信道习题讲解
信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答
信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答-071102(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第3章 信道容量习题解答3-1 设二进制对称信道的转移概率矩阵为2/31/31/32/3⎡⎤⎢⎥⎣⎦解: (1) 若12()3/4,()1/4P a P a ==，求(),(),(|),(|)H X H Y H X Y H Y X 和(;)I X Y 。
i i 2i=13311H(X)=p(a )log p(a )log()log()0.8113(/)4444bit -=-⨯-=∑符号111121*********j j j=132117p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=43431231125p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=4343127755H(Y)=p(b )log(b )=log()log()0.9799(/)12121212bit ⨯+⨯=⨯+⨯=---=∑符号22i j j i j i j i ,H(Y|X)=p(a ,b )logp(b |a )p(b |a )logp(b |a )2211log()log()0.9183(/)3333i jjbit -=-=-⨯-⨯=∑∑符号I(X;Y)=H(Y)H(Y|X)=0.97990.91830.0616(/)bit --=符号 H(X|Y)=H(X)I(X;Y)=0.81130.06160.7497(/bit --=符号)(2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。
二进制对称信息的信道容量H(P)=-plog(p)-(1-p)log(1-p)1122C =1-H(P)=1+log()+log()=0.0817(bit/)3333符 BSC 信道达到信道容量时，输入为等概率分布，即：{，} 注意单位3-2 求下列三个信道的信道容量及其最佳的输入概率分布。
第三章 信道与信道容量 习题解答
，
，求
，
，
和
；
（2） 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。
解：
（1）先写出
：
根据公式
计算联合概率：
信宿端符号分布概率：
根据公式
计算：
3
求各熵： 信源熵：
比特/消息
信宿熵：
比特/消息
可疑度：
平均互信息量： 噪声熵： （2）二元对称离散信道的信道容量：
比特/消息 比特/消息
比特/秒
信源等概分布时（
解：设下标 1为原状况，下标 2为改变后状况。由
可得：
，
倍
如果功率节省一半则
倍 ，为 了 使 功 率 节 省 一 半 又 不 损 失 信 息 量 I，根 据
，可以： （1） 加大信道带宽 W，用带宽换取信噪比
，
，
7
缺点是对设备要求高。 （2） 加大传输时间 T，用传输时间换取信噪比，同理可得：
缺点是传输速度降低了。
噪声熵：
（5）平均互信息量：
2．有一个生产 A、B、C、D四种消息的信源其出现的概率相等，通过某一通信系统传输时，B和 C无误，A 以 1/4概率传为 A，以 1/4概率误传为 B、C、D，而 D以 1/2概率正确传输，以 1/2概率误传为 C，
（1）试求其可疑度？（2）收到的信号中哪一个最可靠？（3）散布度为多少？ 解：（1）
，
将各数据代入： 解得：
如果
则
将各数据代入： 解得：
14.在理想系统中，若信道带宽与消息带宽的比为 10，当接收机输入端功率信噪比分别为 0.1和 10时，试
比较输出端功率信噪比的改善程度，并说明
与
之间是否存在阀值效应。
【精品】第三章 信道容量习题答案
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除17 / 233。
1设信源⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4.06.0)(21x x X P X 通过一干扰信道，接收符号为Y=｛y1,y2},信道转移矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡43416165，求： （1)信源X 中事件x 1和事件x 2分别包含的自信息量；（2)收到消息y j (j=1,2)后,获得的关于x i (i=1,2)的信息量;(3）信源X 和信宿Y 的信息熵;（4）信道疑义度H （X/Y ）和噪声熵H(Y/X ）；（5)接收到信息Y 后获得的平均互信息量.解：1)bit x p x I bitx p x I 322.14.0log )(log )( 737.06.0log )(log )(22222121=-=-==-=-=2)资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除18 / 23bit y p x y p y x I bit y p x y p y x I bit y p x y p y x I bit y p x y p y x I x y p x p x y p x p y p x y p x p x y p x p y p 907.04.04/3log )()/(log );( 263.16.04/1log )()/(log );( 263.14.06/1log )()/(log );( 474.06.06/5log )()/(log );(4.0434.0616.0)/()()/()()(6.0414.0656.0)/()()/()()(222222221212122212221211121122212122121111===-===-=======⨯+⨯=+==⨯+⨯=+=3)symbolbit y p y p Y H symbolbit x p x p X H j j j ii i / 971.010log )4.0log 4.06.0log 6.0()(log )()(/ 971.010log )4.0log 4.06.0log 6.0()(log )()(22=+-=-==+-=-=∑∑4)symbolbit Y H X Y H X H Y X H Y X H Y H X Y H X H symbolbit x y p x y p x p X Y H i ji j i j i / 715.0971.0715.0971.0 )()/()()/()/()()/()(/ 715.0 10log )43log 434.041log 414.061log 616.065log 656.0( )/(log )/()()/(2=-+=-+=∴+=+=⨯⨯+⨯+⨯+⨯-=-=∑∑资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除18 / 235）symbol bit Y X H X H Y X I / 256.0715.0971.0)/()();(=-=-=3。
