极点极线题

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高考数学定比点差法齐次化极点极线问题蝴蝶问题(解析版)

定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题【题型归纳目录】题型一：定比点差法题型二：齐次化题型三：极点极线问题题型四：蝴蝶问题【典例例题】题型一：定比点差法例1.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF =3FB ，求k【解析】由e =32，可设椭圆为x 24+y 2=m 2(m >0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，F (3m ,0)，由AF =3FB ，所以3m =x 1+3x 21+30=y 1+3y 21+3，⇒x 1+3x 2=43m y 1+3y 2=0 ．又x 124+y 12=m 2(1)x 224+y 22=m 2(2) 按λ配型(2)×9 x 124+y 12=m 2(1)9x 224+9y 22=9m 2(3) 由(1)-(3)得(x 1+3x 2)(x 1-3x 2)4+(y 1+3y 2)(y 1-3y 2)=-8m 2⇒x 1-3x 2=-833m ，又x 1+3x 2=43m ⇒x 1=233m ⇒A 23m 3,±6m 3．又F (3m ,0)⇒k =±2．例2.已知x 29+y 24=1，过点P (0,3)的直线交椭圆于A ，B (可以重合)，求PA PB 取值范围．【解析】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，P (0,3)，由AP =λPB ，所以0=x 1+λx 21+λ3=y 1+λy 21+λ⇒x 1+λx 2=0y 1+λy 2=3(1+λ) ．由4x 12+9y 12=36(1)4x 22+9y 22=36(2) 配比(2)×λ2 4x 12+9y 12=36(1)4λ2x 22+9λ2y 22=36(3) 由(1)-(3)得：⇒4x 1+λx 2 x 1-λx 2 +9y 1+λy 2 y 1-λy 2 =361-λ2⇒y 1-λy 2 =41-λ 3，又y 1+λy 2=31+λ ⇒y 1=13+5λ6，又y 1∈-2,2 ⇒λ∈-5,-15 ，从而PA PB=λ ∈15,5 ．例3.已知椭圆x 26+y 22=1的左右焦点分别为F 1，F 2，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且PF 1 =λF 1A ，PF 2 =μF 2B 若λ=2，求μ的值．【解析】设P x 0,y 0 ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，，由PF 1 =λF 1A ，PF 2 =μF 2B 得①F 1-c ,0 满足-c =x 0+λx 11+λ0=y 0+λy 11+λ⇒x 0+λx 1=-c 1+λ y 0+λy 1=0 F 2c ,0 满足c =x 0+μx 21+μ0=y 0+μy 21+μ⇒x 0+μx 2=-c 1+μ y 0+μy 2=0 ②由x 02a 2+y 02b 2=1(1)x 12a 2+y 12b 2=1(2) ⇒x 02a 2+y 02b 2=1(1)λ2x 12a 2+λ2y 12b2=λ2(3) ③由(1)-(3)得：x 0-λx 1 x 0+λx 1 a 2+y 0-λy 1 y 0+yx 1 b2=1-λ2⇒x 0-λx 1 x 0+λx 1 1-λ 1+λ =a 2⇒x 0-λx 1 =-a 2c 1-λ ，又x 0+λx 1 =-c 1+λ ⇒2x 0=a 2-c 2c λ-a 2+c 2c ，同理可得2x 0=-a 2-c 2c μ+a 2+c 2c⇒a 2-c 2c λ+μ =2⋅a 2+c 2c ⇒λ+μ =2⋅a 2+c 2a 2-c 2=10⇒μ=8．题型二：齐次化例4.已知抛物线C :y 2=4x ，过点(4,0)的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．证明：∠POQ =90°．【解析】直线PQ :x =my +4,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2由x =my +4，得1=x -my 4则由x =my +4y 2=4x ，得：y 2=4x ⋅x -my 4，整理得：y x 2+m y x -1=0，即：y 1x 1⋅y 2x 2=-1．所以k OP ⋅k OQ =y 1y 2x 1x 2=-1，则OP ⊥OQ ，即：∠POQ =90°．例5.椭圆E :x 22+y 2=1，经过点M (1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A (0,-1)，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．【解析】设直线PQ :mx +n (y +1)=1,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2则m +2n =1．由mx +n (y +1)=1x 22+y 2=1，得：x 22+[(y +1)-1]2=1．则x 22+(y +1)2-2(y +1)[mx +n (y +1)]=0，故(1-2n )y +1x2-2m y +1x +12=0．所以y 1+1x 1+y 2+1x 2=2m 2n -1=2.即k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=2.例6.已知椭圆C :x 24+y 2=1，设直线l 不经过点P 2(0,1)且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：直线l 过定点．【解析】设直线l :mx +n (y -1)=1．．．．．．(1)由C :x 24+y 2=1，得x 24+[(y -1)+1]2=1即：x 24+(y -1)2+2(y -1)=0．．．．．．(2)由(1)(2)得：x 24+(y -1)2+2(y -1)[mx +n (y -1)]=0整理得：(1+2n )y -1x 2+2m ⋅y -1x +14=0则k P 2A +k P 2B =y 1-1x 1+y 2-1x 2=-2m 1+2n=-1，则2m =2n +1，代入直线l :mx +n (y -1)=1，得：l :(2n +1)x +2n (y -1)=2显然，直线过定点(2,-1)．题型三：极点极线问题例7.已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过A (-2，0)，B (0，1)两点．(1)求椭圆M 的离心率；(2)设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上(P 不与椭圆M 的顶点重合)，直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．【解析】(1)因为点A (-2,0)，B (0,1)都在椭圆M 上，所以a =2，b =1．所以c =a 2-b 2=3．所以椭圆M 的离心率e =c a =32．(2)由(1)知椭圆M 的方程为x 24+y 2=1，C (2,0)．由题意知：直线AB 的方程为x =2y -2．设P (x 0,y 0)(y 0≠0，y 0≠±1)，Q (2y Q -2,y Q )，S (x S ,0)．因为C ,P ,Q 三点共线，所以有CP ⎳CQ ，CP =(x 0-2,y 0),CQ =(2y Q -2-2,y Q )，所以(x 0-2)y Q =y 0(2y Q -4)．所以y Q =4y 02y 0-x 0+2．所以Q 4y 0+2x 0-42y 0-x 0+2,4y 02y 0-x 0+2．因为B ,S ,P 三点共线，所以1-x s =y 0-1x 0，即x s =x 01-y 0．所以S x 01-y 0,0．所以直线QS 的方程为x =4y 0+2x 0-42y 0-x 0+2-x 01-y 04y 02y 0-x 0+2y +x 01-y 0，即x =x 02-4y 02-4x 0y 0+8y 0-44y 0(1-y 0)y +x 01-y 0．又因为点P 在椭圆M 上，所以x 02=4-4y 02．所以直线QS 的方程为x =2-2y 0-x 01-y 0(y -1)+2．所以直线QS 过定点(2,1)．例8.若双曲线x 2-y 2=9与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)共顶点，且它们的离心率之积为43．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线A 1P 与A 2Q 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1-15k 2=0．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)由已知得双曲线的离心率为2，又两曲线离心率之积为43，所以椭圆的离心率为223；由题意知a =3，所以c =22，b =1．所以椭圆的标准万程为x 29+y 2=1．(2)当直线l 的斜率为零时，由对称性可知：k 1=-k 2≠0，不满足k 1-15k 2=0，故直线l 的斜率不为零．设直线l 的方程为x =ty +n ，由x =ty +n x 29+y 2=1，得：t 2+9 y 2+2tny +n 2-9=0，因为直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，所以Δ=4t 2n 2-4t 2+9 n 2-9 >0，整理得：t 2-n 2+9>0，设P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2tn t 2+9，y 1y 2=n 2-9t 2+9，k 1=y 1x 1+3，k 2=y 2x 2-3．因为k 1-15k 2=0，所以15=k 1k 2=y 1x 1+3y 2x 2-3=y 1x 2-3 y 2x 1+3 =y 1ty 2+n -3 y 2ty 1+n +3 ，整理得：4ty 1y 2+5(n -3)y 1-(n +3)y 2=0，4ty 1y 2+5(n -3)y 1+y 2 =(6n -12)y 2，将y 1+y 2=-2tn t 2+9，y 1y 2=n 2-9t 2+9代入整理得：t (n -2)(n -3)=(2-n )t 2+9 y 2要使上式恒成立，只需n =2，此时满足t 2-n 2+9>0，因此，直线l 恒过定点2,0 ．例9.如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA QB =PA PB 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知，点(2,1)在椭圆E 上.因此，2a 2+1b 2=1,a 2-b 2=c 2,c a =22,解得a =2,b =2.所以椭圆的方程为x 24+y 22=1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则|QC ||QD |=|PC ||PD |=1，即|QC |=|QD |.所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0,y 0).当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则M (0,2),N (0,-2)，由|QM ||QN |=|PM ||PN |，有|y 0-2||y 0+2|=2-12+1，解得y 0=1或y 0=2.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为Q (0,2).下面证明：对任意的直线l ，均有|QA ||QB |=|PA ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y =kx +1，A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).联立x 24+y 22=1y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx -2=0.其判别式Δ=16k 2+8(2k 2+1)>0，所以，x 1+x 2=-4k 2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1.因此1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=2k .易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为B (-x 2,y 2).又k QA =y 1-2x 1=k -1x 1,k QB =y 2-2-x 2=-k +1x 2=k -1x 1，所以k QA =k QB，即Q ,A ,B 三点共线.所以|QA ||QB |=|QA ||QB |=|x 1||x 2|=|PA ||PB |.故存在与P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |=|PA ||PB |恒成立.变式1.已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点.【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ，B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3 x +3 ，即：y =y09x +3联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 .同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1当y 20≠3时，∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1 =6y 0y 02+9--2y 0y 02+1 -3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1 ，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04 x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02 x -32所以直线CD 过定点32,0 ．当y 20=3时，直线CD ：x =32，直线过点32,0 ．故直线CD 过定点32,0 ．变式2.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F 1(-3,0)，且过点P 32,134 .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线x =1上任意一点，直线A 1Q ，A 2Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)椭圆的一个焦点F 1-3,0 ，则另一个焦点为F 23,0 ,由椭圆的定义知:PF 1+PF 2=2a ，代入计算得a =2．又b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设Q 1,t ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则直线A 1Q :y =t 3x +2 ，与x 24+y 2=1联立，解得M -8t 2+184t 2+9,12t 4t 2+9同理N 8t 2-24t 2+1,4t 4t 2+1所以直线MN 的斜率为12t 4t 2+9-4t 4t 2+1-8t 2+184t 2+9-8t 2-24t 2+1=-2t 4t 2+3所以直线MN :y -12t 4t 2+9=-2t 4t 2+3x --8t 2+184t 2+9 =-2t 4t 2+3x -4 所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为4,0变式3.设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1)，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |，证明：点Q 总在某定直线上．【解析】(1)因为椭圆的左焦点为F 1-2,0 ，所以c =2，设椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-2=1，又因为椭圆过点M (2,1)，所以2a 2+1a 2-2=1，解得a 2=4,b 2=2所以椭圆方程为：x 24+y 22=1；(2)设直线AB 的参数方程是x =4+t cos αy =1+t sin α ，(t 为参数)，代入椭圆方程x 24+y 22=1，得：cos 2α+2sin 2α t 2+(8cos α+4sin α)t +14=0．由|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |，得|AP |(|QP |-|PB |)=(|AP |-|QP |)|PB |，即|QP |(|AP |+|PB |)=2|AP |⋅|PB |，则t Q =2t A t B t A +t B =-288cos α+4sin α，点Q 轨迹的参数方程是x =4-28cos α8cos α+4sin αy =1-28sin α8cos α+4sin α，则8(x -4)+4(y -1)=-28，所以点Q 在定直线2x +y -2=0上题型四：蝴蝶问题例10.在平面直角坐标系中，已知圆M :x +2 2+y 2=36，点N 2,0 ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线与半径MQ 相交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E 。

圆锥曲线的极点与极线问题

圆锥曲线的极点与极线问题
摘要：
一、圆锥曲线的极点与极线的概念与定义
二、圆锥曲线极点与极线的重要结论
三、如何证明圆锥曲线中极点极线的性质
四、极点极线在圆锥曲线解题中的应用
正文：
一、圆锥曲线的极点与极线的概念与定义
圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它可以用来描述各种物理现象。

极点与极线是圆锥曲线中的两个重要概念。

极点是指圆锥曲线上某一点的切线与过该点的直径的交点，而极线则是指过圆锥曲线上一点的切线与该点关于直径的对称点的连线。

二、圆锥曲线极点与极线的重要结论
在研究圆锥曲线的极点与极线时，我们可以发现一些重要的结论。

例如，对于椭圆和双曲线，它们的极点与极线总是相互垂直的。

而对于抛物线，其极点与极线则共线。

这些结论对于理解和解决圆锥曲线的相关问题非常有帮助。

三、如何证明圆锥曲线中极点极线的性质
要证明圆锥曲线中极点极线的性质，我们需要运用一些几何和数学知识。

首先，我们可以通过画图和观察来发现一些初步的结论。

然后，我们可以运用数学的证明方法，如代数证明、几何证明等，来证明这些结论的正确性。

四、极点极线在圆锥曲线解题中的应用
在解决圆锥曲线的相关问题时，极点极线的概念和性质可以给我们提供很多帮助。

例如，在求解圆锥曲线的切线问题时，我们可以通过找到极点和极线来简化问题。

在解决圆锥曲线与直线的交点问题时，我们也可以通过极点极线来找到答案。

2023全国乙卷理科第20题极点极线

2023全国乙卷理科第20题极点极线【导读】极点与极线是解析几何中的重要概念，它们在数学领域中有着广泛的应用。

本文将深入探讨极点与极线的定义、性质和应用，并共享对这一主题的个人理解。

【正文】一、极点与极线的定义1. 极点的定义极点是与给定圆的两条切线相交的一个点，这两条切线是从极点到圆上的两个不同点的切线。

在平面直角坐标系中，给定一点 P(x1, y1)，以及一个圆 C：(x - a)² + (y - b)² = r²。

点 P 是圆 C 的极点，当且仅当从 P 到圆 C 上的任意一点 Q 的斜率相等。

即∠OPQ为直角，其中O(a, b) 是圆 C 的圆心。

2. 极线的定义过给定点和给定圆的两条切线所确定的交点的轨迹叫做极线。

根据定义，极线是由圆 C 的所有极点所决定。

在平面直角坐标系中，假设圆的方程是(x - a)² + (y - b)² = r²，圆的极线可以表示为下面形式的方程：xx1 + yy1 = a(x + x1) + b(y + y1) + r²。

这里，(x1, y1) 是圆的极点。

二、极点与极线的性质1. 极点的性质（1）极点坐标的性质通过上述定义，可得到极点P(x1, y1) 的坐标对称形式是P′(-x1, -y1)。

意味着，极点 P 关于圆心 O 对称。

（2）极点的存在性对于给定圆 C，如果有直角坐标系中的点 P（x，y）满足OP⊥OQ，那么点 P 就是圆 C 的极点。

2. 极线的性质（1）极线的对称性已知圆 C 关于 X 轴和 Y 轴的极线方程为 a1x + b1y + c1 = 0 和 a2x + b2y + c2 = 0。

易得，关于 X 轴和 Y 轴的两条极线方程互为对称。

（2）极线的交点性质两条极线的交点坐标为(-ab/a1 - a2, -ab/b1 - b2, 非常重要)。

三、极点与极线的应用1. 应用一：极点极线在密码学中的应用极点极线广泛应用于密码学领域，尤其是在椭圆曲线密码学中。

圆锥曲线中的极点极线问题(学生版)-高中数学

圆锥曲线中的极点极线问题考情探究命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线极点极线的定义2.理解、掌握圆锥曲线的极点极线问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解1.极点极线的定义如图,设P 是不在圆雉曲线上的一点,过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E ,F ,G ,H ,连接EH ,FG 交于N ,连接EG ,FH 交于M ,则直线MN 为点P 对应的极线.若P 为圆雉曲线上的点,则过P 点的切线即为极线.同理,PM 为点N 对应的极线,PN 为点M 所对应的极线.因而将△MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线于点A ,B 两点,则P A ,PB 恰为圆锥曲线的两条切线.2.其他定义对于圆锥曲线C :Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0,已知点P x 0,y 0 (非中心)及直线l :Ax 0x +B ⋅x 0y +y 0x 2+Cy 0y +D ⋅x +x 02+E ⋅y 0+y 2+F =0,则称点P x 0,y 0 是直线l 关于圆锥曲线C 的极点,直线l 称为点P 关于圆锥曲线C 的极线。

配极原则:共线点的极线必共点,共点线的极点必共点。

3.替换原则x0x →x 2,x 0y +y 0x 2→xy ,y 0y →y 2,x +x 02→x ,y +y 02→y .4.极点极线的几何意义(以椭圆为例)已知椭圆方程:x2a2+y2b2=1,设点P x0,y0的极线l:x0xa2+y0yb2=1.(1)当点P x0,y0在椭圆上时,极线l是以点P为切点的切线。

