误差
常见的误差类型
常见的误差类型
常见的误差类型包括测量误差、随机误差、系统误差和人为误差。
测量误差是指测量结果与真实值之间的差异。
测量误差可以由测量仪器的精度、环境条件的变化和操作员的技术水平等因素引起。
例如，在使用一个不精确的量具测量长度时，结果可能会产生一定的误差。
随机误差是指测量结果在重复测量时的不一致性。
它是由许多无法控制的因素引起的，例如仪器的噪音、环境的干扰等。
随机误差是随机分布的，可以通过多次重复测量来降低。
系统误差是一种固定的、可预测的错误，它在所有测量值中保持一致。
它通常由于仪器的校准不准确、测量方法的不恰当或者环境条件的变化引起。
系统误差可以通过仔细校准仪器和使用更准确的测量方法来减小。
人为误差是由于操作员的疏忽、技术水平不足或主观判断等因素引起的。
例如，读数时的视觉误差、操作不规范等。
人为误差可以通过提高操作员的技术水平、规范操作流程和使用自动化设备来减少。
为了减小误差，可以采取一些措施，如提高测量仪器的精度、校准仪器、重复测量并取平均值、使用统计方法分析数据等。
同时，要保持
注意力集中、遵循操作流程、消除主观偏见，以减少人为误差的影响。
总之，了解和控制常见的误差类型对于获得准确的测量结果至关重要，这对于科学研究、工程设计和质量控制等领域都具有重要意义。
误差的种类及相关概念
误差的种类及相关概念误差是指测量值与真实值之间的差异。
在科学研究、工程设计、统计分析等领域中，误差是不可避免的。
了解误差的种类和相关概念对于准确分析数据、评估实验结果以及有效解决问题至关重要。
下面将详细介绍误差的种类及相关概念。
1. 绝对误差（Absolute Error）：绝对误差是指测量值与真实值之间的差异，用符号X−X_0 表示，其中X为测量值，X_0为真实值。
绝对误差可以为正或负，表示测量值相对于真实值的偏差。
但绝对误差不能直接反映测量的准确度。
2. 相对误差（Relative Error）：相对误差是绝对误差与真实值之间的比率，用符号(X−X_0)/X_0 表示。
相对误差可以通过将绝对误差除以真实值得到，用于比较不同尺度的测量结果的精度。
相对误差通常以百分数的形式表示，如0.05表示5%的相对误差。
3. 百分误差（Percentage Error）：百分误差是相对误差乘以100，表示为((X−X_0)/X_0)×100% 。
百分误差常用于比较实验结果与理论值之间的差异。
例如，一个实验结果的百分误差为1%，表示实验结果与理论值之间的差异为真实值的1%。
4. 绝对相对误差（Absolute Relative Error）：绝对相对误差是相对误差的绝对值，用符号((X−X_0)/X_0) 表示。
绝对相对误差通常用于比较测量值与真实值之间的差异，并用于评估测量的准确度。
5. 系统误差（Systematic Error）：系统误差是由于测量仪器、实验设计或操作方式等固有的问题而导致的偏差。
系统误差是一种具有一致性的误差，会使所有测量结果都出现偏差。
例如，仪器的刻度不准确、环境温度变化等都可能引起系统误差。
系统误差与测量值之间的关系可以通过校正或修正来降低。
6. 随机误差（Random Error）：随机误差是由于测量过程中的偶然因素而引起的不确定性。
随机误差是不可避免的，通常表现为测量结果的波动。
测量误差的分类
测量误差的分类一、误差的来源1.仪器误差：仪器本身及其附件的电气和机械性能不完善而引起。
2.影响误差（环境误差）：由于受到外界的温度、湿度、气压、震惊等影响产生的误差。
3.方法误差（理论误差）：由于测量时使用方法不完善、所依据理论不严格等缘由引起的误差。
例如：用一般模拟式万用表测量高阻上的电压。
图1 一般模拟式万用表测量高阻上的电压明显，选用高阻值的电压表，带来的方法误差比较小。
4．人身误差：人为缘由引起的误差。
5．使用误差（操作误差）：由于安装、调整、使用不当等缘由引起的误差。
二、测量误差的分类1.系统误差在国家计量技术规范《通用计量术语及定义》（JF1001-1998）中，系统误差定义为：“在重复性条件下，对同一被测量无限多次测量所得的结果的平均值与被测量的真值之差。
”用ε表示系统误差，即，而产生系统误差的主要缘由有：①测量仪器设计原理及制作上的缺陷。
例如刻度偏差，刻度盘或指针安装偏心，使用过程中零点漂移，安放位置不当等。
②测量时的环境条件如温度、湿度及电源电压等与仪器使用要求不全都等。
③采纳近似的测量方法或近似的计算公式等。
④测量人员估量读数时习惯偏于某方向等缘由所引起的误差。
系统误差体现了测量的正确度，系统误差小，表明测量的正确度高。
2.随机误差（偶然误差、残差、随差）在国家计量技术规范《通用计量术语及定义》（JG1001—1998）中，随机误差定义为：“测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。
”用δ表示随机误差，即；产生随机误差的主要缘由有：①测量仪器中零部件协作的不稳定或有摩擦，仪器内部期间产生噪声等。
②温度及电源电压的频繁波动，电磁场干扰，地基振动等。
③测量人员感官的无规律变化，读数不稳定等缘由引起的误差均可造成随机误差，使测量值产生上下起伏的变化。
图2 电阻测量值的随机误差从图2-2可以看到：①正误差消失了7次，负误差消失了6次，两者基本相等，正负误差消失的概率基本相等，反映了随机误差的对称性；②反映了肯定值小的随机误差消失的概率大，肯定值大的随机误差消失的概率小；③ ∑ui＝0，正负误差之和为零，反映了随机误差的抵偿性；④全部随机误差的肯定值都没有超过某一界限，反映了随机误差的有界性。
