运筹学4-6 库存管理 线性规划 运输问题
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-运输问题(圣才出品)
计算所有非基变量的检验数，如表 4-18 所示：
表 4-18
由 24 = 0 可得 c24 =17 ，所以当 c24 变为 17 时，此问题有无穷多最优调运方案。以 (A2, B4 ) 为调入格，作一闭回路，取不同的调入量对其进行调整可得到其它两个最优调运方
如表 4-5 所示：
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表 4-5
第一步：用伏格尔法求得初始可行解如表 4-6 所示： 表 4-6
第二步：用位势法进行最优解的检验。在对应于表 4-6 的数字格处填入单位运价，并增
加一行一列，在行中填入 vj ，在列中填入 ui 。令 u1 = 0 ，按照 ui + vj = cij （ i,j B ）求出所 有的 ui 和 vj ，并依据 ij = cij − (ui + vj ) （ i,j N ）计算所有空格处的检验数，计算结果如表 4-7 所示：
表 4-2 中，有 10 个基格，而理论上只应有 m+n-l=9 个，所以表 4-2 给出的调运方案 不能作为表上作业法的初始解。
4.2 判断下列说法是否正确。 （1）在运输问题中，只要任意给出一组含（m+n+1）个非零的{xij}，且满足
，就可以作为一个初始基可行解； （2）表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法； （3）如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数 k，最优 调运方案将不发生变化； （4）运输问题单位运价表的全部元素乘上一个常数 k（k>0），最优调运方案将不发生
如表 4-8 所示： 表 4-8
第一步：用伏格尔法求得初始可行解如表 4-9 所示： 表 4-9
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运筹学 运输问题
运筹学运输问题
运筹学是一门研究如何最优地规划和管理资源以实现预定目标的学科。
在运筹学中，运输问题是其中一个重要的应用领域。
运输问题主要关注如何有效地分配有限的资源到不同的需求点，以最小化总体运输成本或最大化资源利用效率。
这些资源可以是货物、人员或其他物资。
运输问题通常涉及到多个供应地点和多个需求地点之间的物流调度。
运输问题的目标是找到一种最佳的调度方案，使得满足所有需求的同时，总运输成本达到最小。
为了解决运输问题，可以采用线性规划、网络流和启发式算法等方法。
在运输问题中，需要确定以下要素：
1. 供应地点：确定从哪些地点提供资源，例如仓库或生产基地。
2. 需求地点：确定资源需要分配到哪些地点，例如客户或销售点。
3. 运输量：确定每个供应地点与需求地点之间的运输量。
4. 运输成本：确定不同供应地点与需求地点之间运输的成本，可以
包括距离、时间、燃料消耗等因素。
通过数学建模和优化技术，可以对这些要素进行量化和分析，以求得最佳的资源分配方案。
这样可以降低运输成本、提高物流效率，并且满足不同地点的需求。
总而言之，运输问题是运筹学中的一个重要领域，涉及到如何有效地规划和管理资源的物流调度。
通过数学建模和优化方法，可以找到最优的资源分配方案，从而实现成本最小化和效率最大化。
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1 1
u2
um
1
1
1
1
1
1
m行
v1 1
1
1
v2 1
vn
1
1
1
1
1
n行
5
第1节 运输问题的数学模型
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和 第m+j个为1以外，其余的都为零。即
21
2.2 最优解的判别
判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数cij−CBB-1Pij， i,j∈N。因运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当 所有的cij−CBB-1Pij≥0时，为最优解。下面介绍两种求空格 检验数的方法。 1.闭回路法； 2.位势法
22
2.2 最优解的判别
1.闭回路法
2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列 中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列 中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
A2
3
43 7
1
4
A3
6
39
销量
36 56
12
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为： (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地
管理运筹学运输问题
管理运筹学运输问题引言运筹学是管理学的一个分支，旨在研究和开发决策支持工具和技术，以优化各种问题的决策过程。
其中，运输问题是运筹学领域中一个重要的问题之一，它涉及到如何有效地分配有限的资源，以实现最佳的运输方案。
本文将介绍管理运筹学中的运输问题，并探讨其解决方法。
运输问题概述运输问题是在给定供应地和需求地之间寻找最佳运输方案的数学模型。
一般来说，这个问题可以分为两个主要的组成部分：供应地和需求地。
•供应地：这是物品或产品的来源地，例如工厂或仓库。
