第二十二章二次函数教学目标
初中数学九年级上册第二十二章 二次函数二次函数的概念教案
二次函数的概念柏树中心校：陈锡教学目标1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.2.会利用二次函数的概念解决问题.3.会列二次函数表达式解决实际问题.教学重点：掌握二次函数的概念和一般形式教学难点：会列二次函数表达式解决实际问题教学过程：一、情境引入：雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？1.什么叫函数?2.什么是一次函数？正比例函数？3.一元二次方程的一般形式是什么？二、讲授新课：1探究：二次函数的定义问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为x，表面积为y，则y 关于x 的关系式为。
问题2：n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？想一想：问题1-3中函数关系式有什么共同点?y=6x2y=20x2+40x+20m=12n2－12n2、归纳总结：形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.例题：例1下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）①y=ax2+bx+c②s=3-2t² ③y=x2④y=1x2⑤y=x²+x³+25 ⑥y=(x+3)²-x²方法总结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等想一想:二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？3、二次函数概念的应用例2 :y=(m+3)x m2-7（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是二次函数？变式训练：1、已知: y=(k+2) x|k| ，k取什么值时，y是x的二次函数？2、若函数y=(m2−9)x2+(m+2)x+4是二次函数，求m的取值范围3、若函数y=(m−1)x m2−2m−1+ (m-3)x+4是二次函数，求m的取值范围例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．三、课堂练习：1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为2.函数y=(m-n)x2+ mx+n是二次函数的条件是( )A . m,n是常数,且m≠0B . m,n是常数,且n≠0C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数3．下列函数是二次函数的是( )A．y＝2x＋1 B．y=1xC．y＝3x2＋1 D．y= √x+14. 已知函数y=3x2m-1－5①当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；②当m=＿＿时，y是关于x的反比例函数；③当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 .6.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg,针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）8.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.四、课堂小结：形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数大单元教学设计
（1）完成课本第22章练习题1、2、3，要求学生熟练掌握二次函数的定义、图像性质、顶点式与标准式的转换。
（2）利用图形计算器或计算机软件，绘制几个典型二次函数的图像，观察并分析开口方向、顶点、对称轴、最值等性质。
2.实际问题应用：
（3）结合生活实际，编写一道关于二次函数的应用题，要求学生将实际问题抽象为二次函数模型，并求解。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数大单元教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握二次函数的定义，能够准确地识别和描述二次函数的一般形式，即f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）。
2.使学生理解二次函数图像的基本性质，包括开口方向、对称轴、顶点、最小（大）值等，并能够利用这些性质解决相关问题。
2.教学方法：采用情境导入法，通过生活实例激发学生的兴趣，引导学生从实际问题中发现数学规律。
3.教学步骤：
a.展示生活中抛物线运动的图片或视频，让学生观察并描述其运动轨迹。
b.学生分享观察到的运动轨迹特点，教师引导总结出抛物线的一般形式。
c.提问：“这些运动轨迹都可以用一个数学模型来描述，你们知道是什么吗？”由此引出二次函数的定义。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，使他们认识到数学在现实生活中的广泛应用和价值。
2.通过二次函数的学习，让学生感受到数学的对称美和秩序美，培养他们的审美情趣。
3.引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识的学习不仅是为了应对考试，更重要的是为了解决实际问题，为我国的社会发展做出贡献。
3.教学步骤：
a.将学生分成若干小组，每组分配一个讨论题目，如二次函数的性质、图像特点等。
初中数学教材解读人教九年级上册第二十二章 二次函数二次函数教学设计
二次函数教学设计一、教材分析《二次函数》是人教版《数学》九年级上册中的第22章第一节，是《义务教育课程标准》“数与代数”领域的内容。
二次函数是九年级的第一节函数课，初中涉及到的“一元一次方程”，“二元一次方程组”，“一次函数”，“一元二次方程”，这几章代数的学习都为接下来的函数的进一步学习奠定了基础。
“二次函数”的学习，使得学生在思想上认识到函数的一般性以及函数与生活中实际问题的联系。
二、学情分析九年级的学生有一定的逻辑思考能力，也有主动思考的意识，相对比较活跃，可以多让学生参与到课堂中来，让学生主动思考，多与学生互动，引导学生自主学习。
三、教学目标1、理解并掌握二次函数的概念，能够判别二次函数；2、会求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和自变量的取值范围；3、在从问题出发到列二次函数解析式的过程中，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义。
四、教学重难点教学重点:对二次函数概念的理解教学难点:由实际问题确定函数解析式，以及自变量的取值范围。
教学过程：一、知识回顾：1、前面我们学过什么函数？2、一次函数的一般形式？在表达式中自变量是什么？3、什么是函数？二、自主探索，讲授新知问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为①问题２：n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n的关系表示为②问题3：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量。
如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x 之间的关系怎样表示？析:这种产品的现在产量是20t, 一年后的产量_____________ t，再经过一年后的产量是______________t ,即两年后的产量y=____________________ ③1、思考：函数式①②③有什么共同点?（1）从形式上看：等号两边都是什么式？（2）自变量的最高次数分别是多少？2、定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数，其中x 是自变量，自变量x的取值范围是一切实数。
