解一元二次方程----直接开方法
1.2《一元二次方程的解法—直接开方法》教案
§1.2一元二次方程的解法⑴——直接开方法班级________姓名____________一.学习目标：1．由平方根的定义探寻直接开方法；2．掌握形如：ax2＝b；a(x－m)2＝b；a(x－m)2＝b(x－n)2的解题方法．二．学习重点：会用直接开平方法解一元二次方程．学习难点：体会整体思想在解题中的作用．三．教学过程Ⅰ．知识准备①4的平方根是；81的平方根是；100的算术平方根是．②若x2＝a，则叫的平方根；记作x＝．③x2＝14，则x＝．若分式x2－92x－6的值为零，则x的值为．Ⅱ．活动探究【复习】回忆数的开方一章中的知识，请大家生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2＝225；2．x2－169＝0；3．36x2＝49；4．4x2－25＝0．【新知探究】我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？阅读：解方程x2－4＝0．解：移项，得x2＝4．∴x＝±4＝±2即x1＝2，x2＝−2．我们把这种解一元二次方程的方法叫做“直接开平方法”．思考：比较用直接开平方法解方程和求一个非负数的平方根的差异。
例1：解下列一元二次方程．⑴x2＝196；⑵9x2＝16；⑶4x2－3＝0．例2：解下列一元二次方程．⑴(x− 2)2＝5；⑵(x－1)2－18＝0；⑶3(x＋2)2＝27；⑷12(2－x)2－9＝0．【题后反思】你能否总结一下，能使用直接开平方法的一元二次方程的形式是怎样的？一般解题步骤又是怎样的？例3：用“直接开方法”解下列方程：⑴(3x－2)2＝(x＋1)2；⑵(x＋2)2－(2x＋3)2＝0．【思考】若将⑵中的两项加上系数又如何解呢？4(x＋2)2－9(2x + 3)2＝0【课内反馈】1．①方程x2＝9的根为；②方程4x2＝100的解为．2．①方程6x2－1＝23的解为；②方程(x＋1)2＝16的解为．3．关于x的方程x2＋k＝0有实数根的条件是（）A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤04．解下列方程⑴2x2＝50；⑵12y2＝16；⑶(x－2)2＝6；⑷(2m－4)2－18＝0．。
一元二次方程的解法1直接开方
九年数学系列
师生讲学稿
(3) 3(x -1)2 _6 =0 (4) 9x26x 1 =4
2、若方程（x-a）2 - -b有解，则b的取值范围是_______________________ .
3、对于形如（x • m）2= n的方程，他的解的正确表达式为（
）
A .都可用直接开平方法求解，且x- n
B .当n_0时，m= 一n
C .当n_0时,x = .n-m
D .当n_0 时，x = n-m
4、方程x2h的实数根的个数是（）
A .0个
B .1个
C . 2个
D .无数个
5、下列各方程能用直接开平方法求解的是（）
A . 4x2-4x -7 = 0
B . 4（x -3）2二25
C. 2y2-7y 2=0
D. （x 5）（x -、5） = 20
五、小结：
1、具备怎样特点的一元二次方程可用直接开平方法求解：
2、用降次法一直接开平方法解一元二次方程的步骤有哪些：六、随堂练习：
1、下列方程不能用直接开平方法的是（
2
A . x—3 = 0 B.
C. x22x = 0
2、用直接开平方法解下列方程:
2
（1）5x -5=35
(3)(x-2)(x 2) = 21
)
(x_1)2 _4 = 0
D. (x_ 1)2二(2x 1)2
(2)4(x 3)^ 100
(4)4(x 1)2二25(x- 2)2 3、设a ,P是方程（X+2）2=9的两个根，求|ct| +|P|的值.
