多元函数的极值与最优化问题汇编
一些典型的多元函数极值问题
一些典型的多元函数极值问题多元函数极值问题是数学分析中非常重要的研究对象，它们存在于许多实际问题中。
本文将介绍一些典型的多元函数极值问题，包括拉格朗日乘数法、约束条件下的优化、非线性规划等。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束多元函数极值的方法。
在该方法中，将约束条件加入到目标函数中，并利用等式约束条件和拉格朗日乘数，将多元函数极值转化为无约束多元函数极值问题。
下面以一个简单的例子来说明拉格朗日乘数法。
假设有一个函数 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2$，同时满足约束条件$x+2y+3z=6$，其中 $x,y,z$ 均为实数。
现在要求 $f(x,y,z)$ 在约束条件下的最小值。
根据拉格朗日乘数法，我们将函数 $f(x,y,z)$ 加上一个等式约束条件 $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$，并构造拉格朗日函数$L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。
于是，我们可以写出拉格朗日函数：$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+2y^2+3z^2+\lambda(x+2y+3z-6)$$接下来，我们要求 $L(x,y,z,\lambda)$ 对 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数，令其都等于零，求得极值点。
即：$$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial y}=4y+2\lambda=0 \\\dfrac{\partialL}{\partial z}=6z+3\lambda=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=x+2y+3z-6=0 \end{cases}$$解方程组得到：$x=-\dfrac{\lambda}{2},y=-\dfrac{\lambda}{2},z=-\dfrac{\lambda}{2},\lambda=2$。
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值多元函数是在多个自变量的基础上建立起来的函数，其中每个自变量可以取不同的取值范围。
函数中的每个自变量都有可能对因变量产生影响，因此在寻找该类函数的极值和最值时，需要使用二元函数求导以及极值的方法进行研究分析。
本文将详细阐述多元函数的极值与最值的相关概念和定理，并探讨如何应用这些方法进行问题解决。
一、多元函数的极值和最值1. 极值极值是指一个函数在可定义范围内的自变量取值中，使得该函数取得最大值或者最小值的某个特定点。
当函数在该点处的导数为0时，这个点被称为函数的驻点；如果在该点处导数变号，那么该点就是函数的极值点。
因此，求多元函数的极值就需要用到多元函数求导的技巧，从而找到导函数为0的点。
2. 最值最值是指一种特殊的极值，它是多元函数在所有可定义自变量取值范围内所取得的最大值或最小值。
一般来说，函数的最值不一定是在驻点处取得，而是可能在该函数的可定义区间的极点或边界处取得。
二、多元函数的求导方法多元函数的求导方法一般可以通过偏函数求导的方式实现。
即，将多元函数转化为一组由每个自变量为变量的一元函数，再对每个一元函数分别求导。
由于多元函数的求导方法较为复杂，因此需要有以下几个步骤：1. 将多元函数转化为一系列一元函数可以将多元函数按照自变量分别取值范围确定的函数写成形如f(x1,x2,...,xn) = y的形式。
其中，x1,x2,...,xn表示自变量，y为因变量。
2. 对每一个自变量求偏导数在多元函数中，并不是所有自变量对函数的影响都是一样的。
因此，我们必须分别计算每个自变量的导数，即偏导数。
在对每个自变量求偏导数时，其他变量都被视为常量，只对当前变量进行求导操作。
3. 求出最终导数表达式在求出所有的偏导数之后，需要根据求导规则求出最终的导数表达式。
为了求出多元函数的驻点，需要将各个偏导数求出的结果联立，并得到所有自变量为未知数的方程组。
4. 解方程组求得极值或最值最后，我们可以使用解线性方程组的方法，从而求得多元函数的极值或最值点。
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
多元函数的极值和最优化问题
多元函数的极值和最优化问题多元函数是指同时含有两个或更多个变量的函数。
在数学中，研究多元函数的极值和最优化问题是一项重要的工作。
通过寻找函数取得最大值或最小值的点，可以在各种实际问题中找到最优解。
对于多元函数，极值点可以是极大值或极小值。
极值点可以通过求偏导数和解方程组来求解。
在求解时，首先需要计算函数的偏导数，然后令偏导数等于零，解此方程组可以得到极值点。
为了更好地理解多元函数的极值问题，下面以一个简单的例子进行解释。
假设有一个函数 f(x, y) = x^2 + y^2 ，我们的目标是找到这个函数的极值点。
首先，我们计算函数 f(x, y) 对 x 和 y 的偏导数。
偏导数是指在其他变量保持不变的情况下，对某一变量求导。
对于本例中的函数 f(x, y)，我们有以下偏导数：∂f/∂x = 2x∂f/∂y = 2y接下来，我们令偏导数等于零，并解这个方程组：2x = 02y = 0从方程组可以得到 x = 0，y = 0。
因此，函数的极值点为 (0, 0)。
同时，我们还需要判断这个极值点是极大值还是极小值，或者是鞍点。
为了做出判断，我们可以利用二阶偏导数的判定方法。
通过计算二阶偏导数的行列式，判断其正负性来确定。
在本例中，我们计算函数 f(x, y) 的二阶偏导数：∂²f/∂x² = 2∂²f/∂y² = 2二阶偏导数的行列式为H = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² = (2)(2) - 0 = 4由于 H 大于零，所以函数的极值点 (0, 0) 是极小值点。
除了求取多元函数的极值点外，最优化问题也是多元函数的重要应用之一。
最优化问题的目标是找到函数取得最大值或最小值的点，并且通常还需要满足一些约束条件。
最常见的最优化问题是线性规划和非线性规划问题。
在线性规划问题中，目标函数和约束条件都是线性的。
第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (9)
1 1 1 , y = , z = − , 代入式(8)解得 λ λ 2λ
λ=
当λ =
3 3 或λ = − , 2 2
3 1 2 2 时, 可得 x = − , y = , z = − , 2 3 3 3
3 1 2 2 当 λ = − 时, 可得 x = , y = − , z = . 2 3 3 3
第九节
多元函数的极值与最优化问题
习题 8-9
1. (1) 解
求下列函数的极值: f ( x, y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) ; (1) 先求函数的驻点. (2) f ( x, y ) = e 2 x ( x + y 2 + 2 y ) .