每个供应地都有一定数量的可供应物品，同时还有一个运输成本与不同需求地之间的运输。
•需求地：这是物品或产品的目的地，例如商店或客户。
每个需求地都有一定数量的需求，同时还有一个运输成本与不同供应地之间的运输。
运输问题的目标是找到一种分配方案，以最小化总运输成本，并满足供应地和需求地的限制。
运输问题可以用数学模型描述，其中包括以下变量和约束条件：•变量：–xi：从第i个供应地运输的物品数量–yj：向第j个需求地运输的物品数量•约束条件：–供应地约束：∑xi ≤ si，其中si为第i个供应地可供应的物品数量–需求地约束：∑yj ≥ dj，其中dj为第j个需求地的需求物品数量–非负约束：xi ≥ 0，yj ≥ 0，物品数量不能为负数•目标函数：–最小化总运输成本：Minimize ∑(cij * xi * yj)，其中cij为从供应地i到需求地j的单位运输成本这个数学模型可以通过线性规划方法进行求解，其中运输问题可以转化为标准线性规划问题，并使用相应的算法和技术进行求解。
求解运输问题的方法可以分为以下几种：1.传统方法：传统的方法包括北西角法、最小元素法、Vogel法等。
这些方法通过逐步分配物品数量，计算运输成本，并根据不同的策略进行调整，直到找到最优解。
2.网络流方法：网络流方法将运输问题转化为最小成本流问题，并利用网络流算法进行求解。
这些算法可以有效地处理大规模的运输问题，并提供较快的求解速度。
运筹学中的运输问题例题
在运筹学中，运输问题是一类经典的线性规划问题，涉及将有限数量的货物从多个供应点运输到多个需求点，并且对应的成本最小化或者利润最大化。
以下是一个运输问题的例题：
假设有三个供应点A、B和C，和四个需求点X、Y、Z和W。
每个供应点都有一定数量的货物可供运输，每个需求点需要一定数量的货物。
给定的成本矩阵代表从每个供应点到每个需求点的运输成本。
供应点的供应量和需求点的需求量以及成本矩阵如下：
供应量：
A: 80单位
B: 70单位
C: 60单位
需求量：
X: 50单位
Y: 40单位
Z: 30单位
W: 70单位
成本矩阵：
X Y Z W
A 4 6 8 9
B 5 7 10 12
C 6 8 11 14
问题是如何将货物从供应点运输到需求点，以使总运输成本最小化。
在这个例题中，可以使用线性规划方法来解决运输问题，通过确定每个供应点向每个需求点运输的数量来最小化总成本。
解决该问题的线性规划模型可以表示为：
最小化ΣΣ(cost(i, j) * x(i, j))
i j
满足以下约束条件：
1. 每个供应点的供应量不能超过其可供应的数量：Σx(i, j) ≤供应点i的供应量, for each i
2. 每个需求点的需求量必须得到满足：Σx(i, j) ≥需求点j的需求量, for each j
3. x(i, j) ≥0, for each i, j
其中，x(i, j) 表示从供应点i到需求点j运输的货物数量，cost(i, j) 表示从供应点i到需求点j的运输成本。
通过求解该线性规划模型，我们可以获得最优的货物运输方案，以最小化总运输成本。
管理运筹学运输问题实验报告
管理运筹学运输问题实验报告一、实验目的通过研究和实践，掌握线性规划求解运输问题的基本模型和求解方法，了解运输问题在生产、物流和经济管理中的应用。
二、实验背景运输问题是管理运筹学中的一个重要问题，其主要目的是确定在不同生产或仓库的产量和销售点的需求之间如何进行运输，使得运输成本最小。
运输问题可以通过线性规划模型来解决。
三、实验内容1. 根据实验数据，建立运输问题的线性规划模型。
2. 使用Excel中的“规划求解器”功能求解模型。
3. 对不同情况进行敏感性分析。
四、实验原理运输问题是一种典型的线性规划问题，其目的是求解一组描述生产和需要之间的运输方案，使得总运输费用最小。
运输问题的一般模型如下：min ∑∑CijXijs.t. ∑Xij = ai i = 1,2,...,m∑Xij = bj j = 1,2,...,nXij ≥ 0其中，Cij表示从i生产地到j销售点的运输成本；ai和bj分别表示第i个生产地和第j个销售点的产量和需求量；Xij表示从第i个生产地向第j个销售点运输的物品数量。
五、实验步骤1. 根据实验数据，建立运输问题的线性规划模型。
根据题目所给数据，我们可以列出线性规划模型：min Z =200X11+300X12+450X13+350X21+325X22+475X23+225X31+275X32+400X 33s.t. X11+X12+X13 = 600X21+X22+X23 = 750X31+X32+X33 = 550X11+X21+X31 = 550X12+X22+X32 = 600X13+X23+X33 = 450Xij ≥ 02. 使用Excel中的“规划求解器”功能求解模型。
在Excel中，选择“数据”选项卡中的“规划求解器”，输入线性规划的目标函数和约束条件，并设置求解参数，包括求解方法、求解精度、最大迭代次数等。
3. 对不同情况进行敏感性分析。
敏感度分析是指在有些条件发生变化时，线性规划模型的最优解会如何变化。
运筹学中的运输问题
1 运输问题基本概念
例1 某公司有三个加工厂A1、A2、A3生产某产品，每日 的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别 运往四个销售点B1、B2、B3、B4，各销售点每日销量分 别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单 位产品运价如表1所示。问该公司应如何调运这些产品， 在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
