第四章 利率期货

例：如果6月份交割的期货合约的（指数报价） 为92，则说明贴现率为8%，则实际期货 价格为100-8*90/360=98
如果Ｚ是短期国债期货的报价，Ｙ是期货合约 的现金价格，则 Z=100-360/90*(100-Y) 或Y=100-90/360*(100-Z) 例:假定140天的年利率为8%，230天的年利率为 8.25%，则140天到230天期间的远期利率为： (0.0825*230-0.08*140)/90=0.0864 于是：140天后交割的面值为$100的90天的短期国 债期货价格为： 100e-0.0864*90/365=97.89 它的（指数）报价为：100-4*(10097.89)=91.56(忽略期货与远期价格之间的差异)
F0.T = S0 (1 + r )T
其中， S 0 是现货市场价格， F0 , T 为在T时交割的期货价格， r为金融市场的实际利率。如果 F0.T > S0 (1 + r )T 则在t=0时，按利率r借款，购买现货 S 0 ，并以价格 F0,T 卖 出期货；在t=T时，偿还贷款 S0 (1 + r )T ，用现货交割期 货，得到 F0,T 。 隐含回购利率为 1/ T
远期利率的计算 n年投资的即期利率 年(n) 1 2 3 4 5 (%p.a.) 10.0 10.5 10.8 11.0 11.1 11.0 11.4 11.6 11.5 第n年的远期利率 (%p.a.)
②
零息票收益率曲线 收益曲线、 利率期限结构
比率
比率 远期利率
零息票收益率
附息债券收益率 零息票 收益率
息票支付日 当前时刻 息票支付日
期货合约到wk.baidu.com日
息票支付日
60天
122天（0.3342年）
148天
35天
4.
①
短期国债利率
贴现债券，不支付利息；假定现在是0时刻，期 货合约的到期期限为Ｔ年，标的资产国债的到 期期限为Ｔ*年；今天到Ｔ和Ｔ*的无风险连续 复利率分别为ｒ和ｒ*；期货合约标的国债面值 为$100，其现值为： $100 F=100e-r*T*erT=100erT-r*T*=100e-rf(T*-T)
ˆ r = ( F0,T / S0 ) −1
例：数据：33天期美国国债短期，贴现率为D=5.77%； 124天期美国短期国债，贴现率为D=6%； 91天期短期国债期货，IMM指数为94.2，贴现率为5.8%。 问（1）计算隐含回购率（2）是否有套利机会 124天期短期国债的价格： S0 = 100 − 6(124 / 360)97.933 期货报价： F0,T = 100 − 5.8(90 / 360) = 98.55 上式是用90天期短期国债表示的期货价格，由于交割的短期国债是91天 期的，因此有期货实际价格：
为此，我们要先将T*时刻的现金流用T*-T期限的远期 利率 r 贴现到T时刻，再贴现到现在时刻t，即： ˆ
∧ ( rK − r )(T *−T ) − r (T − t ) = Ae × 1 − e 这里的远期价格就是合同利率。根据远期价格的定
f = Ae− r (T − t ) − AerK (T *−T ) × e − r (T *−T ) × e − r (T − t )
注:只要短期国债与国债期货价格隐含的利率不等,就有机 会套利
②
短期国债的报价
面值为$100的短期国债的标价（计算惯例：实 际天数/360） 假定Ｙ是面值$100，距到期日还有n天时间的短 期国债的现金价格，其贴现率D为： D=360/n*(100-Y) 短期国债期货的报价方法： 短期国债期货的报价（指数报价）＝100-D 其中D为贴现率
∧
义，远期利率就是使远期合约价值为0的协议价格 （在这里为rK）。 ∧ 因此理论上的远期利率（rF）应等于：rF = r
r * T * − t − r (T − t ) rF = T* −T
(
)
美国的长期国债（T-Bond）期货（10年以上）： 空头方可选择到期日从交付月份第一天起 至少15年且在15年内不可回赎的债券。 中期国债(T-Note)期货（1-10年）： 有效期在6.5-10年之间的任何政府债券都 可交割 短期国债(T-Bill)期货（1年以内）： 标的资产为90天的短期国债
