高中数学数列求和

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高中数学数列求和题解题方法技巧

高中数学数列求和题解题方法技巧

高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法1.公式法:顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。

2.倒序相加:如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数,则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。

例如等差数列的求和公式,就可以用该方法进行证明。

3.错位相减:形如An=Bn∙Cn,其中{Bn}为等差数列,首项为b1,公差为d;{Cn}为等比数列,首项为c1,公比为q。

对数列{An}进行求和,首先列出Sn,记为①式;再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q,即得q∙Sn,记为②式;然后①②两式错开一位作差,从而得到{An}的前n项和。

这种数列求和方式叫做错位相减。

4.裂项相消:把数列的每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只剩下首尾几项,再进行求和,这种数列求和方式叫做裂项相消。

5.分组求和:有一类数列,既不是等差,又不是等比,但若把这个数列适当的拆开,就会分成若个等差,等比或者其他常见数列(即可用倒序相加,错位相减或裂项相消求和的数列),然后分别求和,之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。

6.周期数列:一般地,若数列{an}满足:存在一个最小的正整数T,使得an+T=an对于一切正整数n都成立,则数列{an}称为周期数列,其中T叫做数列{an}的周期,接下来根据数列的周期性进行求和。

7.数学归纳法:是一种重要的数学方法,其对求数列通项,求和的归纳猜想证明起到了关键作用。

高中数学解题方法实用技巧1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题,基本思路是:把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体转化方法有:①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法:适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法:适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法:适用于有明显几何意义的情况。

2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

高中数学数列求和的五种方法

高中数学数列求和的五种方法

⾼中数学数列求和的五种⽅法⼀、公式法求和例题1、设 {an} 是由正数组成的等⽐数列,Sn为其前 n 项和,已知 a2 · a4=1 , S3=7,则 S5 等于( B )(A) 15/2 (B) 31/4 (C) 33/4 (D) 17/2解析:∵ {an} 是由正数组成的等⽐数列 , 且 a2 · a4 = 1, q > 0 ,例题1图注:等⽐数列求和公式图例题2、已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn = an^2+bn (a、b∈R), 且 S25=100 , 则a12+a14等于( B )(A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 不确定解析:由数列 {an} 的前 n 项和 Sn = an^2 + bn (a、b∈R), 可知数列 {an} 是等差数列,由S25= 1/2 ×(a1 + a25)× 25 = 100 ,解得 a1+a25 = 8,所以 a1+a25 = a12+a14 = 8。

注:等差数列求和公式图⼆、分组转化法求和例题3、在数列 {an} 中, a1= 3/2 ,例题3图(1)解析:例题3图(2)故例题3图(3)∵ an>1,∴ S < 2="">∴有 1 < s=""><>∴ S 的整数部分为 1。

例题4、数列例题4图(1)例题4图(2)解析:例题4图(3)三、并项法求和例题5、已知函数 f(x) 对任意 x∈R,都有 f(x)=1-f(1-x), 则 f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) 的值是多少?解析:由条件可知:f(x)+f(1-x)=1,⽽x+(1-x)=1,∴f(-2)+f(3)=1,f(-1)+f(2)=1,f(0)+f(1)=1,∴ f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 3。

高中数学 数列求和常见的7种方法

高中数学  数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法,三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式:⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解:由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 (利用常用公式)=x x x n --1)1(=211)211(21--n =1-n 21 资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号:高中“数学教研室”回复任意内容获取资料 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解:由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(21++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++=n n S n S n f =64342++n n n=nn 64341++=50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ,即n =8时,501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和:132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解:由题可知,{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② (设制错位) ①-②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- (错位相减)再利用等比数列的求和公式得:n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解:由题可知,{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② (设制错位) ①-②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS (错位相减)1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证:n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明: 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- (反序)又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- (反序相加) ∴ nn n S 2)1(⋅+=资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号:高中“数学教研室”回复任意内容获取资料[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解:设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② (反序) 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 (反序相加))89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S =89∴ S =44.5题1 已知函数(1)证明:;(2)求的值.解:(1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (2)利用第(1)小题已经证明的结论可知,两式相加得:所以.练习、求值:四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和:231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ,… 解:设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n (分组) 当a =1时,2)13(n n n S n -+==2)13(nn + (分组求和)当1≠a 时,2)13(1111n n aa S nn -+--==2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解:设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(=)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n =k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132(分组)=)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n (分组求和) =2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:(1))()1(n f n f a n -+= (2)n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ (3)111)1(1+-=+=n n n n a n (4))121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n (5)])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 (7))11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=(8)n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解:设n n n n a n -+=++=111(裂项)则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n (裂项求和)=)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- =11-+n [例10] 在数列{a n }中,11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ,又12+⋅=n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和. 解: ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n (裂项)∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n (裂项求和) =)111(8+-n =18+n n[例11] 求证:1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解:设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ (裂项) ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S (裂项求和) =]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- =)0tan 89(tan 1sin 1 -=1cot 1sin 1⋅= 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案:六、分段求和法(合并法求和)针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解:设S n = cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cosn n --= (找特殊性质项)∴S n = (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+···+(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求和)= 0[例13] 数列{a n }:n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1,求S 2002.解:设S 2002=2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a (找特殊性质项) ∴ S 2002=2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ (合并求和) =)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=2002200120001999a a a a +++ =46362616+++++++k k k k a a a a =5[例14] 在各项均为正数的等比数列中,若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解:设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ (找特殊性质项) 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= (合并求和)=)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ =10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和,是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解:由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个 (找通项及特征) ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ =)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n (分组求和) =)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ =9110)110(1091nn ---⋅=)91010(8111n n --+资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号:高中“数学教研室”回复任意内容获取资料[例16] 已知数列{a n }:∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解:∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n (找通项及特征)=])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n (设制分组)=)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n (裂项)∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n (分组、裂项求和)=418)4131(4⋅++⋅ =313提高练习:1.已知数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==,⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列; ⑵设数列),2,1(,2 ==n a c nnn ,求证:数列{}n c 是等差数列;2.设二次方程n a x 2-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.(1)试用n a 表示a 1n +;3.数列{}n a 中,2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式;⑵设||||||21n n a a a S +++= ,求n S ;。

高中数学_数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

高中数学_数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧关键词:数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法合并法数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、 等比数列求和公式:⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn自然数方幂和公式:3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例] 求和1+x 2+x 4+x 6+…x 2n+4(x≠0) 解: ∵x≠0∴该数列是首项为1,公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2=1 即x =±1时 和为n+3评注:(1)利用等比数列求和公式.当公比是用字母表示时,应对其是否为1进行讨论,如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对x 是否为0进行讨论.(2)要弄清数列共有多少项,末项不一定是第n 项. 对应高考考题:设数列1,(1+2),…,(1+2+1222-⋯+n ),……的前顶和为ns,则ns的值。

二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置,近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。

需要我们的学生认真掌握好这种方法。

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ;然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方法就是错位相减法。

