量子力学公式
量子力学普朗克公式
普朗克函数反函数普朗克函数 (Planck function) 是物理学中一个用于描述热辐射的函数，它由德国物理学家普朗克 (Max Planck) 创立。
普朗克函数的反函数也是物理学研究中的一个重要部分。
一、普朗克函数的定义普朗克函数是指一个与温度，波长和辐射强度相关的函数。
它通常用于描述黑体辐射过程中的能量分布和辐射强度的密度。
普朗克函数被广泛地应用于天体物理学、气象学、空间科学、核物理学等领域，因为它能帮助科学家们更好地理解和解释物质的热量特性。
二、普朗克函数的特性普朗克函数被定义为：$$B(\nu, T) =\frac{2h\nu^3}{c^2}\cdot\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_bT}}-1}$$其中，$B(\nu, T)$ 表示在温度为 $T$ 的黑体内，频率为 $\nu$ 的辐射强度密度，$h$ 表示普朗克常数，$c$ 表示光速，$k_b$ 表示玻尔兹曼常数。
普朗克函数有以下几个特点：1. 频率越高，辐射强度密度越大。
2. 在短波长处，普朗克函数函数值急剧上升，而且在极短波长处，函数值趋近于无穷大。
3. 随着温度的升高，普朗克函数曲线向短波长方向移动，且曲线最大值也会向短波长方向移动。
三、普朗克函数反函数的意义普朗克函数反函数，也称为辐射定律，是指一个从辐射强度密度到温度之间的关系式。
它是普朗克函数的逆运算，意义重大。
普朗克函数反函数的求解可以帮助我们在物理学领域中解决很多实际的问题。
例如，它可以被用来计算太阳辐射的温度、判断天体运动的情况等等。
四、普朗克函数反函数的公式普朗克函数反函数字面上的意思是一个可以将辐射强度密度转化为温度的函数。
它可以用下面这个公式进行求解：$$T = \frac{h\nu}{k_b{ln(\frac{2h\nu^3}{Ic^2}+1)}}$$其中，$T$ 表示温度，$I$ 表示辐射强度密度，$\nu$ 表示频率，$h$ 表示普朗克常数，$c$ 表示光速，$k_b$ 表示玻尔兹曼常数。
量子力学常用数学公式
ℏ2 ℏ2 * =− ∇ ⋅ (ψ ∇ψ )dτ + ∇ψ * ∇ψdτ ∫∫∫ ∫∫∫ 2m 2m
又 AB 沿界面的投影 c 也是常数，因而
α ，α
1
2
存在约束条件：
atg α 1 + btg α 2 = c
求(1)的变分,而将
（2） 看作能独立变化的,有以下极值条件 (3)
α ,α
1
2
δI = n1 a secα 1 tg α 1 dα 1 + n2 b secα 2 tg α 2 d α 2 = 0
∫
∫
∞
0
sin 2 ax πa dx = 2 2 x
∞
(16)
0
xe − ax sin bxdx =
2ab (a + b 2 ) 2
2
(a > 0)
∫
∞
0
xe − ax cos bxdx =
a 2 −b 2 (a 2 + b 2 ) 2
(a > 0)
第二章：函数与波动方程
[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能 V ( x) =
(3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系 .计算速度 并证明它大于光速. (解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:
⋅
q
=
i
∂H ∂
⋅
p
,本题中
i
q
i
= v,
p = p ,因而
i
v=
∂ m 2c 4 + c 2 p 2 = ∂p
c2 p m 2c 4 + c 2 p 2
再求（2）的变分 (3)与(4)消去 d
量子力学 公式
量子力学公式
量子力学中的一些常见公式包括：
1. 薛定谔方程式：描述了量子物理学的宏观世界，即微观粒子如何随着时间的推移而演变。
其一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t=HΨ，其中i是虚数单位，ℏ是普
朗克常数的约化常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
2. 波粒二象性：描述了物质粒子的波动性质和粒子性质之间的相互作用关系。
其表达式为λ=h/p，其中λ是波长，h是普朗克常数，p是粒子的动量。
3. 测量理论：物理量的测量和观测结果有一定的概率性和不确定性。
