数学物理方法5傅里叶变换
数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >
数学物理方法 第五章 傅里叶变换
将上式改写成
f (x) 0 C() cos[x ()]d
其中
1
C() [ A()]2 [B()]2 2
称为f (x)的振幅谱
() arctan[B() / A()] 称为f (x)的相位谱
与傅里叶级数的情形类似，奇函数f (x)的傅里叶积分
是傅里叶正弦积分。
A
2N
0 0
[cos( 0 )t cos( 0 )t]dt
N 2
A
sin( 0 0
)t
sin( 0 )t 0
0 0
A sin( N 2 )[ 1 1 ]
0
0 0
解：f (t)是偶函数，可按余弦展开。
f (t) 0 A() costd
其中：
A() 2
f ( ) cos d
0
2
T
0
h cos d
2h
sin T
例2 由2N个（N是正整数）正弦波组成的有限正弦波列：
f
(t
)
A
sin
0t
l
cos
l
k x
l
cos n x
l
dx
0
(k n)
l
sin
l
k x sin
l
n x
l
dx
0
(k n)
l
cos
l
k x sin
l
数学物理方程第五章 傅里叶变换
1 k
1 k
0 2E0 ] 1 k [1 ( 2 n ) 2 ] 1
k 2n 1 k 2 n.
2012-8-1
阜师院数科院
b1
E0 2
,
和
bk 0
E (t )
E0
E0 2
sin t
2E0
1 (2n)
n 1
1
2
cos 2 n t .
f ( ) sin d .
(5.2.4) 是 f(x) 的傅里叶积分，(5.2.5) 为它的傅里叶变换。
f ( x ) A ( ), B ( )
为某函数从时域到频域的变换。频域中的函数可能是连续的。
傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间 ( , ) 上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄 里希利条件；(2) 在区间 ( , ) 上绝对可积（即
2 2
0
( ) tg
1
[ B ( ) / A ( )].
C ( )
为振幅谱
3. 奇、偶函数 偶函数
2012-8-1
( )
为相位谱
A ( ) cos xd ,
f (x) A ( )
0
奇函数
f (x) B ( )
B ( ) sin xd ,
f (x)
k
c
k
e
ikx
,
ck
1 2
f ( )e ( 1 ik e
ikx
d
0
1 2 ( 1 ik
数学物理方法 5 傅里叶变换
4
( t , t 0)
由上例可以推断：一个周期为2l的函数f(x+2l)= f(x) 可以 看作是许多不同频率的简谐函数的叠加.
6
2. 三角函数族及其正交性 引入三角函数族
①其中任意两个不同的函数之积在 [-l,l]上的积分等于 0 .
②两个相同的函数的乘积在[-l,l]
上的积分不等于 0 .
(2m ,(2m 1) ) ((2m 1) , 2m )
k
ce
k
ik
ikx
,
1
0
1
2
x
0
f ( )e
1 d 2
0
1 e
0
ik
1 d 2
1 e ik d
1 1 ik ( e ) 2 ik
ak cos
l
l
d
12
1 l k ak f ( )cos d ( k 1, 2 , ) l l l
类似地, 用 sin kπξ/l 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
1 l k bk f ( )sin d l l l
归纳:
(k 1, 2, )
变换 延拓
23
3. 傅里叶级数的复数形式
利用欧拉公式导出
• 1 • 2
24
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 （一） 傅里叶变换
周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大2l，函数值就重复 一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期2l∞ 的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓“傅 里叶积分”。 考察复数形式的傅里叶级数:
数学物理方法(傅里叶变换法)
解 首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令
则化为关于w的定解问题:
这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓,即 引用例2结果可得
解 做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题
这个方程的解为 再进行傅里叶逆变换
利用5.3例1的结果
应用延迟定理
出现
对 的积分只要在球面
以r为球心(矢径r),半径为at
上进行
为球面 的面积元,此即泊松公式.