数列求和7种方法(方法全-例子多)精选全文

数列求和7种方法(方法全-例子多)精选全文

可编辑修改精选全文完整版数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习)一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法,三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式:⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解:由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 (利用常用公式)=x x x n --1)1(=211)211(21--n =1-n 21[例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解:由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(21++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++=n n S n S n f =64342++n n n=nn 64341++=50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ,即n =8时,501)(max =n f题1.等比数列的前n项和S n=2n-1,则=题2.若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ,则a = ,b = ,c =.解: 原式=答案:二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和:132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解:由题可知,{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② (设制错位) ①-②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- (错位相减)再利用等比数列的求和公式得:n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解:由题可知,{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② (设制错位) ①-②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS (错位相减)1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ,求数列{a n }的前n 项和S n .答案:练习题2 的前n 项和为____答案:三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证:n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明: 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- (反序)又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- (反序相加) ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解:设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② (反序) 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 (反序相加))89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S =89∴ S =44.5题1 已知函数 (1)证明:;(2)求的值.解:(1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (2)利用第(1)小题已经证明的结论可知,两式相加得:所以.练习、求值:四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和:231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ,… 解:设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n (分组) 当a =1时,2)13(n n n S n -+==2)13(nn + (分组求和)当1≠a 时,2)13(1111n n aa S nn -+--==2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解:设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(=)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n =k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132(分组)=)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n (分组求和) =2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:(1))()1(n f n f a n -+= (2)n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ (3)111)1(1+-=+=n n n n a n (4))121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n (5)])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 (7))11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=(8)n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解:设n n n n a n -+=++=111(裂项)则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n (裂项求和)=)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- =11-+n[例10] 在数列{a n }中,11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ,又12+⋅=n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和. 解: ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n (裂项)∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n (裂项求和) =)111(8+-n = 18+n n[例11] 求证:1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解:设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ (裂项) ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S (裂项求和) =]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- =)0tan 89(tan 1sin 1 -=1cot 1sin 1⋅= 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案:.练习题2。

高中数列求和方法大全

高中数列求和方法大全

1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

(1)等差数列的求和公式:d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=(2)等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn (切记:公比含字母时一定要讨论)3.错位相减法:比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式:111)1(1+-=+n n n n ;1111()(2)22n n n n =-++ )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。

6.合并求和法:如求22222212979899100-++-+- 的和。

7.倒序相加法:8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等 (二)主要方法:1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析:例1.求和:①个n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1(n n n xx x x x x S ++++++= ③求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前n 项和n S 思路分析:通过分组,直接用公式求和。

解:①)110(9110101011112-=++++==kkk k a个])101010[(91)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-= 8110910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++=nnn x x x x x x Sn x x x x x x nn 2)111()(242242++++++++= (1)当1±≠x 时,n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+--- (2)当n S x n 4,1=±=时 ③kk k k k k k k k k a k 23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=-+-+++++-=2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n)25)(1(61-+=n n n 总结:运用等比数列前n 项和公式时,要注意公比11≠=q q 或讨论。

高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

数列求和通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a an S n n 2)1(2)(11-+=+=2、 等比数列求和公式:⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn自然数方幂和公式:3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例] 求和1+x 2+x 4+x 6+…x 2n+4(x≠0) 解: ∵x≠0∴该数列是首项为1,公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2=1 即x =±1时 和为n+3评注:(1)利用等比数列求和公式.当公比是用字母表示时,应对其是否为1进行讨论,如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对x 是否为0进行讨论.(2)要弄清数列共有多少项,末项不一定是第n 项. 对应高考考题:设数列1,(1+2),…,(1+2+1222-⋯+n ),……的前顶和为ns,则ns的值。

二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置,近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。

需要我们的学生认真掌握好这种方法。

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ;然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方法就是错位相减法。

数列求和的九种方法

数列求和的九种方法
当a≠1时,S =1+3a+5a +…+(2n-1)a ……①,
两边分别乘以公比a得:
aS =a+3a +5a +…+(2n-3)a +(2n-1)a …………②
①-②得:(1-a)S =1+2a+2a +2a +…+2a -(2n-1)a
=1-(2n-1)a + ,
于是S = - +
五:裂项求和法
数列求和的九种方法
汉川二中数学组万小艳
数列是高中代数的重要内容。在高考和各种数学竞赛中都占有重要地位。数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法:运用公式法,倒序相加法,错位相减法,裂项相消法,分组求和法,并项求和法,通项分析法,分类讨论法,数学归纳法等。
四、错位相减法求和
这种方法主要用于数列{a ·b }的前n项和,其中{a },{b }分别是等差数列和等比数列,且{b }的公比不为1。
例4、求和:1+3a+5a +7a +…+(2n-1)a (a≠0)
解:数列{(2n-1)·a }是由等差数列{2n-1}和等比数列{a }的相应项乘积组成。
当a=1时,S =1+3+5+…+(2n-1)= = n
下面我们再来看一下并项求和法与分类讨论法
求和时,先分n为奇,偶数进行讨论,后考虑并合。
所以:
当n≤601时;
此类题需根据通项确定各项的正、负,再去掉绝对值。
上面讨论的八种方法灵活运用,多样结合就可解决常见的数列求和问题。对于数学归纳法求和,涉及到观察、猜想、归纳、证明等步骤,并且其关键在于猜想得出和式,在此就不作论述了。在数列求和过程中,根据数列的特点,采用适当的 方法,定能较快、准确的解题。

高中数学数列求和方法资料

高中数学数列求和方法资料

七剑合壁破解数列求和数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有相应的求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧,下面介绍用七种办法——“七剑”,希望对同学们有所启发:第一剑——套用公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本、最重要的方法:1.等差数列求和公式:2.等比数列求和公式:3. 4、[例1] 已知,求的前n项和.分析:从题目中可看出这是一个等比数列的求和,自然想到直接应用等比数列求和公式即可.解:由由等比数列求和公式得===第二剑——错位相减法这是类比推导等比数列的前项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列的前n项和,其中分别是等差数列和等比数列.[例2] 求和:…分析:注意到式子有两个特点,单纯从系数上看,它呈等差数列,这个数列的通项是2n-1;单纯从字母上看,它呈等比数列,此数列的通项是,所以可类比推导等比数列的方法求它前n的和.解:∵………………………①设………… ②①-②得又因为再利用等比数列的求和公式得:∴第三剑——逆序相加法这是类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.[例3] 求证:(本题源自人教大纲版必修第二册下)分析:这虽然看似一道组合的证明题,本质上还是数列求和,注意组合的一个公式,所以我们用逆序相加法进行尝试.证明:设………………………….. ①把①式右边倒转过来得又由可得…………..…….. ②①+②得∴第四剑——分组求和法有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.[例4] 求数列的前n项和:分析:可以看出该数列可分成两部分,注意到一部分等差数列,一部分成等比数列.我们使用化整为零的办法先拆开,再组合.解:设当a=1时,=当时,=第五剑——裂项相消法裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)常见的如下:(1)(2)(3)[例5] 求数列的前n项和.分析:本题符合上述的第三个公式中的情况,此时的情形.解:设则==第六剑——分段求和法.针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.,对等差数列的绝对值求和也可仿效.[例6] 数列中,求分析:题目要我们求前2008项的和,从前3项可以看出它不是等差、也不是等比,那么怎么办呢?先通过求出相应的几项可判断该数列应该是以6为一个周期的数列.解:设由可得……∵====5[例7]等差数列中,,求其前n项的绝对值的和.分析:对于等差数列的绝对值的求和,我们一般是转化为分段求和来解决.解:由已知可得,则当时.不妨设当时,当时,==∴第七剑——活用通项法先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法.[例8] 求之和.分析:本题的数列也十分特殊,具有良好的美感.如果我们知道它的一个通项公式是,这样即可将之分成两部分,转化为上述的第四种方法来解决,可见对通项的识别尤为重要.解:由于∴====当然数列求和的方法还不止这些,但是只要同学们七剑在手,勤加修炼,做到七剑合璧,融汇贯通,定能破解这一求和问题了.本文发表于《数学周报》大纲高考版总214期。

数列的求和公式和递推公式

数列的求和公式和递推公式

数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式:设等差数列的首项为a1,末项为an,公差为d,项数为n,则等差数列的求和公式为:S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。

2.等比数列求和公式:设等比数列的首项为a1,公比为q(q≠1),项数为n,则等比数列的求和公式为:S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q),当q=1时,S = n * a1。