（3）销大于产（供不应求）运输问题
（以满足小的产量为准） i
j=
2 运输问题数学模型和电子表格模型
例2 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各 季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。 如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压 一个季度需储存、维护等费用1500元。要求在完成 合同的情况下，做出使该厂全年生产（包括储存、 维护）费用最小的决策。
表1 各工厂到各销售点的单位产品运价（元/吨）
B1
B2
B3
B4 产量（吨）
A1
3
A2
1
A3
7
销量（吨） 3
11
3
10 7
9
2
84
4
10
5
9
6
5
6
对于例1，其数学模型如下： 首先，三个产地A1、A2、A3的总产量为7＋4＋9＝20；四个
销地B1、B2、B3、B4的总销量为3＋6＋5＋6＝20。由于总产 量等于总销量，故该问题是一个产销平衡的运输问题。
3 各种变形的运输问题建模
现实生活中符合产销平衡运输问题每一个条件的情况很少。一 个特征近似但其中的一个或者几个特征却并不符合产销平衡运 输问题条件的运输问题却经常出现。 下面是要讨论的一些特征：
运筹学 第四章 运输问题
最小元素法 西北角法 沃格尔(Vogel)法
1。最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4 3
B4
11
产 量
A1
A2
A3
销 量
16
2
8
9
2 810
22
5
14
11
12 14
6
48
8
①
表 3-2
销地
产地
B1
4
B2
12 10
B3
4
B4
11
2．运输问题约束方程组的系数矩阵是一个只有0和1两个数值 的稀疏矩阵,其中1的总数为 2×m×n 个。
3、约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，这对应于
每一个变量在前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方
程中也出现一次
4、约束条件系数矩阵的秩是m+n-1。即运输问题的基变量总 数是m+n-1 证明：因A的前m行对应元素的和与后n行对应元素的和相等， 恰好都是： E1
故 [ xij ] 是一组可行解。
x
i 1 ij i 1
m
m
ai b j d
bj
a d
i 1
m
i
bj
又因 ai 0, b j 0. 所以
xij 0.
又因为总费用不会为负值（存在下界）。这说明，运输问题
既有可行解，又必然有下界存在，因此一定有最优解存在。
运输问题数学模型的特点
表 3-2
销地
产地
B1
4
x11
管理运筹学 运输问题
单位运费（百元） A1
销售地 B1 3 B2 x12 B3 x13 B4 x14
供应量 （吨） 5 2
产地
A2
A3
x21
x31 3
x22
x32 3
x23
x33 12
x24
x34 12
10
15 30
需求量（吨）
选取另一个西北角元素 x12 作为基变量，令 x12=min{5—3， 3}=2。 这是因为销售地B2需要3吨的物资，而产地A1最多只能提供5—3=2吨 的供应量，所以x12=2。至此，产地A1供应量耗尽，将所在的行划去， 销售地B2需求量还差1吨。
运输问题的一般性提法及数学规划模型：有 m个地区生产某 种物资，有n个需求地需要这种物资，物资由产地运到销售地的单 位运费见表。
单位运费
A1 产地 销地 B1 C11 B2 C12 … … Bn C1n
A2
… Am
C21
… Cm1
C22
… Cm2
…
… …
C2n
… cmn
假设xij表示由产地i（i=1，2，…，m）运到销售地j（j=1， 2，…，n）的物资数量，产地的供应量和销售地的需求量由表给 出。
供应地 a1=5
供 应 量
运价
需求地 1 b1=3
1
a2=10 2 a3=15 3
6 5 9 10 2 18 7 4 1
20 11 8
2 b2=3 3 b3=12
需 求 量
4 b4=12
为此，我们可以用 xij 表示由产地 i （ i=1 ， 2 ， 3 ）运到销售地 j （j=1，2，3，4）的物资数量，则可以建立如下的线性规划模型。
m n
管理运筹学之第七章 运输问题
B1 3 3 1 7 3
B2 11 4 9 2 4 6 2
B3 3 2 2 10 3 5 3
B4 10 8 5 6 6
产量 7 4 4 2 9 6 20|20
产
费
地
A1 A2 A3
销量
最小元素法
运
销 地
B1 3 1 3 7 3
B2 11 9 4 6 6
B3 3 4 2 1 10 5 4
B4 10 3 8 5 3 6 3
运
费
地
A1
销 地
B1
B2
B3
产量（件）
4000 1500
产
X11 X21 3000
X12 X22 1000
X13 X33 2000
A2
销 量
B1的供应量可0-200吨， B2的需要量应最大限度的满足， B3的供应量不少于1700吨，怎样调运？
运
费
销
B11
B12
B2
B31
1.75 1.70 M
1700
A1 A2 A3
销量
运 产
费
地
销 地
B1 3 0
B2 11 2
B3 3 5
B4 10 2
产量 7
A1
A2
A3 销量
1 3
7 9 3
9 2
4 6 6
2 1
10 11 5
8 1
5 3 6
4
9 20|20
若有某个检验数为零，则有多个最优解。 运
销 地
B1 3 2 1 1 7 3
B2 11 9 4 6 6
Ⅳ2 16 16 M 0 50
产量 50 60 50 50
运筹学运输问题.
