数学物理方法5傅里叶变换

傅立叶的两个最主要的贡献:
• “周期信号都可表示为谐波关系的 正弦信号的加权和” • ——傅里叶的第一个主要论点 • “非周期信号都可用正弦信号的加 权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
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（一） 周期函数的傅里叶展开
1.波的叠加
在普通物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦 波),它是形如 Asin(ωt+φ)的波,其中A是振幅,ω是角频率,φ 是初相位.其他的波如矩形波,锯齿形波等往往都可以用一系列 谐波的叠加表示出来.
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（二） 奇函数和偶函数的傅里叶展开
如果 f (x) 为奇函数, 则a0和ak均为零，即有傅里叶正弦级数 (在 f (x) 的连续点处) 其中 bk 说明：
5
4
1 1 1 u (sint sin3t sin5t sin7t ) 3 5 7
4
1 1 1 1 u (sint sin3t sin5t sin7t sin9t ) 3 5 7 9
4
1 1 1 u( t ) (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7
在间断点有：
kπx kπx f ( x ) a0 (ak cos bk sin ) l l k 1

1 kπx kπx [ f ( x ) f ( x )] a0 (ak cos bk sin ) 2 l l k 1
注:第一类间断点
如果f(x)在间断点x0处左右极限存在, 则称点x0为f(x) 的第一类间断点.
(k 1, 2,
)
1 l k ak f ( )cos d l l l
1 bk l
(k 0,1, 2,
(k 1, 2, )
)

l
l
k f ( )sin d l
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4. 傅里叶级数的收敛性定理
狄里希利定理 : 若函数f(x)满足条件： (1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； (2)在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数收敛， 且在收敛点有：
4
( t , t 0)
由上例可以推断：一个周期为2l的函数f(x+2l)= f(x) 可以 看作是许多不同频率的简谐函数的叠加.
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2. 三角函数族及其正交性 引入三角函数族
①其中任意两个不同的函数之积在 [-l,l]上的积分等于 0 .
②两个相同的函数的乘积在[-l,l]
上的积分不等于 0 .
l
(k n )
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证:
②两个相同的函数的乘积在[-l,l]上的积分不等于 0 .
11d x 2l
l
l
k x dx l l k x 1 cos 2 l l dx l l 2
l
cos 2
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l
l
sin 2
k x dx l

l
1 cos 2 2
l
k x l dx l
学习要求与内容提要
目的与要求：了解在任意有限区间上函数的傅里
叶级数展开法；掌握周期函数的傅
里叶展开、定义和性质；δ函数的
定义与性质。
重点： 难点： 傅里叶变换、δ函数。 δ函数的概念。
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5.1 傅里叶级数
1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的周 期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院， 包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。
由三角函数的正交性得0
ak cos
l
l
d
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1 l k ak f ( )cos d ( k 1, 2 , ) l l l
类似地, 用 sin kπξ/l 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
1 l k bk f ( )sin d l l l
归纳:
7
证:
①任意两个不同的函数之积在[-l,l]上的积分等于 0 .
k x l 1 cos l d x
l
l k
k x k x l cos l d l
l
l k x sin 0 k l l
l
同理可证 :
k x l 1 sin l d x 0
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对①在[-l,l]逐项积分, 得
l

l
l l a0 l k k f ( )d d ak cos d bk sin d 2 l l l k 1 l l
1 l a0 f ( )d l l k cos ①乘 在[-l,l]逐项积分并运用正交性, 得 l l a0 l k k l f ( )cos l d 2 l cos l d 由三角函数的正交性0 l an cos k cos n d b l cos k sin n d n l l l l l l n 1 n=k 由三角函数的正交性0 l 2 k
非正弦周期函数:矩形波
1, 当 t 0 u( t ) 1, 当0 t
u
1

o
1

t
可以用不同频率正弦波叠加构成！
4
u
4

sint
1 u (sint sin3t ) 3
4
1 1 u (sint sin3t sin5t ) 3 5
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3.周期函数的傅里叶展开
如果周期为2l 的函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它可以展开式为下列级数
①
(在 f (x) 的连续点处)
式中a0, ak, bk称为函数f(x)的傅里叶系数 ;
式 ① 称为f(x)的傅里叶级数 . 问题: a0, ak, bk 等于什么?
我们利用三角函数族的正交性来求解
l
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k x n x l cos l cos l d x
l
x x cos(k n) cos(k n) l l l
1 2 l
d x 0
同理可证 :
k x n x l sin l sin l d x 0 l k x n x l cos l sin l d x 0