树状数组及其应用
树状数组及其应用
树状数组及其应用(Binary Indexed Trees)一、什么是树状数组【引例】假设有一列数{A i}（1<=i<=n），支持如下两种操作：1.将A k的值加D。
（k，D是输入的数）2.输出A s+A s+1+…+A t（s，t都是输入的数，s<=t）分析一：线段树建立一颗线段树（线段长度1~n）。
一开始所有结点的count值等于0。
对于操作1，如果把A k的值加D，则把所有覆盖了A k的线段的count值加D。
只有log2n 条线段会受到影响，因此时间复杂度是O（log2n）。
每条线段[x..y]的count值实际上就是A x+A x+1+…+A y的值。
对于操作2，实际上就是把[s..t]这条线段分解成为线段树中的结点线段，然后把所有的结点线段的count值相加。
该操作（ADD操作）在上一讲线段树中已介绍。
时间复杂度为O （log2n）。
分析二：树状数组树状数组是一种特殊的数据结构，这种数据结构的时空复杂度和线段树相似，但是它的系数要小得多。
增加数组C，其中C[i]=a[i-2^k+1]+……+a[i](k为i在二进制形式下末尾0的个数)。
由c数组的定义可以得出：i K1(1)201-2^0+1=1…1c[1]=a[1]2(10)212-2^1+1=1…2c[2]=a[1]+a[2]=c[1]+a[2]3(11)203-2^0+1=3…3c[3]=a[3]4(100)224-2^2+1=1…4c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=c[2]+c[3]+a[4] 5(101)205-2^0+1=5…5c[5]=a[5]6(110)216-2^1+1=5…6c[6]=a[5]+a[6]=c[5]+a[6]………………为了对树状数组有个形象的认识，我们先看下面这张图。
如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。
我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。
树状数组及其应用双语版
• 对于询问(x1,y1)-(x2,y2)，
ans=getsum(x2,y2)-getsum(x2,y1-1)-getsum(x11,y2) +getsum(x1-1,x2-1);
树状数组下标必须从1开始
Superbrother 神牛
• 到此，我们已经学习完树状数组的基本内 容。 • 树状数组的应用非常广泛，变形极多，灵 活性强，很多题目经过一系列转化后可以 使用树状数组解决。 • 下面，我将通过其他几个例题介绍如何通 过有效的转化使用树状数组解题。
样例输出 100
• 此题条件简单，但并不直观 • 将区间坐标化，我们发现，对于每头牛， 要求的就是其左上方的牛的个数。 • 同stars，注意判断点重合的情况
4、逆序对
• 题目大意 • 给定一个序列a[1]..a[n]，对于任意i,j,如果i<j 并且a[i]>a[j]，我们说这是一个逆序对。 • 你的任务是输出逆序对的个数 • N<=100000 a[i]<=maxlongint
Function getsum(x,y):integer;(求出矩阵(1,1)~(x,y)点值 和) Var z,t:longint; Begin t:=0; while x>0 do begin z:=y; while z>0 do begin t:=t+c[x,z]; z:=z-lowbit(z); end; x:=x-lowbit(x); end; getsum:=t; End;
• 此题是树状数组的经典应用 • 首先离散化坐标使数据范围减小，为使用 树状数组创造了条件 • 按横坐标排序，使得原题中“左下方”两 个条件限制转化为“下方”这一单一限制 • 可以轻松运用树状数组解决
树状数组简单易懂的详解
树状数组简单易懂的详解1 什么是树状数组树状数组（Fenwick Tree），也叫做树形数组，是一种支持单点修改、区间查询的数据结构。
这种数据结构可以在O(log n)的时间复杂度内实现单点修改和区间查询，相较于线段树，树状数组实现较为简单。
2 树状数组的实现原理树状数组的核心思想是利用二进制中的位运算来维护前缀区间和。
假设有一个数组a[]，其前缀和为sum[]，那么对于每个下标i，只需要维护[1,i]这个区间的和，即sum[i]。
这样，当需要查询区间[1,r]的和时，只需要计算sum[r]即可，不需要遍历每一个元素。
对于单点修改操作，假设我们要将数组a[]的第i个元素修改为x，我们只需要将第i个元素的值改为x，并且要将[1,i]这个区间内所有的sum数组的值都加上x-a[i]，即将差值x-a[i]加到了[1,i]区间中。
3 树状数组的实现细节3.1 树状数组的初始化树状数组需要初始化为0，因为我们需要维护的是每个元素的前缀和，如果没有初始化为0，其前缀和也就变得不可预测了。
查询区间[1,r]的和时，只需要计算sum[r]即可。
具体实现过程为：从r开始向前跳，每一个位置的前缀和都加到一个答案变量ans中，直到跳到0为止。
可以使用以下的代码实现：```C++int query(int x){int ans = 0;while(x > 0){ans += tree[x];x -= lowbit(x);}return ans;}```修改操作也很简单，只需要将第i个位置的值改为x，然后将[1,i]这个区间内所有的sum数组的值都加上x-a[i]，即将差值x-a[i]加到了[1,i]区间中，可以使用以下的代码实现：```C++void update(int x, int val){while(x <= n){tree[x] += val;x += lowbit(x);}}```4 树状数组与线段树的比较相对于线段树，树状数组的实现更为简单，而且更加省空间。
树状数组区间求和
树状数组区间求和树状数组是一种用于高效求解区间和的数据结构。
它可以在O(log n)的时间复杂度内完成单点更新和区间求和操作，比传统的数组操作要快得多。
本文将介绍树状数组的原理、实现以及应用场景。
一、树状数组的原理树状数组的原理基于二进制的思想。
假设有一个长度为n的数组a，我们可以将其转化为一个长度为n的树状数组c。
树状数组的每个节点存储了一段原数组的区间和。
树状数组中的每个节点的编号i 代表的是原数组中的第1个到第i个元素的区间和。
树状数组的构建过程如下：1. 初始化树状数组c，将其所有元素置为0。
2. 对于原数组a的每个元素a[i]，更新树状数组c的节点c[i]，使其加上a[i]。
3. 根据树状数组的性质，每个节点c[i]存储的是原数组a中从i 到i-lowbit(i)+1的区间和。
二、树状数组的实现树状数组的实现需要定义三个关键操作：求和操作、单点更新操作和区间求和操作。
1. 求和操作：从树状数组的根节点开始，不断向左子节点或者右子节点移动，直到达到叶子节点。
叶子节点存储的就是所求区间的和。
2. 单点更新操作：从待更新的节点开始，不断向根节点移动，每次移动时更新当前节点的值。
这样可以保持树状数组的正确性。