作业：卷
反思（收获）：。
一元二次方程的解法及步骤
一元二次方程的解法及步骤1、直接开平方法：例．解方程3x+1^2;=7 3x+1^2=7 ∴3x+1^2=7∴3x+1=±√7注意不要丢解符号∴x= ﹙﹣1±√7﹚/32、配方法：例．用配方法解方程 3x2-4x-2=0将常数项移到方程右边 3x2-4x=2方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-﹙4/3﹚x+ 4/62=2 +4/6 2配方：x-4/62= 2 +4/6 2直接开平方得：x-4/6=± √[2 +4/6 2 ]∴x= 4/6± √[2 +4/6 2 ]3．公式法：例.用公式法解方程 2x2-8x=-5将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2,b=-8,c=5 b2-4ac=-82-4×2×5=64-40=24>0∴x=[-b±√b2-4ac]/2a4．因式分解法：例．用因式分解法解下列方程：1 x+3x-6=-8化简整理得x2-3x-10=0 方程左边为二次三项式,右边为零x-5x+2=0 方程左边分解因式∴x-5=0或x+2=0 转化成两个一元一次方程∴x1=5,x2=-2是原方程的解.其实一元二次方程没有什么难点的，对于应用题也一样，关键是你能列出方程式，会用方法解出方程就可以。
对于解一元二次方程，主要的方法有①直接开方法，（例如x2=25，可以直接解出x=±5）②求根公式法（x2+2x+1=0 △=b2-4ac 判断△的范围，＞0，＝0，＜0去解出根）③因式分解法（这个方法对于很多同学来说都是一个难点，要掌握这个方法必须通过大量的题去掌握，例如x2-5x+6=0 可以化为（x-2）（x-3）=0 解得x1=2，x2=3）④配方法（例如x2-6x-6=0 可以化为（x-3）2=15，再用直接开方法解出x1，和x2）还有一点，一元二次方程是一定要掌握的，对于接下来的二次函数有很大的帮助。
一元二次方程的解法1——直接开平方法
小组 探究 3
1、问题 3. 能用直接开平方法解方程 (2x －1) 2=(x －2) 2 吗？ 2、分析：观察发现： 如果把 2x-1 看成是（ x-2 ）2的平 方根，同样可以用直接开平方法求解。 3、解：直接开平方，得 2x-1= ±（ x-2 ） ∴2x-1=x-2 或 2x-1=-x+2
教师组织， 培养反思习
学生畅谈
惯
学生课外完 成，教师批 改。
培养复习习 惯和创新意 识。
3
4
评、强调。 2、培养学生
规范解题的
习惯。
完成下列题目并批改打分（ 1 题 30 分， 2 题每个 15 分）： 学生完成、 1、检测学生
1、下列解方程的过程中，正确的是（
）
评分、纠错。 学习情况，
(A)x 2= -2, 解方程，得 x=± 2
教师点评、 反馈教学效
强调。
果。
(B)(x-2) 2=4, 解方程，得 x-2=2, x=4
x=
±a
即 x 1= a , x 2 = - a .
4、结论：只要一元二次方程可化为“左平方，右非负” 的形式，就可以用“直接开方带±”的方法降次解方程。
1
小组 探究 1
1 、问题 1．能用直接开平方法解下列方程吗？
(1) x 2-8=0
(2 ）2x2=9
（3）-3x 2+7=0
2、思考：左非平方怎么办？
华东师大版数学九年级（上册）第 22 章
第二课时 一元二次方程的解法 1——直接开平方法
学校
汝阳县直初中
主备人 吕先锋
时间
设计 理念
教 学 目 标
重点 难点
专题02 一元二次方程的解法(提高)-2020-2021学年八年级数学下册学霸全能突破-解析版
专题02一元二次方程的解法要点一、直接开平方法解一元二次方程1.直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2.直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3.能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.要点二、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．要点三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．要点四、一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.要点五、用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.要点六、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.一、单选题1．（2020ꞏ辽宁锦州市ꞏ九年级期中）若2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，则m 的值为（）A ．1或4B ．-1或-4C ．-1或4D ．