八年级数学浙教版上册教案：1.2 定义与命题

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1.2.1 定义与命题说课稿 2022-2023学年浙教版八年级上册数学

1.2.1 定义与命题说课稿一、教材分析1. 教材内容概述本节课是浙教版八年级上册数学的第二单元的第一节课，重点介绍了定义与命题的概念，帮助学生理解数学中重要概念的定义及其在数学推理中的应用。

2. 教学目标•知识与技能：–掌握定义的概念和特点；–理解命题的概念和性质；–能够根据定义和命题进行推理和证明。

•过程与方法：–培养学生观察、分析和总结问题的能力；–培养学生合作探究的能力；–培养学生逻辑思维和推理能力。

•情感态度与价值观：–培养学生对数学定义和命题的敬畏之情；–培养学生对数学证明的兴趣和自信心；–培养学生合作学习和共享成果的价值观。

二、教学重点和难点1. 教学重点•掌握定义的概念、特点和应用方法；•理解命题的概念和性质；•能够根据定义和命题进行推理和证明。

2. 教学难点•如何运用定义和命题进行推理和证明。

三、教学过程1. 导入与引出通过提问和小组讨论的方式引出本节课的主题，让学生参与到课堂讨论中，激发他们的学习兴趣。

问题一：什么是定义？问题二：什么是命题？2. 概念讲解与学习2.1 定义的概念与特点定义是对某个概念或对象的本质特点做出准确而简练的解释。

在数学中，定义是数学学科中最基本的知识形式之一。

它的特点包括：•准确性：定义要求语言准确无误地表达出概念的内涵和外延。

•简洁性：定义要求言简意赅，能够用简练的语言精确概括概念的本质。

•包含性：定义要包含概念的全部重要特点，不能遗漏关键信息。

2.2 命题的概念和性质命题是陈述句，要么是真的，要么是假的。

在数学中，命题是一个能够判断其真假的陈述句，不具有疑问、感叹或祈使的语气。

命题有以下性质：•真值唯一：命题的真值只能是真或假，不能同时为真或假。

•真值确定：命题的真值不随时间、地点或个人的不同而改变。

•可联结性：两个命题可以通过与、或、非等逻辑联结词进行联结。

•可否定性：任意一个命题可以用非对偶命题否定。

3. 实例探究与解决问题3.1 实例分析通过给出一些具体的例子，让学生根据已经学习到的定义和命题概念进行分析和判断。

浙教版八年级数学上册 1.2 定义与命题教学设计

浙教版八年级数学上册 1.2 定义与命题教学设计12. 1 定义与命题一、教学内容分析：说理无疑是重要的，也是十分必要的．合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径，演绎推理关注的是开展符合逻辑的思考.推理与证明的意识，步步有据有理的表达，这都离不开定义、命题，真、假命题等概念清晰的认可，为证明做必要的准备. 通过球赛、天气预报两个情境的展示，体会一些常用术语的描述，让学生感受理解有关名称和术语的重要性，引起学生对概念的关注. 回忆学过的多个结论性的句子，其中包括正确的和不正确的，通过讨论、交流、分析，引导学生感受命题及命题的组成，进而能独立判断一个句子是不是命题，并能说出命题中的条件和结论，从而为后续学习“证明〞打好根底．二、目标设计学习目标：1、了解定义的含义，能够表达一些简单的数学概念的定义。

2、了解命题的定义，会把一个命题写成“如果……那么……〞的形式。

学习重点：命题的定义，把一个命题写成“如果……那么……〞的形式。

学习难点：某些命题有前提条件；或者有些命题的条件与结论不易区分。

三、活动设计活动内容师生互动思考与安排情境1 录像片断：一场中超足球赛正在紧张进行．解说员话外音：“好，漂亮很快要进球了，可惜越位了〞．情境2 气象台预报：今天白天到夜里晴转多云，最高温度25℃～27℃，明天最低温度13℃～15℃，明天多云，局部地区有雷阵雨，……说明：这是两个常见的活动情境，意在引起学生注意，通过对越位、温度、雷阵雨等术语的描术，让学生明白，只有对常用的名称和术语有了共识，人们才可以正常交流．类似地，数学中要引进说理，必须对涉及的概念有共识，也就需要对概念下定义．活动一〔快速抢答〕〔1〕怎样的两个数是“互为相反数〞？〔2〕怎样的三角形是“等腰三角形〞？……活动二〔1〕“等角的余角相等．〞与“等角的余角相等吗？〞这两句话一样吗？如不一样，它们有什么不同？〔2〕“经过一点有且只有一条直线与直线垂直〞与“经过一点画直线的垂线〞有什么不同？〔3〕“相等的角是对顶角〞与“相等的角不一定是对顶角〞又有什么不同？说明：这些句子，一类是对某一件事情做出了判断；另一类是没有对某一件事情做出判断．引导学生通过对命题与非命题具体例子的辨析，了解什么是命题，什么不是命题．值得注意的是判断是不是正确，并不是构成判断的必要条件．活动三：展示你的才华观察以下命题，你能发现它们有什么共同的结构特征吗？命题〔1〕：如果a>0, b<0，那么|a|=|b|.命题〔2〕：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．命题〔3〕：如果一个三角形有一个角相等，那么这个三角形是直角三角形．说明：命题的结构特征学生不难找出，命题都由条件和结论两局部组成，缺少其中一局部就不能构成命题，可以明确告知学生，做为一个命题的两局部条件和结论缺一不可，不过有时对其表述不明显罢了，为下面的活动做一些铺垫．活动四：〔发挥你的聪明才智〕以下各命题的条件是什么？结论是什么？命题〔4〕：对顶角相等．命题〔5〕：同位角相等，两直线平行.说明：这些命题的条件和结论不够明显，通过讨论进而引导学生对于条件和结论不明显的命题可以先画与命题相关的图形或将命题改写成“如果……, 那么……〞的形成，然后再写出条件和结论，在实际教学可设计以下表格共同完成．命题条件结论(1)(2)(3)(4)(5)四、例题设计：活动内容师生互动思考与安排例1 以下语句中属于定义的是〔〕A 对顶角相等B 三角形的内角和等于180°C 平行四边形的对角相等D 连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。