3. 区间求和操作：分别求出右边界的区间和和左边界-1的区间和，然后相减，即可得到所求区间的和。
三、树状数组的应用场景树状数组的高效性使得它在很多场景下被广泛应用。
1. 区间求和：树状数组可以高效地求解数组中任意区间的和，比如求解某个区间内的元素和、计算前缀和等。
2. 单点更新：树状数组可以高效地对单个元素进行更新，比如修改某个元素的值或者增加某个元素的数量。
3. 逆序对个数：树状数组可以高效地统计给定数组中逆序对的个数，即后面的元素比前面的元素大的情况。
4. 数组去重：树状数组可以高效地对一个数组进行去重操作，找出数组中的不重复元素。
5. 数组排序：树状数组可以高效地对一个数组进行排序，将数组中的元素按照某个规则重新排列。
用树状数组解决区间查询问题
用树状数组解决区间查询问题分享自斯里猫: 本文扩写自郭神的《树状数组新应用》，在此表示膜拜。
树状数组的学名貌似叫做Binary Index Tree，关于它的基本应用可参考Topcoder上的这篇Tutorial.树状数组可以看作一个受限制的线段树，它维护一个数组，最经典的树状数组支持的基本操作有两个：(1)改变某一个元素的值(2)查询某一个区间内所有元素的和。
在此基础上，经过简单的变形可以变成支持另一组操作：(1)把一个区间内所有元素都加上一个值(2)查询某一个元素的值。
这两个都是已经泛滥了的东西了，在此不赘述。
简单的树状数组模型是不支持这样一组操作的：(1)把某一个区间内所有元素都加上一个值(2)查询某一个区间内所有元素的和。
当然，这个东西可以用线段树完成，但是线段树占内存比较大，写起来也比较繁（对我这种不会数据结构的人而言）。
下面我们用一个改进版的树状数组完成这个任务。
首先一个观察是区间操作总可以变成从最左端开始，比如把区间[3..6]都加10，可以变成[1..6]加10, [1..2]减10。
查询也类似。
于是下面只关心从最左端开始的情况。
定义Insert(p, d)表示把区间[1..p]都加d，Query(p)表示查询区间[1..p]之和。
我们考虑调用一次Insert(p, d)对以后的某次查询Query(q)的影响：(1) 如果p<=q，总的结果会加上p*d (2) 如果p>q，总的结果会加上q*d也就是说，Query(q)的结果来源可分为两部分，一部分是Insert(p1,d) (p1<=q)，一部分是Insert(p2,d) (p2 > q)。
我们用两个数组B[], C[]分别维护这两部分信息，B[i]表示区间右端点恰好是i的所有区间的影响之和，C[i]表示区间右端点大于i的所有区间的影响之和。
每当遇到Insert时，考虑当前的Insert会对以后的Query产生什么影响，更新B和C数组；当遇到Query时，把两部分的结果累加起来。
树状数组详解
第01讲什么是树状数组？树状数组用来求区间元素和，求一次区间元素和的时间效率为O(logn)。
有些同学会觉得很奇怪。
用一个数组S[i]保存序列A[]的前i个元素和，那么求区间i,j的元素和不就为S[j]-S[i-1]，那么时间效率为O(1)，岂不是更快？但是，如果题目的A[]会改变呢？例如：我们来定义下列问题：我们有n个盒子。
可能的操作为1.向盒子k添加石块2.查询从盒子i到盒子j总的石块数自然的解法带有对操作1为O(1)而对操作2为O(n)的时间复杂度。
但是用树状数组，对操作1和2的时间复杂度都为O(logn)。
第02讲图解树状数组C[]现在来说明下树状数组是什么东西？假设序列为A[1]~A[8]网络上面都有这个图，但是我将这个图做了2点改进。
（1）图中有一棵满二叉树，满二叉树的每一个结点对应A[]中的一个元素。
（2）C[i]为A[i]对应的那一列的最高的节点。
现在告诉你：序列C[]就是树状数组。
那么C[]如何求得？C[1]=A[1];C[2]=A[1]+A[2];C[3]=A[3];C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];C[5]=A[5];C[6]=A[5]+A[6];C[7]=A[7];C[8]= A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];以上只是枚举了所有的情况，那么推广到一般情况，得到一个C[i]的抽象定义：因为A[]中的每个元素对应满二叉树的每个叶子，所以我们干脆把A[]中的每个元素当成叶子，那么：C[i]=C[i]的所有叶子的和。
现在不得不引出关于二进制的一个规律：先仔细看下图：将十进制化成二进制，然后观察这些二进制数最右边1的位置：1 --> 000000012 --> 000000103 --> 000000114 --> 000001005 --> 000001016 --> 000001107 --> 000001118 --> 000010001的位置其实从我画的满二叉树中就可以看出来。
数状数组——精选推荐
数状数组⼀、概述树状数组(binary indexed tree)，能够⾼效地获取数组中连续n个数的和。
概括说，树状数组通常⽤于解决以下问题：数组A中的元素可能不断地被修改，怎样才能快速地获取连续⼏个数的和？⼆、树状数组基本操作普通数组(共n个元素)的元素修改和连续元素求和的复杂度分别为O(1)和O(n)。
树状数组通过将线性结构数组转换成伪树状结构（线性结构只能逐个扫描元素，⽽树状结构可以实现跳跃式扫描），使得修改和求和复杂度均为O(lgn)，⼤⼤提⾼了整体效率。
给定序列（数列）A，我们设⼀个数组C满⾜C[i] = A[i–2^k+ 1] + … + A[i] //其中，k为i在⼆进制下末尾0的个数，i从1开始算，则我们称C为树状数组。
1、给定i，如何求2^k答案是：2^k=i&(-i)例如：当i=6时，C[6]=A[6-2+1]+A[6]当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点⼀路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的⾼度即O(logn)。
另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最⼤⼦树，把其根节点的C加起来即可。
不难发现，这些⼦树的数⽬是n在⼆进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂⽅和时的项数,因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。
树状数组能快速求任意区间的和：A[i] + A[i+1] + … + A[j]，设sum(k) = A[1]+A[2]+…+A[k]，则A[i] + A[i+1] + … + A[j] = sum(j)-sum(i-1)。