2022年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数教案 二次函数的图象和性质 (第1课时)
22.1 二次函数的图象和性质22.1.3 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【过程与方法】通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象,感受它们与y=2x2的联系,并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.【情感态度与价值观】在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中,进一步增强学生的数形结合意识,体会通过探究获得知识的乐趣.二、课型新授课三、课时第1课时,共3课时。
四、教学重难点【教学重点】1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【教学难点】二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等六、教学过程（一）导入新课这个函数的图象是如何画出来呢？（出示课件2）（二）探索新知探究一二次函数y=ax2+k图象的画法在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的图象.（出示课件4）学生自主操作,画图,教师加以巡视,纠正画图过程中可能出现的失误,并引导他们进行分析,发现规律,获得感性认识.1.列表:2.描点,连线:（出示课件5）教师问:抛物线y=x2、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（出示课件6）学生独立思考并整理.出示课件7:例在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2+1,y=2x2-1的图象.学生自主操作,画图,教师加以巡视.解:先列表:然后描点画图:（出示课件8）教师问:抛物线y=2x2+1 , y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？（出示课件9）学生独立思考并整理.探究二二次函数y=ax2+k的性质教师归纳:（出示课件10）二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质:开口方向:向上.对称轴:x=0.顶点坐标:（0,k）.最值:当x=0时,有最小值,y=k.增减性:当x ＜0时,y 随x 的增大而减小； 当x ＞0时,y 随x 的增大而增大.出示课件11:在同一坐标系中,画出二次函数212y x =-,2122y x =-+,2122y x =--的图像,并分别指出它们的开口方向,对称轴和顶点坐标.学生自主操作,画图,并整理. 解:如图所示.出示课件12:在同一坐标系内画出下列二次函数的图象:；；. 学生自主操作,画图,教师巡视加以指导.231x y -=23121--=x y 23122+-=x y出示课件13,14:根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是;(2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________;(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________;(5)顶点都是最____点,函数都有最____值,从上而下最大值分别为_______、_______﹑________;(6) 函数的增减性都相同:____________________________.学生独立思考并口答.⑴抛物线；⑵向下；⑶直线x=0；⑷( 0,2),(0,0),( 0,-2)；⑸高；大；y=2,y=0,y=-2；⑹对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减小师生共同归纳:二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质（出示课件15）出示课件16:已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1,x2（x1≠x2）时,函数值相等,则当x＝x1+x2时,其函数值为________.学生独立思考后,师生共同解答.解:由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知,x1,x2关于y轴对称,即x1+x2＝0.把x ＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.教师归纳:方法总结:二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称,因此左右两部分折叠可以重合,函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．出示课件17:抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是________,对称轴是________,在________侧,y随着x的增大而增大；在________侧,y随着x的增大而减小.学生口答:（0,3）；y轴；对称轴左；对称轴右探究三二次函数y=ax2+k的图象及平移出示课件18:从数的角度探究:出示课件19:从形的角度探究:观察图象可以发现,把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度,就得到抛物线_____；把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度,就得到抛物线y=2x2-1.学生观察图象并解答:上；y=2x2+1；下师生共同归纳:二次函数y=ax2与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系（出示课件20）二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到:当k>0时,向上平移k个单位长度得到.当k<0时,向下平移k个单位长度得到.教师强调:上下平移规律:平方项不变,常数项上加下减.出示课件21:二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到学生独立思考并口答:D出示课件22:想一想:教师问1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？学生答:第一种方法:平移法,分两步,即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax2的图象向上（或向下）平移︱k︱单位.第二种方法:描点法,分三步即列表、描点和连线.教师问2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？学生答:a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.（三）课堂练习（出示课件23-27）1.将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是．2.抛物线y=2x2向下平移4个单位,就得到抛物线．3.填表:4.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上,点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.5.