第3章 信道模型和信道容量 习题课(2)
3、解： （1）已知二元对称信道的传递矩阵，又已知输入的
3 1 概率分布 P (0) , P (1) , 就可以计算得出 Y 的概率 4 4
分布如下：
P ( y 0) P ( x ) P ( y 0 | x )
x
P( x 0) P( y 0 | x 0) P( x 1) P( y 0 | x 1)
0
1
0
1
1
1
(a)
2
解
( a ) 图，由信道线图可得转移概率矩阵如下：
1
1
该矩阵为行列排列阵，信道为准对称信道，可以把按列分 成两个子矩阵如下：
1
1
PS 10 log10 1 20 PN
得到
PS 1 100 PN
信道传送的最大信息速率
PS Ct W log(1 ) 3 103 log 2 100 19.93 103 bit/s PN
（1）
信道不变， Ct 仍应为 19.93 10 （比特/秒） ，而
21s?121lognkkkskmmcshppprr??????????????????????11222loglog1222211loglog12hh????????????????????????????????????设在平均功率受限高斯可加波形信道中信道带宽为3khz又设信号功率噪声功率噪声功率20db
•设在平均功率受限高斯可加波形信道 中，信道带宽为3kHz，又设（信号功 率+噪声功率）/噪声功率=20 dB。
（1）试计算该信道传送的最大信息率 （单位时间）19.93*103(bit/s)。 （2）若功率信噪比降为5dB，要达到 相同的最大信息传输率，信道带宽应 是多少(12KHz)。
信道容量课后习题
p( x1 y1 ) p( x1 ) p ( y1 / x1 ) 0.7 0.8 0.56 p( x1 y 2 ) p ( x1 ) p ( y 2 / x1 ) 0.7 0.2 0.14 p ( y1 ) p( x1 y1 ) p( x2 y1 ) p ( x2 y1 ) p( y1 ) p ( x1 y1 ) 0.64 0.56 0.08 p ( y 2 ) p ( x1 y 2 ) p ( x2 y 2 ) p ( x2 y 2 ) p( y 2 ) p ( x1 y 2 ) 0.36 0.14 0.22
3.4
若X, Y, Z是三个随机变量，试证明 (1)I(X;YZ) = I(X;Y) + I(X;Z/Y) = I(X;Z) + I(X;Y/Z)； (2)I(X;Y/Z) = I(Y;X/Z) = H(X/Z) – H(X/YZ)； (3)I(X;Y/Z) ≥0，当且仅当(X, Y, Z)是马氏链时等式成立。 证明: (1)I(X;YZ) = H(X) – H(X/YZ) = H(X) – H(X/Ｙ) ＋ H(X/Ｙ)－ H(X/YZ) = I(X;Y) + I(X;Z/Y) = I(X;Z) + I(X;Y/Z)； (2)可直接证明。
所以等式成立的条件是X, Y, Z是马氏链
3.5
若三个随机变量，有如下关系：Z = X + Y， 其中X和Y相互独立，试证明： (1) I(X;Z) = H(Z) - H(Y)； (2) I(XY;Z) = H(Z)； (3) I(X;YZ) = H(X)； (4) I(Y;Z/X) = H(Y)； (5) I(X;Y/Z) = H(X/Z) = H(Y/Z)。
(仅供参考)第四章-信道-习题解答
+
S) N
= 5 ×108 ≈ 50MHz 3.32 lg1001
= 4.48 ×104 b / s
由于信道容量 C ≥ Rb ，选取 C = Rb ，
根据香农公式
C
=
B
log
2
1
+
S N
得
B=
C
= 4.48 ×104 ≈ 6.73 ×103 Hz
log2 (1 +
S N
)
log2 101
• 4.14已知彩色电视图像由5 ×105 个像素组成， 设每个像素有64种彩色度，每种彩色度有16
个亮度等级。如果所有彩色度和亮度等级的
组合机会均等，并统计独立。 （1）试计算每秒传送100个画面所需的容量； （2）如果接收机信噪比为30dB，为了传送彩
色图像所需信道带宽为多少？（注：log2 x = 3.32lg x ） • 解: （1）信息量/像素= log2 (64 ×16) = 10bit
∑ H (x) =
12 i =1
p(xi ) log2
1 p(xi )
= log2 12 = 3.58bit / 符号
所以，一张图片的平均信息量为
I = 2.25 ×106 × 3.58 = 8.06 ×106 bit 图片
那么， 传送一张图片的平均信息速率为
Rb
=I T
=
8.06 ×106 3× 60
第四章 信道习题解答
• 4.13某一待传输的图片约含 2.25×106 个像元。 为了很好的重现图片，需要12个亮度电平。
假设所有这些亮度电平等概率出现，试计
算用3min 传送一张图片时所需的信道带宽
信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答-071102
第3章 信道容量习题解答3-1 设二进制对称信道的转移概率矩阵为2/31/31/32/3⎡⎤⎢⎥⎣⎦解: (1) 若12()3/4,()1/4P a P a ==，求(),(),(|),(|)H X H Y H X Y H Y X 和(;)I X Y 。