3.斐波那契数列求和公式:设斐波那契数列的前n项和为S,则有S =F(n+2) - 1,其中F(n)为斐波那契数列的第n项。

4.平方数列求和公式:设平方数列的前n项和为S,则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。

5.立方数列求和公式:设立方数列的前n项和为S,则有S = n^2(n + 1)/ 2。

二、数列的递推公式1.等差数列递推公式:设等差数列的第n项为an,首项为a1,公差为d,则等差数列的递推公式为:an = a1 + (n - 1)d。

2.等比数列递推公式:设等比数列的第n项为an,首项为a1,公比为q(q≠1),则等比数列的递推公式为:an = a1 * q^(n-1)。

3.斐波那契数列递推公式:设斐波那契数列的第n项为F(n),则有F(n)= F(n-1) + F(n-2),其中F(1)=1,F(2)=1。

4.线性递推公式:设数列的第n项为an,首项为a1,公差为d,则线性递推公式为:an = an-1 + d。

5.多项式递推公式:设数列的第n项为an,首项为a1,多项式系数为c1, c2, …, cm,则多项式递推公式为:an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。

通过以上知识点的学习,学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法,为高中数学学习打下基础。

习题及方法:1.等差数列求和习题:已知等差数列的首项为3,末项为20,公差为2,求该数列的前10项和。

高中数列求和方法总结

高中数列求和方法总结

高中数列求和方法总结
数列求和是高中数学中的重要知识点之一,下面总结几种常见的数列求和方法。

1. 等差数列求和公式:
对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$,其中公差为d。

则求
和公式为:
$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$
其中,$S_n$表示前n项和。

2. 等比数列求和公式:
对于等比数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$,其中公比为q(不为零)。

则求和公式为:
$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$
其中,$S_n$表示前n项和。

3. 部分和公式:
当数列不是等差或等比数列时,可以考虑使用部分和公式。

如果数列的通项表达式为$f(n)$,则前n项和为$S_n = f(1) +
f(2) + f(3) + ... + f(n)$。

例如,对于数列$1, 4, 7, 10, ...$,通项表达式为$a_n = 3n-2$,则前n项和为$S_n = \sum_{i=1}^{n}(3i-2)$。

4. 偶数项和与奇数项和:
当数列为周期性的时候,可以考虑分别计算偶数项和与奇数
项和,然后相加得到总和。

例如,对于数列$1, -2, 3, -4, 5, -6, ...$,可以将它分为偶数项
$-2, -4, -6, ...$与奇数项$1, 3, 5, ...$,分别计算偶数项和与奇数项和,然后相加得到总和。

以上是常见的数列求和方法总结。

掌握这些方法可以帮助我们更快地计算数列的和。

高中数学-数列求和及数列通项公式

高中数学-数列求和及数列通项公式

数列求和通项分式法 错位相减法 反序相加法分组法 分组法 合并法数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= 2、 等比数列求和公式:⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n n n 自然数方幂和公式: 3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例] 求和1+x 2+x 4+x 6+…x 2n+4(x≠0) 解: ∵x≠0∴该数列是首项为1,公比为x 2的等比数列而且有n+3项当x 2=1 即x =±1时 和为n+3评注:(1)利用等比数列求和公式.当公比是用字母表示时,应对其是否为1进行讨论,如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对x 是否为0进行讨论.(2)要弄清数列共有多少项,末项不一定是第n 项.对应高考考题:设数列1,(1+2),…,(1+2+1222-⋯+n ),……的前顶和为ns,则ns的值。

二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置,近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。

需要我们的学生认真掌握好这种方法。

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ;然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方法就是错位相减法。

数列求和的8种方法

数列求和的8种方法

精心整理数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习)一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和1、23、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1]已知3log 1log 23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32(利用常用公式)=x x x n--1)1(=211)211(21--n =1-n 21 [例2]设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解:由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ,)2)(1(21++=n n S n (利用常用公式) ∴)32()(+=n S n S n f =64342++n n n等比数列-1,则=.=答案:[解:由题可知,{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②(设制错位) ①-②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--(错位相减)再利用等比数列的求和公式得:n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解:由题可知,{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设nn nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 已知答案:2的前答案:[例把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-(反序)又由m n n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得n nn n n nn n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-(反序相加)∴n n n S 2)1(⋅+=[例6]求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解:设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②(反序)又因为1cos sin ),90cos(sin 22 题1已知函数(1)证明:(2)求的值(2所以.练习、求值:练习。

数列求和的8种常用方法(最全)

数列求和的8种常用方法(最全)

数列求和的8种常用方法(最全)一、前言在高中数学以及各类应用数学问题中,数列求和问题是非常常见的。

解决数列求和问题不仅需要对常用数列的规律进行深刻的理解,还需要掌握多种数列求和的方法。

本文将介绍数列求和的八种常用方法,并且会结合具体的数列实例来进行讲解。

尽力做到对每一种方法的介绍都能够做到极致详细,希望对读者有所帮助。

二、数列求和的8种常用方法1. 等差数列求和公式对于一个首项为$a_1$,公差为$d$,共有$n$ 项的等差数列,其求和公式为:$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$其中,$S_n$ 代表前$n$ 项的和。

举例:求和数列$1,3,5,7,9$ 的和。

分析:此数列的首项为1,公差为2,总共有5项。

解答:$$S_5 = \frac{5}{2}(2\times 1 + (5-1)\times 2)=25$$因此,数列$1,3,5,7,9$ 的和为25。

2. 等比数列求和公式对于一个首项为$a_1$,公比为$q$,共有$n$ 项的等比数列,其求和公式为:$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$其中,$S_n$ 代表前$n$ 项的和。

举例:求和数列$2,4,8,16,32$ 的和。

分析:此数列的首项为2,公比为2,总共有5项。

解答:$$S_5=\frac{2\times (1-2^5)}{1-2}=-62$$因此,数列$2,4,8,16,32$ 的和为-62。

3. 几何级数通项公式求和对于一般形式为$a_1r^{n-1}$ 的数列,其求和公式为:$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$其中,$S_n$ 代表前$n$ 项的和。

举例:求和数列$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16}$ 的和。

分析:此数列的首项是1,公比是$-\frac{1}{2}$,总共有5项。

高中数学知识点总结(第六章 数列 第四节 数列求和)

高中数学知识点总结(第六章 数列 第四节 数列求和)

