上海市交大附中2017-2018学年高一上学期第一次月考数学试题+Word版含答案
2017-2018学年上海市交大附中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. “x ＜2”是“x 2＜4”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设函数f （x ）={1x <0−1x>0，则(a+b)+(a−b)⋅f(a−b)2（a ≠b ）的值为（ ）A. aB. bC. a ，b 中较小的数D. a ，b 中较大的数3. 如图中，哪个最有可能是函数y =x2x 的图象（ ）A.B.C.D.4. 若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，则下列说法一定正确的是（ ） A. f(x)为奇函数 B. f(x)为偶函数 C. f(x)+1为奇函数 D. f(x)+1为偶函数 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 若关于x 的不等式x−ax+1≥0的解集为（-∞，-1）∪[4，+∞），则实数a =______． 6. 设集合A ={x ||x -2|＜1}，B ={x |x ＞a }，若A ∩B =A ，则实数a 的取值范围是______． 7. 一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8. 若函数f （x ）=log 2（x +1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），则实数a =______． 9. 若f(x)=x 13−x −2，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是______．10. 已知f （x ）={a x ,x ≥1(7−a)x−4a,x<1是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是______． 11. 定义在R 上的偶函数y =f （x ），当x ≥0时，f （x ）=lg （x 2+3x +2），则f （x ）在R上的零点个数为______． 12. 设f （x ）=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f （1）=1，f （2）=2，f （3）=3，则14[f(0)+f(4)]的值为______．13. 设f -1（x ）为f （x ）=4x -2+x -1，x ∈[0，2]的反函数，则y =f （x ）+f -1（x ）的最大值为______． 14. 已知函数f （x ）={(x −a)2，x ≤0x +4x +3a ，x ＞0，且f （0）为f （x ）的最小值，则实数a 的取值范围是______．15.设a、b∈R，若函数f(x)=x+ax+b在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为______．16.已知下列四个命题：①函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]；②函数f(x)=log2(x+√x2+1)，g(x)=1+22x−1均为奇函数；③若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足f（4-x）=f（x），那么f（2）=f（2018）；④设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1）的两根，则x1x2=1其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x的不等式：(log2x)2+(a+1a )log12x+1＜018.设a∈R，函数f(x)=3x+a3x+1；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若f(x)＜a+33对任意的x∈R成立，求a的取值范围19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=k3x+5（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20. 已知函数f 1（x ）=e |x -2a +1|，f 2（x ）=e |x -a |+1，x ∈R ．（1）若a =2，求f （x ）=f 1（x ）+f 2（x ）在x ∈[2，3]上的最小值；（2）若|f 1（x ）-f 2（x ）|=f 2（x ）-f 1（x ）对于任意的实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围；（3）当4≤a ≤6时，求函数g （x ）=f 1(x)+f 2(x)2−|f 1(x)−f 2(x)|2在x ∈[1，6]上的最小值．21. 对于定义在[0，+∞）上的函数f （x ），若函数y =f （x ）-（ax +b ）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p ，使其值域为（0，p ]，则称函数g （x ）=ax +b 是函数f （x ）的“逼进函数”．（1）判断函数g （x ）=2x +5是不是函数f （x ）=2x 2+9x+11x+2，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g （x ）=12x 不是函数f （x ）=（12）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数” （3）若g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +√x 2+1，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由x2＜4，解得：-2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．2.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=，∴当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．∴（a≠b）的值为a，b中较小的数．故选：C．由函数f（x）=，知当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数值的合理运用．3.【答案】A【解析】解：y′==，令y′＞0，解得：x＜，令y′＜0，解得：x＞，故函数在（-∞，）递增，在（，+∞）递减，而x=0时，函数值y=0，x→-∞时，y→-∞，x→+∞时，y→0，故选：A．求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．4.【答案】C【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=-1∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．5.【答案】4【解析】解：由，得（x-a）（x+1≥0，故-1，4是方程（x-a）（x+1）=0的根，故a=4，故答案为：4解不等式的解集转化为方程的根，求出a的值即可．本题考查了不等式的解法以及转化思想，是一道基础题．6.【答案】（-∞，1]【解析】解：由|x-2|＜1得1＜x＜3，则A=|{x|1＜x＜3}，∵B={x|x＞a}，且A∩B=A，∴A⊆B，即a≤1，故答案为：（-∞，1]．先求出不等式|x-2|＜1的解集即集合A，根据A∩B=A得到A⊆B，即可确定出a的范围．本题考查了交集及其运算，集合之间的关系，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.【答案】π3【解析】解：因为一条长度等于半径的弦，所对的圆心角为弧度．故答案为：．直接利用弧长公式求出圆心角即可．本题考查弧长公式的应用，基本知识的考查．8.【答案】3【解析】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．9.【答案】（1，+∞）【解析】解：若，则满足f（x）＞0，即-x-2＞0，变形可得：＞1，函数g（x）=为增函数，且g（1）=1，解可得：x＞1，即x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）．根据题意，将f（x）＞0变形为＞1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式转化为整式不等式．10.【答案】[7，7)6【解析】解：根据题意，f（x）=是（-∞，+∞）上的增函数，必有，解可得≤a＜7，即a的取值范围为：故答案为：根据题意，由分段函数的单调性分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的单调性，注意分段函数分段分析．11.【答案】0【解析】解：当x≥0时，f（x）=lg（x2+3x+2），函数的零点由：lg（x2+3x+2）=0，即x2+3x+1=0，解得x（舍去）．因为函数是定义在R上的偶函数y=f（x），所以函数的零点个数为：0个．故答案为：0．利用函数是偶函数求出x≥0时，函数的零点个数，即可得到结果．本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.【答案】7【解析】解：f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，可得：，∴b=-6a-25；c=11a+61；d=-6a-36，∴[f（4）+f（0）]=（256+64a+16b+4c+2d）=（128+32a+8b+2c+d）=（128+32a-48a-200+22a+122-6a-36）=×14=7．利用已知条件求出a、b、c、d的关系式，化简所求的表达式，求解即可．本题考查方程的根与函数的零点的求法，待定系数法的应用，考查计算能力．13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．由f（x）=4x-2+x-1在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f-1（x）在[-，2]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f-1（x）的最大值【解答】解：由f（x）=4x-2+x-1在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[-，2]，可得y=f-1（x）在[-，2]上为增函数，因此y=f（x）+f-1（x）在[-，2]上为增函数，∴y=f（x）+f-1（x）的最大值为f（2）+f-1（2）=2+2=4．故答案为4．14.【答案】[0，4]【解析】解：若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）2为减函数，则a≥0，当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），即4+3a≥a2，解得：-1≤a≤4，综上所述实数a的取值范围是[0，4]，故答案为：[0，4]若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）2为减函数，当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），进而得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．15.【答案】（0，1）【解析】解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，-2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，-4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒画出数对（a，b）所表示的区域，求出目标函数z=f（1）═a+b+1的范围即可．本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题．16.【答案】②③④【解析】解：函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，f（x1）+f（x2）=2+2＞2=2•2=2f（），故①错误；由x＞0，x=0时，x+＞0成立；由x＜0，x2+1＞x2，可得＞-x，即x+＞0，由f（-x）+f（x）=log2（x2+1-x2）=0，即有f（x）为奇函数；又g（-x）+g（x）=2++=2++=0，可得g（x）为奇函数．函数均为奇函数，故②正确；若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，可得f（x）+f（2-x）=0，且满足f（4-x）=f（x），则f（4-x）=-f（2-x），即f（2+x）=-f（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）为最小正周期为4的函数，可得f（2018）=f（4×504+2）=f（2），那么f（2）=f（2018），故③正确；设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1）的两根，可得log a x1+log a x2=0，即log a x1x2=0，则x1x2=1，故④正确．故答案为：②③④．由指数的运算性质和基本不等式，可判断①；运用奇偶性的定义和性质，可判断②；由题意可得f（x）+f（2-x）=0，结合条件可得f（x）为最小正周期为4的函数，可得结论，可判断③；由对数的运算性质，可判断④．本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：关于x 的不等式：(log 2x)2+(a +1a )log 12x +1＜0，即 (log 2x)2-（a +1a ）log 2x +1＜0，即（log 2x -a ）•（log 2x -1a）＜0． 当a ＞1a 时，即a ＞1或-1＜a ＜0时，1a ＜log 2x ＜a ，21a ＜x ＜2a ，原不等式的解集为{x |21a ＜x ＜2a }．当a =1a 时，即a =±1时，不等式即(log 2x −a)2＜0，显然它无解，即解集为∅． 当a ＜1a 时，即0＜a ＜1或a ＜-1时，1a ＞log 2x ＞a ，21a ＞x ＞2a ，原不等式的解集为{x |21a ＞x ＞2a }．【解析】原不等式即（log 2x-a ）•（log 2x-）＜0，分类讨论a 与的大小关系，求得log 2x 的范围，可得x 的范围．本题主要考查一元二次不等式的解法，对数不等式的解法，属于中档题． 18.【答案】解：（1）根据题意，函数f(x)=3x +a 3x +1，其定义域为R ，若f （x ）为奇函数，则f （0）=30+a 30+1=0，解可得a =-1； 故a =-1；（2）根据题意，f(x)＜a+33，即3x +a 3x +1＜a+33， 变形可得：a−13x +1＜a 3，即3（a -1）＜a （3x +1），（①）分3种情况讨论：当a =0时，（①）变形为-3＜0，恒成立，当a ＞0时，（①）变形为3a−3a ＜3x +1， 若3a−3a ＜3x +1恒成立，必有3a−3a ≤1，解可得a ≤32， 此时a 的取值范围为（0，32]，当a ＜0时，（①）变形为3a−3a ＞3x +1，不可能恒成立，综合可得：a 的取值范围为[0，32]．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）==0，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，变形可得3（a-1）＜a（3x+1），分3种情况讨论，求出a的取值范围，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．19.【答案】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．再由C（0）=8，得k=40，因此C(x)=403x+5．