b K bK aL ，划掉运价表的第L行；反之，
'
若 x LK bK ，则令a L
的第k列。
'
aL bK ，划掉运价表
（2）在运价表剩余元素中重复（1），直
至运价表元素全部被划掉。
例：某糖果公司下设三个工厂，每日产量分别为：A1 — 7吨、A2 —4吨、A3 —9吨。该公司将这些产品运往四个 门市部，各门市部每日销量为：B1 —3吨、B2 —6吨、 B3 —5吨、B4 —6吨。各工厂到各门市部的单位运价如 下表，试确定最优的运输方案。
运输问题求解思路图
下面通过例子介绍它的计算步骤。
一、初始方案的给定
1、最小元素法★ 2、Vogel法★
1、最小元素法
基本思路是：就近供应，即从运价表中 最小运价开始确定调运量，然后次小，一直 到给出初始调运方案为止。
（1）找出运价表中最小元素 CLK ，确 定 xLK minaL , bK ，若 x LK a L，则令
x11 x21 xm1 b1 x x x b 12 22 m2 2 x1n x2n xmn bn xij 0(i 1,2,m; j 1,2,n)
min
Z cij xij
若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省
的调运方案。
建 模 ： 设 xij 为 从 产 地 Ai 运 往 销 地 Bj 的 物 资 数 量 （i=1，…m；j=1，…n。 销地 产地 A1 A2
. . .
B1 X11 X21
. . .
B2 X12 X22
. . .
... ... ...
. . .
管理运筹学讲义运输问题
管理运筹学讲义运输问题引言在现代社会，运输问题是管理运筹学中的一个重要问题。
无论是物流行业还是供应链管理，运输问题都是必不可少的一环。
运输问题的解决可以帮助企业有效地规划和管理物流流程，降低运输成本，提高运输效率。
本文将介绍管理运筹学中的运输问题，包括问题的定义、数学模型、常用的解决方法以及在实际应用中的案例分析。
运输问题的定义在管理运筹学中，运输问题是指在给定的供应点和需求点之间，如何分配物品的问题。
通常，问题的目标是找到一种分配方案，使得总运输成本最小。
运输问题可以抽象成一个图模型，其中供应点和需求点之间的路径表示运输线路，路径上的边表示运输的数量和成本。
每个供应点和需求点都有一个需求量或供应量。
问题的目标是找到一种分配方案，使得满足所有需求量的同时最小化总运输成本。
数学模型运输问题可以用线性规划来建模。
假设有m个供应点和n个需求点，每个供应点的供应量为si，每个需求点的需求量为dj。
定义xij为从供应点i到需求点j 的运输量，则运输问题的数学模型可以形式化表示为如下线性规划问题：minimize ∑(i=1 to m)∑(j=1 to n) cij * xijsubject to∑(j=1 to n) xij = si, for all i = 1,2,...,m∑(i=1 to m) xij = dj, for all j = 1,2,...,nxij >= 0, for all i = 1,2,...,m and j = 1,2,...,n其中cij表示从供应点i到需求点j的运输成本。
解决方法针对运输问题，常用的解决方法有以下几种：1. 单纯形法单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用方法。
对于运输问题，可以通过将其转化为标准的线性规划问题，然后使用单纯形法来求解最优解。
2. 匈牙利算法匈牙利算法是一种经典的图论算法，可以用于解决运输问题。
算法的核心思想是通过不断寻找增广路径来寻找最大匹配。
运筹学：运输问题
运输问题运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。
然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。
它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。
运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在。
§1运输问题的数学模型[例4-1] 某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个生产厂，甲、乙、丙、丁四个销售点。
公司每天把三个工厂生产的产品分别运往四个销售点，由于各工厂到各销售点的路程不同，所以单位产品的运费也就不同案。
各工厂每日的产量、各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品的运价如表4-1所示。
问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要的前提下，使总运费最小。
表4-1设代表从第个产地到第个销地的运输量（；），用代表从第个产地到第个销地的运价，于是可构造如下数学模型：（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）通过该引例的数学模型，我们可以得出运输问题是一种特殊的线性规划问题的结论，其特殊性就在于技术系数矩阵是由“1”和“0”两个元素构成的。
