，即x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．30．【解答】解：（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意，得：2500（1+x）2＝3600，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．（2）3600×（1+20%）＝4320（元），4320＞4200．答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．31．【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；∴，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；（2）由题意得：（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，整理得：x2﹣10x+9＝0，解得：x1＝1．x2＝9，∵让顾客得到更大的实惠，∴x＝9，答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．32．【解答】解：设平均增长率为x，根据题意列方程得30（1+x）2＝36.3解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍）答：我国外贸进出口总值的年平均增长率为10%．33．【解答】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，5（1+x）2＝7.2，解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（万册），到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：×100%＝10%，答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．34．【解答】解：设小路的宽应为xm，根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，解得：x1＝1，x2＝16．∵16＞9，∴x＝16不符合题意，舍去，∴x＝1．答：小路的宽应为1m．35．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程可化为x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．36．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．37．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，解得：m＝1．38．【解答】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，整理，得：x2﹣360x+32400＝0，解得：x1＝x2＝180．180＜200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．39．【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意，得：6（1+x）2＝17.34，解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．40．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数。
2020年中考数学人教版专题复习：一元二次方程(组)
2020年中考数学人教版专题复习：一元二次方程（组）考点精析一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是0ax b +=（,a b 是常数且0a ≠）． 典例精析典例1 下列方程中，是一元一次方程的是 A ．243x x -= B ．0x = C ．21x y +=D ．11x x-=【答案】B【解析】对于A ，243x x -=的未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程，故A 错误； 对于B ，0x =符合一元一次方程的定义，故B 正确； 对于C ，21x y +=是二元一次方程，故C 错误； 对于D ，11x x-=，分母中含有未知数，是分式方程，故D 错误． 故选B ．【名师点睛】本题考查了一元一次方程，解答此题明确一元一次方程的定义是关键．一元一次方程是指只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程就叫做一元一次方程.据此逐项分析再选择即可． 拓展1．若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数解一元一次方程解一元一次方程的主要步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1． 典例精析典例2 x =-5是下列哪个方程的解 A ．x -1=6B ．2x -5=2C ．2-3x =17D ．x 2-1=26【答案】C【解析】把x=-5代入2-3x=17得：左边=2+15=17，右边=17，∵左边=右边，∴x=-5是方程2-3x=17的解，故选C．【名师点睛】本题主要考查方程的根，关键在于等式的性质应用．拓展2．如果30a+=，那么a的值是A．3B．3-C．13D．13-3．方程2y-12=12y-中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是53y=-.这个常数应是A．1 B．2C．3 D．4一元一次方程的应用列方程解实际应用题的一般步骤：（1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设：恰当设出关键未知数；（3）列：找出适当等量关系，列方程；（4）解：解方程；（5）验：检验所解值是否正确或是否符合实际意义；（6）答：规范作答，注意单位名称．典例精析典例3 今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍．设今年儿子的年龄为x岁，则下列式子正确的是A．4x-5=3（x-5）B．4x+5=3（x+5）C．3x+5=4（x+5）D．3x-5=4（x-5）【答案】D【解析】设今年儿子的年龄为x岁，则今年父亲的年龄为3x岁，依题意，得：3x-5=4（x-5）．故选D ．【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 拓展4．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个．若分配x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是 A ．(22162)7x x =-B ．(16222)7x x =-C ．2162227()x x ⨯=-D ．2221627()x x ⨯=-二元一次方程（组）的定义（1）二元一次方程应满足：①含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③是整式方程．（2）由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组． 典例精析典例4 下列方程中，是二元一次方程的是 A ．345x y z += B ．20xy += C ．231y x+=D ．142y x -=【答案】D【解析】A 、345x y z +=，不是二元一次方程，因为含有3个未知数； B 、20xy +=，不是二元一次方程，因为其最高次数为2；C 、231y x+=，不是二元一次方程，因为不是整式方程； D 、142y x -=，是二元一次方程．故选D ．典例5 下列方程中，是二元一次方程组的是A ．4237x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．23225412a b x c -=⎧⎨-=⎩C ．245x x y ⎧=⎨+=⎩D ．75x y xy +=⎧⎨=⎩【答案】A【解析】根据定义可以判断：A 、4237x y x y +=⎧⎨+=⎩，满足要求；B 、23225412a b x c -=⎧⎨-=⎩中含有a ，b ，c ，是三元方程；C 、245x x y ⎧=⎨+=⎩中含有2x ，是二次方程；D 、275x y x y +=⎧⎨-=⎩中含xy ，是二次方程．故选A ．【名师点评】二元一次方程组的三个必需条件：（1）含有两个未知数；（2）每个含未知数的项次数为1；（3）每个方程都是整式方程． 拓展5．若方程234mx y x -=+是关于x y ，的二元一次方程，则m 满足 A ．2m ≠- B ．0m ≠ C ．3m ≠D ．4m ≠解二元一次方程组二元一次方程组的两种解法：①加减消元法；②代入消元法． 典例精析典例6 方程组3142x y y x +==⎧⎨⎩的解是_______________．【答案】24x y =⎧⎨=⎩【解析】3142x y y x +==⎧⎨⎩①②，把②代入①得614x x +=，解得2x =，把2x =代入②得4y =，故方程组3142x y y x +==⎧⎨⎩的解为24x y =⎧⎨=⎩．故填24x y =⎧⎨=⎩．典例7 方程组23738x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是_______________．【答案】51x y =⎧⎨=-⎩【解析】23738x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，用①+②得315x =，即5x =，把5x =代入②得538y -=，解得1y =-，所以方程组23738x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为51x y =⎧⎨=-⎩，故填51x y =⎧⎨=-⎩．拓展6．二元一次方程组632x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解是A ．51x y =⎧⎨=⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．51x y =-⎧⎨=-⎩D ．42x y =-⎧⎨=-⎩7．已知⎩⎨⎧==b y a x 是方程组⎩⎨⎧=+=-5202y x y x 的解，则3a b -=_______________． 二元一次方程组的应用由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤： ①弄清题意；②找准题中的两个等量关系；③设出合适的未知数；④根据找到的等量关系列出两个方程并联立成二元一次方程组．典例精析典例8 母亲节那天，很多同学给自己的妈妈准备了鲜花和礼盒，由图中信息可知一束鲜花的价格是_______________元．【答案】15【解析】设一束鲜花x元，一个礼盒y元，由题意可得2552390x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得1520xy=⎧⎨=⎩，所以一束鲜花15元．故填15．典例9 《九章算术》中记载：“今有善田一亩，价三百+器田七亩，价五百．今并买一頃，价钱一万．问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱．今共买好，坏田1顷（1顷=100亩），价线10000钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x南，坏田买了y亩，根意可列方程组为A．300500100100007x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B．100500300100007x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩C．3100500300100007x yx y+==⎧⎪⎨+=⎪⎩D．100300500100007x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩【答案】B【解析】1顷=100亩，设好田买了x亩，坏田买了y亩，依题意有：100500 300100007x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩．故选B．【名师点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组．拓展8．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为_______________．9．某货运公司有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货29吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货31吨．I ．请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨；Ⅱ．目前有46.4吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共10辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费500元，每辆小货车一次运货花费300元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？ 同步测试1．若方程270a x --=是一元一次方程，则a 等于 A ．3- B ．3 C ．3±D ．02．已知等式325a b =+，则下列等式中不一定成立的是 A ．352a b -=B ．3126a b +=+C ．325ac bc =+D ．2533a b =+ 3．已知7x =是方程27x ax -=的解，则a = A ．1B ．2C ．3D ．74．如果230a +=，那么a 的值是A ．32 B ．32-C ．23D ．23-5．下列方程组中是二元一次方程组的是A ．12xy x y =⎧⎨+=⎩B ．52313x y y x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩CD6．若2153x -=与115kx -=的解相同，则k 的值为 A ．8B ．6C ．-2D ．27．某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店 A ．不赔不赚 B ．赚了10元 C ．赔了10元D ．赚了50元8．用加减法解方程组4519433x y x y +=⎧⎨-=⎩消去未知数x 得到的方程是A ．216y =B ．222y =C ．816y =D ．822y =9．已知方程521m n -=，当m 与n 相等时，m 与n 的值分别是 A ．22m n =⎧⎨=⎩B ．33m n =-⎧⎨=-⎩C ．11m n =-⎧⎨=-⎩D10．若二元一次方程组3354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为x ay b =⎧⎨=⎩，则a -b 的值为A ．1B ．3C ．14-D ．7411．如果x my n =⎧⎨=⎩是方程20x y +=的一个解（0m ≠），那么 A ．0m ≠，0n = B ．m ，n 异号C ．m ，n 同号D ．m ，n 可能同号，也可能异号12．某工程队铺设一条480米的景观路，开工后，由于引进先进设备，工作效率比原计划提高50%，结果提前4天完成任务．若设原计划每天铺设x 米，根据题意可列方程为 A ．4804804(150%)x x -=+B ．4804804(150%)x x -=- C ．4804804(150%)x x-=+ D ．4804804(150%)x x-=-13．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x ，宽为y ，则依据题意可得二元一次方程组为A ．153x y x y+=⎧⎨=⎩B ．1523x y x y+=⎧⎨=⎩C ．1523x y x x y -=⎧⎨=+⎩D ．21523x y x x y -=⎧⎨=+⎩14．古代“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索．索比竿子长一托，折回索却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索．用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．则绳索和竿长分别为 A ．30尺和15尺 B ．25尺和20尺 C ．20尺和15尺D ．15尺和10尺15．若33125m n x y --=﹣是二元一次方程，则m =_______________，n =_______________．16．方程2x -4=0的解是__________．17．一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20%，则这件衣服的进价是_______________元．18．若方程x -y =-1的一个解与方程组221x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解相同，则k 的值为__________．19．为配合枣庄市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小丽同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小丽同学不买卡直接购书，则她需付款__________元． 20．已知234||x y -+与25)2(x y -+互为相反数，则2017()y x -=_______________．21．植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树苗3棵，女生每人种树苗2棵，则男同学的人数为__________人．22．若二元一次方程组232x y mx y m+=+⎧⎨+=⎩的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为_______________．23．对于方程123x x--=1，某同学解法如下：解：方程两边同乘6，得3x-2（x-1）=1①，去括号，得3x-2x-2=1②，合并同类项，得x-2=1③，解得x=3④，∴原方程的解为x=3⑤，（1）上述解答过程中的错误步骤有__________（填序号）；（2）请写出正确的解答过程．24．解方程组：（1）52311x yx y+=⎧⎨+=⎩；（2）⎩⎨⎧=-=+331yxyx；（3）34150275x yx y+=⎧⎨+=⎩；（4）7541x yx y-=⎧⎨+=-⎩.25．某书店购进甲、乙两种图书共100本，甲、乙两种图书的进价分别为每本15元、35元，甲、乙两种图书的售价分别为每本20元、45元．（1）若书店购书恰好用了2300元，求购进的甲、乙图书各多少本？（2）销售时，甲图书打8.5折，乙图书不打折．若甲、乙两种图书全部销售完后共获利15，求购进的甲、乙图书各多少本？。
初三数学一元二次方程解法整理,附全面解析
初三数学一元二次方程解法整理，附全面解析1一元二次方程详细的解法配方法(可解全部一元二次方程)如：解方程：x^2-4x+3=0把常数项移项得：x^2-4x=-3等式两边同时加1(构成完全平方式)得：x^2-4x+4=1因式分解得：(x-2)^2=1解得：x1=3,x2=1小口诀：二次系数化为一;常数要往右边移;一次系数一半方;两边加上最相当。
公式法(可解全部一元二次方程)首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b^2-4ac0时 x有两个不相同的实数根当判断完成后,若方程有根可根属于第2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√(b^2-4ac)}/2a来求得方程的根关于高三数学中一个二次方程的解法，我也更新了自己非常有效的学习经验，包括如何调动孩子的学习积极性，自主学习，思维提升等等。
欢迎来我的主页看更多分析！尤其是首页的第一篇文章，我花了很多时间总结整理！希望能帮到你！因式分解法(可解部分一元二次方程)(因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。
如：解方程：x^2+2x+1=0利用完全平方公式因式分解得：(x+1﹚^2=0解得：x1=x2=-1代数法(可解全部一元二次方程)ax^2+bx+c=0同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错,应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X/y^2-b^2/4+c=0 y=±√[(b^2*3)/4+c] X/y=±√[(b^2)/4+c]2初三数学学习方法提高数学思维在复习过程中，系统复习初中数学知识后，以反复练习和测试为主，充分发挥学生的主体作用，使学生掌握各种题型的解题方法和技巧，提高学生的综合解题能力。
2020年中考数学试卷分类汇编：一元二次方程及其应用(1)解析
