《比较线段的长短》示范公开课教学设计【北师大版七年级数学上册】

第四章基本平面图形
4.2比较线段的长短教学设计
一、教学目标
1．了解“两点之间的所有连线中，线段最短”．
2．能借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短．
3．能用圆规作一条线段等于已知线段．
4．知道中点的定义，会用符号表示中点.
二、教学重点及难点
重点：比较线段的方法，线段的公理，线段中点的概念．
难点：比较线段的方法以及线段的中点理解和应用．
三、教学准备
圆规、直尺
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【问题情境】创设情境，提出问题
师生活动：教师利用课件展示以上的图片，并回答问题：
观察以上图片，谁的身高更高？哪棵树高？哪支铅笔长？窗框相邻的两条边哪条边长？
设计意图：七年级学生的学习带有强烈的情感色彩，对于熟悉的情境、感兴趣的问题能够很容易的展开思维．利用姚明、李连杰的明星效应，把现实生活中的娱乐问题转化为数学活动的几何图形，让学生体会到“快乐数学”．
在生活中我们经常会比较物体的长短，那么究竟可以概括为哪些方法，我们通过研究线段的长短进行探究.
板书：4.2比较线段的长短
【新知讲解】合作交流，探索新知
探究一：比较线段长短的方法
活动1.两名同学演示比较身高.
活动2.归纳总结：
方法一：目测法比较线段的长短：
方法二：用度量法比较线段的长短：
用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度，将长度进行比较．
方法三：叠合法比较线段的长短：
步骤：
（1）将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合；
（2）线段AB沿着线段CD的方向落下；
（3）若端点B与端点D重合，则得到线段AB等于线段CD，可以记作AB＝CD．
若端点B落在C，D之间，则得到线段AB小于线段CD，可以记作AB＜CD．
若端点B落在D外，则得到线段AB大于线段CD，可以记作AB＞CD．
设计意图：学生通过亲身实践，感受知识的形成过程，培养学生的动手、动脑、动口能力．归纳重叠比较法，进而向学生渗透分类的思想．用度量法比较线段的长短，其实就是比较两个数的大小．从“数”的角度去比较线段的长短，在此活动环节中，教师从数与形这两方面对线段长短的比较进行了说明，这样做既肯定了学生比较的方法，肯定了实际生活中的经验，同时又将生活中的方法科学化，实现了知识的抽象与升华．
活动3.作图：画一条线段等于已知线段
已知线段a，用直尺和圆规画一条线段，使它等于已知线段a.
方法（1）度量法：
先量出线段a 的长度，再画出一条等于这个长度的线段AB ．
方法（2）尺规作图法：尺规作图就是用无刻度的直尺和圆规作图． 第一步：先用直尺画一条射线AC ； 第二步：用圆规在射线AC 上截取AB ＝a ．； 线段AB 及为所求.
注意：这里教材上给出了两种画线段等于已知线段的方法，一种是使用刻度尺测量解决，另一种尺规作图，要使学生明白这两种方法的不同之处，并能准确掌握．
先让学生自己尝试画，然后教师示范画图并叙述作法，让学生模仿画图，该问题不必要求学生写画法，但最后必须写出结论.
设计意图：本环节中教师指导学生作图，在学生动手操作的基础上，向学生初步渗透圆规的作用，为后面学习尺规作图打基础．
B
A
探究二：线段的和差与画法：
活动1.如图，线段AB 和AC 的大小关系是怎样的？线段AC 与线段AB 的差是哪条线段？你还能从图中观察出其他线段间的和、差关系吗？
师生活动：让学生四人一小组交流、讨论，回答问题．教师关注学生是否认真讨论，能否找出其他线段间的和、差关系．
小结：（1）AB ＜AC ； （2）AC －AB ＝BC ； AC －BC ＝AB ； BC ＋AB ＝AC ．
活动2.如图，已知线段a 和线段b ，怎样通过作图得到a 与b 的和、a 与b 的差呢？
师生活动：让学生自主学习教材相关内容，然后由一名学生上黑板解答该问题．其他学生在练习本上画一画，教师巡回指导，关注学生画图是否规范，纠正画错的学生，最后师生一起点评．
小结：在直线上作线段AB ＝a ，再在AB 的延长线上作线段BC ＝b ，线段AC 就是a 与b 的和，记作AC ＝a ＋b ．
C
B A b
a
在直线上作线段AB＝a，再在AB上作线段AC＝b，线段BC就是a与b的差，记作BC ＝a－b．
设计意图：充分发挥学生的主观能动性，把课堂交给学生，教师只在关键之处进行点拨即可．
探究三：线段的中点
活动1.通过折纸，探索线段的中点．
(1)在一张透明纸上画一条线段AB；
(2)对折这张纸，使线段AB的两个端点重合；
(3)把纸展开铺平，标明折痕点C.
