全等三角形-挖掘隐含条件证全等三角形
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挖掘隐含条件证全等三角形
应用拓展课
知识回顾
三角形全等的5个判定定理
SSS （边边边） SAS （边角边） ASA （角边角） AAS HL （角角边） （斜边+任一直角边）
三边对应相等 的两个三角形 全等
三角形的其中 两条边对应相 等，且两条边 的夹角也对应 相等的两个三 角形全等
三角形的其中 两个角对应相 等，且两个角 夹的的边也对 应相等的两个 三角形全等
三角形的其中 两个角对应相 等，且对应相 等的角所对应 的边也对应相 等的两个三角 形全等
在直角三角形中， 一条斜边和一条直 角边对应相等的两 个直角三角形全等
总结：三角形全等的5个判定定理可以归纳为三个判定方法
三边
SSS（边边边） HL（勾股定理）
两角一边
ASA（角边角） AAS（角角边）
两边一角
B
E
C
F
2、如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，求证BC=DE。 A
∠1 B
D
∠2 C
E
10
例题四
利用等边对等角或互补得角相等
如图4，已知 AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
证明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED（等边对等角）
∴∠ADB=∠AEC（互补角相等）
∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）， ∴△ABD≌△ACE （AAS） ∴BD=CE
练一练
Baidu Nhomakorabea
如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠BED=∠CED，求证： ∠ABE=∠ACE。
A
E
B
D
C
例题五
利用平行线的性质得出同位角、内错角相等
如图5， C、F在BE上， ∠A=∠D，AC//DF，BF=EC，求证：AB=DE ．
归纳总结：
边如何找
1、角平分线上的点到角两边的距离相等 2、公共边是对应边； 3、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
4、若涉及中点、中位线时得到线段相等；
补充说明： 特殊几何图形的隐含条件
① 等腰三角形三边相等 ② 等边三角形三边相等 ③ 平行四边形、矩形对应边相等
④ 菱形、正方形四边相等
课后作业
A 证明：∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2，∴∠1+∠DBC=∠2+∠DCB,即∠ABC=∠ACB，（等角相加） ∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
1 B D 2 ∵AB=AC，∠1=∠2，BD=DC ∴ △ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD 即AD平分∠BAC
C
9
练一练 1、如图：点E、C在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF，求证：∠ABC=∠DEF。 A D
1、如图1，AB＝AC，∠B＝∠C，你能证明△ABD≌△ACE吗？
2、如图2，已知点 在线段 上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证： △ABC≌△DEF ．
课后作业
3、如图3，∠1=∠2，AD=AE ，AB=AC ，求证： ∠B=∠C.
4、如图4，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF，求证：AB=DE.
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
归纳总结：
角如何找
1、有对顶角的，对顶角常是对应角； 2、涉及角平分线的，有两个角相等； 3、两直线平行的，内错角、同位角相等； 4、在直角三角形中，两锐角互余，同角的余角相等； 5、涉及高线，有两个90°角； 6、公共角是对应角； 补充说明： 特殊几何图形的隐含条件
① 等腰三角形两底角相等 ② 等边三角形三个角都等于60° ④ 正方形四个角都是直角=90° ③ 平行四边形、菱形，对角相等，邻角互补
7
练一练
2、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作 CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE=CF。求证：AD是△ABC的中线
A
E B D F
C
8
例题三
利用等边（等角）加（或减）等边，其和（或差）仍相等
1、如图3，AD// BC ，AD=BC，AE=FC，求证：BE//DF 证明：∵AE=FC，∴AE＋EF=CF＋EF，即AF=CE（等边相加） ∵AD//BC ∴∠A=∠C 又AD=BC ∴△ADF≌△CBE （SAS） ∴∠BEC=∠AFD ∴BE∥DF 2、如图所示，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC。
SAS（边角边） 注意：只有一种定理
如何挖掘隐含条件
例题一
公共边（或公共角）相等
1、已知：如图1，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD。求证：∠C=∠A.
证明：在△ABD与△CBD中 ∵ AB=CB，AD=CD，BD=BD（公共边） ∴ △ABD≌△CBD （SSS）
2、如图2，已知AD=AE，AB=AC，求证BE=CD。
证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，（内错角相等） ∵BF＝EC，∴BF－FC＝CE－FC，即BC=EF，（等边减等边） 在△ABC和△DEF中 ∵∠ACB＝∠DFE，∠A＝∠D， BE=CF，
∴△ABC≌△DEF（AAS）
∴AB＝DE.
