人教版九年级上册数学：圆周角定理的推论和圆内接多边形(公开课课件)
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全国优质课一等奖人教版九年级数学上册《圆(复习课件)》公开课课件
符号语言：
04
基础巩固（圆心角与圆周角）
圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的判断方法：观察顶点是否在圆心。
圆周角的定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的特征： ①顶点在圆上；②两边都和圆相交。
05
基础巩固（弧、弦、圆心角之间的关系）
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
基础回顾
02
热考题型
03
直击中考
CONTENTS
基础回顾
01
基础巩固（圆的概念）
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，
另一个端点A所形成的图形叫做圆。
其中，固定的端点O叫做圆心。
线段OA叫做半径。
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
02
基础巩固（圆的特征）
【特征一】圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形。
( n 2) 180
正n边形的一个内角的度数是____________;
n
360
中心角是___________;
n
相等
正多边形的中心角与外角的大小关系是________.
正n边形的周长为 P=na （P为正n边形的周长，α为边长）
正n边形的周长为 S
A
B
1
Pr （S为正多边形的面积，P为正多边形的周长，
①三角形内切圆半径公式： r
C
其中S为三角形的面积；C为三角形的周长.
ab
a +b- c
.
或r =
②特殊的直角三角形内切圆半径公式：r =
a+b+c
人教版九年级上册数学《圆周角》圆研讨说课复习课件
窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠ACB和∠AOB)谁的视
角大呢？
圆周角 圆心角
猜想一下 有什么发现？
测量与猜测 如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想 ∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC 36 BOC 72
BAC 1 BOC 2
01 推导与论证
Ye
圆心O在∠BAC 的一边上
2. 掌握圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定 理解决简单的几何问题.
1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
探究新知
知识点 1 圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
探究新知
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简
述理由.
B O·
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 的关系为： ∠A+ ∠C=180º，
∠B+ ∠D=180º.
想一想：如何证明你的猜想呢？
探究新知
证明：∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
推论：圆内接四边形的对角互补.
探究新知
想一想：图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
第二关
第三关
第四关
01
一级 根据图中的条件直接写出∠A的度数．
倒数10 秒钟
解：45°，40°，30°．
02
︵︵ 如图，AB＝BC，∠D＝35°，
则∠E＝ 3355°° ．
Hai
二级 如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠ABO＝50°，求
∠ACB的度数．
解：∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO＝50°， ∴∠AOB＝180°－50°－50°＝80°， ∴∠ACB＝12∠AOB＝40°．
人教版九年级数学上册《24章 圆 24.1 圆的有关性质 圆周角定理的推论和圆内接多边形》优质课课件_20
2、提问：在圆上固定一条弧，这条弧所对的 圆周角有无数个，怎样分类呢？
方3、法猜：想寻：找同等弧腰所三对角的形圆基周本角模与型圆，心角大小 有圆什心么在关角添的系一加呢边辅？上助圆线心构在造角的基内本部模型圆. 心在角的外部
E
小红旗 D
图1
图2
图3
4、证明：图1中 因为OC=OB，所以∠C=∠B
所以∠C=1/2∠AOB
图2中 同理可得： ∠ACD=1/2∠AOD,∠BCD=1/2∠BOD
所以∠ACD+∠BCD=1/2(∠AOD+∠BOD) 即∠ACB=1/2∠AOB
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角都 相等，都等于这条弧所 对圆心角的一半。
1.求圆中角X的度数
.O C
70° x
A
B
D
C 120°
O.