将该引例的数学模型做一般性推广，即可得到有个产地、个销地的运输问题的一般模型。
注意：在此仅限于探讨总产量等于总销量的产销平衡运输问题，而产销不平衡运输问题将在本章的后续内容中探讨。
（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）供应约束确保从任何一个产地运出的商品等于其产量，需求约束保证运至任何一个销地的商品等于其需求。
除非负约束外，运输问题约束条件的个数是产地与销地的数量和，即；而决策变量个数是二者的积，即。
由于在这个约束条件中，隐含着一个总产量等于总销量的关系式，所以相互独立的约束条件的个数是个。
运筹学运输问题的方法
运筹学运输问题的方法
运筹学中的运输问题可以通过以下方法进行解决：
1. 确定初始方案：最小元素法、付格尔法和西北角法等，其中最小元素法是先找出运费最小的，然后优先满足。
付格尔法是算出行差额和列差额，依次对差额最大的行或列中运费较小的先分配。
西北角法也是一种求初始可行解的方法。
2. 判定最优解：可以采用闭回路法或者位势法求检验数。
闭回路法是对所选回路上进行“奇+偶-”的操作，而位势法则是直接用公式：检验数=cij-ui-vj。
3. 调整优化解：以检验数＜0且最小的数开始入基，对偶数点选择最小的xij出基。
接着为满足表格平衡，使奇数点加上xij，偶数点减xij，记住出基的点为空格点了，这样才能保证有数点一直是m+n-1个。
对于产销不平衡的问题，则考虑增设一个仓库存放多出来的部分，或者增设一个产地弥补不足的部分，这些运费均为0，后做法同上。
4. 重复上述步骤：如果还未得到最优解，则重复步骤2和3，直到求得最优解。
总的来说，运筹学的运输问题需要综合运用多种方法进行求解，通过不断调整和优化解，最终得到最优解。
管理运筹学运输问题中的多种计算方法类比
管理运筹学是运用数学、统计学、经济学等方法来解决组织内部和外部问题的学科。
在管理运筹学中，运输问题是一个非常重要的课题，它涉及到如何有效地运输物资和产品，以最大限度地降低成本并提高效率。
为了解决这个问题，管理者可以使用多种计算方法进行类比，以找到最佳的解决方案。
本文将介绍几种常见的计算方法，并对它们进行比较分析。
1. 线性规划方法线性规划是一种常用的数学优化方法，它旨在寻找一个线性模型的最佳解。
在运输问题中，可以使用线性规划方法来确定最佳的运输路线和成本分配。
通过设置合适的约束条件和目标函数，线性规划可以帮助管理者找到最优的解决方案，从而在运输过程中节约成本并提高效率。
2. 最短路径算法最短路径算法是一种用于寻找图中最短路径的算法。
在运输问题中，最短路径算法可以帮助管理者确定最佳的运输路线，从而减少运输时间和成本。
通过将地理空间网络建模成图，并使用最短路径算法来计算最佳路径，管理者可以更好地规划运输路线，提高运输效率。
3. 整数规划方法整数规划是线性规划的一种扩展，它要求决策变量是整数。
在运输问题中，整数规划方法可以帮助管理者解决一些现实中存在的离散性问题，比如车辆数量限制等。
通过将运输问题建模为整数规划问题，并使用相应的算法来求解，管理者可以更好地考虑实际情况，确保运输过程的顺利进行。
4. 蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟是一种基于随机抽样的数学方法，用于模拟问题的随机性和不确定性。
在运输问题中，蒙特卡洛模拟可以帮助管理者评估不同风险场景下的运输方案，并选择最优的决策。
通过进行大量的随机抽样和模拟计算，管理者可以更好地了解不同情况下的运输成本和效率，从而做出更好的决策。
5. 遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的启发式优化方法，可以用于求解复杂的优化问题。
在运输问题中，遗传算法可以帮助管理者寻找最佳的运输路线和分配方案，特别是对于大规模和复杂的运输网络。
通过模拟自然选择和遗传变异的过程，遗传算法可以帮助管理者在复杂的运输环境中找到最优解决方案。
《运筹学》第三章 运输问题
二、表上作业法
计算步骤：
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法 或伏格尔法） 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是 否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否 则转到下一步。 空格 (3)对方案进行改善，找出新的调运方案。 （表上闭回路法调整） (4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4
3
6 6
1
3 5 6
9
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4 9
3
6 6
1
-1
3
5
6
B1 A1 A2 A3 销量 3 1 3
B2 2 1 6 6
B3 4 1
B4 3 -1 3
产量 7 4 9
(ui+vj)
－ B2 9 8 4 B3 3 2 -2 B4 10 9 5
A3 －3
σij
B1 ＝ A1 A2 A3 1 0 10 B2 2 1 0 B3 B4 0 0 0 －1 12 0