下⾯是实现代码：//求2^kint lowbit(int t){return t & ( t ^ ( t - 1 ) );}//求前n项和int sum(int end){int sum = 0;while(end > 0){sum += C[end];end -= lowbit(end);}return sum;}//增加某个元素的⼤⼩void plus(int pos, int num){ //n是A中元素个数while(pos <= n){C[pos] += num;pos += lowbit(pos);}}3、扩展——⼆维树状数组⼀维树状数组很容易扩展到⼆维，⼆维树状数组如下所⽰：C[x][y] = sum(A[i][j])其中，x-lowbit[x]+1 <= i<=x且y-lowbit[y]+1 <= j <=y4、应⽤（1）⼀维树状数组：（2）⼆维树状数组：⼀个由数字构成的⼤矩阵，能进⾏两种操作1) 对矩阵⾥的某个数加上⼀个整数（可正可负）2) 查询某个⼦矩阵⾥所有数字的和，要求对每次查询，输出结果。
树状数组
要想知道c[i]表示的是哪个区域的和,只要 求出2^k(lowbit); 树状数组之所以高效简洁的原因就是能 够利用位运算直接求出i对应的lowbit
int lowbit(int i) { return i & ( -i ); } 解释: 假设i为 则-i的 :1) 取反 2)+1
2^K(lowbit)求法
Thanks... ...
求出各个级别的星星的个数
题目分析：
算法有很多种,最实用的是树状数 组 由于本题的数据输入是以y坐标 的升序输入，所以，只需要比较 x坐标即可 树状数组存储的是某一段范围内 有多少个点，即求和.
小结
在很多的情况下,线段树都可以用树状 数组实现.凡是能用树状数组的一定能 用线段树.当题目不满足减法原则的时 候,就只能用线段树,不能用树状数组.例 如数列操作如果让我们求出一段数字中 最大或者最小的数字,就不能用树状数 组了. 树状数组的每个操作都是0(log(n))的复 杂度.
怎 么 办
用树状数组!!!
下图中的C数组就是树状数组,a 数组是原数组
先自己研究一下这个东西
可以发现这些规律 C1=a1 C2=a1+a2 C3=a3 C4=a1+a2+a3+a4 C5=a5 C6=a5+a6 …… C8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8 …… C2^n=a1+a2+….+a2^n
树状数组
先看一个例题: 数列操作: 给定一个初始值都为0的序列,动 态地修改一些位置上的数字,加 上一个数,减去一个数, 然后动态 地提出问题,问题的形式是求出 一段数字的和.
树状数组
2 区间更新，单点求和
举个具体的栗子。。。
这道题目就是
意思挺明显的。。。 就是更改，查询。。。。
再举个特别的栗子。。。
求逆序数~
例如在序列 { 2, 4, 3, 1 } 中，逆序依次为 (2,1), (4,3), (4,1), (3,1)，因此该序列的逆序数为 4。
所以如何求一个数组中逆序数的个数呢。。
//而且是用树状数组的方法。。。
例如 1 5 2 4 3
从输入顺序考虑： 输入1 ，无逆序；
输入 5， 无逆序；
输入 2，有逆序，因为前面有个5，有一个逆序对，这个逆序 对也可以这样考虑，此刻2所在的位置为3，而此刻小于等于2 的数有2 个，所以3-2=1； 输入 4，有逆序，同上，4-3=1； 输入 3 ，有逆序，同上，5-3=2； 所以~ ans=1+1+2~~~
3 树状数组的两类操作 1 单点更新，区间求和 1 一维树状数组，单点更新，区间求和 比如要更新点x ，x点的值加上val即调用add(x , val) ， 求区间[1 , x]的和即为getSum(x) int lowbit(int x) { return x&(-x); } int getSum(int x){ int sum = 0; while(x){ sum += treeNum[x]; x -= lowbit(x); } return sum; } void add(int x , int val){ while(x <=N){ treeNum[x] += val; x += lowbit(x); } }
问题的提出
有一个一维数组，长度为n。
c++树状数组讲解
树状数组（Binary Indexed Tree，简称BIT）是一种用于高效处理前缀和问题的数据结构。
它可以在O(log n)的时间复杂度内完成单点修改和前缀和查询操作。
下面是对C++中树状数组的详细讲解：1. 基本概念树状数组利用二进制的特点，将原数组进行拆分，并通过一系列辅助数组来快速计算前缀和。
每个辅助数组元素都表示原数组中某一段连续元素的和。
2. 核心操作2.1 单点修改当我们要修改原数组中的某个元素时，需要更新树状数组中与该元素相关的所有辅助数组元素。
这个过程可以通过一系列加法和位运算实现。
2.2 前缀和查询前缀和查询是树状数组的主要应用之一。
通过树状数组，我们可以在O(log n)的时间复杂度内计算出原数组中任意一段连续元素的和。
3. 实现细节3.1 初始化树状数组在使用前需要进行初始化，通常是将原数组的所有元素初始化为0。
3.2 低位和高位运算树状数组的实现中涉及到位运算，特别是与操作（&）和加操作（+）。
这些操作用于确定辅助数组元素的索引和更新范围。
3.3 单点修改函数通常，单点修改函数接受两个参数：要修改的元素的索引和新的值。
函数内部会计算需要更新的辅助数组元素的索引，并进行相应的加法操作。
3.4 前缀和查询函数前缀和查询函数接受一个参数：要查询的前缀的结束索引。
函数通过一系列位运算和加法操作，计算出原数组中从第一个元素到指定索引的元素之和。
4. 示例代码下面是一个简单的C++示例代码，展示了树状数组的基本实现：cpp#include<iostream>#include<vector>using namespace std;class BinaryIndexedTree {private:vector<int> bit;int n;int lowbit(int x) {return x & (-x);}public:BinaryIndexedTree(int _n) : n(_n + 1), bit(_n + 1, 0) {}void update(int idx, int val) {while (idx <= n) {bit[idx] += val;idx += lowbit(idx);}}int query(int idx) {int sum = 0;while (idx > 0) {sum += bit[idx];idx -= lowbit(idx);}return sum;}};int main() {int n;cout << "Enter the number of elements: ";cin >> n;BinaryIndexedTree bit(n);// Example usagebit.update(1, 5);bit.update(3, 7);cout << "Prefix sum from 1 to 3: " << bit.query(3) << endl; // Should output 12return0;}5. 总结树状数组是一种高效处理前缀和问题的数据结构，它利用二进制的特点进行拆分和计算。
树状数组
树 状
围内的数据之和.