测量理论采用概率统计的方法来描述这种不确定性。
最常见的公式是海森堡不确定性原理：ΔxΔp≥h/4π，其中Δx和Δp分别表示位置和动量的不确定度，h 是普朗克常数。
4. 费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计：描述了物质粒子的统计行为。
费米-狄拉克统计用于描述费米子（如电子、质子等）的行为，玻色-爱因斯坦统计用于描述玻色子（如光子、声子等）的行为。
5. 波函数的复共轭：Ψ^（r，t）。
6. 归一化条件：∫Ψ（r，t）^2d3r=1。
7. 位置算符：x。
8. 动量算符：-iℏ∇。
9. 能量算符：iℏ∂/∂t。
10. 完备性条件：∫ψn^（r）ψm（r）d3r=δnm。
以上公式仅供参考，如需更准确的信息，建议查阅量子力学相关的书籍或咨询专业人士。
4.3量子力学公式的矩阵表示
2 = 1, b1 = 2
同样步骤得
再由波函数归一化条件
1 1 ψ −1 = 2 − 2i −1
典型例题
例1、用坐标轮换的方法，写出 l 、用坐标轮换的方法， 函数， 表达。 函数，用球函数 Ylm 表达。 解：我们知道 L = 2h (即l 的全部本征函数为： 的全部本征函数为：
F1n F2n M
L L L =0
(4.3 − 6)
L Fnn − λ L M M L
方程（ 久期方程。 方程（4.3-6）称为久期方程。求解久期方程 可得到一组 值 ）称为久期方程 求解久期方程 可得到一组λ 它们就是F的本征值 把求得的λ 的本征值。 λ1 , λ 2 , L λ n L ; 它们就是 的本征值。把求得的 i 分别代入 （4.3-5）式中就可以求得与这 i 对应的本征矢 ）式中就可以求得与这λ
( ai1 (t ), ai 2 (t ),
L ain (t ) L), 其中 其中i=1,2, …n, …。 。
(3). 薛定谔方程
∂ψ ( x, t) ˆ ih = Hψ (x,t) ∂t
（ Q表象： ψ x, t） ∑ an (t )un ( x) =
n
dan (t ) ˆ ih ∑ un ( x) = ∑ an (t ) Hun ( x) dt n n
3 y − iz = −h = −hφ1−1 8π r
ˆ 的本征函数， ˆ 即 φ 1−1 的确是 Lx 的本征函数，本征值是 L x
= − h。
并积分： 左边乘以u m ( x ) 并积分
*
dam ( x) ih = ∑ an (t ) H mn = ∑ H mn an (t ) dt n n
量子力学的基本原理与公式
量子力学的基本原理与公式量子力学是描述微观世界行为的物理学理论，它基于一些基本原理和公式。
本文将介绍量子力学的基本原理和公式，并探讨其应用。
一、波粒二象性原理量子力学的基础是波粒二象性原理，即微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
这一原理由德布罗意提出，并通过实验证明。
根据波粒二象性原理，物质粒子的行为可以用波函数来描述。
波函数是一个数学函数，描述了粒子在空间中的概率分布。
它可以通过薛定谔方程得到。
薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，用于描述波函数随时间的演化。
二、量子力学的基本公式1. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它表明对于某些物理量，无法同时准确测量其位置和动量。
不确定性原理由海森堡提出，并用数学公式表示为：Δx · Δp ≥ ħ/2其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ħ为普朗克常数。
不确定性原理告诉我们，粒子的位置和动量不能同时被完全确定。
2. 库仑定律库仑定律是描述电荷之间相互作用的定律，它在量子力学中仍然适用。
库仑定律的数学表达式为：F = k · (q1 · q2) / r^2其中，F表示电荷之间的力，k为库仑常数，q1和q2为两个电荷的大小，r为它们之间的距离。
库仑定律描述了电荷之间的吸引和排斥力。
3. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的核心方程，描述了波函数随时间的演化。
薛定谔方程的基本形式为：H · Ψ = E · Ψ其中，H为哈密顿算符，Ψ为波函数，E为能量。