1或-4【答案】B 【分析】把2x =-代入关于x 的方程22502x mx m -+=，得到2450m m ++=，解关于m 的方程即可．【详解】解：∵2x =-是关于x 的一元二次方程22502x mx m -+=的一个根，∴2450m m ++=解得121,4m m =-=-故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程根的定义得到关于m 的方程是解题关键．2．（2020ꞏ湖州市第四中学教育集团八年级期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2－6x+8=0的根，则这个三角形的周长是（）A ．11B ．13C ．11或13D ．11和13【答案】B 【详解】由方程得，，，∴周长是，故选B.3．（2020ꞏ广西贺州市ꞏ七年级期中）若(a +b ﹣1)(a +b +1)﹣4＝0，则a +b 的值为()A ．2B ．±2C D ．±【答案】D 【分析】先运用平方差公式进行计算，再用直接开平方法解答．【详解】(a+b)2﹣1﹣4＝0，(a+b)2＝5，∴a+b=±．故选D ．【点睛】本题是解二元二次方程，主要考查了一元二次方程的解法，平方差公式，关键是运用整体思想和平方差公式，把方程转化为（a+b ）的一元二次方程进行解答．4．（2020ꞏ上海市静安区实验中学八年级课时练习）用配方法解方程2520x x ++=时，四个学生在变形时，得到四种不同的结果，其中配方正确的是（）A ．2517()24x +=B ．2521(24x +=C ．2525(24x +=D ．2533(24x +=【答案】A 【分析】把左边配成完全平方式，右边化为一个常数，即可得答案.【详解】2520x x ++=222555(2()22x x ++=-+2517()24x +=故选A.【点睛】本题考查的是用配方法解一元二次方程，配方过程中先把二次项系数化成1，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数一半的平方，把方程的左边配成完全平方的形式．熟练掌握配方的步骤是解题关键.5．（2017ꞏ全国九年级课时练习）2(3)5(3)x x x ---因式分解结果为（）A ．221115x x -+B ．(5)(23)x x --C ．(25)(3)x x +-D ．(25)(3)x x -- 【答案】D 【解析】根据因式分解的方法，可提公因式（x-3）为：（x-3）（2x-5）.故选：D.点睛：此题主要考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.二、填空题6．（2020ꞏ上海浦东新区ꞏ八年级月考）用换元法解方程221x x -﹣21x x -＝1，设y ＝21x x-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为_____．【答案】y 2+y ﹣2＝0【分析】可根据方程特点设y ＝21x x-，则原方程可化为2y ﹣y ＝1，化成整式方程即可．【详解】解：方程221x x -﹣21x x -＝1，若设y ＝21x x-，把设y ＝21x x-代入方程得：2y ﹣y ＝1，方程两边同乘y ，整理得y 2+y ﹣2＝0．故答案为：y 2+y ﹣2＝0．【点睛】本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．7．（2020ꞏ上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程2210x x +-=中，24b ac -的值为__________，根是___________．【答案】9121,12x x ==-【分析】先根据一元二次方程的定义确认,,a b c 的值，从而可得24b ac -的值，再利用公式法解方程即可得方程的根．【详解】方程2210x x +-=中，2,1,1a b c ===-，则224142(1)9b ac -=-⨯⨯-=，由公式法得：1132224b x a -±-±-±===⨯，则121,12x x ==-，故答案为：9；121,12x x ==-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键．8．（2020ꞏ全国九年级专题练习）设一元二次方程250x x +=的较大的根为m ，2320x x -+=的较小的根为n ，则m n +的值为______．【答案】1【分析】先利用因式分解法解两个一元二次方程得到m=0，n=1，然后计算m+n ．【详解】∵250x x +=，∴(5)0x x +=，解得0x =或5x =-，∴0m =．∵2320x x -+=，∴(1)(2)0x x --=，解得1x =或2x =，∴1n =，∴1m n +=．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．9．（2018ꞏ全国九年级单元测试）已知实数a ，b 满足条件2720a a -+=，()2720b b a b -+=≠，则b aa b+=________．