福建省漳浦县道周中学2020年高考数学专题复习 集合与简易逻辑教案 文
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福建省漳浦县道周中学2020年高考数学专题复习 集合与简易逻辑
教案 文
1.高考试题通过选择题和填空题,以及大题的解集,全面考查集合与简易逻辑的知识,题型新,分值稳定.一般占5---10分.
2.简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现,应引起注意.
【考点透视】
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.
2.了解空集和全集的意义.
3.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.
4.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.
5.注意空集∅的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能,此时应分类讨论.
【例题解析】
题型1. 正确理解和运用集合概念
理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
例1.已知集合M={y|y=x 2
+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N=( )
A .(0,1),(1,2)
B .{(0,1),(1,2)}
C .{y|y=1,或y=2}
D .{y|y≥1} 思路启迪:集合M 、N 是用描述法表示的,元素是实数y 而不是实数对(x,y),因此M 、N 分别表示函数y=x 2+1(x∈R),y=x +1(x∈R)的值域,求M∩N 即求两函数值域的交集. 解:M={y|y=x 2+1,x ∈R}={y|y ≥1}, N={y|y=x +1,x ∈R}={y|y ∈R}.
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D .
点评:①本题求M∩N,经常发生解方程组21,1.y x y x ⎧=+⎨=+⎩0,1,x y =⎧⎨=⎩得 1,2.x y =⎧⎨=⎩或 从而选B 的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M 、N 的元素是数而不是点,因此M 、N 是数集而不是点集.②
集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x 2+1}、{y|y=x 2+1,x∈R}、{(x,y)|y=x 2+1,x∈R},这三个集合是不同的.
例2.若P={y|y=x 2,x∈R},Q={y|y=x 2+1,x∈R},则P∩Q 等于( )
A .P
B .Q
C .
D .不知道
思路启迪:类似上题知P 集合是y=x 2(x∈R)的值域集合,同样Q 集合是y= x 2+1(x∈R)的值域集合,这样P∩Q 意义就明确了.
解:事实上,P 、Q 中的代表元素都是y ,它们分别表示函数y=x 2,y= x 2+1的值域,由P={y|y ≥0},Q={y|y ≥1},知Q
P ,即P ∩Q=Q .∴应选B . 例3. 若P={y |y=x 2,x∈R},Q={(x ,y)|y=x 2,x∈R},则必有( )
A .P∩Q=∅
B .P Q
C .P=Q
D .P Q
思路启迪:有的同学一接触此题马上得到结论P=Q ,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x 2,x ∈R 相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P 集合是函数值域集合,Q 集合是y=x 2,x ∈R 上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物.
解:正确解法应为: P 表示函数y=x 2的值域,Q 表示抛物线y=x 2上的点组成的点集,因此P ∩Q=∅.∴应选A .
例4(2020年安徽卷文)若}032|{}1|{22=--===x x x B x x A ,,则B A ⋂=
( ) A .{3} B .{1} C .∅ D .{-1} 思路启迪:{}{|1,1}{|1,3},1.A x x x B x x x A B ==-===-=∴⋂=-Q ,
解:应选D .
点评:解此类题应先确定已知集合.
题型2.集合元素的互异性
集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.
例5. 若A={2,4, a 3-2a 2-a +7},B={1, a +1, a 2-2a +2,-12
(a 2-3a -8), a 3
+a 2
+3a +7},且A ∩B={2,5},则实数a 的值是________. 解答启迪:∵A ∩B={2,5},∴a 3-2a 2
-a +7=5,由此求得a =2或a =±1. A={2,4,5},集合B 中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查.
当a =1时,a 2-2a +2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去a =1.
当a=-1时,B={1,0,5,2,4},与A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去a=-1.
当a=2时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时A∩B={2,5},满足题设.
故a=2为所求.
例6.已知集合A={a,a+b, a+2b},B={a,a c, a c2}.若A=B,则c的值是______.
思路启迪:要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的
两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式.
解:分两种情况进行讨论.
(1)若a+b=a c且a+2b=a c2,消去b得:a+a c2-2a c=0,
a=0时,集合B中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故a≠0.
∴c2-2c+1=0,即c=1,但c=1时,B中的三元素又相同,此时无解.
(2)若a+b=a c2且a+2b=a c,消去b得:2a c2-a c-a=0,
.
∵a≠0,∴2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0,又c≠1,故c=-1
2
点评:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正.例7.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-a x+a-1=0},且A∪B=A,则a的值
为______.
思路启迪:由A∪B=A B A
⇒⊆而推出B有四种可能,进而求出a的值.
解:∵ A∪B=A,,
∴⊆
B A
∵ A={1,2},∴ B=∅或B={1}或B={2}或B={1,2}.