简述误差的概念
简述误差的概念
误差是指实际值和理论值之间的差异或者是预期结果和实际结果之间的差异，它是一种常见的量化测量工具，可以用来描述各种现象或实验中的实际情况与预期情况之间的差距程度。
误差分为绝对误差和相对误差两种，绝对误差指实际值与理论值之差的绝对值，相对误差则是指绝对误差与理论值之比的绝对值。
误差的来源可以是各种因素，例如仪器或测量设备的精度、实验条件、心理或生理因素等等。
误差存在的原因多种多样，但总的来说可以归纳为以下几类：第一是系统性误差，它是由某种系统性因素而导致的误差，例如测量仪器的故障或人为因素等。
第二是随机误差，这种误差是由于各种因素相互作用，导致实际值与理论值之间的差异比较随机，可能是测量仪器的不稳定性或测量操作员的操作失误等。
误差在各种领域都有广泛的应用。
在科学研究中，误差是实验数据可靠性的重要指标之一，只有保证误差尽可能小，才能保证实验结果的准确性和可靠性。
在工商管理中，误差也是品质控制和质量管理的重要指标之一，只有保证错误率尽可能小，才能提高产品的质量和
降低生产成本。
而在金融和经济领域，误差也是衡量预测和决策准确性的关键因素之一，只有通过对误差的监控和调整，才能提高经济预测的准确率和决策的准确性。
总的来说，误差是一个非常重要的概念，不论是在科学研究、工程技术、经济或金融领域都是不可或缺的。
了解误差的概念和特点，并学会适当地控制和调整误差，是每个领域从业者的必备技能。
误差怎么算的计算公式
误差怎么算的计算公式误差是指测量结果与真实值之间的差异，是评价测量结果准确度和精密度的重要指标。
在科学研究、工程技术和日常生活中，我们经常需要对数据进行测量和分析，而误差的计算是非常重要的一部分。
本文将介绍误差的计算公式及其应用。
一、误差的定义。
误差通常分为绝对误差和相对误差两种。
绝对误差是指测量结果与真实值之间的差值，通常用|Δx|表示，其中Δx表示测量结果与真实值之间的差值。
相对误差是指绝对误差与真实值的比值，通常用|Δx/x|表示，其中x表示真实值。
误差的计算是通过对测量结果与真实值进行比较来确定的，因此在进行误差计算时，需要首先确定真实值。
二、误差的计算公式。
1. 绝对误差的计算公式。
绝对误差的计算公式为：|Δx| = |测量值真实值|。
其中，|Δx|表示绝对误差，测量值表示测量结果，真实值表示真实数值。
2. 相对误差的计算公式。
相对误差的计算公式为：|Δx/x| = |(测量值真实值)/真实值|。
其中，|Δx/x|表示相对误差，测量值表示测量结果，真实值表示真实数值。
以上是误差的计算公式，通过这些公式我们可以计算出测量结果与真实值之间的差异，从而评价测量结果的准确度和精密度。
三、误差的应用。
误差的计算在科学研究、工程技术和日常生活中都有着广泛的应用。
在科学研究中，误差的计算是评价实验结果准确度和可靠性的重要手段。
在工程技术中，误差的计算是评价产品质量和性能的重要指标。
在日常生活中，误差的计算可以帮助我们评价购物时的价格优惠和商品质量。
误差的计算还可以帮助我们进行数据处理和分析。
在数据处理中，我们经常需要对测量数据进行处理和分析，而误差的计算可以帮助我们评价数据的可靠性和准确度。
在数据分析中，误差的计算可以帮助我们评价模型的拟合度和预测精度。
总之，误差的计算是科学研究、工程技术和日常生活中非常重要的一部分，通过误差的计算可以帮助我们评价测量结果的准确度和精密度，进行数据处理和分析，提高工作效率和生活质量。
误差分为三种
1.误差分为三种：系统误差、随机误差和过失误差2.误差表示与计算平均误差：标准误差：或然误差：相对误差：仪表示值误差3.判别过失误差的准则：P94.实验数据的表示方法：列表法、作图法、方程式法5.科技文献检索就是在大量的科技文献资料中，根据一定的方法迅速、准确地查出与用户需要相符合的、有参考价值的科技文献资料的过程。
6.科技文献检索的手段：手工检索、计算机检索7.正交试验设计安排：8.正交表的极差分析可以分辨出影响因子的主次，预测更好的水平组合，并能为进一步的实验设计提供数据。
正交表的方差分析可以把因子水平变化引起实验数据间的差异同误差所引起实验数据的差异区分开来，并能定量描述因子的影响作用是否显著。
9.常用的两种固体电解质：氧化锆、β－AI2 O310.氧化物固体电解质电池的工作原理：氧浓差电池工作原理示意图高氧分压端的电极反应为低氧分压端电极反应得电池的总反应为ndnxxii∑∑=-=δ11)(22-=--=∑∑ndnxxiiσ-=+2224)(2OepO IIOepOO IO4)(2222+=-)()(2222IOIIOpOpO=FEG4-=∆IOIIOppFRTE22ln4=11.自由电子浓度与氧压的¼次方成反比，即氧压越低，自由电子浓度越大。
电子空穴的浓度与氧压的¼次方成正比，即氧压越高，电子空穴浓度越大。
12.对一定固体电解质，在一定温度下离子电导率为常数，而电子电导率随压力降低而增大，因此总会在某分压下两者相等。
此时的氧分压P0称为电子导电特征氧分压，与电解质本性有关，是衡量电解质的重要参数。
13.固体电解质传感器的类型：Ⅰ型传感器、Ⅱ型传感器、Ⅲ型传感器14.Ⅰ型传感器的应用领域：（1）各种工业窑炉炉气分析。
（2）控制环境污染。
（3）快速测定钢液中的氧活度。
（4）测定液态金属中的氧含量。