3一．选择题（共 26 小题）1．（2020•随州）用配方法解一元二次方程 x 2﹣6x ﹣4=0，下列变形正确的是（）A ． （x ﹣6）2=﹣4+36B ． （x ﹣6）2=4+36C ． （x ﹣3）2=﹣4+9D ． （x ﹣3）2=4+92．（2020•安顺）三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 x 2﹣12x +35=0 的根，则该三角形的周长为（）A ． 14B ． 12C ． 12 或 14D ． 以上都不对3．（2020•广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x 2﹣7x +10=0 的两根，则该等腰三角形的周长是（）A ． 12B ． 9C ． 13D ． 12 或 94．（2020•广州）已知 2 是关于 x 的方程 x 2﹣2mx +3m =0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（）A ． 10B ． 14C ． 10 或 14D ． 8 或 105．（2020•烟台）如果 x 2﹣x ﹣1=（x +1） ，那么 x 的值为（ ）A ． 2 或﹣1B ． 0 或 1C ． 2D ． ﹣16．（2020•山西）我们解一元二次方程 3x 2﹣6x =0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为 3x （x ﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程： x =0 或 x ﹣2=0，进而得到原方程的解为 x 1=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是（）（（ x +A ． 转化思想B ． 函数思想C ． 数形结合思想D ． 公理化思想7．（2020•贵港）若关于 x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x +2=0有实数根，则整数 a 的最大值为（）A ． ﹣1B ． 0C ． 1D ． 28． 2020•河北）若关于 x 的方程 x 2+2x +a =0 不存在实数根，则 a 的取值范围是（）A ． a ＜1B ． a ＞1C ． a ≤1D ． a ≥19．（2020•张家界）若关于 x 的一元二次方程 kx 2﹣4x +3=0有实数根，则 k 的非负整数值是（）A ． 1B ． 0，1C ． 1，2D ． 1，2，310．（2020•达州）方程（m ﹣2）x 2﹣ x + =0 有两个实数根，则 m 的取值范围（）A ． m ＞B ． m ≤ 且 m ≠2C ． m ≥3D ． m ≤3 且 m ≠211． 2020•攀枝花）关于 x 的一元二次方程（m ﹣2）2 （2m +1）x +m ﹣2﹣0 有两个不相等的正实数根，则 m 的取值范围是（）A ． m ＞B ． m ＞ 且 m ≠2C ． ﹣ ＜m ＜2D ．＜m ＜212．（2020•安顺）若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一13．（2020•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=114．（2020•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n 的值为（）A．9B．10C．9或10D．8或10 15．（2020•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m ﹣1）2+（n ﹣1）2≥2；③﹣1≤2m ﹣2n ≤1，其中正确结论的个数是（）A ． 0 个B ． 1 个C ． 2 个D ． 3 个16．（2020•广西）已知实数 x 1，x 2 满足 x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以 x 1，x 2 为根的一元二次方程是（）A ． x 2﹣7x +12=0B ． x 2+7x +12=0C ． x 2+7x ﹣12=0D ． x 2﹣7x ﹣12=017．（2020•怀化）设 x 1，x 2 是方程 x 2+5x ﹣3=0 的两个根，则 x 12+x 22 的值是（）A ． 19B ． 25C ． 31D ． 3018．（2020•酒泉）今年来某县加大了对教育经费的投入， 2013 年投入 2500 万元，2020 年投入 3500 万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为 x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A ． 2500x 2=3500B ． 2500（1+x ）2=3500C ． 2500（1+x %）2=3500D ． 2500（1+x ）+2500（1+x ）2=350019．（2020•衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼 房之间，设置一块面积为 900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 10 米．设绿地的宽为 x 米，根据题意，可列方程为（）A ． x （x ﹣10）=900B ． x （x +10）=900C ． 10（x +10）=900 D ． 2[x +（x +10）]=90020．（2020•兰州）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x= D．1+2x=21．（2020•益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）A．20（1+2x）=80B．2×20（1+x）=80C．20（1+x2）=80D．20（1+x）2=8022．（2020•巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315B．560（1﹣x）2=315C．560（1﹣2x）2=315D．560（1﹣x2）=315 23．（2020•宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（）A．x2+9x﹣8=0B．x2﹣9x﹣8=0C．x2﹣9x+8=0D．2x2﹣9x+8=024．（2020•哈尔滨）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2．设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是（）A．x（x﹣60）=1600B．x（x+60）=1600C．60（x+60）=1600D．60（x﹣60）=1600 25．（2020•日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20%B．40%C．﹣220%D．30%26．（2014•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（）A．1B．﹣1C．0D．﹣2(1)参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．（2020•随州）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9考点：解一元二次方程-配方法．菁优网版权所有分析：根据配方法，可得方程的解．解答：解：x2﹣6x﹣4=0，移项，得x2﹣6x=4，配方，得（x﹣3）2=4+9．故选：D．点评：本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．2．（2020•安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14B．12C．12或14D．以上都不对考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．菁优网版权所有分析： 易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排 除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．解答： 解：解方程 x 2﹣12x +35=0 得：x =5 或 x =7．当 x =7 时，3+4=7，不能组成三角形；当 x =5 时，3+4＞5，三边能够组成三角形．∴该三角形的周长为 3+4+5=12，故选 B ．点评： 本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一 定要先判断是否能构成三角形．3．（2020•广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x 2﹣7x +10=0 的两根，则该等腰三角形的周长是（）A ． 12B ． 9C ． 13D ． 12 或 9考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等 腰三角形的性质．菁优网版权所有分析： 求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即 可．解答： 解：x 2﹣7x +10=0，（x ﹣2）（x ﹣5）=0，x ﹣2=0，x ﹣5=0，x 1=2，x 2=5，①等腰三角形的三边是 2，2，5x∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是 2，5，5，此时符合三角形三边关系 定理，三角形的周长是 2+5+5=12； 即等腰三角形的周长是 12．故选：A ．点评： 本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三 角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边 长．4．（2020•广州）已知 2 是关于 x 的方程 x 2﹣2mx +3m =0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（）A ． 10B ． 14C ． 10 或 14D ． 8 或 10考点： 解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解； 三角形三边关系；等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析： 先将 x =2 代入 x 2﹣2mx +3m =0，求出 m =4，则方程即为 x 2﹣8x +12=0，利用因式分解法求出方程的根 x 1=2，2=6，分两种情况：①当 6 是腰时，2 是等边；②当 6 是底边时，2 是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理 进行检验．解答： 解：∵2 是关于 x 的方程 x 2﹣2mx +3m =0 的一个根，∴22﹣4m +3m =0，m =4，∴x 2﹣8x +12=0，解得 x 1=2，x 2=6．①当 6 是腰时，2 是等边，此时周长=6+6+2=14；②当 6 是底边时，2 是腰，2+2＜6，不能构成三角形． 所以它的周长是 14．故选 B ．点评： 此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方 程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性 质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．5．（2020•烟台）如果 x 2﹣x ﹣1=（x +1） ，那么 x 的值为（ ）A ． 2 或﹣1B ． 0 或 1C ． 2D ． ﹣1考点： 解一元二次方程-因式分解法；零指数幂．菁优网版 权所有分析： 首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而 利用因式分解法解方程得出即可．解答： 解：∵x 2﹣x ﹣1=（x +1）0，∴x 2﹣x ﹣1=1，即（x ﹣2）（x +1）=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1，当 x =﹣1 时，x +1=0，故 x ≠﹣1，故选：C ．3 点评： 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及零指数幂的性质，注意 x +1≠0 是解题关键．6．（2020•山西）我们解一元二次方程 3x 2﹣6x =0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为 3x （x ﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程： x =0 或 x ﹣2=0，进而得到原方程的解为 x 1=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是（）A ． 