表中还有负数，说明 还未得到最优解，应 继续调整。 用位势法与用闭回路法 算出的检验数？ 相同
3、解的改进
——闭合回路调整法（原理同单纯形法一样） 上例： min( σ ij 0 ) pq
m
n
系数列向量的结构： A ij ( 0， 0， 0 ，， 0， 0 ) 1， 0 1，
第 i个
第 ( m j )个
运筹学 06-线性规划运输问题
产销平衡表
门市部 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1 A2 A3 销量
3656
单位：吨
产量
7 4 9 20
门市部 B1 B2 B3 B4
加工厂
A1
3 11 3 10
A2
1 92 8
A3
7 4 10 5
单位运价表 单位：元/吨
解：1.确定初始方案:
(最小元素法基本思想：从单位运价表上最小的运价开始 确定产销关系，以此类推，直到给出初始方案为止)
①从运价表上找出最小运价C21=1， A2 先保证供应B1 ，X21=3，
划去运价表上B1 列；
②再从运价表上其余元素中找到最小的运价C23=2，加工厂A2
应供给B3， X23=1，划去A2行；
③再从运价表上其余
门市部
B1 B2 B3 B4
元素中找到最小的运价
加工厂
C13=3，所以A1先保证供 应B3 ， B3 尚缺4单位， 因此X13=4，划去B3 列。
1
（ⅰ）门有市部数格是B1基变B2量，B共3 B4 加工厂 m+n-1=3+4-1=6个
空格是A1非基变3量，1共1划去3m+1n0=7条
线；A2
1 92 8
（ⅱ）A3如果填7上一个4 运量10之后5能同
A3
6
3
时划去两条线（一行与一列），就 须在所划单去位运的价该表行或单该位列：元任/意吨 位置
初始方案运费
A3
B2 B3 B4 43
1
6
3
门市部 加工厂
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
1 92 8
A3
7 4 10 5
运筹学 04 运输问题
位势法思路 令第1行的u1=0，在第1行有运输数量的地方根据cij-ui-vj=0计 算对应列的vj=cij-u1；其他ui和vj类推 根据λij=cij-ui-vj计算每一个空格的检验数 检验数>0，方案不能调整；检验数<0，必须调整方案；检 验数=0，调整与否均可
工厂 A1
A2 A3 销量 工厂 A1 A2
原问题变量xj的检验数 σj=cj-zj =cj-CBB-1Pj =cj-YPj 变量xij的检验数 σij=cij-zij =cij-YPij =cij-(u1,u2,…,um,v1,v2,…,vn)Pij =cij-(ui+vj)
2 运输问题的表上作业法
运输问题的数学模型及其约束方程组的系数矩阵结构具有特 殊性，使用表上作业法解决运输问题，比单纯形法更为简便 。 表上作业法的步骤： 第1步：确定初始基可行解 第2步：解的最优性检验 第3步：解的调整，转第2步
例3：设3个化肥厂供应4个地区的农用化肥。各化肥厂年产量 (万吨)、各地区年需求量(万吨)以及各化肥厂到各地区单位运 价(万元/万吨)见表。试求总运费最低的化肥调拨方案。 产地 A B C 最低需求 最高需求 Ⅰ 16 14 19 30 50 Ⅱ 13 13 20 70 70 Ⅲ 22 19 23 0 30 Ⅳ 17 15 M 10 ∞ 产量 50 60 50
工厂 A1
A2 A3 销量 工厂 A1 A2
B1
4 2 8 8 B1 1 8
B2
12 10 5 14 B2 2 1
B3
4 3 11 12 B3 10 2
B4
11 9 6 14 B4 6 -1
产量 (1)A1B1处检验数 闭合回路：A1B1-A1B3-A2B3-A2B1 16
管理运筹学第三章运输问题
供 = 5 应 地 = 2 约 = 3 束 = 2 = 3 需 求 = 1 地 = 4 约 束 ≥ 0
第二节 表上作业法求初始解、 初始值 一、西北角法 （梯形下降）
运价 收点
（元/吨）
B1 B2 B3 B4
4 18 30 0 14 4 4
发量 （吨）
4
0 0 0
发点
A1
2
12 5 20 25
10
015 4 20
4
第二节 表上作业法求初始解、 初始值 初始解： 初始值：
X12=4吨 • S0=4×12+4×10+1×25+6×15 X14=4吨 • +4×14+1×18 X22=1吨 X23=6吨 •=48+40+25+90+56+18 X31=4吨 X32=1吨 • =277元<329元（起点优于西北角法） 变量个数=行数加列数减1 20吨
发量 5 （吨）
3 1 0《产大于需》增加源自5虚拟收点B1 B2 B3 B4 B
2 1
（元/吨）
4
A1 A2 A3
收 量（吨）
2 10 7
0
311
3
2 4
4
3 9 3 2 6 0
0 7 0 5 0 7
0
2
0
3 8
0
5 1
3 0
2 4
0
2
3
4
19
初 始 可 行 解 ： 初 始 值 ： S0=22+41+04+33+92+14 C 23 X11=2吨 +23=45元 C12 X14=1吨 =11-4+9-3>0； = 5-9+2-1=C 25 C13 3 X15=4吨 C 21 X22=3吨 =3-4+2-1=0 C31 ； = 0-0+4-9=5 C 32 C 35 X24=2吨 Cij C25 5； X25 进基 X33=4吨 =10-2+4-9>0； =7-2+4-2>0 X34=3吨
