直角三角形全等判定HL(全国优质课)
全等三角形判定HL定理公开课获奖课件省赛课一等奖课件
中,AC⊥BC, AD⊥BD,
垂足分别为C,D,AD=BC,求证:
△ABC≌△BAD.
D
C
A
B
例2. 如图,AC=AD,∠C,∠D 是直角,将上述条件标注在图中, 你能阐明BC与BD相等吗?
C A
解:在Rt△ACB和 Rt△ADB 中,有
AB=AB,
B AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
• 19.2.5 三角形全等旳鉴定(HL)
复习提问
证明一般两个三角 形全等有哪些措施?
1.在两个三角形中,假如有 三条边相应相等,那么这两 个三角形全等(简记S.S.S)
2.在两个三角形中,假如 有两条边及它们旳夹角相 应相等,那么这两个三角 形全等(简记为S.A.S)
3.在两个三角形中,假如 有两个角及它们旳夹边 相应相等,那么这两个三 角形全等(简记为A.S.A)
直角三角形全等旳辨认
H.L
灵活利用多种措施证明直角三角形全等
再见
D
∴BC=BD
(全等三角形相应边相等).
练习
1. 如图∠C= ∠D=90° ,要证 明△ACB≌ △BDA ,至少再补 充几种条件,应补充什么条件? 把它们分别写出来。
C
D
A
B
2.如图 在△ABC中,已知BD⊥AC, CE ⊥AB,BD=CE。阐明△EBC≌ △DCB旳理由。
A
E
D
B
C
小结
一般三角形全等旳辨认
4.在两个三角形中,假如有 两个角及其中一种角旳对边 相应相等,那么这两个三角 形全等(简记为A.A.S)
想一想
对于一般旳三角形“S.S.A” 可不能够证明三角形全等?
《直角三角形全等的判定》 教案 (公开课获奖)2022浙教版
直角三角形全等的判定〔HL〕一.教学目标1.知识与技能1.1掌握直角三角形的一条直角边和斜边,作直角三角形的方法。
1.2掌握直角三角形全等的判定方法“HL〞。
1.3.能用全等直角三角形的判定方法解决简单问题。
1.4 运用多种方法判定三角形全等、解决简单问题。
2.过程与方法经历探究全等直角三角形判定方法“HL〞的过程,学会用操作确认、归纳发现问题结论的方法。
运用多种方法判定三角形全等、解决简单问题3、情感、态度与价值观3.1.通过操作确认、归纳发现结论,感知实验操作在发现问题结论中的重要作用。
3.2.运用多种方法证明三角形全等、发散思维,掌握构造三角形的技巧、舔辅助线。
学情介绍:这节课是在学生掌握了一般三角形全等的判定方法的根底上,探索直角三角形全等的特殊方法。
由于学生已具备了一定的学习经验,让学生自主探究直角三角形全等的判定方法,符合学生的认知过程。
帮助学生发散思维,稳固本章节的内容。
内容分析:教材首先提出了已经学习的四种判定在角形全等的方法外,对于直角三角形是否还有其他的方法判定两个直角三角形全等问题,然后通过操作发现判定直角三角形全等的另外一种特殊方法“HL〞,最后通过例题和练习加以稳固这种判定方法。
教学重点:直角三角形全等的判定方法。
教学难点:运用全等直角三角形的判定方法解决问题、运用三角形全等的方法二.教学过程:直角三角形全等的判定、情境探究,引入新课. 本单元学习判断三角形全等的方法:1〕SSS 2) SAS 3) ASA 4) AAS思考:对于直角三角形,除了直角相等之外,还要满足什么样的条件,这两个直角三角形全等?〔预设答复:一边和一锐角对应相等或者两条直角边对应相等〕提问:如果满足斜边和一直角边对应相等,这两个三角形全等吗?、动手实践,探索规律活动一:作图任意画一个,使得,一条直角边**C B BC =,斜边**B A AB =。
再把画好的***C B RtA 剪下,放到RtABC 上,两个直角三角形之间有什么样的关系呢?〔形状、大小方面〕让同学展示作品,并给出画图步骤:其他同学是不是这样字画的,你们能得出什么样的结论呢?〔预设答复:两三角形全等〕 斜边、直角边公理:有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
直角三角形的判定HL公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
B
C B′
C′
第8页
例:如图,∠BAC=∠CDB=900, AC﹦DB,求证:AB﹦DC
分析:
A
D
证实: ∵∠BAC=∠CDB=900(已知)
B
C
∴ΔBAC,ΔCDB都是直角三角
形.