15.电热体类型：金属电热体、非金属电热体16.测温方法：接触式测温、非接触式测温17.测温方法：接触式、非接触式18.选择测温计应考虑的原则：19.热电偶材料的基本要求：20.21.耐火材料的工作特性主要指标有：耐火度、荷重熔化温度、化学稳定性和热稳定性、热导率和导电性。
误差及其表示方法
误差及其表示方法误差——分析结果与真实值之间的差值( > 真实值为正，< 真实值为负)一. 误差的分类1. 系统误差（systermaticerror ）——可定误差（determinateerror）（1）方法误差：拟定的分析方法本身不十分完善所造成；如：反应不能定量完成；有副反应发生；滴定终点与化学计量点不一致；干扰组分存在等。
（2）仪器误差：主要是仪器本身不够准确或未经校准引起的；如：量器（容量平、滴定管等）和仪表刻度不准。
（3）试剂误差：由于世纪不纯和蒸馏水中含有微量杂质所引起；（4）操作误差：主要指在正常操作情况下，由于分析工作者掌握操作规程与控制条件不当所引起的。
如滴定管读数总是偏高或偏低。
特性：重复出现、恒定不变（一定条件下）、单向性、大小可测出并校正，故有称为可定误差。
可以用对照试验、空白试验、校正仪器等办法加以校正。
2. 随机误差(randomerror)——不可定误差（indeterminateerror）产生原因与系统误差不同，它是由于某些偶然的因素所引起的。
如：测定时环境的温度、湿度和气压的微小波动，以其性能的微小变化等。
特性：有时正、有时负，有时大、有时小，难控制（方向大小不固定，似无规律）但在消除系统误差后，在同样条件下进行多次测定，则可发现其分布也是服从一定规律（统计学正态分布），可用统计学方法来处理系统误差——可检定和校正偶然误差——可控制只有校正了系统误差和控制了偶然误差，测定结果才可靠。
二. 准确度与精密度（一）准确度与误差（accuracy and error）准确度：测量值（x）与公认真值（m）之间的符合程度。
它说明测定结果的可靠性，用误差值来量度：绝对误差 = 个别测得值 - 真实值(1)但绝对误差不能完全地说明测定的准确度，即它没有与被测物质的质量联系起来。
如果被称量物质的质量分别为1g和0.1g，称量的绝对误差同样是0.0001g，则其含义就不同了，故分析结果的准确度常用相对误差（RE%）表示：(2)（RE%）反映了误差在真实值中所占的比例，用来比较在各种情况下测定结果的准确度比较合理。
误差的定义及分类
一、测量误差：测量结果减被测量的真值（测量的期望值）之差。
1）即：测量误差=测量结果-真值；对测量仪器：示值误差=仪器示值-标准示值。
2）测量误差通常通常可用示值的绝对误差、相对误差及引用误差（折合误差）来表示。
3）按照测量误差的基本性质不同，可将误差分为三大类：系统误差、随机误差和疏失误差。
二、约定真值：是一个接近真值的值，它与真值之差可忽略不计。
实际测量中以在没有系统误差的情况下，足够多次的测量值之平均值作为约定真值。
一般由国家基准或当地最高计量标准复现而赋予该特定量的值。
三、标称范围：标称范围是指测量仪器的操纵器件调到特定位置时可得到的示值范围（定值）。
四、精度等级：在正常的使用条件下,仪表测量结果的准确程度叫仪表的准确度。
1）引用误差越小，仪表的准确度越高，而引用误差与仪表的量程范围有关，所以在使用同一准确度的仪表时，往往采取压缩量程范围以减小测量误差，精度等级是以它的允许误差占表盘刻度值的百分数来划分的,其精度等级数越大允许误差占表盘刻度极限值越大。
量程越大,同样精度等级的,它测得压力值的绝对值允许误差越大。
2）在工业测量中，为了便于表示仪表的质量,通常用准确度等级来表示仪表的准确程度.准确度等级就是最大引用误差去掉正,负号及百分号.准确度等级是衡量仪表质量优劣的重要指标之一。
3）我国工业仪表等级分为0.1,0.2,0.5,1.0,1.6,2.5,5.0七个等级，并标志在仪表刻度标尺或铭牌上.仪表准确度习惯上称为精度,准确度等级习惯上称为精度等级。
绝对误差:测量结果与被测量［约定］真值(标准表读数)之差。
1）公式：△：绝对误差，L：测量值，A：真值（标准表读数）△= L- A2）绝对误差的缺点：并不能完全表示近似值的好坏程度，例如：x=10±1，y=1000±5，哪一个精度高呢？看上去x的绝对误差限比y的绝对误差限小，似乎x的精度高，其实不然。
四、相对误差:测量的绝对误差与被测量［约定］真值（标准表读数）之比的百分数所得的数值，以百分数表示。
误差的定义与分类
误差的定义与分类以下是 6 条关于“误差的定义与分类”的内容：1. 嘿，你知道吗？误差啊，简单来说就是实际值和理论值之间的偏差哟！就像你打算做一个蛋糕，你预期它会超级完美，结果烤出来有点歪了，这就是一种误差呢！误差有好多分类呀，比如系统误差，这就好像老是有只调皮的小精灵在捣乱，让结果一直偏向一边。
你说这神奇不神奇？2. 哎呀呀，误差其实就是实际情况和理想情况的差距啦！好比你投篮，你想着肯定能投进，结果偏了一点，这就是误差呀！分类里还有随机误差呢，就像是突然冒出来的小意外，捉摸不定的。
想想看，如果你考试的时候，因为这种随机误差导致分数有点不一样，是不是挺无奈的呀？3. 喂喂喂，误差敢情就是实际和预期的不同呀！比如说你量身高，尺子稍微歪了一下，那得到的数据就有误差啦！还有粗大误差呢，这就类似于突然来个大跟头，特别明显又很意外。