i i 2i=13311H(X)=p(a )log p(a )log()log()0.8113(/)4444bit -=-⨯-=∑符号111121*********j j j=132117p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=43431231125p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=4343127755H(Y)=p(b )log(b )=log()log()0.9799(/)12121212bit ⨯+⨯=⨯+⨯=---=∑符号 22i j j i j i j i ,H(Y|X)=p(a ,b )logp(b |a )p(b |a )logp(b |a )2211log()log()0.9183(/)3333i jjbit -=-=-⨯-⨯=∑∑符号I(X;Y)=H(Y)H(Y|X)=0.97990.91830.0616(/)bit --=符号 H(X|Y)=H(X)I(X;Y)=0.81130.06160.7497(/bit --=符号)(2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。
二进制对称信息的信道容量H(P)=-plog(p)-(1-p)log(1-p)1122C =1-H(P)=1+log()+log()=0.0817(bit/)3333符 BSC 信道达到信道容量时，输入为等概率分布，即：{，}注意单位3-4 设BSC 信道的转移概率矩阵为112211Q εεεε-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1）写出信息熵()H Y 和条件熵(|)H Y X 的关于1()H ε和2()H ε表达式，其中()log (1)log(1)H εεεεε=----。
通信原理第二章(信道)习题及其答案
第二章（信道）习题及其答案【题2－1】设一恒参信道的幅频特性和相频特性分别为0()()d H K t ωϕωω⎧=⎨=-⎩其中，0,d K t 都是常数。
试确定信号()s t 通过该信道后的输出信号的时域表达式，并讨论之。
【答案2－1】 恒参信道的传输函数为：()0()()d j t j H H e K e ωϕωωω-==，根据傅立叶变换可得冲激响应为：0()()d h t K t t σ=-。
根据0()()()i V t V t h t =*可得出输出信号的时域表达式：000()()()()()()d d s t s t h t s t K t t K s t t δ=*=*-=-讨论：题中条件满足理想信道（信号通过无畸变）的条件：()d d H ωωφωωτττ⎧=⎨⎩常数（）＝－或＝ 所以信号在传输过程中不会失真。
【题2－2】设某恒参信道的幅频特性为[]0()1cos d j t H T e ωω-=+，其中d t 为常数。
试确定信号()s t 通过该信道后的输出表达式并讨论之。
【答案2－2】 该恒参信道的传输函数为()0()()(1cos )d j t j H H e T e ωϕωωωω-==+，根据傅立叶变换可得冲激响应为：0011()()()()22d d d h t t t t t T t t T δδδ=-+--+-+根据0()()()i V t V t h t =⊗可得出输出信号的时域表达式：0000011()()()()()()()2211 ()()()22d d d d d d s t s t h t s t t t t t T t t T s t t s t t T s t t T δδδ⎡⎤=⊗=⊗-+--+-+⎢⎥⎣⎦=-+--+-+讨论：和理想信道的传输特性相比较可知，该恒参信道的幅频特性0()(1cos )H T ωω=+不为常数，所以输出信号存在幅频畸变。
其相频特性()d t ϕωω=-是频率ω的线性函数，所以输出信号不存在相频畸变。
信道习题讲解
1信号分别通过图所示的两个电路，试讨论输出信号有没有群迟延畸变？2设某恒参信道的传递函数d t j e k H ωω−=0)(，0K 和d t 都是常数。
试确定信号s(t)通过该信道后的输出信号的时域表达式，并讨论信号有无失真？3某恒参信道的传输函数为d t j e T H ωωω−+=)cos 1()(0，其中，和为常数，试确定信号通过后的输出信号表示式，并讨论有无失真。
4假设某随参信道的二径时延差τ为1ms ，试问在该信道哪些频率上传输衰耗最大？选用哪些频率传输信号最有利（即增益最大，衰耗最小）？5已知高斯信道的带宽为4kHz ，信号与噪声的功率比为63，试确定这种理想通信系统的极限传输速率。
6已知有线电话信道的传输带宽为3.4KHz ：（1）试求信道输出信噪比为30dB 时的信道容量；（2）若要求在该信道中传输33.6kb/s 的数据，试求接收端要求的最小信噪比为多少？7具有6.5MHz 带宽的某高斯信道，若信道中信号功率与噪声功率谱密度之比为45.5MHz ，试求其信道容量。
8某待传输图片有61025.2×个像素，每个像素有12个亮度电平，各电平独立地以等概率出现；试计算用3分钟传送该图片所需的信道带宽（设要求接收图像信噪比达到30dB ）。
9计算机终端通过电话信道传输数据，电话信道带宽为3.2kHz ，信道信噪比为30dB,终端采用N=256进制，且各符号相互独立等概出现，求：信道容量？无误码传输的最高符号速率？10假设在一个信道中，采用二进制传输数据，码元传输速率为2000B ，信道带宽为4000Hz ，设信道输出信噪比为S/N≥31，试分析该系统能否实现数据传输（估计系统潜力）？11已知某信道无差错传输的最大信息速率为max b R ，信道的带宽为2/max b R B =，设信道中的噪声为高斯噪声，单边功率谱密度为0n ，试求此时系统中信号的平均功率。
12已知电话信道的带宽为3.4kHz ，试求：（1）接收端信噪比为30db 时的信道容量；（2）若要求信道能传输4800b/s 的数据，则接收端要求的最小信噪比为多少？13黑白电视图像每幅含有5103×个像素，每个像素有16个等概率出现的亮度等级。
第五章 信道编码 习题解答
第五章 信道编码 习题解答1．写出与10011的汉明距离为3的所有码字。
解：共有10个：01111，00101，00000，01010，01001，00110，11101，10100，11000，11110。
2． 已知码字集合的最小码距为d ，问利用该组码字可以纠正几个错误？可以发现几个错误？请写出一般关系式。
解：根据公式：(1)1d e ≥+ 可发现e 个错。
(2)21d t ≥+ 可纠正t 个错。
得出规律：（1）1d = ，则不能发现错及纠错。
（2）d 为奇数：可纠12d -个码元错或发现1d -个码元错。
（3）d 为偶数：可纠12d-个码元错，或最多发现1d -个码元错。
（4）码距越大，纠、检错能力越强。
