材料力学课件第8章 组合变形
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材料力学组合变形 ppt课件
FN F
M 42 153 0FN.m
（3）立柱横截面的最大应力
t.max
Mz0 Iy
FN A
F 350
M FN
425103 F 0.075 5.31105
15
F 103
667F Pa
c.max
Mz1 Iy
FN A
t.max
c.max
425103 F 0.125 F
5.31105
15103
中性轴方程
x
PMzy0 A Iz
Myz0 Iy
0
对于偏心拉压问题
PPyPy0 PzPz0 0
A Iz
Iy
中性轴
危险点 （距中性轴最远的点）
1 yPy0 zPz0 0
A Iz
I Wy
m
a
x
PMz A Wz
My Wy
例题
铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用 拉应力[t]＝30MPa，许用压应力[c]＝120MPa。试按立柱
1 242 0
22
25
M W
T Wt
1212 242
2 0
3212 242
第三强度理论：
r31 3
Wt 2W
r3 242[]
r3W 1 M2T2[]
26
M W
T Wt
1212 242
2 0
3212 242
第四强度理论：
r41 2 [(1 2)2 (2 3 )2 (3 1 )2]
r4 232[] r4W 1 M 20.7T 52[]
解：拉扭组合,危险点应力状态如图
F A
Me F
F 450 103 A 0.12
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学2-第八章-组合变形PPT课件
x
z
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m Pz
Py
y
LP
Pz
zj
Py P
y
② 应力
My引起的应力：
MyzMzcojs
Iy
Iy
M z引起的应力：
MzyMysijn
Iz
Iz
合应力： M(zcoj sysijn)
Iy
Iz
m
x
z
x
m Pz
Py
y
LP
Pz
zj
Py P
y
③ 中性轴方程 M(z0cojsy0sijn)0 中性轴
Iy
Iz
D2
tg y0 Iz ctgj
均布力作用， []=12MPa，许可挠度为L/200 ，E=9GPa，试选
择截面尺寸并校核刚度。
解：① 外力分析—分解q
yq
z
26°34´
q
A
B
L
qyqsin 80 0.0 44 375 N8/m
q z q co 8 s 0 0 .8 0 9 74 N 15 /m
Mzmaxqy8L235838240N 3m Myma xqz8L271 83 5280N4m
az
中性轴
1 yP y0 zPz0 0
iz2
iy2
ay
截面核心
已知 ay， az 后 ，
z
1
yPa y
i
2 z
0
1
z
Pa
i
2 y
z
0
P(zP,yP)
可求 P力的一个作用点 (zP,yP)
y
利用以上关系可确定截面核心的边界
例3 分别确定圆截面与矩形截面的截面核心.
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学课件第8章组合变形zym
§8—4 扭转与弯曲的组合 一、圆截面杆弯扭组合 实例： （一）实例： 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶Me。 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶 。 试建立轴的强度条件。 试建立轴的强度条件。 解： 1、确定危险点： 、确定危险点： （1）外力分析 ） F 计算简图： ①计算简图： Fτ 由 ∑ M x = 0 得： FD = Me 2 可确定F 由F可确定 τ。 可确定 外力分解： ②外力分解： 变形判断： ③变形判断： AB段扭转变形，BE段弯扭组合变 段扭转变形， 段弯扭组合变 段扭转变形 形，EC段弯曲变形。 段弯曲变形。 段弯曲变形
解： 、确定各边为中性轴时的压力作用点： 1、确定各边为中性轴时的压力作用点： b2 h2 2 iy = , iz2 = 12 12 h az = ∞ AB截距： a y = − , 截距： 截距 2 h2 iz2 12 = h , zF = 0 F作用点 坐标： yF = − = − 作用点a坐标 作用点 坐标： h 6 ay − 2 同样确定b,c,d点。 同样确定 点 2、连线 确定截面核心。 、连线a,b,c,d确定截面核心。 确定截面核心 解：
3 由： W ≥ M max = 12 ×10 N ⋅ m 6
[σ ]
100 × 10 Pa
= 12 × 10−5 m3 = 120cm3
查表选定16号工字钢。 查表选定 号工字钢。 号工字钢 （2）组合变形校核计算： ）组合变形校核计算： 16号工字钢：W=141cm3,A=26.1cm3 号工字钢： 号工字钢
2、应力状态分析 、 均为单向应力状态 单向应力状态。 均为单向应力状态。
'' σ A = σ ′ +σ A =
F (0.425m) F × (0.075m) + −3 2 15 ×10 m 5310 ×10−8 m 4
材料力学课件(组合变形)
截面核心是以O为中心，半径d/8的圆围成的 区域
（2）矩形截面 解：截面形心为点O 主惯性轴y、z 当中性轴切于边AB时
z A中性轴
b
12 o
y
C
B
h
截距
a y1
h 2
，a
z1
核心边界点1
yF1
iz2 a y1
h 6
，z
F1
i
2 y
az1
0
(iy