2 ⎧ ⎪ f x = (6 − 2 x)(4 y − y ) = 0, 求得五组解 解方程组 ⎨ 2 f = (6 x − x )(4 − 2 y ) = 0, ⎪ y ⎩
f ( x, y ) = 1 − 2 y + 3 y 2 (1 ≤ y ≤ 2) ,
由 f ′( x, y ) = −2 + 6 y = 0 , 得 y =
1 (舍去). 3
f ( x, y ) = 1 − 2 y + 3 y 2 对应于 y = 1, y = 2 处的值分别为 2,9.
因此通过比较可知, f ( x, y ) 在闭区域 D 上的最大值为 11, 最小值为 2. 注意 如果二元函数在有界闭区域 D 上连续, 在 D 内可微分, 且只有有限个驻 点, 那么求二元函数在 D 上的最值的一般方法是, 先求函数在 D 内的所有驻点处的 函数值, 再考虑函数在 D 的边界上的最大值和最小值, 把它们加以比较, 其中最大 的就是最大值, 最小的就是最小值.
8-8多元函数极值和最值-PPT文档资料
z
O
y
x
回忆
一元函数极值的必要条件
如果函数 f(x)在x0处可导,且f(x)在x0 处取得极值, 那么 f(x0)0.
一元函数极值(第二)充分条件
如f果 (x0)0,f ( x0 ) 0 ( 0),则f (x0)为
极大值 (极小值).
二元函数极值的必要条件
定理 设 zf(x,y)在 (x0 点 ,y0)具有 偏导数, 且在(x点 0,y0)处有极值, 则
函数的极大值与极小值统称为 极值. 函数的极大值点与极小值点统称为 极值点.
z
例 函数 z3x24y2 椭圆抛物面
在(0,0)点取极小值. (也是最小值). O y
xz
例 函数 z x2y2 下半圆锥面
O
x
y
在(0,0)点取极大值. (也是最大值).
例 函数 zxy 马鞍面
在(0,0)点无极值.
8.8 多元函数的极值与最值
8.8.1 多元函数的极值 8.8.2 多元函数的条件极值 8.8.3 Lagrange(拉格朗日)乘数法 8.8.4 多元函数的最值及其应用
8.8.1 多元函数的极值(extremum)
极大值和极小值的定义 和一元函数一样，极值是局部概念
定义 设在点P0的某个邻域, f(P)f(P0),则称 点P0为函数的极大值点.f (P0) 为极大值(relative maximum). 类似可定义极小值点和极小值(relative minimum).
③定出 ACB2的符号, 判定是否是极值.
例 求 f( x 函 ,y ) 3 a 数 x x 3 y 3 ( a 0 )的极值.