修改一个位置上数字的值,就是修改一个 叶子结点的值,而当程序由叶子结点返回
数 组
根节点的同时顺便修改掉路径上的结点的 a数组的值.
对于询问的回答,可以直接查找i..j范围
的 运
内的值,遇到分叉时就兵分两路,最后在合 起来.也可以先找出0..i-1的值和0..j的 值,两个值减一减就行了.后者的实际操作
树
每个星星有个坐标。 如果一个星星的左下方（包含正左和正下)有k颗
状
星星，就说这颗星星是k级的.比如，在下面的例
数
图中，星星5是3级的（1，2，4在它左下）。 星星2，4是1级的。例图中有1个0级，2个1级，1
组
个2级，1个3级的星。
的
运
用
求出各个级别的星星的个数
树 状
算法有很多种,最实用的是树状数 组
状
如果直接做的话,修改的复杂度
数
是O(1),询问的复杂度是O(N),M
组
次询问的复杂度是M*N.M,N的
的
范围可以有100000以上
运
用
用线段树可以这样解:树源自若要维护的序列范围是0..5,先构造下面
状
的一棵线段树:
数
组
的
运
用
可以看出,这棵树的构造用二分便可以实 现.复杂度是2*N.
每个结点用数组a来表示该结点所表示范
的
while k<=n do
运
begin
用
C[k]:=C[k]+delta; k:=k+lowbit(k);
End;
End;
若要求I..j的元素和的值,则求出
1..I-1的值和1..j的值.
『树状数组』树状数组模板
『树状数组』树状数组模板『树状数组』树状数组模板竞赛需要⽤到的点树状数组可以解决⼤部分基于区间上更新、查询的操作树状数组能写的线段树都能写，但线段树能写的树状数组不⼀定能写代码量⼩，且常数⽐线段树⼩树状数组是树与⼆进制的混合使⽤lowbit(x) -> x&(-x) 为何？ -x = x的⼆进制数中 0 变 1，1 变 0 然后末尾 + 1 lowbit可以得到⼀个由原⼆进制数变来的只有末尾1的新的⼆进制数树状数组略讲此处借⽤的图⽚由此图我们可以得到以下信息（所有信息均⽤⼆进制处理）所有区间所包含的点的数量为 2k其中k为该数⼆进制下末尾 0 的个数[单点修改] 当我们修改⼀个点i的值后，那么所包含i的区间都要改变哪些值要变？i在⼆进制下，加上该⼆进制下最低位1 例如（1001 -> 1010）（9 -> 10）[单点查询] 因为树状数组存储的形式类似于前缀和的形式，所以单点查询的办法也显⽽易见如何查询？查询b i与b i−1的值，然后两式相减可得a i[区间查询] 和单点查询类似若查询[i,j] ，那么可得b j−b i−1[区间更新] 对于这种问题我们分两种情况[区间修改&单点查询] 这⾥我们需要⽤到差分的思想，即将原本的树状数组的数组⽤差分数组来表⽰b i=a i−a i−1，答案也呼之欲出，对于差分我们每次想得到a n都是Σn i=1b i然后对于每次修改，我们对b i与b j+1 进⾏单点修改即可。
[区间修改&区间查询] 这⾥我们也要⽤到差分的思想，但这次我们需要维护两个差分数组（sum1 和sum2）为什么？我们从上⾯可以得到，想要知道a[i,j]的和就得⽤以下式⼦求出，Σn i=1a=Σn i=1Σi j=1b j激动⼈⼼的化简时刻到了(−b i)&=nΣn i=1b i+Σn i=2(−b i)×(i−1)&=nΣn i=1b i−Σn i=2b i×(i−1)Σn i=1a=Σn i=1Σi j=1b j&=n×b1+(n−1)×b2+(n−2)×b3+...+b n&=nΣn i=1b i−b2−2b3−3b4−...−(n−1)b n&=nΣn i=1b i+Σn i=2Σi−1j=1因为Σn i=2b i×(i−1) 与Σn i=1b i×(i−1) 等价所以原式⼦ = nΣn i=1b i−Σn i=1b i×(i−1) 在这个式⼦中，由于有Σn i=1所以我们可以易得⽤差分，⽤两个差分数组维护b i与b i×(i−1) 就可以了部分模板代码展现单点修改单点查询#define fre yes#include <cstdio>const int N = 100005;int a[N], b[N];int n;int lowbit(int x) {return x & (-x);}void point_change(int x, int k) { // point_change(x, k)while(x <= n) {b[x] += k;x += lowbit(x);}}int getSum(int x) { // getSum(x) - getSum(x - 1)int res = 0;while(x > 0) {res += b[x];x -= lowbit(x);} return res;}int main() {...}单点修改区间查询#define fre yes#include <cstdio>const int N = 100005;int a[N], b[N];int n;int lowbit(int x) {return x & (-x);}void point_change(int x, int k) { // point_change(x, k)while(x <= n) {b[x] += k;x += lowbit(x);}}int getSum(int x) { // getSum(r) - getSum(l - 1)int res = 0;while(x > 0) {res += b[x];x -= lowbit(x);} return res;}int main() {...}区间修改单点查询#define fre yes#include <cstdio>const int N = 100005;int a[N], b[N];int n;int lowbit(int x) {return x & (-x);}void interval_change(int x, int k) { // point_change(l, x) point_change(r + 1, -x) while(x <= n) {b[x] += k;x += lowbit(x);}}int getSum(int x) { // getSum(x)int res = 0;while(x > 0) {res += b[x];x -= lowbit(x);} return res;}int main() {...}区间查询区间修改#define fre yes#include <cstdio>const int N = 100005;int sum1[N], sum2[N];int n;int lowbit(int x) {return x & (-x);}void interval_change(int j, int k) {// push -> interval_change(i, a[i] - a[i - 1])// change -> interval_change(l, k) interval_change(r + 1, -k)int i = j;while(j <= n) {sum1[j] += k;sum2[j] += k * (i - 1);j += lowbit(j);}}int getSum(int i) { // getSum(r) - getSum(l - 1)int res = 0, x = i;while(i > 0) {res += x * sum1[i] - sum2[i];i -= lowbit(i);} return res;}int main() {...}。
