探究几种递推公式和通项公式的关系
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n 1
。
观察以上定义结合 y kx 和 y kx b 的关系回答下列问题： 问题 1： （1）等差数列和等比数列的递推关系式可推广为统一的递推关系形式吗? （2）若你认为等差数列和等比数列有统一的递推关系,请设置一个递推关系式使等 差数列和等比数列的递推关系式是其特例.否则,说明理由. （3）由推广后的递推关系式能否求其通项公式?并求其通项公式,否则说明理由. 二、推广探究 设 a n 1 Aa n B 为问题 1 所要求的递推关系式，下面通过求其通项公式来回答问题。 问题 1（3）可叙述为：
3 a n 1 , n 1,2, , 2
有如下命题：
命题1：如果是方程ax b 0(a 0)的根，则递推关系a n 1 (1 a )a n b(n 1) 等价于a n 1 (1 a )(a n ) (n 1) 定义 : 在线性关系a n Aa n 1 B中，A 1, 如a n 与a n 1同取一值，则该值叫做上述关 系的不动点。
探究几种递推公式和通项公式的关系
从 20 世纪 80 年代以后至今的高考试题，对递归数列问题尤感兴趣，近年来，在此基 础上对推理性较强的问题也不视弱，这就要求学生在学习数列时特别应注重能力的提高， 这 里认为，较有难度的数列高考试题主要集中在三个方面：①线性递推数列的通项公式；②推 理论证能力；③一些演绎技巧。然而，求线性递推数列的通项公式又为其基础，所以这里先 讲几种递推公式和通项公式的关系。献给同学们． 一、创设问题的情景 等差数列、等比数列的定义可叙述如下： 等差数列的定义：若数列{ a n }满足 a1 a ， a n 1 a n d （ d 为常数， n =1，2， …） ， 则数列{ a n }为首项为 a 公差为 d 的等差数列，其通项公式为： an a ( n 1) d ； 等比数列的定义：若数列{ a n }满足 a1 a ， a n 1 qa n （ q 为常数， n =1，2， …） ， 则数列{ a n }为首项为 a 公比为 q 的等比数列，其通项公式为： a n aq
an2 B A a n 1 a n 1 an
问题1小结 : 1.若数列{a n }满足a n 1 Aa n d (n 1,2,3),当A 1时数列{a n }的通项公式为 : d d a n a1 (n 1)d ;当A 1时数列{a n }的通项公式为 : a n (a1 ) A n 1 1 A 1 A 2.若数列{a n }满足a n 1 Aa n d (n 1,2,3),当A 1时a n 1 Aa n d等价于 d d a n 1 A(a n ) 1 A 1 A
2 bn a4 n 3 , n 1,2,3,
【例 2】下列试题的第一问
(2007 全国 理21) 设数列{a n }的首项a1 (0,1), a n (1)求的{a n }通项公式; (2)设bn a n 3 2a n 证明bn bn 1 , 其中n为正整数
1.若数列{a n }满足a n 2 Aa n 1 Ba n ( A、、B 为常数 ), a1 a, a 2 b, 1 当A2 4 B 0时 : an [(b pa )q n 1 (b qa ) p n 1 ] q p 2 当A 4 B 0时 : an ap n 1 (n 1)(b pa ) p n 2 ] 其中p，，q 是方程x 2 Ax B 0的解 2.若数列{a n }满足a n 2 Aa n 1 Ba n ,当A 2 4 B 0时, a n 2 Aa n 1 Ba n 等价于 a n 2 pa n 1 q (a n 1 pa n ).其中p，，q 是方程x 2 Ax B 0的解
二、类比探究 问题 2：
我们认为a n 1 Aa n B是等差、等比数列推广后的一族数列的递推关系式， 类似地a n 2 Aa n 1 Ba n 也可为一族数列的递推关系式。
这时若该数列的通项公式存在时，用问题 1 的解法可求其通项公式吗？ 问题 2 可叙述为： 若数列{ a n }满足 a1 a ，a 2 b ，a n 2 Aa n 1 Ba n （ A, B 为常数，n =1，2， …） ， 探究数列{ a n }的通项公式 【例 3】 求裴波那契数列 : 1,1,2,3, , ( a n 2 a n 1 a n )(n 1,2, )的通项公式a n 问题 2 的小结
即有如下命题
命题 2：如果r是方程r 2 Ar B 0的根，则递推关系 an 2 Aan 1 Ban . (n 1) 等价于an 2 ran 1 ( A r )(an 1 ran ) (n 1)
在问题 2 中若 a n 0( n N *) :, a n 2 Aa n 1 Ba n 可转化为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.已知a n 1 Aa n B， ( A、、B 为常数且A 0，n 1,2, )a1 a, 求数列{a n }的通项a n
【例 1】下列试题的第一问
(2007全国 1 理22) 已知数列{a n }中a1 2, a n 1 ( 2 1)(a n 2), n 1,2, (1)求{a n }的通项公式; (2)若数列{bn }中的b1 2, bn 1 3bn 4 , n 1,2,3, , 证明 2bn 3