若B=∅,则令△<0得a∈∅;
若B={1},则令△=0得a=2,此时1是方程的根;
若B={2},则令△=0得a=2,此时2不是方程的根,∴a∈∅;
若B={1,2}则令△>0得a∈R且a≠2,把x=1代入方程得a∈R,把x=2代入方程得a=3.综上a的值为2或3.
点评:本题不能直接写出B={1,a-1},因为a-1可能等于1,与集合元素的互异性矛盾,另外还要考虑到集合B有可能是空集,还有可能是单元素集的情况.
题型3.要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题,是我们解答数学问题过程中经常遇到,并且必须解决的问题,因此应予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的.因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去.
例8.设集合A={a |a =3n +2,n∈Z},集合B={b|b=3k -1,k∈Z},则集合A 、B 的关系是________.
解:任设a ∈A ,则a =3n +2=3(n +1)-1(n ∈Z),
∴ n∈Z,∴n+1∈Z.∴ a ∈B,故A B ⊆. ①
又任设 b∈B,则 b=3k -1=3(k -1)+2(k∈Z),
∵ k∈Z,∴k-1∈Z.∴ b∈A,故B A ⊆ ②
由①、②知A=B .
点评:这里说明a ∈B 或b∈A 的过程中,关键是先要变(或凑)出形式,然后再推理. 例9(2006年江苏卷)若A 、B 、C 为三个集合,C B B A ⋂=⋃,则一定有( )
A . C A ⊆
B .A
C ⊆ C .C A ≠
D . A =∅
[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.
解:由A B B C =U I 知,,A B B A B C A B C ⊆⊆∴⊆⊆U U ,故选A.
(2020年福建卷文)已知全集{}12345U =,,,,,且{}234A =,,,{}1
2B =,,则B C A U ⋂等于
( C ) A .{2} B .{5} C .{3,4} D .{2,3,4,5} 例10.(2020年辽宁卷)设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是( )
A . 1
B .3
C .4
D . 8
[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题,同时考查了等价转化思想. 解:{1,2}A =,{1,2,3}A B ⋃=,则集合B 中必含有元素3,即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题,所以满足题目条件的集合B 共有224=个.故选C.
例11.(2020年北京卷文)
记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ,不等式11x -≤的解集为Q . (I )若3a =,求P ;
(II )若Q P ⊆,求正数a 的取值范围. 思路启迪:先解不等式求得集合P 和Q .
解:(I )由301
x x -<+,得{}13P x x =-<<.
(II ){}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤.
由0a >,得{}1P x x a =-<<,又Q P ⊆,所以0a >,
即a 的取值范围是(2)+∞,.
题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何
非空集合的真子集.显然,空集与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍等于这个集合.当题设中隐含有空集参与的集合关系时,其特殊性很容易被忽视的,从而引发解题失误.
例12. 已知A={x|x 2-3x +2=0},B={x|a x -2=0}且A∪B=A,则实数a 组成的集合C 是________.
解:由x 2-3x +2=0得x=1或2.当x=1时,a =2,当x=2时,a =1.
这个结果是不完整的,上述解答只注意了B 为非空集合,实际上,B=∅时,仍满足A∪B=A,当a =0时,B=∅,符合题设,应补上,故正确答案为C={0,1,2}.
例13.(2020年北京卷理)已知集合{}|1A x x a =-≤,{}
2540B x x x =-+≥.若A B =∅I ,则实数a 的取值范围是 . 思路启迪:先确定已知集合A 和B .
解:{}{}|111,A x x a x a x a =-=-≤≤≤+{}
{}25404,1.B x x x x x x =-+=≤≥≥
14,1 1.2 3.a a x ∴+<->∴<<故实数a 的取值范围是(23),. 例14. 已知集合A={x|x 2+(m +2)x +1=0,x∈R},若A∩R *=∅,则实数m 的取值范围是_________.
思路启迪:从方程观点看,集合A 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+(m +2)x +1=0的解集,而x=0不是方程的解,所以由A∩R *=∅可知该方程只有两个负根或无实数根,从而分别由判别式转化为关于m 的不等式,并解出m 的范围.
解:由A∩R *=∅又方程x 2
+(m +2)x +1=0无零根,所以该方程只有两个负根或无实数根,
()()2240,20,m m ⎧∆=+-≥⎪⎨-+<⎪⎩或△=(m+2)2-4<0.解得m≥0或-4<m<0,即m>-4. 点评:此题容易发生的错误是由A∩R *=∅只片面地推出方程只有两个负根(因为两根之积为1,因为方程无零根),而把A=∅漏掉,因此要全面准确理解和识别集合语言. 例15.已知集合A={x|x 2-3x -10≤0},集合B={x|p +1≤x ≤2p -1}.若B
A ,则
实数p 的取值范围是________.
解:由x 2-3x -10≤0得-2≤x≤5.