3．试计算（8，7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。
已知码元错误概率为410e p -=。
解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况：228788!10 2.8106!2!e p C p --==⨯=⨯⨯ 787.5%8η==4．已知信道的误码率410e p -=，若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实际）误码率为多少？ 解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元的情况1125211283232(1)610e e e p C C p p C C p --=-≈=⨯5．求000000，110110，011101，101011四个汉明码字的汉明距离，并据此求出校正错误用的校验表。
解：先求出码字间距离：000000 110110 011101 101011000000 4 4 4 110110 4 4 4 011101 4 4 4 101011 4 4 4汉明距离为4，可纠一位错。
由于一个码字共有6个码元，根据公式：21617rn ≥+=+= 得 3r = 即每个码字应有3位监督码元，6-3=3位信息码元。
直观地写出各码字：123456000000110110011101101011x x x x x x 令456x x x 为监督码元，观察规律则可写出监督方程：413523612x x x x x x x x x=⊕⎧⎪=⊕⎨⎪=⊕⎩从而写出校验子方程：113422353126s x x x s x x x s x x x *********⎧=⊕⊕⎪=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩列出校验表：6．写出信息位6k =，且能纠正1个错的汉明码。
信道编码习题解答
第五章 信道编码 习题解答1．写出与10011的汉明距离为3的所有码字。
解：共有10个：01111，00101，00000，01010，01001，00110，11101，10100，11000，11110。
2． 已知码字集合的最小码距为d ，问利用该组码字可以纠正几个错误？可以发现几个错误？请写出一般关系式。
解：根据公式：(1)1d e ≥+ 可发现e 个错。
(2)21d t ≥+ 可纠正t 个错。
得出规律：（1）1d = ，则不能发现错及纠错。
（2）d 为奇数：可纠12d -个码元错或发现1d -个码元错。
（3）d 为偶数：可纠12d-个码元错，或最多发现1d -个码元错。
（4）码距越大，纠、检错能力越强。
3．试计算（8，7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。
已知码元错误概率为410e p -=。
解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况：228788!10 2.8106!2!e p C p --==⨯=⨯⨯ 787.5%8η==4．已知信道的误码率410e p -=，若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实际）误码率为多少？ 解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元的情况1125211283232(1)610e e e p C C p p C C p --=-≈=⨯5．求000000，110110，011101，101011四个汉明码字的汉明距离，并据此求出校正错误用的校验表。
解：先求出码字间距离：000000 110110 011101 101011000000 4 4 4 110110 4 4 4 011101 4 4 4 101011 4 4 4 汉明距离为4，可纠一位错。
由于一个码字共有6个码元，根据公式：21617rn ≥+=+= 得 3r = 即每个码字应有3位监督码元，6-3=3位信息码元。
直观地写出各码字：123456000000110110011101101011x x x x x x 令456x x x 为监督码元，观察规律则可写出监督方程：413523612x x x x x x x x x=⊕⎧⎪=⊕⎨⎪=⊕⎩从而写出校验子方程：113422353126s x x x s x x x s x x x *********⎧=⊕⊕⎪=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩列出校验表：6．写出信息位6k =，且能纠正1个错的汉明码。
信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答-071102
第3章 信道容量习题解答3-1 设二进制对称信道的转移概率矩阵为2/31/31/32/3⎡⎤⎢⎥⎣⎦解: (1) 若12()3/4,()1/4P a P a ==，求(),(),(|),(|)H X H Y H X Y H Y X 和(;)I X Y 。
i i 2i=13311H(X)=p(a )log p(a )log()log()0.8113(/)4444bit -=-⨯-=∑符号111121*********j j j=132117p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=43431231125p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=4343127755H(Y)=p(b )log(b )=log()log()0.9799(/)12121212bit ⨯+⨯=⨯+⨯=---=∑符号 22i j j i j i j i ,H(Y|X)=p(a ,b )logp(b |a )p(b |a )logp(b |a )2211log()log()0.9183(/)3333i jjbit -=-=-⨯-⨯=∑∑符号I(X;Y)=H(Y)H(Y|X)=0.97990.91830.0616(/)bit --=符号 H(X|Y)=H(X)I(X;Y)=0.81130.06160.7497(/bit --=符号)(2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。