三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式
求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻t在r的u(r,t),应以r为 球心,以at为半径作球面 然后拿初始扰动
第一个积分中令 第二个积分中令 则有
被积函数是偶函数,故
记做erfx,则w可写为:
所求的解如下:
误差函数
记做erfcx,则有
余误差函数
硅片表面
右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中
分布情况,曲线1对应于某个较早的时 刻,2对应于较晚的时刻,3对应于更晚 的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很 明显,如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数N0(虚线) 例6 泊松公式 求解三维无界空间中的波动问题
数学物理方法(傅里叶变换法).ppt
第一节 傅里叶变换法
用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是 离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于 无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是 连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积 分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。 例1 求解无限长弦的自由振动
五种傅里叶变换
五种傅里叶变换傅里叶变换是一种重要的数学变换方法，可以将一个函数表示为一组正弦和余弦函数的线性组合。
它在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域中得到广泛应用。
在本文中，我们将介绍五种常见的傅里叶变换。
1. 离散傅里叶变换（DFT）：离散傅里叶变换是将一个离散时间信号转换为离散频谱的方法。
它适用于离散时间域信号，可以通过对信号进行采样获得离散的频谱信息。
DFT的求解可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法实现，大大提高了计算效率。
2. 快速傅里叶变换（FFT）：快速傅里叶变换是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换。
它利用信号的周期性质和对称性质，将离散信号的傅里叶变换从O(n^2)的复杂度减少到O(nlogn)，极大地提高了计算速度。
FFT广泛应用于频域分析、图像处理、信号压缩以及解决常微分方程等问题。
3. 傅里叶级数变换：傅里叶级数变换是将一个周期函数表达为正弦和余弦函数的级数和的方法。
它适用于周期信号的频谱分析，可以将一个函数在该周期内用无穷多个谐波的叠加来表示。
傅里叶级数变换提供了频域表示的一种手段，为周期信号的特性提供了直观的解释。
4. 高速傅里叶变换（HFT）：高速傅里叶变换是一种用于计算非周期信号的傅里叶变换的方法。
它通过将信号进行分段，并对每个分段进行傅里叶变换，再将结果组合得到整个信号的频谱。
HFT主要应用于非周期信号的频谱分析，例如音频信号、语音信号等。
5. 邻近傅里叶变换：邻近傅里叶变换是一种用于非周期信号和非零进样信号的傅里叶变换方法。
它通过将信号进行分段，并对每个片段的信号进行傅里叶变换，再将结果进行插值得到整个信号的频谱。
邻近傅里叶变换适用于非周期信号的频谱分析，例如音频信号、语音信号等。
综上所述，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，提供了信号在频域的表达方法，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。
离散傅里叶变换、快速傅里叶变换、傅里叶级数变换、高速傅里叶变换和邻近傅里叶变换都是常见的傅里叶变换方法，每种方法适用于不同类型的信号处理问题。
数学物理方法 第5章 傅里叶变换
0 xl l x 0 x l
-l 0
F(x)
l
x
图5.7(a)
1 l 1 l 1 l l a0 F ( x)dx f ( x) xdx l 0 l 0 l 0 2
2 l kx 2 l kx 2 l kx ak F ( x) cos dx f ( x) cos dx x cos dx 0 0 0 l l l l l l
k 1
a0 E (t )dt 2 2
1
0
E0 cost E 0 sin tdt 2
0
E0
E0 a k E0 sin t cos ktdt 0 2
0
[sin(k 1)t sin(k 1)t ]dt
解：
l 2 l kx 2 l kx l bk x sin dx x( ) cos 0 l l l k l 0 k
l 2 l l 2 kx 2l l ( )( 1) k ( ) sin (1) k 1 l k k l 0 k
f ( x)
0
A( ) cosxd
0
B( ) sin xd
（称为傅里叶积分式）
A( )
B( )
1
1
f ( x) cosxdx
f ( x) sin xdx
（称为傅里叶变换式）