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10)（Ⅱ）f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f'（x）=0，即2400(3x+5)2=6．解得x=5，x=−253（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．20.【答案】解：（1）对于a=2，x∈[2，3]，f（x）=e|x-3|+e|x-2|+1=e3-x+e x-1（3分）≥2√e3−x⋅e x−1=2e，当且仅当e3-x=e x-1，即x=2时等号成立，∴f（x）min=2e．（6分）（2）|f1（x）-f2（x）|=f2（x）-f1（x）对于任意的实数x恒成立，即f1（x）≤f2（x）对于任意的实数x恒成立，亦即e|x-2a+1|≤e|x-a|+1对于任意的实数x恒成立，∴|x-2a+1|≤|x-a|+1，即|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x恒成立．（9分）又|x-2a+1|-|x-a|≤|（x-2a+1）-（x-a）|=|-a+1|对于任意的实数x恒成立，故只需|-a+1|≤1，解得0≤a≤2，∴a的取值范围为0≤a≤2．（12分）（3）g（x）=f1(x)+f2(x)2−|f1(x)−f2(x)|2={f2(x),f1(x)>f2(x)f1(x),f1(x)≤f2(x)（13分）∵f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增∴比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系令F1（x）=|x-2a+1|，F2（x）=|x-a|+1，G（x）={F2(x),F1(x)>F2(x)F1(x),F1(x)≤F2(x)其中4≤a≤6，x∈[1，6]（14分）∵4≤a≤6∴2a-1≥a≥1，令2a-1-x=1，得x=2a-2，由题意可以如下图象：（15分）当4≤a≤6时，a≤6≤2a-2，G（x）min=F2（a）=1，g（x）min=e1=e；（18分）【解析】（1）对于a=2，x∈[2，3]，去掉绝对值得f（x）=e3-x+e x-1（3分），利用基本不等式积为定值，和有最小值即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件；（2）根据条件可知f1（x）≤f2（x）对于任意的实数x恒成立，转化成|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x恒成立，然后利用绝对值不等式进行求解即可求出参数a的范围；（3）f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增，比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系，则令F 1（x ）=|x-2a+1|，F 2（x ）=|x-a|+1，则G （x ）=其中4≤a≤6，x ∈[1，6]，结合图形可知当4≤a≤6时G （x ）min =F 2（a ）=1，g （x ）min =e 1=e ．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数的最值及其几何意义和恒成立问题等有关知识，解决本题的关键是等价转化，以及数形结合，分类讨论的思想，难点是绝对值如何去．21.【答案】解：（1）f （x ）-g （x ）=2x 2+9x+11x+2-（2x +5）=1x+2， 可得y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）递减，且x +2≥2，0＜1x+2≤12，可得存在p =12，函数y 的值域为（0，12]， 则函数g （x ）=2x +5是函数f （x ）=2x 2+9x+11x+2，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”； （2）证明：f （x ）-g （x ）=（12）x -12x ，由y =（12）x ，y =-12x 在[0，+∞）递减，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）递减，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）的最大值为1；由x =1时，y =12-12=0，x =2时，y =14-1=-34＜0，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）的值域为（-∞，1]，即有函数g （x ）=12x 不是函数f （x ）=（12）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”； （3）g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +√x 2+1，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”， 可得y =x +√x 2+1-ax 为[0，+∞）的减函数，可得导数y ′=1-a +√x 2+1≤0在[0，+∞）恒成立，可得a -1≥√x 2+1，由x ＞0时，√x 2+1=√1+1x 2≤1，则a -1≥1，即a ≥2；又y =x +√x 2+1-ax 在[0，+∞）的值域为（0，1]，则√x 2+1＞（a -1）x ，x =0时，显然成立；x ＞0时，a -1＜√1+1x 2，可得a -1≤1，即a ≤2．则a =2．【解析】（1）由f（x）-g（x），化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；（2）由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；（3）由新定义，可得y=x+-ax为[0，+∞）的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a的范围；再由值域为（0，1]，结合不等式恒成立思想可得a 的范围，即可得到a的值．本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。
上海市交大附中2017-2018学年高一上学期第一次月考数
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高一数学月考一 试卷一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是____________.2. 已知集合2{1,},{1,}A m B m =-=，且A B =，则m 的值为____________.3. 设集合{1,2,6},{2,4},{|15,}A B C x x x R ===-≤≤∈，则()A B C =____________.4. 已知关于x 的一元二次不等式20ax x b ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞，则a b -=____________.5. 设集合{}3(,)|1,(,)12y U x y y x A x y x ⎧-⎫==+==⎨⎬-⎩⎭，则U A =ð____________.6. 不等式21x≥+____________. 7. 已知x R ∈，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是____________.8. 设[]:13,:1,25x x m m αβ-≤≤∈-+，α是β的充分条件，则m ∈____________.9. 若对任意x R ∈，不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________.10. 向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A 、B 都赞成的学生有____________人11. 设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[5.5]5,[ 5.5]6=-=-），则2[]5[]60x x -+≤的解集为____________.12. 已知有限集123{,,,,}(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”； ④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号） 二、选择题（每题5分）13. 若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论中正确的是（ ）A. Q P ⊆B. PQ =∅ C. P Q ≠∅ D. P Q P ≠14. 集合{}*|4|21|A x x N =--∈，则A 的非空真子集的个数是（ ）A. 62B. 126C. 254D. 51015. 已知,,a b c R ∈，则下列三个命题正确的个数是（ ） ①若22ac bc >，则a b >；②若|2||2|a b ->-，则22(2)(2)a b ->-③若0a b c >>>，则a a cb b c+>+； ④若0,0,4,4a b a b ab >>+>>，则2,2a b >>A. 1B. 2C. 3D. 416. 若实数,a b 满足0,0a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ） A. 必要而不充分的条件 B. 充分而不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件三、解答题17. （本题满分14分）已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M （1）4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围18. （本题满分14分）解关于x 的不等式2(2)(21)60a x a x -+-+>19. （本题满分16分）已知函数()|1||2|f x x x =+-- （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围20. （本题满分14分）某商场在促销期间规定：商场内所有商品标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=（元），设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价。
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期 高一数学月考二试卷
上海交通大学附属中学2019-2019学年度第一学期高一数学月考二试卷一、填空题1.已知集合, , 则____________2.函数的定义域为____________3.已知, , 则____________4.函数的值域为____________5.若抛物线恒在直线上方, 则实数的取值范围为____________6.不等式的解集为, 则实数的取值范围是____________7.若, 则满足的的取值范围____________8.已知函数, , 若的图象关于轴对称, 则____________9.若函数在上的值域为，则____________10.密码学是一种密写技术，即把信息写成代码的技术。
将信息转换成保密语言的过程叫编码；有保密形式语言道出原始信息的过程称作译码。
凯撒（Julius Caesar公元前100~前44年）曾使用过一种密码系统, 现称为凯撒暗码。
按照这种系统的规划, 原始信息的字母都用另一字母代替, 后者在标准字母表中的位置比前者靠后三位（即暗码~原码后移3个位置）。
如: 标准字母表: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ凯撒暗码表: DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC这样就将信息“Julius Caesar”编码为“Mxolxv Fdhvdu”当你知道所得到的信息使用凯撒暗码写成的密码时, 译码工作很容易, 只需要把上述过程倒过来进行。
当然现在的密写技术要复杂许多, 这里我构造一种编码技术, 请同学根据编码过程自己破译一下：信息字母与编码后暗语字母的对应法则是：暗码=原码后移后得到的字母（为原码字母在语句中的位置即第几个字母, 若移出字母表则在后面续一张字母表, 其中□为取整符号, 空格不计数。
）那么若一句话的暗码为“Jnrzj PKNl”其原码是____________11.已知为无理数, 其代数式的值为整数, 则____________12.已知，其中，若对任意的非零实数总存在唯一的非零实数，使得成立，则实数的取值范围是____________二、选择题13.小明在期中考后, 对混合验血问题非常感兴趣, 于是他来到数学组办公室, 寻找出卷的鲍老师。
上海市交大附中2017-2018学年高一下期中数学试题(无答案)word-文档资料
交大附中高一期中数学试卷2019.04一、填空题1、已知数学期中考试时长为2小时，则考试期间分针旋转了弧度_____2、方程012cos 2=+x 的解集是______3、ABC ∆中，4,1,60==︒=c b A ，则a =______4、化简计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅--⋅+-25cos 2sin )3cos()2tan()tan()sin(πααπαππααπαπ=______ 5、函数)arcsin(2x x y -=的单调递增区间是________ 6、已知20πθ<<，将)sin(cos ),cos(sin ,cos θθθ从小到大排列___________7、若)0(4sin 4sin )(≠⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab x b x a x f ππ是偶函数，则有序实数对),(b a 可以是_________（写出你认为正确的一组数即可）8、若函数])2,0[(|sin |cos )(π∈+=x x x x f 的图像与直线k y =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是______9、将⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432s i n πx y 图像上所有点向右平移6π个单位，再把所得的图像上各点横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），这样得到的图像对应的函数解析式为________10、在锐角ABC ∆中，A B BC 2,1==，则AC 的取值范围是_______11、函数xx x y +-+=11arctan arctan 的值域是_______ 12、设函数)sin()sin()sin()(2211n n x a x a x a x f ααα+⋅+++⋅++⋅= ，其中)2,,,,2,1(≥∈=*n N n n i a i i α、为已知实常数，R x ∈，下列关于函数)(x f 的性质判断正确的有________（填写序号） ①若02)0(=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πf f ，则)(x f 对任意实数x 恒成立 ②若0)0(=f ，则函数)(x f 为奇函数 ③若02=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则函数)(x f 为偶函数 ④当02)0(22≠⎪⎭⎫ ⎝⎛+πf f 时，若0)()(21==x f x f ，则)(21Z k k x x ∈=-π 二、选择题13、化简2tan 2cot cos 42ααα-=（ ）A 、α2sinB 、αsinC 、αsin 2D 、α2tan14、与函数x y =表示同一个函数的是（ ）A 、)arcsin(sin x y =B 、)cos(arccos x y =C 、)tan(arctan x y =D 、)tan (sec 22x x x y -= 15、已知函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中0>A ，2||πϕ<）的图像如图所示，则函数)(x f 的解析式为（ ） A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin )(πx x f B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin )(πx x f C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin )(πx x f D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=64sin )(πx x f 16、函数xx x x x x f cos sin 4sin |cos sin |22)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=π是（ ）A 、周期为2π的偶函数 B 、周期为π的偶函数 C 、周期为2π的非奇非偶函数 D 、周期为π的非奇非偶函数 三、解答题17、在A B C ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知)0(sin sin sin >⋅=+p B p C A ，且241b ac = （1）当1,45==b p 时，求c a 、的值 （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围18、已知函数x x x g x x f cos sin 321)(,cos )(2+== （1）若直线a x =是函数)(x f y =的图像的一条对称轴，求)2(a g 的值（2）若20π≤≤x ，求)()()(x g x f x h +=的值域19、如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足b x A y ++=)sin(ϕω，],[ππϕ-∈，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米？