解
①解方程组
fx fy
多元函数的极值与最优化
多元函数的极值与最优化多元函数是指具有多个自变量的函数，它在数学及实际问题中都扮演着重要的角色。
在求解多元函数的极值及最优化问题中，需要运用一系列数学方法和工具，如导数、梯度、约束条件等。
本文将简要介绍多元函数的极值和最优化，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、多元函数的极值多元函数的极值是指在一定范围内，函数取得最大值或最小值的点。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，常用的求得其极值的方法是求导。
假设函数的各个偏导数存在，则需要解方程组∂f/∂xi = 0 (i = 1, 2, ..., n)来求得驻点。
进一步，可以通过二阶偏导数的符号来判断该点是否为极值点。
通过求解多元函数极值问题，可以帮助我们找到函数的最大值或最小值，从而指导实际问题的决策。
例如，在经济学中，利润函数可以看作是一个多元函数，通过求解其极值，可以帮助企业寻找最佳的经营策略。
二、多元函数的最优化多元函数的最优化问题是指在一定范围内，寻找使得函数取得最大值或最小值的自变量的值。
在最优化问题中，除了极值点外，还需要考虑约束条件。
最优化问题可以通过无约束最优化和约束最优化两种情况来进行求解。
无约束最优化问题是指在没有约束条件下，寻找函数的最大值或最小值。
常用的求解方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步接近最优解。
约束最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找函数的最大值或最小值。
常用的求解方法有拉格朗日乘数法、KKT条件等。
这些方法通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入目标函数，从而转化为无约束最优化问题进行求解。
最优化问题在现实中有着广泛的应用，如在工程设计中，需要优化设备的性能指标，可以利用最优化方法找到最佳的设计参数值。
三、多元函数的极值与最优化的实际应用多元函数的极值和最优化在实际中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：在经济学中，通过求解效用函数的最大值问题，可以帮助消费者做出最优的消费决策；求解利润函数的最大值问题，可以帮助企业找到最佳的生产策略。
多元函数的极值与最优化问题
设每张CD 28 元，每个U盘 80 元，问他如何分配这 2000 元以达到最佳效果．
一般地，所谓条件极值，就是求 在附加条件： 问题的实质：求
求条件极值的方法主要有两种：
01
的无条件极值.
02
拉格朗日乘数法
03
将条件极值转化为无条件极值
04
下的可能极值点.
05
步骤：
1 构造函数
)
,
(
)
,
求函数
解 第一步 求驻点.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步
解方程组
的极值.
求A、B、C的值，并列表判别
12
0
6
极小，
72
-5
解
例5
P
即
01
驻点为
02
(
03
1
04
1
05
)
06
函数在 P 有极值 故
二、多元函数的最值
依据 (这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件方程)
要设计一个容量为
则问题为求
令
解方程组
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,
下水箱表面积
最小.
x , y , z 使在条件
试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
的长方体开口水箱,
例8-4
得唯一驻点
因此 , 当高为 思考: 提示: 利用对称性可知, 提示: 长、宽、高尺寸相等 .
由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
2x,
故长方体的体积
2y,
h - z.
多元函数的极值与最优化问题
要点二
算法改进
在算法方面，我们可以进一步改进现 有的最优化算法，以提高它们的效率 和稳定性。此外，我们也可以探索新 的算法，以更好地处理大规模和高维 度的数据。
要点三
应用拓展
在应用方面，我们可以进一步拓展我 们的研究到更多的领域，包括但不限 于机器学习、数据科学、统计学、运 筹学等。此外，我们也可以将我们的 研究应用到实际问题中，以解决实际 问题并产生实际价值。
极值的判定条件
必要条件
如果$f(x_0)$是极小值，那么$f_{xx}(x_0) geq 0$；如果$f(x_0)$是极大值，那 么$f_{xx}(x_0) leq 0$。
充分条件