二进制对称信息的信道容量H(P)=-plog(p)-(1-p)log(1-p)1122C =1-H(P)=1+log()+log()=0.0817(bit/)3333符 BSC 信道达到信道容量时，输入为等概率分布，即：{0.5，0.5} 注意单位3-2 求下列三个信道的信道容量及其最佳的输入概率分布。
1b 2b 3b 3a 2a 1a Y X 1b 2b 3a 2a 1a Y X 1b 2b 2a 1a Y X 3b 11111110.70.3第一种：无噪无损信道，其概率转移矩阵为： 1 0 0P=0 1 00 0 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦信道容量：()max (;)P X C I X Y @ bit/符号()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H X H X Y H X Y C I X Y H X ==-∴=∴==离散无记忆信道(DMC)只有输入为等概率分布时才能达到信道容量，C=log3=1.5850 bit/符号输入最佳概率分布如下：111,,333⎧⎫⎨⎬⎩⎭第二种：无噪有损信道，其概率转移矩阵为： 1 0P=0 10 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，离散输入信道， ()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H Y H Y X H Y X C I X Y H Y ==-∴=∴==H(Y)输出为等概率分布时可达到最大值，此值就是信道容量 此时最佳输入概率：123p(a )+p(a )=0.5,p(a )=0.5 信道容量：C=log(2)=1 bit/符号 第三种：有噪无损信道，由图可知：()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H X H X Y H X Y C I X Y H X ==-∴=∴==输入为等概率分布时可达到信道容量，此时信道容量p(x)C=max{H(X)}=log(2)=1 bit/符号 输入最佳概率分布：11,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭3-3 设4元删除信道的输入量{1,2,3,4}X ∈，输出量{1,2,3,4,}Y E ∈，转移概率为(|)1(|)1-ε 0 0 0 ε0 1-ε 0 0 ε P=0 0 1-ε 0 ε0 0 0 1-ε ε1-ε 0 0 0 ε0 1-ε 0 0 ε p1= p2=0 0 1-ε 0 ε0 0 0 1-ε εP Y i X i P Y E X i εε===-===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中1,2,3,4i = 1）该信道是对称DMC 信道吗？ 2）计算该信道的信道容量；3）比较该信道与两个独立并联的二元删除信道的信道容量。
第三章 信道容量 例题 20120917
对称DMC信道信道容量的计算：
。
1 1 1 1 3 3 6 6 例2：求信道P 的信道容量。 1 1 1 1 6 6 3 3 解：因为该信道是对称DMC信道，所以,当p ( ai ) 1/ 2, i 1, 2时 C log 2 m p (b j ai ) log 2 p (b j ai ) log 2 4 H (1/ 3,1/ 3,1/ 6,1/ 6) 0.082bit / 符号
当概率分布为的输入符号集中每一个概率不为零的符号提供相同的互信息量时平均互信息量达到信道容量其中2015716物理与信息工程学院第三章第二节例题一般dmc信道信道容量的例子
信息论与编码
福州大学物理与信息工程学院 郭里婷
物理与信息工程学院 郭里婷
1
2013-9-13
第三章第一节例题
离散单符号信道：
例1：若X l {0,1}，Yl {0,1, 2}，即n 2, m 3, 则 p(0 0) p(1 0) p(2 0) 当L 1时，转移概率p(Y X ), 转移矩阵P p(0 1) p(11) p(2 1)
二进制对称信道BSC——Binary Symmetric Channel： 1 p p 例2：若X l A {0,1},Yl B {0,1}, P p 1 p 离散序列信道：
例3：若X l {0,1}，Yl {0,1, 2}，即n 2, m 3, 则 当L 2时，转移概率p (Y X), 转移概率矩阵 p (00 00) p (00 01) P p (00 10) p (00 11) p(01 00) p(02 00) p(10 00) p(11 00) p(12 00) p(20 00) p (21 00) p (22 00) p(01 01) p(02 01) p(10 01) p(11 01) p(12 01) p(20 01) p (21 01) p (22 01) p(01 10) p(02 10) p (10 10) p(11 10) p(12 10) p(20 10) p(21 10) p(22 10) p (01 11) p(02 11) p(10 11) p(11 11) p(12 11) p(20 11) p (21 11) p (22 11)
樊昌信《通信原理》(第6版)(课后习题 信 道)【圣才出品】
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解：如图 4.2 所示：
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d
h r
图 4-2
覆盖地面的半径 d ( r h )2 r2 583 km 。
4-4 设一个接收机输入电路的等效电阻等于600 ，输入电路的带宽等于6MHz，环
4-6 若习题4-5中的四个符号分别用二进制码组00、01、10、11表示，每个二进制 码元用宽度为5ms的脉冲传输，试求出该信道的容量Ct等于多少b/s。
解：根据题意可知，每个符号需要宽度 5ms×2=10ms 的脉冲传输。
则每秒传输1 / 10103 100 个符号
信道容量 Ct 100 C 196.65bit / s 。
h D2 D2 8r 50
则最远通信距离
。
4-2 设一条天波无线电信道，用高度等于400km的F2层电离层反射电磁波，地球的 等效半径等于(6370×4/3)km，收发天线均架设在地平面，试计算其通信距离大约可以达 到多少千米?