【答案】452【解析】【分析】由实数a ，b 满足条件a 2﹣7a +2＝0，b 2﹣7b +2＝0，且a ≠b ，可把a ，b 看成是方程x 2﹣7x +2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴22224944522b a a b a b aba b ab ab++--+====（）．故答案为：452．【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．三、解答题10．（2015ꞏ山西）已知a、b、c+|b+1|+（c+3）2＝0，求方程ax2+bx+c ＝0的根．【答案】x1＝32，x2＝﹣1．【分析】本题要求出方程ax2+bx+c＝0的根，必须先求出a、b、c的值．根据非负数的性质，带根号、绝对值、平方的数值都大于等于0，三个非负数相加和为0，则这三个数的值必都为0，由此可解出a、b、c的值，再代入方程中可解此题．【详解】解：根据分析得：a﹣2＝0，b+1＝0，c+3＝0a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3方程ax2+bx+c＝0即为2x2﹣x﹣3＝0∴x 1＝32，x 2＝﹣1．【点睛】本题主要考查一元二次方程求解问题，考点还涉及偶次方、绝对值以及二次根式非负性的应用.11．（2020ꞏ全国八年级课时练习）按要求解方程．（1）2(32)24x +=（直接开方法）（2）2314x x -=（公式法）（3）()()221321x x +=+（因式分解）（4）223990x x --=（配方法）【答案】（1）x 1=23-+，x 2=23--；（2）x 1=3，x 2=23；（3）x 1=﹣12，x 2=1；（4）x 1=21，x 2=﹣19【详解】解：（1）()23224x +=，32x +=±32x =-±23x -±=1222.33x x -+--∴==（2）2314x x -=，23410x x --=，()()24431161228=--⨯⨯-=+= ，442663x ±===1222,33x x +==（3）()()221321x x +=+，()()212130,x x ++-=()()21220,x x +-=210x +=或220x -=，121 1.2x x =-=，（4）223990x x --=，2 21400x x -+=，()21400x -=，120x -=±，120x =±，122119.x x ==-，12．（2020ꞏ全国八年级课时练习）是同类二次根式，且x为整数，求关于m 的方程xm 2+2m-2=0的根.【答案】121122m m =-=--，【解析】试题分析：根据同类二次根式的定义，列出关于x 的一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程，求出x 的整数值；将x 的值代入xm 2＋2m －2＝0中，得到关于m 的一元二次方程；最后利用直接开平方法解一元二次方程，求出m 的值.是同类二次根式，∴2x 2－x ＝4x －2，2x 2－5x ＋2＝0，(2x －1)(x －2)＝0，x 1＝12，x 2＝2.∵x 为整数，∴x ＝2，代入xm 2＋2m －2＝0中，则有2m 2＋2m －2＝0，m 2＋m ＝1，(m ＋12)2＝54m ＋12＝±2m 1＝2－12，m 2＝－2－12.13．（2020ꞏ全国九年级专题练习）如果方程260--=ax bx 与方程22150ax bx +-=有一个公共根是3，求a 、b 的值，并分别求出两个方程的另一个根．【答案】a=b=1；该方程的另一个根为－2；该方程的另一个根为－5．【分析】把x=3代入题中两个方程中，得到关于a 、b 的二元一次方程组，用适当的方法解答，求出a 、b 的值，再解方程即可求得．【详解】解：将3x =代入两个方程得936096150a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩,1a b ∴==将11a b =⎧⎨=⎩代入方程260--=ax bx 得260x x --=，∴()()230+-=x x ，∴122,3x x =-=，∴该方程的另一个根为－2；将11a b =⎧⎨=⎩代入方程22150ax bx +-=得22150x x +-=，∴()()530x x +-=，∴125,3x x =-=，∴该方程的另一个根为－5．14．（2020ꞏ全国九年级课时练习）已知实数x 满足2213380x x x x+---=，求1x x +的值．【答案】5或2-．【分析】根据完全平方公式利用222121x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭对方程进行变形，得到2113100x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把1x x +看成整体，再解方程即可．