如果$f_{xx}(x_0) > 0$，则$f(x_0)$为极小值；如果$f_{xx}(x_0) < 0$，则 $f(x_0)$为极大值。
投资组合优化
在金融领域，投资者需要选择一组资产进行投资，以实现风险和收益的平衡。这需要解 决多元函数的极值问题，找到最优的投资组合。
在工程领域的应用
结构优化设计
在机械、建筑等领域，工程师需要通过优化设计，使 得结构在满足强度、刚度等要求的前提下，重量最轻 、成本最低。这需要求解多元函数的极值问题，找到 最优的设计方案。
应用领域
我们的研究在许多领域都有广泛的应用，包括机器学习、数据科学、统计学、运筹学等。这些领域中的 许多问题都可以转化为多元函数的极值和最优化问题，我们的研究为解决这些问题提供了重要的理论依 据和工具。
研究展望
要点一
新的理论工具
尽管我们已经取得了一些重要的成果 ，但仍然有许多挑战需要解决。例如 ，我们可以进一步探索新的理论工具 ，以更好地理解和解决多元函数的极 值和最优化问题。
多元函数的极值和最优化问题
多元函数的极值和最优化问题多元函数的极值和最优化问题是微积分中的重要内容。
在实际问题中，我们常常需要确定一个函数在给定约束条件下的最大值或最小值，以寻找最优解。
这个过程通常称为最优化问题的求解。
在多元函数中，我们考虑的是具有多个自变量和一个因变量的函数。
首先，我们来讨论多元函数的极值。
类似于一元函数中的极值点，对于多元函数而言，极值点是函数局部最大值或最小值出现的点。
对于多元函数的极值问题，我们需要使用梯度和Hessian矩阵来判断是否存在极值点。
梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最大的方向；Hessian矩阵是一个方阵，它包含了函数的二阶偏导数。
通过分析梯度和Hessian矩阵的特征值，我们可以判断局部极值点的存在性和类型。
若函数的Hessian矩阵在某一点的特征值全为正，则该点为局部最小值点；若全为负，则为局部最大值点。
若特征值出现正和负的情况，则该点为鞍点。
然而，需要注意的是，极值点并不一定是最优解，最优解可能是全局最大值或最小值点。
在解决最优化的问题时，我们常常需要引入约束条件。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，它们限制了自变量的取值范围。
最优化问题分为无约束和有约束两种情况。
对于无约束的最优化问题，我们可以使用梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等方法来寻找最优解。
这些方法的基本思想是通过迭代计算，逐步逼近最优解。
梯度下降法是一种常用的无约束优化方法。
它利用函数的梯度信息来确定下降的方向，不断更新自变量的取值，直到达到极小值。
牛顿法则利用二阶导数信息，通过二次逼近的方式求解最优解。
拟牛顿法则是在牛顿法的基础上，用近似的方式来代替Hessian矩阵，从而减少计算复杂度。
对于有约束的最优化问题，我们需要引入拉格朗日乘子法或KKT条件来求解。
拉格朗日乘子法将约束条件与目标函数联立起来，通过求解拉格朗日函数的驻点来确定最优解。
KKT条件是一种常用的方法，在满足一定条件下，将有约束优化问题转化为无约束优化问题，再应用相应的方法求解。
偏导数与多元函数的极值与最优化
偏导数与多元函数的极值与最优化多元函数的极值与最优化是数学中重要的问题之一。
在解决这类问题时，我们经常使用偏导数的概念和方法。
本文将详细介绍偏导数的定义、计算方法以及如何利用偏导数来确定多元函数的极值和最优解。
一、偏导数的定义与计算方法对于多元函数而言，由于其自变量是多个变量，因此其求导的方式也略有不同。
偏导数就是多元函数对其中某一个自变量的偏导数。
1. 偏导数的定义设函数f(x1, x2,..., xn)是一个多元函数，其定义域为D。
对于函数f(x1, x2,..., xn)中的任一自变量xi（1≤i≤n），当其他自变量保持不变时，函数f对xi的导数就称为偏导数，记作∂f/∂xi或者fxi'(x1, x2,..., xn)。
2. 计算偏导数的方法计算偏导数的方法可以通过求取对应的偏导数公式，对函数中的每一个自变量进行求导运算。
以下为一些常用的偏导数计算方法：- 当函数f(x1, x2,..., xn)为线性函数时，偏导数f对任意自变量xi的偏导数为常数系数，即偏导数为a。
- 若函数f(x1, x2,..., xn)为常数函数，那么函数对任意自变量xi的偏导数为0。
- 若函数f(x1, x2,..., xn)为多项式函数，对应自变量xi的偏导数为xi的幂指数减一乘以该幂指数前的系数。
- 若函数f(x1, x2,..., xn)为指数函数，对应自变量xi的偏导数为xi乘以指数函数的导数。
二、多元函数的极值与最优化当我们研究多元函数时，经常关注的问题是如何确定函数的极值与最优解。
通过计算偏导数来找到函数的驻点，再通过二阶偏导数的计算来判断驻点的类型。