第四节 数列求和一、基础知识1.公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n =na 1+a n 2=na 1+nn -1d2. 推导方法:倒序相加法.(2)等比数列{a n }的前n 项和S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 11-q n 1-q ,q ≠1.推导方法:乘公比,错位相减法. (3)一些常见的数列的前n 项和: ①1+2+3+…+n =nn +12; ②2+4+6+…+2n =n (n +1); ③1+3+5+…+2n -1=n 2. 2.几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减.(2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n 项和.(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解.(4)倒序相加法:如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解.考点一 分组转化法求和[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n 2,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +(-1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和. [解] (1)当n =1时,a 1=S 1=1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2+n2-n -12+n -12=n .又a 1=1也满足a n =n ,故数列{a n }的通项公式为a n =n . (2)由(1)知a n =n ,故b n =2n +(-1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ,则T 2n =(21+22+…+22n )+(-1+2-3+4-…+2n ). 记A =21+22+…+22n ,B =-1+2-3+4-…+2n , 则A =21-22n 1-2=22n +1-2,B =(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n -1)+2n ]=n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n =A +B =22n +1+n -2. [解题技法]1.分组转化求和的通法数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和.2.分组转化法求和的常见类型[题组训练]1.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n -⎝⎛⎭⎫12n,则其前20项和为( ) A .379+1220B .399+1220C .419+1220D .439+1220解析:选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 20=a 1+a 2+a 3+…+a 20=2(1+2+3+…+20)-⎝⎛⎭⎫12+122+123+…+1220=420-⎝⎛⎭⎫1-1220=419+1220. 2.(2019·资阳诊断)已知数列{a n }中,a 1=a 2=1,a n +2=⎩⎪⎨⎪⎧a n +2,n 是奇数,2a n,n 是偶数,则数列{a n }的前20项和为( )A .1 121B .1 122C .1 123D .1 124解析:选C 由题意可知,数列{a 2n }是首项为1,公比为2的等比数列,数列{a 2n -1}是首项为1,公差为2的等差数列,故数列{a n }的前20项和为1×1-2101-2+10×1+10×92×2=1 123.选C.考点二 裂项相消法求和考法(一) 形如a n =1nn +k型 [典例] (2019·南宁摸底联考)已知等差数列{a n }满足a 3=7,a 5+a 7=26. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)设c n =1a n a n +1,n ∈N *,求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)设等差数列的公差为d ,则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =7,2a 1+10d =26,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3,d =2.所以a n =3+2(n -1)=2n +1. (2)因为c n =1a n a n +1=12n +12n +3,所以c n =12⎝⎛⎭⎫12n +1-12n +3,所以T n =12⎝⎛⎭⎫13-15+15-17+…+12n +1-12n +3=12⎝⎛⎭⎫13-12n +3=n6n +9. 考法(二) 形如a n =1n +k +n型[典例] 已知函数f (x )=x α的图象过点(4,2),令a n =1f n +1+f n ,n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 2 019=( )A. 2 018-1B. 2 019-1C. 2 020-1D. 2 020+1[解析] 由f (4)=2可得4α=2,解得α=12,则f (x )=x 12.∴a n =1f n +1+f n =1n +1+n=n +1-n ,S 2 019=a 1+a 2+a 3+…+a 2 019=(2- 1 )+(3- 2 )+(4- 3 )+…+( 2 019-2 018)+( 2 020- 2 019)= 2 020-1. [答案] C[解题技法]1.用裂项法求和的裂项原则及消项规律 2.常见的拆项公式(1)1n n +1=1n -1n +1;(2)12n -12n +1=12⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1; (3)1n +n +1=n +1-n ;(4)2n2n-12n +1-1=12n-1-12n +1-1. [题组训练]1.在等差数列{a n }中,a 3+a 5+a 7=6,a 11=8,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n +3·a n +4的前n 项和为( )A.n +1n +2B.n n +2C.n n +1D.2n n +1解析:选C 因为a 3+a 5+a 7=6, 所以3a 5=6,a 5=2,又a 11=8, 所以等差数列{a n }的公差d =a 11-a 511-5=1, 所以a n =a 5+(n -5)d =n -3, 所以1a n +3·a n +4=1n n +1=1n -1n +1, 因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an +3·a n +4的前n 项和为1-12+12-13+…+1n -1n +1=1-1n +1=nn +1,故选C.2.各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1=8,且2a 1,a 3,3a 2成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足b n =1n log 2a n,求{b n }的前n 项和S n . 解:(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0). ∵2a 1,a 3,3a 2成等差数列,∴2a 3=2a 1+3a 2,即2a 1q 2=2a 1+3a 1q , ∴2q 2-3q -2=0,解得q =2或q =-12(舍去),∴a n =8×2n -1=2n +2. (2)由(1)可得b n =1n log 22n +2=1n n +2=12⎝⎛⎭⎫1n -1n +2, ∴S n =b 1+b 2+b 3+…+b n=12⎝⎛⎭⎫1-13+12-14+13-15+…+1n -1n +2=12⎝⎛⎭⎫1+12-1n +1-1n +2 =34-12⎝⎛⎭⎫1n +1+1n +2 =34-2n +32n +1n +2. 考点三 错位相减法[典例] (2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=6,a 1a 2=a 3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n .已知S 2n +1=b n b n +1,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n .[解] (1)设{a n }的公比为q ,由题意知:a 1(1+q )=6,a 21q =a 1q 2.又a n >0,解得a 1=2,q =2, 所以a n =2n . (2)由题意知, S 2n +1=2n +1b 1+b 2n +12=(2n +1)b n +1,又S 2n +1=b n b n +1,b n +1≠0, 所以b n =2n +1.令c n =b na n ,则c n =2n +12n ,因此T n =c 1+c 2+…+c n =32+522+723+…+2n -12n -1+2n +12n ,又12T n =322+523+724+…+2n -12n +2n +12n +1, 两式相减得12T n =32+⎝⎛⎭⎫12+122+…+12n -1-2n +12n +1=32+1-⎝⎛⎭⎫12n -1-2n +12n +1=52-2n +52n +1, 所以T n =5-2n +52n .[变透练清]1.变结论若本例中a n ,b n 不变,求数列{a n b n }的前n 项和T n .解:由本例解析知a n =2n ,b n =2n +1, 故T n =3×21+5×22+7×23+…+(2n +1)×2n ,2T n =3×22+5×23+7×24+…+(2n +1)×2n +1,上述两式相减,得,-T n =3×2+2×22+2×23+…+2×2n -(2n +1)2n +1 =6+81-2n-11-2-(2n +1)2n +1=(1-2n )2n +1-2 得T n =(2n -1)×2n +1+2.2.已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *).解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2+b 3=12,得b 1(q +q 2)=12, 而b 1=2,所以q 2+q -6=0. 因为q >0,解得q =2,所以b n =2n . 由b 3=a 4-2a 1,可得3d -a 1=8. ① 由S 11=11b 4,可得a 1+5d =16. ② 联立①②,解得a 1=1,d =3, 由此可得a n =3n -2.所以{a n }的通项公式为a n =3n -2,{b n }的通项公式为b n =2n . (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ,由a 2n =6n -2,有 T n =4×2+10×22+16×23+…+(6n -2)×2n ,2T n =4×22+10×23+16×24+…+(6n -8)×2n +(6n -2)×2n +1, 上述两式相减,得-T n =4×2+6×22+6×23+…+6×2n -(6n -2)×2n +1 =12×1-2n 1-2-4-(6n -2)×2n +1=-(3n -4)2n +2-16, 得T n =(3n -4)2n +2+16.所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n -4)2n +2+16.[易误提醒](1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.(2)对相减后的和式的结构认识模糊,错把中间的n -1项和当作n 项和.(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比q =1和q ≠1两种情况求解.[课时跟踪检测]A 级1.数列{a n }的通项公式为a n =1n +n -1,若该数列的前k 项之和等于9,则k =( )A .80B .81C .79D .82解析:选B a n =1n +n -1=n -n -1,故S n =n ,令S k =k =9,解得k =81,故选B.2.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n -2),则a 1+a 2+…+a 10=( ) A .15 B .12 C .-12D .-15解析:选A a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=5×3=15,故选A.3.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158解析:选C 设{a n }的公比为q ,显然q ≠1,由题意得91-q 31-q =1-q 61-q,所以1+q 3=9,得q =2,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1,公比为12的等比数列,前5项和为1-⎝⎛⎭⎫1251-12=3116.4.在等差数列{a n }中,a 4=5,a 7=11.设b n =(-1)n ·a n ,则数列{b n }的前100项之和S 100=( )A .-200B .-100C .200D .100解析:选D 设数列{a n }的公差为d ,由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+3d =5,a 1+6d =11⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-1,d =2⇒a n =2n-3⇒b n =(-1)n (2n -3)⇒S 100=(-a 1+a 2)+(-a 3+a 4)+…+(-a 99+a 100)=50×2=100,故选D.5.已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n +12n 的前n 项和,若m >T 10+1 013恒成立,则整数m 的最小值为( )A .1 026B .1 025C .1 024D .1 023解析:选C ∵2n +12n =1+⎝⎛⎭⎫12n, ∴T n =n +1-12n ,∴T 10+1 013=11-1210+1 013=1 024-1210,又m >T 10+1 013, ∴整数m 的最小值为1 024.6.已知数列:112,214,318,…,⎝⎛⎭⎫n +12n ,…,则其前n 项和关于n 的表达式为________. 解析:设所求的前n 项和为S n ,则 S n =(1+2+3+…+n )+⎝⎛⎭⎫12+14+…+12n =nn +12+12⎝⎛⎭⎫1-12n 1-12=n n +12-12n +1. 答案:nn +12-12n +1 7.(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k =1n1S k =________.解析:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =3,4a 1+6d =10,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =1,所以S n =n n +12,1S n =2nn +1=2⎝⎛⎭⎫1n -1n +1,因此∑k =1n1S k =2⎝⎛⎭⎫1-12+12-13+…+1n -1n +1=2nn +1.答案:2nn +18.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1·a n =2n (n ∈N *),则S 2 018=________.解析:∵数列{a n }满足a 1=1,a n +1·a n =2n ,① ∴n =1时,a 2=2,n ≥2时,a n ·a n -1=2n -1,②由①÷②得a n +1a n -1=2,∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列, ∴S 2 018=1-21 0091-2+21-21 0091-2=3·21 009-3.答案:3·21 009-39.(2019·成都第一次诊断性检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=3,S 4=16,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)设数列{a n }的公差为d , ∵a 2=3,S 4=16, ∴a 1+d =3,4a 1+6d =16, 解得a 1=1,d =2. ∴a n =2n -1. (2)由题意知,b n =12n -12n +1=12⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1, ∴T n =b 1+b 2+…+b n=12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1-13+⎝⎛⎭⎫13-15+…+⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1 =12⎝⎛⎭⎫1-12n +1 =n2n +1. 10.(2018·南昌摸底调研)已知数列{a n }的前n 项和S n =2n +1-2,记b n =a n S n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)∵S n =2n +1-2,∴当n =1时,a 1=S 1=21+1-2=2; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n +1-2n =2n . 又a 1=2=21,∴a n =2n .(2)由(1)知,b n =a n S n =2·4n -2n +1,∴T n =b 1+b 2+b 3+...+b n =2(41+42+43+...+4n )-(22+23+ (2)+1)=2×41-4n 1-4-41-2n 1-2=23·4n +1-2n +2+43.B 级1.(2019·潍坊统一考试)若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n -λ(λ>0,n ∈N *). (1)证明数列{a n }为等比数列,并求a n ;(2)若λ=4,b n =⎩⎪⎨⎪⎧a n ,n 为奇数,log 2a n ,n 为偶数(n ∈N *),求数列{b n }的前2n 项和T 2n .解:(1)∵S n =2a n -λ,当n =1时,得a 1=λ, 当n ≥2时,S n -1=2a n -1-λ, ∴S n -S n -1=2a n -2a n -1, 即a n =2a n -2a n -1,∴a n =2a n -1,∴数列{a n }是以λ为首项,2为公比的等比数列, ∴a n =λ·2n -1.(2)∵λ=4,∴a n =4·2n -1=2n +1,∴b n =⎩⎪⎨⎪⎧2n +1,n 为奇数,n +1,n 为偶数,∴T 2n =22+3+24+5+26+7+…+22n +2n +1 =(22+24+…+22n )+(3+5+…+2n +1) =4-4n ·41-4+n 3+2n +12=4n +1-43+n (n +2),∴T 2n =4n +13+n 2+2n -43.2.已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n +1=3S n -2S n -1(n ≥2,n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =n +1a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)因为S n +1=3S n -2S n -1(n ≥2), 所以S n +1-S n =2S n -2S n -1(n ≥2),即a n +1=2a n (n ≥2),所以a n +1=2n +1,则a n =2n ,当n =1时,也满足,故数列{a n }的通项公式为a n =2n .(2)因为b n =n +12n =(n +1)⎝⎛⎭⎫12n, 所以T n =2×12+3×⎝⎛⎭⎫122+4×⎝⎛⎭⎫123+…+(n +1)×⎝⎛⎭⎫12n ,① 12T n =2×⎝⎛⎭⎫122+3×⎝⎛⎭⎫123+4×⎝⎛⎭⎫124+…+n ×⎝⎛⎭⎫12n +(n +1)×⎝⎛⎭⎫12n +1,② ①-②得12T n =2×12+⎝⎛⎭⎫122+⎝⎛⎭⎫123+…+⎝⎛⎭⎫12n -(n +1)⎝⎛⎭⎫12n +111=12+⎝⎛⎭⎫121+⎝⎛⎭⎫122+⎝⎛⎭⎫123+…+⎝⎛⎭⎫12n -(n +1)⎝⎛⎭⎫12n +1 =12+12⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫12n 1-12-(n +1)⎝⎛⎭⎫12n +1 =12+1-⎝⎛⎭⎫12n -(n +1)⎝⎛⎭⎫12n +1 =32-n +32n +1. 故数列{b n }的前n 项和为T n =3-n +32n .。