树状数组
算2^k有一个快捷的办法
利用机器补码特性，也可以写成： int lowbit(int x){ return x&(-x); } lowbit返回的为节点x的管辖区间，即2^k的 值。 求出来 2^k 之后，数组 c 的值就都出来了。
求数组a[1]到a[n]中所有元素的和
求数组的和的算法如下： （1）首先，令sum=0，转向第二步； （2）接下来判断，如果 n>0 的话，就令 sum=sum+c[n]转向第三步，否则的话，终止 算法，返回 sum 的值； （3）n=n - lowbit（n）（将n的二进制表 示的最后一个零删掉），回第二步。
这里有一个有趣的性质
设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间 为2^k （其中k为x二进制末尾0的个数① ）个 元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax， 所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An
①注:十进制(二进制)(管辖区间)
为:1(1)(2^0),2(10)(2^1),3(11)(2^0),4(100)(2^2), 5(101)(2^0),6(110)(2^1),7(111)(2^0),8(1000)(2^ • • • • • • •
C1 = A1 C2 = A1 + A2 C3 = A3 C4 = A1 + A2 + A3 + A4 C5 = A5 C6 = A5 + A6 C7 = A7 C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
可以看成↓
• • • • • • • • C1 = A1 C2 = C1+ A2 C3 = A3 C4 = C2+ C3 + A4 C5 = A5 C6 = C5 + A6 C7 = A7 C8 = C4+ C6 + C7 + A8
树状数组简介
树状数组简介江苏省常州高级中学曹文一、前言我们平日里总是会遇到一些动态的求和问题，一些朴素的方法时间速度上很难让人满意，因此我们需要设计一些算法来解决所遇到的问题。
1、 基本问题我们下面设法解决这个动态求和问题。
我们定义 N 个整型变量组成的数组 v[1..N]，每次操作有两种：（1） 将v[idx] 增加 det（2） 求 ∑=idxi i v 1][2、 朴素解决朴素的解决这个问题，我们用数组记录当前的数值，然后依次求和。
那么操作（1）的复杂度是 O(1)，操作（2）的复杂度是 O(idx)，令询问数为 Q ，则在最坏情况下为 O(QN)。
这样的复杂度非常不理想，我们要对之优化！二、倍增，分割和优化很多时候在处理区间问题的时候，倍增思想都是非常常用的，比如 RMQ 和LCA 问题，而分割方法也是一个有用的工具，比如线段树。
我们知道线段树是能够解决上面这个基本问题的，但是考虑到线段树的代码比较复杂，这里我们讨论更轻松的方法。
1、 第一个想法我们发现，在朴素算法中，操作（2）用了很多的时间，我们试着优化这个操作的算法。
参照RMQ 的思想，我们可以将一个区间分成一些长度为2的整次幂的小区间。
我们定义f[i][j] 表示区间 [I, i+2^j-1] 的和∑=-+jk k i v 21]1[，那么如果我们能够得到所有 f[i][j] ，那么我们就能够在 O(log N) 的时间里计算出我们需要的和。
具体方法如下：对于区间 [L,R]，我们找到最大的 p ，使得 2^p <= R-L+1，而 sum[L,L+2^p-1] =f[L][p]，于是我们只要继续计算 [L+2^p,R]就可以了。
由于每次找最大的 p，因次至多计算 log N 次就能得到结果——这就是倍增思想的应用。
但是很不幸，我们再观察操作（1）的时候，我们发现由于和某一个位置相关的 f[i][j] 实在太多了，所以操作（1）的时间就花的过多了，问题并没有得到解决。
数据结构的扩展树状数组与线段树的应用
数据结构的扩展树状数组与线段树的应用数据结构的扩展——树状数组与线段树的应用随着计算机科学的发展，数据结构作为计算机程序设计的重要基础，对问题的解决起着至关重要的作用。
本文将介绍数据结构中一种常用的扩展形式——树状数组与线段树的应用，以及它们在实际中的使用场景。
一、树状数组的应用树状数组（Binary Indexed Tree，BIT），又称为Fenwick树，是一种支持高效修改与查询的数据结构。
它常被用来解决以下两类问题：1. 区间求和问题树状数组常用于求解数组区间内元素的求和问题。
假设我们有一个长度为n的数组A，现在需要不断地对数组中的元素进行更新操作，同时还需要快速计算任意区间[a, b]内元素的求和。
这种情况下，树状数组是一个高效的解决方案。
2. 单点修改与前缀和查询当需要对数组进行单点修改，并且需要频繁地查询前缀和时，树状数组同样是一个非常合适的选择。
通过使用树状数组，我们可以在O(log n)时间内完成单点修改和前缀和查询操作。
二、线段树的应用线段树（Segment Tree）是一种用于高效处理区间查询的数据结构。
它将一个区间划分为一个个离散的线段，并在每个线段上记录该区间的一些信息。
线段树常用于以下几种应用场景：1. 区间最值查询线段树最经典的应用之一是区间内最值的查询。
通过在每个节点上记录区间内的最大值或最小值，我们可以快速地查询任意区间内的最值。
这样，在需要频繁查询某个区间内的最值时，使用线段树可以大幅提高查询效率。
2. 区间覆盖问题线段树还可以用于解决区间覆盖问题。
例如，在一个数轴上，有一些线段需要进行覆盖操作，我们可以使用线段树来记录每个位置的覆盖情况，并进行相应的区间合并或分割操作。