浙教版八年级数学上册：1.2《定义与命题》教案

浙教版八年级数学上册：1学习目的1、我会区分命题的条件和结论.2、培育我观察效果和剖析效果的才干.3、我经过探求交流，体验成功的乐趣.学习重点我对命题的概念有正确的了解，会找出命题的条件(题设)和结论.学习难点我对命题概念的了解.自主学习一、知识回忆对称号和术语的含义加以描画，作出明白的规则，这就是给出它们的____________.例如：(1)〝具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国公民〞是〝中华人民共和国公民〞的_________.(2)〝两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离〞是________________的定义.(3)_________________________________________是〝在理数〞的定义.(4)_________________________________________是〝多边形〞的定义.(5)等腰三角形的定义是_________________________________________.二、协作探求1、仔细阅读课本P165页议一议，小组内相互讨论并完成以下效果.命题是_________________________________________反之，_________________________________________就不是命题.你能举出一些命题吗？(至少写出两个)2、阅读课本P166页想一想并回答以下效果.两直线平行，同位角相等.也可以写成：假设____________，那么____________.题设(条件)____________，结论____________.命题可看做由____________和____________两局部组成. ____________是事项，_____ _______是由事项推出的事项.3、指出以下命题的条件和结论，并改写成〝假设…那么…〞的方式：(1)三条边对应成比例的两个三角形相似；条件是：____________结论是：____________改写成：____________(2)两角对应相等的两个三角形相似；条件是：____________结论是：____________改写成：____________三、阅读课本P166页做一做并回答以下效果.真命题_________________________________________. 假命题_________________________________________. 反例_________________________________________.。

浙教版数学八年级上册1.2《定义与命题》教案1

浙教版数学八年级上册1.2《定义与命题》教案1一. 教材分析《定义与命题》是浙教版数学八年级上册第一章第二节的内容。

本节内容主要介绍定义与命题的概念，让学生了解如何正确理解和运用定义与命题。

通过本节内容的学习，学生能够掌握定义与命题的基本形式和特点，提高阅读和理解数学文本的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、代数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力。

但部分学生对抽象的概念理解较为困难，对定义与命题的运用还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和辅导。

三. 教学目标1.理解定义与命题的概念，掌握定义与命题的基本形式和特点。

2.能够正确理解和运用定义与命题，提高阅读和理解数学文本的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和数学素养。

四. 教学重难点1.重点：定义与命题的概念、基本形式和特点。

2.难点：对定义与命题的理解和运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究定义与命题的概念和特点。

2.运用案例分析法，让学生通过具体例子理解定义与命题的运用。

3.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关案例和例题，用于讲解和练习。

2.准备课件和教学素材，以便于教学展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示生活中的定义与命题实例，如“平行线”、“勾股定理”等，引导学生思考：什么是定义？什么是命题？2.呈现（10分钟）讲解定义与命题的概念，阐述定义与命题的基本形式和特点。

通过PPT展示相关知识点，让学生直观地理解定义与命题。

3.操练（10分钟）根据所学内容，让学生尝试判断一些实例是否为定义与命题。

教师引导学生进行分析，纠正错误观点，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）学生自主完成相关练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。