X B
A
2、如图，△ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
C
A
ห้องสมุดไป่ตู้
B
P
3、如图，∠A=50°， ∠ACD=20 ° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
A
ED O
B
C
畅所欲言：
今天你学到了什么知识？ 体会到了什么？
圆周角定理
1、 认识圆周角 。 2、 探索并证明圆周角定理。 3、 体会分类归纳、构建模型的
数学思想。
1、等腰三角形一底角等于顶点处的一个外角的 一半。 D
小红旗
C
A
B
2、圆心角。
1、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角 叫做圆周角． ∠ACB与∠AOB有是什同么弧关所系对呢的？圆我周角 们和怎圆么心研角究这个问题呢？
人教版九年级上册数学圆周角定理及推论的复习教学课件
C
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC 2 102 62 8
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
A
则∠AOC等于（ ）
A、50°；
BD、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ B ）
A、30°；
B、60°；
A
B
C、90°；
D、45°
P
人教版九年级上册数学圆周角定理及 推论的 复习教 学课件
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °
练习： 人教版九年级上册数学圆周角定理及推论的复习教学课件
D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
O.
X BA
B
A
B
A
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
人教版九年级上册数学圆周角定理及 推论的 复习教 学课件
人教版九年级上册数学圆周角定理及 推论的 复习教 学课件
• 1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有 什么关系？为什么？
C
O
新人教版九年级数学上册《圆周角》精品课件
对的弧的度数的一半.
弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
【想一想】1.如下左图，比较∠ACB，∠ADB，∠AEB的大小.
C D A O E
E
B
A
O B
F D
C ＝CD ， 2.如上右图，如果 AB 那么∠E和∠F是什么关系？
1 ∵AO=BO， CO= AB, 2
A · O B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径,∴∠ACB= 1×180°= 90°. 2
∴ △ABC 为直角三角形.
五、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.圆周角定义及其两个特征； 2.圆周角定理的内容及其推论； 3.思想方法：一种方法和一种思想： 在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想． 分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转 化成一系列的简单问题或已证问题．
三、后教环节 突出重点 突破难点
【跟踪训练】 1.如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ）. A.50° B.80° C.90° D.100°
B
O C A
2.如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆 周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC 等于（ B ）.
C
A.30°
B.60°
自学指导
认真看书85-88页，独立完成以下问题， 看谁做得又对又快？ 1、什么是圆周角，它和圆心角有区别吗？ 2、圆周角定理是什么？它的推论呢？ 3、什么是圆内接多边形？圆内接四边形四个 角之间有什么关系？
一、 情境导入
二、 先学环节 教师释疑
C
C
B
A C
人教版初中九年级上册数学《圆周角》精品课件
8 6
O
A
10
B
∴ AD=BD= 2 AB 2
= 5 2 （cm）．
D
知识点3 圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点 都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这 个多边形的外接圆.
C
D O
A
B
如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆.
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
C
那么，圆周角与弧、弦有什么 关系吗？
O
A
B
知识点2 圆周角定理的推论 同弧： ∠BAC与∠BDC同B⌒C，∠BAC与∠BDC
有什么关系？
证明：根据圆周角定理可知，
A
D
BAC 1 BOC, BDC 1 BOC.
2
2
∴ BAC BDC.
同弧所对的圆周角相等．
O
B
C
等弧：B⌒C=C⌒E，∠BDC与∠CAE有什么关系？
80° .
4.如图，点B、A、C都在⊙O上, ∠BOA＝110°，则∠BCA＝
125°.
5.如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC， ∠AOC=78°，求∠DAB的度数． 解：∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠B. 又∵∠B= 1 ∠AOC=39°. ∴∠DAB=239°.
6.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个 点，且∠ACB=45°，求弦AB的长. 解：连接OA、OB. ∵∠ACB=45°, ∴∠BOA=2∠ACB=90°. 又OA=OB, ∴△AOB是等腰直角三角形.
AB OA2 OB2 2OA2 2OA 2.
7.如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB= 60°，判断△ABC的形状并证明你的结论. 解：△ABC是等边三角形. 证明如下： ∵∠APC=∠ABC=60°，
《圆周角》课件精品 (公开课)2022年数学PPT全
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
人教版数学九年级上册课件22-第二十四章24.1.4圆周角
答案 A
图24-1-直径,由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等
知识点三 圆内接四边形的性质
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,则这个多边形叫做圆内接多边形, 这个圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补
符号语言
如图所示,如果四边形ABCD内接于☉O,那么∠A+∠C=∠B+∠D=180°
方法总结 在与圆的内接四边形有关的计算或证明中,利用圆内接四边形对 角互补进行角度转化是解决问题的关键.