若y=x2+（k-2）的顶点是原点,则k____；若顶点位于x轴上方,则k____；若顶点位于x轴下方,则k____.6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题:⑴抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1,当x_____时,y随x的增大而减小；当x_____时,函数y有最大值,最大值y是_____,其图象与y轴的交点坐标是_____,与x轴的交点坐标是_____.（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.7.对于二次函数y=(m+1)x m2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大,则m=____.8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0,2）, 则a=____.9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点,与y轴交于点C(0,-4),则三角形ABC的面积是_______.参考答案:1.y=x2+22.y=2x2－43.4.在5.=2；＞2；＜26.⑴向下平移1个单位.⑵>0；=0；1；(0,1)；(-1,0),(1,0)⑶开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标（0,-3）.7.28.-29.8（四）课堂小结通过这节课的学习,你有哪些收获和体会?说说看. （五）课前预习预习下节课（22.1.3第2课时）的相关内容. 七、课后作业配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:本课时教学重点在于培养学生的比较能力,旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质,从而进一步增强学生的数形结合意识,体会通过探究获得知识的乐趣.。
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《二次函数的图像和性质：二次函数》
教学设计：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《二次函数的图像和性质：二次函数》教学目标（核心素养）1.数学抽象：学生能够理解并掌握二次函数的一般形式y = ax² + bx + c，以及系数a, b, c 对函数图像形状和位置的影响。
2.逻辑推理：通过观察、分析不同系数的二次函数图像，推导出图像的开口方向、对称轴、顶点位置等性质，并能运用这些性质解决问题。
3.直观想象：通过绘制和观察二次函数图像，培养学生的空间想象能力和数形结合的思想，能够准确描述图像特征。
4.数学建模：能够将实际问题转化为二次函数模型，利用函数图像和性质进行分析和求解。
5.数学运算：能够准确计算二次函数的顶点坐标、对称轴方程，以及解决与图像相关的数学问题。
教学重点•理解并掌握二次函数y = ax² + bx + c 的图像特征，包括开口方向、对称轴、顶点位置等。
•学会绘制给定系数的二次函数图像。
教学难点•如何通过改变系数a, b, c 来控制二次函数图像的形状和位置。
•运用二次函数图像和性质解决实际问题时，如何准确设定函数表达式并进行分析。
教学资源•多媒体课件（包含动态函数图像演示）•黑板与粉笔•学生练习册•几何画板软件（或类似工具，用于学生自主探究）教学方法•讲授法：介绍二次函数的基本概念和性质。
•演示法：利用多媒体展示不同系数的二次函数图像变化。
•探究法：引导学生通过小组讨论和自主探究，发现二次函数图像的特征和规律。
•练习法：通过例题和习题巩固所学知识，提高解题能力。
教学过程导入新课•生活实例引入：展示一些与二次函数相关的生活实例，如投篮轨迹、拱桥形状等，引导学生思考这些现象背后的数学规律。
•复习旧知：回顾一次函数和简单的二次函数（如y = ax²）的图像特征，为学习更复杂的二次函数做准备。
新课教学1.引入新知：介绍二次函数y = ax² + bx + c 的一般形式，解释各系数的意义及其对图像的影响。
初中九年级数学上册《第二十二章 二次函数》大单元整体课时教学设计
初中九年级数学上册《第二十二章二次函数》大单元跨学科教学课时教学设计[2022课标]一、教学目标1.会用数学的眼光观察现实世界：通过本章《第二十二章二次函数》的学习，学生能够运用二次函数的知识观察体育与物理现象中的运动轨迹和变化规律，如铅球投掷的抛物线轨迹、竖直上抛运动中小球的高度变化等，从而发现数学与现实生活及学科的紧密联系。
2.会用数学的思维思考现实世界：学生能够运用二次函数的性质（如开口方向、顶点坐标、对称轴等）和解析式，分析体育和物理问题中的量化关系，如通过调整参数来优化运动效果或模拟实验现象，培养逻辑思维和问题解决能力。
3.会用数学的语言表达现实世界：学生能够将体育和物理中的问题抽象成二次函数模型，建立相应的数学表达式，并通过计算、推导和论证，用准确的数学语言描述和解释这些现象，最终得出科学结论。
二、教学内容分析本章主要探讨二次函数的定义、图象、性质以及应用，是初中数学知识体系中的重要组成部分。
从学科内部来看，二次函数的学习是在一次函数基础上的深化和拓展，通过本章的学习，学生能够理解并掌握二次函数的基本概念、图象特征以及增减性，为后续学习一元二次方程、二次不等式等内容打下坚实基础。
从跨学科角度来看，二次函数在体育、物理等领域有着广泛的应用。
在体育项目中，如投掷、跳跃等，运动员的运动轨迹往往可以抽象为二次函数图象，通过二次函数的解析式可以精确描述运动员的运动状态，为训练提供科学依据。
在物理学中，二次函数模型被广泛应用于描述抛体运动、振动等自然现象，有助于学生理解自然界中复杂运动的本质规律。
在本章的教学过程中，教师应注重引导学生将二次函数知识与实际问题相结合，通过跨学科的教学活动，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识和实践能力。
结合体育、物理等学科的实例，让学生深刻体会到数学知识在解决实际问题中的重要作用，提升数学学习的价值和意义。
三、教学重点1.理解并掌握二次函数的定义、图像及基本性质。
初中数学人教九年级上册(2023年新编)第二十二章 二次函数二次函数y3
第2课时 二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质01 教学目标1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y ＝a(x －h)2的图象． 2．能正确说出y ＝a(x －h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．掌握抛物线y ＝a(x －h)2的平移规律． 02 教学重点、难点：重点： 二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质难点：把抛物线y ＝ax 2通过平移后得到抛物线y ＝a(x －h)2确定平移的方向和距离。