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第四章库存管理复习建议本章在历年考试中，处于相当重要的地位，建议学员全面掌握,重点复习。
从题型来讲包括单项选择题、填空题、名词解释和计算题题型都要加以练习。
重要考点：库存管理的作用和意义；存货台套法和ABC分类管理；经济订货量的计算；订货时间的确定等。
4.1 库存管理的作用和意义一、库存管理的作用库存管理的最基本的一个方面就是保证工业企业的生产能够正常的、连续的、均衡的进行。
分以下几种：（1）适应原材料的季节性（2）适应产品销售的季节性（3）适应运输上的合理性和经济性（4）适应生产上的合理安排（5）适应批发量的大小二、库存管理的意义1、保证企业按科学的计划实现均衡生产，不要因缺少原材料或其它物资而停工停产。
2、使库存总费用达到最低。
4.2 库存管理的存货台套法与ABC分类管理一、存货台套法的内容以存货台套作为存货管理的单位，在某个存货台套中可以包括有关的各种单项存货。
它简化了工作的内容，并可保证供应的成套性。
二、ABC分类管理★按各种存货的价值和数量不同，将它们分成A、B、C三类。
A类：数量10%，价值70%，特殊物品如防火设备、易燃易爆物品、剧毒及辐射性物品等，对该类物品应细致的加强管理。
B类：数量30%，价值20%。
C类：数量60%，价值10%。
对B和C类在管理上可以适当粗略一些，只要不缺货，不影响正常生产即可。
4.3 库存费用分析和平均库存的概念一、库存费用分析★1、原材料库存费用模型库存费用=订货费+保管费其中：订货费=（年需要量/订货量）*一次订货费保管费=平均库存量*单位物资保管费=平均库存额*保管费率2、半成品和成品库存费用模型库存费用=工装调整费+保管费其中：工装调整费=（年计划产量/生产批量）*一次工装调整费保管费=平均库存量*单位物资保管费=平均库存额*保管费率4.4 经济订货量的计算方法经济订货量（EOQ）★:是使总的存货费用达到最低的为某个台套或某个存货单元确定的最佳的订货批量。
主要方法：1、表格计算法。
（了解）2、图解法。
（了解）3、数学方法：由库存费用=订货费+保管费=（年需要量/订货量）*一次订货费+平均库存量*单位物资保管费可推导出当订货费=保管费时库存总费用达到最低，带入已知数据可计算出经济订货量。
其中平均库存量=订货批量的一半，平均库存额=平均库存量*单价。
【例题·计算题】某工厂需要某种零件，每年需要量为1200个，每次订货的订货费用为300元，每个零件保管费为2元，求每次的最佳订货批量。
【答案】设最佳订货批量为X个/次则当保管费=订货费时，库存费用最低即112002300 2XX⨯⨯=⨯X=600个/次所以每次的最佳批量为600个.【解析】由库存费用=订货费+保管费=（年需要量/订货量）*一次订货费+平均库存量*单位物资保管费可推导出当订货费=保管费时库存总费用达到最低，带入已知数据可计算出经济订货量。
4.5 订货时间的确定1、再订货点：有两种含义，一种是时间上的含义，即什么时间再订货；另一种为存货水平上的含义。
2、前置时间：是提前时间的同义词，亦可称为订货提前期。
3、前置时间内的需求量：前置时间内的使用量就是需求量。
4、缺货：指仓库中已没有某项存货可以满足生产需求或销售需求时的状况。
缩短前置时间容易引起缺货。
5、安全库存量：为了预防可能出现的缺货现象而保持的额外库存量。
4.6 正确估价供应商所提供的数量折扣一、大批采购的优缺点1、大批采购的优点（1）可以按较低的单位价格采购（2）减少订货次数，降低订货费用（3）大批采购，也可大批量运输，可获得运价优惠（4）进货批量大，缺货可能性就减少。
2、大批量采购的缺点（1）大批量进货，保管费用较高（2）占用更多的资金（3）库存货物会变的陈旧、过时。
（4）库存货物的更换率低（5）适应时尚的灵活性较低（6）损耗增大，贬值的可能性也会增大。
二、正确评价供应者提供的数量折扣★经济订货量是使我们库存费用最低的订货批量，但供应商往往提出如果提高一次订货量，那么会在产品价格方面做出优惠，此时库存费用会增加，我们需要比较才能确定出哪种方案更合适。
【例题·计算题】某企业年需采购轴承200台套，每台套500元，每次的订货费用为250元，保管费用率为12．5%，供应商提出，若每次订货100台套，则轴承的进厂价可降为490元/台套。
试问能否接受这种优惠，每次订货100台套? （2008.7真题）【答案】设经济订货量为X台套/次则120050012.5%250 2XX⨯⨯=⨯X=40台/次此时库存费用为2500元成本为200⨯500=100000元总费用为102500元优惠后库存费用为120010049012.5%2503562.5 2100⨯⨯⨯+⨯=总成本为200⨯490=98000总费用为3562.5+98000=101562.5所以接受这种优惠【解析】分别计算不同方案下的总费用，选择费用较少的方案。
本章总结：本章各种题型都要涉及，选择、填空和名词解释主要从基本概念和性质中出题，计算题考点有两个（实质上是一个）：1、经济订货量的计算（包含数量、次数和时间的计算）；2、是否接受数量折扣。
第五章线性规划复习建议本章在历年考试中，处于相当重要的地位，建议学员全面掌握,重点复习。