在 f (x) 的间断点，傅里叶积分的值
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
例4：定义在区间 (0, l ) 上的函数 f ( x) x ，试把它 展开为傅里叶级数。 解:方法一：偶延拓法，所找的周期函数 F (x)为偶 函数,如图5.7(a)所示。
五种傅里叶变换解析
五种傅里叶变换解析标题：从简到繁：五种傅里叶变换解析引言：傅里叶变换是数学中一种重要且广泛应用于信号处理、图像处理和物理等领域的工具。
它的基本思想是将一个信号或函数表示为若干个不同频率的正弦波的叠加，从而揭示信号或函数的频谱特性。
本文将展示五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开，帮助读者逐步理解傅里叶变换的原理与应用。
第一部分：离散傅里叶变换（DFT）在此部分中，我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和算法。
我们将讨论DFT的离散性质、频域和时域之间的关系，以及如何利用DFT进行频域分析和滤波等应用。
此外，我们还将探讨DFT算法的时间复杂度，以及如何使用DFT来解决实际问题。
第二部分：快速傅里叶变换（FFT）在这一部分中，我们将深入研究快速傅里叶变换算法，并详细介绍其原理和应用。
我们将解释FFT如何通过减少计算量和优化计算过程来提高傅里叶变换的效率。
我们还将讨论FFT算法的时间复杂度和几种不同的FFT变体。
第三部分：连续傅里叶变换（CTFT）本部分将介绍连续傅里叶变换的概念和定义。
我们将讨论CTFT的性质、逆变换和时频分析的应用。
进一步，我们将引入傅里叶变换对信号周期性的描述，以及如何利用CTFT对信号进行频谱分析和滤波。
第四部分：离散时间傅里叶变换（DTFT）在这一章节中，我们将介绍离散时间傅里叶变换的基本原理和应用。
我们将详细讨论DTFT的定义、性质以及与DFT之间的关系。
我们还将探讨DTFT的离散频率响应、滤波和频谱分析的相关内容。
第五部分：傅里叶级数展开最后，我们将深入研究傅里叶级数展开的原理和应用。
我们将解释傅里叶级数展开如何将周期函数分解为多个不同频率的正弦波的叠加。
我们还将讨论傅里叶级数展开的收敛性和逼近性，并探讨如何利用傅里叶级数展开来处理周期信号和周期性问题。
结论：综上所述，本文介绍了五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开。
五种傅里叶变换
五种傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信等领域都有广泛的应用。
傅里叶变换可以分为五种：离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和希尔伯特-黄变换（HHT）。
一、离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换是指将一个有限长的离散序列，通过一定的算法转化成一个同样长度的复数序列。
它是一种计算量较大的方法，但在某些情况下精度更高。
DFT 的公式如下：$$F(k)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)e^{-i2\pi kn/N}$$其中 $f(n)$ 是原始信号，$F(k)$ 是频域表示。
二、快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种计算 DFT 的高效算法，它可以减少计算量从而加快计算速度。
FFT 的实现方法有多种，其中最常用的是蝴蝶运算法。
FFT 的公式与 DFT 相同，但计算方法不同。
三、连续时间傅里叶变换（CTFT）连续时间傅里叶变换是指将一个连续的时间信号，通过一定的算法转化成一个连续的频域函数。
CTFT 的公式如下：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$其中 $f(t)$ 是原始信号，$F(\omega)$ 是频域表示。
四、离散时间傅里叶变换（DTFT）离散时间傅里叶变换是指将一个无限长的离散序列，通过一定的算法转化成一个同样长度的周期性复数序列。
DTFT 的公式如下：$$F(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-j\omegan}$$其中 $f(n)$ 是原始信号，$F(e^{j\omega})$ 是频域表示。
五、希尔伯特-黄变换（HHT）希尔伯特-黄变换是一种基于经验模态分解（EMD）和 Hilbert 变换的非线性时频分析方法。
它可以对非平稳信号进行时频分析，并提取出信号中的本征模态函数（IMF）。
数学物理方法第五章傅里叶变换
l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l
sin
2 k x dx
l
l
l
cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a f 1 l
0 2l l
xdx
a f 1l n l l
xconsxdx
l
(n1,2,3, )
b f 1l n l l
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
f (x)
a
x