在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中,
AC=DB,(已知)
BC=CB.(公共边)
C
B′
△ABC≌△A'B'C' ( SSS ).
(5)若 AC=A'C',AB=A'B'
△ABC和△A'B'C'全等吗? 未知
A′
C′
能否用上述四种办法鉴定? 不能
第4页
动手实践 摸索规律
画图,叠放,观测,总结:
已知:Rt△ABC ,∠C﹦90°求作:Rt△A′B′C′ 使①∠C′﹦90°,②A′C′﹦AC,③A′B′﹦AB
M
A'
C
B'
N
C'
B' N
第6页
总结规律 利用新知
斜边、直角边定理
有斜边和一条直角边相应相等两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”或“HL”
第7页
斜边、直角边定理 (HL)推理格式
有斜边和一条直角边相应相等两个直角三角形全等.
∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△ABC中 A
AB=AB BC=BC
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD (全等三角形相应边相等,相应角相等)
第12页
小结
普通
三角 “SAS” “ ASA ” “ AAS ” “ SSS ” 形全
探索直角三角形全等的条件(HL)精选教学PPT课件
我们俩坐那儿傻坐着也没什么话 阿千在那儿狂唱 那你先跟人说说话呀 朋友妻不可戏呀
让你说说话 谁让你戏了 可我控制不了自己啊
分手的礼仪 男和女在一起,谈恋爱不需要什么理 由对不 对
但是分手的时候就需要理由了 什么我年纪太大了,你年纪太小了
我太成熟了,你太不成熟了 你人太好了,我配不上你了 我家车被狗撞死了 ——就诸如此类的嘛 终归是要找一个台面上都过得去的说 法,这 样双方 都有面 子,是 不是 可是,分手的最根本的原因是什么呢 特别简单,就是我不爱你了,或者, 我不够 爱你了 ,就这 么简单
最重要的是选择,从我们出生那一天 起,除 了我们 的父母 不能选 择,因 为那在 我们生 下来之 前就已 经存在 的,除 此之外 ,所有 的一切 都可以 选择。 纯洁?我觉得这男女之间就没有纯洁 的关系 ,都男 女关系 了能纯 洁吗?
顾小白:你这话什么意思啊,照你这 说法, 男人和 女人就 没办法 成朋友 了? 米琪:普通朋友肯定没问题,但这好 朋友吧 ,好到 一定程 度上肯 定有问 题。 爱一个人,失去一点点自尊又算什么 呢?谁 先开口 不重要 ,重要 的是彼 此相爱 ,不要 因为害 怕先开 口而错 过了真 爱。
一个男人,没有权利要求爱他的女人 跟他一 起受苦 。●一 个男人 一定要 有自己 的事业 。●我 们生活 在一个 现实的 世界里 ,而这 个世界 很残酷 。所以 ,一定 要有实 力!