高中数学_数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

高中数学_数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

大沥高级中学论文数列求和的基本方法和技巧关键词:数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法合并法数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定 的技巧 . 下面,就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式: S nn( a 1 a n )na 1n(n 1) d22na 1q n )(q1)2、 等比数列求和公式: S n a 1 (1a 1 a n q (q 1)1 q1 q自然数方幂和公式:n1n( n 1)nk 21n(n 1)(2n 1)3、 S nk4、 S nk 12k16nk 3 [ 1n( n 1)]25、 S nk12[ 例 ] 求和 1+x 2 +x 4+x 6+,x 2n+4(x ≠0)解:∵x ≠0∴该数列是首项为 1,公比为 x 2 的等比数列而且有 n+3 项 当 x 2=1 即 x =±1时 和为 n+3评注:(1) 利用等比数列求和公式.当公比是用字母表示时,应对其是否为 1 进行讨论,如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对 x 是否为 0 进行讨论.(2)要弄清数列共有多少项,末项不一定是第n 项.2n 1 对应高考考题:设数列1,( 1+2 ),, ,( 1+2+22),,, 的前顶和为s n ,则 s n 的值。

大沥高级中学论文二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置,近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。

需要我们的学生认真掌握好这种方法。

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 {a n ·b n } 的前 n 项和,其中 { a n } 、 { b n } 分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ;然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方法就是错位相减法。