(极点在极线上)(2)当点P在椭圆外时,极线l与椭圆相交,且为由P点向椭圆所引切线的切点弦所在直线。

(3)当点P在椭圆内时,极线l与椭圆相离,极线l为经过点P的弦在两端点处的切线交点的轨迹,且极线l与以点P为中点的弦所在的直线平行。

(完整)极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试题王文彬（江西省抚州市第一中学 344000）极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，试题的命题背景 . 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律1. 从几何角度看极点与极线定义 1如图 1，设 P 是不在圆锥曲线上的一点，过 P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H ，连接 EH ,FG 交于 N ，连接 EG,FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线 . 若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线 .由图 1 同理可知， PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 M 所对应的极线 .因而将 MNP 称为自极三点形 .设直线 MN 交圆锥曲线于点 A,B 两点，则 PA,PB 恰为圆锥曲线的两条切线 .定理 1（1）当 P 在圆锥曲线上时，则点 P 的极线是曲线在 P 点处的切线；（2）当 P 在外时，过点 P 作的两条切线，设其切点分别为 A, B ，则点 P 的极线是直线 AB （即切点弦所在的直线）；（3）当P 在内时，过点 P 任作一割线交于A,B ，设在A, B 处的切线交于点 Q ，则点 P 的极线是动点 Q的轨迹 .自然也会成为高考只有这样，才能“识定理 2 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线的极线为①；反之，若有①成立，则称点 P,Q 调和分割线段关于圆锥曲线的调和共轭点为点 Q （或点 P ）. 点 P 关于圆锥曲线和共轭点是一条直线，这条直线就是点 P 的极线 .推论 1 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线的调和共轭2 1 1点为点 Q ，则有 ②；反之，若有②成立， PQ PA PB 则点 P 与 Q 关于调和共轭 .可以证明①与②是等价的 . 事实上，由①有 211 PQPA PB .特别地，我们还有推论 2 如图 3，设点的中心，则有 OR 2证明：设直线 PR PR PA PB l ，过点 P 任作一割线交于 A,B ，交l 于Q ，则 AQ BQ P （或点 Q ）的调即可得 PR RQ RQ RQ2OR 2 OPPR ，即点P 关于有心圆锥曲线（设其中心为 O ）的调和共轭点为点 Q ， PQ 连线经过圆锥曲线OQ ，反之若有此式成立，则点的另一交点为 R ，则 OR OP OR ，化简 OR OQ OR OQ OP PQ 与 OPP 与 Q 关于调和共轭 . OQ . 反之由此式可推出P 与 Q 关于调和共轭 . 推论 3 如图 4， A,B 圆锥曲线的一条P图2AB ，或称点 R图 3对称轴 l 上的两点 (不在上)，若 A,B 关于调和共轭，过 B 任作的一条割线，交于 P,Q 两点，则 PAB QAB .证明：因关于直线 l 对称，故在上存在 P,Q 的对称点 P,Q .若 P 与Q 重合，则 Q 与P 也重合，此时P,Q 关于 l 对称，有 PAB QAB ；若 P 与 Q 不重合，则 Q 与 P 也不重合，由于 A,B 关于调和共轭，故 A,B为上完全四点形 PQ QP 的对边交点，即 Q 在 PA 上，故 AP,AQ 关于直线 l 对称，也有 PAB QAB .定理 3(配极原则 )点 P 关于圆锥曲线的极线 p 经过点 Q 点 Q 关于的极线 q 经过点 P ；直线 p 关于的极点 P 在直线 q 上直线 q 关于的极点Q 在直线 p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线 . 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【 1】，其中定理 1 的初等证法可参阅文【 2】.2. 从代数角度看极点与极线定义 2 已知圆锥曲线 : Ax 2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0 ，则称点 P(x 0, y 0) 和直线 l : Ax 0x Cy 0y D(x x 0)E(y y 0) F 0是圆锥曲线的一对极点和极线 .x x y y 事实上，在圆锥曲线方程中，以 x 0x 替换 x 2，以 x0x替换 x ，以 y 0y 替换 y 2，以 y0 y 替换 y 即可得22到点 P(x 0,y 0)的极线方程 .特别地：22(1) 对于椭圆 x 2 y 2 1，与点 P(x 0, y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1；ab a b x 2 y 2 x x y y(2) 对于双曲线 x 2 y 2 1，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1； a b a b (3) 对于抛物线 y 2 2 px ，与点 P(x 0, y 0 )对应的极线方程为 y 0y p(x 0 x) .x 2 y 2(4) 如果圆锥曲线是椭圆 2 2 1，当P(x 0,y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲 ab22 线是双曲线x 2 y 21，当 P(x 0, y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线 aby 2 2px ，当 P(x 0, y 0 )为其焦点 F( p ,0) 时，极线恰为抛物线的准线23. 从极点与极线角度看圆锥曲线试题2 x【例 1】(2010 江苏卷文理 18)在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 9 右焦点为 F ．设过点 T(t,m) 的直线 TA,TB 与此椭圆分别交于点 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) ，其中 m 0，y 1 0，y 2 0 ．(1) 设动点 P 满足 PF 2 PB 2 4 ，求点 P 的轨迹； (2) 设 x 1 2， x 2 1 ，求点 T 的坐标；3(3) 设t 9 ，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)．分析与解：前面两问比较简单，这里从略 . 对于(3) ，当 t 9时， T 点坐标为 (9,m) ，连 MN ，设直线 AB 与 MN 的交点为 K ，根据极点与极线的定义可知，点 T 对应的极线经过 K ，2y 1 的左右顶点为 A,B ，5PAO KBN又点 T 对应的极线方程为 951，即myx 5 从而直线 1，此直线恒过 x 轴上的定点 K (1,0) ， MN 也恒过定点 K (1,0) .2 x (2008 安徽卷理 22) 设椭圆 C : 2 a2 2y 2 1(a b 0)过点 M ( 2,1) ，且左焦点为 F 1( 2,0) . b (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足 uuuuuu uuur uu AP QB AQ PB，证明点 Q 总在某定直线上 . 2 分析与解： (1) 易求得答案 x 4 uuur PB uuur ，说明点 P,Q 关于 BQ 2，点 Q 的轨迹就是点 (2) 由条件可有 AQ 2 y21. 2 圆锥曲线 C 调和共轭 . 根据定理 1y 2 故点 Q 总在定直线 2x y 2 4x P 对应的极线，即4 1 ，化简得 2x y 0上.x 2 例 3】(1995 全国卷理 26)已知椭圆 C : 24 0. 2 y 16 于点 R ，又点 Q 在OP 上且满足 OQ OP OR 2，当点是什么曲线 . 分析与解：由条件知线与直线 OP 的交点 . OR 1，直线 l : x12 8 P 在l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程 . ,并说明轨迹 1，P 是l 上一点，射线 OP 交椭圆 OP OQ 可知点 P,Q 关于圆锥曲线 C 调和共轭，而点 Q 可看作是点 P 的极设 P(12t,8 8t) ，则与 P 对应的极线方程为12t x (8 8t) y 24 tx (1 t)y 2 ③ 16 1，化简得又直线 OP 的方程为 8 8t x ， 12t 化简得2 2t y x ④ 3t 解由③④联立方程组得 6tx 25t 4t 2 ，消去 t 得 2x 24 4tx 25t 2 4t 2x3y 2 4x 6 y ，可化为 (x 51)2(y 1)25 31( x,y 不同时为 0) ，故点 Q10 和 15 ，且长轴平行于 2【例 4】(2006 年全国卷 II 理 21) 已知抛物线 uuur 的焦点为 F ， A,B 是抛物线上的两动点，且 AF ( 0) ，过 A,B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为 P . uuur uuur (1) 证明 FP AB 为定值；的轨迹是以 (1,1)为中心，长短轴分别为 4y uuur FBx 轴的椭圆，但需去掉坐标原点 F y BP 图8(2) 设 ABP 的面积为 S ，写出 S 并求 S 的最小值 .分析与解： (1) 显然，点 P 的极线为 P(x 0, 1)，再设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ， x 2x2(y 2 y)，由于 A,B,F 三点共线，得 x 1x 0 2(y 11) ，两式相减得 x 2x 0 2(y 2 1) uuur uuur 又 FP (x 0, 2),AB (x 2 设 AB 的方程为 y kx f( ) 的表达式，AB ，故可设点 F,A,B 三故相应的三极线共点于 P(x 0,点对应的极线方程分别为 y 1) ，将 y (x 1 x 2)x 0 2(y 1 y 2). (2) 1 ， x 1x 2(y 1 y) ， 1代入后面两个极线方程 uuur uuur x 1,y 2 y 1) ，故 FP AB 1 ，与抛物线的极线方程 2 代入 x 2 4y 并 1) ，把 y kx 1 12 AB FP 显然，当 k 0 时， S 取最小值 4. 【例 5】(2005 江西卷理 22)设抛物线 C: y x 2 的焦点为F ，动点 P 在直线 l :x y 2 0上运动，过 P 作抛物线的两条切线 PA,PB ，且与抛物线分别相切于 A,B 两点. (1) 求 APB 的重心G 的轨迹方程； (2) 证明 PFA PFB . 分析与解： (1) 设点 P(x 0,y 0),A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)，与 y0 y x 0 x 对比可知直线 l :x y 2 0 对应的极点为 2 1 必恒过点 (1,2). 2 P(2k, S ABP2(1 k 2) 4(1 k 2) . k 1y 设 AB:y 2 k(x ) ，可化为 2x 0(x 2 x 1) x 0x 2(y 0 弦长公 0. 2(y 2 y 1) y) 对比可知直线 AB 对应的极点为式得 AB 1 (2,2) 2 4(1 k 2 ) ，所以，P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应的极线 AB k k k k 2 x ，故直线 AB 对应的极点为 P(k 2,k 2 2) ，将直线 AB 的方程代入抛物线方程得的重心 G 的轨迹方程为 k x x 1 x 2 k 2 3 k y 1 y 2 2 3y 1(4x 23 x 2). x 2kx 0，由此得 x 1 x 2 k,y 1 y 2 k(x 1 x 2 1)k 2 k 4 ， APBk 2k2 23k 2 k 22 3，消去 k 即得22 (2) 设 A(x 1,x 12),B(x 2,x 22) ，由 (1) 知 x 1 x 2 k,x 1x 2 P(x1 x2 ,x 1x 2)， 2 所以 uuur 2 FA (x 1,x 12 cos PFA uuu uu FP FAuu ur FA uuu r FP x 1 x 2 2 x 1 uuur FPuuur x x FP (x 1 x 2 2 14)(x 12 14) 44 x 12 (x 12 41)2 14)， (x 1x 2 ,x 1x 2 (x 1x 2 1 2，又 F(0, ) ，由 4 1 uuur 2 )， FB (x 2,x 22 4 14)(x 12 41) 2 14 uuur 2 FP (x 12) (1) 14) 4 1 4 FP kk 知 P(2,2 2) ，即同理1参考文献1】周兴和. 高等几何. 科学出版社，2003.92】李凤华. 圆锥曲线的极点与极线及其应用. 数学通讯［J］，2012(4) 下半月cos PFB所以有uuuruuurFP FBuu uuurFP FBx1x2uuur 4FPPFA PFB.。

2024届高考数学专项复习极点极线与调和点列,调和线束(高观点下的圆锥曲线拓展)含解析

高中数学圆锥曲线系统讲解第33讲《极点与极线》练习及答案

第33讲极点与极线知识与方法极点极线是射影几何中的重要内容，在中学教材中并未提及，但纵观历年高考的解析几何大题，可以发现诸多试题都有极点极线的背景，所以了解极点极线，可以让我们站在更高处来看待问题．这一小节我们先介绍极点极线的几何定义、代数定义和一些常用的性质，再辅以若干典型的高考真题的极点极线观点，来加深大家的理解.1．极点极线的几何定义：以椭圆为例，如图1所示，设P 为椭圆外一点，过P 作椭圆的两条割线分别与椭圆相交于A 、B 和C 、D 四点，AC 与BD 交于点M ，AD 与BC 交于点N ，则称点P 为直线MN 关于椭圆的极点，直线MN 为点P 关于椭圆的极线.另一方面，图1也可以这么来看，从椭圆外的点N 作椭圆的两条割线分别交椭圆于A 、D 和B 、C 四点，AC 与BD 交于点M ，AB 与CD 交于点P ，所以点N 和直线PM 也是一对极点极线，事实上，点M 和直线PN 也是一对极点极线，因此在PMN 中，以其中一个顶点作为极点，那么该顶点的对边所在的直线就是对应的极线，从而我们将PMN 称为“自极三角形”，为了加以区分，图中画成了虚线．这个图形有两种特殊情况：（1）如图2所示，当四边形ABCD 有一组对边平行时，如AD BC ∥，此时我们看成AD 和BC 的交点N 在无穷远处，那么以M 为极点，对应的极线是图2中的2PN ，其中2PN BC ∥；以P 为极点，那么极线是1MN ，其中1MN BC ∥；（2）如图3所示，当其中一条割线变成切线时，此时D 、M 、N 几个点就都与切点C 重合，从而点C 和切线PC 是一对极点极线.2．极点极线的代数定义：在平面直角坐标系xOy 中，设有圆锥曲线C （圆、椭圆、双曲线、抛物线均可）和不与C 的对称中心重合的点()00,P x y ，在圆锥曲线C 的方程中，用0x x 替换2x ，0y y 替换2y ，02x x +替换x ，02y y+替换y ，得到的方程即为以P 作为极点的极线l 的方程.例如，设椭圆C 的方程为2212x y +=，极点为()2,4P ，则与P 对应的极线为2412x y +=，即410x y +−=；又如，设抛物线C 的方程为22y x =，极点为()2,4P ，则与P 对应的极线为2422xy +=⋅，即420x y −+=.可以看到，极点与极线是一个成对的概念，且若给定极点，求极线的规则是统一的，与圆锥曲线的类型无关，与极点P 的位置无关，下面以椭圆为例，说明极点P 在不同位置时，极线l 的情形：（1）当点P 在椭圆C 上时，极线l 为椭圆C 在P 处的切线，如图4所示；（2）当点P 在椭圆C 外部时，极线l 为点P 对椭圆C 的切点弦所在直线，如图5所示；（3）当点P 在椭圆C 内部时，过点P 任作椭圆C 的一条割线交C 于A 、B 两点，椭圆C 在A 、B 两点处的切线交于点Q ，则当割线AB 绕着点P 旋转时，点Q 的轨迹就是极线l ，如图6所示.3．极点极线的常用性质：（下面以椭圆为例）（1）如图7所示，O 为椭圆中心，点P 在椭圆内，延长OP 交椭圆于点Q ，交椭圆与点P 对应的极线l 于点M ，则OP 、OQ 、OM 成等比数列；当P 恰好为弦AB 的中点时，直线AB 的方程为2200002222x x y y x y a b a b+=+，且极线l 和椭圆在点Q 处的切线均与AB 平行.（2）调和分割性：如图8所示，设极点P 的极线是直线l ，过P 作椭圆的一条割线交椭圆于A 、B 两点，交极线l 于点Q ，则P 、A 、Q 、B 成调和点列，即PA QA PBQB=（或写成211PQ PA PB=+）（3）配极原理：若点P 关于椭圆的极线过点Q ，则点Q 关于椭圆的极线也过点P .由此出发，我们可以得出共线点的极线必然共点，共点极线的极点必然共线，如图9所示，极点1P 、2P 、3P 的极线分别为1l 、2l 、3l ，则1P 、2P 、3P 共线⇔1l 、2l 、3l 共点.提醒：极点极线的分析方法只能让我们在看到问题时能够迅速“窥得天机”，不能作为正式的作答，我们在学习时，仍然应该以基本方法为主，技巧偏方为辅，不能本末倒置.典型例题【例1】（2021·新高考Ⅱ卷·多选）已知直线2:0l ax by r +−=与圆222:C x y r +=，点(),A a b 则下列说法正确的是（）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【解析】解法1：A项，若点A在圆C上，则222a b r+=，圆心C到直线l的距离d r=，所以直线l与圆C相切，故A项正确；B项，若点A在圆C内，则222a b r+<，圆心C到直线l的距离2d r==>，所以直线l与圆C相离，故B项正确；C项，若点A在圆C外，则222a b r+>，圆心C到直线l的距离2d r==<，所以直线l与圆C相交，故C项错误；D项，若点A在直线l上，则2220a b r+−=，即222a b r+=，圆心C到直线l的距离d r==，所以直线l与圆C相切，故D项正确.解法2：显然对于圆C，以(),A a b作为极点，那么极线就是2:0l ax by r+−=A项，若极点A在圆C上，则极线l是圆C的切线，故A项正确；B项，若极点A在圆C内，则极线l与圆C相离，故B项正确；C项，若极点A在圆C外，则极线l是圆C的切点弦，应与圆C相交，故C项错误；D项，若极点A在直线l上，这是极线恰好为切线，极点为切点的情形，故D项正确.【答案】ABD【例2】（2011·四川）椭圆有两个顶点()1,0A−，()1,0B，过其焦点()0,1F的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q.（1）当CD=时，求直线l的方程；（2）当P点异于A、B两点时，证明：OP OQ⋅为定值.【解析】（1）由题意，椭圆的短半轴长1b=，半焦距1c=，所以长半轴长a =，故椭圆的方程为2212y x +=，当2CD =时，易得直线l 与x 轴垂直，故可设l 的方程为1y kx =+()0,1k k ≠≠±，设()11,C x y ，()22,D x y ，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222210k x kx ++−=，判别式()2810k ∆=+>，由韦达定理，1221222212k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩①②，所以12CD x x =−==k =所以直线l 的方程为1y =+.（2）极点极线看问题：设(),0P m ，以P 为极点，则对应的极线为1mx =，即1x m=，显然点Q 在极线上，所以1Q x m =，不难发现101Q OP OQ m y m⋅=⋅+⋅=. 注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写.解法1：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③，直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−−，而()()()()()()212112211212121211111111y x kx x kx x kx x y x kx x kx x kx x ++++++==−+−−+−，所以122112121111Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=−−+−，由①知12222kx x k =−−+，故()()()()()()222222222222122111122212121111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k k x k k x x k x k k k −−−+−−++−+−+++===−+−+⎛⎫−−−−+−++ ⎪+++⎝⎭，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.解法2：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③，直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−−⑤ 所以()()()()()()()()()()()()222222121211212222212121212122111111111111211Q Q x x x y x x x x x x x x x x x x x x y x x x −+⎛⎫+++++++==== ⎪ ⎪−−−−++−−−⎝⎭ 22222121122121122kk k k k k k k −−+−⎛⎫++= ⎪+⎝⎭−++++，因为1x ，()21,1x ∈−，所以12101x x +<−，结合⑤可得11Q Q x x +−与21y y 异号，又()()()()()222212121212222221122211112222k k k k k y y kx kx k x x k x x k k k k +−−=++=+++=−−+==++++()2221121k k k k +−=−⋅++，所以12y y 与11k k −+异号，即21y y 与11k k −+异号，从而11Q Q x x +−与11k k −+同号，所以1111Q Q x k x k +−=−+，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.【例3】（2020·新课标Ⅰ卷）已知A 、B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题意，(),0A a −，(),0B a ，()0,1G ，故(),1AG a =，(),1GB a =−，所以218AG GB a ⋅=−=，解得：3a =或3−（舍去），故E 的方程为2219x y +=.（2）极点极线看问题：如图1，设AB 和CD 交于点Q ，AD 和CB 交于点M ，则PQM 为自极三角形，所以点Q 和直线PM 是一对极点极线，设(),0Q m ，则极线PM 的方程为19mx=，即9x m =，又点P 在直线6x =上，所以96m =，从而32m =，故3,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，这样就得到了直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写. 解法1：由（1）知()3,0A −，()3,0B ，设()6,P t ，()11,C x y ，()22,D x y ，当0t ≠时，直线PA 的方程为93x y t =−，代入2219x y +=消去x 化简得：22815490y y t t ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，解得：0y =或269t t +，所以269C ty t =+，故22927339C C t x y t t −=−=+，从而2222736,99t t C t t ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，直线PB 的方程为33x y t =+，代入2219x y +=消去x 化简得：2291890y y t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：0y =或221t t −+，所以221D t y t =−+，从而2233331D D t x y t t −=+=+，故222332,11t t D t t ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，设3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2222796,929t t TC t t ⎛⎫− ⎪= ⎪++⎝⎭，()222392,121t t TD t t ⎛⎫− ⎪=− ⎪++⎝⎭，即()22319t TC TD t +=−+，故TC TD ∥，所以T 、C 、D 三点共线，从而直线CD 过定点3,02T ⎛⎫⎪⎝⎭，当0t =时，易得C 、D 分别与B 、A 重合，所以直线CD 即为x 轴，显然直线CD 也过点T ，综上所述，直线CD 过定点3,02T ⎛⎫⎪⎝⎭解法2：由（1）知()3,0A −，()3,0B ，设()11,C x y ，()22,D x y ，()06,P y当00y ≠时，由图2可知点C 不与点B 重合，因为221119x y +=，所以()2211199y x =−，故CA 、CB 的斜率之积为2111211113399CA CB y y y k k x x x ⋅=⋅==−+−−① 又PA 的斜率09PA CA y k k ==，PB 的斜率03PB BD y k k ==，所以13CA BD k k =，代入式①化简得：BC 、BD 的斜率之积13BC BD k k ⋅=−，显然CD 不与y 轴垂直，否则AC 与BD 的交点在y 轴上，故可直线CD 的方程为x my t =+，联立2219x ty x my ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去x 整理得：()2229290m y mty t +++−=，判别式()()222244990m t m t ∆=−+−>，所以2290m t +−>，由韦达定理，12229mt y y m +=−+，212299t y y m −=+，所以()121221829t x x m y y t m +=++=+，()22221212122999t m x x m y y mt y y t m −=+++=+，()1212121212133393BC BD y y y y k k x x x x x x ⋅=⋅==−−−−++，故()121212339y y x x x x −=−++，即22222299918339999t t m t m m m −−−⋅=−⋅++++，整理得：22990t t −+=，解得：32t =或3，若3t =，则C 、D 中有一个点与B 重合，不合题意，所以32t =，满足0∆>，即直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，当00y =时，易得C 、D 分别与B 、A 重合，所以直线CD 即为x 轴，也过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上所述，直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【例4】（2018·新课标Ⅰ卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，点M 的坐标为()2,0.（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.【解析】（1）由题意，()1,0F ，当l 与x 轴垂直时，其方程为1x =，由22112x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：y =，即点A的坐标为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，当点A的坐标为2⎛ ⎝⎭时，直线AM的方程为2y x =，当点A的坐标为1,⎛ ⎝⎭时，直线AM的方程为y =−. （2）极点极线看问题：如图，设A '、B '分别为A 、B 关于x 轴的对称点，则显然四边形AA BB ''构成等腰梯形，其对角线的交点为F ，以()1,0F 为极点，则对应的极线为1012xy ⋅+⋅=，即2x =，而BA '和B A '的交点应该在极线上，从而()2,0M 就是BA '和B A '的交点，由图形的对称性不难发现OMA OMB ∠=∠. 且这一结论还可以推广，若F 不是焦点，而是椭圆内x 轴正半轴上的一个一般的点，比如可设为(),0t ，那么它的极线为012txy +⋅=，即2x t =，所以点2,0M t ⎛⎫⎪⎝⎭必定也能使OMA OMB ∠=∠注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的解法来写. 解：当l y ⊥轴时，易得0OMA OMB ∠=∠=︒当l 不与y 轴垂直时，可设其方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()222210m y my ++−=，易得判别式0∆>，由韦达定理，12222m y y m +=−+，12212y y m =−+， ()()()()()()()122112211212121212222222222AM BM y x y x x y x y y y y yk k x x x x x x −+−+−++=+==−−−−−− 而()1221122x y x y y y +−+()()()()12211212121122my y my y y y my y y y =+++−+=−+ 22122022m m m m ⎛⎫⎛⎫=⋅−−−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以0AM BM k k +=，从而OMA OMB ∠=∠，综上所述，OMA OMB ∠=∠.【例5】（2008·安徽）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点)M，且左焦点为()1F .（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点()4,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同的点A 、B 时，在线段AB上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，求证：点Q 在某定直线上.【解析】（1）由题意，22222211a b ab ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：24a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （2）极点极线看问题：因为AP QB AQ PB ⋅=⋅，所以AP AQ PBQB=，故P 、A 、Q 、B 是一组调和点列，从而点Q 必定在点P 的极线上，因为点P 的坐标为()4,1，所以它的极线为41142x y⋅+=，化简得：220x y +−=，从而点O 在定直线220x y +−=上. 注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的定比点差法来写. 解：设(),Q x y ，()11,A x y ，()22,B x y 因为AP QB AQ PB ⋅=⋅，所以AP AQ PBQB=，设AP AQ PBQBλ==()0,1λλ>≠，则PA PB λ=，AQ QB λ=，而()114,1PA x y =−−，()224,1PB x y =−−，()11,AQ x x y y =−−，()22,QB x x y y =−−所以()()12124411x x y y λλ⎧−=−⎪⎨−=−⎪⎩，且()()1212x x x x y y y y λλ⎧−=−⎪⎨−=−⎪⎩，从而12124111x x y y λλλλ−⎧=⎪⎪−⎨−⎪=⎪−⎩①②，且121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩③④，①×③得：22212241x x x λλ−=−，②×④得：2221221y y y λλ−=−，所以22222212122224211x x y y x yλλλλ−−+⋅=+−−，即()222221122222421x y x y x y λλ+−+=+−⑤ 又A 、B 在椭圆C 上，所以22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而221122222424x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，代入⑤的：2244421x y λλ−=+−，化简得：220x y +−=，即点Q 始终在直线220x y +−=上.强化训练1.（★★★）对于抛物线2:2C y x =，设点()00,P x y 满足2002y x <，则直线00:l y y x x =+与抛物线C （） A.恰有1个交点B.恰有2个交点C.没有交点D.有1个或2个交点【解析】显然直线l 是点P 对应的极线，因为2002y x <，所以点P 在抛物线内部，从而直线l 与抛物线C 没有交点. 【答案】C2.（★★★）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过点()2,2A 的直线与椭圆C 在x 轴上方相切于点B ，则直线BF 的方程为______.【解析】由题意，()1,0F ，以F 为极点，则极线为12x=，即2x =，所以点A 在极线上，根据配极原理，以A 为极点的极线过点F ，所以该极线就是BF ，其方程为2212xy +=，即21x y +=【答案】21x y +=3.（★★★）过点()2,1P 的直线l 与椭圆2214x y +=相交于点A 和B ，且AP PB λ=，点Q 满足AQ QB λ=−，若O 为原点，则OQ 的最小值为________.【解析】由题意，PA QA PBQAλ==所以点Q 是对应极点P 的极线与直线l 的交点，如图，易求得极线l 的方程为214xy +=，即220x y +−=，所以点Q在该极线上，从而min 5OQ ==.【答案】54.（★★★★）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，上顶点为D ，点P 是椭圆C 上异于顶点的动点，已知椭圆C的离心率e =，短轴长为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）如下图所示，直线AD 与直线BP 交于点M ，直线DP 与x 轴交于点N ，证明：直线MN 过定点，并求出该定点.【解析】（1）由题意，22b =，所以1b =，椭圆C的离心率e =，所以2a =，故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）极点极线看问题：如图，连接AP 、BD 交于点Q ，显然点Q 的极线是直线MN ，当P 在椭圆上运动的过程中，点Q 会在直线BD 上运动，根据共线极点的极线必然共点不难发现直线MN 是过定点的直线，易求得直线BD 的方程为22x y +=，所以可设()22,Q t t −，那么极线MN 的方程为()2214t xty −+=，整理得：()220x t x y −−−=，所以直线MN 过的定点是()2,1．下面给出规范的作答过程.解：由（1）可得()0,1D ，()2,0B ，()2,0A −，可设直线BP 的方程为2x my =+()0,2m m ≠≠±，联立22214x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()22440m y my ++=，解得：0y =或244m m −+，所以244p m y m =−+，从而228224p p m x my m −=+=+，故222824,44m m P m m ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，从而直线DP 的斜率为()222224144248282224DP mm m m m k m m m m −−−−−++===−−−+故直线DP 的方程为()2122m y x m +=+−，联立()02122y m y x m =⎧⎪+⎨=+⎪−⎩解得：()222m x m −=+，所以()22,02m N m −⎛⎫ ⎪+⎝⎭，直线AD 的方程为121x y +=−，即220x y −+=，联立2202x y x my −+=⎧⎨=+⎩，解得：24242m x m y m +⎧=−⎪⎪−⎨⎪=−⎪−⎩，所以点M 的坐标为244,22m m m +⎛⎫−− ⎪−−⎝⎭，设()2,1G ，则42,22mm GM m m +⎛⎫=−− ⎪−−⎝⎭，4,12m GN m ⎛⎫=−− ⎪+⎝⎭，从而22m GM GN m +=−，故G 、M 、N 三点共线，即直线MN 过定点()2,1G .【反思】求解这道题时，可以先在草稿纸上用极点极线的知识去找到定点()2,1G ，那么在严格求解时，心中就有答案了，可以通过证明GM 与GN 共线，从而得出直线MN 过定点G . 5.（★★★★）如下图所示，椭圆22:143x y E +=的左、右顶点分别为A 、B ，左焦点为F ，过F 的直线与椭圆E 交于不与A 、B 重合的C 、D 两点，记直线AC 和BD 的斜率分别1k ，2k ，证明：12k k 为定值.【解析】极点极线看问题：由题意，()1,0F −，椭圆E 的极点F 对应的极线为10143x y−⋅⋅+=，即4x =−，如图，AC 与BD 的交点P 应在极线上，所以可设()04,P y −，显然()2,0A −，()2,0B ，所以直线AC 的斜率012PA y k k ==−，直线BD 的斜率026PB yk k ==−，从而123k k =.下面给出严格求解过程. 解：由题意，()1,0F −，直线CD 不与y 轴垂直，可设其方程为1x my =−，设()11,C x y ，()22,D x y ，联立221431x y x my =+=−⎧⎪⎨⎪⎩消去x 整理得：()2234690m y my +−−=，易得判别式0∆>，由韦达定理，122634m y y m +=+，122934y y m =−+，所以()121232my y y y =−+ 显然()2,0A −，()2,0B ，所以直线AC 的斜率1112y k x =+，直线BD 的斜率2222y k x =−，从而()()()()()()121121212112121212122122123933233222333121222y y y y y y x y my k my y y k x y my y my y y y y y y y −+−−−−−−======+++−++−−.6.（★★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上、下顶点分别为A 和B ，左焦点为F ，原点O 到直线FA的距离为2. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设2b =，直线4:l y kx =+与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上.【解析】（1）由题意，原点O 到直线FA的距离OA OF bc d AFa ⋅===，所以椭圆C的离心率2c e a ==. （2）极点极线看问题：由题意，直线l 与y 轴交于定点()0,4P ，显然点G 在点P 对应的极线上，当2b =时，易求得椭圆C 的方程为22184x y +=，从而该极线的方程为04184x y ⋅+=，即1y =，所以点G 在定直线1y =上．下面给出严格求解过程.解：由题意，()0,2A ，()0,2B −，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()221216240k x kx +++=，判别式()()2216412240k k ∆=−+⨯>所以2k <或2k >，由韦达定理，12212216122412k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩①②直线BM 的方程为1122y y x x ++=，直线AN 的方程为2222y y x x −−=，联立11222222y y x x y y xx +⎧+=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩消去x 可得：()()12212222y x y y y x ++=−−，从而()()()()1212122212112126262222G G y x kx x y kx x x y y x kx x kx x x ++++===−−++③，接下来给出以下两种计算非对称结构12212162kx x x kx x x ++的方法：法1：由①②知()121232kx x x x =−+，代入式③得：()()122121221211211233966222331322222x x x x x kx x x kx x x x x x x x −++−++===−+−++−，从而232G G y y +=−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上. 法2：由①知1221612kx x k =−−+代入式③得：22221221212222224246661212382416222121212k kx x kx x x k k k k k kx x x x x k k k +++++===−+⎛⎫−−+−− ⎪+++⎝⎭从而232G G y y +=−−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上.。