欲使B A ,只须213 3.215
p p p -≤+⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩∴ p 的取值范围是-3≤p≤3. 上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论,即B=∅时,符合题设.
应有:①当B≠∅时,即p +1≤2p-1
p≥2. 由B A 得:-2≤p+1且2p -1≤5.由-3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.
②当B=∅时,即p +1>2p -1
p <2. 由①、②得:p≤3.
点评:从以上解答应看到:解决有关A ∩B=∅、A ∪B=∅,A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
题型5.要注意利用数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工
具将抽象问题直观化、形象化、明朗化,然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解.
例16.设全集U={x|0<x<10,x∈N *
},若A∩B={3},A∩C U B={1,5,7},C U A∩C U B={9},则集合A 、B 是________.
思路启迪:本题用推理的方法求解不如先画出文氏图,用填图的方法来得简捷,由图不难看出.
解:A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.
例17.集合A={x|x 2+5x -6≤0},B={x|x 2
+3x>0},求A ∪B 和A ∩B .
解:∵ A={x|x 2-5x -6≤0}={x|-6≤x≤1}, B={x|x 2+3x>0}={x|x<-3,或x>0}. 如图所示,
∴ A∪B={x|-6≤x≤1}∪{x|x<-3,或x>0}=R . A∩B={x|-6≤x≤1}∩{x|x<-3,或x>0}={x|-6≤x<-3,或0<x≤1}.
点评:本题采用数轴表示法,根据数轴表示的范围,可直观、准确的写出问题的结果. 例18.设A={x|-2<x<-1,或x>1},B={x|x 2
+a x +b≤0},已知A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x≤3},求a 、b 的值.
思路启迪:可在数轴上画出图形,利用图形分析解答.
解:如图所示,设想集合B 所表示的范围在数轴上移动,
显然当且仅当B 覆盖住集合{x|-1<x<3},才能使A∪B={x|x>-2},且A∩B={x|1<x≤3}.
根据二次不等式与二次方程的关系,可知-1与3是方程x 2+a x +b=0的两根, ∴ a =-(-1+3)=-2, b=(-1)×3=-3.
点评:类似本题多个集合问题,借助于数轴上的区间图形表示进行处理,采用数形结合的方法,会得到直观、明了的解题效果.
【专题训练与高考预测】
一.选择题:
1.设M={x|x 2+x+2=0},a =lg(lg10),则{a }与M 的关系是( )
A 、{a }=M
B 、M ≠⊆{a }
C 、{a }≠⊇M
D 、M ⊇{a }
2.已知全集U =R ,A={x|x-a |<2},B={x|x-1|≥3},且A ∩B=∅,则a 的取值范围是( )
A 、 [0,2]
B 、(-2,2)
C 、(0,2]
D 、(0,2) 3.已知集合M={x|x=a 2-3a +2,a ∈R},N={x|x=b 2-b ,b ∈R},则M ,N 的关系是( )
A 、 M ≠⊆N
B 、M ≠⊇N
C 、M=N
D 、不确定
4.设集合A={x|x ∈Z 且-10≤x ≤-1},B={x|x ∈Z ,且|x|≤5},则A ∪B 中的元素个数是( )
A 、11
B 、10
C 、16
D 、15
5.集合M={1,2,3,4,5}的子集是( )
A 、15
B 、16
C 、31
D 、32 6 集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =42
k ππ+,k ∈Z },则( ) A M =N
B M N
C M N
D M ∩N =∅ 7. 已知集合A={x|x 2-4mx +2m +6=0,x∈R},若A∩R -≠∅,求实数m 的取值范围.
8. 命题甲:方程x 2+mx +1=0有两个相异负根;命题乙:方程4x 2
+4(m -2)x +1=0无实根,这两个命题有且只有一个成立,求m 的取值范围.
9 已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m -1}且B ≠∅,若A ∪B =A ,则( ) A -3≤m ≤4 B -3<m <4 C 2<m <4 D 2<m ≤4
10.集合M={}220,x x x a x R +-=∈,且M ∅⊂≠
.则实数a 的取值范围是( )
A. a ≤-1
B. a ≤1
C. a ≥-1
D.a ≥1
11.满足{a ,b }U M={a ,b ,c ,d }的所有集合M 的个数是( )
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
12.若命题P :x ∈A I B ,则⌝P 是( )
A. x ∉A U B
B. x ∉A 或x ∉B
C. x ∉A 且x ∉B
D. x ∈A U B
13.已知集合M={2a ,a }.P={-a ,2a -1};若card(M U P)=3,则M I P= ( )
A.{-1}
B.{1}
C.{0}
D.{3}
14.设集合P={3,4,5}.Q={4,5,6,7}.令P*Q=(){},,a b a p b Q ∈∈,则P*Q 中元素的个数
是 ( )
A. 3
B. 7
C. 10
D. 12
二.填空题:
15.已知M={Z 24m |m ∈-},N={x|}N 2
3x ∈+,则M ∩N=__________. 16.非空集合p 满足下列两个条件:(1)p ≠⊆{1,2,3,4,5},
(2)若元素a ∈p ,则6-a ∈p ,则集合p 个数是__________.
