第二章 动量守恒定律和能量守恒定律

第二章动量守恒定律和能量守恒定律【主要内容】

1.质点和质点系的动量定理和动能定理；

2.外力与内力、保守力与非保守力的概念；

3.机械能守恒定律；

4.能量守恒定律。

【教学重点】

动量定理，动量守恒定律；动能定理、功能原理、能量守恒定律。【教学难点】

内力所做的功，外力所做的功；保守力与非保守力的概念。

【教学过程】

2-1 质点和质点系的动量定理动能守恒定律

2-2 动能定理保守力与非保守力能量守恒定律

2-1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定律

引入章首问题：P29，你知道安全带的作用吗？

一、冲量 质点的动量定理

1．动量 p mv =

2. 冲量

由牛顿第二定理得：dt

v d m a m F ==；v md dt F

=

牛顿定律可以写为：

()d mv dp F dt dt == （1）式具有更为普遍的形式。

上式中的F

为物体所受的合外力，当然包括重力，这在应用动量定理时要特别注意。

积分：⎰

⎰=2

121

t t v v v md dt F

⎰

-=2

1

12t t v m v m dt F

写为：12P P I

-=

⎰=21

t t dt F I

为作用于物体上的力和作用时间之积，称为物体所受的冲量。

3. 质点的动量定理：12P P I

-=，在给定时间内，外力作用在物体上的冲量等于物体在时间内动量的增量，这就是动量原理。

矢量式：21

21t t I Fdt mv mv ==-⎰

分量式：2121

21212121t x x x x

t t y y y y t t z z z z

t I F dt mv mv

I F dt mv mv I F dt mv mv

⎧==-⎪⎪⎪

==-⎨⎪

⎪==-⎪⎩⎰⎰⎰ 说明：某方向受到冲量，该方向上动量就改变。

4. 平均冲力

一般说来，力F

为变量，但变力冲量的大小可以用在一相同

的时间内，具有恒定大小的平均作用力F

来代替，其冲量是等效的，即：

dt F t F t t ⎰=∆⋅21

用图形表示如左图，图中t F -

曲线下的面积与t F - 曲线下的面积相等。

二、质点系的动量定理

对于由两个质点组成的质点系，第1、2质点受的力为外力1F 和2F ，内力分别为12F 和21F

，由质点1、2的动量定理有

2

111211110()d t t F F t m m +=-⎰

v v 2

1

22122220()d t t F F t m m +=-⎰

v v

因内力12210F F +=

故将两式相加后得：

2

1121122110220()d ()()t t F F t m m m m +=+-+⎰

v v v v

2

1

ex 001

1

d n n t i i i i t i i F t m m p p ===-=-∑∑⎰

v v

上式表明：作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量——质点系动量定理

三、动量守恒定律

∑==n i i i C v m 1

，条件ex ex 0i i

F F ==∑

上式即为动量守恒定律的数学表达式，即如果系统所受合外力的矢量和为零，则系统内各物体的动量矢量和保持不变。

说明：(1)系统的总动量不变，但系统内任一质点的动量是可变的；

(2)守恒条件：合外力为零ex ex 0i i

F F ==∑

。

当ex in F F <<

时，可近似地认为系统总动量守恒。 (3)若ex ex

0i i

F F =≠∑ ，但满足ex 0x F =有x i x i

p m C ==∑ix v

分量式ex

ex ex 0,0,

0,x x i ix x

i

y y i iy y i

z z i iz z

i

F p m C F p m C F p m C ⎧===⎪⎪⎪

===⎨⎪

⎪===⎪⎩

∑∑∑v v v

(4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一。

2-2 动量定理 保守力与非保守力 能量守恒定律

一、功 动能定理 1.功

(1) 恒力的功

cos W F r F r θ=⋅∆=⋅∆

力对质点所作的功为力在质点位移方向上的投影与位移

大小的乘积。是力对空间的积累效应。 (2) 变力的功

可以将总位移

r ∆进行无限分割，在每个元位移：r d

内，可以认为F 是恒定的。 在位移元d r 内做的元功为：d cos d W F r θ=

d d s r = ⇒d cos d W F s θ=⇒d d W F r =⋅ A →B 外力所作的功为：d cos d B B A A W F r F s θ=⋅=⎰⎰

讨论：

① 正功 2

π

ϕ< 0A ∆>，表示力F

对物体作正功或力对质点作功； 负功 2

π

ϕ>

0A ∆<，表示力F

对物体作负功或质点反抗力作功；

0A ∆= 002

F r π

ϕ=∆=⎧⎪

⎨=⎪⎩或 ② 作功的图示 2

1cos d s s W F s θ=⎰

根据积分式的几何意义，可以得到功的几何意义：即：功在

数值上等于示功图曲线下的面积。

③ 功是一个过程量，与路径有关。

④ 合力的功，等于各分力的功的代数和。

x y z F F i F j F k =++ ；d d d d r xi yj k =++

z ⇒d d d d B B x y z A

A

W F r F x F y F =⋅=++⎰⎰ （）

z d d d B A B A B A

x x x

x y y y y z z W F x

W F y W F ⎧=⎪⎪=⎨⎪

⎪=⎩⎰⎰⎰z z

z ⇒x y W W W W =++z 注意：功是过程量，与路径有关，是描述力作用与物体的空间积累效应的物理量；

功是标量，但有正负；

功的物理含义：功是能量转化的量度，或物体运动状态变化的一种量度。 单位：焦耳（J ）