b 12
，iz
h) 12
类似地，可定点2
y F2
八、组合变形 （Combined deformation）
杆件有两种或两种以上基本变形的应力分量相当 两种基本变形组合的类型：
拉（压）+扭；拉（压）+弯；扭+弯；平面弯+平面弯
分析方法（线弹性、小变形假设下）： 按基本变形分解外力与内力 计算各基本变形的应力与 变形分量 根据叠加原理综合各基本变形的结果 确定组合变形的危险截面与危险点的应力状态
(1
zF z
i
2 y
yF iz2
y
)
在截面上线性分布
中性轴
1
zF z
i
2 y
z0
yF y iz2
y0
0
——不过形心C的直线
截矩
ay
iz2 yF
，az
iy2 zF
距离中性轴最远点：D1——tmax， D2——cmax
横截面外周边具有棱角时，最大正应力在角点上
最大正应力点处于单向应力状态，强度条件 max [ ] 截面形心的位移 w wy2 wz2 x2
练习： P288习题8-16
M I
（2）矩形截面 解：截面形心为点O 主惯性轴y、z 当中性轴切于边AB时
z A中性轴
b
12 o
y
C
B
h
截距
a y1
h 2
，a
z1
核心边界点1
yF1
iz2 a y1
h 6
，z
F1
i
2 y
az1
0
(iy
b 12
，iz
h) 12
类似地，可定点2
y F2
八、组合变形 （Combined deformation）
杆件有两种或两种以上基本变形的应力分量相当 两种基本变形组合的类型：
拉（压）+扭；拉（压）+弯；扭+弯；平面弯+平面弯
分析方法（线弹性、小变形假设下）： 按基本变形分解外力与内力 计算各基本变形的应力与 变形分量 根据叠加原理综合各基本变形的结果 确定组合变形的危险截面与危险点的应力状态
(1
zF z
i
2 y
yF iz2
y
)
在截面上线性分布
中性轴
1
zF z
i
2 y
z0
yF y iz2
y0
0
——不过形心C的直线
截矩
ay
iz2 yF
，az
iy2 zF
距离中性轴最远点：D1——tmax， D2——cmax
横截面外周边具有棱角时，最大正应力在角点上
最大正应力点处于单向应力状态，强度条件 max [ ] 截面形心的位移 w wy2 wz2 x2
练习： P288习题8-16
M I
材料力学精品课课件第八章组合变形
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
研究内容
斜弯曲
拉（压）弯组合变形 弯扭外力分析 内力分析 应力分析
目录
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
=
+
10-3
目录
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
t,max
=
+
c,max
c
F A
t,max
=
+
t,max
Fl W
c,max
Fl W
c,max
F 350 F
F 350
M
y1 z0 y
FN
z1
150
A 15000mm2 z0 75mm z1 125 mm I y 5.31107 mm4
50 （2）立柱横截面的内力
FN F
M F 350 75103
50
150
425F 103 N m
目录
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
A 15000mm2 I y 5.31107 mm4
解：（1）受力分析，作计算简图
150
200
目录
§8-4 扭转与弯曲的组合
300N.m 1400N
1500N
150
200
300N.m
128.6N.m
120N.m
F2R M e
F2
Me R
300 0.2
1500N
（2）作内力图
危险截面：E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
目录
塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形
第三强度理论：
r3
1 W
M 2 T 2 [ ]
§8-1 组合变形和叠加原理
研究内容
斜弯曲
拉（压）弯组合变形 弯扭外力分析 内力分析 应力分析
目录
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
=
+
10-3
目录
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
t,max
=
+
c,max
c
F A
t,max
=
+
t,max
Fl W
c,max
Fl W
c,max
F 350 F
F 350
M
y1 z0 y
FN
z1
150
A 15000mm2 z0 75mm z1 125 mm I y 5.31107 mm4
50 （2）立柱横截面的内力
FN F
M F 350 75103
50
150
425F 103 N m
目录
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
A 15000mm2 I y 5.31107 mm4
解：（1）受力分析，作计算简图
150
200
目录
§8-4 扭转与弯曲的组合
300N.m 1400N
1500N
150
200
300N.m
128.6N.m
120N.m
F2R M e
F2
Me R
300 0.2
1500N
（2）作内力图
危险截面：E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
目录
塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形