03 预习反馈阅读教材P 33～35，自学“探究”和两个“思考”，掌握y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2之间的关系，理解并掌握y ＝a(x －h)2的相关性质，完成下列内容．1．抛物线y ＝ax 2向左平移h 个单位长度得抛物线y ＝a(x ＋h)2(h>0)，抛物线y ＝ax 2向右平移h 个单位长度得抛物线y ＝a(x －h)2(h>0)．【点拨】 注意y ＝a(x －h)2中h 常表示非负数．2．抛物线y ＝a(x －h)2的顶点坐标为(h ，0)，对称轴为直线x ＝h__．3．抛物线y ＝－12(x －1)2的开口向下__，顶点坐标是(1，0)，对称轴是直线__x ＝1，通过向左平移1个单位长度后，得到抛物线y ＝－12x 2.4．画出二次函数y ＝－2(x －1)2的图象，观察图象后填空：当x<1时，y 随x 的增大而增大；当x>1时，y 随x 的增大而减小．04 例1 (教材P33探究)在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝－12(x ＋1)2，y ＝－12(x －1)2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．【解答】 先分别列表：x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 … y ＝－12(x ＋1)2…－－2－－－2－…x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝－12(x －1)2…－－2－－－2－…然后描点、连线，得二次函数y ＝－12(x ＋1)2，y ＝－12(x －1)2的图象，如图．由图象可以看出，抛物线y ＝－12(x ＋1)2的开口向下，对称轴是经过点(－1，0)且与x 轴垂直的直线，把它记作直线x ＝－1，顶点是(－1，0)；抛物线y ＝－12(x －1)2的开口向下，对称轴是直线x ＝1，顶点是(1，0)．思考：例1中两条抛物线y ＝－12(x ＋1)2，y ＝－12(x －1)2与抛物线y ＝－12x 2有什么关系？【点拨】 观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况． 思考：抛物线y ＝a (x －h )2与抛物线y ＝ax 2有什么关系？ 总结：y ＝ax 2――→当h >0时，向右平移|h |个单位长度当h <0时，向左平移|h |个单位长度y ＝a (x －h )2【跟踪训练1】 (《名校课堂》第2课时习题，教材P35练习的变式)在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x ＋2)2，y ＝(x －2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．解：图象如图：抛物线y ＝x 2的对称轴是直线x ＝0，顶点坐标为(0，0)．抛物线y ＝(x ＋2)2的对称轴是直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，0)． 抛物线y ＝(x －2)2的对称轴是直线x ＝2，顶点坐标为(2，0)．例2 (补充例题)在直角坐标系中画出函数y ＝12(x ＋3)2的图象．(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)根据图象回答：当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？ (3)怎样平移函数y ＝12x 2的图象得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象？【解答】 (1)如图所示，函数图象的对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标为(－3，0)． (2)当x <－3时，y 随x 的增大而减小；当x >－3时，y 随x 的增大而增大．(3)将函数y ＝12x 2的图象沿x 轴向左平移3个单位长度得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象．【点拨】 二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．【跟踪训练2】 将抛物线y ＝－23(x －4)2向左平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为y ＝－23(x －2)2，新抛物线的开口方向向下，对称轴为x ＝2__，顶点为(2，0)__，为抛物线的最__高__点；当x__<2__时，y随x 的增大而增大，当x>2时，y 随x 的增大而减小. 05 巩固训练1．若抛物线y ＝a(x －h)2的顶点是(－3，0)，且它是由抛物线y ＝－2x 2通过平移而得到的，则a ＝－2，h ＝－3．2．指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)y ＝2(x －3)2－5；(2)y ＝－(x ＋1)2；(3)y ＝－34x 2－1；(4)y ＝2(x －2)2＋5.解：(1)开口向上，对称轴是直线x ＝3，顶点坐标(3，－5)． (2)开口向下，对称轴是直线x ＝－1，顶点坐标(－1，0)． (3)开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标(0，－1)(4)开口向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标(2，5)．3．不画图象，回答下列问题．(1)函数y ＝2(x ＋1)2的图象可以看成是由函数y ＝2x 2的图象作怎样的平移得到的？ (2)说出函数y ＝2(x ＋1)2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (3)函数y ＝2(x ＋1)2有哪些性质？(4)若将函数y ＝2(x ＋1)2的图象向左平移3个单位长度得到哪个函数图象？ 解：(1)向左平移1个单位长度．(2)开口向上，对称轴是直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，0)．(3)当x>－1时，y 随x 的增大而增大；当x<－1时，y 随x 的增大而减小． (4)y ＝2(x ＋4)2. 06 课堂小结1．抛物线y ＝ax 2与y ＝ax 2＋c 和抛物线y ＝ax 2与y ＝a(x －h)2有哪些共同点，又有哪些不同点？ 2．将抛物线y ＝ax 2上下平移与左右平移所得到的表达式在形式上有何区别？。
2022年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数教案 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数一、教学目标【知识与技能】1.能结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.【过程与方法】通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式,在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.【情感态度与价值观】在探究二次函数的学习活动中,体会通过探究发现的乐趣.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】结合具体情境体会二次函数的意义,掌握二次函数的有关概念.【教学难点】1.能通过生活中的实际问题情境,构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课如图,从喷头喷出的水珠,在空中走过一条曲线后落到池中央,在这条曲线的各个位置上,水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？（出示课件2）教师问:上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？（二）探索新知探究一二次函数的概念出示课件4:教师问:正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为.学生答:y=6x2①.出示课件5:教师问:多边形的对角线总条数d与边数n有什么关系？如果多边形有n条边,那么它有个顶点,从一个顶点出发,可以作条对角线.学生答:n；（n-3）教师问:多边形的对角线总数为,即.学生答:d=12n(n-3)；d=12n2-32n②教师强调:②式表示了多边形的对角线总条数d与边数n之间的关系,对于n 的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.出示课件6:教师问:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是件,再经过一年后的产量是件,即两年后的产量为,即.