通过练习题让学生进一步理解和掌握定义与命题。

5.拓展（10分钟）探讨定义与命题在实际问题中的应用，让学生举例说明。

浙教版-数学-八年级上册-1.2 定义与命题1 教案

定义与命题1●教学目标（一）教学知识点1.定义的意义2.命题的概念（二）能力训练要求1.从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性.2.从具体实例中，了解命题的概念，并会区分命题.（三）情感与价值观要求通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系.●教学重点命题的概念●教学难点命题的概念的理解●教学方法引导发现法●教具准备●教学过程Ⅰ.巧设现实情境，引入新课［师］随着时代的发展，电脑逐渐走进我们的生活，上过网或懂电脑的同学都知道什么是“黑客”.下面我们来看一段对话（电脑演示）小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.小亮说：……小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”小亮说：“……”小刚说：“……”小亮说：“哈！，这个黑客终于被逮住了.”……坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：一人说：“这黑客是个小偷吧？”另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼.”……一人说：“那因特网肯定是一张很大的网.”另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网.”……（学生听后，大笑）［师］同学们为什么笑呢？［生甲］旁边那两个人的概念不清.［生乙］“黑客”“因特网”等都是电脑中的专用名词.……［师］同学们说得都很好.由此可知：人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为此，我们需要给出它们的定义.这节课我们就要研究：定义与命题Ⅱ.讲授新课［师］在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义（definition）.如：“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义.大家还能举出一些例子吗？［生甲］“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义. ［生乙］“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.［生丙］“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义.［生丁］“角是由两条具有公共端点的射线组成的图形”是“角”的定义.……［师］同学们举出了这么多例子.说明定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定.接下来，我们来做一做（出示投影片）如下图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A.B.C.D.E.F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染.如果B处工厂排放污水，那么__________处便会受到污染；如果C处受到污染，那么__________处便受到污染；如果E处受到污染，那么__________处便受到污染；……如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么想的？与同伴交流.［生甲］如果B处工厂排放污水，那么A.B.C.d处便会受到污染.［生乙］如果B处工厂排放污水，那么E.f、g处也会受到污染的.［生丙］如果C处受到污染，那么A.B.c处便受到污染.［生丁］如果C处受到污染，那么d处也会受到污染的.［生戊］如果E处受到污染，那么A.b处便会受到污染.［生己］如果h处受到污染，我认为是A处的那个工厂或B处的那个工厂排放了污水.因为A处工厂的水向下游排放，B处工厂的污水也向下游排放.……［师］很好.同学们在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.即：命题是判断一件事情的句子.如：熊猫没有翅膀.对顶角相等.大家能举出这样的例子吗？［生甲］两直线平行，内错角相等.［生乙］无论n为任意的自然数，式子n2－n+11的值都是质数.［生丙］内错角相等.［生丁］任意一个三角形都有一个直角.［生戊］如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.［生己］全等三角形的对应角相等.……［师］很好.大家举出许多例子，说明命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不能同时既否定又肯定，如：你喜欢数学吗？作线段AB=a.平行用符号“∥”表示.这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题.一般情况下：疑问句不是命题.图形的作法不是命题.接下来我们做练习来熟悉掌握命题的概念.Ⅲ.课堂练习1.你能列举出一些命题吗？答案：能.举例略.2.举出一些不是命题的语句.答案：如：①画线段AB=3 cm.②两条直线相交，有几个交点？③等于同一个角的两个角相等吗？④在射线OA上，任取两点B.C.等等.（二）例1 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1) 等底等高的两个三角形面积相等。

浙教版数学八年级上册1.2《定义与命题》教学设计2

浙教版数学八年级上册1.2《定义与命题》教学设计2一. 教材分析《定义与命题》是浙教版数学八年级上册第1章第2节的内容，本节内容是在学生已经掌握了实数、不等式、函数等知识的基础上，引入定义与命题的概念，让学生了解数学语言的基本表达方式，为后续的定理、公式、证明等知识的学习打下基础。

本节内容的重要性在于，它不仅帮助学生理解数学概念，而且培养了学生的逻辑思维能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，能够理解和掌握实数、不等式、函数等知识。

但学生在学习过程中，可能对抽象的定义与命题理解存在一定的困难，需要教师耐心引导，让学生逐步理解并掌握定义与命题的概念。

三. 教学目标1.了解定义与命题的概念，理解命题的构成要素，能够正确书写简单命题。

2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生运用数学语言表达数学概念的能力。

3.通过对定义与命题的学习，激发学生对数学的兴趣，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：理解定义与命题的概念，掌握命题的构成要素。

2.难点：对抽象的定义与命题的理解，以及如何运用定义与命题进行数学推理。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究定义与命题的概念。

2.运用案例分析法，通过具体例子让学生理解定义与命题的应用。

3.采用讨论交流法，让学生在课堂上充分表达自己的观点，提高学生的逻辑思维能力。

六. 教学准备1.准备相关案例，用于讲解定义与命题的概念。

2.准备课堂练习题，用于巩固学生对定义与命题的理解。

3.准备课件，用于辅助教学。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学过的实数、不等式、函数等知识，为新课的学习做好铺垫。