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第四节数列求和[备考方向要明了]考什么怎么考熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.1.以选择题或填空题的形式考查可转化为等差或等比数列的数列求和问题,如2012年新课标全国T16等.2.以解答题的形式考查利用错位相减法、裂项相消法或分组求和法等求数列的前n项和,如2012年江西T16,湖北T18等.[归纳·知识整合]数列求和的常用方法1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式:S n=n(a1+a n)2=na1+n(n-1)2d;(2)等比数列的前n项和公式:S n=⎩⎪⎨⎪⎧na1,q=1,a1-a n q1-q=a1(1-q n)1-q,q≠1.2.倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的.3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的.4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.[探究] 1.应用裂项相消法求和的前提条件是什么?提示:应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项,且在求和过程中能够前后抵消.2.利用裂项相消法求和时应注意哪些问题?提示:(1)在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差;(2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,或前面剩下两项,后面也剩下两项.5.分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.6.并项求和法一个数列的前n 项和,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)n f (n )类型,可采用两项合并求解.例如,S n =1002-992+982-972+…+22-12 =(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.[自测·牛刀小试]1.11×4+14×7+17×10+…+1(3n -2)(3n +1)等于( ) A.n 3n +1 B.3n3n +1 C .1-1n +1D .3-13n +1解析:选A ∵1(3n -2)(3n +1)=13⎝⎛⎭⎫13n -2-13n +1,∴11×4+14×7+17×10+…+1(3n -2)(3n +1)=13⎣⎡⎝⎛⎭⎫1-14+⎝⎛⎭⎫14-17+⎝⎛⎭⎫17-110+…+⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n -2-13n +1=13⎝⎛⎭⎫1-13n +1=n 3n +1. 2.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n -12n ,其前n 项和S n =32164,则项数n 等于( )A .13B .10C .9D .6解析:选D ∵a n =2n -12n =1-12n ,∴S n =⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫1-122+…+⎝⎛⎭⎫1-12n =n -⎝⎛⎭⎫12+122+ (12)=n -12⎝⎛⎭⎫1-12n 1-12=n -⎝⎛⎭⎫1-12n =n -1+12n . ∴n -1+12n =32164=5164,解得n =6.3.(教材习题改编)(2-3×5-1)+(4-3×5-2)+…+(2n -3×5-n )=________. 解析:(2-3×5-1)+(4-3×5-2)+…+(2n -3×5-n ) =(2+4+…+2n )-3(5-1+5-2+ (5)n ) =n (2+2n )2-3×5-1⎝⎛⎭⎫1-15n 1-15=n (n +1)-34⎝⎛⎭⎫1-15n =n 2+n +34·5-n -34. 答案:n 2+n +34·5-n -344.若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ,则S 100=________. 解析:S 100=1-2+3-4+5-6+…+99-100 =(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(99-100)=-50. 答案:-505.已知数列{a n }的前n 项和为S n 且a n =n ·2n ,则S n =________. 解析:∵a n =n ·2n ,∴S n =1·21+2·22+3·23+…+n ·2n .① ∴2S n =1·22+2·23+…+(n -1)·2n +n ·2n +1.② ①-②得-S n =2+22+23+…+2n -n ·2n +1 =2(1-2n )1-2-n ·2n +1=2n +1-2-n ·2n +1=(1-n )2n +1-2. ∴S n =2n +1(n -1)+2. 答案:(n -1)·2n +1+2分组转化求和[例1] (2012·山东高考)在等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=84,a 9=73. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)对任意m ∈N *,将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ,求数列{b m }的前m 项和S m .[自主解答] (1)因为{a n }是一个等差数列, 所以a 3+a 4+a 5=3a 4=84,a 4=28. 设数列{a n }的公差为d , 则5d =a 9-a 4=73-28=45, 故d =9.由a 4=a 1+3d ,得28=a 1+3×9,即a 1=1. 所以a n =a 1+(n -1)d =1+9(n -1)=9n -8(n ∈N *). (2)对m ∈N *,若9m <a n <92m , 则9m +8<9n <92m +8. 因此9m -1+1≤n ≤92m -1. 故得b m =92m -1-9m -1. 于是S m =b 1+b 2+b 3+…+b m=(9+93+…+92m -1)-(1+9+…+9m -1) =9×(1-81m )1-81-(1-9m )1-9=92m +1-10×9m +180.———————————————————分组转化求和的通法数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和.1.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=2⎝⎛⎭⎫1a 1+1a 2,a 3+a 4+a 5=64⎝⎛⎭⎫1a 3+1a 4+1a 5.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =⎝⎛⎭⎫a n +1a n2,求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设公比为q ,则a n =a 1q n -1,且q >0,a 1>0. 由已知有⎩⎨⎧a 1+a 1q =2⎝⎛⎭⎫1a 1+1a 1q ,a 1q 2+a 1q 3+a 1q 4=64⎝⎛⎭⎫1a 1q 2+1a 1q 3+1a 1q 4,化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q =2,a 21q 6=64.又a 1>0,故q =2,a 1=1.所以a n =2n -1.(2)由(1)知,b n =⎝⎛⎭⎫a n +1a n 2=a 2n +1a 2n +2=4n -1+14n -1+2. 因此T n =(1+4+…+4n -1)+⎝⎛⎭⎫1+14+…+14n -1+2n=4n -14-1+1-14n 1-14+2n =13(4n -41-n )+2n +1.裂项相消法求和[例2] 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n =na n -n (n -1)(n =1,2,3,…). (1)求证:数列{a n }为等差数列,并写出a n 关于n 的表达式;(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1的前n 项和为T n ,问满足T n >100209的最小正整数n 是多少?[自主解答] (1)当n ≥2时,a n =S n -S n -1=na n -(n -1)a n -1-2(n -1),得a n -a n -1=2(n =2,3,4,…).所以数列{a n }是以1为首项,2为公差的等差数列. 所以a n =2n -1.(2)T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n -1a n +1a n a n +1=11×3+13×5+…+1(2n -1)(2n +1)=12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫11-13+⎝⎛⎭⎫13-15+…+⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1 =12⎝⎛⎭⎫1-12n +1=n2n +1,由T n =n 2n +1>100209,得n >1009,所以满足T n >100209的最小正整数n 为12.——————————————————— 用裂项相消法求和应注意的问题利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等.2.等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 23=9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和.解:(1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23=9a 2a 6得a 23=9a 24,所以q 2=19. 由条件可知q >0,故q =13.由2a 1+3a 2=1得2a 1+3a 1q =1,所以a 1=13.故数列{a n }的通项公式为a n =13n .(2)b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =-(1+2+…+n )=-n (n +1)2.故1b n =-2n (n +1)=-2⎝⎛⎭⎫1n -1n +1. 1b 1+1b 2+…+1b n=-2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎫1n -1n +1 =-2nn +1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为-2nn +1.错位相减法求和[例3] (2012·天津高考)已知{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,{b n }是等比数列,且a 1=b 1=2,a 4+b 4=27,S 4-b 4=10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)记T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ,n ∈N *,证明T n -8=a n -1b n +1(n ∈N *,n ≥2). [自主解答] (1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q .