学生答:20(1+x)；20(1+x)2；y=20（1+x）2；y=20x2+40x+20③教师强调:③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x 的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数.出示课件7:教师问:函数①②③有什么共同点?学生以小组形式讨论,并由每组代表总结.出示课件8:教师问:认真观察以上出现的三个函数解析式,分别说出哪些是常数、自变量和函数．学生答:x；y；n；d；x；y教师问:这些函数有什么共同点？学生答:这些函数自变量的最高次项都是二次的！出示课件9:教师归纳:二次函数的定义:一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.教师强调:（1）等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式.（2）a,b,c为常数,且a≠0.（3）等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.（4）x的取值范围是任意实数.出示课件10:教师归纳:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a、b、c分别是二次项系数,一次项系数和常数项.出示课件11:教师归纳:二次函数的形式:二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0).二次函数的特殊形式:当b ＝0时,y ＝ax 2＋c.（只含有二次项和常数项） 当c ＝0时,y ＝ax 2＋bx.（只含有二次项和一次项） 当b ＝0,c ＝0时,y ＝ax 2.（只含有二次项）出示课件12:例1 下列函数中是二次函数的有 .222222422221211111()()=()y y x x x y x x y x xx x y x x y x +=+-=+-=+++=+①②③④⑤⑥学生自主思考后,学生口答:①⑤⑥出示课件13:师生共同完善认知:运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤:（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式,左边是函数（因变量）的形式；（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0. 出示课件14:下列函数中,哪些是二次函数？ (1) y=3(x-1)²+1；⑵1y x x =+；(3) s=3-2t ²； ⑷21y x x =-；(5)y=(x+3)²-x ²；(6) v=10πr ²； (7) y=x ²+x ³+25；(8) y =2²+2x.学生自主思考后解答:⑴⑶⑹是,⑵⑷⑸⑺⑻不是. 出示课件15:例2 关于x 的函数（）m -my =m +x 21是二次函数, 求m 的值.学生共同思考后,师生共同解答如下: 解:由二次函数的定义得m 2-m=2,m+1≠0. 解得m=2.因此当m=2时,函数为二次函数.教师强调:注意:二次函数的二次项系数不能为零. 出示课件16:11+=-()a y a x是二次函数,求常数a 的值.学生自主思考后,独立解答. 解:根据二次函数的定义,得，⎧+=⎪⎨-≠⎪⎩a a 1210.解得a=-1.探究二 根据实际问题确定二次函数解析式 师生共同完善认知:（出示课件17） 根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤:①审题:仔细审题,分析数量之间的关系,将文字语言转化为符号语言； ②列式:根据实际问题中的等量关系,列二次函数关系式,并化成一般形式； ③取值:联系实际,确定自变量的取值范围.出示课件18:例一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园,和墙垂直的一边长为xm,菜园的面积为ym2,求y与x之间的函数关系式,并说出自变量的取值范围.当x=12m时,计算菜园的面积.师生共同分析后,共同解答.解:由题意得:y=x(40-2x).即y=-2x2+40x.(0<x<20)当x＝12m时,菜园的面积为y=-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）.教师点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时,常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等.出示课件19:做一做:①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm),写出y与x之间的函数关系式；②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期,一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x,两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；③一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径r之间的关系式.学生自主思考后,口答: ①y=πx 2(x>0)； ②y=2(1+x)2(x>0)； ③S=4πr 2(r>0).说一说以上二次函数解析式的各项系数. （三）课堂练习（出示课件20-24）1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是（ ） A.y=3x-1 B.y=ax 2+bx+c C.s=2t 2-2t+1 D.y=x 2+21x2.已知函数 y=（m ²﹣m ）x ²+（m ﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数,求m 的值； （2）若这个函数是二次函数,则m 的值应怎样？3.下列函数中,（x 是自变量）,是二次函数的为( ) A.y=ax 2+bx+c B.y 2=x 2-4x+1 C.y=x 2 D.y=22+x+14.函数y=(m-n)x 2+mx+n 是二次函数的条件是( ) A.m,n 是常数,且m ≠0 B.m,n 是常数,且n ≠0 C.m,n 是常数,且m ≠n D.m,n 为任何实数5.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.6.n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式.7.当m 为何值时,函数y=(m-4)x m ²-5m+6+mx 是关于x 的二次函数.参考答案: 1.C2.解:（1）根据一次函数的定义,得m 2﹣m=0, 解得m=0或m=1,又∵m ﹣1≠0即m ≠1, ∴当m=0时,这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义, 得:m 2﹣m ≠0,解得m 1≠0,m 2≠1,∴当m 1≠0,m 2≠1时,这个函数是二次函数. 3.C 4.C 5.S=4πr 2. 6.m=12n(n-1),即m=12n 2-12n. 7.解:由二次函数的定义,得256240,,m m m ⎧-+=⎨-≠⎩解得m=1.∴当m=1时,函数y=(m-4)x m ²-5m+6+mx 是关于x 的二次函数. （四）课堂小结通过这节课的学习,你有哪些收获和体会?说说看. （五）课前预习预习下节课（22.1.2）的相关内容. 七、课后作业1.教材习题22.1第1、2、8题；2.配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:本课时的内容涉及到初中第二个函数内容,由于前面有了学习一次函数的经验,因此教师教学时可在学生以往经验的基础上,创设丰富的现实情境,使学生初步感知二次函数的意义,进而能从具体事物中抽象出数学模型,并列出二次函数的解析式.教学时应注重引导学生探究新知,在观察、分析后归纳、概括,注重学生的过程经历和体验,让学生领悟到现实生活中的数学问题,提高研究与应用能力.。