20、如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角星形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设α=∠11H AA（1）试用α表示11H AA ∆的面积（2）求八角星所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小21、已知)(x f 是定义域为D 上的函数，若对任意的实数D x x ∈21,，都有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+2)]()([212121x x f x f x f 成立，当且仅当21x x =时取等号，则称函数)(x f 是D 上的凸函数，凸函数具有以下性质：对任意的实数D x i ∈，都有：)()]()()([12121*∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤++N n n x x x f x f x f x f n n n 成立，当且仅当n x x x === 21时取等号，设),0(,sin )(π∈=x x x f（1）求证：x x f sin )(=是),0(π上的凸函数（2）设⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x f x f x g 2)()(π，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，利用凸函数的定义求)(x g 的最大值 （3）设C B A 、、是ABC ∆三个内角，利用凸函数性质证明233sin sin sin ≤++C B A。
上海交通大学附属中学2016-2017学年高一3月月考数学试题含答案
交大附中高一月考数学卷2017.3一。
填空题1. 你在忙着答题，秒针在忙着“转圈"，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是2. 已知角α的终边在直线2y x =上，则sin 2α的值为3。
把sin αα-化为sin()A αϕ+(0A >，(0,2)ϕπ∈)的形式： 4.函数1y x =-的定义域为 5. 函数21122y x x =+++的最大值是 6。
已知1sin cos 2αα+=，求22tan cot αα+=7. 已知：2sin(3)3θπ+=-，则 tan(5)cos(2)sin(3)2tan(6)cos()7tan()sin(4)cot()22πθθππθπθπθππθπθθ--⋅-⋅--+-⋅-+=+⋅-+⋅--8. 若函数2lg(1)y ax ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是9。
若关于x 的方程353x a a +=-有负根，则实数a 的取值范围是 10。
小瑗在解试题:“已知锐角α与β的值，求αβ+的正弦值"时，误将两角和的正弦公式错记成了“sin()cos cos sin sin αβαβαβ+=+”与标准答案一致，那么原题中的锐角α的值为 (写出所有的可能值）11. 已知225sin sin 3sin αβα-+=,则函数22sin sin y αβ=+的最小值为12。
已知(sin )21f x x =+([,])22x ππ∈-，那么(cos10)f =二. 选择题13. 一个扇形OAB 的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的中心角是（ ）A 。
2弧度B 。
3弧度 C. 4弧度D. 5弧度14. 角α的终边在第三象限,那么3α的终边不可能在的象限是第（ ）象限A 。
一 B. 二 C 。
三 D 。
四15。
已知α、β均为锐角，且1sin sin()2ααβ=+，则α、β的大小关系是（ ) A. αβ< B 。
最新版上海市交大附中高一3月月数学试题 Word版含答案bybao
交大附中高一月考数学试题2017.3一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了2分钟，则秒针转过的角的弧度数是 .2. 已知角α的终边在直线2y x =上，则sin 2α的值为 .3.把sin αα-+化成()()()sin 0,0,2A A αϕϕπ+>∈的形式为 .4.函数1y x =-的定义域为 .5．函数21122y x x =+++的最大值为 . 6.已知1sin cos 2αα+=，求22tan cot αα+= .7.已知()2sin 33θπ+=-，则()()()()()()tan 5cos 2sin 32tan 6cos 7tan sin 4cot 22πθθππθπθπθππθπθθ-----+--+=⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 8.若函数()2lg 1y ax ax =-+的值域为R,则实数a 的取值范围是 . 9.若关于x 的方程353x a a +=-有负根，则实数a 的取值范围是 . 10.小媛在解试题：“已知锐角α与β的值，求αβ+的正弦值”时，误将两角和的正弦公式记成了()sin cos cos sin sin αβαβαβ+=+，解得的结果为4，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角α的值为 .（写出所有的可能值）11.已知225sin sin 3sin αβα-+=，则22sin sin y αβ=+函数的最小值为 .12.已知()sin 21,,22f x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，则()cos10f = .二、选择题：13．一个扇形OAB 的面积为1平方厘米，它的周长为4厘米，则它的中心角是 A. 2弧度 B. 3弧度 C. 4弧度 D.5弧度 14．角α的终边在第二象限，那么3α的终边不可能在的象限是第（ ）象限A. 一B. 二C. 三D.四 15．已知,αβ均为锐角，且()1sin sin 2ααβ=+，则,αβ的大小关系是 A. αβ< B. αβ> C. αβ= D.不确定 16．下列关于幂函数()y xQ αα=∈的论述中，正确的是（ ）A. 当0α=时，幂函数的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过（0,0）和（1,1）两个点C.若函数()f x 为奇函数，则()f x 在定义域内是增函数D.幂函数()f x 的图象不可能在第四象限内三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.有一种细菌A ，每小时分裂一次，分裂时每个细菌都分裂为2个，现有某种饮料200毫升，其中细菌A 的浓度为20个/毫升：（1）试讲饮料中的细菌A 的个数y 表示成经过的小时数x 的函数； （2）若饮料中细菌A 的总数超过9万个，将对人体有害，那么几个小时后该饮料将对人体有害？（精确到0.1小时）.18. 已知ABC ∆中，tan ,tan A B 是方程240x ax ++=的两个实数根： （1）若8a =-，求tan C 的值；（2）求tan C 的最小值，并指出此时对应的tan ,tan A B 的值.19. 已知函数()()()222sin sin sin f x x x x αβ=++++，其中,αβ是适合0αβπ≤≤≤的常数（1）若3,44ππαβ==，求函数()f x 的最小值； （2）()f x 是否可能为常值函数？若可能，求出()f x 为常值函数时，,αβ的值，如果不可能，请说明理由.20. 某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”.其中AC,BD 是过抛物线2y x =的两条相互垂直的弦（点A,B 在第二象限），且AC,BD 交于点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭，点E 为y 轴上的一点，记EFA α∠=，其中α为锐角： （1）设线段AF 的长为m,将m 表示为关于α的函数；（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小.21. 若函数()f x 定义域为R,满足对任意12,x x R ∈,()()()1212f x x f x f x +≤+有，则称()f x 为“V 形函数”；若函数()g x 定义域为R ，()g x 恒大于0，且对任意12,x x R ∈，有()()()1212lg lg lg g x x g x g x +≤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则称()g x 为“对数V 形函数”：（1）当()2f x x =时，判断函数()f x 是否为V 形函数，并说明理由； （2）当()22g x x =+时，证明：()g x 是对数V 形函数；（3）若()f x 是V 形函数，且满足对任意x R ∈，有()2f x ≥，问()f x 是否为对数V 形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由.。
2017-2018学年上海市交通大学附属中学高一上学期期末考数学试卷含详解
上海市交大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“2x ＜”是“24x ＜”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分也非必要条件2.设函数1,0(){1,0x f x x ->=<，则()()()()2a b a b f a b a b ++--≠的值为（）A.aB.bC.,a b 中较小的数D.,a b 中较大的数3.如图中，哪个最有可能是函数2xxy =的图象（）A. B.C. D.4.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A.()f x 为奇函数B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，则实数=a ________6.设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是_______．7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8.若函数()2log 1f x x a =++（）的反函数的图象经过点41（，），则实数=a ______．9.若()123f x x x -=-，则满足0f x （）＞的x 的取值范围是______．10.已知()()74,1,1xa x a x f x a x ⎧--<=⎨≥⎩是-∞+∞（，）上的增函数，那么a 的取值范围是______．11.定义在R 上的偶函数y f x =（），当0x ≥时，2lg 32f x x x =++（）（），则()f x 在R 上的零点个数为______．12.设432f x x ax bx cx d （）=++++，11,22,33f f f ===（）（）（），则()()1044f f ⎡⎤+⎣⎦的值为______．13.设1f x -（）为241,[02]x f x x x -=+-∈（），的反函数，则1y f x f x -=+（）（）的最大值为______．14.已知函数()2()0430x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++⎪⎩，，＞，且0f （）为()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是______．15.设a b R ∈、，若函数()af x x b x=++在区间12（，）上有两个不同的零点，则1f （）的取值范围为______．16.已知下列四个命题：①函数2x f x =（）满足：对任意1212,x x R x x ∈≠，，有()()1212122x xf f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭；②函数()(()22log 121xf x xg x =+=+-，均为奇函数；③若函数()f x 的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足4f x f x -=（）（），那么22018f f =（）（）；④设12x x ，是关于x 的方程log 01a x k a a =≠（＞，）的两根，则121=x x 其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x 的不等式：22121(log )log 10x a x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜18.设a R ∈，函数()331x x af x +=+；（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若()33a f x +＜对任意的x R ∈成立，求a 的取值范围19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35kx x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．20.已知函数|211x a f x e -+=（）|，12,x a f xe x R -+=∈（）．（1）若2a =，求12f x f x f x =+（）（）（）在[23]x ∈，上的最小值；（2）若1221f x f x f xf x -=-（）（）（）（）对于任意的实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围；（3）当46a ≤≤时，求函数()()()()()121222f x f x f x f xg x -+=-在[16]x ∈，上的最小值．21.对于定义在[0+∞，）上的函数()f x ，若函数y f x ax b =-+（）（）满足：①在区间[0+∞，）上单调递减，②存在常数p，使其值域为0]p （，，则称函数g x ax b =+（）是函数()f x 的“逼进函数”．（1）判断函数25g x x =+（）是不是函数()22911,[02x x f x x x ++=∈+∞+，）的“逼进函数”；（2）求证：函数()12g x x =不是函数()1,[02xf x x ⎛⎫=∈+∞ ⎪⎝⎭，），的“逼进函数”（3）若g x ax （）=是函数()[0f x x x =+∈+∞，）的“逼进函数”，求a 的值．