【详解】解：222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ，∴原方程可变形为2113100x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设1x t x+=，则原方程可变形为23100t t --=，解得125,2t t ==-．15x x∴+=或2-．【点睛】本题主要考查了用换元法解一元二次方程，利用完全平方公式对方程进行变形，把x +1x当成一个整体是解题关键．15．（2019ꞏ全国八年级单元测试）已知关于x 的方程231x x m -+=.（1）当0m <时，解这个方程；（2）当0m >时，解这个方程.【答案】（1）132x =，232x -=；（2）当1304m <≤时，132x =，232x =；当134m >时，此一元二次方程无解.【分析】（1）方程化为一般形式2310x x m -+-=，计算判别式得134m =- ，由于0m <，所以0> ，然后利用求根公式解方程；（2）方程化为一般形式2310x x m -+-=，计算判别式得134m =- ，由于0m >，分类讨论：当1304m <≤时，0> ，然后利用求根公式解方程，当134m >时，0< ，此时方程没有实数根.【详解】解：（1）231x x m -+= ，2310x x m ∴-+-=1a \=，3b =-，1c m =-()24941134b ac m m∴∆=-=--=-0m < 1340m ∴->322b x a -±±∴==132x +∴=，232x -=（2）231x x m -+= 2310x x m ∴-+-=1a \=，3b =-，1c m =-，()24941134b ac m m∴∆=-=--=-0m > ，∴当1304m <≤时，322b x a -==，132x +∴=，232x -=，∴当134m >时，此一元二次方程无解.【点睛】本题考查了解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，即考查了判别式的意义，也考查了求根公式.。
一元二次方程的解法一(直接开平方法)
§23.2.1一元二次方程的解法—直接开平方法初三（）班姓名：_________ 学号：____ 时间：2010年___月__日学习目标：会用直接开平方法解一元二次方程。
重点：用直接开平方法解一元二次方程。
难点：注意变式求解一元二次方程，注意直接开平方和配方法的联系。
学习过程：一、复习引入：1、，叫做的，记作，其中正的一个平方根叫做的；如（1）、若，则= ；7的算术平方根为；（2）、若，则= = ；9的算术平方根为；（3）、若，则= ；；（4）、若，则= ；；2、（），（），3、用两种方法解方程x2＝4法一：法二：二、新课引入：试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（1）x2＝4；（2）3x2－75＝0.；（3）概 括：1、对于方程（1） x2＝4，意味着x是4的平方根，所以x=,即 x= ______.这种解方程的方法叫做直接开平方法.直接开平方法解一元二次方程要求方程左边是一个含有未知数的，右边是一个。
二、例题：解下列方程：（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0.解：移项，得x2＝____. 解：移项，得 16x2＝_____.直接开平方，得x=____. 方程两边都除以16，得x2＝____.∴原方程的解是，. 直接开平方，得x＝_____.∴原方程的解是，.三、课堂练习：[A组]4、解下列方程：（1）x2＝169； （2）45－x2＝0； （3）12y2－25＝0；（4）、（5）、（6）、例2、解方程：1、 2、练习A组（1）（x＋2）2－16＝0；（2）(x－1)2－18＝0；（3）(1－3x)2＝1；（4）、（5）、（6）、B组、解方程（1）、(2x＋3)2－25＝0. （2）、2－2x＝0；（3）、（4）、x（5）（t－2）（t+1）=0；（6）x（x＋1）－5x＝0.[C组]1. 小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么？2、读一读：小张和小林一起解方程x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.小张将方程左边分解因式，得(3x＋2)(x－6)＝0,所以 3x＋2＝0,或x－6＝0.方程的两个解为 x1＝，x2＝6.小林的解法是这样的：移项，得 x(3x＋2)＝6(3x＋2),方程两边都除以（3x+2），得x＝6.小林说:“我的方法多简便！”可另一个解x1＝哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？3、解方程并总结这五个方程的联系（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、。
第2课 解一元二次方程(直接开方法)
x1＝0.1, x2＝1.9
x＝－12±7
x1＝3，x2＝－4
10. 用直接开方法解一元二次方程：
(1)100(1－x)2＝144;
(2)(1－2x)2＝0.36.