薛定谔方程告诉我们，波函数的演化取决于系统的哈密顿量和能量。
4. 统计解释量子力学引入了统计解释来解释物理量的测量结果。
根据统计解释，波函数的平方代表了测量结果的概率分布。
测量一个物理量时，得到的结果是随机的，但按照波函数的概率分布，某些结果出现的概率更大。
三、量子力学的应用1. 原子物理量子力学的应用之一是研究原子的结构和性质。
通过求解薛定谔方程，可以得到原子的能级和波函数。
量子计算精确计算公式
量子计算精确计算公式量子计算是一种基于量子力学原理的计算模型，它利用量子比特的叠加和纠缠特性来进行计算，相比传统计算模型，量子计算具有更强的并行性和计算能力。
在量子计算中，精确计算公式是非常重要的，它可以帮助我们准确地描述量子系统的演化和性质。
本文将介绍一些常见的量子计算精确计算公式，并讨论它们在量子计算中的应用。
1. 薛定谔方程。
薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程，它可以用来计算量子系统的波函数随时间的演化。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = HΨ。
其中，Ψ是系统的波函数，H是系统的哈密顿量，i是虚数单位，ħ是普朗克常数。
薛定谔方程可以精确地描述量子系统的演化，包括系统的能级结构、波函数随时间的演化等。
2. 波函数的归一化条件。
在量子力学中，波函数的归一化条件是非常重要的，它可以帮助我们确定量子系统的态。
波函数的归一化条件可以用来计算系统的概率分布，以及系统的平均性质。
波函数的归一化条件的一般形式为：∫|Ψ|²dV = 1。
其中，Ψ是系统的波函数，dV是系统的体积元。
波函数的归一化条件可以帮助我们确定系统的态，并计算系统的性质。
3. 哈密顿量的本征值方程。
在量子力学中，哈密顿量的本征值方程是描述系统能级结构的重要方程。
哈密顿量的本征值方程可以用来计算系统的能级和能级之间的跃迁。
哈密顿量的本征值方程的一般形式为：HΨ = EΨ。
其中，H是系统的哈密顿量，Ψ是系统的波函数，E是系统的能级。
哈密顿量的本征值方程可以帮助我们确定系统的能级结构，以及计算系统的能级。
4. Heisenberg不确定性原理。
Heisenberg不确定性原理是量子力学中的基本原理之一，它描述了位置和动量之间的不确定性关系。
Heisenberg不确定性原理可以用来计算系统的不确定性，以及系统的测量误差。
Heisenberg不确定性原理的一般形式为：ΔxΔp ≥ħ/2。
其中，Δx是位置的不确定性，Δp是动量的不确定性，ħ是普朗克常数。
上海市考研物理学复习资料电动力学与量子力学重要公式整理
上海市考研物理学复习资料电动力学与量子力学重要公式整理电动力学与量子力学是物理学中非常重要的两个分支领域，对于考研学生来说，掌握其中的重要公式是非常关键的。
为了帮助考生更好地复习电动力学与量子力学，下面将对一些重要的公式进行整理。
1. 电动力学重要公式：(1) 库仑定律：F = k * |q1 * q2| / r^2其中，F表示两个点电荷之间的电力，q1和q2分别表示两个电荷的大小，r表示两个电荷之间的距离，k表示电磁力常数。
(2) 电场强度公式：E = F / q其中，E表示电场强度，F表示电荷所受的电力，q表示电荷的大小。
(3) 电势差公式：V = W / q其中，V表示电势差，W表示电场力做的功，q表示电荷的大小。
(4) 电容公式：C = Q / V其中，C表示电容量，Q表示电荷的大小，V表示电势差。
(5) 安培环路定理：∮B·dl = μ0 * I其中，∮B·dl表示磁场沿环路的环路积分，μ0表示真空中的磁导率，I表示电流的大小。
2. 量子力学重要公式：(1) 德布罗意关系式：λ = h / p其中，λ表示波长，h表示普朗克常数，p表示物体的动量。
(2) 薛定谔方程：Hψ = Eψ其中，H表示哈密顿算符，ψ表示波函数，E表示能量。
(3) 算符期望值公式：<A> = ∫ψ*Aψ dV其中，<A>表示算符A的期望值，ψ表示波函数，A表示算符，dV表示体积元。
(4) 不确定度原理：ΔxΔp ≥ (h / 4π)其中，Δx表示粒子位置的不确定度，Δp表示粒子动量的不确定度，h表示普朗克常数。
(5) 波函数归一化条件：∫|ψ|^2 dV = 1其中，ψ表示波函数，dV表示体积元。
以上是电动力学与量子力学中一些重要的公式整理，深入理解和掌握这些公式对于考研物理学的学生来说至关重要。