第十三集
片头: 自从文明诞生的那一天起,我们就发 明了礼 仪这样 东西, 从穿衣 ,吃饭 ,居住 ,出行 ,每一 样东西 都有它 的礼仪 。每个 国家的 礼仪不 一样, 每个人 的礼仪 也不一 样,礼 仪没有 实际的 用途, 没有实 际的形 体,但 它却是 某种润 滑剂, 确保着 这个都 市的每 一个人 ,每段 关系, 每个环 节,都 在合理 地运转 ,改变 ,让人 感觉不 到突兀 与生涩 ,当我 们习惯 了礼仪 ,我们 就在也 离不开 它,关 于男女 恋爱的 礼仪第 一条: 分手必 须难过 ,因为 这是对 对方的 尊重… …哭一 个!
12.2三角形全等的判定(HL)PPT课件[1]
西苑中学数学组
复习引入:
1、判定三角形全等的方法有哪些? 2、直角三角形作为特殊的三角形,会不会 有自身独特的判定方法呢 ?
自主学习
仿照P42页探究5完成下列问题 。
1、任意画一个Rt△ABC,使∠C =90°,再画一 个Rt△A'B'C',使∠C'=90°,B'C' =BC,A'B'=AB,然后把画好的Rt△A'B' C'剪下来放到Rt△ABC上,你发现了什么?
B'
互助探究一
例1 如图,AC⊥BC,BD⊥AD, AC =BD.求证:BC =AD.
D C
A
B
互助探究二
如图,AC⊥BC,BD⊥AD,要证△ABC ≌△BAD, 需要添加一个什么条件?请说明理由. D C
A
B
拓展提升
如图,C 是路段AB 的中点,两人从C 同时出 发,以相同的速度分别沿两条直线行走,并同时 到达D, E 两地.DA⊥AB,EB⊥AB. D,E 与 路段AB的距离相等吗?为什么? D
A
C
E
B
检测提升
1. 如图,△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于D, BC=BD,如果AC=3m,那么AE+DE等于( ) A. 2.5m B. 3m C. 3.5m D. 4m
2. 如图所示,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分 别为D、E,BE、CD相交于点O,∠1=∠2,图 中全等的三角形共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
检测提升
3、如图,AB =CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂 足分别为E ,F,CE =BF.求证:AE =DF.
C
D
F
E
A
B
检测提升
4.已知 : AB BD, ED BD, C是BD上一点 且AC EC, AC EC 求证:BD AB ED
全国初中数学优质课一等奖《直角三角形全等的判定》教学设计
《§1.2.2直角三角形》教学设计XXX 学校 XXX一、 教学内容解析本节课是北师大版八年级下册《三角形的证明》的第二节课,是在学生已经历了一般三角形全等的判定、勾股定理及其逆定理的验证等相关知识的基础上,对直角三角形全等的判定作进一步深入和拓展,同时又是进一步研究轴对称、等腰三角形、四边形等知识的工具性内容,具有不容忽视的基石作用,因此本节课在教材中起着承上启下的作用。
从认知基础的角度看,一方面,学生已经历了平行线的证明、勾股定理及其逆定理的 验证,理解几何命题之间的因果关系,这些都为“HL ”定理的合情推理奠定了基础。
另一方面,“HL ”定理是一般三角形全等判定的延伸。
从思想方法的角度看,“HL ”定理是学生通过动手操作,从特例到一般结论的研究,综合运用了勾股定理等相关旧知化为一般三角形全等的判定而获得,而定理在实际生活中的应用又是数学建模的过程。
因此,本节的灵魂是化归思想、类比思想、模型思想、特殊与一般思想的具体化身。
从数学本质的角度看,实验-观察-归纳-猜想-验证是获得定理的关键,而灵活运用定理是知识转化为能力的催化剂。
根据以上分析,确定本节课的教学重点为: 直角三角形全等的判定定理“HL ”的探究与应用。
二、 目标与目标解析:依据《新课程标准》及学生的实际情况制定教学目标如下:1、知识与技能目标:能通过探索掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
2、过程与方法目标:经历“探索--发现--猜想--证明”的过程,体会合情推理在获得结论中发挥的作用。
3、情感与价值目标:在自主探究定理证明的过程中培养勇于探索的精神,在合作交流环节中感受合作获得新知带来的成功喜悦,激发对数学证明的兴趣和信心。
三、 教学诊断分析1、预测在“发散探究”环节,由于学生存在差异,部分学生会存在不同的问题,例如, 变式2中,可能会出现由“C B BC ''=,C A AC ''=,A A '∠=∠”不能得出结论的错误判断这种情况。
《直角三角形全等的判定(HL)》教案讲课教案
《直角三角形全等的判定》教学设计中心发言人:DH教学目标:(1)明确两个直角三角形的全等,可以利用“边边边,边角边,角边角,角角边”来证明;但是由于直角相等,所以两个直角三角形全等的判定,只需要增加两个条件即可。