。
观察以上定义结合 y kx 和 y kx b 的关系回答下列问题： 问题 1： （1）等差数列和等比数列的递推关系式可推广为统一的递推关系形式吗? （2）若你认为等差数列和等比数列有统一的递推关系,请设置一个递推关系式使等 差数列和等比数列的递推关系式是其特例.否则,说明理由. （3）由推广后的递推关系式能否求其通项公式?并求其通项公式,否则说明理由. 二、推广探究 设 a n 1 Aa n B 为问题 1 所要求的递推关系式，下面通过求其通项公式来回答问题。 问题 1（3）可叙述为：
3 a n 1 , n 1,2, , 2
有如下命题：
命题1：如果是方程ax b 0(a 0)的根，则递推关系a n 1 (1 a )a n b(n 1) 等价于a n 1 (1 a )(a n ) (n 1) 定义 : 在线性关系a n Aa n 1 B中，A 1, 如a n 与a n 1同取一值，则该值叫做上述关 系的不动点。
探究几种递推公式和通项公式的关系
从 20 世纪 80 年代以后至今的高考试题，对递归数列问题尤感兴趣，近年来，在此基 础上对推理性较强的问题也不视弱，这就要求学生在学习数列时特别应注重能力的提高， 这 里认为，较有难度的数列高考试题主要集中在三个方面：①线性递推数列的通项公式；②推 理论证能力；③一些演绎技巧。然而，求线性递推数列的通项公式又为其基础，所以这里先 讲几种递推公式和通项公式的关系。献给同学们． 一、创设问题的情景 等差数列、等比数列的定义可叙述如下： 等差数列的定义：若数列{ a n }满足 a1 a ， a n 1 a n d （ d 为常数， n =1，2， …） ， 则数列{ a n }为首项为 a 公差为 d 的等差数列，其通项公式为： an a ( n 1) d ； 等比数列的定义：若数列{ a n }满足 a1 a ， a n 1 qa n （ q 为常数， n =1，2， …） ， 则数列{ a n }为首项为 a 公比为 q 的等比数列，其通项公式为： a n aq
an2 B A a n 1 a n 1 an
问题1小结 : 1.若数列{a n }满足a n 1 Aa n d (n 1,2,3),当A 1时数列{a n }的通项公式为 : d d a n a1 (n 1)d ;当A 1时数列{a n }的通项公式为 : a n (a1 ) A n 1 1 A 1 A 2.若数列{a n }满足a n 1 Aa n d (n 1,2,3),当A 1时a n 1 Aa n d等价于 d d a n 1 A(a n ) 1 A 1 A
2 bn a4 n 3 , n 1,2,3,
【例 2】下列试题的第一问
(2007 全国 理21) 设数列{a n }的首项a1 (0,1), a n (1)求的{a n }通项公式; (2)设bn a n 3 2a n 证明bn bn 1 , 其中n为正整数
1.若数列{a n }满足a n 2 Aa n 1 Ba n ( A、、B 为常数 ), a1 a, a 2 b, 1 当A2 4 B 0时 : an [(b pa )q n 1 (b qa ) p n 1 ] q p 2 当A 4 B 0时 : an ap n 1 (n 1)(b pa ) p n 2 ] 其中p，，q 是方程x 2 Ax B 0的解 2.若数列{a n }满足a n 2 Aa n 1 Ba n ,当A 2 4 B 0时, a n 2 Aa n 1 Ba n 等价于 a n 2 pa n 1 q (a n 1 pa n ).其中p，，q 是方程x 2 Ax B 0的解
二、类比探究 问题 2：
我们认为a n 1 Aa n B是等差、等比数列推广后的一族数列的递推关系式， 类似地a n 2 Aa n 1 Ba n 也可为一族数列的递推关系式。
这时若该数列的通项公式存在时，用问题 1 的解法可求其通项公式吗？ 问题 2 可叙述为： 若数列{ a n }满足 a1 a ，a 2 b ，a n 2 Aa n 1 Ba n （ A, B 为常数，n =1，2， …） ， 探究数列{ a n }的通项公式 【例 3】 求裴波那契数列 : 1,1,2,3, , ( a n 2 a n 1 a n )(n 1,2, )的通项公式a n 问题 2 的小结
即有如下命题
命题 2：如果r是方程r 2 Ar B 0的根，则递推关系 an 2 Aan 1 Ban . (n 1) 等价于an 2 ran 1 ( A r )(an 1 ran ) (n 1)
在问题 2 中若 a n 0( n N *) :, a n 2 Aa n 1 Ba n 可转化为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.已知a n 1 Aa n B， ( A、、B 为常数且A 0，n 1,2, )a1 a, 求数列{a n }的通项a n
【例 1】下列试题的第一问
(2007全国 1 理22) 已知数列{a n }中a1 2, a n 1 ( 2 1)(a n 2), n 1,2, (1)求{a n }的通项公式; (2)若数列{bn }中的b1 2, bn 1 3bn 4 , n 1,2,3, , 证明 2bn 3