希望考生们能够通过不断的复习和练习，熟练掌握这些公式，并能够灵活运用到解题中，取得优异的成绩。
量子力学公式范文
量子力学公式范文量子力学是研究微观粒子在原子、分子和亚原子尺度下行为的物理学理论。
它是20世纪初由一些著名的科学家如普朗克、爱因斯坦、玻尔等人提出的，致力于描述微观世界的实验事实和观察结果。
量子力学公式则是量子力学的数学表达方式，帮助我们更好地理解和计算微观世界的现象和性质。
以下是一些常见的量子力学公式。
1. 德布罗意公式（De Broglie Formula）德布罗意公式是根据德布罗意假设提出的，描述微观粒子（如电子、光子）的波粒二象性。
根据该公式，任何一种粒子都对应着一种特定的波动性质。
其数学表达式为：λ=h/p其中，λ表示粒子的波长，h为普朗克常数，而动量p等于质量m与速度v的乘积。
2. 斯特恩-格拉赫实验公式（Stern-Gerlach Experiment Formula）斯特恩-格拉赫实验是研究自旋量子数的实验，结果显示自旋只能够取两个可能的方向。
其公式描述为：ΔSz=-ħ/2其中，ΔSz表示自旋在z方向上的测量值，ħ为约化普朗克常数。
3. 薛定谔方程（Schrödinger Equation）薛定谔方程是量子力学最重要的基本方程之一，用于描述量子体系的演化。
薛定谔方程的一维形式为：iħ(∂ψ/∂t)=-ħ^2/(2m)(∂^2ψ/∂x^2)+Vψ其中，i表示虚数单位，ħ为约化普朗克常数，ψ为波函数，t表示时间，m为粒子质量，V为势能。
4. 测不准原理（Heisenberg's Uncertainty Principle）测不准原理是量子力学的基本原则之一，表明我们无法同时完全准确地测量一个粒子的位置和动量。
其数学表达为：ΔxΔp≥ħ/2其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ħ为约化普朗克常数。
5. 能级公式（Energy Level Formula）能级公式用于描述量子体系中粒子的能级。
对于一维势阱来说，能级公式表达为：En=(n^2π^2ħ^2)/(2mL^2)其中，En表示第n个能级的能量，m为粒子质量，L为势阱长度，n 为正整数。
联系经典力学、量子力学、相对论力学的公式
联系经典力学、量子力学、相对论力学的公式hmE mvp k2量子力学：波粒二象性hc hv cE cmc mcp 2相对论力学：)8/(3)2/()1/-1/1()1/-11(-44222022202220202c v c v c m cv c m cv c m cm mc E k经典力学：mpmvE k22122全微分dtdv m dt dm v dtmv d dtdp F)(Lhn nL h hPn Lf v vT vtsv f w xxwTx T w vtv w wt xvt vT t T wt /,222/222驻波温度常数波长速度周期频率能量T k ET c T vhv E 23V 1哈密顿函数、流体动力学、矢量矩阵力学、薛定谔方程、引力场方程与电磁场方程共同性合物与光子结合打出来的混无法计算，光电子是指21212221212222212129121212,22)()(212121,31,,W W W hv W hv mv mv E E hmE mv PE W hv mP mqBr mqBr m rqvB mv E chv cE hmcP v v r r m qBr v qB vm rrv m qvB k k kk kxim i E t i E hv c h c hv cE mcP hmE mvPx m m P E r U E r V E E mPmmv mvE mv P wvh hvE k k k k k k 2)(:,:/22:2)()(,22)(21,2222222222获得小质量；大质量，相互作用弱而用，相互作用强而获得的相互作希格斯场（上帝粒子）被赋予：起源于粒子与一团能量波包；起源于电磁相互作用，能量：等效原理）；—成正比（引力质量引力：引力大小与质量性质量）；动状态改变的本领（惯惯性：代表抵抗物体运（物质质量）；初中：所含物质的多少质量Higss c E m,/2关系的弯曲几何学）描述运动、质量、时空加速度等效；与引力等价，即引力与（电梯实验：非惯性系；引力质量得出等效原理质量、广义相对论：由惯性）、时间、空间的运动学（追光实验：描述运动，光速不变原理；中一切物理规律都相同、狭义相对论：惯性系都相同惯性系中一切物理规律、伽利略相对性原理：相对论321。