第三强度理论：
r3
1 W
M 2 T 2 [ ]
材料力学课件第8章 组合变形
例如，B截面上的弯矩按矢量相加所得的总弯矩MB为：
2 2 M B M yB M zB (364 N m) 2 (1000 N m) 2 1064 N m
31
太原科技大学应用科学学院
8.3 扭转与弯曲的组合
由Mz图和My图可知，B截面
上的总弯矩最大，并且由扭矩 图可见B截面上的扭矩与CD段 其它横截面上相同，TB＝-1000 N· m，于是判定横截面B为危 险截面。
8.3 扭转与弯曲的组合
例题8-3 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩 Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合 力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ〕=100MPa。试按第三 强度理论设计轴的直径d。
150
解：（1）受力分析，作计算简图
25
200
太原科技大学应用科学学院
挠度：
f f y2 f z2
fz
fy
Fy l 3 3EI z
Fz l 3 fz 3EI y
fz Iz tan tan fy Iy
f
fy
矩形
I y I z 正方形 I y I z
斜弯曲 平面弯曲
太原科技大学应用科学学院
19
8.3 扭转与弯曲的组合 l S F
2 2
第三强度理论：
r3 1 3
r3 2 4 2
1 r3 M 2 T 2 W
圆截面
22
Wt 2W
太原科技大学应用科学学院
8.3 扭转与弯曲的组合
M W T Wp
1 2 1 4 2 2 2 2 0 1 2 3 4 2 2 2
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
材料力学第八章组合变形的计算ppt文档
第八章 组合变形及连接部分的计算
故有中性轴的方程：
My Iy
z0
Mz Iz
y0 0
中性轴与y轴的夹角q（图a）为
taqnz0 Mz Iy Iy tan
y0 My Iz Iz
其中 角为合成弯矩 M My2 Mz2
与y的夹角。
第八章 组合变形及连接部分的计算
tanq Iy tan
Iz
这就表明，只要 Iy≠Iz ，中性轴的方向 就不与合成弯矩M的矢量重合，亦即合 成弯矩M 所在的纵向面不与中性轴垂直， 或者说，梁的弯曲方向不与合成弯矩M 所在的纵向面重合。正因为这样，通常 把这类弯曲称为斜弯曲。
强度条件为 r3 [] 或 r4 []
第八章 组合变形及连接部分的计算
注意到发生扭－弯变形的圆截面杆，其危险截面上危险点处：
M W
T T
Wp 2W
为便于工程应用，将上式代入式（a），（b）可得：
r3
M24T2 W 2W
M2T2 W
r4W M 232T W 2
M 20.7T 52 W
式中，M和T分别为危险截面上的弯矩和扭矩，W为圆截面的 弯曲截面系数。
在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则叠加） 再计算应力和位移，还是先计算各基本形式变形下的应力 或位移然后叠加，须视情况而定。
Ⅱ.连接件的实用计算
第八章 组合变形及连接部分的计算
连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接
处实际变形情况复杂。
螺栓连接（图a）中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压 缩）。
应该注意，挤压应力是连接件与被连接件之间的相互作 用，因而当两者的材料不同时，应校核许用挤压应力较低的 连接件或被连接件。工程上为便于维修，常采用挤压强度较 低的材料制作连接件。
材料力学第八章组合变形 PPT
m Fr 1020 Nm
(1) 连杆轴颈得强度计算
l 危险截面
连杆轴颈得中点
l 计算内力
取左半部分
M z R1 L / 2 (C C1) l / 2 1170 N m
M y H1 L / 2 553 Nm
My Qy T
Mz Qz
M
M
2 z
M
2 y
1290
Nm
T H1 r 510 Nm
Qz
B点得应力状态如图。
r4 2 3 2 96.7 MPa [ ] 安全
50
例题5 F1=0、5kN,F2=1kN,[]=160MPa、
(1)用第三强度理论计算 AB 得直径 (2)若AB杆得直径 d = 40mm,并在B端加一水平力
F3 = 20kN,校核AB杆得强度、
400
400
B
求:校核轴得强度。
解:
l 求外力
u 力偶矩
m 9549 N n
21.7 Nm
u 皮带张力
(F f ) D m 又 F f 600
2
F 465 N, f 135 N
u 齿轮作用力
Pn
cos 20
d1 2
m
Pn 925 N
l 将各力向轴线简化
P 870 N, Pr 316 N, m m, Fy f y 542 N, Fx fx 257 N
示例1 示例2
F1 产生弯曲变形 F2 产生拉伸变形 Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
F2
F1
F2
Fy
F
Fx
三、内力分析
横截面上内力
1、拉(压) :轴力 FN
弯矩 Mz
2、弯曲 剪力Fs
(1) 连杆轴颈得强度计算
l 危险截面
连杆轴颈得中点
l 计算内力
取左半部分
M z R1 L / 2 (C C1) l / 2 1170 N m
M y H1 L / 2 553 Nm
My Qy T
Mz Qz
M
M
2 z
M
2 y
1290
Nm
T H1 r 510 Nm
Qz