1. 驻点的判断对于函数f(x1, x2,..., xn)的驻点的判断可以通过计算偏导数来实现。
驻点即偏导数均为0的点，即对于函数f的所有自变量xi，∂f/∂xi=0。
找到这些点可以帮助我们进一步确定极值与最优解的存在性。
2. 极值的判断通过计算二阶偏导数，我们可以进一步判断驻点的类型，从而确定函数的极值情况。
多元函数的广义极值和约束下的最优化问题
多元函数的广义极值和约束下的最优化问题在高等数学中，讨论函数的极值是一个很基础也很重要的问题。
对于单变量函数，我们只需要找到导数为0的点，跟踪一下这些点的上下文境，就可以确定极值点。
但是对于多元函数，这种方法并不一定奏效。
本文将介绍多元函数的广义极值问题以及在约束下的最优化问题。
一、多元函数的广义极值我们先来看一个具体的例子。
如果要求f(x,y) = x^2 + y^2 + 2x+ 4y的最小值，那么我们可以用导数的方法，求出对x求导，对y 求导，解方程组求出驻点，然后验证哪些驻点是极值点。
但是如果我们要求f(x,y) = x^2 - y^2的最大值，这个方法就没用了，因为我们无法求出导数为0的点。
这时候我们就需要用到广义极值。
首先我们来定义一下边界点和内部点。
对于一个点(x,y)，如果它在某个给定的区域内部，并且在这个区域内可以找到一个半径非常小的圆，使得这个圆内的所有点都比(x,y)的函数值更小，那么我们就可以称(x,y)为内部点。
而如果在这个区域内不存在这样的圆，那么(x,y)就是边界点。
（如果你对这个定义不太理解，可以想象一下函数图像）接下来我们来看广义极值的定义：- 如果在某个区域的每一个内部点处，函数f(x,y)的函数值都不超过(x,y)的函数值，那么(x,y)是函数f(x,y)在这个区域内的极大值点。
- 如果在某个区域的每一个内部点处，函数f(x,y)的函数值都不小于(x,y)的函数值，那么(x,y)是函数f(x,y)在这个区域内的极小值点。
以上两个定义都可以简洁地表示为：极值点是无法在内部找到更大/小的点。
由此可以推断，如果一个点不是极大值点也不是极小值点，那么它一定是一个鞍点（即函数值在一些方向上上升，在另一些方向上下降）。
当然，如果这个点是边界点，情况就可能有些不同，因为它可能没有那么多方向。
广义极值的意义在于，它扩展了单变量函数求极值的思路，在多元函数中也可以使用。
当然，如果你只是要求函数f(x,y)在一个闭合矩形区域内的最大值最小值，你还是可以用求导数的方法，判断哪些点是驻点，然后判断一下边界上的点的函数值就行了。
多元函数的极值与最优化问题
多元函数的极值与最优化问题多元函数的极值是数学分析中的重要概念，它与最优化问题密切相关。
在本文中，我们将讨论多元函数的极值及其与最优化问题的关系。
一、多元函数的定义多元函数是指依赖于多个变量的函数。
一般地，我们可以表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是函数的自变量，而f是函数的因变量。
多元函数在实际问题的建模与求解中具有广泛应用。
二、多元函数的极值多元函数的极值包括极大值和极小值两种情况。
在定义域内，如果存在一个点，使得在该点邻域内的函数值都小于（或大于）该点的函数值，则称该点为极小值点（或极大值点）。
此时，我们说函数在该点取到了极小值（或极大值）。
三、求解多元函数的极值要求解多元函数的极值，通常可以采用以下两种方法：一是利用二阶导数判别法，二是利用约束条件法。
1. 利用二阶导数判别法对于多元函数而言，如果所有的二阶偏导数都存在且连续，可以利用二阶导数判别法来判断该点是否为极值点。
具体地，根据二阶导数的符号来判断：若二阶导数为正，则该点为极小值点；若二阶导数为负，则该点为极大值点；若二阶导数为零，则不能确定该点是否为极值。
2. 利用约束条件法对于带有约束条件的多元函数极值问题，我们需要引入拉格朗日乘子法。
该方法将约束条件与目标函数结合起来，通过构造拉格朗日函数，将多元函数约束问题转化为无约束的极值问题。
进而，我们可以通过对拉格朗日函数求偏导并令其为零，求解出极值点。
四、多元函数极值与最优化问题的关系多元函数的极值问题是最优化问题中的重要内容。
最优化问题是在一定的约束条件下，寻找使目标函数达到最优的自变量取值。
而多元函数的极值点恰好是最优化问题的解。
因此，通过研究多元函数的极值，我们可以求解最优化问题。
最优化问题在实际应用中具有广泛的应用，例如在经济学中的最大化和最小化问题、在工程学中的优化设计问题等。
通过对多元函数的极值进行分析，并结合具体问题的约束条件，可以帮助我们找到最优解，提高问题的解决效率。
多元函数的极值及最值问题
多元函数的极值及最值问题多元函数的极值及最值问题在数学中是一个重要的研究领域。
它涉及到了多元函数的最大值和最小值，以及如何求取这些值的方法。
本文将从定义、求解方法和实例等方面来讨论多元函数的极值及最值问题。
一、定义首先，我们先来了解一下多元函数的极值和最值的定义。