量子力学常用计算公式
量子力学常用计算公式1. 哈密顿算符（Hamiltonian Operator）哈密顿算符在量子力学中用于描述系统的总能量。
它的一般形式为：H = K + V其中，K表示动能算符，V表示势能算符。
2. 薛定谔方程（Schrödinger Equation）薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系统的时间演化。
其一维形式为：iℏ∂ψ/∂t = -ℏ^2/(2m) ∂^2ψ/∂x^2 + Vψ其中，i表示虚数单位，ℏ为约化普朗克常数，m为粒子的质量，ψ为波函数，V为势能。
3. 波函数归一化（Normalization of Wavefunction)波函数必须满足归一化条件，即在整个空间积分后等于1。
对一维情况而言，归一化条件表示为：∫|ψ|^2 dx = 14. 物理量期望值（Expectation Value of Physical Quantity)物理量的期望值表示在量子态中对该物理量进行测量得到的平均值。
对一个可观测量A而言，其期望值定义为：<E[A]> = ∫ψ*Aψ dx其中，A表示物理量算符，ψ为波函数，*表示复共轭。
5. 不确定度原理（Uncertainty Principle)不确定度原理描述了同时测量一对共轭物理量（如位置和动量）的限制。
其数学表达为：ΔxΔp >= ℏ/2其中，Δx表示位置测量精度，Δp表示动量测量精度，ℏ为约化普朗克常数。
6. 一维势阱（One-dimensional Potential Well)一维势阱是一个常见的量子力学模型，用于探讨粒子在势能为零或有限的区域内的行为。
在无穷深势阱中，粒子的波函数为定态波函数，表示为：ψ_n(x) = sqrt(2/L) * sin(nπx/L)其中，L表示势阱的长度，n为正整数。
7. 自旋（Spin)自旋是粒子的固有属性，在量子力学中用于描述粒子的角动量。
自旋算符的本征态表示自旋的量子态，常用的自旋算符包括Sx、Sy和Sz。
不确定量计算公式量子力学
不确定量计算公式量子力学
量子力学是描述微观世界中粒子行为的物理学理论，它使用数
学公式来描述粒子的运动和性质。
其中一个重要的公式是不确定性
原理，由海森堡于1927年提出。
不确定性原理指出，无法同时准确
测量粒子的位置和动量，或者能量和时间。
数学上，不确定性原理
可以用数学公式表示为Δx Δp ≥ ħ/2，其中Δx代表位置的不
确定度，Δp代表动量的不确定度，而ħ是普朗克常数。
这个公式
表明，当我们试图减小对粒子位置的不确定度时，将会增加对其动
量的不确定度，反之亦然。
这个公式揭示了微观世界的一种固有的
不确定性，它对我们理解微观粒子行为的影响非常深远。
另一个重要的量子力学公式是薛定谔方程，由奥地利物理学家
薛定谔于1926年提出。
薛定谔方程描述了波函数随时间和空间的演化，它是量子力学的基本方程之一。
薛定谔方程可以写成一个偏微
分方程的形式，它提供了粒子的波函数如何随时间演化的数学描述。
薛定谔方程的解可以给出粒子的能级和波函数的形式，从而揭示了
微观粒子的行为规律。
除了以上提到的公式，量子力学还涉及到许多其他的数学公式，如哈密顿量、波函数的归一化条件、测量算符等等。
这些数学工具
和公式为我们理解微观世界提供了重要的数学框架，帮助我们揭示了微观粒子的奇特行为。
总的来说，量子力学的数学公式为我们提供了一种描述微观世界的强大工具，它们帮助我们理解了微观世界中粒子的行为规律，同时也引领着现代科学技术的发展。
上海市考研物理学专业复习资料量子力学重要公式推导
上海市考研物理学专业复习资料量子力学重要公式推导量子力学是现代物理学的重要分支，它研究微观世界中的粒子行为。
在考研物理学专业的复习中，掌握量子力学的基本原理和重要公式是非常重要的。
本文将对量子力学中一些重要的公式进行推导，并为考生提供复习资料。
1. 波粒二象性量子力学中，粒子既具有粒子性又具有波动性。
这一概念由德布罗意提出，可以由以下公式表达：λ = h / p其中，λ表示粒子的波长，h为普朗克常数，p为粒子的动量。
2. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基础方程，可以描述粒子的行为。
对于自由粒子，薛定谔方程可以写作：Hψ = Eψ其中，H为哈密顿算符，ψ为波函数，E为能量。