B点得应力状态如图。
r4 2 3 2 96.7 MPa [ ] 安全
50
例题5 F1=0、5kN,F2=1kN,[]=160MPa、
(1)用第三强度理论计算 AB 得直径 (2)若AB杆得直径 d = 40mm,并在B端加一水平力
F3 = 20kN,校核AB杆得强度、
400
400
B
求:校核轴得强度。
解:
l 求外力
u 力偶矩
m 9549 N n
21.7 Nm
u 皮带张力
(F f ) D m 又 F f 600
2
F 465 N, f 135 N
u 齿轮作用力
Pn
cos 20
d1 2
m
Pn 925 N
l 将各力向轴线简化
P 870 N, Pr 316 N, m m, Fy f y 542 N, Fx fx 257 N
示例1 示例2
F1 产生弯曲变形 F2 产生拉伸变形 Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
F2
F1
F2
Fy
F
Fx
三、内力分析
横截面上内力
1、拉(压) :轴力 FN
弯矩 Mz
2、弯曲 剪力Fs
材料力学课件ppt-8组合变形
z1 12m 5 m Iy 5.31107mm 4 （2）立柱横截面的内力
50 FN F
150
MF35075103
50
150
42F5103N.m
15
目录
§８-２拉（压）弯组合变形
A150m 00m 2
（2）立柱横截面的内力
z0 75mm
FN F
z1 12m 5 m
1 242 0
M W
T
22
m inx 2y1 2 xy24x 2y
Wp
1 242 0
22
33
目录
§８-4 弯扭组合变形
M W
T Wp
1212 242
2 0
3212 242
第三强度理论：
第八章 组合变形
1
目录
第八章 组合变形
§８-１ 组合变形和叠加原理 §８-２ 拉（压）与弯曲的组合 §８-４ 扭转与弯曲组合
目
2
目录
§８-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例
3
目录
§８-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例
10
4
压弯组合变形
目录
§８-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例
M 42 153 0FN.m
Iy 5.31107mm 4 （3）立柱横截面的最大应力
t.max
Mz0 Iy
FN A
F 350
M FN
425103 F 0.075 5.31105
F 15103
667FPa
c.max
Mz1 Iy
FN A
材料力学刘鸿文第六版最新课件第八章 组合变形
667 667
F c 160 106 171300N
934 934
许 可 压 力 为 F 45000N 45kN
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆 的强度。
4、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c ,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN
My
Байду номын сангаас
|z| 0
A
Iy
| z | FN I y A M y
+_
（-z y)
y -_
z
_
_
+
|z|
第三组
圆截面、弯扭组合变形
§8-4 扭转与弯曲的组合
扭转+双向弯曲
求合弯矩
M
2
M
2 y
M
2 z
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题1 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合 力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按 第三强度理论设计轴的直径d。
§8-1 组合变形和叠加原理
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
F c 160 106 171300N
934 934
许 可 压 力 为 F 45000N 45kN
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆 的强度。
4、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c ,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN
My
Байду номын сангаас
|z| 0
A
Iy
| z | FN I y A M y
+_
（-z y)
y -_
z
_
_
+
|z|
第三组
圆截面、弯扭组合变形
§8-4 扭转与弯曲的组合
扭转+双向弯曲
求合弯矩
M
2
M
2 y
M
2 z
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题1 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合 力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按 第三强度理论设计轴的直径d。
§8-1 组合变形和叠加原理
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
材力第8章组合变形PPT课件
已知: 皮带张力 F1=3.9kN, F2=1.5kN,两带轮直径均为