(2)探索和掌握直角三角形全等的特殊判定方法:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,并会用“SSS,SAS,ASA,AAS及HL”证明两个直角三角形全等。
教学重点:探索和掌握直角三角形全等的特殊判定方法:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,并会用“SSS,SAS,ASA,AAS及HL”证明两个直角三角形全等。
教学难点:(1)满足“边边角”分别对应相等的两个三角形不一定全等,但满足“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形”符合“边边角”的条件,两个直角三角形却是全等的。
(2)要注意用HL直角三角形全等的证明格式集体备教教学过程:1、复习与回顾:(1)判定两个三角形全等的方法是,,,(2)回顾直角三角形的边、角的名称及相关性质。
2、尝试归纳两个直角三角形全等的判定方法:如图,AB⊥BE于B,D E⊥BE于E,(1)若∠A=∠D,AB=DE,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”),根据(用简写法)。
(2)若∠A=∠D,BC=EF,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”),个性补教AB CE FD根据(用简写法)。
(3)若AB=DE,BC=EF,则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”),根据(用简写法)。
(4)若∠A=∠D,AC=DF则△ABC与△DEF (填“全等”或“不全等”),根据(用简写法)。
归纳:两个直角三角形全等的类型:ASA ,AAS ,SAS ,AAS (一锐角一直角边,一锐角一斜边,两直角边,共四种情形) 3、探究:一斜边一直角边对应相等,两直角三角形是否全等?(1)情景引入如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由。
直角三角形全等的判定HL人教版八级数学上册优质课件
1直2.角2三第角4形课全时等的直判角定三H角L人形教全版等八的级判数定学(H上L)册-2优02质0秋课人件教版 八年级 数学上 册课件 (共20 张PPT)
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图 12-2-44
12.2 第4课时 直角三角形全等的判定(HL)-2020秋 人教版 八年级 数学上 册课件 (共等的判定(HL)-2020秋 人教版 八年级 数学上 册课件 (共20 张PPT)
证明:(1)∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠CED=∠AFB=90°, 在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中,ABBF==CDDE,, ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),∴AF=CE; (2)∵Rt△ABF≌Rt△CDE, ∴∠C=∠A,∴AB∥CD.
A.HL C.SAS
B.ASA D.AAS
图 12-2-39
1直2.角2三第角4形课全时等的直判角定三H角L人形教全版等八的级判数定学(H上L)册-2优02质0秋课人件教版 八年级 数学上 册课件 (共20 张PPT)
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5.如图 12-2-41,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,要使△ABD≌△ACD,若根据 “HL”判定,还需要加条件___A_B_=__A__C____,若加条件∠B=∠C,则可用___A_A__S___判 定.
2018初二数学公开课---直角三角形全等的判定(HL)
件“对顶角相等”. 例 5 .已知:如图,AE⊥AB,BC⊥AB,AE=AB,ED=AC.求证:ED⊥AC.
在 Rt△ABD 与 Rt△CDB 中,∵AD=CB,BD=DB, ∴Rt△ABD≌Rt△CDB( HL).∴AB=DC. (2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB(已证), ∴∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC. 善于发现隐藏条件“公共边”. 例 4 已知:如图,AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD.求证:AD=BC.