l
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
f (x)
a
l 0 l
x
所以
1l
x
a
a0
l
a(1
0
l
)dx 2
ak2 l0 la(1x l)co k lx sd x 2(2 4 n a 0 1 )2(k (k 2n )2n1 )
如图做奇延拓： f (x)
a
l
0l
x
2l x kx 2a
An 2cn
A n 称为f ( x)的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波 的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋 周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅 的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱 图，通常是指频率和振幅的关系图。
数学物理方法5傅里叶变换
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶 变换可以帮助增强图像的某些特征， 如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图 像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换 可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理 解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换 为频率域的信号，通过分析信号 在不同频率下的强度和相位，可 以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以 将其表示为一系列正弦波和余弦 波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将 其表示为无穷多个不同频率的正 弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号， 从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度 分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果 具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中 应用广泛，如频谱分析、 滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析，如 图像增强、去噪、特征提 取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中 用于求解偏微分方程、积 分方程等数学问题。
数学物理方法(傅里叶变换法)
uut|x0a2uNxx0 0
u |t0 0
9
解 首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令 u(x,t) N0 w(x,t)
则化为关于w的定解问题:
wt w |
a2 x0
wxx u |x
0
0 N0
0
w |t0 u |t0 N0 N0
x at
( )d
达朗贝尔公式
2
2a xat
例2 求解无限长细杆的热传导问题
uut|t0a2ux(xx) 0( x )
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k 2a2U 0
U |t0 (k) 此常微分方程的初始问题的解为 U(t, k) (k)ek2a2t
dV
1
4a
(r)
14
1 r
(r
at
)eik
(
r
r
)
dk1dk2
dk3
dV
应用延迟定理
U (r,t)
1
4a
t
(r) (| r r | at)dV
| r r |
1
4a
(r) (| r r | at)dV
其中 (x)，(x) 分别是 (x), (x) 的傅里叶变换，这样原来
的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：
U (t, k) A(k)eikat B(k)eikat
代入初始条件可得：A(k) 1 (k) 1 1 (k)
数学物理方法1课件——第五章 傅里叶变换
∑ ∑ ∞ sin (2n −1) x
m sin (2n −1) x
f (x) =
= lim
n=1 2n −1
m→∞ n=1 2n −1
(−π < x < π )
m=1 1
0.5
-3 -2 -1 -0.5 -1
1
2
3
m=2 0.75
0.5 0.25
-3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75
第五章傅里叶变换51傅里叶级数52傅里叶变换53傅里叶变换的性质54函数约瑟夫傅里叶傅立叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文热的传播在论文中推导出著名的热传导方程并在求解该方程时发现函数可以由三角函数构成的级数形式表示从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数