转化思想B ． 函数思想C ． 数形结合思想D ． 公理化思想考点： 解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有专题： 计算题．分析： 上述解题过程利用了转化的数学思想．解答： 解：我们解一元二次方程 3x 2﹣6x =0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为 3x （x ﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x =0 或 x ﹣2=0，进而得到原方程的解为 x 1=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选 A ．点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握 因式分解的方法是解本题的关键．7．（2020•贵港）若关于 x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x +2=0有实数根，则整数 a 的最大值为（）A ． ﹣1B ． 0C ． 1D ． 2（考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有分析： 由关于 x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x +2=0 有实数根，则 △a ﹣1≠0，且 ≥0，即△=（﹣2）2﹣8（a ﹣1）=12﹣8a ≥0，解不等式得到 a 的取值范围，最后确定 a 的最大整数值．解答： 解：∵关于 x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x +2=0 有实数根，∴△=（﹣2）2﹣8（a ﹣1）=12﹣8a ≥0 且 a ﹣1≠0，∴a ≤ 且 a ≠1，∴整数 a 的最大值为 0．故选：B ．点评： 本题考查了一元二次方程 ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4△ac ．当 ＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0， 方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和不等式的 特殊解．8． 2020•河北）若关于 x 的方程 x 2+2x +a =0 不存在实数根，则 a 的取值范围是（）A ． a ＜1B ． a ＞1C ． a ≤1D ． a ≥1考点： 根的判别式．菁优网版权所有分析：根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．解答：解：∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，∴b2﹣4ac=22﹣4×1×a＜0，解得：a＞1．故选B．点评：此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．9．（2020•张家界）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）A．1B．0，1C．1，2D．1，2，3考点：根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有分析：根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．解答：解：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，则k的非负整数值为1．故选：A．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4△ac．当＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根10．（2020•达州）方程（m﹣2）x 2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（）A．m＞B．m≤且m≠2C．m≥3D．m≤3且m≠2考点：根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，然后解不等式组即可．解答：解：根据题意得，解得m≤且m≠2．（ x +故选 B ．点评： 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（△a ≠0）的根与 =b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0 时，方程有两 个相等的两个实数根；当△＜0 时，方程无实数根．11． 2020•攀枝花）关于 x 的一元二次方程（m ﹣2）2 （2m +1）x +m ﹣2﹣0 有两个不相等的正实数根，则 m 的取值范围是（）A ． m ＞B ． m ＞ 且 m ≠2C ． ﹣ ＜m ＜2D ．＜m ＜2考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所 有专题： 计算题．分析： 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m ﹣2≠0 且 =（△2m +1）2﹣4（m ﹣2）（m ﹣2）＞0，解得 m ＞ 且m ≠2，再利用根与系数的关系得到﹣ ＞0，则 m ﹣2＜0 时，方程有正实数根，于是可得到 m 的取值范围为 ＜m ＜2．解答： 解：根据题意得 m ﹣2≠0 且△=（2m +1）2﹣4（m ﹣2）（m ﹣2）＞0，解得 m ＞ 且 m ≠2，设方程的两根为a、b，则a+b=﹣＞0，ab==1＞0，而2m+1＞0，∴m﹣2＜0，即m＜2，∴m的取值范围为＜m＜2．故选D．点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（△a≠0）的根与=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．12．（2020•安顺）若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一考点：根的判别式；一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有分析：根据判别式的意义得到△=（﹣2）2+4m＜0，解得m ＜﹣1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数y=（m+1）x+m﹣1图象经过的象限．解答：解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m）=4+4m＜0，∴m＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m﹣1＜﹣1﹣1，即m﹣1＜﹣2，∴一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第一象限，故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4△ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．13．（2020•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1考点：根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．菁优网版权所有Ax x分析： 利用根的判别式判断 A ；利用根与系数的关系判断B ；利用一元二次方程的解的定义判断C 与D ．解答： 解： 、如果方程 M 有两个相等的实数根，那么△=b 2﹣4ac =0，所以方程 N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B 、如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同，那么△=b 2﹣4ac ≥0， ＞0，所以 a 与 c 符号相同， ＞0，所以方程 N 的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C 、如果 5 是方程 M 的一个根，那么 25a +5b +c =0，两边同时除以 25，得 c + b +a =0，所以 是方程 N 的一个根，结论正确，不符合题意；D 、如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么ax 2+bx +c =cx 2+bx +a ，（a ﹣c ） 2=a ﹣c ，由 a ≠c ，得 x 2=1， =±1， 结论错误，符合题意；故选 D ．点评： 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关 系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个 相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．14．（2020•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n 的值为（）A．9B．10C．9或10D．8或10考点：根的判别式；一元二次方程的解；等腰直角三角形．菁优网版权所有分析：由三角形是等腰直角三角形，得到①a=2，或b=2，②a=b①当a=2，或b=2时，得到方程的根x=2，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0即可得到结果；②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，由△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0可的结果．解答：解：∵三角形是等腰直角三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，①当a=2，或b=2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，∴x=2，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意，②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣6）2﹣4（n ﹣1）=0解得：n =10，故选 B ．点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质，一元二次方程 的根，一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想的应用．15．（2020•南充）关于 x 的一元二次方程 x 2+2mx +2n =0有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次方程y 2+2ny +2m =0 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m ﹣1）2+（n ﹣1）2≥2；③﹣1≤2m ﹣2n ≤1，其中正确结论的个数是（）A ． 