例 1 下列说法正确的是(C) A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B.斜边相等的两个直角三角形全等 C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D.一边长相等的两等腰直角三角形全等 直角三角形除了一般证全等的方法,“HL”可使证明过程简化,但前提是已知两个直
角三角形,即在证明格式上表明“Rt△”. 例 2 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等,不全等的画“×”,全等的注明理由.
4 × 1 ab+(b-a)2=c2,化简可证。 2
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法,达 300 余种。这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数 学家之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。
A
aD
c
b
E
c
a
B bC
b a
c
c b
a
a
c
b
a a
c
bc
a
b
全国优质课一等奖人教版初中八年级上册数学《直角三角形全等的判定(HL)》公开课课件
证明:连接DC.
∵AC⊥AD,BC⊥BD,
∴∠A=∠B=90°,
在Rt△ADC和Rt△BCD中,
AB BA
AC
BD
∴Rt△ADC≌Rt△BCD (HL),
∴AD=BC.
已知:如图,AB⊥BC,AD⊥DC,AB=AD,求证:BC=DC.
证明:连接AC.
∵AB⊥BC,AD⊥DC,
∴∠B=∠D=90°,
(2)解:∠B+∠AFD=180°,理由如下:
由(1)得:△ACD≌△AED, ∴DC=DE,
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
DC DE
DF
DB
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL), ∵∠CFD+∠AFD=180°,
∴∠CFD=∠B,
∴∠B+∠AFD=180°.
例4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB 于E,点F在边AC上,连接DF. (3)在(2)的条件下,若AB=m,AF=n,求BE的长(用含m,n的代数
若AB=DE,AC=DF,此时△ABC与△DEF还会全等吗?
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°,再画一个Rt△A′B′C′,使得 ∠C′=90°,B′C′=BC,A′B′=AB. 把画好的Rt△A′B′C′剪下,放到Rt△ABC上, 它们全等吗?
直角三角形“HL”判定方法 文字语言:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
式表示).
(3)解:由(2)知,Rt△CDF≌Rt△EDB, ∴CF=BE, 由(1)知AC=AE, ∵AB=AE+BE, ∴AB=AC+BE, ∵AC=AF+CF, ∴AB=AF+2BE, ∵AB=m,AF=n, ∴BE=12(m﹣n).
三角形全等的判定第4课时用“HL”判定直角三角形全等课件(共23张PPT)
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
随堂练习
1.如图,AB = CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为 E,F,CE = BF. 求证:(1) AE = DF. 分析: CE - EF = BF - EF. 即 CF = BE
Rt△ABE≌Rt△DCF ( HL )
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
课堂小结
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等( “斜边、直角边”或“HL”).
用“HL”判定 直角三角形全等
前提条件 在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个条件是一组对 应边相等)
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
针对训练 1.如图,C 是路段 AB 的中点,两人从 C 同时出发,以相同的速度分别 沿两条直线行走,并同时到达 D,E 两地. DA⊥AB,EB⊥AB. D,E 与 路段 AB 的距离相等吗?为什么?
分析: CA = CB, CD = CE, ∠A =∠B = 90°.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
②当 P 运动到与 C 点重合时,AP=AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△PQA 中,
AB=PQ, AC=PA, ∴ Rt△ABC≌Rt△PQA (HL). ∴ AP=AC=10 cm. 综上, 当 AP=5 cm 或 10 cm 时,△ABC 才能和△APQ 全等.
12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等
用符号语言表达: 在 Rt△ABC 与 Rt△A'B'C' 中,∠C=∠C'=90°
AB = A'B' ∵
探索直角三角形全等的条件(HL) 公开课一等奖课件
议一议
∠ABC+∠DFE=90° .
解:在Rt△ABC和Rt△DEF中,
则 BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90° .
小结:这节课你有什么收获呢?