上海市交大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“2x ＜”是“24x ＜”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【分析】先求出x 2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【详解】由x 2＜4，解得：﹣2＜x ＜2，故x ＜2是x 2＜4的必要不充分条件，故选B ．【点睛】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．2.设函数1,0(){1,0x f x x ->=<，则()()()()2a b a b f a b a b ++--≠的值为（）A.aB.bC.,a b 中较小的数D.,a b 中较大的数【答案】C【详解】∵函数()1,(0),1,(0)x f x x ->⎧=⎨<⎩∴当a b >时，()()()()()b 22a b a b f a b a b a b ++-⋅-+--==;当a b <时，()()()()()a 22a b a b f a b a b a b ++-⋅-++-==;∴()()()()2a b a b f a b a b ++-⋅-≠的值为a ,b 中较小的数故选C3.如图中，哪个最有可能是函数2x xy =的图象（）A. B.C. D.【答案】A【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．【详解】y ′22221222x x x xx ln xln --==，令y ′＞0，解得：x 12ln ＜，令y ′＜0，解得：x 12ln ＞，故函数在（﹣∞，12ln ）递增，在（12ln ，+∞）递减，而x ＝0时，函数值y ＝0，x →﹣∞时，y →﹣∞，x →+∞时，y →0，故选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A.()f x 为奇函数 B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数【答案】C【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-，令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+，所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，则实数=a ________【答案】4【分析】根据题意得()()10x a x -+=的两根为1-和4，从而可求出结果.【详解】因为关于x 的不等式01x ax ->+的解集为()(),14,-∞-+∞ ，所以不等式()()10x a x -+>的解集为()(),14,-∞-+∞ 即方程()()10x a x -+=的两根为1-和4，所以4a =，故答案为：4.6.设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是_______．【答案】4a ≤【详解】试卷分析：由A B A ⋂=⇔A B ⊂，所以当A φ=时，满足A B ⊂，此时不等式2x a <无解，所以0a ≤，当A φ≠即0a >时，{}|0A x a =<，由A B ⊂可知204a ≤⇒<≤，综上可知实数a 的取值范围是4a ≤.考点：1.集合的运算；2.分类讨论的思想.7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．【答案】3π【分析】直接利用平面性质求出圆心角即可．【详解】由题意可知：△ABC 为等边三角形，所以圆心角等于3π.故答案为3π．【点睛】本题考查圆心角的求法，基本知识的考查．8.若函数()2log 1f x x a =++（）的反函数的图象经过点41（，），则实数=a ______．【答案】3【分析】由题意可得函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 过（1，4），代入求得a 的值．【详解】函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），即函数f （x ）＝log 2（x +1）+a 的图象经过点（1，4），∴4＝log 2（1+1）+a ∴4＝1+a ，a ＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．9.若()123f x x x -=-，则满足0f x （）＞的x 的取值范围是______．【答案】（1，+∞）【分析】根据题意，将f （x ）＞0变形为73x ＞1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】若()123f x x x -=-，则满足f （x ）＞0，即1321x x＞，变形可得：73x ＞1，函数g （x ）73x =为增函数，且g （1）＝1，解可得：x ＞1，即x 的取值范围为（1，+∞）；故答案为（1，+∞）．【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10.已知()()74,1,1xa x a x f x a x ⎧--<=⎨≥⎩是-∞+∞（，）上的增函数，那么a 的取值范围是______．【答案】776⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意，由分段函数的单调性分析可得()70174a a a a a ⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）()7411x a x a x a x ⎧--=⎨≥⎩，＜，是（﹣∞，+∞）上的增函数，必有()70174a a a a a⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞，解可得76≤a ＜7，即a 的取值范围为：776⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为776⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了分段函数的图象与性质，注意三点：第一段单调性，第二段单调性，断点处的函数值的比较，属于中档题.11.定义在R 上的偶函数y f x =（），当0x ≥时，2lg 32f x x x =++（）（），则()f x 在R 上的零点个数为______．【答案】0【分析】求出x ≥0时函数的零点个数，结合奇偶性即可得到结果．【详解】当x ≥0时，f （x ）＝lg （x 2+3x +2），令lg （x 2+3x +2）＝0，即x 2+3x +1＝0，解得x32-±（舍去）．因为函数是定义在R 上的偶函数y ＝f （x ），所以函数的零点个数为：0个．故答案为0．【点睛】本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.设432f x x ax bx cx d （）=++++，11,22,33f f f ===（）（）（），则()()1044f f ⎡⎤+⎣⎦的值为______．【答案】7【分析】利用已知条件求出a 、b 、c 、d 的关系式，化简所求的表达式，求解即可．【详解】f （x ）＝x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f （1）＝1，f （2）＝2，f （3）＝3，可得：111684228127933a b c d a b c d a b c d ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，∴b ＝﹣6a ﹣25；c ＝11a +61；d ＝﹣6a ﹣36，∴14[f （4）+f （0）]14=（256+64a +16b +4c +2d ）12=（128+32a +8b +2c +d ）12=（128+32a ﹣48a ﹣200+22a +122﹣6a ﹣36）12=⨯14＝7．【点睛】本题考查求函数的值，待定系数法的应用，考查计算能力．13.设1f x -（）为241,[02]x f x x x -=+-∈（），的反函数，则1y f x f x -=+（）（）的最大值为______．【答案】4【分析】由f （x ）＝4x ﹣2+x ﹣1在x ∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y ＝f ﹣1（x ）在[1516-，2]上为增函数，由函数的单调性求得y ＝f （x ）+f ﹣1（x ）的最大值【详解】由f （x ）＝4x ﹣2+x ﹣1在x ∈[0，2]上为增函数，得其值域为[1516-，2]，可得y ＝1f x -（）在[1516-，2]上为增函数，因此y ＝f （x ）+1f x -（）在[0，2]上为增函数，∴y ＝f （x ）+1f x -（）的最大值为f （2）+1f -（2）＝2+2＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．14.已知函数()2()0430x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++⎪⎩，，＞，且0f （）为()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是______．【答案】[0，4]【分析】若f （0）为f （x ）的最小值，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数，当x ＞0时，函数f （x ）43x a x=++的最小值4+3a ≥f （0），进而得到实数a 的取值范围．【详解】若f （0）为f （x ）的最小值，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数，则a ≥0，当x ＞0时，函数f （x ）43x a x=++的最小值4+3a ≥f （0），即4+3a ≥a 2，解得：﹣1≤a ≤4，综上所述实数a 的取值范围是[0，4]，故答案为[0，4]【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．15.设a b R ∈、，若函数()af x x b x=++在区间12（，）上有两个不同的零点，则1f （）的取值范围为______．【答案】（0，1）【分析】函数()af x x b x=++在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x 2+bx +a ＝0在区间（1，2）上两个不相等的实根，利用线性规划知识即可得到结果.【详解】函数()af x x b x=++在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x 2+bx +a ＝0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒21224010420b b a a b b a ⎧-⎪⎪⎪-⎨⎪++⎪++⎪⎩＜＜＞＞＞⇒242410420b b a a b b a --⎧⎪⎪⎨++⎪⎪++⎩＜＜＞＞＞，如图画出数对（a ，b ）所表示的区域，目标函数z ＝f （1）=a +b +1∴z 的最小值为z ＝a +b +1过点（1，﹣2）时，z 的最大值为z ＝a +b +1过点（4，﹣4）时∴f （1）的取值范围为（0，1）故答案为（0，1）【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．16.已知下列四个命题：①函数2x f x =（）满足：对任意1212,x x R x x ∈≠，，有()()1212122x xf f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭；②函数()(()22log 121x f x x g x =+=+-，均为奇函数；③若函数()f x 的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足4f x f x -=（）（），那么22018f f =（）（）；④设12x x ，是关于x 的方程log 01a x k a a =≠（＞，）的两根，则121=x x 其中正确命题的序号是______．【答案】①②③④【分析】由指数的运算性质和基本不等式，可判断①；运用奇偶性的定义和性质，可判断②；由题意可得f （x ）+f （2﹣x ）＝0，结合条件可得f （x ）为最小正周期为4的函数，可得结论，可判断③；由对数的运算性质，可判断④．【详解】函数f （x ）＝2x 满足：对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，f （x 1）+f （x 2）1222x x =+＞=2•1222x x +=2f （122x x +），故①正确；由x ＞0，x ＝0时，x 0成立；由x ＜0，x 2+1＞x 2-x ，即x 0，由f （﹣x ）+f （x ）＝log 2（x 2+1﹣x 2）＝0，即有f （x ）为奇函数；又g （﹣x ）+g （x ）＝2222121x x -++=--22221221x x x ⋅++=--0，可得g （x ）为奇函数．函数()(()22121x f x log x g x =+=+-，均为奇函数，故②正确；若函数f （x ）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，可得f （x ）+f （2﹣x ）＝0，且满足f （4﹣x ）＝f （x ），则f （4﹣x ）＝﹣f （2﹣x ），即f （2+x ）＝﹣f （x ），可得f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ），即f （x ）为最小正周期为4的函数，可得f （2018）＝f （4×504+2）＝f （2），那么f （2）＝f （2018），故③正确；设x 1，x 2是关于x 的方程|log a x |＝k （a ＞0，a ≠1）的两根，可得log a x 1+log a x 2＝0，即log a x 1x 2＝0，则x 1x 2＝1，故④正确．故答案为①②③④．【点睛】本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x 的不等式：22121(log )log 10x a x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜【答案】当a ＞1或-1＜a ＜0时，不等式的解集为122a a x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．当1a =±时，解集为∅．当0＜a ＜1或a ＜-1时，不等式的解集为122a a x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪<<⎨⎨⎬⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭．【分析】原不等式即（log 2x ﹣a ）•（log 2x 1a -）＜0，分类讨论a 与1a 的大小关系，求得log 2x 的范围，可得x 的范围．【详解】关于x 的不等式：()2212110log x a log x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭＜，即()222110log x a log x a-++（）＜，即221•0log x a log x a--（）（）＜．当1a a ＞时，即a ＞1或-1＜a ＜0时，21log x a a ＜＜，122a a x ＜＜，原不等式的解集为122a a x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．当1a a=时，即1a =±时，不等式即()22log 0x a -<，显然它无解，即解集为∅．当1a a <时，即0＜a ＜1或a ＜-1时，21log x a a ＞＞，122a a x ＞＞，原不等式的解集为122a a x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【点睛】（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．18.