呈现（10分钟）教师通过课件或板书，给出定义与命题的定义，让学生初步了解定义与命题的概念。

同时，教师可以通过举例，让学生理解命题的构成要素。

操练（15分钟）教师给出一些简单的定义与命题，让学生进行判断，巩固对定义与命题的理解。

巩固（10分钟）教师通过课堂练习题，让学生运用定义与命题进行数学推理，检验学生对知识的掌握程度。

浙教版八上第一章1.2定义与命题

1.2 定义与命题知识点梳理1、命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．2、角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE3、三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．题型梳理题型一真假命题的辨析1．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3 2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．33．下列命题中，真命题的个数是（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A．3B．2C．1D．04．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形6．下列命题中是假命题的是（）A．两直线平行，同位角互补B．对顶角相等C．直角三角形两锐角互余D．平行于同一直线的两条直线平行7．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形8．下列哪一个是假命题（）A．五边形外角和为360°B．切线垂直于经过切点的半径C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝29．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．邻补角一定互补C．相等的角是对顶角D．有且只有一条直线与已知直线垂直10．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°，∠2＝40°11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．−12C．0D．1212．下列命题中，是假命题的是（）A．两点之间，线段最短B．同旁内角互补C．直角的补角仍然是直角D．垂线段最短13．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：√7，则△ABC是直角三角形14．下列命题中，不正确的是（）A．对角线相等的矩形是正方形B．对角线垂直平分的四边形是菱形C．矩形的对角线平分且相等D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形题型二寻找“条件”与“结论”1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：．2．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是．3．命题“对顶角相等”的逆命题是．4．命题“对顶角相等”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：．6．把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为．题型三角平分线性质的应用1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．42．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．23．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：54．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（）A．√3B．2C．3D．√3+25．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线P A、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③6．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD ＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．427．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是．9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是．10．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是度．11．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC ＝18cm，则DE的长为cm．题型四“燕尾模型”与三角形的外角性质1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是．6．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为．7．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝度，若∠AIB＝155°，则∠C＝度．8．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝度．9．如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC 的度数为．10．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．11．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+12∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴∠1+∠2=12(180°−∠A)=90°−12∠A∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°−12∠A）=90°+12∠A探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC 与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC 与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：．12．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．13．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．题型五“拐点模型”与三角形的外角性质1．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．60°D．70°2．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D 的度数是（）A．24°B．59°C．60°D．69°3．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（）A．20°B．30°C．50°D．70°4．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为度．答案和解析题型一真假命题的辨析1．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a2＞b2，但a＞b不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．【解答】解：在A中，a2＝9，b2＝4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在B中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；在C中，a2＝9，b2＝1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在D中，a2＝1，b2＝9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；故选：B．2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性．【解答】解：如图所示：当①∠1＝∠2，则∠3＝∠2，故DB∥EC，则∠D＝∠4，当②∠C＝∠D，故∠4＝∠C ，则DF ∥AC ，可得：∠A ＝∠F ，即①②}⇒③；当①∠1＝∠2，则∠3＝∠2，故DB ∥EC ，则∠D ＝∠4，当③∠A ＝∠F ，故DF ∥AC ，则∠4＝∠C ，故可得：∠C ＝∠D ，即①③}⇒②；当③∠A ＝∠F ，故DF ∥AC ，则∠4＝∠C ，当②∠C ＝∠D ，则∠4＝∠D ，故DB ∥EC ，则∠2＝∠3，可得：∠1＝∠2，即②③}⇒①，故正确的有3个．故选：D ．3．下列命题中，真命题的个数是（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A．3B．2C．1D．0【分析】根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可．【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是假命题；图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题；两直线平行，内错角相等，④是假命题；相等的角不一定是对顶角，⑤是假命题；垂线段最短，⑥是真命题，故选：C．4．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①根据对顶角的定义进行判断；②根据同位角的知识判断；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；根据点到直线的距离的定义对④进行判断．【解答】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，①假命题；②两直线平行，同位角相等；②假命题；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；③假命题；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④假命题；真命题的个数为0，故选：A．5．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．6．下列命题中是假命题的是（）A．两直线平行，同位角互补B．对顶角相等C．直角三角形两锐角互余D．平行于同一直线的两条直线平行【分析】根据平行线的判定和性质、对顶角的性质、直角三角形的性质判断即可．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题；B、对顶角相等，本选项说法是真命题；C、直角三角形两锐角互余，本选项说法是真命题；D、平行于同一直线的两条直线平行，本选项说法是真命题；故选：A．7．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形【分析】根据矩形的判定方法判断即可．【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；故选：A．8．下列哪一个是假命题（）A．五边形外角和为360°B．切线垂直于经过切点的半径C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、五边形外角和为360°是真命题，故A不符合题意；B、切线垂直于经过切点的半径是真命题，故B不符合题意；C、（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）是假命题，故C符合题意；D、抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2是真命题，故D不符合题意；故选：C．9．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．邻补角一定互补C．相等的角是对顶角D．有且只有一条直线与已知直线垂直【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故此选项错误；B、根据邻补角的定义，故此选项正确；C、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项错误．故选：B．10．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°，∠2＝40°【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．【解答】解：A、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；B、不满足条件，故B选项错误；C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．