经典例题全解
题型一 构造圆内接四边形求角度 例1 (2019山东德州中考)如图24-1-4-6,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距 离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 ( )
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°.
∵∠B为
︵
AC
所对的圆周角,且根据翻折的性质知
︵
ABC
所对的圆周角的度数等于∠ADC
的度数,
∴∠ADC+∠B=180°, ∴∠ADC=180°-65°=115°. ∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-25°-115°=40°.
例2 (2019辽宁营口中考)如图24-1-4-3,BC是☉O的直径,A,D是☉O上的两点,连接 AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是 ( )
A.20°
B.70°
图24-1-4-3
C.30°
D.90°
解析 如图24-1-4-4,连接AC, ∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=90°. ∵∠ACB=∠ADB=70°, ∴∠ABC=90°-70°=20°.故选A.
图24-1-直径,由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等
知识点三 圆内接四边形的性质
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,则这个多边形叫做圆内接多边形, 这个圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补
符号语言
如图所示,如果四边形ABCD内接于☉O,那么∠A+∠C=∠B+∠D=180°
方法总结 在与圆的内接四边形有关的计算或证明中,利用圆内接四边形对 角互补进行角度转化是解决问题的关键.
经典例题全解
题型一 构造圆内接四边形求角度 例1 (2019山东德州中考)如图24-1-4-6,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距 离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 ( )
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°.
∵∠B为
︵
AC
所对的圆周角,且根据翻折的性质知
︵
ABC
所对的圆周角的度数等于∠ADC
的度数,
∴∠ADC+∠B=180°, ∴∠ADC=180°-65°=115°. ∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-25°-115°=40°.
例2 (2019辽宁营口中考)如图24-1-4-3,BC是☉O的直径,A,D是☉O上的两点,连接 AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是 ( )
A.20°
B.70°
图24-1-4-3
C.30°
D.90°
解析 如图24-1-4-4,连接AC, ∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=90°. ∵∠ACB=∠ADB=70°, ∴∠ABC=90°-70°=20°.故选A.
人教版九年级数学上册《24章 圆 24.1 圆的有关性质 圆周角定理的推论和圆内接多边形》优质课课件_3
活动2 预习任务
知识点一 圆周角定理的推论
1.同弧或等弧所对的圆周角 相等. 2.半圆（或直径）所对的圆周角是 90° ， 90°的圆周角所对的弦是 直径 .
知识点二 圆内接四边形的性质及推论 圆内接多边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一
个圆上，这个多边形叫做圆内接多边 形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的推论：圆内接四边形的外角等于它的内角的对
九年级 上册
圆周角定理推论和圆内接多边形
活动1 温习旧知
1．圆周角定理的内容是什么？
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一边
︵ 2．如图，若BC的度数为100°，则∠BOC＝__1_0_0_°___， ∠A＝__5_0_°____.
学习目标
1．能推导和理解圆周角定理的两个推论，并 能利用这两个推论进行相关的证明和计算． 2．知道圆内接多边形和多边形的外接圆的概 念，明确不是所有多边形都有外接圆。 3.能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个 性质解决简单的计算和证明等问题。
归纳：
推论：９０°的圆周角所对的弦是直径．
活动4 探索圆内接四边形的性质
１．定义：如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形 叫做圆内接多边形, 这个圆叫做多边形的外接圆.
D
A
A
O
B
C
O
B
C
A
F
B
O·
E
C
D
探究
2.圆内接四边形的性质
如图：圆内接四边形ABCD中，四个内角之间有什么关 系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的
(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝100°， 则∠D＝_ _1_3_0_°___，∠B＝__5_0_°____；
初中数学人教版九年级上册《圆内接多边形》课件
=2 2，则AE2 +BE2的值为( C
)
∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC=∠BFC，∴△ACF=2 2，∠EFC=45°，∴EF2=16，
则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16.