(1－x)2＝1.44 1－x＝± 1.44 1－x＝±1.2 x＝1±1.2 x1＝2.2,±0.6
6. 用直接开方法解一元二次方程：
(1)2x2＝8; x2＝4
(2) 1 x2－27＝0. 3
x2＝81
x＝± 4
x＝± 81
x1＝2，x2＝－2
x1＝9，x2＝－9
知识点2：若(x＋b)2＝a(a≥0)，则x＋b＝± a .
7．(例3)用直接开方法解一元二次方程：
(1)(x－1)2＝2;
(2)2(x－3)2＝18.
(1＋x)2＝25 1＋x＝± 25 1＋x＝±5 x＝－1±5 x1＝4，x2＝－6
9. (例4)用直接开方法解一元二次方程：
(1)100(1－x)2＝81;
(2)(2x＋1)2－49＝0.
(1－x)2＝0.81 1－x＝± 0.81 1－x＝±0.9 x＝1±0.9
(2x＋1)2＝49 2x＋1＝± 49 2x＋1＝±7 2x＝－1±7
(C )
13.解方程： (1)x2－1＝0;
x1＝1，x2＝－1
(2)32x2＝6. x1＝2，x2＝－2
14.解方程：
(1)x2＝13；
x1＝
33，x2＝－
3 3
(2)9x2－5＝3.
x1＝2 3 2，x2＝－2 3 2
第2关 15．解方程：3(x－1)2－6＝0.
x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2
解，则 m＝__－__2____.
初中数学知识点：直接开方法解一元二次方程
初中数学知识点：直接开方法解一元二次方程
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
要点诠释：
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
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1.2.1一元二次方程的解法(因式分解法,直接开平方法 1)
2
上述解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
利用因式分解的方法解方程，这种方法 叫做因式分解法。
动脑筋
方程①还有其他解法吗？ (35-2x) -900 = 0．
2
①
把方程①写成(35-2x)2=900， 这表明35-2x是900的平方根， 因此 3 5 2 x 9 0 0 或 35 2 x 900 ， 即35-2x=30 或 35-2x=-30． 解得 x=2.5 或 x=32.5．
（4）解这两个一元一次方程， 它们的解就是原方程的解。
因式分解法的依据是什么？
若ab＝0,则a＝0或b＝0。
布置作业
P19
(A) T1
结
束
可以用平方差公式， 把方程①的左边因式 分解．
先把方程①写成 (35-2x) -30 =0. 把此方程的左边因式分解 (35-2x+30)(35-2x-30)=0， 即 (65-2x)(5-2x)=0. ② 因此，从方程②得 其次，我们知道:“如果p q = 0， 65-2x=0或 5-2x=0． ③
（1） 9x -49=0 ， 原方程可以写成 解 2 2 (3x) -7 = 0， 把方程左边因式分解，得 (3x+7)(3x-7)=0. 由此得出 3x+7=0 或 3x-7=0. 解得 x1 7 ，x 2 7 . （2） 36-x =0 ， 原方程可以写成 解 62-x2 = 0， 把方程左边因式分解，得 (6+x)(6-x)=0. 由此得出 6+x=0 或 6-x=0. 解得 x1 6 ，x 2 6 .
解:(解法一) 原方程可以写成
我们可以用因式分解法 解这个方程。
把方程左边因式分解，得
02 解一元二次方程(1)—直接开平方法、配方法
（4）4x2 4x 1 9
课堂练习
1．用直接开平方法解下列方程． （5）(2 x 1)2 ( x 3)2 （6）20( x 1)2 5( x 3)2 0
总结
对于 (x + n)2 = p 形式的一元二次方程： 当 p > 0 时，方程有两个不等的实数根
x1 n p，x2 n p 当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根
课堂练习
3．用配方法解下列方程．
（1）x2– 4x + 4 = 0
（2）x2 + 12x = –9
（3）– x2 – 6x – 10 = 0
课堂练习
3．用配方法解下列方程．
（4）– 2x2 + 12x = 8
（5）4y2 – 3y – 1= – y –2
课堂练习
3．用配方法解下列方程．
（6）– 2x2 + x +1 = 0
YoYo老师｜初中数学
一、直接开平方法
把一元二次方程化为形如“x2 = a (a≥0)”或 “(x + n)2 = p (p≥0)”的形式，然后根据平方根的 意义求解.
