概率论与数理统计课件：6-1 样本及抽样分布

从理论上讲，只要我们对随机现象进行大量的 观察或试验，它的统计规律性就会呈现出来。
在数理统计学中，我们总是对随机现象进行有 限次的观察或试验，以获取数据。通过对数据 的分析与推断去寻找隐藏在数据中的统计规律 性。
数理统计是研究怎样以有效的方式收 集、 整理和分析带有随机性的数据，在此 基础上，对所研究的问题作出统计推断， 直至对可能作出的决策提供依据和建议.
密度函数为：
∏n
f (x1, x2 ,..., xn ) =
i =1
1
− 1 ( xi −µ )2
e2 σ
2π σ
例6.1.2：总体X~B(1,p)，0<p<1，写出其样本 （X1,X2,…Xn）的联合概率函数为：
∏n
n
n
p xi (1 −
p )1− xi
=
∑ xi p i=1 (1 −
∑ n− xi p) i=1
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5
样本是随机变量.抽到哪5辆是随机的
容量为 n 的样本可以看作 n 维随机变量 (X1, X2,…, Xn). 但是，一旦取定一组样本，得到的是 n 个 具体的数 (x1, x2,…, xn)，称为样本的一次 观察值，简称样本值 .
由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断， 为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须 考虑抽样方法.
i =1
3. 总体、样本、样本值的关系
如我们从某班大学生中欲抽取10人测量身 高，用 X1, X2, …, X10表示10个人的身高。进行 试验后，得到10个数， x1, x2,…,x10，它们是样 本取到的值，即样本值。我们只能观察到随机 变量取的值而见不到随机变量。
总体分布决定了样本取值的概率规律， 也就是样本取到样本值的规律，因而可以由 样本值去推断总体.
本的联合分布函数为
F(x1) F(x2) … F(xn)
（1）、若总体X为连续型随机变量，概率密度 函数为f( x), 则样本 ( X1, X 2 ,, X n )
的联合概率密度函数为
n
∏ f * (x1, x2 ,, xn ) = f (xi ) i =1
（2）、若总体X为离散型随机变量，概率分布为 P{X=xi}=pi,i=1,2,….,则样本(X1,X2,…Xn)的联合分 布律，也称为联合概率函数，为：
统计就是从手中已有的资料 —— 样本 值，去推断总体分布F(x)的性质.
的
对已取得的观测值进行整理、
分
分析,作出推断、决策,从而
类
找出所研究的对象的规律性
推断 统计学
参数估计 假设检验 方差分析 回归分析
第六章 样本及抽样分布
• 总体和样本 • 统计量 • 顺序统计量和经验分布函数
§6.1 随机样本
1.总体
在一个统计问题中，把研究的对象全体称为总体. 构成总体的每个成员称为个体.
数理统计研究的内容
第一个问题是怎样对随机现象进行有限次的观察 或试验？
——试验设计与抽样方法
第二个问题是：如何对这有限次的观察或试验所 得到的，带有随机性的数据进行合理的分析，作 出科学的推断？
——统计推断
描述统计学 ——
数
对随机现象进行观测、试验，
理
以取得有代表性的观测值
统
计 推断统计学 ——
由于每个个体的出现是随机的，所以相 应的数量指标的出现也带有随机性.从而可以 把这种数量指标看作一个随机变量，该随机 变量的分布就是该数量指标在总体中的分布.
这样，总体就可以用一个随机变量及其分 布来描述.
例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就 是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示， 或用其分布函数F(x)表示.
在许多实际问题中，所描述的随机现象的 随机变量的概率分布可能完全不知道；或者 由于现象的某些事实而知道其分布形式，但 是不知道其分布函数中所含的参数。
例如 某种型号的电视机的寿命X 服从什么
分布是完全不知道的
→ 我们希望知道它的分布. → 或者，希望知道该分布的一些数字特征， 如期望和方差等
例如 某工厂生产大批电子元件，已知元件的 寿命服从指数分布，实际中常常提出如下问题：
f
*
(
x1
,
x
2
,,
xn
来自百度文库
)
=
P( X 1
=
x1 , X 2
=
x2
,,
X
n
=
xn )
= P( X1 = x1 ) ⋅ P( X 2 = x2 ) P( X n = xn )
n
∏ = P( X i = xi ) i =1
例6.1.1:总体X～N (µ,σ 2 ) , 样本（X1,X2 …Xn） 的联合
→ 元件的平均寿命是多少？. → 若按国家规定，这种元件的平均寿命应 大于5000小时。那么该工厂生产的元件是否 符合国家的规定？
类似的问题在生产活动和经济活动中是 经常会遇到的，数理统计就是在解决这些实 际问题中逐渐形成的一门独立的学科。它与 概率论既有区别又有联系，大体上可以说概 率论是数理统计的基础，而数理统计是概率 论的一种应用。
鉴于此，常用随机变量的记号或用其分布函 数表示总体.比如说总体X或总体F(x) .
类似地，在研究某地区中学生的营养状况时， 若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别 表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量 (X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示.
2. 样本
为推断总体分布及其各种特征，按一定规则 从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有 关总体的信息，这一抽取过程称为“抽样”，所 抽取的部分个体称为样本.样本中所包含的个体数 目称为样本容量.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”， 具有下面两特点:
1. 代表性： X1, X2,…, Xn中每一个都与总体 X 有相 同的分布.
2. 独立性： X1, X2,…, Xn是相互独立的随机变量.
当说到“X1, X2,…, Xn是取自某总体的样本”时， 若不特别说明，就指简单随机样本.
若总体 X 的分布函数为F(x)，则其简单随机样
把含有有限个个体的总体成为有限总体 把含有无限个个体的总体成为无限总体 在实际工作中，一般把个体数目很大的总体 也看成无限总体
然而在实际问题中，人们关心的仅仅是总 体中个体的某一项数量指标X，或某几项数量 指标(Y, Z).
因而将个体具有的数量指标的全体作为总体。 而将构成总体的每个成员的指标作为一个个体。