圆内接四边形的角的“三种关系”：
1.对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝
人教版 九年级数学上
24.1.4
圆内接多边形
1.圆周角定义
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角.（二者必须同时具备）.
2.圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该圆弧所对的
圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
1.掌握圆内接四边形及其对角的性质.
2.掌握圆内接四边形外角的性质.
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠ADC=180°-∠AEC=100°.
如图，在△ABC中，∠ACB =90° ，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB
于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF.若∠EDC= 135°，CF
=2 2，则AE2 +BE2的值为(
A.8
)
B.12
C.16
解：∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°，
∴∠EFC=∠ABC=180°-∠EDC=45°，
∵∠ACB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
又∵EF是⊙O的直径，
∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACE，
D.20
如图，在△ABC中，∠ACB =90° ，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB
于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF.若∠EDC= 135°，CF
)
∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC=∠BFC，∴△ACF=2 2，∠EFC=45°，∴EF2=16，
则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16.
圆内接四边形的角的“三种关系”：
1.对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝
人教版 九年级数学上
24.1.4
圆内接多边形
1.圆周角定义
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角.（二者必须同时具备）.
2.圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该圆弧所对的
圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
1.掌握圆内接四边形及其对角的性质.
2.掌握圆内接四边形外角的性质.
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠ADC=180°-∠AEC=100°.
如图，在△ABC中，∠ACB =90° ，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB
于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF.若∠EDC= 135°，CF
=2 2，则AE2 +BE2的值为(
A.8
)
B.12
C.16
解：∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°，
∴∠EFC=∠ABC=180°-∠EDC=45°，
∵∠ACB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
又∵EF是⊙O的直径，
∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACE，
D.20
如图，在△ABC中，∠ACB =90° ，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB
于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF.若∠EDC= 135°，CF
人教版数学九年级上册圆周角的概念和圆周角的定理课件
小结: 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且 任何一个外角都等于它的内对角。
利用圆周角定理解题应注意哪些问题？
D
A
O 40° B
C
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
小结:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相 交的角叫圆周角.
2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90° 90°的圆周角所对的弦是圆的直径
3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相 等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角 所对的弧相等。
一、概念
什么叫做圆周角？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
D A
C
O·
E
B
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
三、探究
分别量一下图中 所对的两个圆
周角的度数，比较一下，再变动
点C在圆周上的位置，圆周角的
度数有没有变化？你能发现什么
D
规律吗？
再分别量出图中 所对的圆周角
和圆心角的度数，比较一下，你
2 求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO， CO= AB, ∴AO=BO=CO.
A
·
B
O
∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, ∴∠ACB= ×180°= 90°. ∴ △ABC 为直角三角形.
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
些是相等的角？
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7 ∠3 = ∠6
A1
24.1.3圆周角++课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册
圆内接四边形的对角互补
(4) 圆的内接四边形的性质：__________________________．
知识点1
圆周角的定义
1．下列图形中的角是圆周角的是
( B )
知识点2
圆周角定理
2 ． (2023·云 南 省 中 考 ) 如图 ， AB是 ⊙O的 直 径 ， 点 C是 ⊙O上 一
点．若∠BOC＝66°，则∠A＝
考点3
圆周角与分类讨论思想
13．⊙O是正方形ABCD的外接圆，若点P在⊙O上且与点A，B不重
45或135
合，则∠APB的大小为___________度.
考点4
定弧、定弦、定角思想
14．如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆的中点，动点D从点A出
发，在圆周上顺时针匀速运动，到达点B后停止运动，在点D运动过程
A．66°
B．33°
C．24°
D．30°
( B )
3．(2023·甘孜州中考)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，
则∠ABO的度数为
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
( C )
知识点3
圆周角定理的推论
4．(2023·广东省中考)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则
∠D＝
A．20°
∴DE＝ 2 − 2 ＝1.