课堂练习
1．用直接开平方法解下列方程．
（1）5x2 20 0
（2）( x 5)2 0
（3）9( x 1)2 4 0
（7）(3y – 2)(y + 1)= – 项移到方程的右边； 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方：根据平方根意义，转化为直接开平方法.
Yo Yo 老 师 ｜ 初 中 数 学
x1 = x2 = –n 当 p < 0 时，方程无实数根.
二、配方法
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法， 叫做配方法.
1.2.1 一元二次方程的解法(1)-直接开平方法
1.2 一元二次方程的 解法（第1课时）
直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法。
想一想：
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方 体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒 子的棱长吗？
今天你有哪些收获？
1. 直接开平方法的理论根据是：平方根的定义 基本思想是将一元二次方程降幂为一元一次方程.
2. 用直接开平方法可解形如x2=p(p≥0)或 （mx－n）2=p（p≥0)的一元二次方程.
3. 解方程时要注意书写的格式.
小结中的两类方程为什么要加条件：p≥0呢？
1、一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 （a 0)
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
(2) 2x2 4
√
(3)32 x 5x 1 0 ×
解： x2 =25 根据平方根的定义可知:x是25的 (平方根).
∴ x = 25 即: x =±5 这时,我们常用x1、x2来表示未知数为x的 一元二次方程的两个根。
∴ 原方程的两个根为 x1 =5，x2 =－5.
注：因为棱长为正数，所以 x =5
例1、利用直接开平方法解方程: x2 －900=0
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
7
1
x1= 4 ;x2= 4
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
直接开平方法解一元二次方程
直接开平方法解一元二次方程直接开平方法解形如p x =2（p ≥0）和()c b ax =+2（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为p x =2（p ≥0）或()c b ax =+2（c ≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程p x =2,当0<p 时,方程无解;（3）对于一元二次方程()c b ax =+2: ①当0>c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根;③当0<c 时,一元二次方程没有实数根.例1. 解下列方程:（1）022=-x ; （2）081162=-x .分析:观察到两个方程的特点,都可以化为p x =2（p ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.解:（1）22=x2±=x ∴2,221-==x x ;（2）1681,811622==x x 491681±=±=x ∴49,4921-==x x .（1）()0932=--x ; （2）()092122=--x . 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为()c b ax =+2（c ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.解:（1）()932=-x33±=-x∴33=-x 或33-=-x∴0,621==x x ;（2）()92122=-x()4312922==-x ∴23432±=±=-x ∴232=-x 或232-=-x∴232,23221-=+=x x .习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【 】 （A ）032=-x （B ）()0412=--x（C ）022=+x （D ）()()2221-=+x习题2. 若()41222=-+y x ,则=+22y x _________.习题3. 若b a ,为方程()1142=+-x x 的两根,且b a >,则=b a【 】 （A ）5- （B ）4- （C ）1 （D ）3习题4. 解下列方程:（1）()16822=-x ; （2）()642392=-x .（1）()09142=--x ; （2）4312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x .习题6. 对于实数q p ,,我们用符号{}q p ,min 表示q p ,两数中较小的数,如{}12,1min =.（1）{}=--3,2min _________;（2）若(){}1,1min 22=-x x ,则=x _________. 习题7. 已知直角三角形的两边长y x ,满足091622=-+-y x ,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）。