T天：执行期货合约，卖空国债，偿还借款 拥有存款Fe-rTer*T*=100e-rf(T*-T) e-rT er*T*至T* 将来须偿还国债 T*天：取得存款本息收入 Fe-rTer*T*=100e-rf(T*-T) e-rT er*T* 支付国债面额100元． 这天的现金支付情况： 100e-rf(T*-T) e-rT+r*T*-100=100[er*T*-rf(T*-T)-rT-1]>0 (由于rf<(r*T*-rT)/(T*-T))
远期利率协议(Forward rate agreement, FRA) 在指定的未来某个时期将某个确定的利率 应用于某个确定的本金
远期利率协议的定价
远期利率协议(Forward rate agreement, FRA) 属于支付已知收益率资产的远期合约。 远期利率协议多方（即借入名义本金的一方） 的现金流为： T时刻：A T*时刻： − Ae rK (T *−T ) 这些现金流的现值即为远期利率协议多头的 价值。
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例： 假设：45天短期国债利率为10%，135天短期国 债利率为10.5%，还有45天到期的短期国债期货 价格对应的隐含远期利率为10.6%．短期国债隐 含远期利率为(135*10.5-5*10)/90=10.75%． 今天卖空期货合约 以10%的年利率借入45天资金(卖空45国债) 将借入的资金按利率10.5%进行135天的投资 现金流过程(设国债面值为100元) 今天：借入Fe-rT=100e-rf(T*-T) e-rT (卖空45国债)，存款 Fe-rTer*T*=100e-rf(T*-T) e-rT er*T*至T*(买入135国债), 卖空期货合约(在45交割135到期国债)
40
除以债券的面值，转换因子为1。5938
交割最便宜的债券 空头方收到的价款为： 期货报价*转换因子+累计利息 购买债券的成本为： 债券的报价+累计利息 交割最便宜的债券是： 债券的报价-期货报价*转换因子 ④ 威尔德卡游戏 长期国债期货合约于芝加哥时间下午2点停止交 易；长期国债现货停止交易时间是下午4点，期 货空头方在下午8点以前都可以向交易所下达交 割的通知，交割应付价格是以当天的结算价格 为基础计算． 即：空头有一个选择权
R Rc = m ln(1 + ) m
Rc = m ln(1 +
Rm ) m
3个月期的连续复利率为： 4ln(1+2.5/97.5)=0.1013 6个月期的连续复利率为： 2ln(1+5.1/94.9)=0.1047 1年期的连续复利率为： ln(1+10/90)=0.1054
4e-0.1047*0.5+4e-0.1054*1.0+104e-R*1.5=96 R=0.1068 6e-0.1047*0.5+6e-0.1054*1.0+6e-0.1068*1.0+106eR*1.5=96 R=0.1081 其它，应用线形插值法 天数计算惯例 实际天数/实际天数，30/360，实际天数/360 期限结构理论 预期理论，市场分割理论，流动性偏好理论
③
期货报价的确定
例：假定某一国债合约，已知交割最便宜的债券息票利率 为12%，转换因子为1.4000．年利率为10%．水平利率期限 结构．当时债券报价为：$120． a.债券的现金价格：120+60/(60+122)*6=121.978 b.期货到期日前收到利息现值：6e-0.3342*0.1=5.803 c.期货的现金价格:(121.978-5.803) e-0.7397*0.1=125.094 d.期货的报价为：125.094-6*148/(148+35)=120.242 e.标准期货合约的报价为：120.242/1.4000=85.887