人教版九年级数学上册第二十二章22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质教案
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数y=ax²的图像和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如投篮的轨迹、拱桥的形状等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
在新课讲授中，我注重了概念的解释和案例的分析。我发现，当学生能够看到二次函数在解决实际问题中的应用时，他们对性质和图像的理解会更加深刻。同时，我也注意到，顶点公式和图像开口方向等概念对学生来说是难点，需要通过更多的例题和图示来逐步解释。
实践活动和小组讨论的环节，让我看到了学生的积极性和创造力。他们不仅能够运用所学知识解决问题，还能在讨论中相互启发，提出新的解题思路。这一过程也让我意识到，学生的主体性在学习中至关重要，他们需要在实践中学习和探索。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解二次函数y=ax²的图像和性质。我意识到，对于这部分内容，理论知识与实际应用必须紧密结合，才能让学生真正领会其精髓。
在导入新课环节，通过提问日常生活中的抛物线实例，我发现学生们对这一主题的兴趣被成功激发。他们开始主动思考二次函数与生活实际的联系，这为后续的学习打下了良好的基础。
-对图像的直观理解和空间想象能力的培养，如顶点公式的推导是难点，需要学生理解为什么顶点坐标是(-b/2a, c-b²/4a)，以及这个公式是如何得出的。
人教版初中九年级数学上册《第22章二次函数》教案
第22章二次函数第一课时二次函数教学目标：1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
4、会用待定系数法求二次函数的解析式。
教学重点：二次函数的概念和解析式教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。
教学设计：一、创设情境，导入新课问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系：（1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm )(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元;(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)（一） 教师组织合作学习活动：1、 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。
2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。
（1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000x(3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《数学活动》
新听课记录：2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《数学活动》一、教学目标（核心素养）1.1 知识与技能：•学生能灵活运用二次函数的性质解决综合性的数学问题。
•提升学生的数据分析能力，能从图表、数据等信息中提取有用信息，建立数学模型。
1.2 过程与方法：•通过数学活动，培养学生动手操作、观察分析和逻辑推理的能力。
•鼓励学生合作学习，通过小组讨论交流，共同解决问题。
1.3 情感态度价值观：•激发学生对数学学习的兴趣，培养探究精神和创新意识。
•培养学生的团队合作精神，学会倾听和尊重他人的意见。
二、导入教师行为：•教师展示一个包含二次函数关系的实际场景图表，如抛物线形的喷泉高度随时间变化的图表。
•引导学生观察图表，提出问题：“这张图表展示了什么现象？它与我们学习的哪个数学知识有关？我们能否用二次函数来描述这一现象？”学生活动：•学生认真观察图表，尝试将图表中的信息与所学的二次函数知识联系起来。
•小组讨论，交流对图表的初步理解和猜想。
过程点评：•导入环节通过直观的图表展示，迅速吸引了学生的注意力，激发了他们的探究欲望。
•教师的问题设计具有启发性，引导学生主动思考，为后续的数学活动做了良好的铺垫。
三、教学过程3.1 问题提出与探究教师行为：•明确数学活动的任务：根据给定的数据或图表，建立二次函数模型，并预测或解释某一现象。
•提供一组数据或图表作为示例，引导学生分析数据特点，选择合适的二次函数形式进行建模。
学生活动：•小组合作，对数据或图表进行深入分析，讨论选择哪种二次函数形式（如一般式、顶点式等）进行建模。
•尝试建立数学模型，并通过计算验证模型的合理性。
过程点评：•学生在合作探究中充分发挥了主动性和创造性，通过讨论和尝试，逐步建立起二次函数模型。
•教师适时的指导和反馈，帮助学生及时纠正错误，确保了探究活动的顺利进行。
3.2 模型应用与拓展教师行为：•引导学生将建立的二次函数模型应用于实际问题中，如预测未来某一时刻的现象变化。
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《小节：构建知识体系》
教学设计：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《小节：构建知识体系》一、教学目标（核心素养）1、知识与技能：学生能够系统地回顾并整理二次函数的基本概念、图像性质、求解方法及应用实例，构建完整的二次函数知识体系。
2、数学思维：通过构建知识体系的过程，培养学生的归纳总结能力、逻辑思维能力和知识迁移能力，加深对二次函数本质的理解。
3、情感态度：激发学生对数学学习的热情，增强自信心，培养自主学习的习惯，以及将数学知识应用于解决实际问题的意识。
二、教学重点•系统回顾二次函数的基本概念、图像性质、求解方法。
•构建完整的二次函数知识体系，明确各知识点之间的联系和区别。
三、教学难点•如何引导学生自主构建知识体系，发现知识间的内在联系。
•帮助学生将零散的知识点整合成有条理、有逻辑的知识网络。
四、教学资源•多媒体课件（包含二次函数知识框架图、典型例题解析）。
•教材及配套习题册。
•小组合作任务单、知识梳理表。
•思维导图软件或纸笔工具（供学生绘制知识体系图）。
五、教学方法•复习回顾法：通过提问、讨论等方式，引导学生回顾二次函数的相关知识点。
•归纳总结法：指导学生将回顾的知识点进行归纳整理，形成知识体系。
•合作学习法：小组合作完成任务单，共同构建知识体系图。
•展示交流法：各小组展示知识体系图，分享构建思路和经验。
六、教学过程1. 导入新课（5分钟）•情境导入：通过展示一个包含多个二次函数知识点的实际问题（如抛物线拱桥设计问题），引导学生思考如何运用所学知识解决该问题，从而引出构建知识体系的重要性。
•明确目标：介绍本节课的学习目标——构建二次函数知识体系。
2. 新课教学（30分钟）•复习回顾（10分钟）：•教师引导学生回顾二次函数的基本概念（定义、一般式、顶点式等）、图像性质（开口方向、对称轴、顶点等）和求解方法（配方法、公式法等）。
•学生通过小组讨论，补充遗漏的知识点，并尝试用自己的话解释这些概念。
•构建知识体系（20分钟）：•分组任务：学生分组，每组发放一张空白的知识梳理表或思维导图软件账号。
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《数学活动》
教学设计：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《数学活动》一、教学目标（核心素养）1、知识与技能：通过数学活动，加深学生对二次函数图像、性质及其应用的理解，提高运用二次函数解决实际问题的能力。