对于一个多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，如果存在一个点 (x1*, x2*, ..., xn*)，使得在其邻域内的任意点 (x1, x2, ..., xn) 都满足f(x1*, x2*, ..., xn*) ≥ f(x1,x2, ..., xn)，则称该点为函数的极大值点。
类似地，如果存在一个点(x1*, x2*, ..., xn*)，使得在其邻域内的任意点 (x1, x2, ..., xn) 都满足f(x1*, x2*, ..., xn*) ≤ f(x1, x2, ..., xn)，则称该点为函数的极小值点。
最大值和最小值是多元函数的最值问题，即求取函数在给定定义域内取得的最大值和最小值。
最大值和最小值统称为最值。
二、求解方法在求解多元函数的极值和最值问题时，可以采用以下方法：1. 极值的存在性判断对于一个具体的多元函数，首先需要确定它的定义域。
然后，通过求取函数的偏导数，判断其偏导数是否为零（或不存在）。
若存在某一点使得偏导数为零（或不存在），则该点可能是函数的极值点。
2. 极值的求解在确定了可能的极值点后，可以进一步进行求解。
常用的方法有以下几种：- 梯度法：通过计算函数的梯度向量，并将其置为零，求解出使得梯度向量为零的点，即可能的极值点。
- 条件极值法：若多元函数受到一些条件约束，可以通过引入拉格朗日乘子法进行求解。
在建立拉格朗日函数后，将其偏导数为零的点作为可能的极值点。
3. 讨论临界点求得极值点后，需要进行分类讨论。
通过计算函数的二阶偏导数或者使用黑塞矩阵等方法，可以判断极值点是极大值、极小值还是鞍点。
三、实例分析下面我们通过一个实例来具体讨论多元函数的极值及最值问题。
大学数学多元函数的极值与最优化
大学数学多元函数的极值与最优化在大学数学中，多元函数的极值与最优化是一个重要的概念和应用领域。
本文将探讨多元函数的极值及最优化问题，并介绍相关的概念、定理和求解方法。
1. 多元函数的极值概念多元函数是指具有多个变量的函数，其自变量可以是两个或更多个。
对于一个多元函数，极值是指函数取得的最大值或最小值。
极值在数学和实际应用中都具有重要意义。
2. 多元函数的极值存在条件在一些简单的函数中，我们可以通过观察来判断极值是否存在。
然而，对于复杂的多元函数，我们需要利用数学方法来判断。
2.1 判别条件对于一个二元函数 f(x, y)，其极值存在的必要条件是梯度向量 (∇f(x, y)) 的模等于零，并且二阶偏导数满足某些条件。
具体的判别条件可以通过海森矩阵进行判断。
2.2 驻点和临界点在判断多元函数的极值时，我们还需要关注驻点和临界点。
驻点是指梯度向量为零的点，而临界点指的是函数在该点的导数存在的点。
3. 多元函数的最优化问题多元函数的最优化问题是一类常见的数学问题，包括最大值、最小值和最优解等。
求解这类问题的方法可以有很多种。
3.1 条件极值问题条件极值问题是指在特定条件下求解函数最值的问题。
例如，求解一个函数在一定约束条件下的最大值或最小值。
常用的方法有拉格朗日乘数法和求解方程组法。
3.2 无约束极值问题无约束极值问题是指在没有任何限制条件的情况下，求解函数的最值问题。
常用的方法包括导数法、海森矩阵法和牛顿法等。
3.3 数学建模中的最优化问题最优化问题在实际应用中扮演着重要角色，尤其是在数学建模中。
数学建模问题通常需要通过构建数学模型来描述实际问题，并利用最优化方法来解决。
常见的数学建模最优化问题包括最短路径问题、最大流问题和线性规划等。
4. 多元函数的极值与最优化问题的应用多元函数的极值与最优化问题在科学、工程、经济学和管理学等领域有广泛的应用。
4.1 在自然科学中的应用多元函数的极值与最优化在物理学、化学和生物学等自然科学中有着广泛的应用。
8-8多元函数的极值问题
2、多元函数取得极值的条件
定理1（必要条件）设函数f(x,y)在点P0(x0,y0)具有偏导数.
则：点P0(x0,y0)为极值点
f x ( x0 , y0 ) 0
f
y
(
x0
,
y0
)
0
证例不如妨设：zf(fx( x, ,yy))在点(xxy0 , y0 )处有极大值,
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0 下的
可能极值点，
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
其中 为某一常数，可由
f f
x y
( (
x x
, ,
y y
) )
x y
( (
x, x,
y y
) )
0, 0,
地牌子的果汁， 8 6x 7 y 瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？
分析：每天的收益为：
f ( x, y) ( x 1)(7 5x 4 y) ( y 1.2)(8 6x 7 y)
求最大收益即为求二元函数的最大值.