练一练 1、如图，ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ，说出△ABＤ≌ △ＣＤＢ的理由。
A D F B C E
证明：在△ABE与△ACD中
∵ AD=AE，∠BAE=∠CAE（公共角），
AB=AC ∴ △ABE ≌△ACD （SAS）
5
练一练 1、如图，AB=CB，AD=CD，E是BD上任意一点，求证AE=CE。
A E
B
D
C
2、如图，已知AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：BD=CE
A
E
D
B
C
6
例题二
对顶角相等
1、已知：如图2，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E． 求证：AE=BE；
证明： 在Rt△ACE和Rt△BDE中，
∵∠AEC与∠BED是对顶角，
∴∠AEC=∠BED． ∵∠C=∠D=90°， AC=BD ． ∴Rt△ACE ≌ Rt△BDE （AAS） ∴AE=BE．
应用拓展课
知识回顾
三角形全等的5个判定定理
SSS （边边边） SAS （边角边） ASA （角边角） AAS HL （角角边） （斜边+任一直角边）
三边对应相等 的两个三角形 全等
三角形的其中 两条边对应相 等，且两条边 的夹角也对应 相等的两个三 角形全等
三角形的其中 两个角对应相 等，且两个角 夹的的边也对 应相等的两个 三角形全等
三角形的其中 两个角对应相 等，且对应相 等的角所对应 的边也对应相 等的两个三角 形全等
在直角三角形中， 一条斜边和一条直 角边对应相等的两 个直角三角形全等
总结：三角形全等的5个判定定理可以归纳为三个判定方法
三边
SSS（边边边） HL（勾股定理）
两角一边
ASA（角边角） AAS（角角边）
两边一角
B
E
C
F
2、如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，求证BC=DE。 A
∠1 B
D
∠2 C
E
10
例题四
利用等边对等角或互补得角相等
如图4，已知 AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
证明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED（等边对等角）
∴∠ADB=∠AEC（互补角相等）
∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）， ∴△ABD≌△ACE （AAS） ∴BD=CE
练一练
Baidu Nhomakorabea
如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠BED=∠CED，求证： ∠ABE=∠ACE。
A
E
B
D
C
例题五
利用平行线的性质得出同位角、内错角相等
如图5， C、F在BE上， ∠A=∠D，AC//DF，BF=EC，求证：AB=DE ．
归纳总结：
边如何找
1、角平分线上的点到角两边的距离相等 2、公共边是对应边； 3、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
4、若涉及中点、中位线时得到线段相等；
补充说明： 特殊几何图形的隐含条件
① 等腰三角形三边相等 ② 等边三角形三边相等 ③ 平行四边形、矩形对应边相等
④ 菱形、正方形四边相等
课后作业
A 证明：∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2，∴∠1+∠DBC=∠2+∠DCB,即∠ABC=∠ACB，（等角相加） ∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
1 B D 2 ∵AB=AC，∠1=∠2，BD=DC ∴ △ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD 即AD平分∠BAC
C
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练一练 1、如图：点E、C在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF，求证：∠ABC=∠DEF。 A D
1、如图1，AB＝AC，∠B＝∠C，你能证明△ABD≌△ACE吗？
2、如图2，已知点 在线段 上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证： △ABC≌△DEF ．
课后作业
3、如图3，∠1=∠2，AD=AE ，AB=AC ，求证： ∠B=∠C.
4、如图4，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF，求证：AB=DE.
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
归纳总结：
角如何找
1、有对顶角的，对顶角常是对应角； 2、涉及角平分线的，有两个角相等； 3、两直线平行的，内错角、同位角相等； 4、在直角三角形中，两锐角互余，同角的余角相等； 5、涉及高线，有两个90°角； 6、公共角是对应角； 补充说明： 特殊几何图形的隐含条件
① 等腰三角形两底角相等 ② 等边三角形三个角都等于60° ④ 正方形四个角都是直角=90° ③ 平行四边形、菱形，对角相等，邻角互补
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练一练
2、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作 CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE=CF。求证：AD是△ABC的中线
A
E B D F
C
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例题三
利用等边（等角）加（或减）等边，其和（或差）仍相等
1、如图3，AD// BC ，AD=BC，AE=FC，求证：BE//DF 证明：∵AE=FC，∴AE＋EF=CF＋EF，即AF=CE（等边相加） ∵AD//BC ∴∠A=∠C 又AD=BC ∴△ADF≌△CBE （SAS） ∴∠BEC=∠AFD ∴BE∥DF 2、如图所示，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC。
SAS（边角边） 注意：只有一种定理
如何挖掘隐含条件
例题一
公共边（或公共角）相等
1、已知：如图1，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD。求证：∠C=∠A.
证明：在△ABD与△CBD中 ∵ AB=CB，AD=CD，BD=BD（公共边） ∴ △ABD≌△CBD （SSS）
2、如图2，已知AD=AE，AB=AC，求证BE=CD。
证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，（内错角相等） ∵BF＝EC，∴BF－FC＝CE－FC，即BC=EF，（等边减等边） 在△ABC和△DEF中 ∵∠ACB＝∠DFE，∠A＝∠D， BE=CF，
∴△ABC≌△DEF（AAS）
∴AB＝DE.
练一练 1、如图，ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ，说出△ABＤ≌ △ＣＤＢ的理由。
A D F B C E
证明：在△ABE与△ACD中
∵ AD=AE，∠BAE=∠CAE（公共角），
AB=AC ∴ △ABE ≌△ACD （SAS）
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练一练 1、如图，AB=CB，AD=CD，E是BD上任意一点，求证AE=CE。
A E
B
D
C
2、如图，已知AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：BD=CE
A
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D
B
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例题二
对顶角相等
1、已知：如图2，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E． 求证：AE=BE；
证明： 在Rt△ACE和Rt△BDE中，
∵∠AEC与∠BED是对顶角，
∴∠AEC=∠BED． ∵∠C=∠D=90°， AC=BD ． ∴Rt△ACE ≌ Rt△BDE （AAS） ∴AE=BE．