600mm,轴的[]=80MPa，
试:按第三第四强度理论选 择轴的直径。
解：1. 画计算简图
FDF CF 1F 25.4kN
2m . D 计算m C 支座F 1 反力F 2D 2 轮 0.7k2N m
FAy3.6kN FB,y1.8kN
叠加法： “先分后合”——将外力进行分解简化，得到
几种基本变形，分别计算应力变形，再进行叠加。
叠加法应用条件： 1）线弹性范围；2）小变形。
§8.2 拉伸(或压缩)与弯曲的组合
返回目录
一、外力分析
Fx Fcos ——拉
Fy Fsin ——弯
二、内力分析
固定端为危险面
轴力： FN Fx
弯矩： MmaxFyl
Fx 0
FAx40kN
Fy 0
FAy 4.8kN
FAx40kN,FAy 4.8kN
Fx 40kN, Fy 12.8kN
解： 2. 作内力图
C为危险截面 3. 分析C截面应力
max压maxFANM W max
查型钢表得16号工字钢
W141cm3, A26.13cm2
max10.40MPa
[]10M 0 Pa
r4W 1 MD 2合0.7T 5D 2 3d23 1.63kNm
d59.2mm
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
拉 ma x拉 max
600mm,轴的[]=80MPa，
试:按第三第四强度理论选 择轴的直径。
解：1. 画计算简图
FDF CF 1F 25.4kN
2m . D 计算m C 支座F 1 反力F 2D 2 轮 0.7k2N m
FAy3.6kN FB,y1.8kN
叠加法： “先分后合”——将外力进行分解简化，得到
几种基本变形，分别计算应力变形，再进行叠加。
叠加法应用条件： 1）线弹性范围；2）小变形。
§8.2 拉伸(或压缩)与弯曲的组合
返回目录
一、外力分析
Fx Fcos ——拉
Fy Fsin ——弯
二、内力分析
固定端为危险面
轴力： FN Fx
弯矩： MmaxFyl
Fx 0
FAx40kN
Fy 0
FAy 4.8kN
FAx40kN,FAy 4.8kN
Fx 40kN, Fy 12.8kN
解： 2. 作内力图
C为危险截面 3. 分析C截面应力
max压maxFANM W max
查型钢表得16号工字钢
W141cm3, A26.13cm2
max10.40MPa
[]10M 0 Pa
r4W 1 MD 2合0.7T 5D 2 3d23 1.63kNm
d59.2mm
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
拉 ma x拉 max
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3.应力分析 画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基
本变形下的应力和变形叠加,建立危险点的强度条件
=
+
=
+
+
思考：试分析下图所示杆件各段杆的变形类型
求内力方法
§8-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合
一、受力特点
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力
二、变形特点
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形
FN F M y [(35 7.5) 102 ]F 42.5 102 F
F 350
F
n
z0 y z1
n 150 z
50
150
50 F
n
n
FN My
由轴力 FN产生的拉伸正应力为
FN F MPa
A 15
F 350
F
n
拉
z0 y z1
n
z 150
50 150
50 F
由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为
叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
叠加原理的应用条件
在小变形和线弹性条件下， 杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响；
即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变 形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可 以忽略）；
因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下杆 件内应力的叠加；
第八章 组合变形
§8-1 组合变形和叠加原理
§8-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 §8-3 偏心拉（压）•截面核心 §8-4 扭转与弯曲的组合
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形的概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件 的变形称为组合变形.
二、解决组合变形问题的基本方法－叠加法
示例1 F1 产生弯曲变形
F2
F1
F2
示例2
F2 产生拉伸变形 Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
三、内力分析
横截面上内力
1.拉(压) :轴力 FN
弯矩 Mz
2.弯曲 剪力Fs
FSMz
O
z x
FN
y
因为剪力引起的切应力较小,故一般不考虑.