你说要是在重要的实验里出现这种粗大误差，那得多让人郁闷啊，对吧？4. 大家看呀，误差可以理解为期望与现实的落差哟！就像你预计今天能按时完成作业，结果被其他事情耽误了一会儿，这不就是有误差了嘛！而偶然误差呢，就像是时不时冒出来打乱你的小插曲。
你想想，要是跑步的时候受到这种偶然误差影响，是不是心情也会很复杂呢？5. 嘿，误差不就是理想和实际的差别么！举个例子，你本来想画一个超级圆的圆，结果有点不那么圆，这就是误差呀！分类中的过失误差，那可不得了，就像犯了个大错误一样。
要是因为这个导致什么重要的事情出错，那是真的会让人着急上火呀，你说是不是？6. 听我说哦，误差就是实际跟预计的不一样呀！好比你打算走直线，结果走歪了一点，这肯定就是有误差呀！还有一种估计误差呢，就像你估算一个东西的价值，可能会有偏差。
我们生活中到处都有这些误差呀，那我们能怎么办呢？只能尽量去减少它们啦！结论就是，误差确实很常见，我们得重视并想办法应对呀！。
误差的分类及特点
误差的分类及特点
误差可以分为三类：系统误差、随机误差和粗大误差。
1. 系统误差：也称为可测误差或恒定误差，是指在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真实值之差。
这种误差在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化。
2. 随机误差：也称为偶然误差或不可测误差。
这种误差在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定的方式变化。
随机误差的产生原因包括环境条件误差、仪器误差和人员操作误差等。
随机误差遵从正态分布，即大小相近的正负误差出现机会相等，小误差出现的概率大，大误差出现的概率小。
3. 粗大误差：也称为过失误差，是由一些不应有的错误造成的，如读数错误、记录错误等。
这种误差在一定条件下，测量值会显著偏离其实际值。
一经发现，必须及时纠正。
以上内容仅供参考，建议查阅关于误差的书籍文献或咨询统计学专业人士以获取更全面准确的信息。
误差-基本概念.
误差的基本概念测量值与真值之差异称为误差，物理实验离不开对物理量的测量，测量有直接的，也有间接的。
由于仪器、实验条件、环境等因素的限制，测量不可能无限精确，物理量的测量值与客观存在的真实值之间总会存在着一定的差异，这种差异就是测量误差。
误差与错误不同，错误是应该而且可以避免的，而误差是不可能绝对避免的。
基本概述【英文】：an error; inaccuracy deviation【中文拼音】：wù chā【基本解释】：一个量的观测值或计算值与其真值之差;特指统计误差，即一个量在测量、计算或观察过程中由于某些错误或通常由于某些不可控制的因素的影响而造成的变化偏离标准值或规定值的数量释义误差，物理实验离不开对物理量的测量，测量有直接的，也有间接的。
由于仪器、实验条件、环境等因素的限制，测量不可能无限精确，物理量的测量值与客观存在的真实值之间总会存在着一定的差异，这种差异就是测量误差。
设被测量的真值（真正的大小）为a，测得值为x，误差为ε，则：x－a=ε误差与错误不同，错误是应该而且可以避免的，而误差是不可能绝对避免的。
从实验的原理，实验所用的仪器及仪器的调整，到对物理量的每次测量，都不可避免地存在误差，并贯穿于整个实验始终。
测量值与真值之差异称为误差。
测量时，由于各种因素会造成少许的误差，这些因素必须去了解，并有效的解决，方可使整个测量过程中误差减至最少。
测量时，造成误差的主要有系统误差和随机误差，而系统误差有下列情况：视差、刻度误差、磨耗误差、接触力误差、挠曲误差、余弦误差、阿贝 (Abbe) 误差、热变形误差等。
系统误差的大小在测量过程中是不变的，可以用计算或实验方法求得，即是可以预测，并且可以修正或调整使其减少。
这些因素归纳成五大类，详细内容叙述如下：由于人为因素所造成的误差，包括误读、误算和视差等。
而误读常发生在游标尺、分厘卡等量具。
游标尺刻度易造成误读一个最小读数，如在10.00 mm处常误读成10.02 mm或9.98 mm。
误差及其表示方法
误差及其表示方法部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑误差及其表示方法误差——分析结果与真实值之间的差值( > 真实值为正，< 真实值为负>一. 误差的分类1. 系统误差<systermaticerror ）——可定误差<determinateerror）<1）方法误差：拟定的分析方法本身不十分完善所造成；如：反应不能定量完成；有副反应发生；滴定终点与化学计量点不一致；干扰组分存在等。
<2）仪器误差：主要是仪器本身不够准确或未经校准引起的；如：量器<容量平、滴定管等）和仪表刻度不准。
<3）试剂误差：由于世纪不纯和蒸馏水中含有微量杂质所引起；<4）操作误差：主要指在正常操作情况下，由于分析工作者掌握操作规程与控制条件不当所引起的。
如滴定管读数总是偏高或偏低。
特性：重复出现、恒定不变<一定条件下）、单向性、大小可测出并校正，故有称为可定误差。
可以用对照实验、空白实验、校正仪器等办法加以校正。
2. 随机误差(randomerror>——不可定误差<indeterminateerror）产生原因与系统误差不同，它是由于某些偶然的因素所引起的。
如：测定时环境的温度、湿度和气压的微小波动，以其性能的微小变化等。
