平方根和立方根知识点总结及练习

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【基础知识巩固】

一、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

(1)平方根的定义:如果一个数x 的平方等于a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根.即:

如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根.

(2)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

(3)平方与开平方互为逆运算:±3的平方等于9,9的平方根是±3 (4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果;

一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算

-

(5)符号:正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根;

正数a 的负的平方根可用-a 表示.

(6)a x =2 <—> a x ±=

a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x

2、算术平方根

(1)算术平方根的定义: 一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这

个正数x 叫做a 的算术平方根.a 的算术平方根记为a ,读作“根号

a”,a 叫做被开方数. {

规定:0的算术平方根是0.

也就是,在等式a x =2

(x≥0)中,规定a x =

(2)a 的结果有两种情况:当a 是完全平方数时,a 是一个有限数;

当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数。

(3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;

当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

一般来说,被开放数扩大(或缩小)a 倍,算术平方根扩大(或缩小)a 倍,例如=5,

=50。

}

(4)夹值法及估计一个(无理)数的大小

(5)a x =2

(x≥0) <—> a x =

a 是x 的平方 x 的平方是a

x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x

(6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 a (a ≥0)

0≥a

==a a 2 ;注意a 的双重非负性:

-a (a <0) a ≥0

(7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:

区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;

联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 3、立方根

(1)立方根的定义:如果一个数x 的立方等于a ,这个数叫做a 的立方根(也叫做三

次方根),即如果3

x a =,那么x 叫做a 的立方根

(2)一个数a 的立方根,读作:“三次根号a ”,

?

其中a 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。

(3) 一个正数有一个正的立方根;

0有一个立方根,是它本身; 一个负数有一个负的立方根;

任何数都有唯一的立方根。

(4)利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,

求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即

)

0a =>。

(5)a x =3 <—> 3a

x =

a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x

(6)33a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

【典型例题分析】

知识点一:有关概念的识别

1、下列说法中正确的是( ) A 、

的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5

的平方根的相反数

`

2、下列语句中,正确的是( )

A .一个实数的平方根有两个,它们互为相反数

B .负数没有立方根

C .一个实数的立方根不是正数就是负数

D .立方根是这个数本身的数共有三个

3、下列说法中:①3±都是27的立方根,②y y =33,③64的立方根是2,

④()4832

±=±。其中正确的有

( )

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

#

4、()2

0.7-的平方根是( )

A .0.7-

B .0.7±

C .0.7

D .0.49 5、下列各组数中,互为相反数的组是( )

A 、-2与2

)2(- B 、-2和38- C 、-

2

1

与2 D 、︱-2︱和2

知识点二:计算类题型

1、25的算术平方根是_______;平方根是_____. -27立方根是_______.

___________, ___________,___________.

2、=-2)4( ; =-3

3)6( ; 2)196(= . 3

8-= .

3、① 2+32—52 ② 7(

7

1-7)

③ |23- | + |23-|- |12- | ④

4

1)2(823

-

-+ …

4、(1)

3

27-+2)3(--

3

1- (2)

333

64

631125.041027-++-

--

(3)

知识点三:利用平方根和立方根解方程

1、(1)(2x-1)2-169=0; (2)12142

=x (3)

125)2(3=+x

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