与你的同伴进行交流
孙老师说,杨蕙心学习效率很高,认真执行老师 的复习要求,往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量,而且计划性强,善于自我调节。此 外,学校还有一群与她实力相当的同学,他们经 常在一起切磋、交流,形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得,杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法, 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中,她常做 的事情就是告诫自己要坚持,不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中,她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校:
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨:杨蕙心是一个目标高远 的学生,而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点,一般同 学两三个小时才能完成的作业,她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强,这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题, 她能很快找到问题的原因,并马上拿出 解决办法。
2. 如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆 上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩 离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由。
解:BD=CD 因为∠ADB=∠ADC=90° AB=AC AD=AD 所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) 所以BD=CD
1.2直角三角形全等的判定(HL定理)(教案)
-理解HL定理的适用条件:仅适用于直角三角形,非直角三角形不适用。
-识别全等证明中的已知条件和未知条件,特别是如何从题目中提取关键信息。
-理解全等证明的逻辑顺序,如何从已知条件出发,逐步推导出全等关系。
-解决实际问题时,如何构建直角三角形模型,并将HL定理应用于问题求解。
举例:在解决一个直角三角形的斜边和一条直角边长度已知的问题时,学生可能难以直接联想到使用HL定理。难点在于如何引导学生从问题中识别出这是一个直角三角形全等的问题,并应用HL定理来求解。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“直角三角形全等在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中,我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法——HL定理。首先,通过日常生活中的例子导入新课,我发现学生的兴趣被成功激发,他们对于几何学的实际应用表现出了浓厚的兴趣。这一点让我感到欣慰,也让我认识到,将理论知识与生活实际相结合是提高学生学习兴趣的有效途径。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了直角三角形全等的判定方法——HL定理的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形全等的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
直角三角形全等判定HL(全国优质课)
A(A′)
A A′
C
B
C′
B′
B
C(C′)
B′
8
直角三角形全等的条件
有斜边和一条直角边对应相等的两个直斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°
BC=
∴ BD=CD
20
4、已知,如图AB⊥BD,CD⊥BD,AB=DC 求证:AD//BC.
证明:∵ AB⊥BD,CD⊥BD ∴∠ABD=∠CDB=900 在RtABD和RtCDB中, ∵AB=CD,(已知) ∠ABD=∠CDB=900 BD=DB(公共边) ∴RtABC≌RtBAD(S.A.S.)
21
BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°
31
作业
课堂作业:随堂练习 课后作业:练习册同步内容。
32
33
情况2:全等 ( HL)
一、判断:满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
情况3:不全等
15
5.一个锐角及一边对应相等的两个直角三角形.
不一定全等
16
例1
已知:如图,在△ABC和△ABD中,AC⊥BC, AD⊥BD, 垂足分别为C,D,AD=BC,求证: △ABC≌△BAD.
证明:∵ AC⊥BC, AD⊥BD ∴∠C=∠D=90° 在Rt△ABC和Rt△BAD中
5、已知:如图, △ABC中,AB=AC,AD是高 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD
人教初中数学八上《第14课时 直角三角形全等判定(HL)》课件 (高效课堂)获奖 人教数学2022
探索新知
追问3 你能用数学语言概括前面的结论吗?
成轴对称的两个图形的性质:
如果两个图形关于某条
直线对称,那么对称轴是任A
M
何一对对应点所连线段的垂 P
直平分线.即对称点所连线
段被对称轴垂直平分;B对称 轴垂直平分对称点所连线段.
CN
A′
B′ C′
探索新知
问题4 下图是一个轴对称图形,你能发现什么结
在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF,因 此这两个三角形是全等的,这样∠ABC=∠DEF,所
以∠ABC与∠DEF是互余的.
【教学形式】这个问题涉及的推理比较复杂, 可以通过全班讨论,共同解决这个问题,但不需 要每个学生自己独立说明理由,只要求学生能看
懂三位同学的思考过程就可以了.