解:如图 4-1 所示：
d hd 2 ( r h )2 r2 5274 km 。
台
由 Shannon 公式可得信道的最大信息速率 Ct B log2(1 S / N ) 10.4 kbit / s
故需要传输时间 t I / Ct 1540 s 25.67 min 。
4/4
解：由题可画出该信道模型如图 4-3 所示：
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图 4-3 其中实线表示概率为 1021/1024，虚线表示概率为 1/1024。 经过信道后损失的平均信息量
通信原理第二章(信道)习题及其答案
第二章（信道）习题及其答案【题2－1】设一恒参信道的幅频特性和相频特性分别为0()()d H K t ωϕωω⎧=⎨=-⎩其中，0,d K t 都是常数。
试确定信号()s t 通过该信道后的输出信号的时域表达式，并讨论之。
【答案2－1】 恒参信道的传输函数为：()0()()d j t j H H e K e ωϕωωω-==，根据傅立叶变换可得冲激响应为：0()()d h t K t t σ=-。
根据0()()()i V t V t h t =*可得出输出信号的时域表达式：000()()()()()()d d s t s t h t s t K t t K s t t δ=*=*-=-讨论：题中条件满足理想信道（信号通过无畸变）的条件：()d d H ωωφωωτττ⎧=⎨⎩常数（）＝－或＝ 所以信号在传输过程中不会失真。
【题2－2】设某恒参信道的幅频特性为[]0()1cos d j t H T e ωω-=+，其中d t 为常数。
试确定信号()s t 通过该信道后的输出表达式并讨论之。
【答案2－2】 该恒参信道的传输函数为()0()()(1cos )d j t j H H e T e ωϕωωωω-==+，根据傅立叶变换可得冲激响应为：0011()()()()22d d d h t t t t t T t t T δδδ=-+--+-+根据0()()()i V t V t h t =⊗可得出输出信号的时域表达式：0000011()()()()()()()2211 ()()()22d d d d d d s t s t h t s t t t t t T t t T s t t s t t T s t t T δδδ⎡⎤=⊗=⊗-+--+-+⎢⎥⎣⎦=-+--+-+讨论：和理想信道的传输特性相比较可知，该恒参信道的幅频特性0()(1cos )H T ωω=+不为常数，所以输出信号存在幅频畸变。
其相频特性()d t ϕωω=-是频率ω的线性函数，所以输出信号不存在相频畸变。
通信原理1-8章习题及答案(哈工程版)
T = (3 ~ 5)τ m = (9 ~ 15)ms 。
【题 2－7】若两个电阻的阻值都为 1000 Ω ，它们的噪声温度分别为 300K 和
400K，试求两个电阻串连后两端的噪声功率谱密度。
【答案 2－7】 两个电阻的噪声功率普密度分别为
P 1 ( w) = 2kT 1 R1 P2 ( w) = 2kT2 R2
当 cos
ωτ
2
= 0 时，传输衰耗最大，此时
1 = n + π 即 2 2
1 所以， 当 f = n + kHz ， n = 0,1, 2,L 时， 对传输信号衰耗最大； 当 f = nkHz ， 2 n = 0,1, 2,L 时，对传输信号最有利。
1 ω 1 f = = 2 = (n + )kHz 。 2π 2 τ nt
字母 x 出现的概率为 p ( x) = 0.002 ，由信息量公式，可知其信息量为： I x = log 2 1 1 = log 2 ( ) = 8.97bit p ( x) 0.002
【题 1－2】某信息源的符号集由 A,B,C,D 和 E 组成，设每一符号独立出现，其 出现概率分别为 1/4,1/8,1/8,3/16 和 5/16。试求该信息源符号的平均信息量。 【答案 1－2】 直 接 利 用 公 式 H ( x) = −∑ p ( xi ) log 2 p ( xi ) ( bit/ 符 号 ) ， 将 p ( A) = 1/ 4 ，
4
讨论：和理想信道的传输特性相比较可知，该恒参信道的幅频特性
H (ω ) = (1 + cos ωT0 ) 不 为 常 数 ， 所 以 输 出 信 号 存 在 幅 频 畸 变 。 其 相 频 特 性
数字通信 第五章 信道的多路复用与数字复接技习题及答案
第五章信道的多路复用与数字复接技术习题及答案5-1 说明PCM30/32系统的帧结构，一帧含多少时隙？时隙怎样安排的？一复帧含多少子帧？答：一帧有32个时隙。
T1~TS15、TS17,～TS31为30个话路时隙。
TS0为帧同步码、性能监测、告警码时隙。
TS16为信令(振铃、占线、摘机……等各种信令信号)时隙。
一复帧含16个子帧。
5-2简述时分多路复用原理？答：时分多路复用是指多路信号共用同一信道，占用相同的信道带宽，只是在不同的时间段传送，这种时间段称为时隙。
5-3统计时分复用（STDM）采用的是什么技术？答：统计时分复用原理是用话音插空(DSl)传输技术，每一路话音均被分成话音片断(分组)，这些分组可以被随机分配在任一输出信道的某一空闲时隙中传输中的技术。
