2020中考数学精选例题解析：一元二次方程的解法

（4） (2x 1)2 3(2x 1) 2 0
分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜 用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。
解：（1）∵ 7(2x 3)2 28
∴ (2x 3)2 4
2x 3 2
2x 3 2
5
1
∴ x1 ＝ 2 ， x2 ＝ 2 。
∴ (a2 b2 ) 3 0 或 (a2 b2 ) 2 0
∴ a 2 b2 ＝3 或 a 2 b2 ＝－2
但是 a 2 b2 ＝－2 不符合题意，应舍去。
∴ a 2 b2 ＝3
3
探索与创新：
【问题一】解关于 x 的方程： (a 1)x 2 2ax a 0
分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当 a ＝1 时，是一元 一次方程；当 a ≠1 时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有 无实数解作进一步讨论。
（2）∵ y 2 2 y 399 0
∴ y 2 2 y 399
y 2 2 y 1 399 1
( y 1)2 400
y 1 20
y 1 20
∴ y1 ＝21， y2 ＝－19。
（3）∵ 2x 2 1 2 5x
2
∴ 2x2 2 5x 1 0
∵ a ＝2， b ＝ 2 5 ， c ＝1
参考答案
一、填空题：
42 1、 x1 ＝0， x2 ＝5； x1 ＝－2， x2 ＝1；2、0；3、 k ＝4；4、 9 ， 3
二、选择题：CCACD
三、解下列方程：
1、
x1 ＝
1 3
，
x2
＝2；2、
x1 ＝
19 2
，
x2
＝
1 10
；3、
x1 ＝
3 2
，
x2
＝2
4、
x1
＝
3 2
，
x2
＝
1 3
，
x3
＝1，
∴x b
b2 4ac (2 5)
＝
(2 5)2 4 2 1 2 5 2 3
＝wk.baidu.com
2a
22
4
5 3
5 3
∴ x1 ＝ 2 ， x2 ＝ 2 。
（4）∵ (2x 1)2 3(2x 1) 2 0
∴[(2x 1) 1] [(2x 1) 2] 0
即 (2x 2)(2x 3) 0
A、 k ≠－3 且 k ≠5 C、 k ＝5
B、 k ＝3 或 k ＝5 D、 k 为任意实数
5、如果 是方程 x 2 3x m 0 的一个根， 是方程 x 2 3x m 0 的一个根，那 么 的值等于（ ）
A、1 或 2 B、0 或－3
C、－1 或－2
D、0 或 3
三、解下列方程：
2 2 2
2 2
配方得： (x 3)2 25 4 16
开方得： x 3 5 44
移项得： x 3 5 44
1
∴
x1
＝2，
x2
＝
1 2
。
【例 2】选择适当的方法解下列方程：
（1） 7(2x 3)2 28 ；
（2） y 2 2 y 399 0
（3） 2x 2 1 2 5x ；
解得： x1 ＝6.05， x2 ＝56.95（舍去）
同学们可放开思路，大胆设计。 跟踪训练： 一、填空题：
1、方程 x 2 5x 的根是
；方程 x(x 1) 2 的解是
。
2、设 (x 1)(x 2) 0 的两根为 x1 、 x2 ，且 x1 ＞ x2 ，则 x1 2x2 ＝
。
4
3、已知关于 x 的方程 4x 2 4kx k 2 0 的一个根是－2，那么 k ＝
解：（1）当 a ＝1 时，原方程可化为： 2ax a 0 ，是一元一次方程，此时方 程的根为 x 1 ；
2 （2）当 a ≠1 时，原方程是一元二次方程。
∵判别式△＝ (2a)2 4a(a 1) ＝ 4a
∴①当 a ＜0 时，原方程没有实数根；
②当 a ＝0 时，原方程有两个相等的实数根 x1 ＝ x2 ＝0；
用公式法解：
解：化方程为标准形式得： 2x 2 3x 2 0
∵ a ＝2， b ＝－3， c ＝－2
∴x b
b2 4ac (3)
＝
(3)2 4 2 (2) 3 5
＝
2a
22
4
∴
x1
＝2，
x2
＝
1 2
。
用配方法解：
解：化二次项系数为 1 得： x 2 3 x 1 2
两边同时加上一次项系数一半的平方得： x 2 3 x 3 1 2 1 3 1 2
2020 中考数学精选例题解析：一元二次方程的解法
知识考点： 理解一元二次方程的概念及根的意义，掌握一元二次方程的基本解法，重点是配方
法和公式法，并能根据方程特点，熟练地解一元二次方程。 精典例题：
【例 1】分别用公式法和配方法解方程： 2x2 3x 2
分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。 用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为 1，再移常数项；②两边同时加上一次项 系数一半的平方。
2x 2 0或2x 3 0
∴
x1 ＝－1，
x2
＝
3 2
。
【例 3】已知 (a 2 b2 )2 (a 2 b2 ) 6 0 ，求 a 2 b2 的值。
分析：已知等式可以看作是以 a 2 b2 为未知数的一元二次方程，并注意 a 2 b2 的
值应为非负数。
解：把 a 2 b2 看作一个整体，分解因式得：[(a 2 b2 ) 3] [(a 2 b2 ) 2] 0
五、已知三角形的两边长分别是方程 x 2 3x 2 0 的两根，第三边的长是方程 2x 2 5x 3 0 的根，求这个三角形的周长。
六、已知△ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x 2 (2k 3)x k 2 3k
2 0 的两个实数根，第三边 BC 的长是 5。 （1） k 为何值时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形； （2） k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长。
a a ③当 a ＞0 且 a ≠1 时，原方程有两个不相等的实数根 x1，2 ＝ a 1 ；
【问题二】在一个 50 米长，30 米宽的矩形荒地上，要设计一全花坛，并要使花坛 所占的面积恰好为荒地面积的一半，试给出你的设计。
略解：设计方案各取所好，若按左图设计，则有： (50 2x)(30 2x) 1 50 30 2
。
4、 x 2 4 x 3
二、选择题：
＝ (x ________)2
1、用直接开平方法解方程 (x 3)2 8 ，得方程的根为（ ）
A、 x 3 2 3
B、 x 3 2 2
C、 x1 3 2 2 ， x2 3 2 2
D、 x1 3 2 3 ， x2 3 2 3
2、在实数范围内把 x 2 x 2 2 分解因式得（ ）
1、 x 2 5x 2 0 ；
5
2、 9(2x 3)2 4(2x 5)2 0
3、 x 2 5 x 6 0 ； x 1 x 1
4、 (6x 2 7x)2 2(6x 2 7x) 3
四、已知 a 、 b 是方程 x 2 3x 3 5 5 0 的两个正根， c 是方程 x 2 9 的正根，试 判断以 a 、 b 、 c 为边的三角形是否存在？并说明理由。
x4
＝
1 6
四、不存在，因为 a b c
6
9 五、这个三角形的周长是 。
2 六、（1） k 2 ；（2） k 3 时周长为 14； k 4 时周长为 16。
7
A、 (x 2)(x 1) 2
B、 (x 2)(x 1) 2
C、 (x 2)(x 1 2)
D、 (x 2)(x 1 2)
3、方程 x 2 3 x 2 0 的实数根有（ ）个
A、4
B、3
C、2 D、1
4、若关于 x 的方程 (k 2 15)x 2 k(2x 2 1) 5 有无穷多个解，则（ ）