3. 束缚态中的薛定谔方程对于束缚态中的粒子，薛定谔方程可以写作：Hψ = Eψ其中，H为哈密顿算符，ψ为波函数，E为能量。
对于一维势场中的束缚态问题，薛定谔方程可以简化为：-(h^2/2m)·(d^2ψ/dx^2) + V(x)ψ = Eψ其中，m为粒子的质量，V(x)为势场函数，E为能量。
4. 波函数归一化在量子力学中，波函数必须满足归一化条件，即积分值为1。
归一化条件的数学表达式为：∫|ψ|^2dx = 1其中，|ψ|^2为波函数的模方。
5. 算符与期望值在量子力学中，算符用于描述物理量的运算。
一个物理量对应一个算符，算符作用在波函数上可以得到该物理量的期望值。
算符的期望值计算公式为：< A > = ∫ψ*Aψdx其中，< A >表示物理量A的期望值，A为物理量对应的算符。
6. 不确定关系根据量子力学的原理，同时测量粒子的位置和动量是存在不确定性的。
不确定关系由下式表示：Δx·Δp >= h/2π其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。
7. 角动量在量子力学中，角动量也是一个重要的物理量。
对于角动量，有以下重要公式：L = Iω其中，L为角动量，I为转动惯量，ω为角速度。
物理学专业四川省考研量子力学与电磁学重点公式与应用
物理学专业四川省考研量子力学与电磁学重点公式与应用量子力学与电磁学在物理学专业的学习中扮演着重要的角色，它们是研究自然界中微观世界和宏观世界的基础理论。
本文将介绍四川省考研物理学专业中量子力学与电磁学的重点公式及其应用。
一、量子力学的重点公式与应用1. 薛定谔方程（Schrödinger equation）在量子力学中，薛定谔方程是描述粒子的波函数演化的基本方程。
它的数学表达式如下：Hψ = Eψ其中，H是哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。
薛定谔方程可以用于解释原子、分子以及凝聚态系统中的性质。
2. 波函数归一化（Wave function normalization）波函数归一化是量子力学中的基本要求之一，它表示波函数在全空间内的概率密度积分等于1。
归一化条件的数学表达式如下：∫|ψ|^2 dV = 1其中，|ψ|表示波函数的模的平方，dV表示空间元。
3. 算符和期望值（Operators and Expectation values）在量子力学中，物理量都用线性算符表示。
算符作用于波函数上，得到一个新的波函数，同时也表示了对应的物理量的测量。
期望值则是对某个物理量的大量测量结果的平均值。
期望值的计算公式如下：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩其中，A是算符，ψ是波函数。
4. 经典极限（Classical limit）量子力学与经典物理之间存在着密切的联系。
当物体的量子行为变得微小的时候，经典物理的理论可以作为量子力学的近似解。
经典极限的条件为：h→0, λ→0, E→∞其中，h是普朗克常数，λ是波长，E是能量。
二、电磁学的重点公式与应用1. 麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程。
它包含了电场和磁场的产生和演化规律。
麦克斯韦方程组分别为：∇•E = ρ/ε0∇•B = 0∇×E = -∂B/∂t∇×B = μ0j + μ0ε0∂E/∂t其中，E是电场，B是磁场，ρ是电荷密度，ε0是真空中的介电常数，j是电流密度，μ0是真空中的磁导率。
量子力学的数学公式与实验验证
量子力学的数学公式与实验验证量子力学是由波动方程和哈密顿量组成的数学理论，这个理论可以解释微观领域内的物理现象。
量子力学理论的核心在于描述的是微观粒子的性质，并且粒子可以同时处于多种状态并且有一定的概率性。
这样的理论很难理解，但是因为其对量子物理学的成功预测，量子力学成为了现代物理学的核心。
作为为描述量子力学的数学公式，薛定谔方程是量子力学最为著名的方程式。
它可以用来描述一个量子力学系统的演化，该系统的状态是由波函数描述的。
这个方程式指导着物体如何在不同的状态间演化，或是如何被观测。
薛定谔方程是一个偏微分方程式。
这意味着它可以描述空间中的变化，如质点的行为、电场强度、磁场强度等。
