高中数学数列求和

第四节数列求和

[备考方向要明了]

考什么怎么考

熟练掌握等差、等比数

列的前n项和公式.

1.以选择题或填空题的形式考查可转化为等差或等比数列的数列

求和问题，如2012年新课标全国T16等．

2.以解答题的形式考查利用错位相减法、裂项相消法或分组求和法

等求数列的前n项和，如2012年江西T16，湖北T18等.

[归纳·知识整合]

数列求和的常用方法

1．公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和

(1)等差数列的前n项和公式：

S n＝

n(a1＋a n)

2＝na1＋

n(n－1)

2d；

(2)等比数列的前n项和公式：

S n＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧na1，q＝1，

a1－a n q

1－q

＝

a1(1－q n)

1－q

，q≠1.

2．倒序相加法

如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．[探究] 1.应用裂项相消法求和的前提条件是什么？

提示：应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后抵消．

2．利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？

提示：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；

(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项．

5．分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．

6．并项求和法

一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.

[自测·牛刀小试]

1.

11×4＋14×7＋17×10＋…＋1

(3n －2)(3n ＋1)

等于( ) A.n 3n ＋1 B.3n

3n ＋1 C ．1－1

n ＋1

D ．3－1

3n ＋1

解析：选A ∵1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝⎛⎭⎫1

3n －2－13n ＋1，

∴

11×4＋14×7＋17×10＋…＋1

(3n －2)(3n ＋1)

＝13⎣⎡

⎝

⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫14－17＋⎝⎛⎭⎫

17－110＋…＋

⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝⎛⎭⎫1－13n ＋1＝n 3n ＋1

. 2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝321

64，则项数n 等于( )

A ．13

B ．10

C ．9

D ．6

解析：选D ∵a n ＝2n －12n ＝1－1

2n ，

∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎫1－1

2n ＝n －⎝⎛⎭⎫12＋12

2＋ (12)

＝n －12⎝⎛

⎭⎫1－12

n 1－12＝n －⎝⎛⎭⎫1－12n ＝n －1＋1

2

n . ∴n －1＋12n ＝32164＝51

64

，解得n ＝6.

3．(教材习题改编)(2－3×5－

1)＋(4－3×5－

2)＋…＋(2n －3×5－

n )＝________. 解析：(2－3×5－

1)＋(4－3×5－

2)＋…＋(2n －3×5－

n ) ＝(2＋4＋…＋2n )－3(5－

1＋5－

2＋ (5)

n ) ＝n (2＋2n )

2－3×5－

1⎝⎛⎭⎫1－15n 1－1

5

＝n (n ＋1)－34⎝⎛⎭⎫1－15n ＝n 2＋n ＋34·5－n －34. 答案：n 2＋n ＋34·5－n －3

4

4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －

1·n ，则S 100＝________. 解析：S 100＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100 ＝(1－2)＋(3－4)＋(5－6)＋…＋(99－100)＝－50. 答案：－50

5．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且a n ＝n ·2n ，则S n ＝________. 解析：∵a n ＝n ·2n ，

∴S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .① ∴2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋

1.② ①－②得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋

1

＝(1－n )2n ＋

1－2. ∴S n ＝2n ＋

1(n －1)＋2. 答案：(n －1)·2n ＋

1＋2

分组转化求和

[例1] (2012·山东高考)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；