教师：刚才用折纸的方法找出AB的中点C，你还能通过什么方法得到中点C呢？
活动2.学生动手演示得到线段中点的方法：
度量法、尺规截取法
归纳总结：
线段中点定义：点C把线段AB分成相等的两部分，则点C叫做线段AB的中点．
类似地，还有三等分点、四等分点等．
关键点：线段的中点应满足的两个条件：①点M在线段AB上；②AM＝BM．
线段间的关系：用几何语言表示：
因为点C是线段AB的中点，AM＝BM＝1
2
AB；AB＝2AM＝2BM．
设计意图：以折纸的方法，使学生在动手操作的基础上发现中点问题中所存在的数量关系，在教材中的方法的基础上鼓励学生发现更多的找中点的方法，从而对中点这一重要的数学概念有更好的理解．
探究四：基本事实
如图，从A地到B地有四条路．
问题1：从A地到B地的四条道路中，哪条路最近？，除它们外，能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线．问题2：从这个现象中，你能得到什么结论？
问题3：你还能举出类似的例子吗？
归纳：线段公理：两点的所有连线中，线段最短．简单说成，两点之间，线段最短．连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离．
需要强调两点之间的线段的长度叫两点间的距离，而不是两点间的线段，线段是图形，线段的长度是数值；
举例：从A到B架电线，总是尽可能沿着线段AB架设等．
设计意图：通过对以上问题的解决，归纳出关于线段的基本事实，培养学生观察、发现问题的能力和归纳总结的能力．
【典型例题】
例1.（1）在直线上顺次取A，B，C三点，使AB=4cm，BC=3cm，点O是线段AC的中点，则线段OB的长是（ A ）
A. 0.5cm
B. 1cm
C. 1.5cm
D. 2cm
分析：由于是顺次取A，B，C三点，所以不用考虑多种情况.
（2）如图，若AB＝CD，则AC与BD的大小关系为( )．
A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．不能确定
解析：本题可用线段的和、差表示要比较的两条线段，从而判断两条线段的大小关系．因为AB＝CD，
所以AB＋BC＝CD＋BC.