四、应力分析
横截面上任意一点 （ z, y） 处的正应 力计算公式为
50 150
F 350 F
z0 y z1
z 150
50
50 150
解：（1）确定形心位置 A=1510-3 m2 z0 =7.5 cm 计算截面对中性轴 y 的惯性矩 Iy = 5310 cm4
F 350
F
n
z0 y z1
z n 150
50
50 F
150
n
n
FN y
（2） 分析立柱横截面上的内力和应力 在 n-n 截面上有轴力 FN及弯矩 My
tmax
M y z0 Iy
425 7.5F MPa 5310
()
cmax
M y z1 Iy
425 12.5F 5310
MPa
()
n
n
FN My
F 350
F
n
拉
z0 y z1
n
z 150
50 150
50 F
压
n
n
FN My
（3）叠加 在截面内侧有最大拉应力
t max
tmax
F 15
425 7.5F 5310
F
Fy
FNAB
30°
B
D Fx
cmax
0.866F A
0.6F Wz
94.37MPa [ ]
例题2 小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力
[t] =30MPa ,许用压应力 [c] =160MPa.试按立柱的强度确定压
力机的许可压力F.
F 350 F
z0 y z1
z 150
50
用应力为[]=125MPa.校核横梁AB的强度.
解：（1） 分析AB的受力情况
C
M A 0 FNAB sin30 2.4 1.2F 0
FNAB F
Fx 0 FRAx 0.866F
A
30°
B
D
1.2m F 1.2m
Fy 0 FRAy 0.5F
FRAy
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形
[ t ]
[F] 45.1 kN
F 350
F
n
拉
z0 y z1
n
z 150
50 150
50 F
压
n
n
FN My
在截面外侧有最大压应力
cmax
cmax
F 42512.5F A 5310
[ c ]
[F] 171.3 kN
所以取 [F] 45.1 kN
例题3 正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面面积为原来截
tmax [ t ]
cmax [ c ]
=
+
Fl F
t ,max
Wy
A
t,max
c ,max
Fl
Wy
F A
c,max
=
c
F A
t,max
+
c,max
例题1 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载F= 34kN,横梁材料的许
面面积的一半.求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几
倍.
F
F
aa
aa
解： 未开槽前立柱为轴向压缩
1
FN A
F A
F (2a)2
F 4a 2
组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形的应力及 叠加法为基础。
z
a
b
c
F2
A
F1
x
P
y B
四、处理组合变形的基本方法
1.外力分析 将外力按静力等效简化并分解,将组合变形分解为基本变形,
使之每个力（或力偶）对应一种基本变形 2.内力分析
求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分 别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形
F2
F2
F2
A
l/2 l/2
拉伸正应力 最大弯曲正应力
F2
A
max
Mmax W
F1l 4W
杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为
Mmax
W
-
t max
max
F2 A
F1l 4W
五、强度条件
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件 为:
max [ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立 杆件的抗拉和抗压强度条件.
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面的确定
作内力图
F1
轴力
FN F2
弯矩
F2
F2
l/2 l/2
Mmax
F1l 4
所以跨中截面是杆的危险截面
F2
x
FN图 F1l/4
x
M图
4.计算危险点的应力 F1
Fy
FNAB
中间截面为危险截面.最大压应力 FRAx A
30°
B
发生在该截面的上边缘
F D Fx
（2） 压缩正应力
C
FRAx 0.866F
A
A
（3） 最大弯曲正应力
max
1.2FR Ay Wz
0.6F Wz
（4）危险点的应力
A
30°
B
D
1.2m F 1.2m
FRAy FRAx A
本变形下的应力和变形叠加,建立危险点的强度条件
=
+
=
+
+
思考：试分析下图所示杆件各段杆的变形类型
求内力方法
§8-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合
一、受力特点
作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力
二、变形特点
杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形
FN F M y [(35 7.5) 102 ]F 42.5 102 F
F 350
F
n
z0 y z1
n 150 z
50
150
50 F
n
n
FN My
由轴力 FN产生的拉伸正应力为
FN F MPa
A 15
F 350
F
n
拉
z0 y z1
n
z 150
50 150
50 F
由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为
叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
叠加原理的应用条件
在小变形和线弹性条件下， 杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响；
即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变 形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可 以忽略）；
因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下杆 件内应力的叠加；
第八章 组合变形
§8-1 组合变形和叠加原理
§8-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 §8-3 偏心拉（压）•截面核心 §8-4 扭转与弯曲的组合
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形的概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件 的变形称为组合变形.
