量子力学思考题和讨论题

量子力学思考题

1、以下说法是否正确：

（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；

（2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。

（2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，

二者相吻合了。

2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？

解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数

)(r ϖψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ϖ

ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函

数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。

解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112

ψψψ

c c +=确定，2

ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2*

21*2

1ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。

4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。

（1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=；

（2）对其中的1c 与2c 是任意与r ϖ

无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。

（2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+= 已知1ψ和2ψ是体系的可能态，它们应满足波方程式 11ψψH t i =∂∂η

22ψψ

H t

i =∂∂η 如果1ψ和2ψ的线性叠加),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=也是体系的可能态，就必须满足波方程

式 ψψ

H t

i =∂∂η

，然而， ⎥

⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂++∂∂=∂∂dt dc dt

dc

i H c H c dt dc t c dt dc t

c i t i 221122112222111

1ψψψψψψψψψηηη

可见，只有当

021==dt dc dt dc 时，才有ψψψψ

H c c H t

i =+=∂∂)(2211η。 因此，),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=中，1c 与2c 应是任意复常数，而不是时间t 的复函数。如上式中ψ态不含时间，则有)()()(2211x c x c x ψψψ+=。

5、（1）波函数ψ与ψk 、ψα

i e 是否描述同一态？

（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？221122112121;;ψψψψψψα

αi i e c e c c c +++

这里21,c c 是复常数，21,αα是实常数。

解答：（1）ψ与ψk 、ψα

i e 描述的相对概率分布完全相同，如对空间1x 和2x 两点的相对概率

=

2

221)

()(x x ψψ=

2

221)

()(x k x k ψψ2

221)

()(x e x e i i ψψαα，故ψ与ψk 、ψα

i e 均描述同一态。

（2）由于任意复数θ

i e c c =，以及 2*

12*1*21*212

222112

2

211ψψψψψψψψc c c c c c c c +±+=± 显然，只有当复数c c c ==21，即c c c ==21，且αααi i i e e e ==21

时，

αααψψψψψψψψψψi i i e c e c e c c c c )(),(,

2122112122112121+=++=++均描述同一态。

6、量子力学规律的统计性与经典统计力学的统计规律有何不同？量子力学统计规律的客观基础是什么？ 解答：经典统计力学的基础是牛顿力学，例如一定量气体中每个气体分子在每个瞬时都有确定的位置和动量，每个分子都按牛顿运动定律而运动，而大量分子组成的体系存在着统计规律。例如，对个别分子不存在温度这个概念，处于平衡态的理想气体的温度是分子平均平动动能的量度。

与经典力学不同，量子力学不是像经典统计力学那样建立起来的宏观理论，波函数的统计解释是量子力学的理论结构中的基本假设。

在传统的解释中，量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性所决定的微观粒子的本质特性，是观测仪器对微观粒子的不可控制的作用的结果。如类似经典粒子那样，进一步问：统计性的微观实质是什么？依据是什么？则被认为是超出了基本假设限度，因而是没有意义的，也是没有必要的。 7、量子力学为什么要用算符表示力学量？表示力学量的算符为什么必须是线性厄密的？

解答：用算符表示力学量，是量子体系所固有的波粒二象性所要求的，这正是量子力学处理方法上的基本特点之一。我们知道，表示量子态的波函数是一种概率波，因此，即是在一确定的量子态中，也并非各力学量都有完全确定值，而是一般的表现为不同数值的统计分布，这就注定了经典力学量的表示方法（可由运动状态完全决定）不再使用，因此需要寻求新的表示方法。

下面从力学量的平均值的表示式出发，说明引入算符的必要性。 如果体系处于)(x ψ中，则它的位置平均值为 xdx x x 2

)(⎰

=ψ

类似地，它的动量的平均值也可表示为 pdx x p 2

)(⎰

=ψ

若要求出上述积分，必须将p 表示为x 的函数，然而这是做不到的，因为按不确定关系P(x)的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中用上式求动量平均值。我们可先在动量表象中求出动量平均值，然后再转换到坐标表象中去。

pdp p p 2

)

(⎰=ϕ

利用⎰-=

dx e x p ipx ηη/2/1)()

2(1

)(ψπϕ有 ⎰⎰⎰''=-'dxdp x d e x p x e p ipx x ip ηηη

/*/)()(21

ψψπ 作代换η

η

η

//ipx ipx e x

i pe

--∂∂=，并对x p ',积分得（推广到三维） τψψd r i r p )())((*ϖηϖ∇-=⎰