除法竖式的发展与教学

2011.11

数学版

在北京市小学数学骨干教师培训的教学实践课上，一个“意外”的现象引起了笔者的思考。这是小学三年级下学期的“笔算除法”新授课，之前学生已经学习了“表内竖式除法”和“除数是一位数的口算除法”，本节课主要让学生学习“除数是一位数的非表内竖式除法”。

在讲授42÷2的除法竖式时，教师给每个学习小组

42根小棒（4捆加2根，每捆10根），让学生把它们平均

分给2个人。学生通过动手操作，得到结果为每人21根，即2捆加1根。当教师让学生用竖式计算42÷2时，大多数学生写出的是一层竖式（见图1）和分步格式（见图2），仅有极少数学生写出了教师心中期望的两层竖式（见图3）。

接下来，教师试图让学生接受两层竖式的写法，就让学生解释各自写法的道理。写出一层竖式的学生说道：42÷2＝21，根据原来学习的表内除法的竖式形式，就写成了图1的样子。写出分步格式的学生解释道：先分

4捆，每人2捆，就是20根；再分2根，每人1根；将2捆

和1根加起来，每人21根。写出两层竖式的学生说：先分4捆，每人2捆；再分2根，每人1根；结果每人分得2捆和1根，也就是21根。

教师问哪种方法好，学生都说自己的方法好。此时，教师见时间已经过半，就说“我们以后做笔算除法时，要写成分层的形式”。然后就给学生讲如何写成分层形式。最后是一道练习，教师让学生用分层竖式计算36÷3，很多学生都知道结果，可还是不会写，有的甚至写出了图4那样的“有趣”形式。

课后，笔者意识到，除法竖式对学生来讲是一个很难的问题，便向来听课的教师询问学生容易出现哪些错误。教师们给出了很多例子，商漏位是比较常见的一种（见图5和图6）。通过对这几个错误案例的分析，我们不难发现，学生不是不懂除法计算，而是不懂除法竖式的含义和写法。由此可见，让学生领悟除法竖式的实质是非常重要的。

笔者查阅相关资料，了解除法竖式的历史发展过程，以期从中领悟除法竖式的实质。然后笔者根据对除法竖式的感悟，进行了初步的教学思考。

对古代的人们来讲，计算除法是一个非常难的问题。现有资料表明，古代中国采用算筹来计算除法，后来用算盘来计算，这是比较早的程序性计算除法的方法。中世纪的欧洲，一般采用“帆船”除法，然而，

笔者查阅了很多资料，也没有找到其具体的计算方法。

除法竖式的发展与教学

◇曾小平

韩龙淑

图3

图1图2家座

专讲图5

图6

图4

46

2011.11

数学版（一）古代中国的“除法竖式”。

同乘法一样，除法也是分为三层：上层是商；中层是被除数（古称“实”）；下层是除数（古称“法”）。除数摆到被除数能够除的那一位之下，除完向右移动。例如，计算

5984÷16的具体步骤如图7：①5不够16除，所以把16

摆在59之下，6与9对齐；②用16去除59商3，被除数余1184，将16向右移一位；③用16去除118商7，被除数余64，将16向右移一位；④用16去除64商4，除尽（若除不尽，就摆在那里成带分数形式），得到5984÷16=

374。这可能是最早的除法竖式之一吧。

珠算除法有归除法和商除法两种，前者利用珠算除法的口诀计算，后者借助乘法口诀求商。这里以28836÷

534=54为例，介绍一下商除法，具体步骤如下（见图8）[1]：①布数，基本原则是，能够除隔位商，不够除挨着商；②

求商，28÷5挨着商5；③减去商与除数的乘积2883－534×

5=213；④再求商，将6移下来得到2136，2136÷534商4；⑤减去商与除数的乘积2136－534×4=0，得到最后的

结果为54。

（二）现代的“除法竖式”。

17世纪，欧洲出现了竖式除法，经过逐渐演变和简

化，成了我们现在使用的方法。以732÷6为例，大致经过了图9所示的四个阶段[2]。由此可见，竖式计算除法是一种程序性操作，它的计算规则是：从被除数的最高位起，取出和除数位数相同的数（如果取出的数小于除数，则要取出比除数多一位的数），用除数去除它，就得到商的最高位数和余数（余数可能为零）；把余数化为下一位的单位，加上被除数这一位上的数，再用除数去除它（除数小于该数时商为0），得到商和余数；这样继续下去直到

被除数上的数字全部用完，就得到最后的商和余数。

庄子说：“天下大事，必作于细。天下难事，必作于易。”当人们面对比较复杂的问题时，总是把它分成若干个可以解决的简单问题来解决。除法是小学数学中比较复杂

的计算，人们常常将它按一定顺序分解为一些简单的计算。人们在进行笔算除法的时候，总希望把按一定顺序计算的中间结果和最终结果记录下来，除法竖式就是一种简洁而有效的记录方式。这就是除法竖式的本质所在。

纵观千余年的历史，除法竖式经历了若干次演变，才成为今天的形式。它表现为程序性的运算形式，如果不理解其实质，仅靠死记硬背和机械运算，就容易出现差错。因此，“除法竖式”的教学，要让学生经历从实物操作到数学计算的过程，弄清“要分层书写”“除到哪一位商到哪一位”和“不够除补零”等形式中隐含的道理，并在此基础上领悟除法竖式的数学本质。

（一）探索除法竖式的表达形式。

师：老师为每个学习小组准备了42根小棒，请动手把它平均给2个小朋友。分完后，请告诉老师，你是分几步完成的。每一步对应的数学算式是什么。

生：我是分两步来分的。第一步，把4捆平均分给2个人，每人2捆，对应算式是4÷2＝2（捆）；第二步，把2根平均分给2个人，每人1根，对应算式是2÷2＝1（根）（教师把两个算式写在黑板上）。最后结果为，每人21根。

师：很好。如果我让大家用除法竖式表示，你怎么表

示？

学生给出三种表达方式（见图1、图2、图3），并简单解释各数的含义。

师：好，非常好。请同学们把小棒放回上课前的样子。老师要提新问题了：把这42根小棒平均分给3个小朋友，你怎么分？请你分一分，分完后请告诉老师，你是分几步完成的，每一步对应的数学算式是什么。

生：我是分三步来分的。第一步，把4捆平均分给3个人，每人1捆，还余下1捆，对应算式是4÷3＝1（捆）…

1（捆）；第二步，把余下的1捆打开，和2根放在一起，得

到12根，对应算式是10＋2＝12（根）；第三步，把12

根平

图

7

图

8

图9

座

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