特性：有时正、有时负，有时大、有时小，难控制<方向大小不固定，似无规律）但在消除系统误差后，在同样条件下进行多次测定，则可发现其分布也是服从一定规律<统计学正态分布），可用统计学方法来处理系统误差——可检定和校正偶然误差——可控制只有校正了系统误差和控制了偶然误差，测定结果才可靠。
二. 准确度与精密度<一）准确度与误差<accuracy and error）准确度：测量值<x）与公认真值<m）之间的符合程度。
它说明测定结果的可靠性，用误差值来量度：绝对误差 = 个别测得值 - 真实值(1>但绝对误差不能完全地说明测定的准确度，即它没有与被测物质的质量联系起来。
误差名词解释
误差名词解释误差是精密测量中常见的概念，它指的是测量结果与实际值之间的差异，是由于操作不当、测量仪器的精度有限或者用于表征测量结果的模型不准确而引起的。
误差可以分为绝对误差、相对误差和统计误差三种类型。
绝对误差是测量结果与标准真值之间的差值。
它可以用来衡量测量仪器的性能，也可以用来衡量根本不存在精确的标准真值的实际测量中的精度。
绝对误差可以通过改善测量仪器的精度和细节，减少操作误差以及改进模型来得到改善。
相对误差是测量结果与实际值之间的差值，可以反映不同仪器之间的观测差异，也可用来衡量实际测量状态下的精度。
和绝对误差一样，也可以通过减少操作误差、改善仪器的精度以及模型改进等方法来减小相对误差。
统计误差是由于在抽样测量中随机性造成的误差。
这种误差是一种规律性的、可预测的误差，可以应用概率统计理论来估计，也可以通过减少抽样误差、改善测量环境等方法来降低。
在精密测量中，为了获得可靠的测量结果，必须能够准确地识别、分析和减少误差。
除了实际的操作步骤，还要充分利用各种统计方法，把控测量过程中可能出现的误差，以便及时消除测量结果上的误差。
由于对精密测量中各种误差的了解和把握，对测量工作的完成和实际应用有十分重要的意义。
要准确掌握各种误差，不仅要完成相关理论知识的学习，还要充分实践，熟悉并精通各种测量技术以及改善测量质量的方法。
仅有理论知识是远远不足以获得准确的测量结果的，只有结合测量实践才能全面提高测量质量和精度。
因此，要想提高精密测量的精度，需要深刻理解各种误差的概念，全面掌握误差的性质和产生原因，以及有效地控制和减少误差，实现准确测量的目标。
只有熟知测量中各种误差的表现和解决方案，才能对精密测量工作有效地把握，做到精确可靠，从而确保精密测量的准确程度。
误差的定义及分类
一、测量误差：测量结果减被测量的真值（测量的期望值）之差。
1）即：测量误差=测量结果-真值；对测量仪器：示值误差=仪器示值-标准示值。
2）测量误差通常通常可用示值的绝对误差、相对误差及引用误差（折合误差）来表示。
3）按照测量误差的基本性质不同，可将误差分为三大类：系统误差、随机误差和疏失误差。
二、约定真值：是一个接近真值的值，它与真值之差可忽略不计。
实际测量中以在没有系统误差的情况下，足够多次的测量值之平均值作为约定真值。
一般由国家基准或当地最高计量标准复现而赋予该特定量的值。
三、标称范围：标称范围是指测量仪器的操纵器件调到特定位置时可得到的示值范围（定值）。
四、精度等级：在正常的使用条件下,仪表测量结果的准确程度叫仪表的准确度。
1）引用误差越小，仪表的准确度越高，而引用误差与仪表的量程范围有关，所以在使用同一准确度的仪表时，往往采取压缩量程范围以减小测量误差，精度等级是以它的允许误差占表盘刻度值的百分数来划分的,其精度等级数越大允许误差占表盘刻度极限值越大。
量程越大,同样精度等级的,它测得压力值的绝对值允许误差越大。
2）在工业测量中，为了便于表示仪表的质量,通常用准确度等级来表示仪表的准确程度.准确度等级就是最大引用误差去掉正,负号及百分号.准确度等级是衡量仪表质量优劣的重要指标之一。
3）我国工业仪表等级分为0.1,0.2,0.5,1.0,1.6,2.5,5.0七个等级，并标志在仪表刻度标尺或铭牌上.仪表准确度习惯上称为精度,准确度等级习惯上称为精度等级。
绝对误差:测量结果与被测量［约定］真值(标准表读数)之差。
1）公式：△：绝对误差，L：测量值，A：真值（标准表读数）△= L- A2）绝对误差的缺点：并不能完全表示近似值的好坏程度，例如：x=10±1，y=1000±5，哪一个精度高呢？看上去x的绝对误差限比y的绝对误差限小，似乎x的精度高，其实不然。
四、相对误差:测量的绝对误差与被测量［约定］真值（标准表读数）之比的百分数所得的数值，以百分数表示。
误差的名词解释
误差的名词解释
误差（Error）是指一个测量值与它的真实值之间的差别。
在许多领域中，如物理学、工程学、天文学和统计学等，误差是一个非常重要的概念，因为在这些领域中，测量值的准确性和精度对于实验或调查结果的可靠性和有效性至关重要。
误差通常分为两种类型：随机误差和系统误差。
随机误差是指由于测量设备的限制、环境因素、操作者技能等原因造成的偶然性误差，它们是不可避免的，并且通常是不规律的。
系统误差则是指由于测量设备的校准、偏移、漂移等原因造成的固定性误差，它们通常是规律性的，并且可以通过校准和调整来减小。
为了减小误差的影响，通常会采用一些措施，如增加测量次数、提高测量设备的精度、改善操作技能等。
此外，在数据处理和分析过程中，也需要进行误差处理，如误差传递、误差分析、误差折算等，以保证结果的准确性和可靠性。
总之，误差是测量和实验中不可避免的问题，了解误差的概念和处理方法对于科研工作者和工程师来说是非常重要的。
误差的计算方法
误差的计算方法误差是指由于测量或计算过程中的不确定性而引起的结果与真实值之间的差异。