第五章 傅里叶变换
§ 5.1 傅里叶级数 § 5.2 傅里叶变换 § 5.3 傅里叶变换的性质 § 5.4 δ函数
其中傅里叶变换系数为：
∫ A(k) = 1
∞
f (x) cos(kx)dx
π −∞
∫ B(k) = 1
∞
f (x) sin(kx)dx
π −∞
傅里叶变换存在的条件：
¾
函数
f (x) 在 (−∞, ∞) 区间内绝对可积，即积分
∞
∫−∞
f (x) dx 收敛
¾ 函数 f (x) 在任意有限区间内满足狄里希利条件，即 f (x) 分段
3. 展开式中的波数kn或频率ωn，取值是不连续的，
即 n = 0,1, 2,... (实数形式的展开) 或 n = 0, ±1, ±2,... (复数形式的展开)。
§ 5.2 傅里叶变换
1、实数形式的傅里叶积分变换
傅里叶积分定理：设函数f(x)是区间[-∞, ∞]上的非周期函数，
北京大学数学物理方法经典课件第五章-傅里叶变换
逆变换的概念
详细介绍傅里叶变换的逆变换 以及其作用。
逆变换公式
掌握逆变换的常用公式，理解 如何从频域还原原始信号。
信号重构
通过逆变换实现原始信号的还 原，并研究其重构误差。
时频分析和不确定性原理
时域分析 频域分析 不确定性原理
在时间域上分析信号的时变特性，研究信号的 时序行为。
将信号转换到频域，揭示信号的频谱分布和频 域行为。
学习如何使用傅里叶级数分析周期性信号， 揭示其频域特性。
实际案例
探索傅里叶级数在音频、图像和通信等实际 应用中的作用。
傅里叶变换的定义和性质
1
线性性质
2
学习傅里叶变换的线性性质及其意义。
3
定义
介绍傅里叶变换的基本定义和公式。
频域解释
了解傅里叶变换的频域解释，研究信 号的频谱特征。
傅里叶变换的逆变换
北京大学数学物理方法经 典课件第五章-傅里叶变 换 本课件是北京大学数学物理方法经典课件的第五章，深入讲解了傅里叶变换
的概念和性质，以及在不同领域中的广泛应用。
傅里叶级数
数学基础
了解傅里叶级数的定义和性质，掌握其在数 学领域中的应用。
信号重建
通过傅里叶级数的逆变换，实现信号的还原 和重建。
周期信号分析
探索时频分析中的不确定性原理，分析信号在 时频平面上的限制条件。
傅里叶变换的应用
信号滤波
利用傅里叶变换对信号进行滤波处理，去除 干扰或提取感兴趣的频率成分。
通信技术
研究傅里叶变换在调制、解调和频谱分析等 通信技术中的应用。
图像处理
探索傅里叶变换在图像处理中的应用，如图 像增强和去噪。
量子力学
了解傅里叶变换在量子力学研究中的重要作 用，如波函数的变换和量子力学运算符的表 示。
五种傅里叶变换
五种傅里叶变换介绍傅里叶分析是一种将一个信号分解为其频率成分的技术。
傅里叶变换是傅里叶分析的数学工具，它将一个信号从时间域转换到频率域，并提供了各个频率成分的详细信息。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、音频处理等领域都有广泛的应用。
在傅里叶变换中，有五种常见的变换方法：离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和快速傅里叶变换（DFT）。
在本文中，我们将详细介绍这五种傅里叶变换的原理、特点和应用。
离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是将一个离散信号从时域转换到频域的方法。
DFT通过计算信号在一组复指数函数上的投影来实现，其中这组复指数函数是正交的。
DFT的计算公式如下：X(k) = Σ x(n) * exp(-j * 2π * k * n / N)其中，X(k)表示频域上的信号，x(n)表示时域上的信号，N是信号的长度。
DFT的优点是计算结果精确，可以对任何离散信号进行处理。
然而，它的计算复杂度较高，需要O(N^2)次操作，对于较长的信号将会非常耗时。
快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高速计算DFT的算法。
FFT算法通过将一个长度为N的DFT转换为两个长度为N/2的DFT的操作，从而实现了计算速度的加快。
FFT算法的计算复杂度为O(NlogN)，比DFT的O(N^2)速度更快。
因此，FFT在实际应用中更为常见。
FFT广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
连续傅里叶变换（CTFT）连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform，CTFT）是将一个连续信号从时域转换到频域的方法。
CTFT可以将一个连续信号表示为一组连续的频率分量。
CTFT的计算公式如下：X(ω) = ∫ x(t) * exp(-jωt) dt其中，X(ω)表示频域上的信号，x(t)表示时域上的信号，ω是角频率。
数学物理方法傅里叶变换法
数学物理方法傅里叶变换法傅里叶变换法是一种将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的叠加的方法。
这种方法在数学和物理学中广泛应用，在信号处理、图像处理、调制和解调等领域具有重要意义。
本文将详细介绍傅里叶变换法及其在数学和物理学中的应用。
傅里叶变换法的基本原理是基于傅里叶级数展开的思想。
傅里叶级数展开是将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