设a R ∈，函数()331x x a f x +=+；（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若()33a f x +＜对任意的x R ∈成立，求a 的取值范围【答案】（1）1a =-；（2）302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f （0）00331a +==+0，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，()33a f x ＜+变形可得3（a ﹣1）＜a （3x +1），分3种情况讨论，求出a 的取值范围，综合可得答案．【详解】（1）根据题意，函数()331x x a f x +=+，其定义域为R ，若f x （）为奇函数，则()0030031a f +==+，解可得1a （经检验适合）=-；故1a =-；（2）根据题意，()33a f x +＜，即33313x x a a ++<+，变形可得：1313x a a ＜-+，即3131x a a -+（）＜（），（①）分3种情况讨论：当a =0时，（①）变形为-3＜0，恒成立，当a ＞0时，（①）变形为3331x a a -+＜，若3331x a a -+＜恒成立，必有331a a -≤，解可得32a ≤，此时a 的取值范围为（0，32]，当a ＜0时，（①）变形为3331x a a ->+，不可能恒成立，综合可得：a 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+.再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+.而建造费用为1()6C x x=最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+.解得5x =，253x =-（舍去）.当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．20.已知函数|211x a f x e -+=（）|，12,x a f x e x R -+=∈（）．（1）若2a =，求12f x f x f x =+（）（）（）在[23]x ∈，上的最小值；（2）若1221f x f x f xf x -=-（）（）（）（）对于任意的实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围；（3）当46a ≤≤时，求函数()()()()()121222f x f x f x f xg x -+=-在[16]x ∈，上的最小值．【答案】(1)32(2)12a ≤≤(3)27min 71,(1),27(){,(4),2,(46).a a g x e a e a -≤<=≤<≤≤【详解】（1）32；（2）即12()()f x f x ≤恒成立，得211x a x a -+≤-+，即211x a x a -+--≤对x R ∈恒成立，因211x a x a a -+--≤-，故只需11a -≤，解得02a ≤≤，又16a ≤≤，故a 的取值范围为12a ≤≤．（3）112212(),()(),(){(),()().f x f x f xg x f x f x f x ≤=>①当12a ≤≤时，由（2）知211()()x a g x f x e -+==，当21[1,3]x a =-∈时，min ()1g x =．②当2<6a ≤时，(21)10a a a --=->，故21a a ->．x a ≤时，(21)112()()x a x a f x e e f x -+--++=>=，12()()x a g x f x e -+==；21x a ≥-时，(21)112()()x a x a f x e e f x ---+=<=，211()()x a g x f x e-+==；21a x a <<-时，由(21)112()()x a x a f x e e f x -+--+=≤=，得322a x -≥，其中32212a a a -<<-，故当32212a x a -≤<-时，|21|1()()x a g x f x e -+==；当322a a x -<<时，12()()x a g x f x e -+==.因此，当2<6a ≤时，1232(),,2(){32(),.2a f x x g x a f x x -≥=-<令211()x a f x e e -+==，得1222,2x a x a =-=，且32222a a -<-，如图，(ⅰ)当622a a ≤≤-，即46a ≤≤时，min 2()()g x f a e ==；(ⅱ)当22621a a -<≤-，即742a ≤<时，27min 1()(6)a g x f e -==；(ⅲ)当216a -<，即722a <<时，min 1()(21)1g x f a =-=．综上所述，27min 71,(1),27(){,(4),2,(46).a a g x e a e a -≤<=≤<≤≤21.对于定义在[0+∞，）上的函数()f x ，若函数y f x axb =-+（）（）满足：①在区间[0+∞，）上单调递减，②存在常数p，使其值域为0]p （，，则称函数g x ax b =+（）是函数()f x 的“逼进函数”．（1）判断函数25g x x =+（）是不是函数()22911,[02x x f x x x ++=∈+∞+，）的“逼进函数”；（2）求证：函数()12g x x =不是函数()1,[02xf x x ⎛⎫=∈+∞ ⎪⎝⎭，），的“逼进函数”（3）若g x ax （）=是函数()[0f x x x =+∈+∞，）的“逼进函数”，求a 的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2.【分析】（1）由f （x ）﹣g （x ），化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；（2）由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；（3）由新定义，可得y ＝x -ax 为[0，+∞）的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a 的范围；再由值域为（0，1]，结合不等式恒成立思想可得a 的范围，即可得到a 的值．【详解】（1）229112x x f x g x x ++-=+（）（）1252x x （）-+=+，可得y f x g x =-（）（）在[0，+∞）递减，且22x +≥，11022x ≤+＜，可得存在12p =，函数y 的值域为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，则函数25g x x （）=+是函数()229112x x f x x ++=+，[0x ，）∈+∞的“逼进函数”；（2）证明：1122x f x g x x -=-（）（）（，由12x y =（，12y x =-在[0，+∞）递减，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）递减，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）的最大值为1；由1x =时，11022y =-=，2x =时，131044y ＜=-=-，则函数y f x g x =-（）（）在[0，+∞）的值域为（-∞，1]，即有函数12g x x =（）不是函数12x f x =（）（），x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g x ax =（）是函数()f x x =+，[0x ，）∈+∞的“逼进函数”，可得y x ax =+为[0，+∞）的减函数，可得导数'10y a =-≤在[0，+∞）恒成立，可得1a -≥，由x ＞01=≤，则11a -≥，即2a ≥；又y x ax =+在[0，+∞）的值域为（0，1]，()1a x >-，x =0时，显然成立；x ＞0时，1a -，可得11a -≤，即2a ≤．则a =2．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。
2017-2018学年上海市交大附中高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）设集合M={x|0＜x≤3}，集合N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．2．（3分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（A∩∁U B）∪（∁U A∩B）=．3．（3分）函数f（x）=+的定义域为．4．（3分）已知集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，，且A∩B=∅，则实数a的取值范围是．5．（3分）已知y=f（x），y=g（x）是两个定义在R上的二次函数，其x、y的取值如表所示：则不等式f（g（x））≥0的解集为．6．（3分）关于x的不等式的解集不为空集，则k的取值范围为．7．（3分）已知本张试卷的出卷人在公元x2年时年龄为x﹣8岁，则出卷人的出生年份是（假设出生当年的年龄为1岁）8．（3分）若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是．9．（3分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为．10．（3分）设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=．11．（3分）若二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5成立，且f（5）=27，则f（11）=．12．（3分）已知f（x）=（a2﹣5）x2+2x+2，若不等式f（x）＞x的解集为A，已知（0，1）⊆A，则a的取值范围为．二.选择题13．（3分）设P、Q为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}．若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是（）A．6B．7C．8D．914．（3分）不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解集是（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|x＜0且x≠﹣1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜1且x≠﹣1}15．（3分）已知三个不等式：ab＞0，bc﹣ad＞0，﹣＞0（其中a、b、c、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．316．（3分）设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥三.解答题17．已知△ABC为直角三角形，记其两条直角边长分别为a，b∈R+，记面积为S，周长为C，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用S表示）．18．已知a∈R，若关于x的方程有实根，求a的取值范围．19．阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题．证明：证：令，=，故．（1）若，利用上述结论，证明：；（2）若，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：．（提示：若a，b，c∈R+，有）20．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排査，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．21．已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a、c∈R），满足f（1）=0，且f（x）≥0在x∈R时恒成立．（1）求a、c的值；（2）若h（x）=x2﹣bx+﹣，解不等式f（x）+h（x）＜0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）设集合M={x|0＜x≤3}，集合N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．【解答】解：由x∈M不能推出x∈N，如x=3时，故充分性不成立．根据N⊆M 可得，由x∈N成立，一定能推出x∈M，故必要性成立．故“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件，故答案为必要不充分．2．（3分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（A∩∁U B）∪（∁U A∩B）={1，3} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，∴∁U B={1，4}，∁U A={3，4}，∴A∩∁U B={1}，∁U A∩B={3}，∴（A∩∁U B）∪（∁U A∩B）={1，3}．故答案为：{1，3}．3．（3分）函数f（x）=+的定义域为[﹣1，2）U（2，+∞）．【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）4．（3分）已知集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，，且A∩B=∅，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：∵集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}={x|a﹣1＜x＜a+1}，={x|＜0}，当a+1＞﹣1时，即a＞﹣2时，B={x|﹣1＜x＜a+1}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，不满足A∩B=∅；当a+1=﹣1，即a=﹣2时，B=∅，满足A∩B=∅；当a+1＜﹣1时，即a＜﹣2，B={x|a+1＜x＜﹣1}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，满足A ∩B=∅．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．5．（3分）已知y=f（x），y=g（x）是两个定义在R上的二次函数，其x、y的取值如表所示：则不等式f（g（x））≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．【解答】解：由题意可知，f（1）=f（3）=﹣3，g（1）=g（3）=0，可知二次函数f（x）与g（x）的对称轴为x=2，又f（2）=﹣4，g（2）=1，∴设f（x）=a（x﹣2）2﹣4，g（x）=m（x﹣2）2+1，把f（4）=0，g（4）=﹣3分别代入两个函数解析式，可得：a（4﹣2）2﹣4=0，m（4﹣2）2+1=﹣3，解得a=1，m=﹣1．∴f（x）=（x﹣2）2﹣4=x2﹣4x，g（x）=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3．由f（g（x））≥0，得g（x）≤0或g（x）≥4．即﹣x2+4x﹣3≤0①，或﹣x2+4x﹣3≥4②，解①得x≤1或x≥3；解②得x∈∅．∴不等式f（g（x））≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，1]∪[3，+∞）．6．（3分）关于x的不等式的解集不为空集，则k的取值范围为k＞3或k＜0．【解答】解：k＜0时，f（x）=2kx2+kx+开口向下，符合题意，k=0时，f（x）=，不合题意，k＞0时，只需△=k2﹣4•2k•＞0，解得：k＞3，故答案为：k＞3或k＜0．7．（3分）已知本张试卷的出卷人在公元x2年时年龄为x﹣8岁，则出卷人的出生年份是1989年（假设出生当年的年龄为1岁）【解答】解：设出卷人的出生年份是n，则由题意可得：x2﹣n+1=x﹣8，即n=x2﹣x﹣9．结合实际意义不妨取：取x=44时，x2=1936，n=1883，x2﹣n+1≠x﹣8；取x=45时，x2=2025，n=1989，x2﹣n+1=37=44﹣8=x﹣8，符合题意；取x=46时，x2=2116，n=2061，不合题意．