直角三角形全等判定(HL)
回顾交流
【问题探究】 下图是两个直角三角形,除了直角相等的条件, 还要满足几个条件, 这两个直角三角形才能全等?
小组讨论,发表意见:“由三角形全等条件 可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对 应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角
形就全等了.”
舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想 知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形
证明:∵AC⊥BC,BD⊥BD, ∴∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). ∴BC=AD.
【评析】在证明两个直角三角形全等时,要 防止学生使用“SSA”来证明.
随堂练习
课本练习1、2题. 如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度 AC•与右边滑梯水平方面的长度DF相等,两个滑梯
论?能说明理由吗? l
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1
回 顾 与 思 考
SAS 。 1、判定两个三角形全等方法, SSS , ASA , AAS , 2、如图,AB⊥BE于B,DE ⊥BE于E, 全等 (1)若 ∠A= ∠D,AB=DE,则 △ABC与 △DEF ______, ASA (填“全等”或“不全等”)根据________. 全等 (2)若 ∠A= ∠ D,BC=EF,则 △ABC与 △ DEF_____ AAS (填“全等”或“不全等”)根据_________. (3)若AB=DE,BC=EF,则 △ABC与△DEF 全等 (填“全等” SAS 或“不全等”)根据________ (4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF 则△ABC与△DEF 全等 (填 “全等”或“不全等”), SSS 根据_______ A F C D2 E
A
{
∴Rt△ABP≌Rt△DEQ (HL) ∴ ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中 ∠BAC=∠EDF AB=DE ∠B=∠E
B
P D
C
{
∴△ABC≌△DEF (ASA)
E
Q
F
思维拓展
已知:如图,在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证:△ABC≌△DEF A
求证: △ABC≌△A’B‘C’
A(A′)
A A′
C
B
C′
B′
B
C(C′)
B′
8
直角三角形全等的条件
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”定理 或“HL”
9
斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°
BC=
AC=DF (1) _______,∠A=∠D ( ASA ) BC=EF (2) AC=DF,________ (SAS)
A
(3) AB=DE,BC=EF ( HL
AB=DE (4) AC=DF, ______ ( HL )
)
C
D
B
(5) ∠A=∠D, BC=EF ( AAS )
∠B=∠E (6) ________,AC=DF ( AAS ) E
情况2:全等 ( HL)
一、判断:满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
情况3:不全等
15
5.一个锐角及一边对应相等的两个直角三角形.
不一定全等
16
例1
已知:如图,在△ABC和△ABD中,AC⊥BC, AD⊥BD, 垂足分别为C,D,AD=BC,求证: △ABC≌△BAD.
证明:∵ AC⊥BC, AD⊥BD ∴∠C=∠D=90° 在Rt△ABC和Rt△BAD中
C
A
N
△ABC就是所求作的三角形.
5
动动手 做一做 比比看
把我们刚画好的直角三角形剪下来,和同桌的比比 看,这些直角三角形有怎样的关系呢?
B
5cm 5cm
B′
A
4cm
C
A′
4cm
C′
B C Rt△ABC≌ Rt △ A ′′′
7
已知:如图,在△ABC和△A’B‘C’中, ∠ACB=∠A‘C’B‘=90°,AB=A’B‘,AC=A’C‘
3
∴AD⊥BC (垂直定义)
已知线段a=4cm、c=5cm,利用尺规作 一个Rt△ABC,使∠C=900 ,CB=a, AB=c.
4cm
5cm
4
按照下面的步骤做:
⑴ 作∠MCN=90°;
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a;
M B
M
C
N
C ⑷ 连接AB. M B
N
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧, 交射线CN于点A; M B C A N
F
29
在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直 线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于E. (1)若BC在DE的同侧(如图①)且 AD=CE,说明:BA⊥AC. (2)若BC在DE的两侧(如图②)其他 条件不变,问AB与AC仍垂直吗?若是请 予证明,若不是请说明理由.