在实际应用中，误差是不可避免的，因此了解误差的计算方法对于正确评估数据的可靠性和精确性至关重要。
误差的计算方法主要包括绝对误差、相对误差、平均误差和标准偏差等。
一、绝对误差绝对误差是指测量值与真实值之间的差异。
其计算公式为：绝对误差 = 测量值 - 真实值绝对误差可以为正数或负数，因此在进行误差计算时，一般需要将其取绝对值。
二、相对误差相对误差是指测量值与真实值之间的差异与真实值之比。
其计算公式为：相对误差 = 绝对误差÷ 真实值× 100%相对误差可以比较不同测量值的精确性，一般情况下，相对误差越小，说明测量结果越精确。
三、平均误差平均误差是指多次测量的结果与真实值之间的平均差异。
其计算公式为：平均误差= Σ(测量值 - 真实值) ÷ 测量次数平均误差可以反映测量结果的整体偏离程度，一般情况下，平均误差越小，说明测量结果越精确。
四、标准偏差标准偏差是指多次测量结果与平均值之间的偏差的平均值。
其计算公式为：标准偏差= √ Σ(测量值 - 平均值)² ÷ (测量次数 - 1)标准偏差可以反映测量结果的分散程度，一般情况下，标准偏差越小，说明测量结果越稳定。
总结误差的计算方法是评估数据精确性和可靠性的重要手段，不同的误差指标可以反映数据的不同性质。
在进行误差计算时，需要根据具体情况选择合适的误差指标，并注意数据的采集、处理和分析过程中可能出现的误差来源，以确保数据的正确性和可靠性。
误差的分类有哪些
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误差的分类有哪些
在定量分析中，由各种原因造成的误差，按照性质可分
为系统误差、偶然误差和过失误差三类。
①系统误差又称可测误差。
由于实验方法、所用仪器、试剂、实验条件的控制以及实验者本身的一些主观因素造成的误差，称系统误差。
这类误差的性质是：在多次测定中会重复出现；所有的测定或者都偏高，或者都偏低，即具有单向性；由于误差来源于某一个固定的原因，因此，数值基本是恒定不变的。
②偶然误差又称随机误差或未定误差。
是由一些偶然的原因造成的，例如，测量时环境温度、气压的微小变化，都能造成误差。
这类误差的性质是：由于来源于随机因素，因此，误差数值不定，且方向也不固定，有时为正误差，有时为负误差。
这种误差在实验中无法避免医学|教育网整理搜集。
从表面看，这类误差也无什么规律，但若用统计的方法去研究，可以从多次测量的数据中找到它的规律性。
③过失误差这是由于实验工作者粗枝大叶，不按操作规程办事，过度疲劳或情绪不好等原因造成的。
这类错误有时无法找到原因，但是完全可以避免。
误差基本知识及中误差计算公式
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：一.系统误差（system error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
二.偶然误差（accident error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
2.特点：（1）具有一定的范围。
（2）绝对值小的误差出现概率大。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4）数学期限望等于零。
即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。
此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。
§2衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
一.中误差方差——某量的真误差，[]——求和符号。
规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有：1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。
真误差Δ——观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值），n为观测值个数。
2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。
V——最或是值与观测值之差。
一般为算术平均值与观测值之差，即有：二.相对误差1.相对中误差=2.往返测较差率K=三.极限误差（容许误差）常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。
即：。
§3误差传播定律一.误差传播定律设、…为相互独立的直接观测量，有函数，则有：二.权（weight）的概念1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…mn，则有：权其中，为任意大小的常数。
当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error）m，故有：。
误差的表示方法
误差的表示方法检测系统（仪器）的基本误差通常有以下几种表示形式：1．肯定误差检测系统的测量值（即示值）X与被测量的真值X0之间的代数差值△x称为检测系统测量值的肯定误差，即△x=X-X0（1）式中，真值X0可为商定真值，也可是由高精度标准器所测得的相对真值X0肯定误差△x说明白系统示值偏离真值的大小，其值可正可负，具有和被测量相同的量纲。