2、数学思维：培养学生的观察力、分析力、创造力和团队合作精神，通过实践活动促进数学思维的灵活性和深刻性。
3、情感态度：激发学生对数学的兴趣和好奇心，增强数学学习的自信心和成就感，培养严谨的科学态度和探索精神。
二、教学重点•通过实践活动，深化对二次函数图像和性质的理解。
•运用二次函数知识解决实际问题，提升数学建模能力。
三、教学难点•设计并实施具有挑战性和趣味性的数学活动，确保每位学生都能积极参与并有所收获。
•引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，并准确求解。
四、教学资源•多媒体课件（包含二次函数图像动态演示、数学活动示例）。
•实物教具（如抛体运动模拟装置、图形画板）。
•小组合作任务单、数学活动指南。
•课外数学阅读材料（关于二次函数应用的科普文章）。
五、教学方法•实践探究法：通过动手操作、观察实验、数据分析等实践活动，引导学生自主探究二次函数的性质和应用。
•小组合作法：将学生分成若干小组，共同完成数学活动任务，促进交流与合作。
•启发引导法：教师在活动中适时给予启发和引导，帮助学生解决遇到的问题。
六、教学过程1. 导入新课（5分钟）•情境引入：展示一个与二次函数相关的生活实例（如篮球投篮轨迹、拱桥设计等），引发学生思考和讨论。
•明确任务：介绍本次数学活动的主题和目标，激发学生对活动的兴趣和期待。
2. 新课教学（30分钟）•活动一：抛体运动模拟（15分钟）•分组准备：学生分组，每组分配一套抛体运动模拟装置。
•实验观察：学生操作装置，观察并记录不同初速度和角度下抛体的运动轨迹。
•数据分析：利用数据绘制抛体运动的轨迹图，引导学生发现其与二次函数图像的关系。
•讨论交流：小组内讨论抛体运动轨迹与二次函数性质的联系，并尝试用数学语言描述。
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时)》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十二章 二次函数22.1二次函数的图象和性质 二次函数y =a (x -h )2+k 的图象和性质教学设计 第 1 课时一、教学目标1．使学生理解二次函数y =ax 2＋k 的图象与二次函数y =ax 2的图象之间的关系． 2．会确定二次函数y =ax 2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．二、教学重点及难点重点：理解二次函数y =ax 2＋k 的性质及其图象与y =ax 2的图象之间的关系． 难点：正确理解二次函数y =ax 2＋k 的图象与二次函数y =ax 2的图象之间的关系以及二次函数y =ax 2＋k 的性质．三、教学用具多媒体课件，三角板或直尺。
四、相关资源《二次函数y =ax 2图象与性质的复习》动画，《二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象画法》动画，《《二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象》图片，《函数2133y x =+，2123y x =-》动画）。
五、教学过程【复习提问】你能说出二次函数y =ax 2的性质吗？师生活动：教师提出问题，全班学生回顾，一起回答问题．小结：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线2y ax =，|a |越大，抛物线的开口越小，|a |越小，抛物线的开口越大．如果a ＞0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大； 如果a ＜0，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．设计意图：让学生温习已学的知识，巩固上节课的内容，为本节课作铺垫． 【合作探究】1．在同一直角坐标系中，画出二次函数y =2x 2＋1，y =2x 2－1的图象．师生活动：师生一起完成列表，再由学生画出图象，交流成果，如图所示，教师投影订正．在学生画函数图象时，教师巡视指导．解：（1）列表：（2）描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．（3）连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象．设计意图：通过学生动手画二次函数2y ax k =+的图象，给学生创设活动时间和空间，体现教师是主导，学生是主体的教学地位，让学生经历知识的发生、发展的过程，并通过观察、分析、探索出二次函数2y ax k =+的图象的有关性质，培养学生数形给合的思想．2．思考：（1）抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？此图片是动画缩略图，此处插入交互动画《【知识探究】画二次函数平移的图象》，可以对y =ax 2图象上下平移得出y =ax 2±k 的图象,观察、分析函数y =ax 2±k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.师生活动：让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见．教师聆听，关注学生回答是否正确．小结：抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1的开口都是向上，对称轴都是y 轴，顶点分别是（0，1）与（0，－1）．（2）抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1与抛物线y =2x 2有什么关系？师生活动：让学生观察三个函数图象，说出把抛物线y =2x 2的图象向上平移1个单位长度，就得到抛物线y =2x 2＋1；把抛物线y =2x 2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y =2x 2－1．（3）抛物线y =ax 2＋k 与y =ax 2有什么关系？师生活动：四人一小组，小组讨论、交流．教师巡查，关注学生是否认真讨论，能否讨论归纳得出结论．归纳：抛物线y =ax 2＋k 与y =ax 2形状相同，位置不同；当k ＞0时，抛物线y =ax 2向上平移|k |个单位长度可以得到抛物线y =ax 2＋k ； 当k ＜0时，抛物线y =ax 2向下平移|k |个单位长度可以得到抛物线y =ax 2＋k ．设计意图：通过分析、小组合作探究，引导学生完成对知识的归纳，符合学生的认知规律，同时也培养了学生分析问题和解决问题的能力，完成由实践上升到理论这一认知过程．【例题分析】例 分别在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：2133y x =+，2123y x =-。
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《实际问题与二次函数》
教学设计：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《实际问题与二次函数》一、教学目标（核心素养）1、知识与技能：学生能够理解并掌握将实际问题转化为二次函数问题的方法，能够建立并求解二次函数模型解决实际问题，如最大化利润、最小化成本、求解最佳方案等。
2、数学思维：培养学生的数学建模能力，通过实际问题的分析与解决，提升学生的逻辑思维、抽象思维和问题解决能力，加强数形结合的思想。
3、情感态度：激发学生对数学应用的兴趣，增强学生对数学与实际生活联系的认识，培养学生的创新意识和探索精神。
二、教学重点•掌握将实际问题转化为二次函数问题的基本步骤和方法。
•理解和应用二次函数模型解决实际问题。
三、教学难点•如何准确识别问题中的变量关系，建立合适的二次函数模型。
•理解和分析二次函数模型中的参数含义，以及它们对问题解决的影响。
四、教学资源•多媒体课件（包含实际问题案例、二次函数模型建立与求解过程演示）。