0 个B ． 1 个C ． 2 个D ． 3 个考点： 根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有 专题： 计算题．分析： ①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出 m 2﹣2n ≥0以及 n 2﹣2m ≥0，进而得解；③可以采用举例反证的方法解决，据此即可得解．解答： 解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x 1•x 2=2n ＞0，y 1•y 2=2m ＞0，y 1+y 2=﹣2n ＜0，x 1+x 2=﹣2m ＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=b 2﹣4ac =4m 2﹣8△n ≥0， =b 2﹣4ac =4n 2﹣8m ≥0，4m 2﹣8n =m 2﹣2n ≥0，4n 2﹣8m =n 2﹣2m ≥0，m 2﹣2m +1+n 2﹣2n +1=m 2﹣2n +n 2﹣2m +2≥2，（m ﹣1）2+（n ﹣1）2≥2，②正确；③∵y 1+y 2=﹣2n ，y 1•y 2=2m ，∴2m ﹣2n =y 1+y 2+y 1•y 2，∵y 1 与 y 2 都是负整数，不妨令 y 1=﹣3，y 2=﹣5，则：2m ﹣2n =﹣8+15=7，不在﹣1 与 1 之间，③错误，其中正确的结论的个数是 2，故选 C ．点评： 本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方 程的根的判别式，还考查了举例反证法，有一定的难度，注 意总结．16．（2020•广西）已知实数 x 1，x 2 满足 x 1+x 2=7，x 1x 2=12，则以 x 1，x 2 为根的一元二次方程是（）A ． x 2﹣7x +12=0B ． x 2+7x +12=0C ． x 2+7x ﹣12=0D ． x 2﹣7x ﹣12=0考点： 根与系数的关系．菁优网版权所有分析： 根据以 x 1，x 2 为根的一元二次方程是 x 2﹣（x 1+x 2）x +x 1，x 2=0，列出方程进行判断即可．解答： 解：以 x 1，x 2 为根的一元二次方程 x 2﹣7x +12=0，故选：A ．点评： 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握以 x 1，x 2 为根的一元二次方程是 x 2﹣（x 1+x 2）x +x 1，x 2=0 是具体点关键．17．（2020•怀化）设 x 1，x 2 是方程 x 2+5x ﹣3=0 的两个根，则 x 12+x 22 的值是（）A ． 19B ． 25C ． 31D ． 30考点： 根与系数的关系．菁优网版权所有分析： 根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得 x 1与 x 2 的和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解．解答： 解：∵x 1，x 2 是方程 x 2+5x ﹣3=0 的两个根，∴x 1+x 2=﹣5，x 1x 2=﹣3，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=25+6=31．故选：C ．点评： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关 系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 18．（2020•酒泉）今年来某县加大了对教育经费的投入， 2013 年投入 2500 万元，2020 年投入 3500 万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为 x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）2A ． 2500x 2=3500B ． 2500（1+x ）2=3500C ． 2500（1+x %）2=3500D ． 2500（1+x ）+2500（1+x ）2=3500考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有 专题： 增长率问题．分析： 根据 2013 年教育经费额×（1+平均年增长率）2=2020 年教育经费支出额，列出方程即可．解答： 解：设增长率为 x ，根据题意得 2500×（1+x ）=3500，故选 B ．点评： 本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为 a ，变化后的量为 b ，平均变化率为 x ，则经过两次变化后的数量关系为 a （1±x ）2=b ．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．19．（2020•衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼 房之间，设置一块面积为 900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 10 米．设绿地的宽为 x 米，根据题意，可列方程为（）A ． x （x ﹣10）=900B ． x （x +10）=900C ． 10（x +10）=900 D ． 2[x +（x +10）]=900考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有 专题： 几何图形问题．分析： 首先用 x 表示出矩形的长，然后根据矩形面积=长×宽列出方程即可．解答：解：设绿地的宽为x，则长为10+x；根据长方形的面积公式可得：x（x+10）=900．故选B．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，记住长方形面积=长×宽是解决本题的关键，此题难度不大．20．（2020•兰州）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x= D．1+2x=考点：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有专题：增长率问题．分析：股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．解答：解：设平均每天涨x．则90%（1+x）2=1，即（1+x）2=，故选B．点评：此题考查增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨x%后是原来价格的（1+x）倍．21．（2020•益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）A．20（1+2x）=80B．2×20（1+x）=80C．20（1+x2）=80D．20（1+x）2=80考点：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有专题：增长率问题．分析：根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）2=第三年的销售额，列出方程即可．解答：解：设增长率为x，根据题意得20（1+x）2=80，故选D．点评：本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．22．（2020•巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315B．560（1﹣x）2=315C．560（1﹣2x）2=315D．560（1﹣x2）=315考点：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有专题：增长率问题．分析：设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．解答：解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2=315，故选：B．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．23．（2020•宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（）A．x2+9x﹣8=0B．x2﹣9x﹣8=0C．x2﹣9x+8=0D．2x2﹣9x+8=0考点：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有专题：几何图形问题．分析：设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程．解答：解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（18﹣3x）（6﹣2x）=60，化简整理得，x2﹣9x+8=0．故选C．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米2得出等式是解题关键．24．（2020•哈尔滨）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2．设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是（）A．x（x﹣60）=1600B．x（x+60）=1600C．60（x+60）=1600D．60（x﹣60）=1600考点：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有专题：几何图形问题．分析：设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据“扩大后的绿地面积比原来增加1600m2”建立方程即可．解答：解：设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据题意得x2﹣60x=1600，即x（x﹣60）=1600．故选A．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．25．（2020•日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20%B．40%C．﹣220%D．30%考点：一元二次方程的应用．菁优网版权所有专题：增长率问题．分析： 首先设每年投资的增长率为 x ．根据 2014 年县政府已投资 5 亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计 2016 年投资 7.2 亿元人民币，列方程求解．解答： 解：设每年投资的增长率为 x ，根据题意，得：5（1+x ）2=7.2，解得：x 1=0.2=20%，x 2=﹣2.2（舍去），故每年投资的增长率为为 20%．故选：A ．点评： 此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为 a （1+x ）n ，其中 n为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，x 是增长率．26．（2014•菏泽）已知关于 x 的一元二次方程 x 2+ax +b =0有一个非零根﹣b ，则 a ﹣b 的值为（）A ． 1B ． ﹣1C ． 0D ． ﹣2考点： 一元二次方程的解．菁优网版权所有分析： 由于关于 x 的一元二次方程 x 2+ax +b =0 有一个非零根﹣b ，那么代入方程中即可得到 b 2﹣ab +b =0，再将方程两边同时除以 b 即可求解．解答： 解：∵关于 x 的一元二次方程 x 2+ax +b =0 有一个非零根﹣b ，∴b 2﹣ab +b =0，∵﹣b ≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，∴a﹣b=1．故选：A．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．。