在标定或校准检测系统样机时，常采纳比较法，即对于同一被测量，将标准仪器（具有比样机更高的精度）的测量值作为近似真值X0与被校检测系统的测量值X进行比较，它们的差值就是被校检测系统测量示值的肯定误差。
假如它是一恒定值，即为检测系统的“系统误差”。
该误差可能是系统在非正常工作条件下使用而产生的，也可能是其他缘由所造成的附加误差。
此时对检测仪表的测量示值应加以修正，修正后才可得到被测量的实际值X0。
X0=X-△x=X+C （2）式中，数值c称为修正值或校正量。
修正值与示值的肯定误差数值相等，但符号相反，即C=-△x=X0-X（3）计量室用的标准器常由高一级的标准器定期校准，检定结果附带有示值修正表，或修正曲线C=f（x）。
2．相对误差检测系统测量值（即示值）的肯定误差△x与被测参量真值X0的比值，称为检测系统测量（示值）的相对误差δ，常用百分数表示，即（4）这里的真值可以是商定真值，也可以是相对真值（工程上，在无法得到本次测量的商定真值和相对真值时，常在被测参量（已消退系统误差）没有发生变化的条件下重复多次测量，用多次测量的平均值代替相对真值）。
用相对误差通常比用肯定误差更能说明不同测量的精确程度，一般来说相对误差值小，其测量精度就高。
在评价检测系统的精度或测量质量时，有时利用相对误差作为衡量标准也不很精确。
例如，用任一确定精度等级的检测仪表测量一个靠近测量范围下限的小量，计算得到的相对误差通常总比测量接近上限的大量（如2／3量程处）得到的相对误差大得多。
故引入引用误差的概念。
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石家庄经济学院信息工程学院 马丽
malimail@
1
内容提要：
1. 误差的来源与分类 2. 误差的基本概念 3. 函数的误差估计 4. 算法的数值稳定性 5. 减小误差，维持算法稳定的五大原则
2
1.1 误差的来源与分类
�
用数值计算方法解决科学技术中的实际问题,
26
逆定理
� 定理2: 若x*的相对误差限
ε
* r
≤
1
× 10 −( n −1)
2(a1 + 1)
则x*有n位有效数字
定理说明，有效位数越多，相对误差限越小。
27
1.3 数值运算(函数)的误差估计
一元函数f (x)，x为准确值, x *为近似值,由Taylor公式
f
(x) −
f
( x*)
=
f
′(x*)(x − x*) +
有时也用 x=x*± ε*
(1―3)
表示 近似值的精度或准确值的所在范围 。
14
� 在实际问题中,绝对误差一般是有量纲的。 � 例如：测得某一物件的长度为5m,其误差限为
0.01m,通常将准确长度s记为 s=5±0.01
即准确值在5m左右,但不超过0.01m的误差限。
15
� 相对误差和相对误差限
4
例 设某金属棒在温度t时的长度为lt(0℃时金属 棒的长度为l0),则
lt≈Lt=l0(1+αt+βt2) 这里l0≡1,α、β为参数,可估计为
α=0.001253±10-6 β=0.000068±10-6 于是知,lt-Lt为模型误差,10-6是观测α、β 而产生的误差,因此为观测误差。
5
�
En−1
=
1 − En n
,
n = ⋅⋅⋅,3, 2
(1―25)
从后向前计算,则En中的误差下降为原来的1/n。
所以,若取n足够大,误差逐步减小,其影响愈来愈
小。为了得到出发值,可考虑关系
∫ ∫ En =
1 0
xnex−1dx ≤
1 0
xndx
= 1/(n + 1)
38
表 1―2
39
例如,在计算机程序中,下面两个语句在语法上均是 正确的。 (1) IfA=0ThenGotoBElseGotoC (2) If｜A｜≤10-12 Then Goto Belse Goto C 如果单元A中的结果是由前面的运算结果得 到的,按准确的结果A=0,而由于误差的影响,实际 上A≠0。因此,按语句(1)原来要求执行B,但却选择 了C,而按语句(2)就不会出问题。
11
树立正确的误差观念
� 误差是不可避免的 � 尽量减小误差
12
1.2 误差的基本概念
� 绝对误差和绝对误差限：
定义：假设某一量的准确值为x,近似值为x* ,则x*与x 之差为绝对误差(简称误差),记为 e*(x)或e(x*)。
即 e*=x* - x
(1―1)
｜e*(x)｜的大小标志着x的精确度。
8
� 从实际工程出发，一直到算出问题结果，其 中每个过程都会产生误差，用计算机解决科 学计算问题所经历的主要过程：
9
研究范围
� 由于模型误差和观测误差人为减小的可能 性不大，所以我们仅研究截断误差和舍入 误差，以及误差的传播积累和误差的估计 问题。
� 以下举例说明误差分析的重要性。
10
舍入误差常被人忽视，导致荒谬结论 举例： � 传话游戏 � “差之毫厘，失之千里” � 蝴蝶效应
即在x=0附近展成幂级数 ex = 1+ x + 1 x2 + 1 x3 + ⋅⋅⋅ 26
45
� 若需舍入的部分恰为末位的半个单位 时，要使末位凑成偶数。
Eg: 0.7135≈0.714 0.7265 ≈0.726 0.73251≈0.733
25
有效数字与相对误差限的关系
� 定理1:
若x*有n位有效数字，则其相对误差限为
ε
* r
≤
1 2a1
× 10 −(n−1)
其中a 为 x*的第1个有效数字。
∑ ⎜⎜
k =1⎝ห้องสมุดไป่ตู้
∂f ∂xk
⎞* ⎟⎟ ε ⎠
( xk*
).