极点极线定理大题步骤

极点极线定理大题步骤
需要注意的是，极点极线定理的应用需要熟练掌握解析几何的基本知识和技巧，包括直线方程、圆的方程、切线的性质等。在解题过程中，要仔细分析题目条件，灵活运用定理和公式，合理选择解题方法，以得到正确的结果。
极点极线定理大题步骤
极点极线定理是解析几何中的一个重要定理，用于确定圆的极点和极线。下面是使用极点极线定理解决大题的一般步骤：
步骤1：根据题目给出的条件，确定圆的方程和相关信息。例如，给出圆的半径、圆心坐标等。
步骤2：使用极点极线定理，确定圆的极点。极点是与圆相切的直线所交于圆上的点。根据题目给出的条件，找出与圆相切的直线，然后求出直线与圆的交点，这些交点即为圆的极线。极线是通过圆的极点并且与圆相切的直线。根据极点的坐标，可以得到与极点相切的直线方程，从而确定圆的极线。
步骤4：根据题目要求，利用极点极线的性质解决问题。例如，可以利用极点极线定理来证明某些直线与圆相切，或者求解与圆的交点等。
步骤5：对结果进行检查和解释。确保所得到的极点和极线符合题目给出的条件，并解释结果的几何意义。

极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试题王文彬(江西省抚州市第一中学 344000)极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H，连接,EH FG交于N，连接,EG FH交于M，则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点,A B两点，则,PA PB恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线M 图1Γ在P点处的切线；(2)当P在Γ外时，过点P作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B，则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线)；(3) 当P在Γ内时，过点P任作一割线交Γ于,A B，设Γ在,A B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹.定理2 如图2，设点P关于圆锥曲线Γ的极线为l，过点P任作一割线交Γ于,A B，交l于Q，则PA PBAQ BQ=①；反之，若有①成立，则称点,P Q调和分割线段AB，或称点P与Q关于Γ调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线.推论1 如图2，设点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q，则有211PQ PA PB=+②；反之，若有②成立，则点P与Q关于Γ调和共轭.可以证明①与②是等价的.事实上，由①有211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有图2 B推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ'-+=⇒='-+，化简即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠；若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''图3R '图4P '的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义 2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程.特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b+=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b-=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+.(4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b +=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2pF 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略.对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ，图5又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)，从而直线MN 也恒过定点K (1,0).【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且左焦点为1(F .(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，证明点Q分析与解：(1)易求得答案22142x y +=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=u u u r u u u ru u u r u u u r ，说明点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y ⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.图6【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x yl +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得 223ty x t-=④ 解由③④联立方程组得22654244542t x t t t x t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，长短轴分别为和，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点.图8x图7【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=u u u r u u u r(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P .(1)证明FP AB ⋅u u u r u u u r为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--u u u r u u u r ，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=u u u r u u u r.(2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB 对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以212(12ABP S AB FP k ∆==+. 显然，当0k =时，S 取最小值4.图9【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别相切于,A B 两点.(1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程；(2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得21(42)3y x x =-+. (2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-u u u r ，12121(,)24x x FP x x +=-u u u r ，2221(,)4FB x x =-u u u r .22121121121122111111()()()()444cos 1()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x ++--+++⋅∠====⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .同理1214cos x x FP FBPFB FP FB FP+⋅∠==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .所以有PFA PFB ∠=∠.参考文献【1】周兴和.高等几何.科学出版社，2003.9【2】李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J ］，2012(4)下半月。