∴出卷人的出生年份是1989年．故答案为：1989年．8．（3分）若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【解答】解：当x＞0时，x≥ax恒成立，即a≤1，当x=0时，0≥a×0恒成立，即a∈R，当x＜0时，﹣x≥ax恒成立，即a≥﹣1，若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，所以﹣1≤a≤1，故答案为：[﹣1，1]．9．（3分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．【解答】解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min ≥a+1，又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故必有6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）10．（3分）设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=．【解答】解：设t=f（a），则f（t）=2，若t＞0，则f（t）=﹣t2=2，此时不成立，若t≤0，由f（t）=2得，t2+2t+2=2，即t2+2t=0，解得t=0或t=﹣2，即f（a）=0或f（a）=﹣2，若a＞0，则f（a）=﹣a2=0，此时不成立；或f（a）=﹣a2=﹣2，即a2=2，解得a=．若a≤0，由f（a）=0得，a2+2a+2=0，此时无解；或f（a）=﹣2，即a2+2a+4=0，此时无解，综上：a=，故答案为：．11．（3分）若二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5成立，且f（5）=27，则f（11）=153．【解答】解：二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5成立，可得x2﹣2x+4=2x2﹣4x+5，解得x=1，f（1）=3，函数的对称轴为x=1，设函数f（x）=a（x2﹣2x）+b，由f（1）=3，f（5）=27，可得﹣a+b=3，15a+b=27，解得a=，b=．f（x）=（x2﹣2x）+，f（11）=（112﹣2×11）+=153．故答案为：153；12．（3分）已知f（x）=（a2﹣5）x2+2x+2，若不等式f（x）＞x的解集为A，已知（0，1）⊆A，则a的取值范围为a≥或a≤﹣．【解答】解：根据题意，f（x）=（a2﹣5）x2+2x+2，则不等式f（x）＞x即（a2﹣5）x2+2x+2＞x变形可得（a2﹣5）x2+x+2＞0，若其解集为A，且（0，1）⊆A，设g（x）=（a2﹣5）x2+x+2，则分3种情况讨论：①、a2﹣5=0，即a=±时，f（x）=2x+2，f（x）＞x即x+2＞0，其解集为（﹣2，+∞），符合题意；②、a2﹣5＜0，即﹣＜a＜时，f（x）＞x即（a2﹣5）x2+x+2＞0，若（0，1）⊆A，必有，解可得a≥或a≤﹣，则此时有：﹣＜a＜﹣或＜x＜，③、当a2﹣5＞0，a＜﹣或a＞，g（x）=（a2﹣5）x2+x+2，g（x）为二次函数，开口向上且其对称轴为x=＜0，又由g（0）=2＞0，此时有a＜﹣或a＞，综合可得：a的取值范围为：a≥或a≤﹣，故答案为：a≥或a≤﹣，二.选择题13．（3分）设P、Q为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}．若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵P={0，2，5}，Q={1，2，6}，P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}∴当a=0时，b∈Q，P+Q={1，2，6}当a=2时，b∈Q，P+Q={3，4，8}当a=5时，b∈Q，P+Q={6，7，11}∴P+Q={1，2，3，4，6，7，8，11}故选：C．14．（3分）不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解集是（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|x＜0且x≠﹣1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜1且x≠﹣1}【解答】解：求不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解集则分两种情况讨论：情况1：即：则：﹣1＜x＜1．情况2：即：则：x＜﹣1两种情况取并集得{x|x＜1且x≠﹣1}．故选：D．15．（3分）已知三个不等式：ab＞0，bc﹣ad＞0，﹣＞0（其中a、b、c、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由ab＞0，bc﹣ad＞0可得出﹣＞0．bc﹣ad＞0，两端同除以ab，得﹣＞0．同样由﹣＞0，ab＞0可得bc﹣ad＞0.ab＞0．故选：D．16．（3分）设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴A．≥≥4故A恒成立，B．a3+b3≥2ab2，取，则B不成立C．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0故C恒成立D．若a＜b则≥恒成立若a≥b，则=2﹣2b=2（﹣）≥0，∴≥故选：B．三.解答题17．已知△ABC为直角三角形，记其两条直角边长分别为a，b∈R+，记面积为S，周长为C，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用S表示）．【解答】解：设三角形ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，可得a2+b2=c2，S=ab，C=a+b+c，可得C=a+b+≥2+=2+2，当且仅当a=b=时，C取得最小值，且为2+2．18．已知a∈R，若关于x的方程有实根，求a的取值范围．【解答】解：由x2+x+|a﹣|+|a|=0得﹣x2﹣x=|a﹣|+|a|，设f（x）=﹣x2﹣x，则f（x）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，所以要使关于x的方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则|a﹣|+|a|≤，因为|a﹣|+|a|，所以|a﹣|+|a|=，此时0故a的取值范围为：[0，]．19．阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题．证明：证：令，=，故．（1）若，利用上述结论，证明：；（2）若，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：．（提示：若a，b，c∈R+，有）【解答】证明：（1）由，由，可得（x 1+x2）（y1+y2）=[（）2+（）2][（）2+（）2]≥（+）2，即有；（2）先证（x13+x23）（y13+y23）（z13+z23）≥（x1y1z1+x2y2z2）3，设A=，B=，C=，则=+=••+••≤（++）+（++）=（+）+（+）+（+）=×（1+1+1）=1，则（x13+x23）（y13+y23）（z13+z23）≥（x1y1z1+x2y2z2）3，由，（x 1+x2）（y1+y2）（z1+z2）=[（）3+（）3][（）3+（）3][（）3+（）3]≥（+）3，则．20．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排査，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．【解答】解：（1）设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行+1000x次检测可以找到所有的被感染者，由y=+1000x≥2=4×104，由=1000x，即x≈44.72，由于x为正整数，由x=44，可得y=+44000≈89854.54，由x=45，可得y=+45000≈89444.44，可得在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数为45；（2）设第一次每个组x1人，第二次每个组x2人，可得检测的总次数为++1000x2≥3=3×104，当且仅当==1000x2，即x22=x1，x1=100≈158.74，由x1为正整数，可得x1=159离100，较158离100近，即x1为159；=≈12.6，则13较12与12.6距离近，由x则x2为13，则第一次每个组159人，第二次每个组13人；（3）当进行n次这样的检验，可以达到最优，由+++…+1000x n≥（n+1），由===…=1000x n，可得x n=，由n=18，x18=≈1.49，可取x18=1，即进行这样的检验18次，即可得到总次数更少．21．已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a、c∈R），满足f（1）=0，且f（x）≥0在x ∈R时恒成立．（1）求a、c的值；（2）若h（x）=x2﹣bx+﹣，解不等式f（x）+h（x）＜0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由f（1）=0，得a+c=，因为f（x）≥0在R上恒成立，所以a＞0且△=﹣4ac≤0，ac≥，即a（﹣a）≥，即（a﹣）2≤0，所以a=c=．（2）由（1）得f（x）=x2﹣x+，由f（x）+h（x）＜0，得x2﹣（b+）x+＜0，即（x﹣b）（x﹣）＜0，所以，当b＜时，原不等式解集为（b，）；当b＞时，原不等式解集为（，b）；当b=时，原不等式解集为空集．（3）g（x）=x2﹣（+m）x+，g（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x=2m+1．假设存在实数m，使函数g（x）在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．①当2m+1＜m，即m＜﹣1时，函数g（x）在区间[m，m+2]上是增函数，所以g（m）=﹣5，即m2﹣（+m）m+=﹣5，解得m=﹣3或m=，因为m＜﹣1，所以m=﹣3；②当m≤2m+1≤m+2，即﹣1≤m≤1时，函数g（x）的最小值为g（2m+1）=﹣5，即（2m+1）2﹣（+m）（2m+1）+=﹣5，解得m=﹣﹣或m=﹣+，均舍去；③当2m+1＞m+2，即m＞1时，g（x）在区间[m，m+2]上是减函数，所以g（m+2）=﹣5，即（m+2）2﹣（+m）（m+2）+=﹣5，解得m=﹣1﹣2或m=﹣1+2，因m＞1，所以m=﹣1+2．综上，存在实数m，m=﹣3或m=﹣1+2时，函数g（x）在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．…（18分）。
2017-2018学年上海交大附中高三(上)10月月考数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海交大附中高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题满分66分，其中第1-6题每题5分，第7-12每题6分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=．2．计算：=．3．某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x=．4．若复数z满足（其中i是虚数单位），为z的共轭复数，则=．5．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．6．已知，则x=（用反正弦表示）7．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）15的展开式中，x2项的系数是（用数字作答）8．若双曲线=1的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为．9．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．10．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是．11．已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=．12．对于函数f（x）=，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；），对一切x∈[0，+∞）恒成立；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是．（请写出全部正确结论的序号）二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13．若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=314．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（A．17πB．22πC．68πD．88π15．设O为坐标原点，第一象限内的点M（x，y）的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，的最小值为（）A．B．C．1 D．416．定义区域[x1，x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1），函数的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值为（）A．B．﹣3 C．1 D．3三、解答题（本大题满分76分，共5大题，14+14+14+16+18=76）17．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．已知函数．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求a+c的值；（3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明．19．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润a n=（单位：万元，n∈N*），记第n天的利润率b n=，例如b3=．（1）求b1，b2的值；（2）求第n天的利润率b n；（3）该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．20．（16分）如图，已知椭圆，A、B为椭圆的左右顶点，焦点F（c，0）到短轴端点的距离为2，且，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．（1）求直线BP与直线BQ的斜率乘积值；（2）求证：直线PQ过定点，并求出该定点；（3）求三角形APQ的面积S的最大值．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）=1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k ∈N*），都有．2017-2018学年上海交大附中高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分66分，其中第1-6题每题5分，第7-12每题6分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={0} ．【分析】根据交集的定义即可求出．解：集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={0}，故答案为{0}【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．计算：=．【分析】所求表达式分子、分母同除n2，然后求解即可．解：===．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限的求法，基本知识的考查．3．某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x=27．