一元二次方程解法例题
一元二次方程解法例题一、配方法例题1. 例题：解方程x^2+6x + 4 = 0。
- 首先呢，我们要把这个方程变成完全平方式的样子。
对于x^2+6x这部分，我们知道完全平方公式(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，这里a=x，2ab = 6x，那b就是3。
- 我们就在方程两边加上3^2，同时为了保持等式成立，也要在右边减去3^2。
方程就变成了x^2+6x+3^2+4 - 3^2=0。
- 也就是(x + 3)^2+4 - 9 = 0，进一步得到(x + 3)^2=5。
- 然后呢，开平方可得x+3=±√(5)。
- 最后解得x=-3±√(5)。
2. 再看一个例子，解方程2x^2-5x+1 = 0。
- 先把二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得到x^2-(5)/(2)x+(1)/(2)=0。
- 对于x^2-(5)/(2)x这部分，按照完全平方公式，2ab =-(5)/(2)x，a = x，所以b=-(5)/(4)。
- 方程两边加上(-(5)/(4))^2，同时右边也要减去(-(5)/(4))^2，就变成x^2-(5)/(2)x+(-(5)/(4))^2+(1)/(2)-(-(5)/(4))^2=0。
- 也就是(x-(5)/(4))^2+(1)/(2)-(25)/(16)=0，化简得到(x-(5)/(4))^2=(25)/(16)-(8)/(16)=(17)/(16)。
- 开平方得x-(5)/(4)=±(√(17))/(4)。
- 解得x=(5±√(17))/(4)。
二、公式法例题1. 例题：解方程x^2-3x - 4 = 0。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0（这里a = 1，b=-3，c = - 4），有个求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 先算判别式Δ=b^2-4ac，把a = 1，b=-3，c = - 4代入，得到Δ=(-3)^2-4×1×(-4)=9 + 16=25。
2020中考数学压轴题全揭秘精品专题03 一元二次方程及应用
2020中考数学压轴题全揭秘精品专题03一元二次方程及应用【考点1】一元二次方程的根的求值问题【例1】（2019•兰州）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6【答案】A【解析】把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，所以a+2b＝﹣1，所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故选：A．点睛:本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．【变式1-1】（2019•遂宁）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【答案】D【解析】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，∴a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，则a的值为：a＝﹣1．故选：D．点睛:此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．【变式1-2】（2019•甘肃）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0【答案】A【解析】把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．点睛:此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【考点2】配方法解一元二次方程【例2】（2019•南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7【答案】D【解析】方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，故选：D．点睛:此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式2-1】（2019•金华）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1【答案】A【解析】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，故选：A．点睛:此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【考点3】因式分解法解一元二次方程【例3】（2019•桂林）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是．【答案】x1＝3，x2＝2【解析】x﹣3＝0或x﹣2＝0，所以x1＝3，x2＝2．故答案为x1＝3，x2＝2．点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【变式3-1】（2019•十堰）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝．【答案】﹣3或4【解析】根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，（2m﹣1）2﹣49＝0，（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，所以m1＝﹣3，m2＝4．故答案为﹣3或4．点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【变式3-2】（2019•扬州）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是．【答案】x1＝2，x2＝1．【解析】x（x﹣2）＝x﹣2，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0，x﹣1＝0，x1＝2，x2＝1，故答案为：x1＝2，x2＝1．点睛:本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．【考点4】一元二次方程的判别式问题【例4】（2019•铁岭）若关于x的一元二次方程ax2﹣8x+4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．【答案】a＜4且a≠0【解析】由题意可知：△＝64﹣16a＞0，∴a＜4，∵a≠0，∴a＜4且a≠0，故答案为：a＜4且a≠0点睛:本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．【变式4-1】（2019•宁夏）已知一元二次方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围．【答案】k．【解析】∵方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即42﹣4×3×（﹣k）＞0，解得k，故答案为：k．点睛:本题考查根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．【变式4-2】（2019•黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，解得：m＝1．点睛:本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1﹣x2|＝4，找出关于m的一元一次方程．【考点5】一元二次方程的根与系数的关系问题【例5】（2019•十堰）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．【答案】(1) a＜2；(2) ﹣1，0，1．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．点睛:本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．【变式5-1】（2019•绥化）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．【答案】(1) k的取值范围为k(2) k的值为1．【解析】（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，解得：x，∴k＝0符合题意；当k≠0时，原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k．综上所述，k的取值范围为k．（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，∴x1+x2，x1x2．∵x1+x2+x1x2＝4，∴4，解得：k＝1，经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．∴k的值为1．点睛:本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的定义、解一元一次方程以及解分式方程，解题的关键是：（1）分k＝0及k≠0两种情况，找出k的取值范围；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2+x1x2＝4，找出关于k的分式方程．【考点6】一元二次方程的增长率问题【例6】（2019•大连）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？【答案】(1) 2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%(2) 预测2019年村该村的人均收入是26620元【解析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意得：20000（1+x）2＝24200，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．（2）24200×（1+10%）＝26620（元）．答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．点睛:本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．