(江苏)高考数学-压轴大题突破练-圆锥曲线

中档大题规范练——圆锥曲线

1．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实半轴长为 3.

(1)求双曲线C 的方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；

(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l0与y 轴交于M(0，b)，求b 的取值范围．

解 (1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)，

由已知，得a ＝3，c ＝2，b2＝c2－a2＝1，

故双曲线方程为x23－y2＝1.

(2)设A(xA ，yA)，B(xB ，yB)，

将y ＝kx ＋2代入x23－y2＝1，

得(1－3k2)x2－62kx －9＝0.

由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3k2≠0，Δ＝36(1－k2)>0，xA ＋xB ＝62k 1－3k2

<0，xAxB ＝－91－3k2>0，

解得33

(3)由(2)，得xA ＋xB ＝62k 1－3k2， 所以yA ＋yB ＝(kxA ＋2)＋(kxB ＋2)

＝k(xA ＋xB)＋22＝221－3k2

， 所以AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫32k 1－3k2，21－3k2. 设l0的方程为y ＝－1k x ＋b ，将P 点的坐标代入l0的方程，得b ＝421－3k2， ∵33

∴b 的取值范围是(－∞，－22)．

2．已知离心率为12的椭圆C1的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y2＝4mx(m>0)的焦点

为F2，设椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(x0，y0)，PF1＝73.

(1)求椭圆C1的标准方程及抛物线C2的标准方程；

(2)直线x ＝m 与椭圆C1在第一象限的交点为Q ，若存在过点A(4,0)的直线l 与椭圆C1相交于不同的两点M ，N ，使得36AQ2＝35AM·AN ，求出直线l 的方程．

解 (1)∵在椭圆C1中c ＝m ，e ＝12，

∴a ＝2m ，b2＝3m2，

设椭圆C1的方程为x24m2＋y23m2＝1，

联立x24m2＋y23m2＝1与y2＝4mx ，

得3x2＋16mx －12m2＝0，

即(x ＋6m)·(3x －2m)＝0，

得x ＝2m 3或－6m(舍去)，

代入y2＝4mx 得y ＝±26m 3， ∴设点P 的坐标为(2m 3，26m 3)，

PF2＝2m 3＋m ＝5m 3， PF1＝2a －5m 3＝7m 3＝73，

∴m ＝1，

此时，椭圆C1的标准方程为x24＋y23＝1，

抛物线C2的标准方程为y2＝4x.

(2)由题设知直线l 的斜率存在，

设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，

由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －4)，x24＋y23

＝1， 消去y 整理，得(3＋4k2)x2－32k2x ＋64k2－12＝0.

由题意知Δ＝(－32k2)2－4(3＋4k2)(64k2－12)>0，

解得－12

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝32k23＋4k2，x1x2＝64k2－123＋4k2

. 由(1)知m ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x24＋y23＝1，解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝±32， ∴点Q 的坐标是(1，32)．

∴AQ2＝454，

由已知条件可知AM·AN ＝3635×454＝817. 又AM·AN ＝(4－x1)2＋y21·(4－x2)2＋y22

＝(4－x1)2＋k2(4－x1)2·(4－x2)2＋k2(4－x2)2

＝(k2＋1)·(4－x1)·(4－x2)

＝(k2＋1)[x1x2－4(x1＋x2)＋16]

＝(k2＋1)(64k2－123＋4k2－4×32k23＋4k2

＋16) ＝(k2＋1)·363＋4k2

. ∴(k2＋1)·363＋4k2

＝817， 解得k ＝±24，经检验成立．

∴直线l 的方程为x －22y －4＝0或x ＋22y －4＝0.

3．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)右焦点的直线x

＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.

(1)求M 的方程；

(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

x21a2＋y21b2＝1，① x22a2＋y22b2＝1，②

①－②，得(x1－x2)(x1＋x2)a2＋(y1－y2)(y1＋y2)b2

＝0. 因为y1－y2x1－x2

＝－1，设P(x0，y0)， 因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，

所以y0＝12x0，即y1＋y2＝12(x1＋x2)．

所以可以解得a2＝2b2，即a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，

又因为右焦点(c,0)在直线x ＋y －3＝0上，

解得c ＝3，所以a2＝6，

所以M 的方程为x26＋y23＝1. (2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0，

所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ，

将x ＋y －3＝0代入x26＋y23＝1得：