这种展开的思想被扩展到了非周期函数，即傅里叶变换。
傅里叶变换可以将一个函数表示为连续的正弦和余弦函数的积分形式。
傅里叶变换的定义公式如下：\[F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\]傅里叶变换的逆变换公式如下：\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega\]傅里叶变换法在数学中有广泛的应用。
它可以用于求解偏微分方程和积分方程等问题。
傅里叶变换法可以将微分方程转化为代数方程，简化求解过程。
例如，在热传导方程中，傅里叶变换法可以将其转化为常微分方程来求解。
在物理学中，傅里叶变换法用于分析和解释各种物理现象。
例如，在波动现象中，傅里叶变换法可以将一个周期信号分解为不同频率的正弦和余弦函数，从而可以分析波的频谱特性。
在光学中，傅里叶变换法可以用于分析光的传播和衍射现象。
在量子力学中，傅里叶变换法被广泛用于求解薛定谔方程。
傅里叶变换还具有信号处理和图像处理方面的重要应用。
在信号处理中，傅里叶变换可以将一个信号从时域转换到频域，从而可以方便地进行滤波、降噪等处理。
在图像处理中，傅里叶变换可以将一个图像从空域转换到频域，并可以进行图像增强、去噪等操作。
此外，傅里叶变换还有一些与之相关的变换方法，如离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）。
离散傅里叶变换是一种将离散信号转换到频域的方法，而快速傅里叶变换是一种计算傅里叶变换的高效算法。
傅里叶变换方法
傅里叶变换方法1. 傅里叶变换的概念傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数或信号表示为一系列振幅和相位的复指数函数的和。
它可以将时域中的信号转换为频域中的信号，从而揭示出信号包含的频率成分和它们之间的关系。
傅里叶变换方法是由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出的，他认为任何周期性函数都可以用一组正弦和余弦函数来表示。
这个思想被广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域，成为了现代科学研究中不可或缺的工具。
2. 傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数是指将一个周期函数表示为正弦和余弦函数的无穷级数。
它在周期性信号处理中得到广泛应用。
对于一个周期为T、连续可积的函数f(t)，其傅里叶级数定义如下：f(t)=a02+∑(a n cos(2πnTt)+b n sin(2πnTt))∞n=1其中，a0、a n和b n是系数，可以通过函数f(t)的积分计算得到。
而傅里叶变换则是将非周期函数表示为连续频谱的积分形式。
对于一个连续可积的函数f(t)，其傅里叶变换定义如下：F(ω)=∫f∞−∞(t)e−jωt dt其中，ω是频率，F(ω)表示函数f(t)在频率域中的表示。
3. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质，这些性质使得它成为一种强大而灵活的工具。
以下是一些常见的傅里叶变换性质：•线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及两个函数f(t)和g(t)，有F(af(t)+bg(t))=aF(f(t))+bF(g(t))。
•平移性质：如果将函数在时域上平移，则其在频域上也会相应平移。
具体而言，如果f(t)经过时移得到ℎ(t)=f(t−t0)，那么它们的傅里叶变换满足H(ω)=F(ω)e−jωt0。
•尺度性质：如果将函数在时域上进行尺度变换，则其在频域上也会相应进行尺度变换。
具体而言，如果f(t)经过尺度变换得到ℎ(t)=f(at)，那么它们的傅里叶变换满足H(ω)=1|a|F(ωa)。
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由三角函数的正交性得0
ak cos
l
l
d
12
1 l k ak f ( )cos d ( k 1, 2 , ) l l l
类似地, 用 sin kπξ/l 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
1 l k bk f ( )sin d l l l
归纳:
14
（二） 奇函数和偶函数的傅里叶展开
如果 f (x) 为奇函数, 则a0和ak均为零，即有傅里叶正弦级数 (在 f (x) 的连续点处) 其中 bk 说明：
11
对①在[-l,l]逐项积分, 得
l
l
l l a0 l k k f ( )d d ak cos d bk sin d 2 l l l k 1 l l
1 l a0 f ( )d l l k cos ①乘 在[-l,l]逐项积分并运用正交性, 得 l l a0 l k k l f ( )cos l d 2 l cos l d 由三角函数的正交性0 l an cos k cos n d b l cos k sin n d n l l l l l l n 1 n=k 由三角函数的正交性0 l 2 k
7
证:
①任意两个不同的函数之积在[-l,l]上的积分等于 0 .