故选：C．11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．−12C．0D．12【分析】反例中的n满足n＜1，使n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．12．下列命题中，是假命题的是（）A．两点之间，线段最短B．同旁内角互补C．直角的补角仍然是直角D．垂线段最短【分析】根据线段、垂线段的公理、平行线的性质以及直角的概念判断即可．【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；C、直角的补角仍然是直角，是真命题；D、垂线段最短，是真命题；故选：B．13．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：√7，则△ABC是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可．【解答】解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；D、如果a：b；c＝3：4：√7，32+(√7)2=42，则△ABC是直角三角形，正确；故选：D．14．下列命题中，不正确的是（）A．对角线相等的矩形是正方形B．对角线垂直平分的四边形是菱形C．矩形的对角线平分且相等D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形【分析】根据矩形的性质和正方形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B 进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据三角形中位线的性质和矩形的判定方法对D进行判断．【解答】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，所以A选项为假命题；B、对角线垂直平分的四边形是菱形，所以B选项为真命题；C、矩形的对角线平分且相等，所以C选项为真命题；D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以D选项为真命题．故选：A．题型二寻找“条件”与“结论”1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．2．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：它们相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．3．命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角．【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．故答案为：相等的角为对顶角．4．命题“对顶角相等”的逆命题是假命题（填“真”或“假”）．【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．故答案为假．5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”．故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．6．把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行．【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行”．题型三角平分线性质的应用1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．4【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE=12BC•EF=12×5×2＝5，故选：C．2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．2【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得P A＝PE，PD＝PE，那么PE＝P A＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4．【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，P A⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴P A＝PE，PD＝PE，∴PE＝P A＝PD，∵P A+PD＝AD＝8，∴P A＝PD＝4，∴PE＝4．故选：C．3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵点O是内心，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12•AB•OE：12•BC•OF：12•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（）A．√3B．2C．3D．√3+2【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝1，又∵直角△BDE中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．故选：C．5．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线P A、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③【分析】过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC 与△PBC 写出关系式整理即可得到④正确．【解答】解：如图，过点P 作PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，PD ⊥AC ，垂足分别为M 、N 、D ， ①∵PB 平分∠ABC ，P A 平分∠EAC ，∴PM ＝PN ，PM ＝PD ，∴PM ＝PN ＝PD ，∴点P 在∠ACF 的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；②∵PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，∴∠ABC +90°+∠MPN +90°＝360°，∴∠ABC +∠MPN ＝180°，很明显∠MPN ≠∠APC ，∴∠ABC +∠APC ＝180°错误，故本小题错误；③在Rt △APM 与Rt △APD 中，{AP =AP PM =PD， ∴Rt △APM ≌Rt △APD （HL ），∴AD ＝AM ，同理可得Rt △CPD ≌Rt △CPN ，∴CD ＝CN ，∴AM +CN ＝AD +CD ＝AC ，故本小题正确；④∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACF ，∴∠ACF ＝∠ABC +∠BAC ，∠PCN =12∠ACF ＝∠BPC +12∠ABC ，∴∠BAC ＝2∠BPC ，故本小题正确．综上所述，①③④正确．故选：B ．6．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD ＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．42【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD=12AB•DH+12BC•CD=12×6×4+12×9×4＝30，故选：B．7．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB．【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF＝DE，又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，∴CD平分∠BCF，又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∴DF＝DG，∴DE＝DG，∴BD平分∠CBE，∴∠DBE=12∠CBE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC，∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB=12×92°＝46°，故选：D．8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是3．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∴S △ABC =12×4×2+12AC •2＝7，解得AC ＝3．故答案为：3．9．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD ＝3，BC ＝10，则△BDC 的面积是 15 ．【分析】过D 作DE ⊥BC 于E ，根据角平分线性质求出DE ＝3，根据三角形的面积求出即可．【解答】解：过D 作DE ⊥BC 于E ，∵∠A ＝90°，∴DA ⊥AB ，∵BD 平分∠ABC ，∴AD ＝DE ＝3，∴△BDC 的面积是12×DE ×BC =12×10×3＝15，故答案为：15．10．已知如图，∠B ＝∠C ＝90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，∠CED ＝35°，则∠EAB 是 35 度．【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE＝90°﹣35°＝55°，进而得到∠CDA和∠DAB的度数，即可求得∠EAB的度数．【解答】解：过点E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，∴CE＝EB＝EF，又∵∠B＝90°，且AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB＝∠EAF．又∵∠CED＝35°，∠C＝90°，∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，∴∠CDA＝110°，∵∠B＝∠C＝90°，∴DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝70°，∴∠EAB＝35°．故答案为：35．11．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC ＝18cm，则DE的长为 2.4cm．【分析】过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△BCD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∴DE＝DF，S△ABC＝S△ABD+S△BCD，=12AB•DF+12BC•DE，=12×12•DE+12×18•DE，＝15DE，∵△ABC＝36cm2，∴15DE＝36，解得DE＝2.4cm．故答案为：2.4．题型四“燕尾模型”与三角形的外角性质1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P 的度数，即可求出结果．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故选：C．2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据角平分线的定义得到∠EBM=12∠ABC、∠ECM=12∠ACM，根据三角形的外角性质计算即可．【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM=12∠ABC，∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM=12∠ACM，则∠BEC＝∠ECM﹣∠EBM=12×（∠ACM﹣∠ABC）=12∠A＝30°，故选：B．3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+12∠1，∠BOC＝90°+∠2．【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠1）＝90°+12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，∴∠OCE=12（∠ACB+∠ACD）=12×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故选：C．4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝30°．【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是75°．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∠1＝90°﹣60°＝30°，∴∠α＝30°+45°＝75°．故答案为：75°．6．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为150°．。