由a 1=b 1=2,得a 4=2+3d ,b 4=2q 3,S 4=8+6d .由条件,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2+3d +2q 3=27,8+6d -2q 3=10,解得⎩⎪⎨⎪⎧d =3,q =2.所以a n =3n -1,b n =2n ,n ∈N *. (2)证明:由(1)得T n =2×2+5×22+8×23+…+(3n -1)×2n ,①2T n=2×22+5×23+…+(3n-4)×2n+(3n-1)×2n+1.②由①-②,得-T n=2×2+3×22+3×23+…+3×2n-(3n-1)×2n+1=6×(1-2n)1-2-(3n-1)×2n+1-2=-(3n-4)×2n+1-8,即T n-8=(3n-4)×2n+1.而当n≥2时,a n-1b n+1=(3n-4)×2n+1,所以T n-8=a n-1b n+1,n∈N*,n≥2.若本例(2)中T n=a n b1+a n-1b2+…+a1b n,n∈N*,求证:T n+12=-2a n+10b n(n∈N*).证明:由(1)得T n=2a n+22a n-1+23a n-2+…+2n a1,①2T n=22a n+23a n-1+…+2n a2+2n+1a1.②②-①,得T n=-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2=12(1-2n-1)1-2+2n+2-6n+2=10×2n-6n-10.而-2a n+10b n-12=-2(3n-1)+10×2n-12=10×2n-6n-10,故T n+12=-2a n+10b n,n∈N*.———————————————————用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.3.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为-4.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(4-a n)q n-1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n.解:(1)设{a n}的公差为d.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1+3d =6,8a 1+28d =-4,解得a 1=3,d =-1.故a n =3+(n -1)·(-1)=4-n . (2)由(1)得,b n =n ·q n -1,于是 S n =1·q 0+2·q 1+3·q 2+…+n ·q n -1.若q ≠1,将上式两边同乘以q 有qS n =1·q 1+2·q 2+…+(n -1)·q n -1+n ·q n . 两式相减得到(q -1)S n =nq n -1-q 1-q 2-…-q n -1 =nq n-q n -1q -1=nq n +1-(n +1)q n +1q -1.于是,S n =nq n +1-(n +1)q n +1(q -1)2.若q =1,则S n =1+2+3+…+n =n (n +1)2.所以S n=⎩⎪⎨⎪⎧n (n +1)2(q =1),nq n +1-(n +1)q n +1(q -1)2(q ≠1).1种思想——转化与化归思想数列求和把数列通过分组、变换通项、变换次序、乘以常数等方法,把数列的求和转化为能使用公式求解或者能通过基本运算求解的形式,达到求和的目的.2个注意——“裂项相消法求和”与“错位相减法求和”应注意的问题(1)使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点.(2)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.4个公式——常见的拆项公式 (1)1n (n +k )=1k ⎝⎛⎭⎫1n -1n +k ;(2)1(2n -1)(2n +1)=12⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1;(3)1n (n +1)(n +2)=12⎣⎡⎦⎤1n (n +1)-1(n +1)(n +2);(4)1n +n +k =1k(n +k -n ).答题模板——利用错位相减法解决数列求和[典例] (2012·江西高考)(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =-12n 2+kn (其中k ∈N +),且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ,求a n ;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9-2a n 2n 的前n 项和T n .[快速规范审题]第(1)问1.审条件,挖解题信息观察条件:S n =-12n 2+kn 及S n 的最大值为8――――――――――――→S n 是关于n 的二次函数当n =k 时,S n 取得最大值.2.审结论,明确解题方向观察所求结论:求k 的值及a n ――――――――――――→应建立关于k 的方程S n 的最大值为8,即S k =8,k =4. ――――――――――――→可求S n 的表达式 S n =-12n 2+4n .3.建联系,找解题突破口根据已知条件,可利用a n 与S n 的关系求通项公式: 求通项公式――――――――――――→注意公式的使用条件a n =S n -S n -1=92-n (n ≥2),a 1=S 1=72――――――――――――→验证n =1时,a n 是否成立a n =92-n .第(2)问1.审条件,挖解题信息观察条件:a n =92-n 及数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9-2a n 2n922n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭−−−−−−→可化简数列9-2a n 2n =n 2n -1. 2.审结论,明确解题方向观察所求结论:求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9-2a n 2n的前n 项和T n 12n n+−−−−−−→分析通项的特点可利用错位相减法求和.3.建联系,找解题突破口条件具备,代入求和:T n =1+22+322+…+n -12n -2+n 2n -1①――――――――→等式两边同乘以22T n =2+2+32+…+n -12n -3+n 2n -2②――――――→错位相减 ②-①:2T n -T n =2+1+12+…+12n -2-n 2n -1=4-12n -2-n 2n -1=4-n +22n -1.[准确规范答题](1)当n =k ∈N +时,S n =-12n 2+kn 取得最大值,即8=S k =-12k 2+k 2=12k 2,⇨(2分)故k 2=16,因此k =4,⇨(3分)从而a n =S n -S n -1=92-n (n ≥2).⇨(4分)又a 1=S 1=72,⇨(5分)所以a n =92-n .⇨(6分)(2)因为9-2a n 2n =n2n -1,所以T n =1+22+322+…+n -12n -2+n2n -1,①⇨(7分)所以2T n =2+2+32+…+n -12n -3+n2n -2,②⇨(8分)②-①:2T n -T n =2+1+12+…+12n -2-n 2n -1=4-12n -2-n2n -1=4-n +22n -1.⇨(11分)所以T n =4-n +22n -1.⇨(12分)[答题模板速成]用错位相减法解决数列求和的步骤:第一步 判断结构 ⇒第二步 乘公比⇒第三步 错位相减 ⇒ 第四步 求和若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列(公比q )的对应项之积构成的,则可用此法求和 设{a n ·b n }的前n 项和为T n ,然后两边同乘以q乘以公比q 后,向后错开一位,使含有q k(k ∈N *)的项对应,然后两边同时作差将作差后的结果求和,从而表示出T n一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析:选C 设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1,且9(1-q 3)1-q =1-q 61-q,解得q =2,错位相减时,易漏项.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,12为公比的等比数列,由求和公式可得S 5=3116.2.数列112,314,518,7116,…,(2n -1)+12n ,…的前n 项和S n 的值等于( )A .n 2+1-12nB .2n 2-n +1-12nC .n 2+1-12n -1D .n 2-n +1-12n解析:选A 该数列的通项公式为a n =(2n -1)+12n ,则S n =[1+3+5+…+(2n -1)]+⎝⎛⎭⎫12+122+…+12n =n 2+1-12n .3.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 8=30,S 4=7,则a 4的值等于( ) A.14 B.94 C.134D.174解析:选C 由题意可得⎩⎨⎧8a 1+8×(8-1)d2=30,4a 1+4×(4-1)d2=7,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=14,d =1.故a 4=a 1+3=134.4.12+12+38+…+n2n 等于( ) A.2n -n -12nB.2n +1-n -22nC.2n -n +12nD.2n +1-n +22n解析:选B 令S n =12+222+323+…+n2n ,①则12 S n =122+223+…+n -12n +n2n +1,② ①-②得:12S n =12+122+123+…+12n -n 2n +1 =12⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫12n 1-12-n 2n +1,故S n =2n +1-n -22n.5.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2cos n π(n ∈N *),S n 为它的前n 项和,则S 2 0122 013等于( )A .1 005B .1 006C .2 011D .2 012解析:选B 注意到cos n π=(-1)n (n ∈N *), 故a n =(-1)n n 2.因此有S 2 012=(-12+22)+(-32+42)+…+(-20112+20122)=1+2+3+…+2 011+2 012=2 012×(1+2 012)2=1 006×2 013,所以S 2 0122 013=1 006.6.(2013·锦州模拟)设函数f (x )=x m +ax 的导函数f ′(x )=2x +1,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n +1B.n +2n +1C.n n -1D.n +1n解析:选A ∵f ′(x )=mx m -1+a ,∴m =2,a =1. ∴f (x )=x 2+x ,f (n )=n 2+n . ∴1f (n )=1n 2+n =1n (n +1)=1n -1n +1, 令S n =1f (1)+1f (2)+1f (3)+…+1f (n -1)+1f (n )=⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+⎝⎛⎭⎫13-14+…+⎝⎛⎭⎫1n -1-1n +⎝⎛⎭⎫1n -1n +1=1-1n +1=nn +1. 