17.设A={1,2},B={x |x ⊆A }若用列举法表示,则集合B 是 .
18.含有三个实数的集合可表示为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭
,则20072008a
b += . 三.解答题:
19.设集合A={(x ,y)|y=a x+1},B={(x ,y)|y=|x|},若A ∩B 是单元素集合,求a 取值范围.
20.设A={x|x 2+px+q=0}≠∅,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若A ∩M=∅,A ∩N=A ,求p 、q 的值.
21.已知集合M={y|y=x 2+1,x ∈R},N={y|y=x+1,x ∈R},求M ∩N .
22.已知集合A={x|x 2-3x+2=0},B={x|x 2-mx+2=0},且A ∩B=B ,求实数m 范围.
23.已知全集U =R ,且{}{}22120,450A x x x B x x x =--≤=-->,求()()U U C A C B I .
24.已知集合{}{}
22230,0A x x x B x x ax b =-->=++≤, 且{},34A B R A B x x =<≤U I ,{},34A B R A B x x ==<≤U I ,求a ,b 的值.
【参考答案】
1. C 2. A 3. C 4. C 5. D
6. C 解析 对M 将k 分成两类 k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ), M ={x |x =n π+4
π,n ∈Z }∪{x |x =n π+4
3π,n ∈Z },
对N 将k 分成四类,k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),
N ={x |x =n π+2π,n ∈Z }∪{x |x =n π+4
3π,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+45π,n ∈Z } 7.解:设全集U ={m|△=(-4m)2-4(2m +6)≥0}={m|m≤-1或m≥32
}.
若方程x 2-4mx +2m +6=0的二根为x 1、x 2均非负,
1212
340,226m U x x m m x x m ∈⎧⎪+=≥⇒≥⎨⎪=+⎩则 因此,{m|m≥32}关于U 补集{m|m≤-1}即为所求.
8.解:使命题甲成立的条件是:
2112
40, 2.0m m x x m ⎧∆=->⇒>⎨+=-<⎩∴ 集合A={m|m>2}. 使命题乙成立的条件是:△2=16(m -2)2
-16<0,∴1<m <3.
∴ 集合B={m|1<m<3}.
若命题甲、乙有且只有一个成立,则有:
(1)m∈A∩C R B ,(2)m∈C R A∩B.
若为(1),则有:A∩C R B={m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3};
若为(2),则有:B∩C R A={m|1<m<3}∩{m|m≤2}={m|1<m≤2};
综合(1)、(2)可知所求m 的取值范围是{m |1<m≤2,或m≥3}.
9.D 解析 ∵A ∪B =A ,∴B ⊆A,又B ≠∅, ∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤--≥+1217
1221m m m m ,即2<m ≤4
10.C 11.D 12.B 13.D 14.B
二.填空题:
15. ∅; 16. 7 ; 17. {,{1},{2},{1,2}}∅; 18.-1.
三.解答题:
19. a ≥1或a ≤-1,提示:画图.
20.8,16,p q =-⎧⎨=⎩或20,10,p q =-⎧⎨=⎩或14,40.
p q =-⎧⎨=⎩ 21.解:在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征.M 、N 均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。
其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化.M={y|y=x 2+1,x ∈R}={y|y ≥1},N={y|y=x+1,x ∈R}={y|y ∈R}.∴ M ∩N=M={y|y ≥1}.
22.解:化简条件得A={1,2},A ∩B=B ⇔B ⊆A .
根据集合中元素个数集合B 分类讨论,B=∅,B={1}或{2},B={1,2}.
当B=∅时,△=m 2-8<0.∴ 22m 22<<-. 当B={1}或{2}时,⎩⎨⎧=+-=+-=∆0
2m 2402m 10或,m 无解.
当B={1,2}时,12,12 2.
m +=⎧⎨⨯=⎩∴ m=3. 综上所述,m=3或22m 22<<-.
{}{}{}{}{}:34,1,
34,15,()()45.U U U U A x x B x x C A x x x C B x x C A C B x x =-≤≤=<-∴=<->=-≤≤∴=<≤I 23.解或>5或
24. 解:{}13A x x x =<>或, ∵A B R =U . ∴{}13x x -≤≤中元素必是B 的元素.
又∵{}34A B x x =<≤I , ∴{}34x x <≤中的元素属于B,
故{}{}133414B x x x x x =-≤≤<≤=-≤≤或.
而{}20B x x ax b =++≤. ∴-1,4是方程20x ax b ++=的两根, ∴a=-3,b=-4.。