【变式6-1】（2019•贺州）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？【答案】(1) 该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%(2) 2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元【解析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意，得：2500（1+x）2＝3600，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．（2）3600×（1+20%）＝4320（元），4320＞4200．答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【考点7】一元二次方程的面积问题【例7】（2019•徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？【答案】当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．【解析】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，整理，得：2x2﹣25x+50＝0，解得：x1，x2＝10．当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式7-1】（2019•襄阳）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？【答案】小路的宽应为1m．【解析】设小路的宽应为xm，根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，解得：x1＝1，x2＝16．∵16＞9，∴x＝16不符合题意，舍去，∴x＝1．答：小路的宽应为1m．点睛:本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．【考点8】一元二次方程的销售问题【例8】（2019•东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？【答案】这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．【解析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，整理，得：x2﹣360x+32400＝0，解得：x1＝x2＝180．180＜200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式8-1】（2019•安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？【答案】商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．【解析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；∴，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；（2）由题意得：（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，整理得：x2﹣10x+9＝0，解得：x1＝1．x2＝9，∵让顾客得到更大的实惠，∴x＝9，答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．点睛:本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键．1．（2019•滨州）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3【答案】D【解析】x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4，（x﹣2）2＝3，故选：D．点睛:本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．2．（2019•营口）若关于x的方程kx2﹣x0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＝0 B．k且k≠0 C．k D．k【答案】C【解析】当k≠0时，△＝1+4k1+3k≥0，∴k，∴k且k≠0，当k＝0时，此时方程为﹣x0，满足题意，故选：C．点睛:本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型．3．（2019•丹东）等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（）A．8 B．9 C．8或9 D．12【答案】B【解析】当等腰三角形的底边为2时，此时关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的有两个相等实数根，∴△＝36﹣4k＝0，∴k＝9，此时两腰长为3，∵2+3＞3，∴k＝9满足题意，当等腰三角形的腰长为2时，此时x＝2是方程x2﹣6x+k＝0的其中一根，∴4﹣12+k＝0，∴k＝8，此时另外一根为：x＝4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，综上所述，k＝9，故选：B．点睛:本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．4．（2019•包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或36【答案】A【解析】当a＝4时，b＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+b＝12，∴b＝8不符合；当b＝4时，a＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴4+a＝12，∴a＝8不符合；当a＝b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，∴12＝2a＝2b，∴a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34；故选：A．点睛:本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．5．（2019•荆州）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】A【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴△＝k2﹣4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．点睛:本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．6．（2019•遵义）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】D【解析】∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，∴x12﹣3x1+1＝0，∴x12＝3x1﹣1，∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．点睛:本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．7．（2019•鸡西）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意，得：1+x+x2＝43，解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．故选：C．点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2019•朝阳）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【答案】A【解析】∵△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根．故选：A．点睛:本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．9．（2019•湘潭）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（）A．4 B．2 C．1 D．﹣4【答案】A【解析】∵方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0，故选：A．点睛:本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键．10．（2019•资阳）a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是．【答案】8【解析】∵a是方程2x2＝x+4的一个根，∴2a2﹣a＝4，∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．故答案为：8．点睛:此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．11.（2019•济宁）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是．【答案】﹣2【解析】∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，∴x1x22，∴1×x2＝﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故答案为﹣2．点睛:此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．12．（2019•抚顺）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．【答案】k≠0且k≤1【解析】由题意可知：△＝4﹣4k≥0，∴k≤1，∵k≠0，∴k≠0且k≤1，故答案为：k≠0且k≤1；点睛:本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．13．（2019•青海）某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为．【答案】10%【解析】设平均每次降价的百分比是x，根据题意得：60（1﹣x）2＝48.6，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），答：平均每次降价的百分比是10%；故答案为：10%．点睛:本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．14．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为．【答案】20%【解析】设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去）．