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7.(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,公比不为1.若a 1=1,且对任意的n ∈N *都有a n +2+a n +1-2a n =0,则S 5=________.解析:由a n +2+a n +1-2a n =0,得a n q 2+a n q -2a n =0,显然a n ≠0,所以q 2+q -2=0.又q ≠1,解得q =-2.又a 1=1,所以S 5=1×[1-(-2)5]1-(-2)=11.答案:118.对于数列{a n },定义数列{a n +1-a n }为数列{a n }的“差数列”,若a 1=2,{a n }的“差数列”的通项公式为2n ,则数列{a n }的前n 项和S n =________.解析:∵a n +1-a n =2n ,∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2n -1+2n -2+…+22+2+2=2-2n1-2+2=2n -2+2=2n .∴S n =2-2n +11-2=2n +1-2.答案:2n +1-2.9.数列{a n }的通项a n =n ⎝⎛⎭⎫cos 2n π2-sin 2n π2(n ∈N *),其前n 项和为S n ,则S 2 013=________. 解析:∵a n =n ⎝⎛⎭⎫cos 2n π2-sin 2n π2=n cos n π, ∴a 1=-1,a 2=2,a 3=-3,a 4=4,…,∴S 2 013=(-1)+2+(-3)+4+(-5)+6+…+(-2 009)+2 010+(-2 011)+2 012+(-2 013)=[(-1)+2]+[(-3)+4]+[(-5)+6]+…+[(-2 009)+2 010]+[(-2 011)+2 012]+(-2013)=1+1+…+1+1-2 013=1 006-2 013=-1 007. 答案:-1 007三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)10.(2012·湖北高考)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则a 2=a 1+d ,a 3=a 1+2d ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1+3d =-3,a 1(a 1+d )(a 1+2d )=8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,d =-3,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-4,d =3.所以由等差数列通项公式可得a n =2-3(n -1)=-3n +5或a n =-4+3(n -1)=3n -7. 故a n =-3n +5或a n =3n -7.(2)当a n =-3n +5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n -7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|a n |=|3n -7|=⎩⎪⎨⎪⎧-3n +7,n =1,2,3n -7,n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n =1时,S 1=|a 1|=4; 当n =2时,S 2=|a 1|+|a 2|=5;当n ≥3时,S n =S 2+|a 3|+|a 4|+…+|a n |=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n -7)=5+(n -2)[2+(3n -7)]2=32n 2-112n +10.当n =2时,满足此式.综上可知,S n =⎩⎪⎨⎪⎧4,n =1,32n 2-112n +10,n >1.11.(2013·合肥模拟)数列{a n }的前n 项和记为S n ,a 1=t ,点(S n ,a n +1)在直线y =3x +1上,n ∈N *.(1)当实数t 为何值时,数列{a n }是等比数列.(2)在(1)的结论下,设b n =log 4a n +1,c n =a n +b n ,T n 是数列{c n }的前n 项和,求T n . 解:(1)∵点(S n ,a n +1)在直线y =3x +1上, ∴a n +1=3S n +1,a n =3S n -1+1(n >1,且n ∈N *). ∴a n +1-a n =3(S n -S n -1)=3a n , 即a n +1=4a n ,n >1.又a 2=3S 1+1=3a 1+1=3t +1,∴当t =1时,a 2=4a 1,数列{a n }是等比数列. (2)在(1)的结论下,a n +1=4a n ,a n +1=4n , b n =log 4a n +1=n . c n =a n +b n =4n -1+n ,T n =c 1+c 2+…+c n =(40+1)+(41+2)+…+(4n -1+n ) =(1+4+42+…+4n -1)+(1+2+3+…+n ) =4n -13+(1+n )n2.12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n +n =2a n (n ∈N *). (1)证明:数列{a n +1}为等比数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(2n +1)a n +2n +1,数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n -22n -1>2 013的n的最小值.解:(1)证明:因为S n +n =2a n ,即S n =2a n -n , 所以S n -1=2a n -1-(n -1)(n ≥2,n ∈N *). 两式相减化简,得a n =2a n -1+1. 所以a n +1=2(a n -1+1)(n ≥2,n ∈N *). 所以数列{a n +1}为等比数列. 因为S n +n =2a n ,令n =1,得a 1=1. a 1+1=2,所以a n +1=2n ,即a n =2n -1.(2)因为b n =(2n +1)a n +2n +1, 所以b n =(2n +1)·2n .所以T n =3×2+5×22+7×23+…+(2n -1)·2n -1+(2n +1)·2n ,① 2T n =3×22+5×23+…+(2n -1)·2n +(2n +1)·2n +1,② ①-②,得-T n =3×2+2(22+23+…+2n )-(2n +1)·2n +1=6+2×22-2n +11-2-(2n +1)·2n+1=-2+2n +2-(2n +1)·2n +1=-2-(2n -1)·2n +1. 所以T n =2+(2n -1)·2n +1.若T n -22n -1>2 013,则2+(2n -1)·2n +1-22n -1>2 013, 即2n +1>2 013.由于210=1 024,211=2 048,所以n +1≥11,即n ≥10. 所以满足不等式T n -22n -1>2 013的n 的最小值是10.1.设f (x )=4x 4x +2,若S =f ⎝⎛⎭⎫12 013+f ⎝⎛⎭⎫22 013+…+f ⎝⎛⎭⎫2 0122 013,则S =________. 解析:∵f (x )=4x 4x +2,∴f (1-x )=41-x 41-x +2=22+4x ,∴f (x )+f (1-x )=4x 4x +2+22+4x=1.S =f ⎝⎛⎭⎫12 013+f ⎝⎛⎭⎫22 013+…+f ⎝⎛⎭⎫2 0122 013,① S =f ⎝⎛⎭⎫2 0122 013+f ⎝⎛⎭⎫2 0112 013+…+f ⎝⎛⎭⎫12 013,② ①+②得2S =⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12 013+f ⎝⎛⎭⎫2 0122 013+⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫22 013+f ⎝⎛⎭⎫2 0112 013+…+ ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫2 0122 013+f ⎝⎛⎭⎫12 013=2 012,∴S =2 0122=1 006.答案:1 0062.求和S n =32+94+258+6516+…+n ·2n +12n .解:S n =32+94+258+8516+…+n ·2n +12n=⎝⎛⎭⎫1+12+⎝⎛⎭⎫2+14+⎝⎛⎭⎫3+18+⎝⎛⎭⎫4+116+…+⎝⎛⎭⎫n +12n=(1+2+3+…+n )+⎝⎛⎭⎫12+14+18+116+…+12n =n (n +1)2+12⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫12n 1-12=n (n +1)2-⎝⎛⎭⎫12n+1. 3.在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,其前n 项和S n 满足S 2n =a n ⎝⎛⎭⎫S n -12. (1)求S n 的表达式;(2)设b n =S n2n +1,求{b n }的前n 项和T n .解:(1)∵S 2n =a n ⎝⎛⎭⎫S n -12,a n =S n -S n -1(n ≥2), ∴S 2n =(S n -S n -1)⎝⎛⎭⎫S n -12, 即2S n -1S n =S n -1-S n ,① 由题意S n -1·S n ≠0,①式两边同除以S n -1·S n ,得1S n -1S n -1=2,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1,公差为2的等差数列.∴1S n =1+2(n -1)=2n -1.∴S n =12n -1. (2)又b n =S n 2n +1=1(2n -1)(2n +1)=12⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1, 故T n =b 1+b 2+…+b n=12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1-13+⎝⎛⎭⎫13-15+…+⎝⎛⎭⎫12n -1-12n +1 =12⎝⎛⎭⎫1-12n +1=n2n +1.4.设数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n -1a n =n 3,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项;(2)设b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和S n .解:(1)∵a 1+3a 2+32a 3+…+3n -1a n =n 3,①∴当n ≥2时,a 1+3a 2+32a 3+…+3n -2a n -1=n -13,② ①-②得3n -1a n =13,∴a n =13n .在①中,令n =1,得a 1=13,适合a n =13n ,∴a n =13n .(2)∵b n =na n,∴b n =n ·3n .∴S n =3+2×32+3×33+…+n ·3n ,③ ∴3S n =32+2×33+3×34+…+n ·3n +1.④ ④-③得2S n =n ·3n +1-(3+32+33+…+3n ), 即2S n =n ·3n +1-3(1-3n )1-3,∴S n =(2n -1)3n +14+34.。

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