5-4 简述什么叫数字分复接技术？由什么设备完成的？答：在数字通信网中，为了扩大传输容量和提高传输效率，把若干支路的小容量低速数字流合并成一个大容量高速数字流，再通过高速信道传输，传到对方后再分接成各低速支路信号，这就是数字分接。
完成数字复接/分接功能的设备称为数字复接器。
5-5 PDH的缺点与SDH技术的产生及特点。
答：PDH的主要缺点，标准不统一，造成国际间互联、互通困难。
在任一网络节点上要插入或取出某一低速支路信号，都要经过多次复接/分接过程如书中图5-10(a)所示。
SDH技术将两种数字系列统一在一个传输构架之中，成为不仅适用于光纤，也适用于微波及卫星传输的通用技术体制。
5-6 SDH的基本传送模块是什么?其速率是多少？SDH高等级的STM-N信号有哪些？答：SDH的基本传送模块是STM-1。
其速率是为155.520Mbit/s。
更高等级的STM-N信号，目前SDH仅支持N=1，4，16，64。
5-7 SDH的标准传输速率有哪些？答：●STM-1：155.520Mbit/s；● STM-4：622.080Mbit/s；● STM-16：2 488.320Mbit/s；● STM-64：9 953.280Mbit/s。
樊昌信《通信原理》(第7版)课后习题(信 道)【圣才出品】
第4章信道思考题4-1 无线信道有哪些种？答：（1）无线信道根据通讯距离、频率和位置的不同，分为：①地波传播，频率较低的电磁波趋于沿弯曲的地球表面传播，有一定的绕射能力。
②天波传播，频率较高的电磁波能够通过电离层的反射进行传播。
③视距传播，频率很高的电磁波因为穿透电离层而不能反射传播，而且没有绕射能力，只能类似于光波的传播。
（2）无线信道根据传播方式分为：①反射传播，反射传播即电磁波通过电离层的反射来传播信号的一种方式。
②散射传播，由于传播媒体的不均匀性，使电磁波产生向许多方向的折射，从而实现散射传播，散射传播具有很强的方向性。
4-2 地波传播距离能达到多远？它适用在什么频段？答：（1）地波传播在数百米到数千千米。
（2）它适用于低频和甚低频段，频率大约为2MHz以下。
4-3 天波传播距离能达到多远？它适用在什么频段？答：（1）天波传播能达到一万千米以上。
（2）它适用于中高频，频段为2MHz～30MHz。
4-4 视距传播距离和天线高度有什么关系？答：视距传播距离和天线高度的关系：天线高度越高，视距传播的距离越远，其具体关系为，其中h为天线高度，单位为米，D为视距传播距离，单位为千米。
4-5 散射传播有哪些种？各适用在什么频段？答：（1）散射传播分为：①电离层散射；②对流散射；③流星余迹散射。
（2）三种散射传播分别适用于以下频段：①电离层散射发生在30MHz～60MHz；②对流层散射发生在100MHz～4000MH；。
③流星余迹散射发生在30MHz～100MHz。
4-6 何谓多径效应？答：通信过程中，信号经过几条路径到达接收端，而且每条路径的长度（时延）和衰减都随时间而变，即存在多径传播现象。
多径传播对信号的影响称为多径效应。
4-7 什么是快衰落？什么是慢衰落？答：（1）多径传播使信号包络产生的起伏虽然比信号的周期缓慢，但是仍然可能是在秒或秒以下的数量级，衰落的周期常能和数字信号的一个码元周期相比较，故通常将由多径效应引起的衰落称为快衰落。
信道与信道容量部分例题
• 例8. BSC信道二次扩展
• 转移概率矩阵
X
00 01 10 11
Y
00
(1 p) p(1 p) p(1 p) p 2 2 p(1 p) (1 p) p p(1 p) P p(1 p) p 2 (1 p) 2 p(1 p) 2 2 p(1 p) p(1 p) (1 p) p
1 p p P1 P2 p 1 p
• 串联信道的转移矩阵为:
X0
p
p 1
1-p
Y
1-p
0Z
1 1-p 1-p
2 2 1 p p 1 p p (1 p) p 2 p(1 p) P P1P2 2 2 p 1 p p 1 p 2 p(1 p) (1 p) p
3
BSC信道容量
• BSC信道容量
C 1 H ( p)
• 当p固定时,I (X;Y) 是ω的 型上凸函数。 • I (X;Y) 对ω存在一 个极大值。
I (X;Y) 1-H( p )
ω
4
BSC信道容量
• BSC信道容量
C 1 H ( p)
• 当固定信源的概率分布ω时,I (X;Y) 是p的 型下 凸函数。 信道无噪声 • 当p = 0, C C =1－0 = 1bit = H(X) 信道强噪声
18
pm ) N k log M k
k 1
1 1 1 1 1 1 1 1 log 2 H ( , , , ) ( ) log( ) 3 3 6 6 3 6 3 6 1 1 1 1 1 1 log( ) log( ) 3 3 3 6 6 6 0.041 （比特 / 符号）
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1信号分别通过图所示的两个电路，试讨论输出信号有没有群迟延畸变？
2设某恒参信道的传递函数d t j e k H ωω−=0)(，0K 和d t 都是常数。
试确定信号s(t)通过该信
道后的输出信号的时域表达式，并讨论信号有无失真？
3某恒参信道的传输函数为d t j e T H ωωω−+=)cos 1()(0，其中，和为常数，试确定信号通过后的输出信号表示式，并讨论有无失真。
