定积分与微积分基本定理练习题(基础、经典、好用)

定积分与微积分基本定理

一、选择题 1．(2013·汕尾质检)⎠⎛01(e x ＋2x)d x 等于( )

A ．1

B ．e －1

C ．e

D ．e ＋1

2．(2013·湛江模拟)曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π

2所围成的平面区域的面积为( )

A ．∫π

20(sin x －cos x)d x

B ．2∫x

40(sin x －cos x)d x

C ．2∫π

40(cos x －sin x)d x

D ．∫π

20(cos x －sin x)d x

3．(2013·潮州模拟)设f(x)＝⎠⎛0x sin t d t ，则f[f(π

2)]的值等于( )

A ．－1

B ．1

C ．－cos 1

D ．1－cos 1

图2－13－3

4．如图2－13－3，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝1

4，所围成的图形(阴影部分)的面积为( )

A.23

B.13

C.12

D.14

5．一物体在力F(x)＝⎩⎨⎧10， （0≤x ≤2），

3x ＋4， （x ＞2）(单位：N )的作用下沿与力F(x)相同的

方向运动了4米，力F(x)做功为( )

A ．44 J

B ．46 J

C ．48 J

D ．50 J

二、填空题

6．设函数f(x)＝ax 2＋1，若⎠⎛0

1f(x)d x ＝2，则a ＝________．

图2－13－4

7．(2013·肇庆模拟)如图2－13－4，是一个质点做直线运动的v —t 图象，则质点在前6 s 内的位移为________m .

8．(2013·广州调研)若f(x)＝⎩⎪⎨⎪

⎧f （x －4），x ＞0，

2x ＋∫π

60cos 3x d x ，x ≤0，则f(2 013)＝________． 三、解答题

9．已知f(x)在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3， 试求⎠⎛0

3f(x)d x 的值．

10．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积．

图2－13－5

11．如图2－13－5所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．

解析及答案

一、选择题

1．【解析】 ⎠⎛0

1(e x

＋2x)d x ＝(e x

＋x 2

)|1

0＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e .

【答案】 C

2．【解析】 当x ∈[0，π

4]时，cos x ≥sin x ， 当x ∈(π4，π

2)时，sin x ＞cos x.

故所求平面区域的面积为∫π40(cos x －sin x)d x ＋∫π

2π4

(sin x －cos x)d x ，

数形结合知∫π40(cos x －sin x)d x ＝∫π

2π4(sin x －cos x)d x.

【答案】 C

3．【解析】 ∵f(π

2)＝∫π20sin t d t ＝(－cos t)|π

20＝1，

∴f[f(π

2)]＝f(1)＝⎠⎛01sin t d t ＝(－cos t)|1

0＝1－cos 1.

【答案】 D

4．【解析】 由x 2＝14得x ＝12或x ＝－1

2

(舍)，

则阴影部分的面积为S ＝∫120(14－x 2)d x ＋∫112(x 2－14)d x ＝(14x －13x 3)|1

20＋(13x 3－14x)|112＝14. 【答案】 D

5．【解析】 力F(x)所做的功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝20＋26＝46(J )．

【答案】 B 二、填空题

6．【解析】 ∵⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(ax 2＋1)d x

＝(13ax 3

＋x)|10＝13a ＋1， ∴1

3a ＋1＝2，即a ＝3. 【答案】 3

7．【解析】

由题图易知v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧34t ， 0≤t ≤4，

9－32t ，4＜t ≤6.

∴s ＝⎠⎛06v(t)d t ＝⎠⎛0434t d t ＋⎠⎛46(9－3

2t)d t

＝38t 2|40＋(9t －34t 2)|6

4＝6＋3＝9. 【答案】 9

8．【解析】 当x ＞0时，f(x)＝f(x －4)，则f(x ＋4)＝f(x)， ∴f(2 013)＝f(1)＝f(－3)，

又∵∫π60cos 3x d x ＝(13sin 3x)|π

60＝1

3，

∴f(2 013)＝f(－3)＝2－3＋13＝11

24. 【答案】

1124

三、解答题

9．【解】 ∵f(x)＝x 2＋2f′(2)x ＋3， ∴f ′(x)＝2x ＋2f′(2)， ∴f ′(2)＝4＋2f′(2)， ∴f ′(2)＝－4， ∴f(x)＝x 2－8x ＋3， ∴⎠⎛0

3f(x)d x ＝(

13x 3－4x 2＋3x)|

30＝－18.

10．【解】

作出直线x ＝2，曲线y ＝x 2－1的草图，所求面积为图中阴影部分的面积． 由x 2－1＝0得抛物线与x 轴的交点坐标是(－1，0)和(1，0)， 因此所求图形的面积为 S ＝⎠⎛－11|x 2－1|d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x

＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝(x －13x 3)|1－1＋(x 3

3－x)|21

＝(1－13)－(－1＋13)＋(13×23－2)－(1

3－1) ＝1－13＋1－13＋83－2＋23＝83.

图2－13－5