例 场地面积：s = ld
ε (s*)
≈
⎛ ⎜
∂s
*
⎞ ⎟
ε (l*) +
⎛ ⎜
∂s
*
⎞ ⎟
ε (d*).
⎝ ∂l ⎠
⎝ ∂d ⎠
29
四则运算，设x1, x2为准确值, x1*, x2*为近似值，则误差限：
ε(x1* ± x2*) = ε(x1*) +ε(x2*),
18
� 在实际计算中,由于e(x*)与x都不能准确地求得, 因此相对误差er(x*)也不可能准确地得到,于是 也像绝对误差那样,只能估计它的大小范围。即 指定一个适当小的正数εr* ,使
er*
=
e* ( x) x*
≤
ε* x*
= εr*
(1―6)
� 称εr*为近似值x*的相对误差限。
19
例1 ：给定 g(x)=107(1-cosx),试用四位数学用表求g(2°)
sin(x + ε ) − sin x = 2 cos( x + ε )sin ε 22
例4 对于充分大的N
N +1 dx
∫N x2 + 1 = arctg(N + 1) − arctgN
= arctg
1
1 + N (N + 1)
44
例5 对于绝对值小的x,可化
ex −1 = x + 1 x2 + 1 x3 + ⋅⋅⋅ 26
x1x2=-q=1
则 x2=1/x1
(**)
因此,如果仍用前述方法算出x1,然后用公式 (**)
计算x2便得到
x1=100000.00 x2=0.000010000000 该结果是非常好的。
说明后一种算法有较好的数值稳定性。
34
� 例2 计算积分
∫ En =
1 0
xnex−1dx, n = 1, 2,⋅ ⋅ ⋅, 9
ε(x1*x2*) ≈| x1* | ε(x2*)+ | x2* | ε(x1*),
ε
(
x1*
/
x2*
)
≈
|
x1*
|
ε
(x2*)+ | x2*
| x2* |2
|
ε
(x1*)
.
30
31
1.4 算法的数值稳定性
� 算法稳定的若干原则 例1 一元二次方程 x2+2px-q=0 的两个根分别为
x1 = − p + p2 + q x2 = − p − p2 + q
x* − x
x
,
x
≠
0
(1―4)
称为x*的相对误差。由于准确值x往往是不知 道的,因此在实际问题中,常取
er * ( x)
=
e* ( x) x*
17
� 由式(1―4)可知,相对误差可以由绝对误差求出;反 之,绝对误差也可由相对误差求出。 其关系是e*(x)=xer* (x) (1―5)
� 在讨论对近似值进行运算结果的误差分析时,相对 误差更能反映出误差的特征。因此在误差分析中 相对误差比绝对误差显得更为重要。
绝对误差并不足以表示近似值的好坏。 例如：设
x1=100±1 x2=1000±1 近似值x*1=100的绝对误差限与x*2=1000的绝 对误差限相同,不过100的误差为1与1000的误差 为1比较,后者应比前者精确。
16
� 定义： 我们把绝对误差与准确值之比
er* ( x)
=
e* ( x) x
=
=1-2E1-2!ε E3=1-3(1-2E1-2!ε)
=1-3(1-2E1)+3!ε E4=1-4［1-3(1-2E1)+3!ε］
=1-4［1-3(1-2E1)］-4! …
37
这样,计算E9时所产生的误差约为 9!ε=9!×4.412×10-7≈0.1601
如果采用新的算法,把上述递推关系改写成
必须首先建立数学模型。而数学模型又只能在感
性认识的基础上,抓住主要因素,忽略次要因素的
情况下获得,故只能近似地描述所给的实际问题,
其与实际问题之间有一定的差异,从而出现误差。
这种误差称之为“模型误差”。
3
� 在数学模型中,常常包含了若干参变量,如 比重、加速度、阻力系数等,这些量一般是通 过观测得来的,而观测的结果不可能绝对准确, 因而就产生了误差。这种误差通常称为“观测 误差”。
在计算过程中,我们常用收敛无穷级数的
前几项代替无穷级数,即抛弃了无穷级数的后
段。这样得到的误差称为“截断误差”。
6
� 由于计算机在计算过程中并非是精确运 算，它也是只对有限位数进行运算，对于超过 位数的数字便自动施行四舍五入，这样在计算 过程中产生的误差，被称为“舍入误差”。
7
误差分类
� 模型误差： � 观测误差： � 截断误差： � 舍入误差：
21
甲、乙都用一本数学手册,表的每一个数 都准确到小数后第四位,答案为什么不一致?谁 的答案较正确呢?下面我们来分析甲、乙算题 时各自的相对误差:记
t1=(1-A)107,其中A=cosx,
t2=2×107B2,其中B=sin(x/2),
三角函数表给出了四位数字,它准确到小
数后第三位,而第四位是经过“四舍五入”得到的,