又因为AB＋BC＝AC，CD＋BC＝BD，
所以AC＝BD．
答案：C．
例2．如图是A，B两地之间的公路，在公路工程改造时，为使A，B两地行程最短，请在图中画出改造后的公路，并说明你的理由．
分析：根据“两点之间，线段最短”，可直接连接AB．
解：如图，连接AB．
理由是：两点之间的所有连线中，线段最短．
例3．已知线段a，b(2a＞b)．用直尺和圆规作一条线段，使这条线段等于2a－b．
分析：先作出一条线段等于2a，再在这条线段上截取一条线段等于b，则剩余线段就是所求作线段．
作法：①作射线AM（如图）；
①在射线AM上依次截取AB＝BC＝a；
①在线段AC上截取AD＝b．
线段DC就是所求作的线段．
例4．已知三角形ABC，如图，试比较AC＋BC与AB的大小关系．
分析：方法一：用刻度尺直接度量三角形三条边，求出AC＋BC的长度，就可以与AB比
较大小了；方法二：如图，在AB上截取线段AD＝AC，再比较BC与BD的大小关系即可．
解：经过比较，可以得到：AC＋BC>AB．
例5．如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝6 cm，BC＝4 cm，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AB＝a，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？请表述你发现的规律．
分析：（1）线段MN＝MC＋CN，可先利用已知条件和线段中点的定义分别求出线段MC
和线段CN的长；（2）根据线段中点的定义，可知MC＋CN＝1
2
AC＋
1
2
BC＝
1
2
(AC＋BC)＝
1
2
AB，代入后可得到MN的长度．
解：（1）因为线段AC＝6 cm，BC＝4 cm，点M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝1 2
AC＝1
2
×6＝3(cm)，CN＝
1
2
BC＝
1
2
×4＝2(cm)，MN＝MC＋CN＝3＋2＝5(cm)．
（2）MN＝1
2 a．
规律：一点将一条线段分成两条线段，则这两条线段中点之间的距离等于原线段长的一半．
设计意图：通过练习来发现学生对本节内容的掌握情况，发现学生学习中的问题，及时解决，争取把问题反映在课堂上，在课堂上解决．
【随堂练习】
1．（1）两点之间线段的长度是（C）．
A．线段的中点B．线段最短C．两点间的距离D．线段
（2）若点P是线段CD的中点，则（B）．
A．CP＝CD B．CP＝PD C．CD＝PD D．CP＞PD
（3）在跳大绳比赛中，要在两条大绳中挑出一条最长的绳子参加比赛，选择的方法是（A）．
A．把两条大绳的一端对齐，然后拉直两条大绳，另一端在外面的即为长绳
B ．把两条大绳接在一起
C ．把两条大绳重合观察另一端情况
D ．没有办法挑选
（4）下列图形中能比较大小的是（ A ）．
A ．两条线段
B ．两条直线
C ．直线与射线
D ．两条射线 2．在①ABC 中，BC ＿＿＿＿AB ＋AC （填“＞”“＜”“＝”），理由是＿＿＿＿．
＜,两点之间的所有连线中，线段最短．
3．直线l 上依次有三点A ，B ，C ，AB ①BC ＝2①3，如果AB ＝2厘米，那么AC ＝＿＿＿厘米．
思路解析：根据比例的性质可得AB ①BC ＝2①3，BC ＝3厘米，所以AC ＝2＋3＝5厘米． 4．如图所示，已知AB ＝40，C 是AB 的中点，D 是CB 上的一点，E 是DB 的中点，CD ＝6，求ED 的长．
解：①C 是AB 的中点，①AB ＝2BC ．
①AB ＝40，①BC ＝20．①BD ＝BC －CD ，CD ＝6，①BD ＝14． ①E 是DB 的中点， ①ED ＝7（厘米）．
5．已知线段AB ＝8 cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC ＝4cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长．
思路解析：本题是关于中点的计算以及分类讨论的问题，题中只说明A ，B ，C 三点共线，但无法判断点C 是在线段AB 上，还是在AB 的延长线上，所以要分情况讨论．
（1）
解：第（1）种情况，如图（1），当点C 在线段AB 上时， 因为M 是AC 的中点， 所以AM ＝
2
1
AC ． 因为AC ＝AB －BC ＝8－4＝4 cm ，
所以AM ＝
21AC ＝2
1
×4＝2 cm ．
（2）
第（2）种情况，如图（2），当点C 在线段AB 的延长线上时， 因为点M 是AC 的中点， 所以AM ＝
2
1
AC ． 因为AC ＝AB ＋BC ＝8＋4＝12 cm ， 所以AM ＝
21AC ＝2
1
×12＝6 cm ． 所以AM 的长度为2 cm 或6 cm ．
六、课堂小结
这节课你学到了什么？ (1)线段长短比较的方法； (2)画一条线段等于已知线段； (3)线段的和、差的概念及画法； (4)两点间距离的概念；
(5)线段的性质“两点间线段最短”及应用； (6)线段的中点的概念及简单的应用．
师生活动：教师鼓励学生先自述学会了什么，然后找几位学生谈收获和体会． 设计意图：培养学生自我总结、自我评价能力，学会把零散的知识进行整理和优化，完善自己的知识构建．
七、板书设计。