这种情况下，线段树可以帮助我们高效地管理区间覆盖问题。
3. 区间求和问题与树状数组类似，线段树也可以求解区间内元素的求和问题。
通过在每个节点上记录区间的和，我们可以在O(log n)时间内完成区间求和操作。
树状数组应用
树状数组应用
树状数组是一种高效的数据结构，常用于解决一些序列问题。
树状数组可以支持单点修改、区间查询等操作，时间复杂度为O(logn)。
树状数组最常见的应用是求解前缀和问题，即对一个序列进行多次查询其前缀和，同时支持单点修改。
具体实现是将每个元素的值存储在树状数组中，同时维护一个前缀和数组。
当需要查询某个前缀和时，只需要求出该前缀和对应的树状数组上的索引，然后返回前缀和数组中对应的值即可。
当需要对某个元素进行修改时，只需要在树状数组上进行相应的更新操作，同时更新前缀和数组。
另一个常见的应用是求解逆序对问题。
逆序对指的是在一个序列中，存在一对数(i,j)，满足i<j且a[i]>a[j]。
求解逆序对问题可以使用归并排序的思想，同时使用树状数组维护已经排序好的序列的信息。
具体实现是将序列从中间分为两部分，对每一部分进行递归排序，并记录两个指针，分别指向两个部分中已经排序好的元素的最后一个。
然后使用树状数组统计逆序对数目，即在归并两个已经排序好的序列的过程中，比较两个指针所指向的元素的大小关系，若
a[i]>a[j]，则将逆序对数目加上第二个部分中i之后的元素的个数。
除此之外，树状数组还可以应用于求解区间最值、区间求和等问题。
总之，树状数组是一种非常有用的数据结构，在解决一些序列问题时可以发挥出非常高的效率。
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树状数组应用
树状数组应用
树状数组是一种常用于解决动态数组的问题的数据结构。
它可以用来维护前缀和、区间和等信息，同时也可以支持单点修改、区间修改等操作。
在算法竞赛、数据结构等相关领域中，树状数组被广泛应用。
树状数组最常见的应用就是求解前缀和。
利用树状数组的特点，我们可以在O(log n)的时间内求解任意下标i之前的所有数的和，
即前缀和。
具体实现过程是将数组中的元素存储到树状数组中，并预处理出每个位置所对应的前缀和。
当需要查询某个下标之前的所有数的和时，只需将该下标所对应的数的前缀和累加起来即可。
另一个常见的应用是区间修改和查询。
在这种情况下，我们需要先将所有的数都初始化为0，然后进行区间修改和查询操作。
具体实现过程是利用树状数组的差分思想，将区间修改转化为两个单点修改。
对于区间查询操作，我们将查询区间分割成两部分，分别查询前缀和，然后将两部分的结果相减即可得到区间和。
总之，树状数组是一种非常实用的数据结构，它可以解决许多常见的问题，同时也具有一定的灵活性。
在算法竞赛中，熟练掌握树状数组的实现和应用，对于提高算法竞赛的成绩和水平都有着重要的作用。
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树状数组知识点详解
树状数组知识点详解树状数组树状数组是⼀种数据结构，它的作⽤就是优化查询和修改的操作。
试想，我们假如在做⼀道题的时候使⽤裸的⼀维数组来存储数据，那每次区间修改需要O(1)的时间，但查询却需要O(n)的时间，针对于某些题⽬，数据量奇⼤⽆⽐，必然会TLE。
所以我们使⽤树状数组来优化这两个操作，使得修改和查询均可以在O(logn)的时间内完成，提升效率。
（这是百度百科上树状数组的图）可以直观地看出树状数组是个什么模式，是的，这就是⼀棵树，⽽这棵树上每个节点存储的数据就是它所有⼉⼦节点的数据和。
所以我们就可以在树上做修改和区间查询（节点减节点），来做到树状数组这种优化⽅式。
树状数组的实现需要三个特别重要的函数，我⼀般把它们写成fix()（向上修改），getsum()（向下查询），和lowbit()（这个函数是理解树状数组运⾏过程的关键）。
lowbit()函数⾸先从最关键的lowbit函数⼊⼿。
它长这个样⼦：int lowbit(int x){return x+=x&-x;}这⾥还涉及到了位运算的相关知识，所谓x&-x，是在⼆进制上的运算操作，它的实现也很简单，把x按位取反，最后同时上移最后的那个1。
⽐如lowbit(34)最终的结果就是36。
那么这个lowbit函数是⼲什么⽤的呢？关于lowbit运算，有不太了解的⼩伙伴可以参考本蒟蒻的这篇博客：我们可以把它理解成对树状数组的遍历⽅式。
根据树状数组的⽰意图可以发现，我们如果想对原数组进⾏元素修改，会牵连到于之关联的树状数组整个链。
所以我们必须层层向上修改，每⼀层都要修改，才能保证树状数组存储的元素的正确性。
那么这个层层向上（向下），就需要lowbit这个函数，或者是说这个功能，来实现。
fix()函数void fix(int x){for(int i=x;i<=n;i+=i&-i)c[i]++;}void fix(int x,int y)//表⽰在x元素处修改y个单位{for(int i=x;i<=n;i+=i&i)c[i]+=y;}通过刚才学习lowbit函数，我们应该可以理解这个循环的含义。
树状数组维护区间最值模板
树状数组维护区间最值模板
摘要：
1.树状数组简介
2.维护区间最值的树状数组模板
3.实现原理
4.应用场景
5.结论
正文：
树状数组，也被称为“二叉索引树”或“Binary Indexed Tree”，是一种高效的数据结构，用于处理单点更新和范围查询问题。
它可以在O(log n) 的时间复杂度内完成单点更新和范围查询操作。
维护区间最值的树状数组模板是一种对树状数组进行改进的方法，它可以让树状数组在O(log n) 的时间复杂度内完成单点更新和区间最值查询操作。
实现原理：
1.单点更新：当需要更新某个元素时，我们首先找到该元素在树状数组中的位置，然后将其对应的值更新为新的值。
接着，我们需要将该位置向上调整，以保证整个树状数组的平衡。
2.区间最值查询：当需要查询某个区间的最值时，我们首先找到该区间在树状数组中的起始和结束位置，然后遍历区间内的所有元素，找到其中的最大值或最小值。
应用场景：
树状数组维护区间最值模板可以应用于各种需要快速处理单点更新和区间最值查询的场景，例如：区间求和、区间平均值计算、最大公约数计算等。
结论：
树状数组维护区间最值模板是一种高效的数据结构，可以在O(log n) 的时间复杂度内完成单点更新和区间最值查询操作。
洛谷 二维树状数组
洛谷二维树状数组二维树状数组是一种数据结构，它可以用来高效地处理二维数组的区间修改和区间查询操作。
在本文中，我们将介绍二维树状数组的原理、实现方法以及应用场景。