答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%．故答案是：20%．点睛:本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．15．（2019•呼和浩特）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．【答案】x1，x2．【解析】原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，x2x＝17，x2x17，（x）2，x±，所以x1，x2．点睛:本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．16．（2019•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．点睛:本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．17（2019•贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？【解析】（1）设这两年藏书的年均增长率是x，5（1+x）2＝7.2，解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（万册），到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：100%＝10%，答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．点睛:本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题．18．（2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【解析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝642000解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．所以3x＝90，2x＝60，答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．点睛:题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键．19．（2019•长沙）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？【解析】（1）设增长率为x，根据题意，得2（1+x）2＝2.42，解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．答：增长率为10%．（2）2.42（1+0.1）＝2.662（万人）．答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．点睛:本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．20．（2019•衡阳）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．【解析】（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k；（2）k的最大整数为2，方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m；当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，而m﹣1≠0，∴m的值为．点睛:本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．。
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∴x b
b2 4ac (2 5)
＝
(2 5)2 4 2 1 2 5 2 3
＝
2a
22
4
5 3
5 3
∴ x1 ＝ 2 ， x2 ＝ 2 。
（4）∵ (2x 1)2 3(2x 1) 2 0
∴[(2x 1) 1] [(2x 1) 2] 0
即 (2x 2)(2x 3) 0
解得： x1 ＝6.05， x2 ＝56.95（舍去）
同学们可放开思路，大胆设计。 跟踪训练： 一、填空题：
1、方程 x 2 5x 的根是
；方程 x(x 1) 2 的解是
。
2、设 (x 1)(x 2) 0 的两根为 x1 、 x2 ，且 x1 ＞ x2 ，则 x1 2x2 ＝
。
4
3、已知关于 x 的方程 4x 2 4kx k 2 0 的一个根是－2，那么 k ＝
用公式法解：
解：化方程为标准形式得： 2x 2 3x 2 0
∵ a ＝2， b ＝－3， c ＝－2
∴x b
b2 4ac (3)
＝
(3)2 4 2 (2) 3 5
＝
2a
22
4
∴
x1
＝2，
x2
＝
1 2
。
用配方法解：
解：化二次项系数为 1 得： x 2 3 x 1 2
两边同时加上一次项系数一半的平方得： x 2 3 x 3 1 2 1 3 1 2
2x 2 0或2x 3 0
∴
x1 ＝－1，
x2
＝
3 2
。
【例 3】已知 (a 2 b2 )2 (a 2 b2 ) 6 0 ，求 a 2 b2 的值。
分析：已知等式可以看作是以 a 2 b2 为未知数的一元二次方程，并注意 a 2 b2 的
值应为非负数。
解：把 a 2 b2 看作一个整体，分解因式得：[(a 2 b2 ) 3] [(a 2 b2 ) 2] 0
（4） (2x 1)2 3(2x 1) 2 0
分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜 用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。
解：（1）∵ 7(2x 3)2 28
∴ (2x 3)2 4
2x 3 2
2x 3 2
5
1
∴ x1 ＝ 2 ， x2 ＝ 2 。
∴ (a2 b2 ) 3 0 或 (a2 b2 ) 2 0
∴ a 2 b2 ＝3 或 a 2 b2 ＝－2
但是 a 2 b2 ＝－2 不符合题意，应舍去。
∴ a 2 b2 ＝3
3
探索与创新：
【问题一】解关于 x 的方程： (a 1)x 2 2ax a 0
分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当 a ＝1 时，是一元 一次方程；当 a ≠1 时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有 无实数解作进一步讨论。
五、已知三角形的两边长分别是方程 x 2 3x 2 0 的两根，第三边的长是方程 2x 2 5x 3 0 的根，求这个三角形的周长。
六、已知△ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x 2 (2k 3)x k 2 3k
2 0 的两个实数根，第三边 BC 的长是 5。 （1） k 为何值时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形； （2） k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长。
（2）∵ y 2 2 y 399 0
∴ y 2 2 y 399
y 2 2 y 1 399 1
( y 1)2 400
y 1 20
y 1 20
∴ y1 ＝21， y2 ＝－19。
（3）∵ 2x 2 1 2 5x
2
∴ 2x2 2 5x 1 0
∵ a ＝2， b ＝ 2 5 ， c ＝1
A、 k ≠－3 且 k ≠5 C、 k ＝5
B、 k ＝3 或 k ＝5 D、 k 为任意实数
5、如果 是方程 x 2 3x m 0 的一个根， 是方程 x 2 3x m 0 的一个根，那 么 的值等于（ ）
A、1 或 2 B、0 或－3
C、－1 或－2
D、0 或 3
三、解下列方程：
2 2 2
2 2
配方得： (x 3)2 25 4 16
开方得： x 3 5 44
移项得： x 3 5 44
1
∴
x1
＝2，
x2
＝
1 2
。
【例 2】选择适当的方法解下列方程：
（1） 7(2x 3)2 28 ；
（2） y 2 2 y 399 0
（3） 2x 2 1 2 5x ；
1、 x 2 5x 2 0 ；
5
2、 9(2x 3)2 4(2x 5)2 0
3、 x 2 5 x 6 0 ； x 1 x 1
4、 (6x 2 7x)2 2(6x 2 7x) 3
四、已知 a 、 b 是方程 x 2 3x 3 5 5 0 的两个正根， c 是方程 x 2 9 的正根，试 判断以 a 、 b 、 c 为边的三角形是否存在？并说明理由。
2020 中考数学精选例题解析：一元二次方程的解法
知识考点： 理解一元二次方程的概念及根的意义，掌握一元二次方程的基本解法，重点是配方
法和公式法，并能根据方程特点，熟练地解一元二次方程。 精典例题：
【例 1】分别用公式法和配方法解方程： 2x2 3x 2
分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。 用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为 1，再移常数项；②两边同时加上一次项 系数一半的平方。
a a ③当 a ＞0 且 a ≠1 时，原方程有两个不相等的实数根 x1，2 ＝ a 1 ；
【问题二】在一个 50 米长，30 米宽的矩形荒地上，要设计一全花坛，并要使花坛 所占的面积恰好为荒地面积的一半，试给出你的设计。
略解：设计方案各取所好，若按左图设计，则有： (50 2x)(30 2x) 1 50 30 2
。
4、 x 2 4 x 3
二、选择题：
＝ (x ________)2
1、用直接开平方法解方程 (x 3)2 8 ，得方程的根为（ ）
A、 x 3 2 3
B、 x 3 2 2
C、 x1 3 2 2 ， x2 3 2 2
D、 x1 3 2 3 ， x2 3 2 3
2、在实数范围内把 x 2 x 2 2 分解因式得（ ）
A、 (x 2)(x 1) 2
B、 (x 2)(x 1) 2
C、 (x 2)(x 1 2)
D、 (x 2)(x 1 2)
3、方程 x 2 3 x 2 0 的实数根有（ ）个
A、4
B、3
C、2 D、1
4、若关于 x 的方程 (k 2 15)x 2 k(2x 2 1) 5 有无穷多个解，则（ ）
x4
＝
1 6
四、不存在，因为 a b c
6
9 五、这个三角形的周长是 。
2 六、（1） k 2 ；（2） k 3 时周长为 14； k 4 时周长为 16。
7
参考答案
一、填空题：
42 1、 x1 ＝0， x2 ＝5； x1 ＝－2， x2 ＝1；2、0；3、 k ＝4；4、 9 ， 3
二、选择题：CCACD
三、解下列方程：
1、
x1 ＝
1 3
，
x2＝2；2、来自x1 ＝19 2，
x2
＝
1 10
；3、
x1 ＝
3 2
，
x2
＝2
4、
x1
＝
3 2
，
x2
＝
1 3
，
x3
＝1，
解：（1）当 a ＝1 时，原方程可化为： 2ax a 0 ，是一元一次方程，此时方 程的根为 x 1 ；
2 （2）当 a ≠1 时，原方程是一元二次方程。
∵判别式△＝ (2a)2 4a(a 1) ＝ 4a
∴①当 a ＜0 时，原方程没有实数根；
②当 a ＝0 时，原方程有两个相等的实数根 x1 ＝ x2 ＝0；