浙教版数学八年级上册1.2《定义与命题》教案2

浙教版数学八年级上册1.2《定义与命题》教案2一. 教材分析《定义与命题》是浙教版数学八年级上册第一章第二节的内容。

本节课主要介绍了定义与命题的概念，以及如何正确理解和运用它们。

定义是对于一个概念或者事物的本质特征进行准确的描述，而命题是判断一件事情的语句。

本节课通过具体的例子让学生理解定义与命题的区别和联系，提高学生的逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了七年级的数学知识，对于一些基本的概念和语句有一定的理解。

但是，对于定义与命题的深入理解和运用还需要进一步引导。

通过观察学生的学习情况，我发现他们对于实际例子的理解较为直观，但对于理论层面的抽象思维还需要加强。

因此，在教学过程中，我需要结合具体例子引导学生理解定义与命题的概念，并培养他们的逻辑思维能力。

三. 教学目标1.理解定义与命题的概念，并能够正确区分它们。

2.学会如何阅读和理解定义与命题，提高逻辑思维能力。

3.能够运用定义与命题解决实际问题，培养解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：理解定义与命题的概念，学会正确运用它们。

2.难点：对于抽象定义与命题的理解和运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动思考和探索。

2.通过具体例子讲解定义与命题的概念，让学生直观理解。

3.小组讨论，培养学生的合作意识和沟通能力。

4.运用多媒体教学手段，增加课堂的趣味性和互动性。

六. 教学准备1.准备相关定义与命题的例子，用于讲解和练习。

2.设计小组讨论的问题，促进学生的思考和讨论。

3.准备多媒体教学材料，如PPT等，用于展示和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的例子引入定义与命题的概念，激发学生的兴趣。

例子：请同学们判断以下语句是定义还是命题？解答：根据语句的特点，判断其为定义或命题。

2.呈现（15分钟）讲解定义与命题的概念，引导学生理解它们的本质区别。

定义：对于一个概念或者事物的本质特征进行准确的描述。

浙教版数学八年级上册1.2《定义与命题》说课稿

浙教版数学八年级上册1.2《定义与命题》说课稿一. 教材分析《定义与命题》是浙教版数学八年级上册第一章第二节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了实数、不等式等基础知识的基础上进行讲授的，是学生学习数学语言和逻辑推理的重要基础。

本节课的主要内容是让学生了解和理解定义和命题的概念，学会如何正确地书写定义和命题，并能够判断一个命题是真命题还是假命题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于实数、不等式等概念有一定的了解。

但是，学生对于抽象的数学概念的理解还存在一定的困难，需要通过具体的例子和实际操作来帮助学生理解和掌握。

此外，学生的逻辑思维能力和判断能力还在发展中，需要通过教师的引导和培养。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解和理解定义和命题的概念，学会如何正确地书写定义和命题，并能够判断一个命题是真命题还是假命题。

2.过程与方法目标：通过学生的自主学习、合作交流和教师的引导，培养学生的逻辑思维能力和判断能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验到数学的乐趣，培养学生对数学的兴趣和自信心。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生了解和理解定义和命题的概念，学会如何正确地书写定义和命题。

2.教学难点：让学生能够判断一个命题是真命题还是假命题。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用自主学习、合作交流和教师的引导相结合的教学方法。

同时，我还将利用多媒体课件和黑板等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过一个具体的例子，引出定义和命题的概念，激发学生的兴趣。

2.自主学习：让学生自主阅读教材，理解定义和命题的概念，并尝试判断一些简单的命题的真假。

3.合作交流：让学生分组讨论，分享自己的理解和判断，互相学习和交流。

4.教师引导：教师通过讲解和示范，引导学生理解和掌握定义和命题的概念，并教会学生如何判断一个命题是真命题还是假命题。

5.练习巩固：让学生进行一些相关的练习，巩固所学知识。

浙教版八年级上册第一章1.2定义、命题、证明课件(21张PPT)

三证明与举反例
三、基本事实的概念
1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出
来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，
这样的真命题叫做基本事实.
直线：
两点确定一条直线.
线段：
两点间线段最短.
平行线：
经过直线外的一点有且仅有一条直线
与已知直线平行.
平行线性质：两直线平行，同位角相等.
平行线判定：同位角相等，两直线平行.
二、命题的结构观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流. （1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角
形的周长相等；（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
都是“如果……那么……”的形式
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式. 1.“如果”后接的部分是题设, 2.“那么”后接的部分是结论. 如命题：熊猫没有翅膀.改写为：如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
定义、命题、证明
讲授新课
一定义一、定义的概念
一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 例如：物体单位面积受到的压力叫做压强；在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
导入新课
观察与思考
下列语句在表述形式上，有什么共同特点？（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这
3.举反例说明下列命题是假命题． (1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.

八年级数学上册 1.2 定义与命题教案 (新版)浙教版

象这些问题中的黑客、法律、法盲等含义必须有明确的规定，即需要给出定义．
2.完成做一做
请说出下列名词的定义：
(1)无理数；(2)直角三角形；(3)角平分线；(4)频率；(5)压强．
3．命题概念的教学
1、练习：判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？
哪些没有对事情作出判断？
（1）对顶角相等；
(2)画一个角等于已知角；
三个内容：
三、师生互动运用新知
例1指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
(1)等底等高的两个三角形面积相等。
(2)三角形的内角和等于180°。
(3)对顶角相等。
(4)同位角相等，两直线平行。
分析：找出命题的条件和结论是此题关键，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写是注意把时要把省略的词或句子添加上去．与学生一起完成。
八年级数学上册1.2定义与命题教案（新版）浙教版
教学目标：
知识目标：了解定义的含义．了解命题的含义．
能力目标：了解命题的结构，会把命题写成“如果……那么……”的形式．情感目标：通过本节学习，培
难点：范例中第（3）题，这类命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果…那么…”形式学生会感到困难，是本节课的难点．
2、命题的结构的教学
我们在数学上学习的命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论．如“两直线平行，同位角相等”
可以改写成“如果两条直线平行，那么同位角相等”．
练习：请给下列图形命名，，并给出名称的定义：