专题十：与椭圆有关的极点、极线问题

专题之十与椭圆有关的极点、极线问题我们知道，对于椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)有如下的两个结论：(1)过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0，y0)，椭圆C的切线方程为：x0xa2+y0yb2=1.(2)过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一点P(x0，y0)，椭圆C的切点弦方程为：x0xa2+y0yb2=1.简证(1)设过点P(x0，y0)椭圆C的切线方程为y-y0=k (x-x0).可用两种方法求得k=−b2x0a2y0.(法1.利用∆=0;法2.利用求隐函数的导数).于是可得切线方程为y-y0=−b2x0a2y0 (x-x)，a2y0y-a2y02=−b2x0x+b2x02,∴ b2x0x+a2y0y=b2x02+a2y02=a2b2,即x0xa2+y0yb2=1.(2)设过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一点P(x0，y0)向椭圆所作两条切线的切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2),于是切线AP x1xa2+y1yb2=1，∵ P∈AP，∴x1x0a2+y1y0b2=1①同理x2x0a2+y2y0b2=1②由①②知点A、B∈直线x0xa2+y0yb2=1. 即切点弦方程为x0xa2+y0yb2=1.如果把点P(x0，y)放到椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内部，我们仍然可以写出一条直线方程x0xa2+y0yb2=1.那么这条直线与点P(x0，y0)间有怎样的关系呢？首先我们给出如下的概念：将点P(x0，y)与直线x0xa2+y0yb2=1分别称为椭圆x2 a2+y2b2=1(a>b>0)的一对极点和极线，其中，点P不为原点.于是我们易得椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)极点和极线的如下性质：1.每给出一个极点，就可以唯一确定一条对应的极线.2.每给出一条极线，就可以唯一确定一个对应的极点.3.若极点在椭圆x 2a2+y2b2=1上，则极线为椭圆x2a2+y2b2=1在点P处的切线x0xa2+y0yb2=1.4.若极点在椭圆x 2a2+y2b2=1外，则极线为椭圆x2a2+y2b2=1过点P的切点弦x0xa2+y0yb2=1.5.若极点在椭圆x 2a2+y2b2=1内，则极线与椭圆x2a2+y2b2=1相离；若极点在椭圆x 2a2+y2b2=1外，则极线与椭圆x2a2+y2b2=1相交.(切点弦).6.当极点P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的右焦点(c ，0)时，极线为右准线 x=a 2c . 当极点P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点(-c ，0)时，极线为左准线 x=−a 2c.7.当极点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的对称轴上时，极线垂直于极点所在的对称轴.即极点为P(m ，0)时，极线为x=a 2m ；极点为P(0，n)时，极线为y=b 2n . 8.设极点P(x 0，y 0)，对应极线的斜率为k ，则kk 0P =−b 2a 2.9.极点P(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1内部时，以P 为中点的弦与极线平行. 10.设极点P 对应的极线为l P ，极点Q 对应的极线为l Q .则l P 过点Q ⇔l Q 过点P.下面给出其中部分结论的简略证明：证5：将椭圆x 2a 2+y 2b 2=1和极线x 0xa 2+y 0y b 2=1联立，可得其∆=a 2b 2(x 02a 2+y 02b 2−1),点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1外⇔∆>0⇔极线与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相交. 点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1内⇔∆<0⇔极线与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相离. 证6、7:将极点的坐标带入对应的极线方程x 0xa 2+y 0yb 2=1中，即可得.证8:由1知极线x 0xa 2+y 0y b 2=1的斜率k=−b 2x 0a 2y 0，又k 0P =y 0x 0，∴ kk 0P =−b 2a 2.证9:设以点P 为中点的弦交椭圆x 2a 2+y 2b 2=1于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，∴ x 12a 2+y 12b 2=1 (1) x 22a 2+y 22b 2=1 (2) (1)-(2)得k AB =y 1−y 2x 1−x 2=-−b 2x0a 2y 0,其中x 0=x 1+x 22, y 0=y 1+y 22. 与极线x 0x a 2+y 0yb2 =1的斜率k=−b 2x0a 2y 0相等， ∴ 结论正确.证10:∵极点P 对应的极线为l P :x Pxa 2+y P yb 2=1，极点Q 对应的极线为l Q ：x Qxa2+y Q y b 2=1.∴ l P 过点Q ⇔x P x Q a 2+y P y Q b 2 =1⇔l Q 过点P.命题1.设射线OP 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)交于点R ，与点P 对应的极线交于点Q.如图1.则|OP||OQ|=|OR|2.特别地，当点P 在x 轴上时，|OP||OQ|=a 2. 证明：设点P(x 0，y 0)，则点P 对应的极线为x 0xa 2+y 0yb 2=1. 当点P 不在x 轴上时，直线OP ：y =y 0x 0x ，yxORQ P. . .图1联立{x 0xa 2+y 0y b 2=1y =y 0x 0x，解得Q(a 2b 2x 0b 2x 02+a 2y 02，a 2b 2y 0b 2x 02+a 2y 02),联立{x 2a 2+y 2b 2=1y =y 0x 0x，可得|OR|2=a 2b 2x 02b 2x 02+a 2y 02+a 2b 2y 02b 2x 02+a 2y 02.∵|OP|=√x 02+y 02,|OQ|=a 2b 2√x 02+y 02b 2x 02+a 2y 02，∴ |OP||OQ|=|OR|2.特别地，当点P 在x 轴上时，设P(m ，0)，则对应的极线为x=a 2m , ∴ |OP||OQ|=a 2，此时点R(a ，0)也成立.下面我们来研究当极点P 不在椭圆上时，怎样画出对应的极线. 如图2，过点P(x 0，y 0)作椭圆C: x 2a 2+y 2b 2=1 的两条割线，分别交椭圆C 于A 、B 、C 、D 四点. 设PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =μPC ⃗⃗⃗⃗⃗ .A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4).由PA⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x 1−λx 2=(1−λ)x 0 ①y 1−λy 2=(1−λ)y 0 ②， ∵ 点A 、B ∈椭圆C ，{b 2x 12+a 2y 12=a 2b 2 ③b 2x 22+a 2y 22=a 2b 2 ④. ③-λ2④得 b 2(x 12−λ2x 22)+ a 2(y 12−λ2y 22)= a 2b 2(1−λ2)，∴ b 2(x 1−λx 2)(x 1+λx 2)+ b 2(y 1−λy 2)(y 1+λy 2)= a 2b 2(1−λ2)，将①、②代入上式得b 2x 0(x 1+λx 2)+b 2y 0(y 1+λy 2)= a 2b 2(1+λ)， ∴x 0(x 1+λx 2)a 2(1+λ)+y 0(y 1+λy 2)b 2(1+λ)=1，令M(x 1+λx 21+λ，y 1+λy 21+λ),由定比分点公式知：直线AB 上存在一点M ，使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同时成立，且点M 恰好在椭圆C 的极线上.同理，我们在直线CD 上可以找到一点N ，使得点N 既在椭圆C 的极线上，同时又满足PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =μPC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μNC ⃗⃗⃗⃗⃗ .如图2. 定义：我们称满足|MA||MB|=|PA||PB|(内分比=外分比)的点P 、A 、M 、B 为一组调和点列.于是满足|ND||NC|=|PD||PC|(内分比=外分比)的点P 、D 、N 、C 为另一组调和点列.注意：调和点列与椭圆C 无关，只要满足内分比=外分比即可.我们把这种性质称为调和性.进一步我们可以证明，AC 与BD 的交点及AD 与BC 的交点都在直线MN 上.这个问题的证明要用到平面几何中的梅涅劳斯定理和塞瓦定理.此处略.由此我们得到椭圆C 的极点P 所对应极线的确定方法为：过点P 作椭圆C:yxO P图2ABDCMNx 2a 2+y 2b 2=1的两条割线，分别交椭圆C 于A 、B 、C 、D 四点，如图2.则极线必是直线AC 、BD 的交点与直线AD 、BC 交点的连线.命题2.设四边形ABCD 为椭圆C 的内接四边形，且AC ∩BD=P ，AB ∩CD=Q ，AD ∩BC=R.则点P 的极线为QR ；点Q 的极线为PR ；点R 的极线为PQ.如图3.命题3.若四边形ABCD 为椭圆C 的内接梯形，AD ∥BC ，如图4.则点P 对应的极线经过AC 、BD 的交点Q 且与AD 平行.命题4.若四边形ABCD 为椭圆C 的内接梯形，AD ∥BC ∥y 轴，如图5.则点P 对应的极线经过AC 、BD 的交点Q 且与y 轴平行.并满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OR|2=a 2. 这是因为当AD ∥BC ∥y 轴时，由椭圆的对称性知AC 、BD 的交点Q 必在x 轴上.再由命题1知OP⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OR|2=a 2.我们称此为a 2模型. 特别地，若点P 是椭圆的右准线，则点Q 为右焦点，且x 轴平分∠APC.【应用举例】例1.如图6.椭圆有两个顶点A(-1，0)，B(1，0).过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 、BD 交于点Q.当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值. 分析：由前面的性质7知，点P 的极线与x 轴垂直；又由前面的讨论知，点P 的极线过点Q ，即点P的极线为过点Q 且垂直于x 轴的直线l 1.设直线l 1与x 轴交于点R.则由数量积的几何意义及a 2模型知： OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OP||OR|= a 2=1.例2.如图7.已知椭圆C:x 29+y 25=1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(9，m)的直线TA 、TB 与椭圆C 交于M 、N 两点，其中m >0.求证：MN 必过x 轴上一定点(其坐标与m 无关).分析：设MN 与x 轴交于点K.则极点T 对应的极线经过点K ；极点K 对应的极线l 经过点T 且与x 轴垂直.设直线l 与x 轴交于点P,则|OP|=9.由a 2模型知： |OK||OP|=|OB|2.可得|OK|=1，即点K(1，0)与F(1，0) 重合，所以 MN 必过x 轴上一定点F.yQx O 图3 A B D C R P yxO P图4AB DC Q yx O P 图5 B A D CQ R y P xO 图6A BDCl 1QR yTx BO MKA 图7N P例3.设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点M(√2，1)，且左焦点F 1(−√2，0). (1)求椭圆C 的方程；(2)当过点P(4，1)的动直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP||QB|=|AQ||PB|.求证：点Q 总在某定直线上. 分析：(1)由已知易得椭圆C 的方程为：x 24+y 22=1.(2)∵ |AP||QB|=|AQ||PB|，∴ |AP||PB|=|AQ||QB|，即内分比=外分比，∴ 点Q 必在点P 所对应的极线上，又∵ 点P 所对应的极线方程为： 4×x 4+1×y 2=1， ∴ 点Q 总在定直线2x+y -2=0上.例4.椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√32，且a+b=3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图8.A 、B 、D 为椭圆C 的顶点，点P 是椭圆C 上异于顶点的任意一点. DP ∩x 轴=N ，AD ∩BP=M.设k PB =k ，k MN =m.求证：2m-k 为定值. 分析:(1)易求得椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1.(2)设AP ∩BD=E.极点N 对应的极线过ME 且与 x 轴垂直，由a 2模型知x M x N =a 2=4.设N(t ，0)，则x M =4t .又∵ M ∈AD,l AD :y=x2+1，∴ M(4t ，2t +1). ∵ B(2，0)，∴ 2m-k=4t +24t−t -2t +14t−2=4+2t 4−t 2−2+t 4−2t =22−t −2+t 4−2t =12.例5.如图9.设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的一个焦点为，对应的准线为l .(1)若过点F 的直线与C 交于M 、N 两点，则M 、N两点处的切线的交点Q 必在准线l 上，且FQ ⊥MN.(2)若过准线l 上的一点Q 作C 的两条切线，切点分别为M 、N 两点，则直线MN 必过交点F ，且FQ ⊥MN.(3)若过点F 的直线与C 交于M 、N 两点，过F 作FQ MN 交准线于Q ，则QM ，QN 是C 的两条切线. 分析:(1)由已知点F 的极线为准线l ，点Q 的极线为MN. ∵ 点F 在点Q 对应的极线MN 上， ∴ 点Q 必在点F 所对应的极线l 上. 设点Q(a 2c ，m ),则k MN =−b 2×a 2ca 2×m =−b 2cm ；k FQ =m−0a 2c−c=cm b 2.∴ FQ ⊥MN.(2)由已知MN 是点Q 所对应的极线，准线l 是点F 所对应的极线，且点Q在准线l 上，∴ 点F 必在MN 上.yExB MDOAPN 图8 yQ xMO FN 图9设点Q(a 2c ，m ),则k MN =−b 2×a 2ca 2×m =−b 2cm ；k FQ =m−0a 2c−c=cm b 2.∴ FQ ⊥MN.(3)设点Q(a 2c ，m ),F(c ，0). ∵ k FQ =m−0a 2c−c=cm b 2，且FQ ⊥MN∴ k MN =−b 2×a 2ca 2×m =−b 2cm ，因此直线MN 的方程为：y =−b 2cm (x −c)，即 xc +my b 2=1与过点Q 的极线方程一致，∴ QM ，QN 是C 的两条切线.想一想①：1.已知曲线C ：x 2+2y 2=8与y 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的上方如图10).直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M 、N ，直线y=1与直线BM 交于点G. 求证：A 、G 、N 三点共线.2.已知椭圆C ：x 24+y 22=1.过点P(0，1)的动直线l 交椭圆C 于不同的两点A 、B.问是否存在异于点P 的定点Q 使得|AP||PB|=|AQ||QB|恒成立？若存在，求出点Q 的坐标. 3.设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e=12，过F 1的直线交椭圆C 于A 、B 两点，且∆ABF 1的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线y=kx+m 与椭圆C 只有一个公共点P ，且与直线x=4交于点Q.试探究：是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M?与椭圆类似，对于抛物线y 2=2px(p>0)，设极点P(x 0，y 0)，对应的极线为：y 0y=p(x+x 0). x 2=2py(p>0)的极点、极线分别为极点P(x 0，y 0)，对应的极线x 0x=p(y+y 0). 其极点和极线有如下性质：1.若极点在抛物线y 2=2px(p>0)上，则极线为在点P 处的切线y 0y=p(x+x 0). 若极点在抛物线x 2=2py(p>0) 上，则极线为在点P 处的切线x 0x=p(y+y 0).2.若极点在抛物线y 2=2px(p>0)外，则极线为过点P 处的切点弦y 0y=p(x+x 0). 若极点在抛物线x 2=2py(p>0)外，则极线为在点P 处的切点弦x 0x=p(y+y 0).3.当极点P 是抛物线y 2=2px(p>0)的焦点 (p2，0)时，极线为其准线x=−p2. 4.对于抛物线y 2=2px(p>0)，当极点为P(m ，0)时，极线为x=-m. 对于抛物线x 2=2py(p>0)，当极点为P(0，m)时，极线为y=-m.5.极点P(x 0，y 0)在抛物线y 2=2px(p>0)内部时，以P 为中点的弦与极线平行.6.设极点P 对应的极线为l P ，极点Q 对应的极线为l Q .则l P 过点Q ⇔l Q 过点P.7.设四边形ABCD 为抛物线C 的内接四边形，且AC ∩BD=P ，AB ∩CD=Q ，AD ∩BC=R.则点P 的极线为QR ；点Q 的极线为PR ；点R 的极线为PQ.8.若四边形ABCD 为抛物线C 的内接梯形，AD ∥BC ，则点P 对应的极线经过AC 、 BD 的交点Q 且与AD 平行.yG xBMO K APN图109.若四边形ABCD 为抛物线C 的内接梯形，AD ∥BC ∥y 轴，则点P 对应的极线经过AC 、BD 的交点Q 且与y 轴平行.10.设抛物线C ：y 2=2px(p>0)的焦点为F ，对应的准线为l .(1)若过点F 的直线与交C 于M 、N 两点，则M 、N 两点处的切线的交点Q 必在准线l 上，且FQ ⊥MN.(2)若过准线l 上的一点Q 作C 的两条切线，切点分别为M 、N 两点，则直线MN 必过交点F ，且FQ ⊥MN.(3)若过点F 的直线与C 交于M 、N 两点，过F 作FQ ⊥MN 交准线于Q ，则QM ，QN 是C 的两条切线.对于双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0，b>0)，当极点为P(x 0，y 0)时，对应的极线方程为：x 0x a 2−y 0y b 2=1.其极点、极线也有与椭圆类似的性质和结论.下面略举两例说明之.例6.已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F.A 、B 是C 上的两动点，且AF⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (μ>0).过A 、B 分别作C 的切线，设其交于点P.(1)求证：FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值；(2)设S 为∆ABP 的面积，求S min .解析：(1)设点P(x 0，-1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). ∴ F 、A 、B 三点对应的极线方程分别为：y=-1，x 1x=2(y 1+y)，x 2x=2(y 2+y).由于F 、A 、B 三点共线，∴ 这三条极线都共线于点P(x 0，-1)，代入极线方程有{x 1x 0=2(y 1−1)x 2x 0=2(y 2−1)，两式相减得 x 0(x 1−x 2)=2(y 1−y 2). 又∵ FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0，-2)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 1，y 2−y 1)，∴ FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 2−x 1)−2(y 2−y 1)=0. (2)设直线AB 的方程为y=kx+1，与其极线方程x 0x=2(y 0+y)进行比较知，极线AB 所对应的极点为P(2k ，-1).右弦长公式可得|AB|=4(1+k 2)， ∴ S=12|AB||FP|=2(1+k 2)√4(1+k 2)，显然，当k=0时S min =4.例7.已知以原点为中心，F(√5，0)为右焦点的双曲线C的离心率e=√52. (1)求双曲线的方程和渐近线的方程； (2)如图12.已知过点M(x 1，y 1)的直线l 1:x 1x+4y 1y=4 与过点N(x 2，y 2)( x 1≠x 2)的直线l 2:x 2x+4y 2y=4的交点 E 在双曲线C 上.直线MN 与C 的两条渐近线分别交于点G 、H.求0G ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值. 解析:(1)双曲线C 的方程为：x 24−y 2=1; 渐近线方程为：y =±x2.yF xO AB图11FyxOMH 图12GNl 2l 1(2)直线l 1:x 1x+4y 1y=4与直线l 2:x 2x+4y 2y=4显然是椭圆x 2+4y 2=4的两条切线.由已知点E(x E ，y E )同在l 1和l 2上，∴ MN 是椭圆的极点E 对应的极线，于是 MN 的方程为：x E x+ 4y E y=4. 联立{x E x +4y E y =2x −2y =0 及{x E x +4y E y =2x +2y =0 ，解得G(4xE +2y E，2xE +2y E)，H(4xE −2y E，−2xE −2y E).∴ 0G ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x E2−4y E2，又∵ 点E 在双曲线x 24−y 2=1，∴ x E 2−4y E 2=4，故 0G ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3. 想一想②：已知抛物线E ：y 2=4x 的焦点为F.过点K(-1，0)的直线与R 交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D.求证：直线BD 过定点.说明：我们在考试时，作为解答题，是不能用上述极点、极线的方式解题的，还是要用常规方法解答.我们在此之所以要介绍关于极点、极线的相关知识，主要作用有二：一是在解选填题时，用它可以快速得到结论；二是作为解答题(特别是探索题型)，我们可以先由极点、极线的方式得到结论，在明确目标的前提下，再作一般性的论证.即使一般性的论证完成不了，起码可得到猜想结论分.习题：1.已知椭圆C ：x 2+4y 2=4的左、右顶点为A 、B.设直线x=my+1与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线AP 交直线BQ 于S,试问当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，写出这条直线的方程.2.如图13，已知椭圆C ：x 2+3y 2=3.斜率为k(k>0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于不同的两点A 、B.线段 AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线 x=-3于点D(-3，m). (1)求m 2+k 2的最小值；(2)若|OG|2=|OD||OE|，求证：直线l 过定点.3.如图14.设椭圆E:x 2+2y 2=2的右焦点为F ，过点F 的直线l 交椭圆E 于A 、B 两点,点M(2，0). (1)当直线l 垂直于x 轴时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，求证：∠OMA=∠OMB. 4.已知椭圆C ：x 24+y 23=1.过点P(4，0)的直线与椭圆C 交于点A 、B 两点.作点A关于x 轴的对称点Q ，连接QB.求证：直线QB 过定点.5.已知椭圆C ：x 28+y 24=1.过点F(2，0)作倾角互补的两条直线交椭圆C 于A 、B 两点(A 、B 两点均在x 轴的同侧). 求证：直线AB 过定点.6.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过的P(1，e)(e 为椭圆的离心率).其左、右顶点为A(-2，0)，B(2，0). (1)求椭圆C 的方程; (2)过点E(4，0)的直线交椭圆C 于yxD E AO lGB图13yM Ax O FB 图14 2M、N两点.设AM与BN交于点P.求证：点P在定直线上.参考答案：想一想①：1.∵直线y=kx+4过定点P(0，4)在y轴上，点P对应的极线方程为y=b2n=1. 即直线是点P对应的极线. 又∵直线MB与直线y=1(极线)交于点Q，∴直线AN必过点Q.2.∵点P(0，1)在y轴上，∴点P对应的极线方程为y=b2n=2，设y轴与极线 y=2交于点Q(0，2)，则点Q满足条件.3.(1)x 24+y23=1. (2)由例5知F2P的斜率与点Q对应的极线的斜率相同，又∵点F2对应的极线为直线x=4，设Q(4，m), ∵k F2P=−3m，k F2Q =m4−1=m3，∴ PF2⊥QF2,故以PQ为直径的圆恒过定点F2.想一想②：直线BD过定点F. 提示：作点B关于x轴的对称点E.利用抛物线的性质9，注意到点K极线过焦点F.习题1.设PQ与x轴交于点M，极点S对应的极线过点M(1，0)；极点M对应的极线过点S且垂直于x轴，∴点S必在直线x=a 2m=4上.2.(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2).用点差法易得k OE=-13k , ∴直线OE的方程为y=-13kx,解得m=1k . ∴m2+k2=1k2+ k2≥2.(2)设AD∩x轴=M，M(m，0).由|OG|2=|OD||OE|，知点D的极线是l，又点D的极线过M，则点M的极线过点D且于x轴垂直.∴-3m=-3，得m=1.3(1)x+√2y−2=0.(2)利用命题4及后面“特别地…”.4.利用命题4.5.延长AF交椭圆C于P，延长BF交椭圆C于Q.则易知点B与点P，点A与点Q 均关于x轴对称.所以BA必过准线x=4与x轴的交点M(4，0).6.(1) x2+4y2=4. (2)利用例1的结论知，定直线为过点R且与x轴垂直的直线x=1.。

（完整）极点与极线背景下的高考试题

（完整）极点与极线背景下的高考试题江西省抚州市第一中学344000)但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考.应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识.从几何角度看极点与极线11，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引,,,EFGH，连接,EHFGN，连接,EGFH交于M，则直线MN为点P对应的极线.P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线,AB两点，则,PAPB恰为圆锥曲线的两条切线.1当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线P点处的切线；当P在外时，过点P作的两条切线，设其切点分别为,AB，则点P 的极线是直线AB(即切点弦所)；当P在内时，过点P任作一割线交于,AB，设在,AB处的切线交于点Q，则点P的极线是动点.22，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交于,AB，交l于Q，则PAPBBQ,PQ调和分割线段AB，或称点P与Q关于调和共轭，或称点P(或点Q)Q(或点P).点P关于圆锥曲线的调P的极线.12，设点P关于圆锥曲线的调和共轭Q，则有211PAPB②；反之，若有②成立，P与Q关于调和共轭..事实上，由①有11PAPB.23，设点P关于有心圆锥曲线(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线2OROPOQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于调和共轭.PQ与的另一交点为R，则PROPOROPORRQOROQOROQ，化简2OROPOQ.反之由此式可推出PRRQ，即点P与Q关于调和共轭.34，,AB圆锥曲线的一条 P E F G H M A N B 图1 P Q R3 RR O P Q A 图2 B ll上的两点(不在上)，若,AB关于调B任作的一条割线，交于,PQPABQAB.关于直线l对称，故在上存在PQ,PQ.若P与Q重合，则Q与P,PQ关于l对称，有PABQAB；P与Q不重合，则Q与P也不重合，由于,AB调和共轭，故,AB为上完全四点形PQQPQ在PA上，故,APAQ关于直线lPABQAB.3配极原则)点P关于圆锥曲线p经过点Q点Q关于的极线q经过点P；直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极Q在直线p上..1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.从代数角度看极点与极线义2知圆锥曲线22:220AxCyDxEyF，则称点0(,)Pxy和直线000:()()0lAxxCyyDxxEyyF是圆锥曲线的一对极点和极线.xx替换2x，以0xx替换x，以0yy替换2y，以02yy替换y即可得0(,)Pxy的极线方程.对于椭圆2221xyb，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00221xxyyab；对于双曲线2221xyb，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00221xxyyb；对于抛物线22ypx，与点0(,)Pxy对应的极线方程为00()yypxx.如果圆锥曲线是椭圆2221xyb，当00(,)Pxy为其焦点(,0)Fc时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲2221xyb，当00(,)Pxy为其焦点(,0)Fc时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线ypx0(,)Pxy为其焦点(,0)pF时，极线恰为抛物线的准线.从极点与极线角度看圆锥曲线试题1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆1922yx的左右顶点为,AB，焦点为F．设过点(,)Ttm的直线,TATB与此椭圆分别交于点122(,),(,)MxyNxy，其中0m，200yy，．(1)设动点P满足422PBPF，求点P的轨迹；(2)设212xx，，求点T的坐标；(3)设9t，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．.(3)，当9t时，T点坐标为(9,)m，MN，设直线AB与MN的交点为K，根据T对应的极线经过K，B A K MP l A 图4 PR B Q QT对应的极线方程为915xmy，即myx，此直线恒过x轴上的定点K(1,0)，MN也恒过定点K(1,0).2】(2008安徽卷理22)设椭圆222:1(0)xyCabb过点(2,1)M，且左焦点为1(2,0)F.求椭圆C的方程；当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C交于两个不同的点,AB时，在线段AB上取点Q，满足QBAQPBuuuruuuruuuruuurQ总在某定直线上.(1)易求得答案2212xy.由条件可有PAPBBQuuuruuuruuuruuur，说明点,PQ关于C调和共轭.根据定理2，点Q的轨迹就是点4112xy，化简得220xy.Q总在定直线220xy上.3】(1995全国卷理26)已知椭圆22:116xyC，直线:18xyl，P是l上一点，射线OP交椭圆R，又点Q在OP上且满足2OQOPOR，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.,并说明轨迹.2OROPOQ可知点,PQ关于圆锥曲线C调和共轭，而点Q可看作是点P的极OP的交点.(12,88)Ptt，则与P对应的极线方程为(88)16txty，化简得)2txtyOP的方程为88tyxt，化简得2tyxt④65424442txtttxtt，消去t得222346xyxy，可化为22(1)(1)15523xy(,xy 不同时为0)，故点Q(1,1)为中心，长短轴分别为10和153，且长轴平行于x轴的椭圆，但需去掉坐标原点.4】(2006年全国卷II理21)已知抛物线24xyF，,AB是抛物线上的两动点，且AFFBuuuruuur0),AB两点分别作抛物线的切线，并设其交点P.证明FPABuuuruuur为定值； A BO x y8 F B Q x y O P A . 图6 R Q x y O P . 图7设ABP的面积为S，写出()Sf的表达式，S的最小值.(1)显然，点P的极线为AB，故可设点(,1)Px，再设1122(,),(,)AxyBxy，,,FAB三点对应的极线方程分别为1y，112()xxyy，22()xxyy，由于,,ABF三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)Px，将1y代入后面两个极线方程101022(1)2(1)xxyxxy，两式相减得12012()2()xxxyy.2121(,2),(,)FPxABxxyyuuuruuur，故02121()2()0FPABxxxyyuuuruuur.设AB的方程为1ykx，与抛物线的极线方程02()xxyy对比可知直线AB对应的极点为,1)Pk把1ykx代入24xy并由弦长公式得24(1)ABk，所以21)4(1)ABPSABFPkk.0k时，S取最小值4.5】(2005江西卷理22)设抛物线2:CyxF，动点P在直线:20lxy上运动，P作抛物线的两条切线,PAPB，且与抛物线分别,AB两点.求APB的重心G的轨迹方程；证明PFAPFB.(1)设点01122(,),(,),(,)PxyAxyBxy，yyxx对比可知直线:20lxy对应的极点为1(,2)2，P为直线l上的动点，则点P对应的极线AB1(,2).1:2()ABykx，可化为2222kykx，故直线AB对应的极点为(,2)22kkP，将直线AB的220kxkx，由此得2121212,(1)44xxkyykxxkk，APBG的轨迹方程为2222233224222233kkxxkkxkkkyykkky，消去k即得12)yxx.设22122(,),(,)AxxBxx，由(1)知1212,2kxxkxx，又1(0,)4F，由(1)知(,2)22kkP，即22(,)xxPxx，所以2111(,)4FAxxuuur，12121(,)24xxFPxxuuur，2221(,)4FBxxuuur.221211211222111111()()()()244444cos11()()4xxxxxxxxxxxFPFAPFAFPFAFPFPxFPxxuuuruuuruuuruuuruuuru uuruuur.同理A B P O x y 图9 F l21xxFPFBPFBFBFPuuuruuuruuuruuuruuur.PFAPFB.1】周兴和.高等几何.科学出版社，2003.92】李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J］，2012(4)下半月。

极点极线与调和点列,调和线束(高观点下的圆锥曲线拓展)(解析版)

