小升初数学--长方体和正方体

第25讲 长方体和正方体

【知识概述】

认识长方体和正方体的特征以及它们的展开图，了解长方体和正方体的关系，掌握长方体和正方体的表面积的意义，及长方体和正方体的表面积的计算方法，初步建立了空间观念，学会用数学的眼光观察生活中物体的形状，并能解决生活中的一些实际问题。 长方体和正方体都是立体图形，其特征如下：

长方体和正方体的表面积及体积的计算： 长方体和正方体的关系：如图（2）

长方体所具备的特征正方体都具备，所以正方体是

一种特殊的长方体。它们的关系可以用右图来表示。

长方体

正方体

相同点

都有6个面 8个顶点 12条棱

不同

点

面的形状

6个面一般都是长方形，也可能两

个相对的面是正方形

6个面都是正方形

面的大小

相对的面的面积相等

6个面的面积都相等

棱 长

12条棱分为三组，每组4条，长度

相等

12条棱的长度都相等

表面积

体积

长方体

bh ah ab S 222++=表

()bh ah ab S ++⨯=2表

=表S (长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2

abh V = 或=V 长×宽×高 sh V =

正方体

26a S =表

=表S 棱长×棱长×6

3

a V = 或=V 棱长×棱长×棱长

h s V ⨯=

【典型例题】

例1 便民小商店要做一个长2.5米，宽0.6米，高0.9米的玻璃柜台，现在要在柜台各边都安上角铁，需要角铁多少米?

【思路导航】要求角铁的米数，就是求长方体柜台的棱长和。

解：(2.5＋0.6＋0.9)×4＝16(米)

答：需要角铁16米。

例2 用一根长180厘米的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个框架的每条边是多少厘米?

【思路导航】根据正方体的特征，它的12条棱长都相等，把180厘米平均分成12份，每份就是一条棱的长度。

解：180÷12＝15(厘米)

答：这个框架的每条边应该是15厘米。

例3 一个玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长5分米。制作这个鱼缸时至少需要玻璃多少平方分米?(鱼缸的上面没有玻璃)

【思路导航】这个鱼缸的上面没有玻璃，所求的玻璃的面积就是求其它5个面的总面积。

解：5×5×5＝125 (平方分米)

答：制作这个鱼缸时至少需要玻璃125平方分米。

例4 一个长方体的食品盒，长10厘米，宽6厘米，高12厘米。

如果围着它贴一圈商标纸(上下面不贴)，这张商标纸的面积至少

要多少平方厘米?

【思路导航】这个食品盒只有4面贴包装纸，即前、后、左、右四面，

所求的商标纸的面积就是这四个面的面积和。

解：(10×12+6×12)×2 ＝384 (平方厘米)

答：这张商标纸的面积至少要384平方厘米。

例5 一个教室长8米，宽6米，高3.5米，要粉刷教室的墙壁和天花板，门窗和黑板的面积是22平方米，平均每平方米用涂料0.25千克，粉刷这个教室共需要涂料多少千克?

【思路导航】求需要涂料多少千克，必须先求出实际粉刷的面积。长方体的表面积去掉门窗、黑板和地面的面积就是实际粉刷的面积。

解：粉刷的面积为：(8×6+8×3.5+6×3.5)×2－8×6－22

＝(48+28+21)×2－48－22

＝97×2－48－22

＝124（平方米）

需要涂料的重量为：0.25×124=31(千克)

答：粉刷这个教室共需要涂料31千克。

例6 有一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，从四周剪去边长为1厘米的正方形后做成纸盒，该纸盒的容积是多少？

【思路导航】这是一道“数形结合”的题目，解决这类问题的关键是要将立体图形与展开的平面图形相联系，发现其中包含的数量关系本题要求纸盒的容积，我们就要想办法知道它的长，宽和高，可以画图帮助理解。

解：纸盒底面长方形长：30－2×1＝28（厘米）

宽：20－2×1＝18（厘米）

剪去正方形边长1厘米就是长方体的高，

（30－20）×(20－2) ×1＝504 (立方厘米)

答：该纸盒的容积是504立方厘米

【我能行】

1．填空：

（1）长方体有（）个面，它们一般都是（）形，也可能有（）个面是正方形。

（2）长方体的上面和下面、前面和后面、左面和右面都叫做（），它们的面积（）。

（3）长方体的12条棱，每相对的（）条棱算作一组，12条棱可以分成（）组。

（4）正方体有（）个面，每个面都是（）形，面积都（），一个正方体的棱长是6厘米，它的棱长总和是（）。

2．一个长方体高26厘米，沿着水平方向横切成两个小长方体，表面积增加了80平方厘米，求原来长方体的体积？

3．在一个长120厘米、宽60厘米的长方体水箱里，放入一块长方体的铁块后，水面就比原来上升2厘米。已知铁块的长和宽都是20厘米，求铁块的高？

4．一个棱长是3厘米的正方体木块，各面中心凿穿一孔面边长是1厘米的正方形柱孔，它余下的体积是多少立方厘米？

5．两块大小相同的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体的棱长总和是48厘米，那么，每块正方体的木块体积是多少？

【我试试】

1．一个体积是576立方厘米的长方体，正面面积是96平方厘米，左面面积是48平方厘米，底面面积是多少平方厘米？

2．用纸皮做一个长1.2米、宽50分米、高40分米的长方体箱子用来堆放同学们收聚的矿泉水空瓶。（1）至少要用多少平方分米的纸皮?（2）这个箱子最多能装多少立方分米的东西?

3．有三个一样大小的立方体，每个立方体的六个面上都分别标有l～6这六个数字，那么当任意摆放时，三个立方体向上的三个面的数字之和有( )种不同的取值。