浙教版数学八年级上册1.2《定义与命题》教案

浙教版数学八年级上册1.2《定义与命题》教案一. 教材分析《定义与命题》是浙教版数学八年级上册的第一章第二节内容。

本节课的主要内容是让学生理解命题的概念，学会用数学语言表述命题，并了解命题的逆命题、反命题和否定命题之间的关系。

教材通过具体的例子引导学生理解命题、逆命题、反命题和否定命题的概念，并让学生通过观察、思考、交流等活动，掌握这些概念之间的联系和转化。

二. 学情分析学生在七年级时已经接触过一些简单的命题，对命题的概念有一定的了解。

但是，对于逆命题、反命题和否定命题的概念以及它们之间的关系，可能还比较模糊。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过具体的例子去理解这些概念，并通过对比、归纳等活动，找出它们之间的关系。

三. 教学目标1.理解命题、逆命题、反命题和否定命题的概念。

2.学会用数学语言表述命题，并能正确判断一个命题的逆命题、反命题和否定命题。

3.理解命题、逆命题、反命题和否定命题之间的关系，并能运用这些概念解决实际问题。

四. 教学重难点1.教学重点：命题、逆命题、反命题和否定命题的概念及它们之间的关系。

2.教学难点：逆命题、反命题和否定命题的判断和转化。

五. 教学方法1.采用引导发现法，让学生通过观察、思考、交流等活动，发现命题、逆命题、反命题和否定命题之间的关系。

2.采用实例分析法，让学生通过具体的例子，理解命题、逆命题、反命题和否定命题的概念。

3.采用对比归纳法，引导学生总结命题、逆命题、反命题和否定命题之间的关系。

六. 教学准备1.准备相关的教学素材，如PPT、黑板、粉笔等。

2.准备一些具体的例子，用于引导学生理解命题、逆命题、反命题和否定命题的概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的例子，引出命题的概念，让学生思考：如何用数学语言表述一个命题？2.呈现（10分钟）呈现教材中的例子，引导学生观察、思考命题、逆命题、反命题和否定命题之间的关系。

通过对比、归纳等活动，让学生总结出它们之间的关系。

浙教版数学八年级上册《1.2 定义与命题》教学设计

浙教版数学八年级上册《1.2 定义与命题》教学设计一. 教材分析《1.2 定义与命题》是浙教版数学八年级上册的第一章第二节内容，主要介绍了定义与命题的概念、性质和作用。

本节内容是学生学习数学的基础，对于培养学生的逻辑思维和分析问题能力具有重要意义。

教材通过具体的例子引导学生了解定义与命题的含义，并通过练习让学生掌握如何正确使用定义与命题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维和分析问题能力，但对于定义与命题的概念和应用可能还不太清楚。

因此，在教学过程中，需要注重让学生理解定义与命题的重要性，并通过具体的例子让学生感受到定义与命题在数学学习中的应用。

三. 教学目标1.了解定义与命题的概念、性质和作用。

2.能够正确使用定义与命题，分析问题和解决问题。

3.培养学生的逻辑思维和分析问题能力。

四. 教学重难点1.重点：定义与命题的概念、性质和作用。

2.难点：如何正确使用定义与命题，分析问题和解决问题。

五. 教学方法1.讲解法：通过讲解定义与命题的概念、性质和作用，让学生了解并掌握相关知识。

2.例题法：通过具体的例子让学生感受定义与命题的应用，培养学生的分析问题能力。

3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.教材：浙教版数学八年级上册。

2.课件：讲解定义与命题的概念、性质和作用的幻灯片。

3.练习题：针对本节内容的课堂练习和课后作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾已学过的概念，如“什么是直线？什么是射线？”等，激发学生的学习兴趣，引出本节课的内容。

2.呈现（15分钟）讲解定义与命题的概念、性质和作用，让学生了解并掌握相关知识。

3.操练（15分钟）出示具体的例子，让学生尝试分析并解决问题。

引导学生运用定义与命题进行分析，培养学生的分析问题能力。

4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。

教师批改并讲解，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）出示一些生活中的实际问题，让学生运用定义与命题进行分析。

浙教版-数学-八年级上册-《定义与命题(2)》原创教案

1.2 定义与命题（2）教案【教学目标】知识目标：理解真命题、假命题、公理和定义的概念．能力目标：会判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题．情感目标：通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．【教学重点、难点】重点：判断一个命题的真假是本节的重点．难点：公理、命题和定义的区别．【教学过程】（一）合作学习：1：复习命题的概念，思考下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．（2）对于任何实数x，x２＜0．提问：上述命题中，哪些正确？哪些不正确？2：得出真命题、假命题的概念：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．3：把学生分成两组，一组负责说命题，然后指定第二组中某一个人来回答是真命题还是假命题．（二）例题教学：例2：判断下列命题的真假，并说明理由．（1）三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；2（3）为实数）aaa(（三）讲述公理和定义1：公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据．这样公认为正确的命题叫做公理．例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”，然后提问学生：你所学过的还有那些公理．2：定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理也可以作为判断其他命题真假的依据．3：举例请用学过的公理或定理说明下面这个命题的正确性：“等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线互相重合”．（四）课内练习：完成P14-15页做一做及课内练习（五）作业：完成P15页作业题A、B组。