长期和中期国债期货 ① 国债的报价（以美元和32分之1美元报出，面值100美元） ② 报价与购买者所支付的价格并不相同。报价有时称为干净价格 （clean price）,而现金价格称为不纯价格(dirty price)。 现金价格＝报价+上一个付息日以来的累计利息 例：设现在是1997年3月5日，所考虑的债券息票利率为11%，在2010年7 月10日到期，报价为95-16（即95.50）。由于政府债券累计利息是 基于实际天数/实际天数，并且半年付一次利息。最近的一次付息日 是1997年1月10日，下一次付息日将是1997年7月10日。在1997年1 月10日与1997年3月5日之间的天数是54天，而1997年1月10日与 1997年7月10日之间的天数是181天。一个面值100元的债券，在1月 10日与7月10日支付的利息都是5.5元，1997年3月5日的累计利息应 该均摊7月10日支付给债券持有者的利息，即：
②
套利机会 如果短期国债期货价格中隐含的远期利率 不同于短期国债本身所隐含的远期利率， 则存在潜在的套利机会。
例：假设现在（t=0），你可以从现货市场上购买33天后到期 的美国短期国债，你还可以以 F0 的价格购买短期国债 期货合约，该合约在33天后交割90天期的短期国债，这 样，你的两宗交易就相当于购买了一个123天期的美国 短期国债。如果33天期的短期国债、123天期的短期国 债以及期货合约没有正确定价，那么就可以进行无风险 套利。在现实世界中，这一套利机会用隐含回购利率来 描述。用复利所表示的无套利条件是
附息债券收益率
远期利率
到期期限
到期期限
零息票收益率曲线的确定(息票剥离法) 息票六个月支付一次
l
债券本金 100 100 100 100 100 100 到期期限（年） 0.25 0.5 1.00 1.50 2.00 2.75 年息票 0 0 0 8 12 10 债券价格 97.5 94.9 90.0 96.0 101.6 99.8
例：某一债券息票利率为每年14%，距到期日还有20年零2个 月，为了计算转换因子，假定债券距到期日整整20年。 假定6个月后第一次付息。即假定每6个月支付一次利息， 一直到20年后支付本金时为止。假定年贴现率为8%，每 半年计复利一次（每6个月4%），则债券的价格为：
7 100 + ∑ 1.04i 1.044 = 159.39 i =1
3.
54 × 5.5 = 1.64 181
2010年7月10日到期的每100面值债券的现金价格为： 95.5+1.64=97.14
转换因子 空头方收到的现金＝期货报价*交割债券的转换因子+交割债 券的累计利息 转换因子计算：单位债券的现值 为便于计算，债券的有效期限和距付息日的时间取整数到期 最近的3个月。如果取整数后，债券的有效期是半年的 整数倍，则假定第一次付息是在6个月后，如果取整数 后，债券的有效期不是6个月的整数倍，则假定在3个月 后付息，并减去累计利息。
F0,T = 100 − 5.8(91 / 360) = 98.53
ˆ − 1 = 0.0695 隐含回购利率： r = ( F0,T / S0 ) 33天期的实际利率是由33天期的短期国债收益率表示的。 33天期短期国债价格：P=100-5.77（33/360）=99.4711 365 / 33 − 1 = 0.0604 收益率： r33 = (100 / 99.4711) ˆ 隐含回购利率 r = 6.95%超过过了实际利率 r = 6.04% ，因此，买入一份124天期短 期国债并卖出期货合约。33天后，124天期短期国债将成为91天期 短期国债，可用做期货交割。
第四章 利率期货
利率期货
利率理论初步 ① 即期利率和远期利率 N年期即期利率:从今天算起开始计算并持 续N年期限的投资利率． 远期利率：由当前即期利率隐含的将来一 定期限的利率． 如明年的今天到后年的今天的这个期限之 间的利率
1.
一般地：r是T年期的即期利率，r*是T*年期的即期 利率， 且T*>T，T*-T期间的远期利率为： rf=(r*T*-rT)/(T*-T) 因为：100erTerf(T*-T)=100er*T* 例：100e0.1*1erf=100e0.105*2