k x l 1 cos l d x
l
l k
k x k x l cos l d l
l
l k x sin 0 k l l
l
同理可证 :
k x l 1 sin l d x 0
l
8
k x n x l cos l cos l d x
l
x x cos(k n) cos(k n) l l l
1 2 l
d x 0
同理可证 :
k x n x l sin l sin l d x 0 l k x n x l cos l sin l d x 0
傅立叶的两个最主要的贡献:
• “周期信号都可表示为谐波关系的 正弦信号的加权和” • ——傅里叶的第一个主要论点 • “非周期信号都可用正弦信号的加 权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
3
（一） 周期函数的傅里叶展开
1.波的叠加
在普通物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦 波),它是形如 Asin(ωt+φ)的波,其中A是振幅,ω是角频率,φ 是初相位.其他的波如矩形波,锯齿形波等往往都可以用一系列 谐波的叠加表示出来.
10
3.周期函数的傅里叶展开
如果周期为2l 的函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它可以展开式为下列级数
①
(在 f (x) 的连续点处)
式中a0, ak, bk称为函数f(x)的傅里叶系数 ;
式 ① 称为f(x)的傅里叶级数 . 问题: a0, ak, bk 等于什么?
我们利用三角函数族的正交性来求解
(k 1, 2,
)
1 l k ak f ( )cos d l l l
1 bk l
(k 0,1, 2,
(k 1, 2, )
)
l
l
k f ( )sin d l
13
4. 傅里叶级数的收敛性定理
狄里希利定理 : 若函数f(x)满足条件： (1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； (2)在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数收敛， 且在收敛点有：
学习要求与内容提要
目的与要求：了解在任意有限区间上函数的傅里
叶级数展开法；掌握周期函数的傅
里叶展开、定义和性质；δ函数的
定义与性质。
重点： 难点： 傅里叶变换、δ函数。 δ函数的概念。
2
5.1 傅里叶级数
1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的周 期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院， 包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。
5
4
1 1 1 u (sint sin3t sin5t sin7t ) 3 5 7
4
1 1 1 1 u (sint sin3t sin5t sin7t sin9t ) 3 5 7 9
4
1 1 1 u( t ) (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7
l
(k n )
9
证:
②两个相同的函数的乘积在[-l,l]上的积分不等于 0 .
11d x 2l
l
l
k x dx l l k x 1 cos 2 l l dx l l 2
l
cos 2
l
l
sin 2
k x dx l
l
1 cos 2 2
l
k x l dx l
4
( t , t 0)
由上例可以推断：一个周期为2l的函数f(x+2l)= f(x) 可以 看作是许多不同频率的简谐函数的叠加.
6
2. 三角函数族及其正交性 引入三角函数族
①其中任意两个不同的函数之积在 [-l,l]上的积分等于 0 .
②两个相同的函数的乘积在[-l,l]
上的积分不等于 0 .
在间断点有：
kπx kπx f ( x ) a0 (ak cos bk sin ) l l k 1
1 kπx kπx [ f ( x ) f ( x )] a0 (ak cos bk sin ) 2 l l k 1
注:第一类间断点
如果f(x)在间断点x0处左右极限存在, 则称点x0为f(x) 的第一类间断点.
非正弦周期函数:矩形波
1, 当 t 0 u( t ) ห้องสมุดไป่ตู้ 1, 当0 t
u
1
o
1
t
可以用不同频率正弦波叠加构成！
4
u
4
sint
1 u (sint sin3t ) 3
4
1 1 u (sint sin3t sin5t ) 3 5