5
2
2
2
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB ＝(OB－1) ＋2 ，解得OB＝ .
2
5
即⊙O的半径是 .
2
课后强化
1．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝140°，则∠ACB的度
数为
( C )
A．40°
(4) 圆的内接四边形的性质：__________________________．
知识点1
圆周角的定义
1．下列图形中的角是圆周角的是
( B )
知识点2
圆周角定理
2 ． (2023·云 南 省 中 考 ) 如图 ， AB是 ⊙O的 直 径 ， 点 C是 ⊙O上 一
点．若∠BOC＝66°，则∠A＝
考点3
圆周角与分类讨论思想
13．⊙O是正方形ABCD的外接圆，若点P在⊙O上且与点A，B不重
45或135
合，则∠APB的大小为___________度.
考点4
定弧、定弦、定角思想
14．如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆的中点，动点D从点A出
发，在圆周上顺时针匀速运动，到达点B后停止运动，在点D运动过程
A．66°
B．33°
C．24°
D．30°
( B )
3．(2023·甘孜州中考)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，
则∠ABO的度数为
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
( C )
知识点3
圆周角定理的推论
4．(2023·广东省中考)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则
∠D＝
A．20°
∴DE＝ 2 − 2 ＝1.
5
2
2
2
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB ＝(OB－1) ＋2 ，解得OB＝ .
2
5
即⊙O的半径是 .
2
课后强化
1．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB＝140°，则∠ACB的度
数为
( C )
A．40°
九年级数学上册(人教版)圆周角-推论2,3及圆内接四边形课件
D
∴AOD=BOD=90º, ∴AD=BD
在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,
∴AD=BD=
2 AB 5 2
2 (cm)
当堂训练
圆周角定理的推论2、3
知识点一
1.如图,BD是⊙O的直径,∠CBD=30º,则∠A的度数为( C )
A.30º B.45º C.60º D.75º
B
A
O
C
D
01 圆周角定理的推论2、3
知识要点 02
圆内接四边形定理
精讲精练
03 圆内接四边形定理的推论
探究新知
D
圆内接四边形定理
A
B
知识点二
C
C O
AE O
BA
O
D
B
D
C
F
E
圆内接多边形：
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫
做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
探究新知
圆内接四边形定理
知识点二
探究性质：如图,四边形ABCD为⊙O的内接四 A
知识点一
【例1】如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm.∠ACB的平分线交⊙O
于D,求BC、AD、BD的长．
C
解:连接OD，
∵AB是⊙O的直径, ∴ACB=ADB=90º.
பைடு நூலகம்
A
O
B
在Rt△ABC中,BC= AB2 AC2 102 62 8(cm)
∵CD平分ACB, ∴ACD=BCD=45º,
∴∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º.
典例精讲
圆内接四边形定理
知识点二
【例2】若四边形ABCD为圆内接四边形,则∠A:∠B:∠C:∠D=( B )
人教版九年级上册数学圆周角定理及推论的复习ppt课件
人教版九年级上册数学圆周角定理及 推论的 复习ppt 课件
人教版九年级上册数学圆周角定理及 推论的 复习ppt 课件
8.如图，AB是⊙O的直径AB=10cm, 弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.
C
6
A
O
B
P 10
D
人教版九年级上册数学圆周角定理及 推论的 复习ppt 课件
2
2
课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2 求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO， CO= AB,
∴AO=BO=CO. 1 2
直角，那么∠AOB是
。
180°
A
O
B 推论3：半圆（或直径）所对 的圆周角是直角；90°的圆 周角所对的弦是直径。
归纳：
推论2
同弧或等弧所对的圆周角相等．在同圆或等 圆中，相等的圆周角所对的弧相等
推 论3
半圆（或直径）所对的圆周角
C2
是直角;
C1
90°的圆周角所对的弦是直径．
C3
A
·O
B
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
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A ED
O
C
C
O
B
人教版九年级上册数学圆周角定理及 推论的 复习ppt 课件
5：已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
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8.如图，AB是⊙O的直径AB=10cm, 弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.