此方程的基本形式为:$$ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat H \Psi $$其中，$\Psi$ 是波函数，$\hat H$ 是哈密顿量，$t$ 是时间，$\hbar$ 是普朗克常数。
如果系统是非稳定的，$\Psi$ 将会在时间的过程中改变。
这个方程式并不是很容易应用，因为波函数所包含的信息需要进行解码才能得出有用的结果。
因此，为了应用这个方程式，大多数情况下需要使用多种途径来简化它的形式，以方便进行计算。
这个方程式与一系列成功的实验验证紧密相连。
其中一个经典实验就是双缝实验。
这个实验通常探讨的是光的波粒二象性。
在实验中，一束具有一定能量的单色光穿过一个双缝装置，然后照到一个屏幕上。
理论上，我们预期一个单一的光子会从其中一个开口穿过，避开另一个开口。
然而，当我们观察屏幕的分布图时，我们会得到一个干涉图形，也就是说，光似乎表现为一种波动的形式。
但是如果我们进行了这个实验的另一个版本，即检测哪个开口一个光子穿过了，然后我们最终观测到的结果是粒子具有其呈现出的波特性。
这正是波粒二象性的本质描述。
更加具体的实验验证是关于电子的双缝实验。
根据量子力学理论，电子也应该表现出波粒二象性，因此，科学家对这个实验进行了检测。
海森堡公式
海森堡公式海森堡公式是量子力学中的一个基本公式，由德国物理学家海森堡于1925年提出。
它描述了物理量的变化与时间的关系，是量子力学中的基本原理之一。
海森堡公式的数学表达是：ΔAΔB≥h/2π，其中ΔA和ΔB分别表示物理量A和B的不确定度，h为普朗克常数，π为圆周率。
这个公式表明，对于量子系统来说，无法同时精确地测量两个不对易的物理量，其不确定度存在一定的下限。
海森堡公式的提出，揭示了量子世界的基本规律，与经典物理学中的牛顿定律有着本质的区别。
在经典物理学中，我们可以精确地测量物体的位置和动量，这两个物理量是对易的。
而在量子力学中，海森堡公式告诉我们，对于量子粒子来说，位置和动量是不对易的，无法同时精确地测量。
海森堡公式的意义不仅仅在于揭示了物理量的测量限制，还为量子力学提供了一种全新的解释和理解方式。
根据海森堡公式，我们知道测量的过程会对系统产生干扰，从而使得测量结果不确定。
这一观点引发了著名的“测不准原理”，即测量的不确定性是量子力学的本质特征之一。
海森堡公式也为量子力学的发展提供了理论基础。
在实际应用中，海森堡公式可以用来推导各种物理量之间的关系，帮助我们理解和解释实验现象。
例如，在核物理中，海森堡公式可以用来推导能量和时间的不确定关系，从而解释核反应的过程。
除了在理论研究中的应用，海森堡公式在实际技术中也有重要的作用。
例如，在核磁共振成像技术中，海森堡公式可以用来解释和优化图像的分辨率。
通过调节测量的物理量，可以在一定程度上提高图像的清晰度。
海森堡公式是量子力学中的一个基本公式，揭示了物理量测量的不确定性，并为量子力学的发展提供了理论基础。
它不仅在理论研究中有重要应用，还在实际技术中发挥着重要作用。
通过深入理解和应用海森堡公式，我们可以更好地理解和解释量子世界的规律。
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(2)
(3)
都是常数,总动量平方 总能量是:
=
=
但 正整数.
#
[3]平面转子的转动惯量为 ,求能量允许值.
(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角 ）决定,它的运动是一种
刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量 ,但 是角速度,能量是
利用量子化条件,将 理解成为角动量, 理解成转角 ,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有
(1)
又利用量子化条件,令 电荷角动量 转角
(2)
即 (3)
由(1)(2)求得电荷动能=
再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能= , 是电荷的旋转频率, ,代入前式得
运动电荷的磁势能= (符号是正的)
点电荷的总能量=动能+磁势能=E= ( )
#Hale Waihona Puke [5]对高速运动的粒子(静质量 )的能量和动量由下式给出:
(1)
(2)
试根据哈密顿量 (3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.