极点极线与调和点列，调和线束专题(高观点拓展)近3年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙卷卷，第22题,调和线束平行截取中点证明中点问定点2022年新高考I 卷，第21题调和线束平行截取中点已知中点与平行求定点2020年全国I 卷，第22题自极三角形问题证明直线过定点题型解读【题型1】极点极线【题型2】调和点列模型【题型3】自极三点形与a 2模型【题型4】斜率成等差模型【题型5】调和线束，平行截中点高考真题再现1(2023年全国乙卷)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C 的方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】（1）y 29+x 24=1（2）0,3【高观点简析】记B -2,3 ，点B 的极线y 3-x2=1过点A ，设极线与PQ 交于点D ，则B ，P ，D ，Q 为调和点列，AB ，AP ，AD ，AQ 为调和线束，而AB 平行y 轴，故MN 的中点为y 轴于极线的交点【详解】(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1.(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3 x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3 x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 .2(2020全国高考Ⅰ卷20)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；x 29+y 2=1(2)证明：直线CD 过定点.32,0 【高观点】延长CB ,AD 交于点Q ，AB ∩CD =E ，则△EPG 为自极三角形，故x =6为E 点的极线，则E 为32,0【详解】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ，B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB=a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)[方法一]：设而求点法证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y9x +3，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9.同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1当y 20≠3时，∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32 所以直线CD 过定点32,0 ．当y 20=3时，直线CD ：x =32，直线过点32,0 ．故直线CD 过定点32,0 ．[方法二]【最优解】：数形结合二次曲线系方程设P (6,t )，则直线PA 的方程为y =t9(x +3)，即tx -9y +3t =0．同理，可求直线PB 的方程为tx -3y -3t =0．则经过直线PA 和直线PB 的方程可写为(tx -9y +3t )(tx -3y -3t )=0．可化为t 2x 2-9 +27y 2-12txy +18ty =0．④易知A ，B ，C ，D 四个点满足上述方程，同时A ，B ，C ，D 又在椭圆上，则有x 2-9=-9y 2，代入④式可得27-9t 2y 2-12txy +18ty =0．故y 27-9t 2 y -12tx +18t =0，可得y =0或27-9t 2 y -12tx +18t =0．其中y =0表示直线AB ，则27-9t 2 y -12tx +18t =0表示直线CD ．令y =0，得x =32，即直线CD 恒过点32,0 ．3(2022·全国乙卷高考真题)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1 两点．(1)求E 的方程；y 24+x 23=1(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．答案：(0,-2)【高观点简析】AB 为P 所对应的极线，故P ，M ，C ，N 四点成调和点列，故AP ，AM ，AC ，AN 四条线成调和线束，因为直线HM 平行AP ，且T 为HM 中点，由调和线束平行性质(平行于一组调和线束中的其中一条直线交另外三条直线的三个交点，其中一个点为另外两个点的中点)，故H 点必然在直线AN 上，故直线HN 过定(0,-2)【详解】(I )解：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．(II )证法一：定点为0,-2 ，证明如下：点P 1,-2 对应的极线为1⋅x 3+-2 y 4=1，即y =23x -2，即为直线AB ，则AP ,AB ;AM ,AN 为调和线束，过M 作MH ⎳AP ，交AB ,AN 于T ,H ，由调和性质可知T 为MH 中点，故直线HN 过定点0,-2 ．证法二：A 0,-2 ,B 32,-1 ，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263．求得HN方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y 12+3,y 1 ,H 3y 1+6-x 1,y 1 ，可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0，显然成立．综上，可得直线HN 过定点0,-2 ．高考模拟·新题速递【题型1】极点极线二次曲线的极点极线(1).二次曲线Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0极点P (x 0,y 0)对应的极线为Ax 0x +By 0y +Cx 0y +y 0x 2+D x 0+x2+E y 0+y 2+F =0x 2→x 0x ,y 2→y 0y ,xy →x 0y +y 0x 2,x →x 0+x2,y →y 0+y 2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1①极点P (x 0,y 0)在椭圆外，PA ,PB 为椭圆的切线，切点为A ,B 则极线为切点弦AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1；②极点P (x 0,y 0)在椭圆上，过点P 作椭圆的切线l ，则极线为切线l :x 0x a 2+y 0y b 2=1；③极点P (x 0,y 0)在椭圆内，过点P 作椭圆的弦AB ，分别过A ,B 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.1过点（3，1）作圆(x -1)2+y 2=1的两条切线，切点分别为A 、B 则直线AB 的方程为()A.2x +y −3=0B.2x −y −3=0C.4x −y −3=0D.4x +y −3=0解析：直线AB 是点（3，1）对应的极线，则方程为3-1 x -1 +1×y =1，即2x +y -3=0．故选A ．2已知点P 为2x +y =4上一动点．过点P 作椭圆x 24+y 23=1的两条切线，切点分别A 、B ，当点P 运动时，直线AB 过定点，该定点的坐标是．解析：设点P 的坐标是（m ,−2m +4），则切点弦AB 的方程为mx4+(−2m +4)y 3=1，化简得(3x −8y )m =12−16y ，令3x −8y =12−16y =0，可得x =2,y =34，故直线AB 过定点2，34．3(2024·广东湛江·一模)已知点P 为直线x -y -3=0上的动点，过P 作圆O :x 2+y 2=3的两条切线，切点分别为A ，B ，若点M 为圆E :x +2 2+y -3 2=4上的动点，则点M 到直线AB 的距离的最大值为．【答案】【分析】根据意义可设P x 0,y 0 ，求出直线AB 的方程为x 0x +y -3y -3=0，且恒过定点Q 1,-1 ，所以点M 到直线AB 的距离的最大值为QE +R =7.【详解】设P x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则满足x 0-y 0-3=0，x 12+y 12=3，x 22+y 22=3；易知圆O :x 2+y 2=3的圆心为O 0,0 ，半径r =3；圆E :x +2 2+y -3 2=4的圆心为E -2,3 ，半径R =2，如下图所示：易知OA ⏊PA ,OB ⏊PB ，所以OA ⋅PA=0，即x 1x 1-x 0 +y 1y 1-y 0 =0，整理可得x 1x 0+y 1y 0-3=0；同理可得x 2x 0+y 2y 0-3=0，即A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是方程x 0x +y 0y -3=0的两组解，可得直线AB 的方程为x 0x +y 0y -3=0，联立x 0-y 0-3=0，即x 0x +y -3y -3=0；令x +y =0-3y -3=0，可得x =1y =-1，即x =1,y =-1时等式x 0x +y -3y -3=0与x 0无关，所以直线AB 恒过定点Q 1,-1 ，可得QE =-2-12+3+1 2=5；又Q 在圆O 内，当AB ⏊QE ，且点M 为QE 的延长线与圆E 的交点时，点M 到直线AB 的距离最大；最大值为QE +R =5+2=74(2024·湖南衡阳·二模)(多选)已知圆C :x 2+y 2=4,P 是直线l :x +y -6=0上一动点，过点P 作直线PA ,PB 分别与圆C 相切于点A ,B ，则()A.圆C 上恰有一个点到l 的距离为22B.直线AB 恒过点23,23C.AB 的最小值是473D.四边形ACBP 面积的最小值为214【答案】BCD【分析】根据直线与圆的位置关系，求出圆上点到直线距离的最值可判断A 错误；求出直线AB 的方程可得其恒过点23,23 ，利用弦长公式可求得AB 的最小值是473，可得BC 正确；进而求得四边形ACBP 面积的最小值为214，即D 正确.【详解】易知圆心C 0,0 ，半径r =2，如下图所示：对于A ，圆心0,0 到直线l :x +y -6=0的距离为d =62=32，可得圆C 上的点到直线l 距离的最小值为32-2<22,圆C 上的点到直线l 距离的最大值为32+2>22，所以圆C 上恰有两个点到l 的距离为22，即A 错误；对于B ，设P t ,6-t ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，可得x 21+y 21=4,x 22+y 22=4；易知PA =x 1-t ,y 1-6+t ,CA =x 1,y 1 ，由PA ⋅CA =x 1x 1-t +y 1y 1-6+t =0，整理可得tx 1+6-t y 1=4，同理可得tx 2+6-t y 2=4，即可知A ,B 两点在直线tx +6-t y =4上，所以直线AB 的方程为tx +6-t y =4，即t x -y +6y -4=0，令x -y =06y -4=0 ，解得x =23y =23，所以直线AB 恒过定点23,23，即B 正确；对于C ，由直线AB 恒过定点23,23，当点23,23与圆心C 0,0的连线垂直于AB 时，AB 的值最小，点23,23 与圆心C 0,0 之间的距离为d 1=223，所以AB min =2r 2-d 21=473，故C 正确；对于D ，四边形ACBP 的面积为PA CA =2PA ，根据切线长公式可知PA =PC2-r 2=PC2-4，当PC 最小值，PA 最小，，所以，故四边形的面积为214，即D 正确；故选：BCD【题型2】调和点列模型一、调和点列的充要条件如图，若A ,C ,B ,D 四点构成调和点列，则有(一般前2个出现较多)AC BC =AD BD ⇔2AB =1AD +1AC⇔OC 2=OB ⋅OA ⇔AC ⋅AD =AB ⋅AO ⇔AB ⋅OD =AC ⋅BD 二、调和点列与极点极线的联系如图，过极点P 作任意直线，与椭圆交于M ,N ，与极线交点M 则点M ,D ,N ,P 成调和点列，若点P 的极线通过另一点D ，则D 的极线也通过P ．一般称P 、D 互为共轭点．1(2024江南十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x 轴的交点为1,0 ，其中一条渐近线的倾斜角为π3.(1)求C 的标准方程；x 2-y23=1(2)过点T 2,0 作直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，在线段AB 上取一点E 满足AE ⋅TB =EB ⋅AT ，证明：点E 在一条定直线上.【答案】x =12【高观点-简析】显然E 在T 的极线上，故E 点轨迹为T 的极线x =12【详解】(1)根据题意，设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1，由题知a =1，b a =tan π3=3，可得b =3；所以双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)易知T 2,0 为双曲线的右焦点，如下图所示：由题知直线l 斜率存在，根据对称性，不妨设斜率为k 0≤k ≤3 ，故直线的方程为y =k x -2 ，代入双曲线方程得3-k 2 x 2+4k 2x -4k 2+3 =0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由韦达定理有x 1+x 2=-4k 23-k 2，x 1x 2=-4k 2+33-k 2，且x 1≤-1，1≤x 2<2，设E x 0,y 0 ，点E 在线段AB 上，所以x 1<x 0<x 2由AE ⋅TB =EB ⋅AT 可得1+k 2x 0-x 1 ⋅1+k 22-x 2 =1+k 2x 2-x 0 ⋅1+k 22-x 1 化简得4x 0-2+x 0 x 1+x 2 +2x 1x 2=0，代入x 1+x 2和x 1x 2并化简可得x 0=12，即存在点E 满足条件，并且在定直线x =12上.2(安徽高考)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1)，且左焦点为F 1(-2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP |∙|QB |=|AQ |∙|PB |，证明：点Q 总在某定直线上．解析：(1)由题意得c 2=21a 2+1b 2=1c 2=a 2−b 2，解得a 2=4,b 2=2，所求椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)解法：已知PB PA =QBQA，说明点P ,Q 关于椭圆调和共轭，根据定理3，点Q 在点P 对应的极线上，此极线方程为4⋅x4+1⋅y 2=1，化简得2x +y −2=0．故点Q 总在直线2x +y −2=0．3已知F 1、F 2分别为椭圆C 1:y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2:x 2=4y 的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且|MF 1|=53.(1)求椭圆C 1的方程;y 24+x 23=1(2)已知点P (1,3)和圆O :x 2+y 2=b 2，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点A ,B ，在线段AB 上取一点Q ，满足:AP =-λPB ，AQ =λQB，(λ≠0且λ≠±1).求证:点Q 总在某定直线上. 答案：x +3y =3【高观点-简析】由题可知AP =λBP ，即APBP =AQ BQ，故点Q 在P 点的极线上【详解】(1)设M x 0，y 0 ，因为点M 在抛物线C 2上，且|MF 1|=53，所以x 02=4y 0y 0+1=53 ，解得x 0=-263y 0=23，又点M 在抛物线C 1上，所以232a2+-2632b2=1，且c =1，即b 2=a 2-1，解得a 2=4,b 2=3，所以椭圆C 1的方程y 24+x 23=1；(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x ,y ，因为AP =-λPB，所以1-x 1，3-y 1 =-λx 2-1,y 2-3 ，即有x 1-λx 2=1-λ，1 y 1-λy 2=31-λ ，2，又AQ =λQB ，所以x -x 1，y -y 1 =λx 2-x ,y 2-y ，即有x 1+λx 2=x 1+λ ，3 y 1+λy 2=y 1+λ ，4，所以1 ×3 +2 ×4 得：x 12+y 12-λ2x 22+y 22 =x +3y 1-λ2，又点A 、B 在圆x 2+y 2=3上，所以x 12+y 12=3，x 22+y 22=3，又λ≠±1，所以x +3y =3，故点Q 总在直线x +3y =3上．【题型3】自极三点形与a 2模型如图, 设P 是不在圆雉曲线上的一点, 过P 点引两条割线依次交二次曲线于E ,F ,G ,H 四点, 连接对角线EH ,FG 交于N , 连接对边EG ,FH 交于M , 则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆雉曲线上的点, 则过P 点的切线即为极线.同理, PM 为点N 对应的极线, PN 为点M 所对应的极线. 因而将△MNP 称为自极三点形. 设直线MN 交圆锥曲线于点A ,B 两点, 则PA , PB 恰为圆锥曲线的两条切线.从直线x =t 上任意一点P 向椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右顶点A 1,A 2引两条割线PA 1,PA 2与椭圆交于M ,N 两点，则直线MN 恒过定点a 2t,0 ．2024杭州二模1已知A ,B 是椭圆E :x 24+y 2=1的左，右顶点，点M m ,0 m >0 与椭圆上的点的距离的最小值为1．(1)求点M 的坐标．(2)过点M 作直线l 交椭圆E 于C ,D 两点(与A ,B 不重合)，连接AC ，BD 交于点G ．(ⅰ)证明：点G 在定直线上【答案】（1）3,0 （2）x =43【高观点-简析】如图，椭圆内接四边形ABCD ，连接2组对边与对角线交点，得△EGM 为自极三角形，故EG 在M 点的极线上，则G 点轨迹为x =43【详解】解(1)设P x 0,y 0 是椭圆上一点，则x 02+4y 02=4．因为PM =m -x 02+y 20=34x 0-43m 2-13m 2+1,-2≤x 0≤2 ．①若0<m ≤32,PM min =1-13m 2=1，解得m =0(舍去)．②若m >32,PM min =34⋅4-4m +m 2+1=1，解得m =1(舍去)或m =3．所以M 点的坐标位3,0 ．(2)(ⅰ)设直线l :x =ty +3,C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ．由x =ty +3x 24+y 2=1，得t 2+4 y 2+6ty +5=0．所以y 1+y 2=-6t t 2+4,y 1y 2=5t 2+4．所以y 1+y 2=-65ty 1y 2①由Δ=16t 2-80>0，得t >5或t <-5．易知直线AC 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ②直线BD 的方程为y =y 2x 2-2x +2 ③联立②③，消去y ，得x +2x -2=x 1+2 y 2x 2-2 y 1=ty 1+5 y 2ty 2+1 y 1=ty 1y 2+5y 2ty 1y 2+y 1④联立①④，消去ty 1y 2，则x +2x -2=-56y 1+y 2 +5y 2-56y 1+y 2 +y 1=-5．解得x =43，即点G 在直线x =43上．2已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F 1(-3,0)，且过点P 32,134 .(1)求椭圆C 的标准方程；x 24+y 2=1(2)已知A 1,A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线x =1上任意一点，直线A 1Q ,A 2Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ,N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】(4,0)【高观点解析】椭圆内接四边形有自极三角形模型，故MN 过x 轴上一定点，该定点的极线为x =1，故定点为(4,0)【详解】【详解】(1)椭圆的一个焦点F 1(-3,0)，则另一个焦点为F 2(3,0)，由椭圆的定义知:PF 1+PF 2=2a ，所以32--3 2+1342+32-32+1342=2a ，解得a=2.又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)设Q (1,t ),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则直线A 1Q :y =t 3(x +2)，与x 24+y 2=1联立可得4t 2+9 x 2+16t 2x +16t 2-36=0，所以x A 1+x M =-16t 24t 2+9，所以x M =-16t 24t 2+9-x A 1=-8t 2+184t 2+9，所以y M =t 3-8t 2+184t 2+9+2 =12t 4t 2+9，所以M -8t 2+184t 2+9,12t4t 2+9，又直线A 2Q :y =-t (x -2)，与x 24+y 2=1联立可得4t 2+1 x 2-16t 2x +16t 2-4=0，所以x A 2+x N =16t 24t 2+1，所以x N =16t 24t 2+1-x A 2=8t 2-24t 2+1，所以y N =-t 8t 2-24t 2+1-2 =4t 4t 2+1，所以N 8t 2-24t 2+1,4t4t 2+1所以直线MN 的斜率为12t 4t 2+9-4t4t 2+1-8t 2+184t 2+9-8t 2-24t 2+1=-2t 4t 2+3所以直线MN :y -12t 4t 2+9=-2t 4t 2+3x --8t 2+184t 2+9=-2t4t 2+3(x -4)所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为(4,0).深圳二模1已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点M 1,32 ，且焦距F 1F 2 =23，线段AB ,CD 分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E 的方程；x 24+y 2=1(2)若N (s ,t )是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线PQ 经过定点．①s =1,t ≠±32，直线NA ,NB 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ；4,0②t =2,s ∈R ，直线NC ,ND 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ．0,12 【高观点-简析】(2)如图，椭圆内接四边形ABQP ，连接2组对边，由自极三角形模型可知，N 点轨迹为M 点的极线，故M 4,0(3)如图，N 点的轨迹为M 点的极线方程y =2，故M 点坐标为0,12【详解】(1)由已知，c =3，点M 1,32 在椭圆上，所以1a 2+34b2=1，又因为a 2-b 2=c 2，所以a 2=4,b 2=1，所以椭圆的方程为：a 2=4,b 2=1.(2)选①，则N (1,t ),A -2,0 ,B 2,0 ，设P x P ,y P ,Q x Q ,y Q ，k NA =t 1+2=t 3,k NB =t 1-2=-t ,所以l NA :y =t3x +2 ,l NB :y =-t x -2 ,y =t 3x +2x 24+y 2=1消去y 得：9+4t 2 x 2+16t 2x +16t 2-36=0，Δ=256t 4-49+4t 2 16t 2-36 =362>0所以-2x P =16t 2-369+4t 2，所以x P =-8t 2+189+4t 2，则y P =12t9+4t 2，所以P -8t 2+189+4t 2,12t 9+4t 2，y =-t x -2x 24+y 2=1，消去y 得：1+4t 2 x 2-16t 2x +16t 2-4=0，Δ=256t 4-41+4t 2 16t 2-4 =16>0，所以2xQ =16t 2-41+4t 2，所以x Q =8t 2-21+4t 2，则y Q=4t 1+4t 2，所以Q 8t 2-21+4t 2,4t 1+4t 2，所以k PQ =12t 9+4t 2-4t1+4t 2-8t 2+189+4t 2-8t 2-21+4t2=32t 3-24t 36-64t 4=-2t 3+4t 2，所以直线PQ 的方程为：y -4t 1+4t 2=-2t 3+4t 2x -8t 2-21+4t 2，所以16y 4+8x -32 t 3+16yt 2+2x -8 t +3y =0，所以y =0,x =4，故直线PQ 恒过定点4,0 .选②，则N (s ,2),C 0,1 ,D 0,-1 ，设P x P ,y P ,Q x Q ,y Q ，k NC =2-1s =1s ,k ND =2+1s =3s ,所以l NC :y =1s x +1,l ND :y =3s x -1,y =1s x +1x24+y 2=1消去y 得：4+s 2 y 2+2s 2y +s 2-4=0，Δ=4s 4-44+s 2 s 2-4 =64>0所以y P =s 2-4s 2+4，所以x P =-8s s 2+4，所以P -8s s 2+4,s 2-4s 2+4同理：y Q =36-s 2s 2+36，所以x Q =24s s 2+36，所以Q 24s s 2+36,36-s 2s 2+36k PQ =36-s 2s 2+36-s 2-4s 2+424s s 2+36--8ss 2+4=s 2+12 ⋅12-s 216s s 2+12=12-s 216s所以直线PQ 的方程为：y -s 2-4s 2+4=12-s 216s x +8ss 2+4令x =0，则y =12-s 2+2s 2-82s 2+4 =s 2+42s 2+4=12故直线PQ 恒过定点0,12.2023广州白云区高三统考1已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F 2,0 ，直线y =x -1与其相交于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为-12．(1)求双曲线的方程；(2)设A 1，A 2为双曲线实轴的两个端点，若过F 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线A 1M 与直线A 2N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．【高观点简析】由自极三角形模型可知，Q 点在点F 的极线上运动，故Q 点轨迹为x =a 2c =12【答案】(1)x 2-y 23=1；(2)交点Q 在定直线x =12上.【详解】(1)设直线l 的方程为y =x +a ，联立y =x +ax 2a 2-y2b2=1，得y =2ab 2b 2-a 2，又e =ca=2，c 2=a 2+b 2，代入上式得y =3a ，即y B =3a ，∴S △A 1BF =12a +c ⋅3a =92，解得a =1，∴b =3，c =2，∴双曲线的方程为x 2-y 23=1．(2)当直线l 点的斜率不存在时，M 2,3 ，N 2,-3 ，直线A 1M 的方程为y =x +1，直线A 2N 的方程为y =-3x +3，联立直线A 1M 与直线A 2N 的方程可得的Q 12,32，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k x -2 ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立y =k x -2x 2-y 23=1得3-k 2 x 2+4k 2x -4k 2-3=0，∴x 1+x 2=4k 2k 2-3，x 1x 2=4k 2+3k 2-3，∴直线A 1M 的方程为y =y 1x 1+1x +1 ，直线A 2N 的方程为y =y 2x 2-1x -1 ，联立直线A 1M 与直线A 2N 的方程可得：x +1x -1=y 2x 1+1 y 1x 2-1 ，两边平方得x +1x -1 2=y 22x1+1 2y 21x 2-1 2，又M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 满足x 2-y 23=1，∴y 22x 1+1 2y 21x 2-1 2=3x 22-1 x 1+1 23x 21-1 x 2-1 2=x 2+1 x 1+1x 1-1 x 2-1 =x 1x 2+x 1+x 2 +1x 1x 2-x 1+x 2 +1=4k 2+3k 2-3+4k 2k 2-3+14k 2+3k 2-3-4k 2k 2-3+1=4k 2+3+4k 2+k 2-34k 2+3-4k 2+k 2-3=9，∴x +1x -12=9，∴x =12，或x =2，(舍去)综上，Q 在定直线上，且定直线方程为x =12．2(2010江苏18)在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆x 29+y 25=1的左右顶点为A ,B ，右顶点为F ，设过点T (t ,m )的直线TA ,TB 与椭圆分别交于点M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，其中m >0,y 1>0,y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2-PB 2=4, 求点P 的轨迹；(2)设x 1=2,x 2=13，求点T 的坐标；(3)设t =9,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点.(其坐标与m 无关)解析：方法一(高考标准答案1)：直线AT :y =m 12(x +3)，直线BT :y =m6(x -3)，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，联立AT 与椭圆，则y 1=m 12(x 1+3)x 219+y 215=1得x 1=240-3m 280+m2y 1=40m 80+m 2，即M 240-3m 280+m 2,40m 80+m 2 ，同理N 3m 2-6020+m 2,-20m20+m 2★处理一(特殊+验证)：当x 1=x 2(MN 垂直x 轴)，解得m =210，MN 方程为x =1，过定点D (1,0)；当x 1≠x 2，k MD =40m80+m 2240-3m 280+m 2-1=10m 40-m 2,k ND =-20m20+m 23m 2-6020+m2-1=10m 40-m 2，及M ,D ,N 三点共线，即M ,N 过定点D (1,0)处理二(硬解直线方程)：由★得MN 方程为：x -240-3m 280+m 2y -40m 80+m 2=240-3m 280+m 2-3m 2-6020+m 240m 80+m 2--20m 20+m2 ，令y =0，解得x =1，即M ,N 过定点(1,0)方法二(多元未知数整体处理此法适用于过椭圆两顶点问题)：直线AT :y =m 12(x +3)，直线BT :y =m6(x -3)，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，带入直线AT ,BT 消去m 得y 1x 1+3×2=y 2x 2-3①由椭圆x 29+y 25=1可得：x 2-9=-95y 2，即yx +3=-95⋅x -3yy x -3=-95⋅x +3y，带入①得-95⋅x 1-3y1×2=-95⋅x 2+3y 2，即x 1-3y 1×2=x 2+3y 2②，①可变形(取倒)为x 1+3y 1=x 2-3y 2×2③(②+③)/3得：x 1-1y 1=x 2-1y 2(对比直线两点式或与(1，0)斜率)，即M ,N 过定点(1,0)方法三(极点极线)：如图，点T 的轨迹方程为x =9，即1×x9+0×y 5=1，又AM ,BN 交点在x =9上，由此可知，D (1,0)为极点, x =9为对应的极线，即AB ,MN 交点为D (1,0)，即M ,N 过定点D (1,0)方法四(伸缩(仿射)变换+调和点列)：补充知识.(1)放射变换为另一专题(2)如图，在ΔABC 中，三条高交于点F ，高的垂足DE 交AF 于G ，则A ,G ,F ,H 成调和点列，即AGGF=AHFH本题证明：如图，可将椭圆x 29+y 25=1伸缩变换为x 2+y 2=9，因为∠AMB =∠ANB =90°，则B 为ΔATF 高的交点，由上述性质运用知A ,D ,B ,E 成调和点列，即AD DB =AE BE，设D (a ,0)，则a +33-a =126，解得a =1，即M ,N过定点D (1,0)方法五(二次曲线系)：补充：二次曲线系性质：若三个二次曲线系f 1(x ,y ),f 2(x ,y ),f 3(x ,y )过4个相同的点，则一定存在两实数λ,μ，使得λf 1(x ,y )+μf 2(x ,y )=f 3(x ,y ).(可根据六个单项式系数关系求解问题)本题证明：如图，本题过A ,M ,B ,N 四点的二次曲线有抛物线x 29+y 25=1；直线AM :12y -mx -3m =0和BN :6y -mx +3m =0；直线AB :y =0和直线MN :ax +by +c =0所以λy (ax +by +c )+μ(12y -mx -3m )(6y -mx +3m )=x 29+y 25-1，观察y 与xy 的系数有λc +18mμ=0λa -18mμ=0 ，则c =-a ，所以MN :by =a (1-x )，则M ,N 过定点D (1,0)点评：2010年江苏高考题被公认为史上最难高考之一，又一次把葛军老师推向风口浪尖，此题官方解答为常规解法，看似简洁，其实其中计算量很大，据说当年没有考生在考场上将此题拿到满分，难度可想而知，但通过高观点(仿射变换/调和点列/二次曲线系/极点极线)分析，我们会发现原来如此“简单”(直接是结论的考察)，所以在平时教学中渗透高观点下的解题思路十分必要，特别是对尖子生的培养。