C
6
A
O
B
P 10
D
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2
2
课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
2 求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO， CO= AB,
∴AO=BO=CO. 1 2
直角，那么∠AOB是
。
180°
A
O
B 推论3：半圆（或直径）所对 的圆周角是直角；90°的圆 周角所对的弦是直径。
归纳：
推论2
同弧或等弧所对的圆周角相等．在同圆或等 圆中，相等的圆周角所对的弧相等
推 论3
半圆（或直径）所对的圆周角
C2
是直角;
C1
90°的圆周角所对的弦是直径．
C3
A
·O
B
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
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A ED
O
C
C
O
B
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5：已知⊙O中弦AB的等于半径， 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
九年级数学上册-圆周角第2课时圆周角定理推论和圆内接多边形教案新版新人教版
第2课时 圆周角定理推论和圆内接多边形1．能推导和理解圆周角定理的两个推论,并能利用这两个推论解决相关的计算和证明．2．知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念,明确不是所有多边形都有外接圆．3．能证明圆内接四边形的性质,并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题．重点圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用．难点圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加辅助线．活动1 温习旧知1．圆周角定理的内容是什么？2．如图,若BC ︵的度数为100°,则∠BOC＝________,∠A ＝________.3．如图,四边形ABCD 中,∠B 与∠1互补,AD 的延长线与DC 所夹的∠2＝60°,则∠1＝________,∠B ＝________.4．判断正误:(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数；( )(2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．( )答案:1.略；2.100°,50°；3.120°,60°；4.略活动2 探索圆周角定理的“推论”1．请同学们在练习本上画一个⊙O.想一想,以A,C 为端点的弧所对的圆周角有多少个？试着画几个．然后教师引导学生:观察下图,∠ABC,∠ADC,∠AEC 的大小关系如何？为什么？让学生得出结论后,教师继续追问:如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”,结论正确吗？2．教师引导学生观察下图,BC 是⊙O 的直径．请问:BC 所对的圆周角∠BAC 是锐角、直角还是钝角？让学生交流、讨论,得出结论:∠BAC是直角．教师追问理由．3．如图,若圆周角∠BAC＝90°,那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？4．师生共同解决教材第87页例4.活动3探索圆内接四边形的性质1．教师给学生介绍以下基本概念:圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆．2．要求学生画一画,想一想:在⊙O上任作它的一个内接四边形ABCD,∠A是圆周角吗？∠B,∠C,∠D呢？进一步思考,圆内接四边形的四个角之间有什么关系？3．先打开几何画板,验证学生的猜想,然后再引导学生证明,最后得出结论:圆内接四边形对角互补．4．课件展示练习:(1)如图,四边形ABCD内接于⊙O,则∠A＋∠C＝________,∠B＋∠ADC＝________；若∠B＝80°,则∠ADC＝________,∠CDE＝________；(2)如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠AOC＝100°,则∠D＝________,∠B＝________；(3)四边形ABCD内接于⊙O,∠A∶∠C＝1∶3,则∠A＝________；(4)如图,梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,∠B＝75°,则∠C＝________.(5)想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗？答案:(1)180°,180°,100°,80°；(2)130°,50°；(3)45°；(4)75°；(5)都有．活动4巩固练习1．教材第88页练习第5题．2．圆的内接梯形一定是________梯形．3．若ABCD为圆内接四边形,则下列哪个选项可能成立( )A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1答案:1.略；2.等腰；3.B.活动5课堂小结与作业布置课堂小结本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质,要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念,理解圆内接四边形的性质定理；并初步应用性质定理进行有关问题的证明和计算．作业布置教材第89～91页习题第5,6,13,14,17题．。