二、解决组合变形问题的基本方法－叠加法
示例1 F1 产生弯曲变形
F2
F1
F2
示例2
F2 产生拉伸变形 Fy 产生弯曲变形 Fx 产生拉伸变形
Fy
F
Fx
三、内力分析
横截面上内力
1.拉(压) :轴力 FN
弯矩 Mz
2.弯曲 剪力Fs
FSMz
O
z x
FN
y
因为剪力引起的切应力较小,故一般不考虑.
四、应力分析
横截面上任意一点 （ z, y） 处的正应 力计算公式为
50 150
F 350 F
z0 y z1
z 150
50
50 150
解：（1）确定形心位置 A=1510-3 m2 z0 =7.5 cm 计算截面对中性轴 y 的惯性矩 Iy = 5310 cm4
F 350
F
n
z0 y z1
z n 150
50
50 F
150
n
n
FN y
（2） 分析立柱横截面上的内力和应力 在 n-n 截面上有轴力 FN及弯矩 My
tmax
M y z0 Iy
425 7.5F MPa 5310
()
cmax
M y z1 Iy
425 12.5F 5310
MPa
()
n
n
FN My
F 350
F
n
拉
z0 y z1
n
z 150
50 150
50 F
压
n
n
FN My
（3）叠加 在截面内侧有最大拉应力
t max
tmax
F 15
425 7.5F 5310
F
Fy
FNAB
30°
B
D Fx
cmax
0.866F A
0.6F Wz
94.37MPa [ ]
例题2 小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力
[t] =30MPa ,许用压应力 [c] =160MPa.试按立柱的强度确定压
力机的许可压力F.
F 350 F
z0 y z1
z 150
50
用应力为[]=125MPa.校核横梁AB的强度.
解：（1） 分析AB的受力情况
C
M A 0 FNAB sin30 2.4 1.2F 0
FNAB F
Fx 0 FRAx 0.866F
A
30°
B
D
1.2m F 1.2m
Fy 0 FRAy 0.5F
FRAy
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形
[ t ]
[F] 45.1 kN
F 350
F
n
拉
z0 y z1
n
z 150
50 150
50 F
压
n
n
FN My
在截面外侧有最大压应力
cmax
cmax
F 42512.5F A 5310
[ c ]
[F] 171.3 kN
所以取 [F] 45.1 kN
例题3 正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面面积为原来截
tmax [ t ]
cmax [ c ]
=
+
Fl F
t ,max
Wy
A
t,max
c ,max
Fl
Wy
F A
c,max
=
c
F A
t,max
+
c,max
例题1 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载F= 34kN,横梁材料的许
面面积的一半.求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几
倍.
F
F
aa
aa
解： 未开槽前立柱为轴向压缩
1
FN A
F A
F (2a)2
F 4a 2
组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形的应力及 叠加法为基础。
z
a
b
c
F2
A
F1
x
P
y B
四、处理组合变形的基本方法
1.外力分析 将外力按静力等效简化并分解,将组合变形分解为基本变形,
使之每个力（或力偶）对应一种基本变形 2.内力分析
求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分 别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形
F2
F2
F2
A
l/2 l/2
拉伸正应力 最大弯曲正应力
F2
A
max
Mmax W
F1l 4W
杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为
Mmax
W
-
t max
max
F2 A
F1l 4W
五、强度条件
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件 为:
max [ ]
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立 杆件的抗拉和抗压强度条件.
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面的确定
作内力图
F1
轴力
FN F2
弯矩
F2
F2
l/2 l/2
Mmax
F1l 4
所以跨中截面是杆的危险截面
F2
x
FN图 F1l/4
x
M图
4.计算危险点的应力 F1
Fy
FNAB
中间截面为危险截面.最大压应力 FRAx A
30°
B
发生在该截面的上边缘
F D Fx
（2） 压缩正应力
C
FRAx 0.866F
A
A
（3） 最大弯曲正应力
max
1.2FR Ay Wz
0.6F Wz
（4）危险点的应力
A
30°
B
D
1.2m F 1.2m
FRAy FRAx A