专题11 极点极线与定点定值

206专题11 极点极线与定值定点第一讲极点极线原理介绍极点极线显威力———运用高观点例析圆锥曲线中的完全四点形问题如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线．若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线．由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线．因而将MNP 称为自极三点形．任意一点对应的极线为另外两点的连线．设直线MN 交圆锥曲线于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线．图1只有“站得高”，遇到问题才能够从容面对．解析几何一直是学生乃至部分中学数学老师所害怕的内容，如果能从高等数学的视角去看待这些问题，有时候处理起来将会变得非常容易．极点、极线是高等几何中的内容，但在中学里会经常涉及．统一结论：已知圆锥曲线：220Ax +By +Dx +Ey +F =，则点00P x y （，）对应的极线方程为：0000022x x y yAx x By y D E F ++++⋅+⋅+=．以椭圆为例，我们来证明一下极点极线的结论如图M 是椭圆22221x y a b +=外一点，过P 作两条直线分别与椭圆交于A ，B 和C ，D 两点．N 是AD 与CD 的交点，证明N 点在直线221M M x x y ya b+=上接下来我们推广到更一般的形式，设AC 和BD 交于点1N ，类似的方法我们也可以证明11221M N M N x x y y a b +=从而111()N N N x y ，一定在直线221M M x x y y a b +=上，那么点N 和1N 均在直线221M M x x y ya b+=上，随着ABCD 四点的运动，所有的点N 和1N 的轨迹就构成了直线221M M x x y y a b +=，即点M 对应的极线为221M M x x y ya b+=，同样的以点N 为研究对象，可以得出其对应的极线是1MN 两点的连线所在的直线，同样的以点1N 为研究对象，可以得出其对应的极线是MN 两点的连线所在的直线207除此之外，极点极线还有如下结论，M 是椭圆外一点，N 是M 对应的极线上位于椭圆内的任一点，连接MN交椭圆于EF 两点，则22M N E F x x x x ⋅==，且ME NEMF NF=现证明如下设M 是椭圆22221x y a b+=外一点，MA ，MB 均与椭圆相切，O 为椭圆的中心，直线MO 与AB 交于点N ，交椭圆于E ，F ．则22M N E F x x x x ⋅==，且ME NEMF NF=此结论还可以用定比点差法来证明，参见定比点差法那一节第二讲应用极点极线的解决定值定点【例9】（武汉模拟）已知A ，B 分别为双曲线22:13y x Γ-=实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，)B ，则直线AP ，BQ 的斜率之比:AP BQ k k =（） A ．13-B ．3-C ．23-D ．32-【例10】已知椭圆C ：22142x y +=的左、右顶点分别为A ，B ，过x 轴上一点()40M -，作一直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点（异于A ，B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为1k ，2k ，则12:k k =（）A ．13B ．3C ．12D ．2【例11】（沙坪坝期中）设A ，B 分别是双曲线2213y x -=的左右顶点，设过1()2P t ，的直线PA ，PB 与双曲线分别交于点M ，N ，直线MN 交x 轴于点Q ，过Q 的直线交双曲线的于S ，T 两点，且2SQ QT =，则BST ∆的面积（） ABCD ．32208【例12】（济南二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，(01)N -，为椭圆的一个顶点，且右焦点2F 到双曲线222x y -=（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆C 交于A 、B 两点． ①若NA ，NB 为邻边的平行四边形为菱形，求m 的取值范围； ①若直线l 过定点(11)P ，，且线段AB 上存在点T ，满足||||||||AP PB AT TB =，证明：点T 在定直线上．【例13】（2013•江西）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ，3a b +=．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明2m k -为定值．【例14】(湖北十一校联考)已知直线2y x =-与抛物线22y px =相交于A ，B 两点，满足OA OB ⊥．定点()42C ，，()40D -，，M 是抛物线上一动点，设直线CM ，DM 与抛物线的另一个交点分别是E ，F ．(1)求抛物线的方程；(2)求证：当M 点在抛物线上变动时(只要点E 、F 存在且不重合)，直线EF 恒过一个定点；并求出这个定点的坐标.第三讲非典型极点极线解决定值定点（平行情况）圆锥曲线上四点构成的四边形ABCD 为梯形时，如图，//AD BC ，无法构成自极三角形，则点P 对应的极线过AC ，BD 所在直线的交点，且极线与AD 平行．（设AC ，BD 交于M ,可以认为直线AD 和BC 的交于无限远处的一点N ，按照极点极线模型可知MN 为点对应的极线，则MN 与AC ，BD 的交点都在无限远处，所以////MN AD BC ）这种情况我们称之为非典型极点极线．推论1：四线平行模型：设AC ，BD 交于点M ，则M 点对应的极线为一条经过P 点的直线，并且与AC ，BD 都平行(图中未画出)，且与P 点对应的极线也平行．设00M(x y )，，则M 点对应极线方程为00221x x y ya b+=，其斜率为2020b x a y -，故2020AD BC b x k k a y ==-（双曲线中2020AD BC b x k k a y ==，抛物线中0AD BC pk k y ==），这三个和中点弦的斜率形式一模一样，非常好记．推论2：特别地，如右图若AD ①BC ①y 轴，由对称性知AC ，BD 的交点Q 在x 轴上，则点(0)p P x ，的极线过点Q ，且与y轴平行，209结合上一节中的结论2，有22OP OQ OR a ⋅==．（我们把这个模型称之为2a 模型），由对称性可知此时ABCD 为等腰梯形，则ABCD 四点共圆，由圆的曲线系可知此时0AC BD k k +=（证明过程参见圆的曲线系那一节）．【例15】（桃城月考）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>内有一定点(11)P ，，过点P 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆Γ交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC λ=，BP PD λ=，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-，则椭圆Γ的离心率为（） AB ．12CD【例16】（泉州模拟）已知双曲线2222:1(,0)x y E a b a b -=>，斜率为18-的直线与E 的左右两支分别交于A ，B两点，点P 的坐标为(12)-，，直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D ．若直线CD 的斜率为18-，则E 的离心率为（） AB ．32CD ．52【例17】（湖北省预赛题）设)(00y x P ，为椭圆1422=+y x 内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两条直线分别与椭圆交于点A 、C 和B 、D ，且AB//CD ．（1）证明：直线AB 的斜率为定值；（2）过点P 作AB 的平行线，与椭圆交于E 、F 两点，证明：点P 平分线段E 、F ．【例18】已知抛物线)0(22>=p px y ，斜率为)0(≠k k 的动直线l 与抛物线交于两点A 、B ，抛物线内的定点)(0k px P ，为直线l 外一点，若直线AP 、BP 分别与抛物线交于另一点C 、D ，问直线AD 、BC 是否相交于定点？若是，求出定点坐标：若不是，说明理由．很多考题的命题背景是极点极线，熟练使用极点极线的结论，解题方向会更加清晰.【例19】已知抛物线22(0)y px p =>，过点(20)，作直线与抛物线交于两点，若两点纵坐标之积为8-．（1）求抛物线的方程；（2）斜率为1的直线不经过点(22)P ，且与抛物线交于A 、B ． ①求直线l 在y 轴上截距b 的取值范围；①若AP 、BP 分别与抛物线交于另一点C 、D ，证明：AD 、BC 交于一定点M ．【例20】已知抛物线E ：22(0)x py p =>的焦点F ，0(2)A y ，是E 上一点，且||2AF =．（1）求E 的方程：（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点．210通过这道题我们可以总结出在抛物线中如何快速找到平面上某点对应的极线的快速做法，对于平面内任一点A （A 不在抛物线上），过A 作一条与抛物线对称轴平行的直线l ，交抛物线于点B ，延长AB 至C ，使得BC=AB ，过C 点作一条平行线1l 与过B 点的切线平行，则1l 为点A 关于抛物线对应的极线。