f ( x, y) 5x2 7 y2 10xy 4.8x 12.4 y 16.6
再求 f ( x, y)在D 边界上的最值， y
在边界 x 0和 y 0上 f ( x, y) 0,
x y6 D
o
x
在边界x y 6上，即y 6 x y
于是 f ( x, y) x2(6 x)(2),
多元函数极值典型例题
多元函数极值典型例题例1 求由方程 222224100x y z x y z ++−+−−=确定的函数 (,)z f x y =的极值．解 将方程两边分别对 ,x y 求偏导，得2224022240x x y y x zz z y zz z ′′+−−=⎧⎨′′+−−=⎩. 令0,0x y z z ′′==, 得 1,1x y ==−. 即驻点为(1,1)P −.又223(2)(1)1(2)2xxPPz y A z z z−++′′===−−，0xyPB z ′′==223(2)(1)1(2)2yyPPz y C z z z−++′′===−− 因2210, 2(2)AC B z z −=>≠−，故(,)P z f x y =取极值. 将1,1x y ==−代入 222224100x y z x y z ++−+−−=得122,6z z =−=.2z =−时， 11024A z ==>−，故(1,1)2z f =−=−为极小值； 6z =时，11024A z ==−<−，故 (1,1)6z f =−=为极大值. 例2 求函数221216z x y x y =+−+在有界闭域2225x y +≤的最大值和最小值.解 函数221216z x y x y =+−+在有界闭域 2225x y +≤上连续，故必在该区域上取得最大值和最小值．先求函数在区域 2225x y +<内的驻点.令2120, 2160z z x y x y∂∂=−==+=∂∂，6, 8x y ==−. 但 (6,8)不在区域 2225x y +≤内，故函数的最大值和最小值必在边界2225x y +=上取得.再求 221216z x y x y =+−+在边界 2225x y +=上的条件极值.设 2222(,,)1216(25)F x y x y x y x y λλ=+−+−+−.令 2221220(1)21620(2)250(3)x y F x x F y y F x y λλλ′=−−=⎧⎪′=+−=⎨⎪′=+−=⎩ 由(1)、(2)得 68,11x y λλ−==−−，代入(3)式，有 2268()()2511λλ−+=−−. 得121,3λλ=−=.可得驻点12(3,4),(3,4)P P −− 而(3,4)75,(3,4)125z z −=−−=. 故z 的最大值为125，z 的最小值为－75.例3 求内接于半径a 的球且有最大体积的长方体.解 设球面方程为2222x y z a ++=,(,,)x y z 是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点. 则此长方体的长、宽、高分别为2,2,2x y z . 体积为2228V x y z xyz =⋅⋅=本题是求V 在约束条件2222x y z a ++=下的极值. 作拉格朗日函数2222(,,)8()F x y z xyz x y z a λ=+++−令2222820(1)820(2)820(3)0(4)xyz F yz x F xz y F xy z x y z a λλλ⎧′=+=⎪⎪′=+=⎨′⎪=+=⎪++−=⎩由(1)、(2)、(3)得 4x y z λ===−，代入(4)得3x y z a ===.即有唯一驻点,,333a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠，而由实际问题这种长方体的体积存在最大值，所以当长方体的长、宽、高都为3a 时，其体积最大. 例4 在椭圆2244x y +=上求一点，使其到直线2360x y +−=的距离最短.解 设(,)P x y 为椭圆上的任意一点，即有2244x y +=. P 到直线2360x y +−=的距离为d ，则d ==作拉格朗日函数2221(,,)(236)(44)13F x y x y x y λλ=+−++−. 令224(236)20136(236)8013440x y F x y x F x y y F x y λλλ⎧′=+−+=⎪⎪⎪′=+−+=⎨⎪⎪′=+−=⎪⎩解得12128855,3355x x y y ⎧⎧==−⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==−⎪⎪⎩⎩ 故128383(,),(,5555P P −−为两个驻点.由于1213P d ==，又由实际问题可知最短距离存在，因此点183(,55P 即为所求点. 13d =即为最短距离.例5 求函数 (,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面22225x y z r ++=(0,0,0)x y z >>>的最大值，并证明对任何正数,,a b c 成立不等式 53275a b c abc ++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠解 作拉格朗日函数2222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y z x y z r λ=++−++−令 22221201203205x y z F x xF y y F z z F x y z r λλλλ⎧′=−=⎪⎪⎪′=−=⎪⎨⎪′=−=⎪⎪⎪′=++−⎩，即2222222120(1)120(2)320(3)50(4)x y z x y z r λλλ⎧−=⎪−=⎪⎨−=⎪⎪++−=⎩(1)+(2)+(3)，得 2222()5x y z λ++=，得212r λ=. 将求得的λ的值分别代入(1)、(2)、(3)式，得驻点(,)r r .因在第一卦限内球面的三条边界上，函数(,,)f x y z 均趋向于－∞，故最大值必在曲面内部取得，而驻点又唯一，则在驻点(,)r r 处，(,,)f x y z 取得最大值，其值为5(,)ln ln 3ln )F r r r r =++=，则对任何0,0,0x y z >>>，有5ln ln 3ln )x y z ++≤，又22221()5r x y z =++，代入得5/222235x y z xyz ⎞++≤⎟⎠，得5222226275x y z x y z ⎛⎞++≤⎜⎟⎝⎠令222,,x a y b z c ===，得53275a b c abc ++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠。
第七节多元函数的最优化问题
x+ y =4
x
在边界x=0及y=0上的函数z的值恒为零.