•实物教具（如模拟经营游戏道具，用于模拟经营问题）。
•实际问题案例集、练习题册。
•小组合作学习任务单。
五、教学方法•问题引导法：通过提出实际问题，引导学生思考并探索解决方案。
•探究学习法：鼓励学生小组合作，自主探究如何将实际问题转化为二次函数问题并求解。
•讲解与演示法：教师结合多媒体课件，讲解建模步骤和求解方法，并进行实例演示。
•练习巩固法：通过分层次练习，巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学过程1. 导入新课（5分钟）•情境导入：展示一个贴近学生生活的实际问题（如商家如何定价以最大化利润），引发学生思考和讨论。
•引出主题：引导学生认识到这类问题可以通过建立二次函数模型来解决，从而引出本节课的主题——实际问题与二次函数。
2. 新课教学（30分钟）•知识点讲解（10分钟）：•简要回顾二次函数的基本概念和性质。
•讲解将实际问题转化为二次函数问题的一般步骤：识别变量、建立关系式、确定参数、形成模型。
•案例分析（15分钟）：•案例一：商家定价问题。
第22章二次函数,教案
第22章二次函数,教案篇一：20XX最新人教版第二十二章二次函数教案第22章二次函数第一课时篇二：20XX新人教版22章二次函数全章教案第二十二章二次函数分析与教学建议（一）．二次函数在初中数学教材中的分析二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。
函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。
学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《二次函数的图像和性质：二次函数》
新听课记录：2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《二次函数的图像和性质：二次函数》一、教学目标（核心素养）1.1 知识与技能：•学生能够理解并掌握二次函数的一般形式及其图像特征。
•能够识别并描述二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴等性质。
1.2 过程与方法：•通过观察、绘制、分析二次函数图像，培养学生数形结合的能力。
•通过小组讨论和合作学习，提高学生的协作能力和问题解决能力。
1.3 情感态度价值观：•激发学生对数学的兴趣，培养探索精神和科学态度。
•感受数学在描述现实世界中的美与规律，增强数学应用意识。
二、导入教师行为：•教师首先展示几个典型的二次函数图像（如y=x2，y=−x2，y=(x−2)2等），引导学生观察并思考这些图像的共同点和不同点。
•提问：“你们能从这些图像中发现什么规律？它们是如何随着函数表达式的变化而变化的？”学生活动：•学生认真观察图像，尝试找出规律，如开口方向、顶点位置等。
•小组讨论，分享各自的观察结果和想法。
过程点评：•通过直观展示和问题引导，有效激发了学生的好奇心和探究欲，为后续学习奠定了良好的心理基础。
•小组讨论促进了学生之间的交流与合作，有助于培养学生的协作能力。
三、教学过程3.1 探究二次函数的一般形式教师行为：•讲解二次函数的一般形式y=ax2+bx+c，并指出其中a、b、c为常数，且a=0。
•强调a的符号决定了图像的开口方向，b和c则影响图像的位置和形状。
学生活动：•学生记录并理解二次函数的一般形式及其各参数的意义。
•尝试用不同的a、b、c值构造二次函数，并预测其图像特征。
过程点评：•教师讲解清晰，学生理解透彻，为后续探究图像性质打下了坚实的基础。
•学生通过动手操作，加深了对二次函数一般形式的理解。
3.2 分析二次函数的图像性质教师行为：•利用几何画板等工具动态展示不同参数的二次函数图像，引导学生观察并分析其性质。
•讲解如何求解二次函数的顶点坐标（−2ab,c−4ab2）和对称轴（x=−2ab）。
第二十二章二次函数教学目标
第二十二章二次函数教学目标第一篇：第二十二章二次函数教学目标第二十二章二次函数一、教学目标：知识目标：1、通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2、会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3、会用配方法确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；4、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
能力目标：1、通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式；2、能从图象上认识二次函数的性质；3、会用配方法或公式法确定图像的开口方向、顶点和对称轴；4、会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
情感目标：经历探究二次函数图像、性质的过程，体会辩证法在数学中的应用，渗透数学思想方法，发展学生个性品质，从而达到提高学生整体数学素养的目的。
二、教学重点： 1.了解二次函数的含义2.理解二次函数的图象及其性质,3.抛物线图象的平移问题.4.体会一元二次方程与二次函数的关系5.能用二次函数解决实际问题。
三、教学难点：1.二次函数图象特征及其性质．2.对二次函数与一元二次方程的关系理解与应用.3.应用二次函数解决实际问题．能解决与其他函数结合的问题四、课时划分：约15课时22、1二次函数的图象与性质8课时22、2二次函数与一元二次方程2课时22、3实际问题与二次函数3课时小结与复习2课时第二篇：浅谈二次函数教学浅谈二次函数教学函数是初等教学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一，二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。
二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用，二次函教与一元二次方程、一元二次不等式等知识的联系，能培养学生对所学知识融会贯通的能力，加强二次函数的应用能力是学好高中函数部分的基础，现特对二次函数问题常见题型的解析进行归纳总结。
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第二十二章二次函数
一、教学目标：
知识目标：
1、通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
2、会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
3、会用配方法确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；
4、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
能力目标：
1、通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式；
2、能从图象上认识二次函数的性质；
3、会用配方法或公式法确定图像的开口方向、顶点和对称轴；
4、会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
情感目标：
经历探究二次函数图像、性质的过程，体会辩证法在数学中的应用，渗透数学思想方法，发展学生个性品质，从而达到提高学生整体数学素养的目的。
二、教学重点：
1. 了解二次函数的含义
2. 理解二次函数的图象及其性质,
3. 抛物线图象的平移问题.
4. 体会一元二次方程与二次函数的关系
5. 能用二次函数解决实际问题。
三、教学难点：
1. 二次函数图象特征及其性质．
2. 对二次函数与一元二次方程的关系理解与应用.
3. 应用二次函数解决实际问题．能解决与其他函数结合的问题
四、课时划分：约15 课时
22、1二次函数的图象与性质8 课时
22、2二次函数与一元二次方程 2 课时
22、3实际问题与二次函数 3 课时
小结与复习 2 课时。