一、原理二维树状数组是基于树状数组的扩展，树状数组是一种用来高效处理前缀和查询的数据结构。
而二维树状数组则是在树状数组的基础上，扩展为二维空间。
二维树状数组的原理与一维树状数组类似，都是通过维护一棵树状结构来实现高效的区间操作。
对于二维数组arr，我们可以构建一个二维树状数组bit，其中bit[i][j]表示以(i,j)为右下角的子矩阵的和。
二、实现方法构建二维树状数组需要两个步骤：初始化和更新操作。
初始化时，我们将二维树状数组的所有元素都初始化为0。
更新操作时，我们需要将某个位置的元素加上一个值。
具体而言，对于更新操作，我们需要按照以下步骤进行：1. 遍历二维树状数组的每一个节点，找到包含当前位置的节点；2. 将当前位置的值加上给定的增量；3. 更新当前节点的父节点。
对于查询操作，我们需要按照以下步骤进行：1. 遍历二维树状数组的每一个节点，找到包含查询区间的节点；2. 累加查询区间内的每个子矩阵的和。
三、应用场景二维树状数组在处理二维数组的区间操作中具有广泛的应用。
例如，在二维游戏中，我们经常需要对游戏地图中的区域进行查询和修改。
使用二维树状数组可以高效地处理这些操作。
另一个应用场景是在图像处理中。
图像可以表示为一个二维数组，我们可能需要对图像的某个区域进行查询和修改。
借助二维树状数组，可以高效地处理这些操作。
四、总结二维树状数组是一种高效处理二维数组区间操作的数据结构。
通过构建二维树状数组，我们可以快速地进行区间修改和区间查询操作，从而提高算法的效率。
本文介绍了二维树状数组的原理、实现方法以及应用场景。
希望读者能够通过本文对二维树状数组有一个清晰的理解，并能够灵活运用于实际问题中。
最后，希望本文能够对读者有所帮助。
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树状数组及其应用( Binary Indexed Trees )一、什么是树状数组【引例】假设有一列数{A i}（1<=i<=n），支持如下两种操作：1.将A k的值加D。
（k，D是输入的数）2.输出A s+A s+1+…+A t（s，t都是输入的数，s<=t）分析一：线段树建立一颗线段树（线段长度1~n）。
一开始所有结点的count值等于0。
对于操作1，如果把A k的值加D，则把所有覆盖了A k的线段的count值加D。
只有log2n 条线段会受到影响，因此时间复杂度是O（log2n）。
每条线段[x..y]的count值实际上就是A x+A x+1+…+A y的值。
对于操作2，实际上就是把[s..t]这条线段分解成为线段树中的结点线段，然后把所有的结点线段的count值相加。
该操作（ADD操作）在上一讲线段树中已介绍。
时间复杂度为O （log2n）。
分析二：树状数组树状数组是一种特殊的数据结构，这种数据结构的时空复杂度和线段树相似，但是它的系数要小得多。
增加数组C，其中C[i]=a[i-2^k+1]+……+a[i](k为i在二进制形式下末尾0的个数)。
由c数组的定义可以得出：为了对树状数组有个形象的认识，我们先看下面这张图。
如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。
我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。
【操作1】修改A[i]的值。
可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。
定理1：若a[k]所牵动的序列为C[p1]，C[p2]……C[p m]，则p1=k，而p i+1=p i+2li （l i为p i在二进制中末尾０的个数）。
例如a[1]……a[8]中，a[3] 添加x；p1=k=3 p2=3+20=4p3=4+22=8 p4=8+23=16>8由此得出，c[3]、c[4]、c[8]亦应该添加x。
定理的证明如下：【引理】若a[k]所牵动的序列为C[p1]，C[p2] ……C[p m]，且p1 <p2 < ……<p m，则有l1 <l2< ……<l m（l i为p i在二进制中末尾０的个数）。
证明：若存在某个i有l i≥l i+1，则p i-2 li +1≤k≤p i，p i+1-2li+1+1≤k≤p i+1，p i+1– 2 Li+1+1≤k≤p i，即：P i+1≤P i+2Li+1–1 (1)而由L i=L i+1、P i < P i+1可得P i+1≥P i + 2Li(2)(1) (2)矛盾，可知l1 <l2 <……<l m定理：p1=k，而p i+1=p i+2li证明：因为p1 <p2 < ……<p m且C[p1]，C[p2] ……C[p m]中包含a[k]，因此p1=k。
在p 序列中，p i+1=p i +2li是p i后最小的一个满足l i+1 >li的数（若出现P i+x比p i+1更小，则x<2li，与x在二进制中的位数小于l i相矛盾）。
P i+1=p i+2li，l i+1≥l i+1。
由p i-2li+1≤K≤P i可知，P i+1-2li+1+1≤P i+2li–2*2li+1=P i– 2li+1≤K≤P i≤P i+1 ，故P i与p i+1之间的递推关系式为P i+1=P i+2li【操作2】求数列的前n项和。
只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。
不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数, 因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。
根据c[k]=a[k-2l+1]+ … +a[k] (l为k在二进制数中末尾０的个数)，我们从k1=k出发，按照k i+1=k i-2lki（lk i为k i在二进制数中末尾0的个数）递推k2，k3，…，k m (k m+1=0)。
由此得出S=c[k1]+c[k2]+c[k3] + … + c[k m]例如，计算a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]k1=7k2= k1-2l1=7-20=6k3= k2-2l2=6-21=4k4= k3-2l3=4-22=0即a[1]+a[2]+ a[3]+a[4]+ a[5]+a[6]+ a[7]=c[7]+c[6]+c[4]二、树状数组的操作函数在操作1和操作2中，我们反复提到求2^K（k为i的2进制中末尾0的个数），因此我们先来定义一个求数i的低位函数，返回这个值。
