二元函数导数与微分数学试卷答案

期中考试数学试卷

一、选择题 1. 二元函数)

ln(1

xy z =

的定义域为……………………………….……………..………….……………. …..….（ d ）

A. }0|),{(≠xy y x

B. }1,0,0|),{(≠>>xy y x y x

C. }1,0,0|),{(≠<

D. }1,0|),{(≠>xy xy y x 2. 极限=→x xy y x )sin(lim

)2,0(),(………….……………………………………….………….……..………….……………..

（ c ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 不存在

3. 函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数存在是函数在该点连续的 ………..…（ d ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充分必要条件

D. 既非充分条件又非必要条件

4. 设}91),{(2

2≤+≤=y x y x D ，则

⎰⎰=

D

dxdy …………………………….. ……….. ………..……….

（ d ）

A. π

B. π2

C. π3

D. π8

5. 点P(0,2,-1)在 d

A 第V 卦限

B 第 VIII 卦限

C x 轴上

D yoz 平面 6.方程x 2+y 2=1在空间直角坐标系中表示 c

A 单位圆

B 单位圆包围的平面区域

C 圆柱面

D 平面

7.z = f （x,y ）在驻点(x 0, y 0)处存在二阶偏导数，且

f xy (x 。,

y 。) 2

- f xx (x 。,

y 。)-f yy (x 。, y 。)>O f xx (x 。, y 。) >O 则 (x 。,

y 。) 点为函数z = f （x,y ）的

A 极大值点

B 极小值点

C 不是极值点

D 不能确定

8.

则等式成立的是 a

A =

B =

C =

D =

二、填空题

1. 设2

23),(y x y

x y x f +-=，则=-)1,2(x f 0 ．

2. 极限xy

xy y x 11lim

)

0,0(),(-+→＝ 5

3

-

．

3. 求 1.05

97.1的近似值(精确到小数点后两位) 04.2

4. 交换二次积分次序，则⎰⎰=1

2),(y y

dx y x f dy ⎰⎰10

2),(x

x

dy y x f dx ．

5.交换二次积分次序，则

⎰

⎰⎰⎰

=+-1

2

1

20

2

),(),(x x

dy y x f dx dy y x f dx ⎰⎰

-10

2),(y y

dx y x f dy ．

1.设f xy y x f z ),,(+=具有二阶连续偏导数，求22,y

z

x z ∂∂∂∂．

21yf f x

z

+=∂∂ 21xf f y

z

+=∂∂ 222

1211222112112

22)(f x xf f xf f x xf f y

z ++=+++=∂∂ 2.设042

2

2

=-++z z y x ,求22x

z

∂∂．

解：设4224),,(222-==-++=z F x F z

z y x z y x F z x 则

3

2

222

2

)2()2()2()2(,2z x z z x z

x

z x

z

z

x F F z z x x -+-=-∂∂+-=∂∂-=-

=

3.设v e z u

sin =，xy u =，y x v +=，求

x z ∂∂与y

z

∂∂． 解：该复合函数以v u ,为中间变量，而v u ,又是以y x ,为自变量的二元函数，由链式法则得：

1cos sin ⋅⋅+⋅⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂v e y v e x

v

v z x u u z x z u u )]cos()sin([y x y x y e xy +++⋅= 1cos sin ⋅⋅+⋅⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂v e x v e y

v v z y u u z y z u u )]cos()sin([y x y x x e xy +++⋅=

．

4.求二元函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值．

解：x f x 24-='，y f y 24--='，解方程组⎩⎨

⎧=--=-0

240

24y x 得驻点()2,2-，

故在点()2,2-处可求得：2-=''=xx

f A ，0=''=xy f B ，2-=''=yy f C ， 则()()0422022<-=-⨯--=-AC B ,又0

5.在两直角边分别为b a 、的直角三角形中内接一个矩形，求矩形的最大面积． 解：设内接矩形的长、宽分别为y x 、，则矩形的面积为xy S =

)0,0(b y a x <<<<，限制条件为

a

x a b y -=，即0=-+ab ay bx ，作函数： )(),(ab ay bx xy y x F -++=λ

令 ⎩⎨⎧=+='=+='00

a x F

b y F y

x λλ 又 0=-+ab ay bx

联解得 2,2b y a x ==，所以，矩形的最大面积ab xy S 4

1

max ==．