从题型来讲包括单项选择题、填空题、名词解释和计算题题型都要加以练习。
重要考点：线性规划的模型结构；线性规划的图解法和线性规划的单纯形法等。
5.1 概述1、规划的目的：在现有人力、物力和财力等资源条件下，如何合理地加以利用和调配使我们在实现预期目标的过程中，耗费资源最少，获得受益最大。
2、线性规划的基本特点：基本特点是模型中的线性函数。
3、线性规划：“线性”是用来描述两个或多个变量之间的关系是直接成正比例的；“规划”是指使用某种数学方法使有限资源的运用达到最优化。
线性规划是一种合理利用资源、合理调配资源的应用数学方法。
5.2 线性规划的模型结构一、线性规划的模型结构1、变量：根据需求自己设出变量；2、目标函数：把想要实现的目标公式化；3、约束条件：实现目标的限制因素；4、变量非负：变量的取值应大于等于0。
二、线性规划建模的步骤1、明确问题，确定目标，列出约束因素。
2、收集资料，确立模型。
3、模型求解与检验。
4、优化后分析。
其中较为困难的是建立模型；建模的关键是提出问题，明确问题，确定目标；花时间、精力最大的是收集资料和数据。
5.3 线性规划的图解法图解法又称为几何解法，适用于2—3个变量的线性规划问题，再多就画不出图来了。
1、可行解：满足约束条件的解。
2、可行解区：全部可行解所分布的区域。
3、等值线：过过可行解区的凸交点并平行于目标函数的直线，分为等成本线和等利润线。
【例题·计算题】用图解法解线性规划问题：max F=2X1+4X2s.t. 4X1+5X2≤402≤X1≤102≤X2≤8【答案】如图所示如图所示，当X1=2,X2=6.4时，取得最大值为29.6。
【解析】图中阴影部分为可行解区，若有最优解，则最优解在可行解区的凸交点上，过交点画平行于目标函数的等值线（这里为等利润线，图中虚线），原点距离等利润线越远，说明利润越大，所以最远那条等利润线经过的那个交点即为最优解。
5.4 线性规划问题的单纯形法一、单纯形法的一般步骤★1、引入剩余变量或松弛变量，把约束方程中的不等式变为等式，新变量在目标函数中系数为零；2、观察有无基变量，若有则本步省略，如无则引入人工虚拟变量，凑出基变量，人工变量在目标函数中系数为M，是个极大的正数；3、列出单纯形表进行迭代：（1）判定是否最优：表中最后一行为判别指数行，求最大值时，数值都小于等于0时最优，最小值时相反；若最优则停止，不是最优继续下一步；（2）确定入基变量和出基变量：最后一行数值正数中最大的（或负数中最小的）所对应的列变量做为最大值问题（或最小值问题）的入基变量；最后一列数值与入基变量多对应系数比值最小的数值对应的行变量做为出基变量；（3）迭代：入基变量取代出基变量进行系数转换。
（4）重复（1）、（2）、（3）过程直至最优。
二、几个概念★1、设约束方程的个数为m，变量的个数为n，m<n时，可把变量分为基变量和非基变量两部分，基变量个数=方程个数=m，非基变量个数=n-m。
2、所有的非基变量都等于0时求出的特解我们称为基解或基础解，基解非负要求时叫做非负基解，也叫可行基解。
3、一个线性规划问题若有最优解，那么此最优解必定是某个基变量组的可行基解，由于每个基变量组的基解，不一定是可行的，即使是可行的，也不一定是最优的，所以求最优解的任务就在于：在许多可行基解中，找到最优的可行基解。
三、应用示例【例题·计算题】用单纯形法求解目标函数： MaxZ=2X1+X2约束条件：X2 ≤10；2X1+5X2 ≤60；X1+X2 ≤18；3X1+X2 ≤44；X1，X2 ≥0。
答案：引入松弛变量X3，X4，X5，X6把不等式变为等式。
X2+X3=10；2X1+5X2+X4=60；X1+X2+X5=18；3X1+X2+X6=44；X1，X2 ，X3，X4，X5，X6≥0初始单纯形表为：进行迭代求解第一次迭代：第二次迭代：所以最优解为X1=13，X2=5，X3=5，X4=9，X5=X6=0时，MaxZ=31。
【解析】该问题为一个完整的单纯形法求解过程，考试过程中从中间挑出一部分作为考试题目.本章总结：本章内容选择、填空和名词解释都会涉及，计算题考察主要有三个知识点：1、根据材料建立模型（不需求解）；2、利用图解法求解；3、单纯形法求解。
本章计算题经常会考其中2个，分值比较大，需特殊注意。
第六章运输问题复习建议本章在历年考试中，处于相当重要的地位，建议学员全面掌握,重点复习。
从题型来讲包括单项选择题、填空题、名词解释和计算题题型都要加以练习。
重要考点：西北角法；闭合回路法和修正分配法等。
6.1 运输问题及其特殊结构一、运输问题产销平衡表每一格中的具体运输数量我们不确定，我们可以设为Xij，代表从第i个产地运往第j个销售地点的运输数量，对于不同的运输数量，会产生不同的总运费，我们的目地就是找出所有满足要求限制的可能的运输数量的分配方案，然后从这些运输方案中选择最优的即总运费最低的方案。
运输问题的解：使得总运费最低的具体运输数量。
单位运价表单位运价表中每一个数据代表从不同产地运输一单位产品到不同销售地点所产生的运费，我们用Cij表示。
产销平衡表和单位运价表是一一对应的，我们可以把这两个表合为一个表称为平衡表。
二、表上作业法该方法分为下面三个步骤：1、找到一个初始方案2、根据判定标准判断是否最优3、若不是最优，对该案进行改进，然后重复第2、3步直到求出最优解来为止。