(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组: ,本题中 , ,因而
(4)
从前式解出 (用 表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式.
其次求粒子速度 和它的物质波的群速度 间的关系.运用德氏的假设: 于(3)式右方,又用 于(3)式左方,遍除 :
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：
如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 认为 则 这将导得下述折射定律
这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子： 仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有 ，你怎样解决矛盾？
（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的路径是两段直线：光程
(1)
(1)说明 是量子化的
(2) ( ……..) (2)
(3)代入能量公式,得能量量子化公式: (3)
#
[4]有一带电荷 质量 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是 ,线速度是 ,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:
(解)设原来的薛定谔方程式是
将方程式左边加减相等的量 得:
这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解 ,
从能量本征值来说,后者比前者增加了C。
#
[8]设粒子势能的极小值是
(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量
其中动能平均值一定为正:
=
=
用高斯定理:
=
中间一式的第一项是零,因为 假定满足平方可积条件,因而 因此 ,能让能量平均值 因此 令 (本征态)则 而
求微分: (4)
求积分: (5)
将(4)(5)代量子化条件:
T是振动周期,T= ,求出积分,得
正整数
#
[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为
(解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如 ),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件:
按照波包理论，波包群速度 是角频率丢波数的一阶导数：
=
最后一式按照（4）式等于粒子速度 ，因而 。
又按一般的波动理论，波的相速度 是由下式规定
（ 是频率）
利用（5）式得知
（6）
故相速度（物质波的）应当超过光速。
最后找出 和 的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：
， （7）
#
[6]（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律
得证
#
[9]设粒子在势场 中运动(1)证明其能量的平均值是: (1)
其中W是能量密度(2)证明能量守恒公式
(2)
其中 (能流密度)
(证明)(1)三维粒子的能量算符是: (3)
求 在状态 中的平均值
由于 ，将此式代入前一式：
最末一式按高斯定理化为面积分
若 满足平方可积条件，则 ，S考虑为无限远处的界面。结果证得公式⑴
(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度 应等于光波的群速度 光程原理作 ,依前题相速 ,而 , 是折射率, 是波前阵面更引起的,而波阵面速度则是相速度 ,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.
前一非难是将光子的传播速度 看作相速度 的误解.
#
[7]当势能 改变一常量C时,即 ,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?
⑵求⑴式中能量密度W的时间偏导数，注意 。 一般都含时间， ， 也是如此，因而：
粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式：
又设 则有
公式⑵得证。
[10]设N个粒子的哈密顿量为：
⑴
是它的任一态函数，定义：
⑵
⑶
求证： ⑷
[证明]按定义：
⑸
多粒子的体系的状态 应当满足多粒子薛定谔方程式，写出这个方程式和其共轭方程式： （6a）
设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有
又AB沿界面的投影c也是常数，因而 ， 存在约束条件：
（2）
求(1)的变分,而将 , 看作能独立变化的,有以下极值条件
(3)
再求（2）的变分
(3)与(4)消去 和 得
(5)
[乙法]见同一图,取 为变分参数,取0为原点，则有:
求此式变分,令之为零,有：
这个式子从图中几何关系得知,就是(5).
在量子化条件中,令 为振子动量, 为振子坐标,设总能量E
则
代入公式得:
量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅 的四倍,要决定振幅 ,注意在A或B点动能为0, ,(1)改写为:
(2)
积分得:
遍乘 得
[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间 而不用位移 ,按题意振动角频率为 ,直接写出位移 ,用 的项表示:
量子力学常用积分公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7 )
( )
(8)
(a<0)
( 正偶数)
(9) =
( 正奇数)
( )
(10)
( )
(11)) ( )
(12)
(13)
(14)
(15)
(16) ( )
( )
第二章：函数与波动方程
[1]试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能 ]
(解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld的量子化条件式:
(6b)
将前二式等式右方的式子代替左方的 ， ，代进式⑸
————————————⑺
又待证的公式的等号左方第二项是：
⑻
------------------------------------⑼