浙教版数学八年级上册《1.2定义与命题》说课稿

浙教版数学八年级上册《1.2 定义与命题》说课稿一. 教材分析《1.2 定义与命题》是浙教版数学八年级上册的第一课时，本节课主要介绍了定义与命题的概念，以及如何正确理解和运用它们。

教材通过具体的例子，让学生初步认识定义与命题，并学会如何判断一个命题的真假。

本节课的内容是学生进一步学习数学的基础，对于培养学生的逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力，对于新知识有一定的接受能力。

但是，学生在学习过程中可能会对定义与命题的概念理解不深，难以区分两者之间的区别。

因此，在教学过程中，教师需要通过具体例子，让学生反复体会定义与命题的含义，提高学生的理解能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生了解定义与命题的概念，理解它们之间的联系与区别，学会判断一个命题的真假。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生独立思考和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：定义与命题的概念，以及如何判断一个命题的真假。

2.教学难点：定义与命题之间的联系与区别，以及如何运用它们解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合具体例子，生动形象地展示定义与命题的概念。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个生活中的实例，引导学生思考如何用数学语言来描述这个实例，从而引出定义与命题的概念。

2.讲解新课：详细讲解定义与命题的概念，并通过具体例子让学生体会它们之间的联系与区别。

3.巩固新知：布置一些练习题，让学生独立完成，检验学生对定义与命题的理解程度。

4.拓展应用：引导学生运用定义与命题解决实际问题，提高学生的运用能力。

浙教版初中数学八年级上册1.2 定义和命题教案

五．布置作业：
1.完成作业本①P2-3；2.同步练习P6-7页，其中基础练习必做，拓展提高选做；3.预习1.2（2）.
④改写成“如果......那么......”的形式.
设计目的：从特殊到一般，以“两直线平行，同位角相等”这个简单的命题，使学生马上可以找得到条件和结论，并晓得逗号是条件和结论的分割点。进而让学生通过类比的思想来处理“对顶角相等”这类条件和结论相对较为隐蔽的命题.通过小结让学生形成一种解题方法，有利于学生针对性学习.打”？
目的：让同学们感受这些专业名词，对于一些不是这方面专业的人来说较为难理解，需要我们对它进行清楚的规定。
引出：人们在进行沟通交流的时候，为了不产生歧义，需要对一些名词和术语进行明确的规定,进而为引出定义做准备。
T:什么是定义呢？
二.新知讲授
小结：判断与句子对错无关.
4.理一理：
①引出：命题的定义.
②引出：表示命题的句子属于陈述句.
T：我们将对事情作出判断的句子称为命题.
请同学们说说看表示命题的句子从句子语气上分又属于什么句子？
小结：命题的特点：①对事情（突出事情）作出判断；②陈述句.
5.练一练：
下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
9.拓展提高：
将下列命题改写成“如果......那么......”的形式：
同角的余角相等.
变式：
命题“等角的余角相等”又该怎么改写呢？
三.课堂总结:
知识点：①定义；②命题；③命题改写
命题改写的一般步骤：
①在适当的位置断句；
②确定条件和结论中的关键词；
③增加合理的词语，将条件和结论进一步完善.
④改写成“如果......那么......”的形式.
1.定义的概念：

浙教版数学八年级上册《1.2 定义与命题》教案

浙教版数学八年级上册《1.2 定义与命题》教案一. 教材分析《1.2 定义与命题》是浙教版数学八年级上册的第一课时，主要讲述了定义与命题的概念。

本节课的内容是学生学习数学的基础，对于学生理解数学概念、推理能力和逻辑思维的培养具有重要意义。

教材通过具体的例子引入定义与命题的概念，引导学生理解其内涵和外延，并通过练习题巩固所学知识。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了初中数学的一些基本概念和符号，具备一定的逻辑思维能力。

然而，对于定义与命题的概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的例子和讲解来理解和掌握。

此外，学生可能对于抽象的概念有一定的恐惧心理，需要教师通过生动的讲解和引导来激发学生的学习兴趣。

三. 教学目标1.了解定义与命题的概念，能够正确辨别定义和命题。

2.能够运用定义与命题的方法，分析和解决问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和推理能力。

4.激发学生学习数学的兴趣，提高学生对数学的认同感。

四. 教学重难点1.重点：定义与命题的概念及其运用。

2.难点：对定义与命题的理解和运用，特别是在解决问题中的应用。

五. 教学方法1.讲授法：通过讲解和举例，引导学生理解和掌握定义与命题的概念。

2.互动法：通过提问和小组讨论，激发学生的思考和参与，提高学生的理解能力。

3.练习法：通过布置练习题，让学生巩固所学知识，并培养学生的解题能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，包括图片、例子和练习题等，以便进行生动讲解和引导学生思考。

2.练习题：准备一些有关定义与命题的练习题，用于巩固所学知识。

3.黑板：准备黑板，用于板书定义与命题的例子和解题步骤。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾之前学习的基本概念和符号，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）讲解定义与命题的概念，并举例说明。

让学生理解定义是对于某个概念的准确描述，命题是对于某个陈述的判断。

通过具体的例子，引导学生区分定义和命题。