二轮复习第44讲解析几何中的极点极线问题

第44讲解析几何中的极点极线问题一．选择题(共4小题)1．(2021•柯桥区模拟)过点M (1,1)的两条直线l 1，l 2分别与双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >1,b >1)相交于点A ，C 和点B ，D ，满足AM =λMC ，BM =λMD(λ>0且λ≠1)．若直线AB 的斜率k =2，则双曲线C 的离心率是( )A ．2B ．2+1C ．2D ．3【解答】解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则AM =(1-x 1,1-y 1)，MC =(x 3-1,y 3-1)，BM =(1-x 2,1-y 2)，MD =(x 4-1,y 4-1)，∵AM =λMC ，BM =λMD (λ>0且λ≠1)，∴AB ⎳CD ，则k AB =k CD =2．∴x 1+λx 3=1+λy 1+λy 3=1+λ，x 2+λx 4=1+λy 2+λy 4=1+λ ，∴x 1+x 2+λ(x 3+x 4)=2(1+λ)y 1+y 2+λ(y 3+y 4)=2(1+λ)，∴x 1+x 2+λ(x 3+x 4)=y 1+y 2+λ(y 3+y 4)，∵x 12a 2-y 12b 2=1，x 22a 2-y 22b2=1，∴y 1-y 2x 1-x 2=b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2，即2=b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2，∴2a 2(y 1+y 2)-b 2(x 1+x 2)=0，则x 1+x 2=2a 2(y 1+y 2)b 2，同理可得：2a 2(y 3+y 4)-b 2(x 3+x 4)=0，则x 3+x 4=2a 2(y 3+y 4)b 2，∴2a 2(y 1+y 2)b 2+λ⋅2a 2(y 3+y 4)b 2=y 1+y 2+λ(y 3+y 4)，∵λ>0且λ≠1，∴2a 2b2=1，即2a 2=b 2，∴双曲线的离心率e =c a =a 2+b 2a 2=3．故选：D ．2．(2021•武汉模拟)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)内有一点M (2,1)，过M 的两条直线l 1，l 2分别与椭圆E 交于A ，C 和B ，D 两点，且满足AM =λMC ,BM =λMD(其中λ>0，且λ≠1)，若λ变化时，AB 的斜率总为-12，则椭圆E 的离心率为( )A ．12B ．5-12C ．22D ．32【解答】解：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)、D (x 4，y 4)，由AM =λMC ，即(2-x 1，1-y 1)=λ(x 3-2，y 3-1)，则x 1+λx 3=2+2λy 1+λy 3=1+λ ，同理可得x 2+λx 4=2+2λy 2+λy 4=1+λ ，∴x 1+x 2+λ(x 3+x 4)=4(1+λ)y 1+y 2+λ(y 3+y 4)=2(1+λ)，则2[(y 1+y 2)+λ(y 3+y 4)]=1[(x 1+x 2)+λ(x 3+x 4)]，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a2×x 1+x 2y 1+y 2，即-12=-b 2a2×x 1+x 2y 1+y 2，则a 2(y 1+y 2)=2b 2(x 1+x 2)①，同理可得a2(y3+y4)=2b2(x3+x4)②，①+②得a2[(y1+y2)+(y3+y4)]=2b2[(x1+x2)+(x3+x4)]，又∴2[(y1+y2)+λ(y3+y4)]=1[(x1+x2)+λ(x3+x4)]，∴a22=2b21，则b2a2=14，则椭圆的离心率e=ca=1-b2a2=32，故选：D．3．(2021•武汉模拟)已知A，B分别为双曲线Γ:x2-y 23=1实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ交双曲线于P，Q两点(点P，Q异于A，B)，则直线AP，BQ的斜率之比k AP:k BQ=( ) A．-13B．-3C．-23D．-32【解答】解：由已知得双曲线Γ:a=1，b=3，c=2．故F(-2,0)，A(-1,0)，B(1,0)．设直线PQ:x=my-2，且P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由x=my-2x2-y23=1消去x整理得(3m2-1)y2-12my+9=0，∴y1+y2=12m3m2-1,y1y2=93m2-1，两式相比得m=34×y1+y2y1y2①，∴k AP:k BQ=y1x1+1×x2-1y2=y1(my2-3)y2(my1-1)=my1y2-3y1my1y2-y2②，将①代入②得：上式=34(y1+y2)-3y134(y1+y2)-y2=3(y2-3y1)3y1-y2=-3．故k AP:k BQ=-3．故选：B．4．(2021•湖北月考)已知椭圆C:x24+y 22=1的左右顶点分别为A，B，过x轴上点M(-4,0)作一直线PQ与椭圆交于P，Q两点(异于A，B)，若直线AP和BQ的交点为N，记直线MN和AP的斜率分别为k1，k2，则k1: k2=( )A．13B．3C．12D．2【解答】解：由椭圆的方程可知：a2=4，所以a=2，则A(-2,0)，B(2,0)，设Q(x1，y1)，P(x2，y2)，设直线PQ的方程为：x=my-4，则k AP=y2x2+2=k2，直线BQ的方程为：y=y1x1-2(x-2)⋯①，直线AP的方程为：y=y2x2+2x+2⋯②，联立①②解得：x=2y1(x2-2)+2y2(x1+2)-y1(x2-2)+y2(x1+2)=2y1(my2-6)+2y2(my1-2)-y1(my2-6)+y2(my1-2)=2my1y2-6y1-2y23y1-y2，所以x+4=2my1y2+6y1-6y23y1-y2(*)，联立方程x =my -4x 24+y 22=1，消去x 化简可得：(2+m 2)y 2-8my +12=0，所以y 1+y 2=8m 2+m 2,y 1y 2=122+m2，所以my 1y 2=32(y 1+y 2)，代入(*)式得x +4=9y 1-3y 23y 1-y 2=3，因为k 1=y x +4，k 2=y x +2，所以k 1k 2=x +2x +4=1-2x +4=1-23=13，故选：A ．二．填空题(共4小题)5．已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)内有一点M (2,1)过点M 的两条直线分别与椭圆E 相交于A ．C 和B ，D 两点若|MA ||MC |=|MB ||MD |，若直线AB 的斜率为-12，则该椭圆的离心率为　32　【解答】解：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)、D (x 4，y 4)，由|MA ||MC |=|MB ||MD |，可设AM =λMC ，BM =λMD ，即(2-x 1，1-y 1)=λ(x 3-2，y 3-1)，则x 1+λx 3=2+2λy 1+λy 3=1+λ ，同理可得x 2+λx 4=2+2λy 2+λy 4=1+λ ，∴x 1+x 2+λ(x 3+x 4)=4(1+λ)y 1+y 2+λ(y 3+y 4)=2(1+λ)，则2[(y 1+y 2)+λ(y 3+y 4)]=1[(x 1+x 2)+λ(x 3+x 4)]，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2∙x 1+x 2y 1+y 2，即-12=-b 2a 2∙x 1+x 2y 1+y 2，则a 2(y 1+y 2)=2b 2(x 1+x 2)①，同理可得a 2(y 3+y 4)=2b 2(x 3+x 4)②，①+②得a 2[(y 1+y 2)+(y 3+y 4)]=2b 2[(x 1+x 2)+(x 3+x 4)]，又∴2[(y 1+y 2)+λ(y 3+y 4)]=1[(x 1+x 2)+λ(x 3+x 4)]，∴a 22=2b 21，则b 2a2=14，则椭圆的离心率e =ca=a 2-b 2a 2=32，故答案为：32．6．(2021•龙凤区校级月考)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)内一点M (2,1)，过点M 的两条直线l 1，l 2分别与椭圆E 交于A ，C 和B ，D 两点，且满足AM =λMC ,BM =λMD(其中λ>0且λ≠1)，若λ变化时直线AB 的斜率总为-23，则椭圆的离心率为　63　．【解答】解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，∵AM =λMC ，∴(2-x 1，1-y 1)=λ(x 3-2，y 3-1)，即2-x 1=λ(x 3-2)1-y 1=λ(y 3-1) ，∴x 1+λx 3=2+2λy 1+λy 3=1+λ ，同理可得，x 2+λx 4=2+2λy 2+λy 4=1+λ，∴x 1+x 2+λ(x 3+x 4)=4(1+λ)y 1+y 2+λ(y 3+y 4)=2(1+λ)，∴(x 1+x 2)+λ(x 3+x 4)=2[(y 1+y 2)+λ(y 3+y 4)]，∵A ，B 两点均在椭圆上，∴x 21a 2+y 21b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1 ，两式相减整理得，y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2，即-23=-b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2，∴3b 2(x 1+x 2)=2a 2(y 1+y 2)①，同理可得，3b 2(x 3+x 4)=2a 2(y 3+y 4)②，①+②×λ得，2a 2[(y 1+y 2)+λ(y 3+y 4)]=3b 2[(x 1+x 2)+λ(x 3+x 4)]，又(x 1+x 2)+λ(x 3+x 4)=2[(y 1+y 2)+λ(y 3+y 4)]，∴2a 22=3b 21，即b 2a2=13，∴离心率e =c a =1-b 2a 2=63．故答案为：63．7．设F 为椭圆C:x 24+y 23=1的右焦点，过椭圆C 外一点P 作椭圆C 的切线，切点为M ，若∠PFM =90°，则点P 的轨迹方程为　x =4(y ∈R )　．【解答】解：设切点M (x 0，y 0)，则椭圆的切线方程为：x 0x4+y 0y 3=1．设P (x ,y )，∵∠PFM =90°，∴(x -1)(x 0-1)+yy 0=0．联立解得：x =4．∴点P 的轨迹方程为：x =4．故答案为：x =4(y ∈R )．8．(2021•南通模拟)若椭圆x 2a 2+y 2b2=1的焦点在x 轴上，过点1,12 作圆x 2+y 2=1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是　x 25+y 24=1　．【解答】解：设过点1,12 的圆x 2+y 2=1的切线为l :y -12=k (x -1)，即kx -y -k +12=0①当直线l 与x 轴垂直时，k 不存在，直线方程为x =1，恰好与圆x 2+y 2=1相切于点A (1,0)；②当直线l 与x 轴不垂直时，原点到直线l 的距离为：d =-k +12k 2+1=1，解之得k =-34，此时直线l 的方程为y =-34x +54，l 切圆x 2+y 2=1相切于点B 35，45 ；因此，直线AB 斜率为k 1=0-451-35=-2，直线AB 方程为y =-2(x -1)∴直线AB 交x 轴交于点A (1,0)，交y 轴于点C (0,2)．椭圆x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为(1,0)，上顶点为(0,2)∴c =1，b =2，可得a 2=b 2+c 2=5，椭圆方程为x 25+y 24=1故答案为：x 25+y 24=1．三．解答题(共32小题)9．(2021•朝阳区校级期中)已知A ，B 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点，点D 1,32 在椭圆C 上，且直线D 与直线DB 的斜率之积为-b 24．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)如图，已知P ，Q 是椭圆C 上不同于顶点的两点，直线AP 与QB 交于点M ，直线PB 与AQ 交于点N ．若弦PQ 过椭圆的右焦点F 2，求直线MN 的方程．【解答】解：(1)∵点D 1,32在椭圆C 上，∴1a 2+94b2=1，又直线DA 与直线DB 的斜率之积为-b 24，∴321+a ⋅321-a =941-a 2=-b 24，解得a 2=4，b 2=3，∴椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1．(2)设PQ :x =ty +1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立x =ty +1x 24+y 23=1，得(3t 2+4)y 2+6ty -9=0，∴y1+y2=-6t3t2+4，y1y2=-93t2+4，∴直线AP的直线方程为x=x1+2y1y-2，BQ的直线方程为x=x2-2y2y+2，联立，解得x M=4，同理，x N=4，∴直线MN的方程为x=4．10．(2021•常熟市期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点1,32，离心率为12，点B，C分别是椭圆E的左、右顶点，点P是直线l:x=4上的一个动点(与x轴交点除外)，直线PC 交椭圆于另一点M．(1)求椭圆E的方程；(2)当直线PB过椭圆E的短轴顶点(0,b)时，求ΔPBM的面积．【解答】解：(1)由题意ca=121a2+94b2=1，因为a2=b2+c2，得a=2，b=3，c=1．所以椭圆E的方程为x24+y23=1．(2)直线PB的方程为y=32(x+2)，得P(4,33)．所以直线PC的方程y=332(x-2)，联立方程组y=332(x-2)3x2+4y2=12，化简得5x2-18x+16=0，解得x1=2，x2=85，得点M85,-335．又点M到直线PB的距离d=24357，|PB|=37，所以SΔPBM=12×37×24357=3635．11．(2021•邗江区校级期中)如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，右焦点F，BF=1，过F且斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，M在x轴上方．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记ΔAFM，ΔBFN的面积分别为S1，S2，若S1S2=32，求k的值；(3)设线段MN的中点为D，直线OD与直线x=4相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2，k3，求k2∙(k1-k3)的值．【解答】解：(1)设椭圆的焦距为2c (c >0)．依题意可得e =c a =12，a -c =1，解得a =2，c =1．故b 2=a 2-c 2=3．所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若S 1S 2=32，则12|AF |∙|y 1|12|BF |∙|y 2|=32，即有y 2=-2y 1，①设直线MN 的方程为x =my +1(m >0)，与椭圆方程3x 2+4y 2=12，可得(4+3m 2)y 2+6my -9=0，可得y 1+y 2=-6m 4+3m 2，y 1y 2=-94+3m 2，②将①代入②可得8m 2=4+3m 2，解得m =255，则k =52；(3)由(2)得y D =y 1+y 22=-3m 4+3m 2，x D =my D +1=44+3m 2，所以直线OD 的方程为y =-3m4x ，令x =4，得y E =-3m ，即E (4,-3m )．所以k 3=-3m4-1=-m ．所以k 2∙(k 1-k 3)=k 2∙k 1+1k =y 2x 2-2∙y 1x 1+2+m =y 1y 2+my 2(x 1+2)(x 1+2)(x 2-2)=y 1y 2+my 2(my 1+3)(my 1+3)(my 2-1)=(1+m 2)y 1y 2+3my 2m 2y 1y 2-my 1+3my 2-3=(m 2+1)y 1y 2+3my 2m 2y 1y 2-m (y 1+y 2)-3+4my 2=-9(m 2+1)4+3m 2+3my 2-9m 24+3m 2+6m 24+3m 2-3+4my 2=-9(m 2+1)4+3m 2+3my 2-12(m 2+1)4+3m 2+4my 2=34．12．(2021春•射洪市期末)如图，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F ，F ，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，短轴为23，长轴长是焦距的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点．(1)若k =1时，记ΔAFM 、ΔBFN 的面积分别为S 1、S 2，求S 12+9S 22S 1S 2的值；(2)记直线AM 、BN 的斜率分别为k 1、k 2，是否存在常数λ使k 2=λk 1成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)因为2b =23，所以b =3，又因为a =2c ，所以a =2，c =1，所以椭圆C 的标准方程为：x 24+y 23=1．设点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，且A (-2,0)，B (2,0)，因为k =1，所以MN 的方程为y =x -1，联立y =x -1x 24+y 23=1得：7y 2+6y -9=0，所以y 1+y 2=-67,y 1y 2=-97，又S 21+9S 22S 1S 2=S 1S 2+9S 2S 1=12⋅3⋅|y 1|12⋅1⋅|y 2|+9⋅12⋅1⋅|y 2|12⋅3⋅|y 1|=(-3)y 1y 2+y 2y 1，因为y 1y 2+y 2y 1=y 12+y 22y 1y 2=(y 1+y 2)2-2y 1y 2y 1y 2=-187所以原式=547．(2)假设存在常数λ使k 2=λk 1成立，设直线l 的方程为y =k (x -1)，由y =k (x -1)x 24+y 23=1消去y 得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0，∴x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1⋅x 2=4k 2-124k 2+3，又k 2k 1=y 2x 2-2y 1x 1+2=y 2(x 1+2)y 1(x 2-2)=k (x 2-1)(x 1+2)k (x 1-1)(x 2-2)=x 1x 2+2x 2-x 1-2x 1x 2-2x 1-x 2+2=4k 2-124k 2+3+2x 2-8k 24k 2+3-x 2 -24k 2-124k 2+3-28k 24k 2+3-x 2-x 2+2=-12k 2-184k 2+3+3x 2-4k 2-64k 2+3+x 2=3-4k 2-64k 2+3+x 2-4k 2-64k 2+3+x 2=3，因此，k 2=3k 1，故λ=3．13．(2021•全国模拟)椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (c ,0)，规定直线x =a 2c 为椭圆E 的右准线，椭圆E 上的任意一点到右焦点F 的距离与其到右准线的距离之比为c a ．已知椭圆E :x 24+y 23=1．(1)若点D (-1,1)，P 是椭圆E 上的任意一点，求|PD |+2|PF |的最小值；(2)若M ，N 分别是椭圆E 的左、右顶点，过点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点(A ，B 非顶点)，证明：直线AM 与BN 的交点在椭圆E 的右准线上．【解答】解：(1)根据条件可得椭圆E 的右准线为x =4，e =c a =12，若PA 垂直于右准线，如图，则|PF |=e |PA |，即|PA |=2|PF |，所以|PD |+2|PF |=|PD |+|PA |，故当仅当D ，P ，A 三点共线时，|PD |+|PA |最短，即为D 到右准线的距离d =5，故|PD |+2|PF |的最小值为5；证明：(2)由题意，设l :x =ky +1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立x =ky +1x 24+y 23=1得：(3k 2+4)y 2+6ky -9=0，则y 1+y 2=-6k 3k 2+4，y 1y 2=-93k 2+4，又M (-2,0)，N(2,0)，则AM :y =y 1x 1+2(x +2)，BN :y =y 2x 2-2(x -2)，当x =4时，y AM =6y 1x 1+2=6y 1ky 1+3，y BN =2y 2x 2-2=2y 2ky 2-1，而6y 1ky 1+3-2y 2ky 2-1=6ky 1y 2-6y 1-6ky 1y 2-6y 2(ky 1+3)(ky 2-1)=4ky 1y 2-6(y 1+y 2)(ky 1+3)(ky 2-1)=4k ⋅-93k 2+4-6⋅-6k 3k 2+4(ky 1+3)(ky 2-1)=0，即y AM =y BN ，所以直线AM 与BN 的交点在椭圆E 的右准线x =4上，得证．14．(2021•南平二模)已知椭圆T :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)．(Ⅰ)若椭圆T 的离心率为53，过焦点且垂直于z 轴的直线被椭圆截得弦长为83．①求椭圆方程；②过点P (2,1)的两条直线分别与椭圆F 交于点A ，C 和B ，D ，若AB ⎳CD ，求直线AB 的斜率；(Ⅱ)设P (x 0，y 0)为椭圆T 内一定点(不在坐标轴上)，过点P 的两条直线分别与椭圆T 交于点A ，C 和B ，D ，且AB ⎳CD ，类比(Ⅰ)②直接写出直线T 的斜率．(不必证明)【解答】解：(Ⅰ)①∵椭圆T :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，椭圆T 的离心率为53，过焦点且垂直于z 轴的直线被椭圆截得弦长为83，∴2b 2a =83a 2-b 2a 2=59，解得a =3b =2 ，⋯(2分)∴椭圆T 的方程为x 29+y 24=1．⋯(3分)②设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),AP =λPC．则2-x 1=λ(x 3-2)，1-y 1=λ(y 3-1)，故x 3=2(1+λ)-x 1λ，y 3=(1+λ)-y 1λ．⋯(5分)∵点C 在椭圆上，∴x 239+y 234=1，则[2(1+λ)-x 1]29λ2+[(1+λ)-y 1]24λ2=1整理得(1+λ)249+14 -2(1+λ)2x 19+y 14 +x 219+y 214=λ2⋯(6分)由点A 在椭圆上知x 219+y 214=1，故(1+λ)249+14 -2(1+λ)2x 19+y 14=λ2-1．①⋯(7分)又AB ⎳CD ，则BP =λPD．同理可得(1+λ)249+14 -2(1+λ)2x 29+y 24=λ2-1．②⋯(8分)①-②得29(x 2-x 1)+14(y 2-y 1)=0．由题意可知x 1≠x 2，则直线AB 的斜率为k =y 2-y 1x 2-x 1=-89．⋯(10分)(Ⅱ)直线AB 的斜率为-b 2x 0a 2y 0．⋯(13分)15．(2021•安徽模拟)设P (x 0，y 0)为椭圆x 24+y =1内一定点(不在坐标轴上)，过点P 的两直线分别与椭圆交于A ，C 和B ，D ，若AB ⎳CD ．(Ⅰ)证明：直线AB 的斜率为定值；(Ⅱ)过点P 作AB 的平行线，与椭圆交于E ，F 两点，证明：点P 平分线段EF ．【解答】解：(Ⅰ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，AP =λPC，则x 0-x 1=λ(x 3-x 0)y 0-y 1=λ(y 3-y 0) ，∴x 3=(1+λ)x 0-x 1λy 3=(1+λ)y 0-y 1λ，∵点C 在椭圆上，∴x234+y 23=1，即[(1+λ)x 0-x 1]24λ2+[(1+λ)y 0-y 1]2λ2=1，整理得(1+λ)2x 204+y 20 -12(1+λ)(x 0x 1+4y 0y 1)+x 214+y 21 =λ2+x 214+y 21=λ2，又点A 在椭圆上，∴x 214+y 21=1，从而可得(1+λ)2x 24+y 20 -12(1+λ)(x 0x 1+4y 0y 1)=λ2-1=λ2-1①又∵AB ⎳CD ，故有BP =λPD．同理可得(1+λ)2x 204+y 20-12(1+λ)(x 0x 2+y 0y 2)=λ2-1②②-①得x 0(x 1-x 2)+4y 0(y 1-y 2)=0，∵P 点不在坐标轴上，∴x 0≠0，y 0≠0，又易知不与坐标轴平行，∴直线AB 的斜率k =y 1-y 2x 1-x 2=-x04y 0，为定值；(Ⅱ)直线EF 的方程为y =-x 04y 0(x -x 0)+y 0，代入椭圆方程得x 24+-x 04y 0(x -x 0)+y 0 2=1，整理得到x 02+4y 0216y 02x 2-x 0(x 20+4y 20)8y 20x +x 202+y 20-1=0，∴x E +x F =--x 0(x 20+4y 20)8y 20x 20+4y 2016y 20=2x ，故EP =PF ．16．(2021•安阳三模)已知椭圆M 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其短轴长为2，离心率为32．点P (x 0，y 0)为椭圆M 内一定点(不在坐标轴上)，过点P 的两直线分别与椭圆交于点A ，C 和B ，D ，且AB ⎳CD ．(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ)证明：直线AB 的斜率为定值．【解答】(Ⅰ)解：∵短轴长为2，离心率为32，∴a =2，b =1，∵焦点在x 轴上，∴椭圆M 的标准方程x 24+y 2=1；(Ⅱ)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，AP =λPC ，∴x 3=(1+λ)x 0-x 1λ，y 3=(1+λ)y 0-y 1λ，∵点C 在椭圆上，∴x 324+y 32=1，又点A 在椭圆上，∴x 124+y 12=1，从而可得(1+λ)2x 024+y 02-12(1+λ)(x 0x 1+4y 0y 1)=λ2-1①又∵AB ⎳CD ，故有BP =λPD ．同理可得(1+λ)2x 024+y 02 -12(1+λ)(x 0x 2+y 0y 2)=λ2-1②②-①得x 0(x 1-x 2)+4y 0(y 1-y 2)=0，∵P 点不在坐标轴上，∴x 0≠0，y 0≠0，又易知不与坐标轴平行，∴直线AB 的斜率k =y 1-y 2x 1-x 2=-x 04y 0，为定值．17．(2021•南昌一模)已知抛物线E :x 2=2py (p >0)的焦点为F ，过点F 且斜率为k (k ≠0)的动直线l 与抛物线交于A ，B 两点，直线l 过点A (x 1，y 1)，且点F 关于直线l 的对称点R (x 1，-1)．(1)求抛物线E 的方程，并证明直线l 是抛物线E 的切线；(2)过点A 且垂直于l 的直线交y 轴于点G ，AG ，BG 与抛物线E 的另一个交点分别为C ，D ，记ΔAGB 的面积为S 1，ΔCGD 的面积为S 2，求S 2S 1的取值范围．【解答】解：(1)R (x 1，-1)在定直线m :y =-1上，|AR |表示A 到直线m 的距离，因为F 关于l 的对称点为R ，故|AF |=|AR |，即抛物线上点A 到焦点F 的距离等于A 到直线m 的距离，直线m 即为准线，所以-p 2=-1，即p =1，抛物线的方程为x 2=4y ；证明：k FR =-2x 1，因为FR ⊥l ，所以l 的斜率为x 12，由y =x 24可得y ′=12x ，点A 处的切线的斜率为12x 1，故直线l 是抛物线E 的切线；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则S 2S 1=12|CG |⋅|DG |⋅sin ∠CGD 12|AG |⋅|BG |⋅sin ∠AGB =|CG |⋅|DG ||AG |⋅|BG |=x 3x 4x 1x 2，k AC =y 3-y 1x 3-x 1=x 324-x 124x 3-x 1=x 1+x 34=-2x 1，则x 3=-8x 1-x 1，设直线l 的方程为y =kx +1，与x 2=4y 联立，可得x 2-4kx -4=0，所以x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4，x 2=-4x 1，则AC 的方程为y -x 124=-2x 1(x -x 1)，令x =0，可得y =2+x 124，即G 0,2+x 124，因为A ，G ，C 三点共线，可得x 3=-8x 1-x 1，又B ，G ，D 三点共线，且B x 2，x 224 ，D x 4，x 424 ，G 0,2+4x 22 ，所以k BD =x 2+x 44=k DG =2+4x 22-x 224-x 2，可得x 4=-8x 2-16x 23，故S 2S 1=x 3x 4x 1x 2=-x 1-8x 1 -8x 2-16x 23 x 1x 2，将x 1x 2=-4，x 1=-4x 2，代入上式，化简可得S 2S 1=4+161x 22+1x 24>4，所以S 2S 1的取值范围是(4,+∞)．18．(2021•金华模拟)如图，已知抛物线y 2=4x ，过点P (-1,1)的直线l 斜率为k ，与抛物线交于A ，B 两点．(Ⅰ)求斜率k 的取值范围；(Ⅱ)直线l 与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为-2k 的直线与抛物线交于C ，D 两点，设直线AC 与直线BD 的交点N 的横坐标为x 0，是否存在这样的k ，使x 0=-5，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：(Ⅰ)根据题意设直线l 的方程为y -1=k (x +1)(k ≠0)，即y =kx +k +1，联立y 2=4x y =kx +k +1，得k 2x 2+2(k 2+k -2)x +(k +1)2=0，所以x 1+x 2=-2(k 2+k -2)k 2，x 1x 2=(k +1)2k 2，因为直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则x 1+x 2>0，x 1x 2>0，所以△=4(k 2+k -2)2-4k 2(k +1)2>0，解得-1+52<k <-1+52，又k ≠0，所以k 的取值范围为-1+52,0 ∪0,-1+52．(Ⅱ)由题知，M -k +1k ，0 ，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，由(Ⅰ)知，y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4k +4，因为直线l 与x 轴交于M ，M -1k-1，0 ，因为直线CD 过点M 且斜率为-2k ，所以直线CD 的方程为y =-2k x +1k+1 ，联立y =-2k x +1k +1 y 2=4x，得y 2+2k y +4k +4=0，所以y 3+y 4=-2k ，y 3y 4=4k+4，所以△=4k 2-44k +4 >0，即-1+22<k <-1+22且k ≠0，所以k AC =y 1-y 3x 1-x 3=y 1-y 3y 124-y 324=4y 1+y 3，所以直线AC 的方程为y -y 1=4y 1+y 3(x -x 1)，所以y =4y 1+y 3x -4x 1y 1+y 3+y 1=4y 1+y 3x -y 12y 1+y 3+y 1=4y 1+y 3x +y 1y 3y 1+y 3①，所以直线BD的方程为y=4y2+y4x+y2y4y2+y4②，联立①②得4y1+y3x+y1y3y1+y3=4y2+y4x+y2y4y2+y4，解得4x1y1+y3-1y2+y4=y2y4y2+y4-y1y3y1+y3，所以4x(y2+4-y1-y3)=y2y4(y1+y3)-y1y3(y2+y4)，因为y1y2=y3y4，所以4x=y1y2，所以点N的横坐标为x0=y1y24=1k+1=-5，所以k=-1 6．19．(2021•新津县校级月考)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点，点A(2,m)在抛物线E上，且|AF| =3．(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(-1,0)，延长AF交抛物线E于点B，以点F为圆心作与直线GA相切的圆F，求圆F的半径，判断圆F与直线GB的位置关系，并说明理由．【解答】解：(1)由抛物线的定义得|AF|=2+p 2．因为|AF|=3，即2+p2=3，解得p=2，所以抛物线E的方程为y2=4x；(2)证明：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上，所以m=±22，由抛物线的对称性，不妨设A(2，22)，由A(2，22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y=22(x-1)，由得2x2-5x+2=0，解得x=2或x=12，从而B12，-2又G(-1,0)，故直线GA的方程为22x-3y+22=0，从而r=|22+22|8+9=4217．又直线GB的方程为22x+3y+22=0，所以点F到直线GB的距离d=|22+22|8+9=4217=r．这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．20．(2015•四川)如图，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是22，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：(Ⅰ)∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22，∴点(2，1)在椭圆E上，又∵离心率是22，∴2a2+1b2=1a2-b2=c2ca=22，解得a=2，b=2，∴椭圆E的方程为：x24+y22=1；(Ⅱ)结论：存在与点P不同的定点Q(0,2)，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立．理由如下：当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有|QC||QD|=|PC||PD|=1，即|QC|=|QD|．∴Q点在直线y轴上，可设Q(0,y0)．当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，则M、N的坐标分别为(0,2)、(0,-2)，又∵|QM||QN|=|PM||PN|，∴|y0-2||y0+2|=2-12+1，解得y0=1或y0=2．∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是(0,2)．法一：下面证明：对任意直线l，均有|QA||QB|=|PA||PB|．当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y =kx +1，A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，联立x 24+y 22=1y =kx +1，消去y 并整理得：(1+2k 2)x 2+4kx -2=0，∵△=(4k )2+8(1+2k 2)>0，∴x 1+x 2=-4k 1+2k 2，x 1x 2=-21+2k 2，∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=2k ，已知点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(-x 2，y 2)，又k AQ =y 1-2x 1=kx 1-1x 1=k -1x 1，k QB ′=y 2-2-x 2=kx 2-1-x 2=-k +1x 2=k -1x 1，∴k AQ =k QB ′，即Q 、A 、B ′三点共线，∴|QA ||QB |=|QA ||QB ′|=|x 1||x 2|=|PA ||PB |．法二：当斜率存在时，过点A 作AA ⊥y 轴，垂足为A ，过点B 作BB ⊥y 轴，垂足为B ，易知AA ⎳BB ，则△AA P 相似于△BB P ，则PA PB =AA BB，若证上命题，则需证直线QA 与直线QB 交于点Q (0,2)时关于y 轴对称，则要证k QA +k QB =0，联立x 24+y 22=1y =kx +1，消去y 并整理得：(1+2k 2)x 2+4kx -2=0，∵△=(4k )2+8(1+2k 2)>0，∴x 1+x 2=-4k 1+2k 2，x 1x 2=-21+2k 2，∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=2k ，k AQ =y 1-2x 1=kx 1-1x 1=k -1x 1，k QB =y 2-2x 2=kx 2-1x 2=k -1x 2=-k +1x 1，可证得k QA +k QB =0，所以ΔQAA 相似于ΔQBB进而得证：QA QB =AA BB=PA PB ，当斜率不存在时，由上可知，结论也成立．故存在与点P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |=|PA ||PB |恒成立．21．(2021秋•西城区校级期中)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)设点P (x 0，y 0)为直线l 上一定点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ．【解答】解：(Ⅰ)∵抛物线C 的焦点F (0，c )(c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322，∴|0-c -2|2=322，解得c =1或c =-5，(舍)，∴抛物线C 的方程为x 2=4y ．(Ⅱ)设P (x 0，x 0-2)，设切点为x ,x 24 ，曲线C :y =x 24，y ′=x 2，则切线的斜率为x 24-(x 0-2)x -x 0=y ′=x 2，化简，得x 2-2x 0x +4x 0-8=0，设A x 1，x 124 ，B x 2，x 224，则x 1，x 2是以上方程的两根，∴x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4x 0-8，k AB =x 1+x 24=x 02，直线AB 为：y -x 124=x 02(x -x 1)，化简，得：x 0x -2y -2y 0=0，定点Q (2,2)．22．(2021秋•西城区校级期中)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)设点P (x 0，y 0)为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(Ⅲ)过(Ⅱ)中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，求l 1，l 2交点M 满足的轨迹方程．【解答】解：(Ⅰ)∵抛物线C 的焦点F (0，c )(c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322，∴|0-c -2|2=322，解得c =1或c =-5，(舍)，∴抛物线C 的方程为x 2=4y ．(Ⅱ)设P (x 0，x 0-2)，设切点为x ,x 24 ，曲线C :y =x 24，y ′=x 2，则切线的斜率为x 24-(x 0-2)x -x 0=y ′=x 2，化简，得x 2-2x 0x +4x 0-8=0，设A x 1，x 124 ，B x 2,x 224，则x 1，x 2是以上方程的两根，∴x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4x 0-8，k AB =x 124-x 224x 1-x 2=x 1+x 24=x 02，直线AB 为：y -x 124=x 1+x 24(x -x 1)，化简，得：x 0x -2y -2y 0=0，定点Q (2,2)．(Ⅲ)设A x 1，x 124 ，B x 2,x 224，过A 的切线y =x 12(x -x 1)+x 124，过B 的切线y =x 22(x -x 2)+x 224，交点M x 1+x 22，x 1x 24 设过Q 点的直线为y =k (x -2)+2联立y =k (x -2)+2x 2=4y，得x 2-4kx +8k -8=0，∴x 1+x 2=4k ，x 1x 2=8k -2，∴M (2k ,2k -2)，∴y =x -2．∴点M 满足的轨迹方程为x -y -2=0．23．(2021•越秀区校级期中)在平面直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C :y 2=2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H ．设抛物线C 的焦点为F ．(1)若点A (2,m )在抛物线C 上且|AF |=3，求抛物线C 的方程；(2)证明|OH ||ON |为定值．【解答】解：(1)若点A (2,m )在抛物线C 上且|AF |=3，由抛物线的焦点F p 2，0 ，准线方程为x =-p 2，可得2+p 2=3，解得p =2，则抛物线C 的方程为y 2=4x ；(2)证明：将直线l :y =t 与抛物线方程y 2=2px 联立，解得P t 22p ，t ，∵M 关于点P 的对称点为N ，∴x N +x M 2=t 22p ，y N +y M 2=t ，∴N t 2p ，t，∴ON 的方程为y =p tx ，与抛物线方程联立，解得H 2t 2p，2t ，∴|OH ||ON |=|y H ||y N |=2为定值．24．(2021•浙江)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C :y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(Ⅰ)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(Ⅱ)若P 是半椭圆x 2+y 24=1(x <0)上的动点，求ΔPAB 面积的取值范围．【解答】解：(Ⅰ)证明：可设P (m ,n )，A y 124，y 1 ，B y 224，y 2，AB 中点为M 的坐标为y 12+y 228，y 1+y 22，抛物线C :y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上，可得n +y 12 2=4⋅m +y 1242，n +y 22 2=4⋅m +14y 222，化简可得y 1，y 2为关于y 的方程y 2-2ny +8m -n 2=0的两根，可得y 1+y 2=2n ，y 1y 2=8m -n 2，可得n=y1+y2 2，则PM垂直于y轴；(另解：设PA，PB的中点分别为E，F，EF交PM于G，EF为ΔPAB的中位线，EF⎳AB，又M为AB的中点，G为EF的中点，设AB:y=kx+b1，EF:y=kx+b2，由y2=4x，y=kx+b1，y=kx+b2，解得y M=y P=4k，所以PM垂直于y轴)(Ⅱ)若P是半椭圆x2+y 24=1(x<0)上的动点，可得m2+n24=1，-1≤m<0，-2<n<2，由(Ⅰ)可得y1+y2=2n，y1y2=8m-n2，由PM垂直于y轴，可得ΔPAB面积为S=12|PM|⋅|y1-y2|=12y12+y228-m⋅(y1+y2)2-4y1y2=116⋅(4n2-16m+2n2)-12m⋅4n2-32m+4n2 =324(n2-4m)n2-4m，可令t=n2-4m=4-4m2-4m=-4m+122+5，可得m=-12时，t取得最大值5；m=-1时，t取得最小值2，即2≤t≤5，则S=324t3在2≤t≤5递增，可得S∈62，15410，ΔPAB面积的取值范围为62，15410．25．(2021•金安区校级期末)如图所示，已知点P(x0，y0)是y轴左侧一点，抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A y 214,y 1 ，B y 224,y 2，AB 中点为M ，PA ，PB 的中点均在C 上．(1)求证：y 1+y 2=2y 0；(2)若P 是半椭圆x 2+y 24=1(x <0)上的动点，求|PM |长度的取值范围．【解答】解：(1)证明：设P (x 0，y 0)，A 14y 21,y 1 ，B 14y 22,y 2，因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程y +y 02 2=4⋅14y 2+x 02，即y 2-2y 0y +8x 0-y 20=0的两个不同的实数根为y 1，y 2，所以y 1+y 2=2y 0．(2)由(1)可知y 1+y 2=2y 0,y 1y 2=8x 0-y 20,所以M 14y 12+14y 222，y 1+y 22 ，即M y 12+y 228，y 0，∴|PM |=18(y 21+y 22)-x 0=34y 20-3x 0，又∵x 20+y 204=1，x <0，∴|PM |=3(1-x 20)-3x 0=-3x 20-3x 0+3(-1≤x 0<0)∴|PM |∈3,154 ．26．(2021•杨浦区期末)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C :y 2=4x 上存在不同的两点A ，B ，满足PA ，PB 的中点均在抛物线C 上(1)求抛物线C 的焦点到准线的距离；(2)设AB 中点为M ，且P (x P ，y P )，M (x M ，y M )，证明：y P =y M ；(3)若P 是曲线x 2+y 24=1(x <0)上的动点，求ΔPAB 面积的最小值．【解答】(1)解：由抛物线C :y 2=4x ，得2p =4，则p =2，∴抛物线C 的焦点到准线的距离为2；(2)证明：P (x P ，y P )，设A y 124，y 1 ，B y 224，y 2，AB 中点为M 的坐标为M (x M ，y M )，则M y 12+y 228，y 1+y 22，抛物线C :y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上，可得y P +y 12 2=4∙x P +y 1242，y P +y 22 2=4∙x P +y 2242，化简可得y 1，y 2为关于y 的方程y 2-2y P y +8x P -y P 2=0的两根，可得y 1+y 2=2y P ，y 1y 2=8x P -y P 2，可得y P =y 1+y 22=y M ；(3)解：若P 是曲线x 2+y 24=1(x <0)上的动点，可得x P 2+y P 24=1，-1≤x P <0，-2<y P <2，由(2)可得y 1+y 2=2y P ，y 1y 2=8x P -y P 2，由PM 垂直于y 轴，可得ΔPAB 面积为S =12|PM |∙|y 1-y 2|=12y 12+y 228-x P∙(y 1+y 2)2-4y 1y 2=116∙(4y P 2-16x P +2y P 2)-12x P ∙4y P 2-32x P +4y P 2=324(y P 2-4x P )y P 2-4x P ，令t =y P 2-4x P =4-4x P 2-4x P =-4x P +12 2+5，得x P =-12时，t 取得最大值5．x P =-1时，t 取得最小值2，即2≤t ≤5，则S =324t 3在2≤t ≤5递增，可得S ∈62，15104，∴ΔPAB 面积的最小值为62．27．(2021•怀化一模)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，点F 为抛物线C :y 2=x 的焦点，且抛物线C 上存在不同的两点A ，B ．(1)若AB 中点为M ，且满足PA ，PB 的中点均在C 上，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⋅OB =6(O 为坐标原点)，且ΔABO 与ΔAFO 的面积分别为S 1和S 2，求S 1+4S 2最小值．【解答】解：(1)证明：设P (x 0，y 0)，A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，因为直线PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程y +y 02 2=y 2+y 02的两个根，即y 2-2y 0y +2y 0-2y 20=0，的两个不同的实数根，所以y 1+y 2=2y 0，所以PM 垂直于y 轴．(2)根据题意可得F 14，0 ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1=y 21，x 2=y 22，所以x 1x 2+y 1y 2=y 21y 22+y 1y 2=6，则y 1y 2=-3或y 1y 2=2，因为A ，B 位于x 轴的两侧，所以y 1y 2=-3，设直线AB 的方程为x =ty +m ，联立x =ty +m y 2=x，得y 2-ty -m =0，所以y 1y 2=-m =-3，则m =3，所以直线过定点(3,0)，所以S 1+4S 2=12×3×|y 1-y 2|+4×12×14|y 1|=32×(y 1-y 2)+12y 1=32×y 13y 1 +y 12=2y 1+92y 1≥22y 1×92y 1=6，当且仅当2y 1=92y 1，即y 1=32时取等号，故S 1+4S 2的最小值为6．28．(2021秋•通州区期末)如图，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点P 1,32 ，离心率e =12．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，直线AB 与直线l :x =4相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：k 1，k 3，k 2成等差数列．【解答】解：(Ⅰ)由点P1,3 2在椭圆上得，1a2+94b2=1①又e=12,所以c a=12②由①②得c2=1，a2=4，b2=3，故椭圆C的标准方程为x24+y23=1⋯．(4分)(Ⅱ)证明：椭圆右焦点坐标F(1,0)，显然直线AB斜率存在，设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k(x-1)③⋯．(5分)代入椭圆方程x24+y23=1，整理得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0⋯．(6分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4(k2-3)4k2+3④⋯．(7分)在方程③中，令x=4得，M(4,3k)，从而k1=y1-32x1-1,k2=y2-32x2-1，k3=3k-324-1=k-12，⋯．(9分)又因为A、F、B共线，则有k=k AF=k BF，即有y1x1-1=y2x2-1=k，所以k1+k2=y1-32x1-1+y2-32x2-1=y1x1-1+y2x2-1-321x1-1+1x2-1=2k-32∙x1+x2-2x1x2-(x1+x2)+1⑤将④代入⑤得k1+k2=2k-32∙8k24k2+3-24(k2-3)4k2+3-8k24k2+3+1=2k-1，⋯(12分)又k3=k-1 2，所以k1+k2=2k3，即k1，k3，k2成等差数列．⋯．(13分)29．(2013•江西)如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P1,32，离心率e=12，直线l的方程为x=4．(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：(1)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P1,32，可得1a2+94b2=1(a>b>0)①由离心率e=12得ca=12，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=3故椭圆的方程为x24+y23=1(2)方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k(x-1)③代入椭圆方程x24+y23=1并整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3④在方程③中，令x=4得，M的坐标为(4,3k)，从而k1=y1-32x1-1，k2=y2-32x2-1，k3=3k-324-1=k-12注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有y1x1-1=y2x2-1=k所以k1+k2=y1-32x1-1+y2-32x2-1=y1x1-1+y2x2-1-321x1-1+1x2-1=2k-32×x1+x2-2x1x2-(x1+x2)+1⑤④代入⑤得k1+k2=2k-32×8k24k2+3-24k2-124k2+3-8k24k2+3+1=2k-1又k3=k-12，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，则直线FB的方程为y=y0x0-1(x-1)令x=4，求得M4,3y0 x0-1从而直线PM的斜率为k3=2y0-x0+12(x0-1)，联立x24+y23=1y=y0x0-1(x-1)，得A5x0-82x0-5，3y02x0-5，则直线PA的斜率k1=2y0-2x0+52(x0-1)，直线PB的斜率为k2=2y0-32(x0-1)所以k1+k2=2y0-2x0+52(x0-1)+2y0-32(x0-1)=2×2y0-x0+12(x0-1)=2k3，故存在常数λ=2符合题意30．(2021•张掖期末)如图，椭圆的两顶点A (-1,0)，B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．(1)当|CD |=322时，求直线l 的方程；(2)当点P 异于A ，B 两点时，求证：点P 与点Q 横坐标之积为定值．【解答】解：(1)由椭圆的焦点在y 轴上，y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)，由b =1，c =1，则a =2，∴椭圆的标准方程：y 22+x 2=1；当直线的斜率不存在时，|CD |=22，与题意不符，设直线l 的方程为y =kx +1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，y =kx +1y 22+x 2=1，整理得(k 2+2)x 2+2kx -1=0，则x 1+x 2=-2k k 2+2，x 1∙x 2=-1k 2+2，∴|CD |=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2-2k k 2+2 2-4×-1k 2+2=22(k 2+1)k 2+2=322，解得k =±2．∴直线l 的方程为2x -y +1=0或2x +y -1=0；(2)当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为y =kx +1，(k ≠0,k ≠±1)，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，∴P 的坐标为-1k ，0 ，x P =1k ，由(1)可知：x 1+x 2=-2k k 2+2，x 1∙x 2=-1k 2+2，直线AC 的方程为y =y 1x 1+1(x +1)①则直线BD 的方程为y =y 2x 2-1(x -1)②联立①②，解得：x =-(y 2x 1+y 1x 2)+y 1-y 2y 1x 2-y 2x 1-(y 1+y 2)，由y 1=kx 1+1，y 2=kx 2+1，代入上式得：x =(x 1+x 2)-k (x 1-x 2)+2kx 1x 2k (x 1+x 2)+x 1-x 2+2，不妨设x 1>x 2，|x 1-x 2|=221+k 2k 2+2，∴x 1-x 2=221+k 2k 2+2，又x 1+x 2=-2k k 2+2，x 1∙x 2=-1k 2+2，代入①化简得x =-k ，故点Q 的横坐标为-k ，则x P ∙x Q =-1k ×(-k )=1，即点P 与点Q 横坐标之积为定值．31．(2021秋•枣强县校级期末)椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的两顶点为A ，B 如图，离心率为22，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．(Ⅰ)当|CD |=322时，求直线l 的方程；(Ⅱ)当点P 异于A ，B 两点时，求证：OP ∙OQ 为定值．【解答】解：(Ⅰ)由题意，设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)，由已知得：c =1,c a =22，所以a =2,b =1，椭圆的方程为y 22+x 2=1，当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，设直线l 的方程为y =kx +1，C 1(x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆的方程化简得(k 2+2)x 2+2kx -1=0，则x 1+x 2=-2k k 2+2，x 1x 2=-1k 2+2，∴|CD |=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2-2k k 2+2 2+4×1k 2+2=22(k 2+1)k 2+2=322，解得：k =±2，所以直线l 的方程为y =±2x +1，(Ⅱ)证明：当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，设直线l 的方程为y =kx +1，(k ≠0,k ≠±1)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，∴P 点的坐标为-1k ,0 ，由(Ⅰ)知x 1+x 2=-2k k 2+2，x 1x 2=-1k 2+2，且直线AC 的方程为y =y 1x 1+1(x +1)，且直线BD 的方程为y =y 2x 2-1(x -1)，将两直线联立，消去y 得x +1x -1=y 2(x 1+1)y 1(x 2-1)，∵-1<x 1，x 2<1，∴x +1x -1与y 2y 1异号，x +1x -1 2=y 22(x 1+1)2y 12(x 2-1)2=2-2x 222-2x 12∙(x 1+1)2(x 2-1)2=(1+x 1)(1+x 2)(1-x 1)(1-x 2)=1-2k k 2+2-1k 2+21+2k k 2+2-1k 2+2=k -1k +1 2，y 1y 2=k 2x 1x 2。

圆锥曲线极点极线问题Word版

圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用刘定勇（安徽省宁国中学，242300）圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力.文[1]给出了两个较为简洁的结论：命题1 椭圆12222=+b yax ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x .双曲线12222=-b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-by y a x x .抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px .命题 2圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性.以上结论在文[2]中有证明.如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：题1、（2010湖北文15）.已知椭圆12:22=+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2200012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______，直线1200=+y y x x 与椭圆C 的公共点个数_____.P 在椭圆内 P 在椭圆外解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为[)22,2.第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12:22=+y x C 的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线1200=+y y xx 并不经过()00,y x P .还有学生看到1200=+y y xx 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点.事实上，1200=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12:22=+y x C 的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了.题2、（2010重庆文21）已知以原点O 为中心，(5,0)F 为右焦点的双曲线C 的离心率52e =. （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ⋅的值.解析：（I ）C 的标准方程为.1422=-y x C 的渐近线方程为.21x y ±= （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，MN 即是由E 点生成的椭圆的极线.因此直线MN 的方程为.44=+y y x x E EMN 的方程求出后剩下工作属常规计算.设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，由方程组⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=-=+,02,4402,44y x y y x x y x y y x x E E E E 及解得.2224,22,24⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=E E N E E N E E C EE C y x y y x x y x y y x x 故44222222E E E E E E E E OG OG x y x y x y x y ⋅=⋅-⋅+-+-.41222EE y x -= 因为点E 在双曲线.44,142222=-=-E E y x y x 有上所以2212 3.4E E OG OH x y ⋅==- 分析：如果是常规方法求直线MN 的方程，只能是观察：由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，因此有E E E x x y y x x 211,44=+442=+E y y 故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上，因此直线MN 的方程为.44=+y y x x E E 应该说很难观察，所以很多学生只能不了了之.题3、（2010江苏18）、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y .（Ⅰ）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（Ⅱ）设31,221==x x ，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.解析：（Ⅰ）（Ⅱ）很简单，略.（Ⅲ）我们先看看常规做法：点T 的坐标为(9,)m直线)3(12:+=x my TA ，与椭圆联立得)8040,80)80(3(222++--m m m M 直线)3(6:-=x my TB ，与椭圆联立得)2020,20)20(3(222+-+-m m m N 当12x x ≠时，直线MN 方程为：22222222220)20(380)80(320)20(3202080402020m m m m m m x m m m m m m y +--+-+--=+++++ 令0y =，解得：1x =.此时必过点D （1，0）；当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）. 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）.分析：怎么样？目瞪口呆吧.应该说，一点也不难，但是很难算对.如果知道点T 的坐标为()m ,9，事实上T 的轨迹是9=x ，可以看成是一条极线：15091=+y x ，所以它一定过定点D （1，0）.题4、已知椭圆C的离心率e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。

极点极线，增强预判

极点极线，增强预判
2010年江苏高考出了下面这样一道圆锥曲线综合题.
1
求轨迹：直接法
分析：第1问求轨迹，用直接法.
第2问求T点的坐标，因为T点是直线TA与TB的交点，联立两条直线的方程即可，思路较清晰，运算量也不大.
注意看清题目，是求轨迹方程还是求轨迹.
2
极点极线：答案预判
童鞋们关注的是第3问的定点问题.
明眼人一眼就看出来了：此题考的是高等几何里的极点和极线.
根据极点和极线的规律，我们口算定点坐标为（1,0）.
3
回到现实：这是高中
可是高等几何的结论不能用，还得推导.
思路貌似也是清楚的：求M点坐标，求N点坐标，写直线MN的方程，研究定点问题.
4
特殊找定点：k不存在有大用
下面来研究定点问题.
首先要写出直线MN的方程.
显然，直线MN不会与x轴重合，但是有可能与x轴垂直，也就是说直线MN的斜率有可能不存在.
于是，我们可以通过MN与x轴垂直的情况，找到可能的定点坐标（当然我们已经知道是哪一个点）；然后通过一般化的情况验证此定点坐标.
这样做的话，比正面推理的方法，要简便地多.
如果直线MN过定点的话，只能过点E(1,0).
5
一般来验证：验证的工作量远小于探索
下面用一般情况来验证.
因为有了目标点E(1,0)，可以用多种方法来验证.
方法1：利用斜率相等证明M,E,N三点共线.
方法2：写出直线方程，验证点（1,0）在直线上.。