30
如图,有两个长度相同的滑梯,左 边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方 向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜 角∠ABC和∠DFE的大小有什么关 系? 解:在Rt△ABC和Rt△DEF中,
5、已知:如图, △ABC中,AB=AC,AD是高 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD
证明:∵AD是高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ADB和Rt△ADC中 AB=AC
AD=AD ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC(HL)
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD
{
A
等腰三角形三线合一
B
D
C
例2
已知:如图,在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证:△ABC≌△DEF A
分析: △ABC≌△DEF ∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E
B
Rt△ABP≌Rt△DEQ
AB=DE,AP=DQ
E
P D
C
Q
F
已知:如图,在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证:△ABC≌△DEF
证明:∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高 ∴∠APB=∠DQE=90° 在Rt△ABP和Rt△DEQ中 AB=DE AP=DQ
小结
P D
C
E
Q
F
小结
拓展
一般三角 形全等的 判定
“SAS”“ ASA ” “ AAS ” “ SSS ”
直角三角 形全等的 判定
“ “ SAS “ ASA ” “ AAS ” SSS ” “ HL ” ”
应用
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
把下列说明 Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或 根据补充完整.
BD=CD
∴ △BED≌△CFD(H.L) (2)证明 :
(第 1 题)
18
2.如图,AC=AD, ∠C=∠D=90°, 求证: BC=BD
证明:∵ ∠C=∠D=90° ∴ △ABC与△ABD都是直角三角形 在Rt△ABC与Rt△ABD中 AB=AB(公共边)
AC=AD
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(H.L.) ∴BC=BD(全等三角形对应边相等)
P D C
小结
E
Q
F
思维拓展
已知:如图,在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证:△ABC≌△DEF A
变式1:若把∠BAC=∠EDF,改为BC=EF , △ABC与△DEF全等吗?请说明思路。 变式2:若把∠BAC=∠EDF,改为AC=DF, △ABC与△DEF全等吗?请说明思路。 B 变式3:请你把例题中的∠BAC=∠EDF改 为另一个适当条件,使△ABC与△DEF仍能 全等。试证明。
BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°
31
作业
课堂作业:随堂练习 课后作业:练习册同步内容。
32
33
A B B A B C A D
D
C
A
B
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL)
练习
1.如图,在 △ABC 中,BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC,E、F为垂足, DE=DF,求证: (1)△BED≌△CFD. (2)求证:△ABC是等腰三角形。
(1)证明 :∵ DE⊥AB, DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BED与Rt△CFD中, DE=DF
B
4.已知:如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD 是连结A与BC中点D的支架.求证:AD⊥BC
A
证明:在△ABD与△ACD中
2 1
(公共边) B D ∴ △ABD≌ △ACD (SSS) ∴∠1 = ∠2 (全等三角形的对应角相等)
C
∴∠1 =
1
∠BDC=900 (平角定义) 2
证明两直线垂直或一个角是 直角,可转化为证该角和它的 邻补角相等
2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形. 全等 ( ASA)
一、判断:满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
3.两直角边对应相等的两个直角三角形. 全等 ( SAS)
一、判断:满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么? 4.有两边对应相等的两个直角三角形. 不一定全等
情况1:全等 (SAS)
∴ BD=CD
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4、已知,如图AB⊥BD,CD⊥BD,AB=DC 求证:AD//BC.
证明:∵ AB⊥BD,CD⊥BD ∴∠ABD=∠CDB=900 在RtABD和RtCDB中, ∵AB=CD,(已知) ∠ABD=∠CDB=900 BD=DB(公共边) ∴RtABC≌RtBAD(S.A.S.)
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变式1:若把∠BAC=∠EDF,改为BC=EF , △ABC与△DEF全等吗?请说明思路。
B P D C
小结
E
Q
F
思维拓展
已知:如图,在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证:△ABC≌△DEF A