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论解：由题意可得=，即x=27，故答案为：27【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系即可得到结论．4．若复数z满足（其中i是虚数单位），为z的共轭复数，则=．【分析】先由复数的代数形式的乘除运算，求出=1﹣3i，故=1+3i，由此能求出||．解：∵====1﹣3i，∴=1+3i，∴||==．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．已知，则x=（用反正弦表示）【分析】本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案解：由于arcsin表示[﹣，]上正弦值等于的一个锐角，由，则x=，故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点表示出符合条件的角，反三角函数在新教材省份已经不是高中数学学习内容．7．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）15的展开式中，x2项的系数是560（用数字作答）【分析】由题意可得x2项的系数是+++…+，再利用二线式系数的性质化简可得结果．解：在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）15的展开式中，x2项的系数是+++…+==560，故答案为：560．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二线式系数的性质，属于基础题．8．若双曲线=1的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为2．【分析】求出双曲线的渐近线方程，求得圆心到渐近线的距离，再由直线和圆相交的弦长公式，解方程即可得到a=1，进而得到实轴长．解：双曲线=1的渐近线方程为y=±，即±ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为r=2，由圆的弦长公式得弦心距|CD|==，另一方面，圆心C到双曲线的渐近线﹣ay=0的距离为d==，所以d==，解得a2=1，即a=1，该双曲线的实轴长为2a=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆相交的弦长公式，考查点到直线的距离公式，属于基础题．9．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．【分析】设P的坐标为（x，y），根据，结合向量的坐标运算解出，再由1≤λ≤2、0≤μ≤1得到关于x、y的不等式组，从而得到如图的平行四边形CDEF及其内部，最后根据坐标系内两点间的距离公式即可算出平面区域D的面积．解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|==，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：3【点评】本题在平面坐标系内给出向量等式，求满足条件的点P构成的平面区域D的面积．着重考查了平面向量的坐标运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．10．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）．【分析】按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，可求a1的取值范围．解：由题意得，a3的结果有四种：1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12=4a1﹣36=a3，2．a1→2a1﹣12→（2a1﹣12）+12=a1+6=a3，3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3，4．a1→a1+12→2（a1+12）﹣12=a1+18=a3，每一个结果出现的概率都是∵a1+18＞a1，a1+6＞a1，∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为，∴4a1﹣36＞a1，a1+18≤a1，或4a1﹣36≤a1，a1+18＞a1，解得a1≥24或a1≤12．故a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）故答案为：（﹣∞，12]∪[24，+∞）【点评】本题考查新定义，考查生分析问题、解决问题，理解题意有些麻烦，属于中档题．11．已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=1或2．【分析】由已知求出等差数列的公差，得到等差数列的通项公式，再由a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，得=3n+1．由a n=2n﹣1，得，可得2k n﹣1=3n+1．即k n=（3n+1+1），由对任意n∈N*，恒有≤（m ∈N*），可得≤恒成立，然后结合数列的函数特性求得m值．解：根据题意，等差数列{a n}中a1=1，a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1×（1+4d），d≠0，解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，首项为1，公比为3．∴=3n+1．由a n=2n﹣1，得，∴2k n﹣1=3n+1．∴k n=（3n+1+1）∵对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），即≤恒成立，令f（n）=＞0，则≤1．∴当n=1或n=2时，f（n）最大，当n≥2时，f（n）为减函数，则要使对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=1或2．故答案为：1或2．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比数列的性质，考查数列的函数特性，是中档题．12．对于函数f（x）=，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；），对一切x∈[0，+∞）恒成立；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是①④⑤．（请写出全部正确结论的序号）【分析】作出f（x）=的图象，分别利用函数的性质进行判断即可．解：f（x）=的图象如图所示：①∵f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，故①正确；②函数在区间[4，5]上的单调性和[0，1]上的单调性相同，则函数y=f（x）在区间[4，5]上不单调；故②错误；③f（）=2f（+2）=4f（+4）=6f（+6）≠8f（+8），故不正确；故③错误，④如图所示，函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；故④正确，⑤当1≤x≤2时，函数f（x）关于x=对称，若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则=，则x1+x2=3成立，故⑤正确，故答案为：①④⑤．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的性质，利用分段函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13．若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0，即∴，解得b=﹣2，c=3故选：D．【点评】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题14．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（A．17πB．22πC．68πD．88π【分析】由已知三视图得到几何体是长宽高分别为2，2，3的长方体，计算其体对角线长度，得知其外接球的直径，计算球表面积．解：原因是得到几何体是长宽高分别为2，2，3的长方体，所以外接球的直径为，所以外接球表面积为：4π（）2=68π；故选：A．【点评】本题考查了由几何体的三视图求外接球的表面积；关键是还原几何体，明确外接球的半径．15．设O为坐标原点，第一象限内的点M（x，y）的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，的最小值为（）A．B．C．1 D．4【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义以及基本不等式的应用进行求解．解：∵=ax+by，∴设z=ax+by，则z的最大值为40．作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=ax+by，得y=，由图象可知当直线y=，经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大（∵b＞0），由，解得，即A（8，10），代入z=ax+by，得40=8a+10b，即，∴=（）（）=1+，当且仅当，即4a2=25b2，2a=5b时取等号，∴的最小值为，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划和基本不等式的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划的关键，注意利用数形结合来解决．16．定义区域[x1，x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1），函数的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值为（）A．B．﹣3 C．1 D．3【分析】将函数f（x）化简，首先考虑f（x）的单调性，由题意可得f（m）=n，f（n）=m．，故m，n是方程f（x）的同号的相异实数根．利用韦达定理和判别式，求出m，n的关系．在求最大值解：解：函数的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．化简得f（x）=在区间[m，n]上是单调递增，则有，故m，n是方程f（x）==x的同号相异的实数根，即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．那么mn=，m+n=，只需要△＞0，即（a2+a）2﹣4a2＞0，解得：a＞1或a＜﹣3．那么：n﹣m==，故n﹣m的最大值为，此时解得：a=3．故选：D．【点评】本题考查了函数性质的方程的运用，有一点综合性，利用函数关系，构造新的函数解题．属于中档题，分类讨论思想的运用，增加了本题的难度，解题时注意．三、解答题（本大题满分76分，共5大题，14+14+14+16+18=76）17．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题．18．已知函数．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求a+c的值；（3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明．【分析】（1）推导出f（x）=﹣cosx=2sin（x﹣），由此能求出函数f（x）的值域．（2）由f（B）=2，得到f（B）=2sin（B﹣）=2，B∈（0，π），求出B=，由余弦定理得：3=a2+c2﹣2accos，由△ABC面积S得ac=1，由此能求出a+c．（3）建立坐标系，用解析法即可证明余弦定理．解：（1）∵．∴f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴由x∈R，可得：f（x）=2sin（x﹣）∈[﹣2，2]；（2）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（B）=2，∴f（B）=2sin（B﹣）=2，B∈（0，π），∴B=，∵b=，∴由余弦定理得：3=a2+c2﹣2accos，∵△ABC面积S=，∴acsinB=ac×=，解得ac=1，∴a2+c2=3+2accos=3﹣ac=2，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=2+2=4，∴a+c=2．（3）证明：余弦定理为：a2=b2+c2﹣2bccosA．下用解析法证明：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A （0，0），B（c，0），C（bcosA，bsinA）．由两点距离公式得：a2=|BC|2=（c﹣bcosA）2+（﹣bsinA）2=b2+c2﹣2bccosA．【点评】本题考查三角函数的值域的求法，考查三角形中两边和的求法，考查二倍角公式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润a n=（单位：万元，n∈N*），记第n天的利润率b n=，例如b3=．（1）求b1，b2的值；（2）求第n天的利润率b n；（3）该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．【分析】（1）当n=1时，；当n=2时，．（2）当1≤n≤25时，a1=a2=…=a n﹣=a n=1.=．当26≤n≤60时，1=，由此能求出第n天的利润率．（3）当1≤n≤25时，是递减数列，此时b n的最大值为；当26≤n≤60时，，由此能求出利润率最大值．解：（1）当n=1时，；当n=2时，．（2）当1≤n≤25时，a1=a2=…=a n﹣1=a n=1．∴=．当26≤n≤60时，==，∴第n天的利润率（3）当1≤n≤25时，是递减数列，此时b n的最大值为；当26≤n≤60时，（当且仅当n=，即n=50时，“=”成立）．又∵，∴n=1时，．【点评】本题考查数列的性质和综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化和分类讨论思想的运用．20．（16分）如图，已知椭圆，A、B为椭圆的左右顶点，焦点F（c，0）到短轴端点的距离为2，且，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．（1）求直线BP与直线BQ的斜率乘积值；（2）求证：直线PQ过定点，并求出该定点；（3）求三角形APQ的面积S的最大值．【分析】（1）由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解出可得椭圆E的方程为：=1．设P点坐标（x，y），y2=（4﹣x2），则A（﹣2，0），B （2，0），利用斜率计算公式可得k AP•k BP==﹣，由k BQ=2k AP，可得k BP•k BQ．（2）当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，与椭圆方程联立得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由k BP•k BQ=﹣1，即=0，利用数量积运算性质、根与系数的关系可得结论．（3）由（2）可知：当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，=S△APM+S 与椭圆方程联立整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，又t=﹣．S=S△APQ=|y1﹣y2|==，利用△AQM根与系数的关系、函数的单调性可得S＜．当当直线PQ的斜率不存在时，直线PQ的方程为：把x=代入椭圆方程可得：+=1，解得y．可得|PQ|=，可得S．【解答】（1）解：由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=c=．∴椭圆E的方程为：=1．设P点坐标（x，y），y2=（4﹣x2），则A（﹣2，0），B（2，0），则k AP=，k BP=，则k AP•k BP==﹣，由k BQ=2k AP，故k BP•k BQ=﹣1．∴直线BP与直线BQ的斜率乘积为﹣1为定值．