在边界 x + y = 4 上,函数成为的一元函数
z = x (4 x),0 ≤ x ≤ 4 dz 函数求导有 = x(8 3x) dx 8 所以在[0,4]上的驻点为 x = 3 256 相应的函数值为 z = 27
2
y
x+ y =4
最小成本) 例(最小成本)某工厂生产两种商品的日产量分 单位: 总成本(单位: 别为 q1和 q2 (单位:件),总成本(单位:元)函数为
C(q1, q2 ) = 8q q1q2 +12q
2 1
2 2
求最小成本? 商品的限额为 q1 +q2 = 42,求最小成本? 解 约束条件为q1 +q2 42 = 0 ,设拉格朗日函数 2 2 L(q1, q2 ) = 8q1 q1q2 +12q2 + λ (q1 + q2 42)
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 由题意知,最大值在定义域 内达到,而在域 内 只有一个驻点, 只有一个驻点,故此点即为所求
解得
α = = 60 , x = 8 (cm)
π
三,经济学中的最值问题 最大利润)某工厂生产两种产品A和 , 例(最大利润)某工厂生产两种产品 和B,其销 单位: 总成本函数( 售单价分别为 P =10, P = 9 (单位:元)总成本函数(单 1 2 单位: 的函数, 位:元)是两种产品产量 q2 (单位:件)的函数, 和 q1
从而是最大值 即该公司的最大利润为 000 元. , 16
�
2a3(x + y) 所以 A = xy + (x > 0, y > 0) xy A 2a3 A 2a3 求偏导数 = y 2 = x 2 y x x y3 2 3 求驻点得 x = y = 2a, z = a 2 于是驻点唯一, 于是驻点唯一,所以当长方体容器的长与宽为3 2a , 所需的材料最省. 高取 3 2a / 2 时,所需的材料最省.
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一、多元函数的无条件极值
二、多元函数的最值 三、多元函数的条件极值—— 拉格朗日乘数法
第八章
一、 多元函数的无条件极值
观察二元函数 z xy
2 y2 x e
的图形
1. 极值定义 定义8.10 若函数
的某
邻域内有定义且满足 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ( ( x , y ) U ( P ))
事实上，
z x y, z y x ,
z x ( 0, 0 ) 0 z ( 0, 0 ) 0 y
( 0,0)是 z xy 的驻点.
但当 xy 0 （一、三象限的点）时 ，z( x , y ) z(0,0) 0 当 xy 0 （二、四象限的点）时 ，z( x , y ) z(0,0) 0
解 1º求驻点
2 z 3 x 3ay 0 x 2 z 3 y 3ax 0 y
① ②
当 a=0 时，有唯一驻点：(0,0) 当 a 0 时，
① – ②： ( x 2 y 2 ) 0
设函数
且在该点取得极值，则有
具有偏导数，
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0.
证 即
不妨设 z f ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 处有极大值,
f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ,
( ( x , y ) U ( P ))
( 0,0)不是 z xy 的极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理8.11(充分条件) 若函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 某邻域内 具有二阶连续偏导数, 且 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 记 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 ) 2 则 1)当 AC B 0 时, A<0 时是极大值; A>0 时是极小值.
点； 1 求极值可疑点：驻点、偏导数不存在的
2 判断 (1) 利用极值的充分条件判 定,
( 2) 若充分条件不满足，则 利用极值的定义.
例4
z x 2 y2
z x (0,0), z y (0,0)均不存在，
但z
x 2 y 2 在(0,0)处取得极小值 z (0,0) 0.
例5 求 z x 3 y 3 3axy ( a为常数)的极值.
f ( x , y0 ) f ( x0 , y0 ) ( ( x , y0 ) U ( P ))
令 ( x ) f ( x , y0 ), 则
( x ) ( x0 ) ( x U ( x0 ))
( x ) f ( x , y0 )在x x0处可导
( f ( x , y ) f ( x0 , y0 ))
则称函数在点
f极小值 ( x 0 , y0 ) ). f ( x0 , y0 ). 取得极大值 (
极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点
称为极值点.
推广：n 元函数 f (P ), 极小值 f ( P0 )：f ( P0 ) f ( P )
( 0, 0 )
9a 2 0
( a, a )
27 a 2 0 6a ( a 0) ( a 0)
x ya 0
x y
得
否则 x y a 0 z x 3[ x 2 a( x a )] 3( x 2 ax a 2 ) 0
代入①，
xa 2 z x 3 x 3ay 0 ① 有驻点： (0 ,2 0), (a , a ) 0 ② z 3 y 3 ax
f x ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .
2º 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为多元函数的驻点. 驻点 可导函数的极值点
例如: 点( 0,0) 是函数 z xy 的驻点， 但不是极值点.
2 2) 当 AC B 0 时,
不是极值.
3) 当 AC B 2 0 时, 不能判定 , 需另行讨论.
即有
0 0
0
f ( x0 , y0 )
A 0, 极小值
A 0, 极大值
是极值
非极值 不定(需用其他方法确定)
( AC B 2 )
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
( P U ( P0 ), P0 , P R n )
例1 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
2 2 函数 z x y 例2
(1)
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例3 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
2. 多元函数取得极值的条件 定理8.10 (必要条件)
x 2 ax 0, x 0,
y
2º 判断 z x 3 x 2 3ay , z y 3 y 2 3ax A z xx 6 x , B z xy 3a, C z yy 6 y, AC B 2 36 xy 9a 2 (1) 当a 0 时， 驻点
( x0 ) 0
即
f x ( x 0 , y0 ) 0 ;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0 .
注 1º 推广： 如果三元函数 u f ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 处有极值的必要条件为: