武汉大学硕士2014级数值分析期末考题
数值分析复习题及答案
数值分析复习题一、选择题1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有〔 〕和〔 〕位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和42. 求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，那么A ＝〔 〕A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足〔 〕A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，那么它具有〔 〕敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程〔 〕.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-二、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，那么所得的近似值x=.2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 那么二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 那么2||||X = ，=∞||||X 。
4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式x =01x =， 那么 1______x =。
5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是 1______k y +≈。
武汉大学《概率论与数理统计》期末考试历年真题及参考答案
6、解：首先确定 f (x, y)
1[
1 x dy]dx
6,0 x 1, x2
y x；
0 x2
E(X)=
1[
0
x x2
x
6dy]dx
1 2
；E(X
2
)=
1[
0
x x2
x2
6dy]dx
3 10
；E(Y)=
1[
0
y
y y 6dx]dy
2 5
E(Y 2 )=
1[
0
y
y
(
1 2
x)(
1 2
y)
f
(x,
y), 所以X ,Y不独立；
（3）1[ 1h(x y) f (x, y)dy]dx 1[ x1 h(z)(x x z)dz]dx
00
0x
0 [ z1 h(z)(2x z)dx]dz 1 1 h(z)(2x z)dx]dz
1 0
0z
0 h(z)(z2 z 1)dz 1 h(z)(1 z2 z)dz
Z 0 1234
P
1 131 1
(Z) 16 4 8 4 16
武汉大学2011-2012 第一学期《概率论与数理统 计》期末试题及参考答案
一、解：(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.4-0.5×0.4=0.7
(2)P((A-B)|(A+B))=P((A-B)∩(A+B))/P(A+B)=[P(A)-P(A)P(B)]/P(A+B)=0.3/0.7=3/7 二、解：
y
2
6dx]dy
3 14
；E(XY)=
数值分析试题及答案解析
数值分析试题及答案解析数值分析试题一、填空题（2 0×2′）1.-=?-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足|?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是ρ(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。
武汉大学数值分析期末考试(05-11年)
x1 + 2 x 2 − 2 x3 = 1, x1 + x 2 + x3 = −1, 2 x + 2 x + x = 0. 2 3 1 2a a 0 二、 （8 分）若矩阵 A = 0 a 0 ，说明对任意实数 a ≠ 0 ，方程组 AX = b 都是 0 0 a
dy = f (t , y ) 的单步法： 八、 （14 分）对于下面求解常微分方程初值问题 dt y (t 0 ) = y 0
λ
y n +1 = y n + hk 2 k1 = f (t n , y n ) 1 1 k 2 = f (t n + h, y n + hk1 ) 2 2 （1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定区域。
1 1 y n +1 = y n + h( 2 k1 + 2 k 2 ) k1 = f ( x n , y n ) k = f ( x + h, y + hk ) n n 1 2 （1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。
武 汉 大 学
2006~2007 学年第一学期硕士研究生期末考试试题 （A 卷）
非病态的（范数用 ⋅ ∞ ） 四 、（15 分）已知 y = f ( x) 的数据如下 ： xi f ( xi ) f ′( xi )
0
0
1 2 1
2
6
求 f ( x) 的 Hermite 插值多项式 H 3 ( x) ，并给出截断误差 R ( x) = f ( x) − H 3 ( x) 。 五 、（10 分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度 x（℃）的试验数据为 xi yi 1 0．8 2 1．5 3 1．8 4 2．0
武汉大学硕士2014级数值分析期末考题
武 汉 大 学2014~2015学年第一学期硕士研究生期末考试试题 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：一、（12分）已知方程0410=-+x e x 在]4.0,0[内有唯一根。
（1）迭代格式A ：)104ln(1n n x x -=+；迭代格式B ：)4(1011n x n e x -=+ 试分析这两个迭代格式的收敛性；（2）写出求解此方程的牛顿迭代格式。
二、（12分）用Doolittle 分解法求线性方程组Ax b =的解，并求行列式A 。
其中244378112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 386018b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭三、（14分）设方程组11223300a c x d c b a x d a c x d , 且0abc（1） 分别写出Jacobi 迭代格式及Gauss-Seidel 迭代格式；（2） 导出Gauss-Seidel 迭代格式收敛的充分必要条件。
四、（12分）已知 )(x f y = 的数据如下：求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H 及其余项。
五、（12求常数a , b , 使3220[]min i i i i ax bx y六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分120()x I a bx e dx取得最小值。
七、（14分）设)(x f 在],[b a 上二阶导数连续。
将],[b a n 等分，分点为b x x x a n =<<<= 10，步长na b h -= （1）证明中矩形公式11()()2i i x i i x x x f x dx hf ………………（*） 的误差为： 311()[,]24i i i i Rh f x x （2）公式（*）是否为高斯型求积公式？ （3）写出求 ⎰b adx x f )( 的复化中矩形公式及其误差。
八、（12分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的改进欧拉法：112121()2(,)(,)n n n n n n h y y k k k f x y k f x h y hk （1）确定此方法的绝对稳定域；（2）用此方法求解如下初值问题：22(0)1y x y y ]1,0[∈x 。
武汉大学07数值分析研究生试卷(A)
武 汉 大 学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（15分）给定方程 01)1()(=--=x e x x f(1) 分析该方程存在几个根；(2) 用迭代法求出这些根，精确至2位有效数；(3) 说明所用的迭代格式是收敛的.二、（15分）设线性方程组为0,,221122221211212111≠⎩⎨⎧=+=+a a b x a x a b x a x a(1)证明用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解此方程组要么同时收敛,要么同时发散.(2) 当同时收敛时比较其收敛速度.三、（10分）设A 为非奇异矩阵，方程组b Ax =的系数矩阵A 有扰动A ∆，受扰动后的方程组为b x x A A =∆+∆+))((，若1||||||||1<∆⋅-A A ，试证：||||||||1||||||||||||||||11A A A A x x ∆⋅-∆⋅≤∆--四、（15求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。
五、（10分）已知数据设2)1()(-+=x b ax x f ，求常数a ,b , 使得 ∑==-302min ])([i i i y x f六、（15分）定义内积 ⎰-=11)()(),(dx x g x f g f 在},,1{2x x Span H =中求||)(x x f =的最佳平方逼近元素. 七、（10分）给定求积公式⎰-++-≈hh h Cf Bf h Af dx x f 22)()0()()(试确定C B A ,,,使此求积公式的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss 型公式.八、（10分）给定微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=2)0(102y x y dxdy用一个二阶方法计算)(x y 在0.1 , 0.2 处的近似值. 取 1.0=h 计算结果保留5位有效数字。
武汉大学数值分析分章复习(数值积分)
（2）若使其具有最高的代数精度，试确定求积系数与求积结点？代数精度为多少？ 注：本题不用考虑 3、分别用梯形公式和二点 Gauss 公式计算积分 解：利用梯形公式，
e dx ，比较二者的精度
x 0
1
e dx 2 (e
x 0
1
1
0
e1 ) 1.8592
注：Gauss 公式部分不要 4、对于积分
2h
2 h
f ( x)dx Af (h) Bf (0) Cf (h)
8 16 h , B 4 h 3 3
解：解题过程与上题类同，所得结果 A C 代数精确度为 p 3
7、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。
2
0
f ( x)dx 0 f (0) 1 f (1) 2 f (2)
8 16 h , B 4 h 3 3
解：解题过程与上题类同，所得结果 A C 代数精确度为 p 3
8、求积公式
f ( x)dx 3 f ( 4 ) 3 f ( 2 ) 3 f ( 4 ) 具有多少次代数精确度
0
2 3
1
2
1
1
1
2
3
解：依次取 f ( x) 1, x, x , x 代入积分公式，得左端=右端 当取 f ( x ) x 时，左端 右端，故公式的代数精确度为 p 3
2
解：依次取 f ( x) 1, x, x , x , x 代入积分公式，令左端=右端，得
A B C 4 A C 0 16 2 2 A C 3 3 A C 0 4 A 4C 64 5
武汉大学数值分析期末考试题目和答案
（2 分）
（2 分） （1 分）
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 5 页）
八．证明题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分） 1. 证：该问题的精确解为 y( x) y0e
六．试用 Doolittle 分解法求解方程组：
5 6 x1 1 0 2 4 1 3 1 9 x 1 9（ 10 分） 2 6 3 6 x3 3 0 20 x1 2 x2 3x3 24 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组 x1 8 x2 x3 12 的迭代格式，并 2 x 3x 15 x 30 2 3 1
故有 B 1.25 1 ，因而雅可比迭代法不收敛。 （2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为
0 0.5 0.5 B 0 0.5 0.5 0 0.5 0
其特征值为 1 0, 2 3 0.5 故有 B 0.5 1 ，因而雅可比迭代法收敛。
判断其是否收敛？（10 分）
y y 八．就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。 （10 分） y (0) y0
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 2 页）
步 6：若 k<N,置 k:=k+1, μ:=mk，转 3；否则输出计算失败 信息，停止 三． 解： （1）利用插值法加待定系数法： 设 p2 x 满足 p2 1 2, p2 2 4, p2 3 12, 则 p2 x 3x 7 x 6, （3 分）
武汉大学研究生课程数值分析期末考试
武汉大学研究生课程《数值分析》半开卷考试资料
姓名： 学号： 第 1 章 绪论 1.1 误差的基本概念 绝对误差：∆ ������ = ������ ∗ − ������ ; ∆f(x) = ������������(������) = ������ ′ (������)������������ ; 绝对误差：∆������ ������ = 有效数字：������ = (0. ������1 ������2 … ������������ × 10−������ ) × 10������ ,则有 n 位有效数字。 1 1 误差限：|∆ ������| = |������ ∗ − ������| ≤ × 10������−������ ; |∆������ ������| ≤ × 10−(������−1)
|������ ∗ −������������+1 | ������→∞ |������ ∗ −������������|������
= C (对于收敛的迭代格式，当|������′(������)| = 0，则是线性收敛)
������(������ )
������
若碰到求收敛阶：迭代公式是个方程，准确解带进去是个方程，两方程相减，然后适当变形利用微分中值定理。 3.3 Newton 法 (二阶收敛)：������������+1 = ������������ − ������′(������������ ) ; 假设������ ∗ 是 f(x) = 0 的单根, f(x)在������ ∗ 的邻域内具有连续的二阶导数且 f ′(������ ∗ ) ≠ 0 , 则牛顿公式具有局部收敛性；若 f′′(������ ∗ ) ≠ 0 且������0 ≠ ������ ∗ , 则序列{������������ }是平方收敛。 第 4 章 矩阵特征值特征向量 (略) Householder 变换（H=I-2wwT） 、 Givens 变换、幂法 第 5 章 插值与逼近 5.1 插值多项式的唯一性 Pn (x) = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ⋯ + ������������ ������ ������ ; |������| = ∏(������������ − ������������ ) ≠ 0
武汉大学06-10年(缺08-09)研究生数值分析考试试卷
武 汉 大 学2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）设方程组b Ax =为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛37111221x x （1） 用Doolittle 分解法求解方程组； （2） 求矩阵A 的条件数∞)(A Cond二、（12分）设A 为n 阶对称正定矩阵，A 的n 个特征值为n λλλ≤≤≤ 21，为求解方程组b Ax =，建立迭代格式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+ω，求出常数ω的取值范围，使迭代格式收敛。
三、（12分）已知数据试用二次多项式c bx ax x p ++=2)(拟合这些数据。
四、（14分）已知 )(x f y = 的数据如下：（1）求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ；（2）为求⎰31)(dx x f 的值，采用算法：R dx x H dx x f +=⎰⎰31331)()(试导出截断误差R五、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分dx e b ax b a I x 210)(),(⎰-+=取得最小值。
六、（12）确定常数i A ，使求积公式)2()1()0()(32120f A f A f A dx x f ++≈⎰的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss 型公式。
七、（12分）设)(x ϕ导数连续，迭代格式)(1k k x x ϕ=+一阶局部收敛到点*x 。
对于常数λ，构造新的迭代格式：)(1111k k k x x x ϕλλλ+++=+问如何选取λ，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。
八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y t y y t f dt dy的单步法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+=+)21,21(),(12121hk y h t f k y t f k hk y y n n n n n n （1） 验证它是二阶方法；（2） 确定此单步法的绝对稳定区域。
数值分析报告期末考试复习题及其问题详解
数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。
（4分）解：由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分） 解：{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时，)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2解：①Newton 迭代格式为：xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为 0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b ，其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1,2,3……） 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1,2,3）其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分 ③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H 插值多项式，使'11'33)(,)(y x H y x H i i == （6分）解：作重点的差分表，如下：3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分）解：由已知条件可作差分表，3分i ih x x i =+=0 （i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x(x-1)=442++x x 4分9. 求f(x)=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分）解：令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x, k=2x ,计算得： (m,m)=dx ⎰-111=0 (m,n)=dx x ⎰-11=1 (m,k)= dx x ⎰-112=0(n,k)= dx x ⎰-113=0.5 (k,k)= dx x ⎰-114=0 (m,y)= dx x ⎰-11=1(n,y)=dx x⎰-112=0 (k,y)= dx x ⎰-113=0.5得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==+=5.05.005.011201a a a a 3分解之得c a a c a 2,1,210-=== （c 为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式222)(cx x c x P -+= 1分 平方误差：32),(22222222=-=-=∑=i i i y a fp f ϕδ 2分10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson 公式计算⎰+=10214dx x π的近似值（保留小数点后三位） （8分）解：用复合梯形公式：)}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++==3.139 4分用复合Simpson 公式： )}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++==3.142 4分11. 计算积分⎰=20sin πxdx I ，若用复合Simpson 公式要使误差不超过51021-⨯，问区间]2,0[π要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间]2,0[π应分为多少等分? （10分）解： ①由Simpson 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得544)4(2041021)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤⨯≤=≤n x f n f R x n πππππ 2分即08.5,6654≥≥n n ，取n=6 2分即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过51021-⨯ 1分②对梯形公式同样1)(''max 20≤≤≤x f x π，由余项公式得51021)2(122)(-⨯≤≤n f R n ππ2分即255,2.254=≥n n 取 2分即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过51021-⨯ 1分12. 用改进Euler 格式求解初值问题：⎩⎨⎧==++1)1(0sin 2'y x y y y 要求取步长h 为0.1，计算y（1.1）的近似值 （保留小数点后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89] （6分）解：改进Euler 格式为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+-++-+)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y 2分 于是有⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-=+-++-+-+)sin sin (05.0)sin (1.012112121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y （n=0,1,2……） 2分 由y(1)=0y =1，计算得⎪⎩⎪⎨⎧=≈=+-=-838.0)1.1(816.0)1sin 11(1.01121y y y 2分 即y(1.1)的近似值为0.83813. ][],[],,[lim ],[),,(],,[)(0'000000'x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明：定义：设（4分）证明：]['],[],[],[lim ][][lim]['00000000000x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出 4分14. 证明：设nn RA ⨯∈，⋅为任意矩阵范数，则A A ≤)(ρ （6分）证明：设λ为A 的按模最大特征值，x 为相对应的特征向量，则有Ax=λx 1分 且λρ=)(A ，若λ是实数，则x 也是实数，得Ax x =λ 1分而x x ⋅=λλ x A x ,⋅≤⋅⋅≤λ故x A Ax 2分由于A x 0x ≤≠λ得到，两边除以 1分故A A ≤)(ρ 1分 当λ是复数时，一般来说x 也是复数，上述结论依旧成立。
2014级硕士研究生数值分析期末考试试卷A卷
时间t 浓度y
35
40
45
50
55
4.37
4.51
4.58
4.62
4.64
1.474763 1.506297 1.521698 1.530394 1.534714
用最小二乘法求。
三、证明题（共8分）
1． 设在区间上二阶导数连续，证明： ，其中。
值范围
。
6． 设，，则 ，= ， = 。
7．设,的Gauss-Seidel迭代的矩阵形式，其迭代矩阵为
，
该迭代格式收敛的充要条件__________________。
8．求解一阶常微分方程初值问题，取步长的Euler法公式为
，其截断误差的首项为
。
二、计算题（第4题12分，其余各题10分，共62 分）
1. 求次数小于等于3的多项式P(x), 使其满足条件: ，，，。
2. 解线性方程组, 其中,。 (a) 作Doolittle分解。 (b) 通过求解解线性方程组，其中。
3. 写出雅可比迭代法求解线性方程组的分量迭代格式和矩阵迭代格 式，并判断该迭代格式是否收敛？
4. 设区间为[-1,1], 权函数。 (a) 求由作施密特正交化得到的多项式。 (b) 设，函数是在区间[-1,1]上的二次最佳平方逼近，求。 (c) 确定求积公式 。
位有效数字，近似值的相
对误差为
。
2．函数过点(0,1), (1,3)和(2,9)，对应的基函数分别为，过这三个节点的
二次拉格朗日插值多项式为
，余项为
。
3. 已知，二阶均差=
。
4．方程在附近有个根，构造不动点迭代收敛的格式
为
,若用牛顿法迭代求根，其收敛阶是
2015年研数值分析A卷
武 汉 大 学2015-2016第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目： 数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：一、（12分）设方程230x x e -=，为求其最大正根与最小正根的近似值，试分别确定两个含根区间[,]a b 和两个迭代函数()g x ，使当0[,]x a b Î时，迭代格式1()n n x g x +=分别收敛于最大正根与最小正根。
二、（12分）用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，其中211625608A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 226768b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、（14分）设方程组123121113a a x a a x a a x 轾轾轾犏犏犏犏犏犏=-犏犏犏犏犏犏臌臌臌其中a 为常数。
（1）分别写出Jacobi 迭代格式及 Gauss-Seidel 迭代格式；（2）导出Gauss-Seidel 迭代格式收敛的充分必要条件。
四、（12分）已知 )(x f y = 的数据如下：求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H 及其余项。
五、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分21320(,)I a b x ax bx dx 轾=--犏臌ò 取得最小值。
六、（12求形如 y bx x=+ 的拟合曲线。
七、（14分）（1）对初值问题00(,)[,]()dy f t y t a b dt y t y ìïï=ïÎíïï=ïî验证改进欧拉方法（也称预估-校正法）与微分方程是相容的；（2） 用改进欧拉方法求下面方程的数值解（取步长5.0=h ）：(0)1dy dt y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ [0,1]t ∈ （取5位有效数字计算） 八、（12分）设求积公式 ∑⎰=≈nk k k ba x f A dx x f 1)()(为高斯型求积公式，并记 )())(()(21n n x x x x x x x ---= ω（1）问给定的求积公式的代数精度是多少次？（2）证明: 对任意次数小于等于1-n 的多项式)(x q ，必有⎰=ba n dx x x q 0)()(ω； （3）证明：n k A k ,,2,1,0 =>。
060708研究生数值分析试卷(A).doc
武汉大学2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A 卷)科H 名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、(12分)设方程组Ax = 0为■1、 (1\J 1>(1)用Doolittle 分解法求解方程组;(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为 求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取 值范围，使迭代格式收敛。
三、(12分)已知数据试用二次多项式p ⑴=ax 1 2+hx + c 拟合这些数据。
四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：取得最小值。
六、 (12)确定常数片，使求积公式1求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R五、(12分)确定常数。
，b 的值，使积分r I.2I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dxc 2^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。
七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。
对于常数人，构造新的迭代格式：A 1 ,、队=一从+ 一心)1 +2 1 + 人问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。
八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：Mo) = JoA)'〃+】=儿 + hk2< k、=(1)验证它是二阶方法；(2)确定此单步法的绝对稳定区域。
武汉大学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
武汉大学研究生2021研数值分析A卷
武汉大学研究生2021研数值分析A卷武汉大学2021~2021学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）科目：数值分析学生所在院：学号：姓名：?10一、（10分）设A?????4?1212??5?1??????1?3，x?1 ，已知A??12??????1???1?????8?3?7?5?1??3， ?2??A的三个特征值分别为：4.06,?0.03?0.5i , 求范数Ax条件数Cond(A)?、谱半径?(A)及二、（10分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程 Ax?b，其中?2?4 A??????611?152???3?????3 b?10 ?????6???3???三、（14分）设方程组?11 ????2212?2??1?1???x1??1?????x?1 ?2?????x3????1??（1）分别写出Jacobi迭代格式及 Gauss-Seidel迭代格式；（2）证明Jacobi迭代格式是收敛的，而Gauss-Seidel迭代格式发散。
四、（12分）已知 y?f(x) 的数据如下：xi f(xi) f?(xi) 0 1 2 0 2 6 1 求f(x)的Hermite插值多项式H3(x)，并给出截断误差R(x)?f(x)?H3(x)。
五、（12分）试确定常数A，B，C及?（??0），使求积公式?3?3f(x)dx?Af(??)?Bf(0)?Cf(?)有尽可能高的代数精确度，并指出代数精确度是多少，该公式是否为高斯型求积公式？六、（10分）在某个化学反应过程中，生成的沉淀物质量y（克）依赖于时间x（时）的试验数据为xi yi 1 0．8 2 1．5 3 1．8 4 2．0 已知经验公式的形式为 y?ax?bx2 ，试用最小二乘法求出 a，b(结果取四位小数)。
七、（12分）确定常数 a，b 的值，使积分I(a,b)??1?1?ax?b?x?dx??22取得最小值。
?dy?f(x,y)?dx??y(x)?y00?八、（10分）对于下面求解常微分方程初值问题的单步法：11?y?y?h(k?k2)n1?n?122? ?k1?f(xn,yn)?k?f(x?h,y?hk)nn1?2?确定此单步法的绝对稳定域。
武汉大学数值分析考试重点
1、矩阵范数、条件数
2、计算题：顺序高斯消去法（LU分解）求解线性方程组AX=b
3、经典迭代格式掌握Jacob\Gauss-Seidel\ SOR三种迭代格式
4、经典迭代格式的收敛性，谱半径（判断题）
5、Newton迭代格式的掌握，会写收敛阶
6、计算题：Householder变换Givens变换基本QR算法
7、用Newton/Lagrange插值计算函数值；求Hermite插值多项式及其截断误差余项性质
8、三次样条插值（基本了解）判断题，不会出计算题
9、计算题：最佳平方逼近、正交多项式曲线拟合的最小算法（解法方程）
10、复化梯形公式复化Simpson公式梯形公式Simpson公式的阶数余项及代数精度
11、Gaoss型求积公式（判断题）
12、改进Euler格式相容性
13、稳定性和收敛性
14、刚性问题（概念了解）可能判断题。
武汉大学数值分析期末考试题目和答案.pdf
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考n λ≥，
注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考
注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考
注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考
注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考
注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考。
研究生数值分析期末考试试卷参考答案
研究生数值分析期末考试试卷参考答案太原科技大学硕士研究生2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1、x x ++11；2、2；3、20；4、6；5、kk k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、+++++++--100052552452552052552525524；二、（本题满分10分）解：Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为+--=+--=++-=++++++3221522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则第一次迭代可得===315)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误第二次迭代可得=-==7119)2(3)2(2)2(1x x x ，-----------9分所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分三、（本题满分10分）解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，1)()(402040200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)()(402140211=∑∑===i i i i i x x x ??α，2)()(402040211=∑∑===i i i i x x ??β；所以点集{}1,0,1,2,3-上的正交多项式为12)(,1)(,1)(2210--=-==x x x x x x .-------------------------5分则矩阵???????? ?-----=221111*********A , ??=14000100005A A T ,????? ??=3915y A T ；法方程=????? ??????? ??391514000100005210c c c ----------------8分解得===1431093210c c c ；--------9分所以要求的二次多项式为35667033143)12(143)1(109322++=--+-+=x x x x x y .-----------10分四、（本题满分10分）解：取基函数210)(,1)(x x x ==??，则1),(1000=?=dx ??，31),(10201=?=dx x ??， 51),(10411=?=dx x ?? ππ?2sin ),(100=?=xdx f ， 3102141sin ),(πππ?-=?=xdx x f----------------------------------6分法方程-=???? ???????? ??34125131311πππb a -----------------8分解得-=+=33454151543ππππb a .---------------9分所以最佳平方逼近多项式233)45415(1543)(x x ππππ?-++=.---------10分五、（本题满分10分）解：在区间[]1,+n n x x 上对微分方程),(y x f dxdy =进行积分得 ??=++11),(n n n n x x x x dx y x f dx dxdy 即=-+n n y y 1?+1),(n n xx dx y x f -------2分对上式等号右边的积分采用梯形公式进行求解，即+1),(n n x x dx y x f []n n f f h +=+12-------5分所以原微分方程初值问题的数值求解公式为11()2n n n n h y y f f ++=++.-------6分上述数值求解公式的截断误差为 ))](,())(,([2)()(1111n n n n n n n x y x f x y x f h x y x y R +--=++++---8分而又由泰勒公式得)()()()(2'1h O x hy x y x y n n n ++=+；)())(,())(,(11h O x y x f x y x f n n n n +=++；所以))](,()())(,([2)()()()(2'1n n n n n n n n x y x f h O x y x f h x y h O x hy x y R ++--++=+ )()())(,()(22'h O h O x y x hf x hy n n n =+-= 故该方法是一阶的方法.-----------------10分六、（本题满分20分）解：（1）构造的差商表如下：x )(x f 一阶差商二阶差商三阶差商 1 22 4 23 5 1 21- 4 8 3 121 -----------------------------15分（2）取2、3、4作为插值点，----------------------------------------------------17分构造的二次牛顿插值多项式为84)3)(2()2(4)(22+-=--+-+=x x x x x x P -----19分所以25.6)5.3()5.3(2=≈P f .------------------------------20分七、（本题满分10分）解：由泰勒公式可得)2)(()2()('b a x f b a f x f +-++=ξ，),(b a ∈ξ. 把上式代入积分公式?b a dx x f )(可得dx b a x f b a f dx x f b a b a+-++=?)2)(()2()('ξ ?+-++-=b a dx b a x f b a f a b )2)(()2()('ξ 故求积公式的截断误差表达式为?+-b a dx b a x f )2)(('ξ，),(b a ∈ξ.-----------5分当1)(=x f 时，求积公式左边=右边=a b -.当x x f =)(时，求积公式左边=右边=222a b -. 当2)(x x f =时，求积公式左边=333a b -，右边=()()92a b a b +-，左边≠右边. -----8分所以求积公式具有一次代数精度.-------------------------- -----10分。
数值分析复习题及答案
数值分析复习题及答案(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值分析复习题一、选择题1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么1______x =。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
武 汉 大 学
2014~2015学年第一学期硕士研究生期末考试试题 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：
一、（12分）已知方程0410=-+x e x 在]4.0,0[内有唯一根。
（1）迭代格式A ：)104ln(1n n x x -=+；迭代格式B ：)4(10
11n x n e x -=+ 试分析这两个迭代格式的收敛性；
（2）写出求解此方程的牛顿迭代格式。
二、（12分）用Doolittle 分解法求线性方程组Ax b =的解，并求行列式A 。
其中
244378112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 386018b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
三、（14分）设方程组
11223300a c x d c b a x d a c x d 轾轾轾犏犏犏犏犏犏=犏犏犏犏犏犏臌臌臌
, 且0abc ¹ （1） 分别写出Jacobi 迭代格式及Gauss-Seidel 迭代格式；
（2） 导出Gauss-Seidel 迭代格式收敛的充分必要条件。
四、（12分）已知 )(x f y = 的数据如下：
求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H 及其余项。
五、（12
求常数a , b , 使 3
220[]min i i i i ax bx y =+-=å
六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分
1
20()x I a bx e dx =+-ò
取得最小值。
七、（14分）设)(x f 在],[b a 上二阶导数连续。
将],[b a n 等分，分点为
b x x x a n =<<<= 10，步长n a b h -=
（1）证明中矩形公式 11()()2i i x i i x x x f x dx hf --+»ò
………………（*） 的误差为： 311()[,]24i i i i R h f x x h h -ⅱ=
? （2）公式（*）是否为高斯型求积公式？ （3）写出求 ⎰b a
dx x f )( 的复化中矩形公式及其误差。
八、（12分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==0
0)(),(y x y y x f dx dy 的改进欧拉法：
112121()2(,)(,)n n n n n n h y y k k k f x y k f x h y hk +ìïï=++ïïïï=íïïï=++ïïïî
（1）确定此方法的绝对稳定域；
（2）用此方法求解如下初值问题：
22(0)1
y x y y ì¢ï=+ïíï=ïî ]1,0[∈x 。
（取步长5.0=h ）。