（2）证明：当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，联立，整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，由k BP•k BQ=﹣1，即=0，则y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，得（k2+1）x1x2+（kt﹣2）（x1+x2）+4+t2=0，4k2+8kt+3t2=0，得t=﹣2k或t=﹣k．y=k（x﹣2）或y=k（x﹣），所以过定点（2，0）或（，0），A（2，0）为椭圆的右顶点，舍去，∴直线PQ过定点M（，0）．（3）解：由（2）可知：当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，与椭圆方程联立整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，又t=﹣．S=S△APQ=S△APM+S△AQM=|y1﹣y2|====，令=m∈（0，1），则S=＜=，当当直线PQ的斜率不存在时，直线PQ的方程为：把x=代入椭圆方程可得：+=1，解得y=±．∴|PQ|=，可得S==．综上可得：当PQ⊥x轴时，三角形APQ的面积S取得最大值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、数量积运算性质、二次函数的性质、直线过定点问题、三角形面积计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）=1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k ∈N*），都有．【分析】（1）根据定义逐一判断即可，利用特殊值，举出反例；（2）根据定义可知g（t）=3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，可得a≤1，由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a （3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，得出a≥﹣1，最后求出a的范围；（3）根据定义，令s=t，可知f（2s）＞2f（s），即，故对于正整数k 与正数s，都有，进而得出结论．解：（1）对于函数，当t＞0，s＞0时，，又，所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），故是“L函数”．…对于函数，当t=s=1时，，故不是“L函数”．…（2）当t＞0，s＞0时，由g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”，可知g（t）=3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，又3t﹣1＞0，可得a＜3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．…由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，由3s+t+a＞0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．…综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]．…（3）由函数f（x）为“L函数”，可知对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），令s=t，可知f（2s）＞2f（s），即，…故对于正整数k与正数s，都有，…对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得，又f（1）=1，所以，…（16分）同理，故．…（18分）【点评】本题考查了新定义函数的理解和应用新定义函数解决实际问题，综合性强，难度较大．。
精品解析：【全国百强校】上海市交通大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末数学试题(原卷版)
上海市交大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“”是“ ”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.设函数，则的值为（）A. B.C. 中较小的数D. 中较大的数3.如图中，哪个最有可能是函数的图象（ ）A. B.C. D.4.若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是A. 为奇函数B. 为偶函数C. 为奇函数D. 为偶函数二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x的不等式的解集为,则实数a＝______.6.设集合，若，则实数的取值范围是_______．7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8.若函数的反函数的图象经过点，则实数______．9.若，则满足的的取值范围是______．10.已知是上的增函数，那么的取值范围是______．11.定义在上的偶函数，当时，，则在R上的零点个数为______．12.设，，则的值为______．13.设为的反函数，则的最大值为______．14.已知函数，且为的最小值，则实数a的取值范围是______．15.设，若函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为______．16.已知下列四个命题：①函数满足：对任意，有；②函数均为奇函数；③若函数的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足，那么；④设是关于的方程的两根，则其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于的不等式：18.设，函数；（1）求的值，使得为奇函数；（2）若对任意的成立，求的取值范围19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。
某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。
该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。
2017-2018学年上海市交通大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2017-2018学年上海市交通大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题 1．“”是“”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】先求出x 2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可． 【详解】由x 2＜4，解得：﹣2＜x ＜2， 故x ＜2是x 2＜4的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题． 2．设函数()1,0{ 1,0x f x x ->=<，则()()()()2a b a b f a b a b +---≠的值为（ ）A ．aB ．bC ．,a b 中较小的数D ．,a b 中较大的数 【答案】D【解析】∵函数()1,(0){,1,(0)x f x x ->=<∴当a b >时，()()()()()b22a b a b f a b a b a b ++-⋅-+--==;当a b <时，()()()()()a22a b a b f a b a b a b ++-⋅-++-==;∴()()()()2a b a b f a b a b ++-⋅-≠的值为a ,b 中较小的数故选：C3．如图中，哪个最有可能是函数 的图象（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可． 【详解】y ′，令y ′＞0，解得：x ，令y ′＜0，解得：x ，故函数在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减，而x ＝0时，函数值y ＝0，x →﹣∞时，y →﹣∞，x →+∞时，y →0，故选：A ． 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4．若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是（A ）()f x 为奇函数 （B ）()f x 为偶函数（C ）()1f x +为奇函数（D ）()1f x +为偶函数 【答案】C【解析】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期
高一数学月考一 试卷
一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1. 用列举法表示方程2
2320,x x x R --=∈的解集是____________. 2. 已知集合2
{1,},{1,}A m B m =-=，且A B =，则m 的值为____________. 3. 设
集
合
{1,2,6},{2,4},{|15,}A B C x x x R ===-≤≤∈，则
()A B C =____________.
4. 已知关于x 的一元二次不等式20ax x b ++>的解集为(,2)
(1,)-∞-+∞，则
a b -=____________.
5. 设集合{}3(,)|1,(,)
12y U x y y x A x y x ⎧-⎫
==+==⎨⎬-⎩⎭
，则U
A =____________.
6. 不等式
2
1x
+≥____________. 7. 已知x R ∈，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是____________. 8. 设[]:13,:1,25x x m m αβ-≤≤∈-+，α是β的充分条件，则m ∈____________. 9. 若对任意x R ∈，不等式2
2
(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________.
10. 向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A 、B 都赞成的学生有____________人
11. 设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[5.5]5,[ 5.5]6=-=-），则2
[]5[]60x x -+≤的解集为____________.
12. 已知有限集123{,,,
,}(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,
,)i a i n =满足
1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：
①集合1122⎧---⎪⎨
⎪⎪⎩
⎭是“复活集”
； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*
12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”； ④若*
i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.
其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号） 二、选择题（每题5分）
13. 若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论中正确的是（ ）
A. Q P ⊆
B. P
Q =∅ C. P Q ≠∅ D. P Q P ≠
14. 集合{}
*|4|21|A x x N =--∈，则A 的非空真子集的个数是（ ）
A. 62
B. 126
C. 254
D. 510
15. 已知,,a b c R ∈，则下列三个命题正确的个数是（ ） ①若22ac bc >，则a b >；
②若|2||2|a b ->-，则2
2
(2)(2)a b ->-
③若0a b c >>>，则
a a c
b b c
+>
+； ④若0,0,4,4a b a b ab >>+>>，则2,2a b >>
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
16. 若实数,a b 满足0,0a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ） A. 必要而不充分的条件 B. 充分而不必要的条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
三、解答题
17. （本题满分14分）已知关于x 的不等式2
5
0ax x a
-<-的解集为M （1）4a =时，求集合M ；
（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围
18. （本题满分14分）解关于x 的不等式2
(2)(21)60a x a x -+-+>
19. （本题满分16分）已知函数()|1||2|f x x x =+-- （1）求不等式()1f x ≥的解集；
（2）若不等式2
()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围
20. （本题满分14分）
某商场在促销期间规定：商场内所有商品标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消
费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的
商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=（元），设购买商品得到的优惠率=
购买商品获得的优惠额
商品的标价。
试问：
（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在[500,800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于1
3
的优惠率？
21. （本题满分18分）对于四个正数,,,x y z w ，如果xw yz <，那么称(,)x y 是(,)z w 的“下位序对”，
（1）对于2,3,7,11，试求(2,7)的“下位序对”；
（2）设,,,a b c d 均为正数，且(,)a b 是(,)c d 的“下位序对”，试判断,,
c a a c
d b b d
++之间的大小关系；
（3）设正整数n 满足条件：对集合{|02017}t t <<内的每个*m N ∈，总存在*k N ∈，使得(,2017)m 是(,)k n 的“下位序对”，且(,)k n 是(1,2018)m +的“下位序对”，求正整数n 的最小值。
参考答案
1、1,22⎧⎫
-
⎨⎬⎩⎭
2、0
3、{}1,2,4
4、3
5、(){}2,3
6、(]0,1
7、若5x ≥或2x ≤，则27100x x -+≥
8、[]1,0-
9、3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦
10、21 11、[)2,4 12、①③④ 13-16、DBCC 17、（1）5224x x x ⎧
⎫<-<<⎨⎬⎩⎭或
；（2）(]519,253⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭， 18、当2a <时，解集为322x x a ⎧⎫
-<<
⎨⎬-⎩
⎭
；当2a =时，解集为{}2x x >-； 当722a <<
或72a >时，解集为322x x x a ⎧⎫><-⎨⎬-⎩⎭
或；当72a =时，解集为{}2x x ≠-； 19、（1）[)1,+∞；（2）5,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
20、（1）33%；（2）[]625,750 21、（1）()3,11；（2）b a c c
a b d d
+<<+；
（3）4035。