求低位函数（LowBit）LowBit，即2进制数中从最低位开始连续0的位数的关于2的幂，其值LowBit(x)= x and -x。
LowBit(x)显然就是not x中最低的是0的那一位，(not x)+1的那一位则会变成1，其更低的位全部变成0，而更高的位不变。
由于更高的位就是原数取反，和原数求and的值为0，最低位就是唯一的是1的位了。
所以LowBit(x)=x and((not x)+1)。
举例说明：在x=10101000时，x=10101000not x=01010111(not x)+1=01011000和原数求and就是1000。
同时not x=-x-1，所以LowBit(x)=x and -x。
有了lowbit函数，我们就可以方便地实现树状数组的修改（modify）、求和（getsum）两个操作。
操作1：modify(i, num)modify(i, num)：对数组a[] 中的第i 个元素加上num。
为了维护c[] 数组，我就必须要把c[] 中所有“管”着a[i] 的c[i] 全部加上num，这样才能随时以O(logn) 的复杂度进行getsum(i) 的操作。
而"i:=i+ lowbit(i)" 正是依次访问所有包含a[i] 的c[i] 的过程。
修改a[i]，我们需对c[i] , c[i+lowbit(i)] , c[i+lowbit(i)+lowbit(i+lowbit(i))] ……进行修改。
复杂度O(logn) 。
pascal代码:procedure modify(x,delta:longint);beginwhile x<=n dobegininc(c[x],delta);inc(x,lowbit(x));end;end;操作2：求和（getsum）getsum(i): 求和正好反过来，每次“i:=i-lowbit(i)” 依次求a[i] 之前的某一段和。
因为c[i] 有这样一个性质：Lowbit(i) 的值即为c[i] “管”着a[i] 中元素的个数，比如i = (101100)2，那么c[i] 就是从a[i] 开始往前数(100) 2 = 4 个元素的和，也就是c[i] = a[i] + a[i - 1] + a[i - 2] + a[i - 3]。
那么每次减去lowbit(i) 就是依次跳过当前c[i] 所能管辖的范围，以便不重不漏地求出所有a[i] 之前的元素之和。
a[1]+...+a[i]=c[i]+c[i-lowbit(i)]+c[i-lowbit(i)-lowbit(i-lowbit(i))]……复杂度O(logn)pascal代码:function sum(x:longint):longint;beginsum:=0;while x>0dobegininc(sum,c[x]);dec(x,lowbit(x));end;end;三、树状数组的应用【例1】Stars（POJ2352）（时间1秒，空间64M）/JudgeOnline/problem?id=2352DescriptionAstronomers often examine star maps where stars are represented by points on a plane and each star has Cartesian coordinates. Let the level of a star be an amount of the stars that are not higher and not to the right of the given star. Astronomers want to know the distribution of the levels of the stars.For example, look at the map shown on the figure above. Level of the star number 5 is equal to 3 (it's formed by three stars with a numbers 1, 2 and 4). And the levels of the stars numbered by 2 and 4 are 1. At this map there are only one star of the level 0, two stars of the level 1, one star of the level 2, and one star of the level 3.You are to write a program that will count the amounts of the stars of each level on a given map.InputThe first line of the input file contains a number of stars N (1<=N<=15000). The following N lines describe coordinates of stars (two integers X and Y per line separated by a space, 0<=X,Y<=32000). There can be only one star at one point of the plane. Stars are listed in ascending order of Y coordinate. Stars with equal Y coordinates are listed in ascending order of X coordinate.OutputThe output should contain N lines, one number per line. The first line contains amount of stars of the level 0, the second does amount of stars of the level 1 and so on, the last line contains amount of stars of the level N-1.Sample Input51 15 17 13 35 5Sample Output1211HintThis problem has huge input data,use scanf() instead of cin to read data to avoid time limit exceed.【题目大意】有N(1<=N<=15000)颗星星，坐标(0<=X,Y<=32000)。