4假设某随参信道的二径时延差τ为1ms ，试问在该信道哪些频率上传输衰耗最大？选用哪
些频率传输信号最有利（即增益最大，衰耗最小）？
5已知高斯信道的带宽为4kHz ，信号与噪声的功率比为63，试确定这种理想通信系统的极
限传输速率。
6已知有线电话信道的传输带宽为3.4KHz ：
（1）试求信道输出信噪比为30dB 时的信道容量；
（2）若要求在该信道中传输33.6kb/s 的数据，试求接收端要求的最小信噪比为多少？
7具有6.5MHz 带宽的某高斯信道，若信道中信号功率与噪声功率谱密度之比为45.5MHz ，
试求其信道容量。
8某待传输图片有6
1025.2×个像素，每个像素有12个亮度电平，各电平独立地以等概率
出现；试计算用3分钟传送该图片所需的信道带宽（设要求接收图像信噪比达到30dB ）。
9计算机终端通过电话信道传输数据，电话信道带宽为3.2kHz ，信道信噪比为30dB,终端采
用N=256进制，且各符号相互独立等概出现，求：信道容量？无误码传输的最高符号速率？
10假设在一个信道中，采用二进制传输数据，码元传输速率为2000B ，信道带宽为4000Hz ，
设信道输出信噪比为S/N≥31，试分析该系统能否实现数据传输（估计系统潜力）？
11已知某信道无差错传输的最大信息速率为max b R ，信道的带宽为2/max b R B =，设信道中
的噪声为高斯噪声，单边功率谱密度为0n ，试求此时系统中信号的平均功率。
12已知电话信道的带宽为3.4kHz ，试求：
（1）接收端信噪比为30db 时的信道容量；
（2）若要求信道能传输4800b/s 的数据，则接收端要求的最小信噪比为多少？
13黑白电视图像每幅含有5103×个像素，每个像素有16个等概率出现的亮度等级。
要求每
秒钟传送30帧图像。
若信号输出S/N=30db ，计算传输该黑白电视图像所要求的信道的最小
带宽。
14设某恒参信道为如图示意的线性二端网络。
试求它的传输函数)(ωH ，并说明信号通过该信道时会产生哪些失真。
对于信号传输而言，我们追求的是信号通过信道时不产生失真或者失真小到不易察觉的程度。
由《信号与系统》课程可知，网络的传输特性通常可用幅度-频率特性和相位-频率特性来表征：
要使任意一个信号通过线性网络不产生波形失真，网络的传输特性应该具备(1）网络的是一个不随频率变化的常数，如图2-5（a）所示；
（2）网络的应与频率成直线关系，如图2-5（b）所示。
其中为传输时延常数。
网络的相位-频率特性还经常采用来衡量。
所谓群迟延-频率特性就是相
位-频率特性对频率的导数，即：
可以看出，上述相位-频率理想条件，等同于要求群迟延-频率特性应是一条水平直线，如图2-5(c)所示。
一般情况下，恒参信道并不是理想网络，其参数随时间不变化或变化特别缓慢。
它对信号的主要影响可用幅度-频率畸变和相位-频率畸变（群迟延-频率特性）来衡量。
信道习题讲解
1信号分别通过图所示的两个电路，试讨论输出信号有没有群迟延畸变？
2设某恒参信道的传递函数d t j e
k H ωω−=0)(，和都是常数。
试确定信号通过该信道后的输出信号的时域表达式，并讨论信号有无失真？
3某恒参信道的传输函数为d t j e
T H ωωω−+=)cos 1()(0，其中，和为常数，试确定信号通过后的输出信号表示式，
并讨论有无失真。
4假设某随参信道的二径时延差τ为1ms ，试问在该信道哪些频率上传输衰耗最大？选用哪些频率传输信号最有利（即增益最大，衰耗最小）？
5已知高斯信道的带宽为4kHz ，信号与噪声的功率比为63，试确定这种理想通信系统的极限传输速率。
6已知有线电话信道的传输带宽为3.4KHz ：
（1）试求信道输出信噪比为30dB 时的信道容量；
（2）若要求在该信道中传输33.6kb/s 的数据，试求接收端要求的最小信噪比为多少？
7具有6.5MHz 带宽的某高斯信道，若信道中信号功率与噪声功率谱密度之比为45.5MHz ，试求其信道容量。
8某待传输图片有6
1025.2×个像素，每个像素有12个亮度电平，各电平独立地以等概率
出现；试计算用3分钟传送该图片所需的信道带宽（设要求接收图像信噪比达到30dB ）。
9计算机终端通过电话信道传输数据，电话信道带宽为3.2kHz ，信道信噪比为30dB,终端采
用N=256进制，且各符号相互独立等概出现，求：信道容量？无误码传输的最高符号速率？
10假设在一个信道中，采用二进制传输数据，码元传输速率为2000B ，信道带宽为4000Hz ，
设信道输出信噪比为S/N≥31，试分析该系统能否实现数据传输（估计系统潜力）？
11已知某信道无差错传输的最大信息速率为max b R ，信道的带宽为2/max b R B =，设信道中的噪声为高斯噪声，单边功率谱密度为0n ，试求此时系统中信号的平均功率。
12已知电话信道的带宽为3.4kHz ，试求：
（3）接收端信噪比为30db 时的信道容量；
（4）若要求信道能传输4800b/s 的数据，则接收端要求的最小信噪比为多少？
13黑白电视图像每幅含有5
103×个像素，每个像素有16个等概率出现的亮度等级。
要求每秒钟传送30帧图像。
若信号输出S/N=30db ，计算传输该黑白电视图像所要求的信道的最小带宽。
14设某恒参信道为如图示意的线性二端网络。
试求它的传输函数)(ωH ，并说明信号通过该信道时会产生哪些失真。