高中数学-三角函数图像及性质与值域及最值

高中数学总复习-三角函数

第5课 三角函数的图像和性质(一)

【考点导读】

1. 能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦 函数在［0,2 ］，正切函数在(一,一)上的性质；

2 2

2. 了解函数y Asin( x )的实际意义，能画出y A si n( x )的图像；

3. 了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】

动的最小正周期T _____L_；初相 —-

2.

三角方程2sin(_ - x)=1的解集为

4. 要得到函数y sinx 的图象，只需将函数 y cos x

______ - ____ 个单位. 【范例解析】

例 1.已知函数 f (x) 2sin x(sin x cosx).

(I)

用五点法画出函数在区间 ——上的图象，长度

为一个周期；

2’ 2

(H)说明f(x) 2s in x(si nx cosx)的图像可由y si nx 的图像经过怎样变换而

1.

已知简谐运动

f(x) 2sin (3X )(

2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运

3.函数 y Asin( x )( 0,

尹R)的部分图象如图所示，则函数表达为

y

4si n( x ) 8 4

的图象向右平移

分析：化为Asin( x )形式.得到•

列表，取点，描图:

x

335

88888

y11逅1 1 V21

故函数y f(x)在区间［-，2］上的图象是:

(U)解法一：把y sinx图像上所有点向右平移—个单位，得到y sin(x )

4 4

1

的图像，再把y sin(x -)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的丄(纵坐标不

4 2

变)，得到y si n(2x —)的图像，然后把y sin(2x —)的图像上所有点纵坐标

4 4

伸长到原来的倍(横坐标不变)，得到y 2 sin(2x -)的图像，再将

4

y . 2 sin(2x )的图像上所有点向上平移1个单位，即得到

4

y 1 - 2 sin(2x -)的图像.

1

解法二：把y sinx图像上所有点的横坐标缩短为原来的-(纵坐标不变)，得

2

到y sin 2x的图像，再把y sin 2x图像上所有点向右平移—个单位，得到

8

解：(I)由f(x)2sin2x 2sin xcosx 1 cos2x sin 2x

2(sin 2x cos —

4

cos2xs in )

4 2sin(2x 4

).

分析：化为Asin( x )形式.

x -)的图像上所有点纵坐标伸长到原来 的2倍(横坐标不变)，得到y 、2sin(2x

)的图像，再将y 二sin(2x

) 4

4

的图像上所有点向上平移1个单位，即得到y 1 ,2sin(2x -)的图像. 4

例2.已知正弦函数y Asin( x ) (A 0, 0)的图像如右图所示.

(1) 求此函数的解析式f 1(x)；

(2) 求与fdx)图像关于直线x 8对称的曲线的解析式f 2(x); (3) 作出函数y h(x) f 2(x)的图像的简图.

£(x) 一 2sin(gx 4).

(2)设函数f 2(x)图像上任一点为M(x,y)，与它关于直线x 8对称的对称点为

M (x,y)，

f 2(x)

2sin (尹 4)

y sin(2x —)的图像，然后把

y sin(2 分析：识别图像，抓住关键点. 解：(1)由图知，A 伍,Q 2 将x 2， y 2代入，

，即 y 2 sin( x ).

8

8 、、2sin (— )

.2，解得

一，即

(6 2) 16，

8

得 2

8，

解得

y y. 16 x,

y.

代入 f 1(x) 、2sin( x

8

4

-)中，得

(3) y f i(x)

示.

点评：由图像求解析式，A比较容易求解，困难的是待定系数求和，通常利

用周期确定，代入最高点或最低点求

【反馈演练】

1. 为了得到函数y 2sin（°）,x R的图像，只需把函数y 2sin x，x R的图

3 6

像上所有的点

①向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐

6 3

标不变）；

②向右平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍（纵坐

6 3

标不变）；

③向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐

6

标不变）；

④向右平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐

6

标不变）.

其中，正确的序号有__③_ .

6

2. 为了得到函数y sin（2x ）的图象，可以将函数y cos2x的图象向右平移

___ 个单位长度.

—3 —

6