高中一元二次方程的解法
高中一元二次方程的解法如下：1. 直接开平方法：如果一元二次方程的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，且a≠0，那么x^2=b/a，那么这样的方程就可以通过直接开平方的方法解出其解。
2. 配方法：把一元二次方程配成(x+m)^2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这样可以使计算简化。
3. 因式分解法：利用乘法公式来分解因式，通过因式分解来求解一元二次方程。
首先要通过观察或分析，确定一元二次方程的最高项和一次项的分母为1时可能有几个因式在x^2±2bx+c=0；或b^2-4ac≥0时可用公式求得解。
下面我们以一些例题的形式展示这些解法：例1：（1）方程x^2-4x+3=0；（2）方程（x-1）^2-2（x-1）+2=0；解：（1）由原方程，得（x-1.5）^2-2.25=0。
直接开平方得：x-1.5=±1.5，所以x?=3，x?=0；（2）由原方程，得（x-1-1）^2=0，所以x?=x?=2。
例2：用因式分解法解方程：x^2-3x+2=0。
解：原式=（x-1）（x-2）=0，得x?=1，x?=2。
除了上述两种方法外，还有公式法等其他解法。
公式法需要用到一元二次方程的求根公式，通过使用根公式来解一元二次方程。
具体步骤包括将一元二次方程化为一般形式，确定判别式的值，根据判别式的值确定根的个数，然后使用根的公式求出方程的根。
总结：高中一元二次方程的解法包括直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法等。
选择哪种方法取决于方程的特点和需要，有时候可能需要多种方法联合使用来解决问题。
理解和掌握这些解法对于解决一元二次方程问题非常重要。
另外需要注意的是，在实际应用中，一元二次方程往往需要通过数学模型建立、数据处理和分析等方法进行求解。
这就需要结合实际问题和数学知识进行综合应用和创新思考。
(完整版)直接开方法解一元二次方程
直接开方法解一元二次方程开方法的依据
2、会熟炼运用直接开方法解 x2 b b 0或
的方程。
x a2 b b 0;
平方根
1.如果 x2=a（a≥0）则 x 就叫做 a 的
。
2.如果 x2=a（a≥0）则 x = ± ������ 。
(1). χ2=4 (2). χ2－1=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ x2=4 根据平方根的定义可知:x是4的( 平方根).
∴ x= 4
即: x=±2 这时,我们常用x1、x2来表示未知数为x的一元二次方程的 两个根。
∴ 方程 x2=4的两个根为 x1=2，x2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
3.如果 x2=64 则 x = ±8 。
方法 小结
1．直接开平方法的依据是什么？（平方根）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次
方程： x2 b b 0或 x a2 b b 0;
3.根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没 有平方根，所以，当b<0时，原方程无解。
（1）（χ+1）2－4=0 （2） 12（2－χ）2－9=0
分析： 我们可以先把（χ+1）看作一个整体，原方程便可
以变形为：（χ+1）2= 4
现在再运用直接开平方的方法可求得χ的值。
解： (1) 移项，得（χ+1）2=4
∴ χ+1=±2
∴ χ1=1，χ2=－3.
例题讲解
1解方程(2x－1)2=(x－2)2
1、解下列方程： （1）（x-1）2 =4 （2）3（x+2）2 =3 （3）5（x-4）2-25=0 （（45））（（12 22xx+-13））22-=5（=03-x）2
《直接开平方法解一元二次方程》教案
m (m ≥0)n ）2=m( m 学生经历知识探索的过程，体会用直接开平方法解一元二次方程的过程中的转化思想和分类讨论的思想，提高学生的观察分析能力和运算能力。
2
)(0)n m m 的一元二次方程都可以用
220y （ ）35x ( ) 26x ( )
2
8)144( ) 222)325x x （）2
350x ( ) ⑧240a ( )
知方程1(1)250m m x x 是一元二次方程，_______
35x ，40， 你认为哪几个方程可以根据曾经学
过的知识求出解来？请说说你的看法。
经过学生的观察可以发现方程2
40
a 可以用平方根的定义来解出方程的根。
40可以转化为4。
方程的解就是4的平
对于方程2
(8)144m 。
可以把 8m 看做一个整体，
的平方根，从而可以求出这两个方程的解。
（学生进行分析，老师适当补充） 给出规范的解题格式： 40
解：方程化为：24a ，
直接开平方得：2a
2 2
2x 2
8)144
解：直接开平方得： 812m
812得：4m
812得：16m
引出直接开平方法定义： 直接开平方法：凡是形如2x =m(m ≥0)方的方法来求它的解，这种解法叫直接开平方法。
学并论 师生操作。