含参数的不等式问题

含有参数的不等式问题主耍有三种圭耍类型

第一种类型：解含有参数的不等式;

第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件, 求参数的范IS;

第三种类型：已知含有参数的不等式往某个条件下恒成立，能成立胎成立或部分成立, 求参数的范圉・

一、解含有参数的不等式

例1、(2004年辽宁18)

解关于t的不等式|兀・1|+°-1>0(°wR)・

已知函lf(x)=丄三⑺,方为常数)，

ax + b

方程f (兀)-兀+ 12 = 0有两个实根=3,兀2 =4・

设尤>1,解关*的不等式：f(x)<(k + 1)X~k

有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的，所给出的条件可以是含参数的不等式的充分条件, 也可以是充分必要条件，在解题时,要注意所给出的条件在含参数的不等式中的作用，从而弄清给定的条件与含参数的不等式的解集的相互关系.

例3、（2004年上海19）记函杯）彳2-占的定义域加

g(x) = lg[(x-a-l)(2a -x)](a < 1)的定义域沏.

⑴求A；

（2）若Bq A,求实麵的取值范冃

ae(-oo,-2]Y[i,l).

2

■4x2 -7

已知函数（兀）= ---- e[0,l].

2-x

（lW（x）的单调区间和值域；

(2)设a 函^g(x) = x3 -3a2x -2a^x w[0，l]，

若对任意T] G[0,l],总存毎o w[0,l],使得以兀0）= /（石）成立求实频的取值范围

⑴当X e （0,斗）时,/（乂）是减函数当x e （|,m,/（x）是增函数乙Z

/（劝的值域为-4-3]；

例5、(2004年辽宁18)

三、不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题

⑴解关壬V的不等式］x・l| + a-l>O(a eR);

(2)记A为(1冲不等式的解集

集合B = {x sin(;zx -—) + V3 cos(亦-—)=0}，

3 3

若(C R A)I B恰有3个元素求°的取值范围

(2)-l

例6、(2005年辽宁16)

馄正实数设S^, = \o\f(x) = cos[fi?(x + 0)堤奇函勤.

若对每个实数有»1 (°皿+ 1)的元素不超过个，且有d 使»1 @皿+ 1)含2个元素则血的取值范围是

1、恒成立问题

若不等式f(x) >a在区间D上恒成立,则等价于函数f (x)在区间D上的最小值大于a ;若不等式f(x)vb在区间D上恒成立，则等价于函数在区间上D的最大值小于b.

2、能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式f (x) >a成立，即f(x)>a 在区间D上能成立,则等价于函数f(x)在区间D上的最大值大于

a ;若在区间D上存在实数x使不等式f(x)vb成立，即f (x) <

b 在区间D上能成立「则等价于函数f (x)在区间D上殆最小值小工b.

3、恰成立问题

若不等式f(x) >a在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>a的解集为D ;若不等式f(x)vb在区间D上恰成立, 则等价于不等式

三、不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题

f (x) < b的解集为D.

例7、(2004年辽宁22)

已知函数(x) = ln(e x +d)(a >0).

⑴求/•⑴的反函魏=厂(兀)及几兀)的导類'(兀)；

(2)假设对任意:w[ln(3d),ln(4a)],不等式

如广1(兀)| + ln(广(Q)vO成立，求实数i的取值范围

(2)ln(—«)

5

例8、(2004年福建21)

已知函lf(x) = 牛^(兀G 1?)在区间-1,1］上是增函数

x2 + 2

(1)求实数z的值所组成的集合；

⑵设关无的方W) = -的两根为1、兀2・

X

试问：是否存在实麴，使得不等式

m2 + to +1 ＞卜i -兀2I对任意^ G A及f e ［-1,1］恒成立？

若存在, 求酬的取值范围; 不存在请说明理由(2)m > 2或加 < -2.

10,函^f(x) = (x2—2ax)e x.

设几兀）在［-LL］上是单调函数求实数i的取

值范冃

例10、（2005年湖南21）

已知函数'(兀)=Inxyg(x) = —ax2+bx^a工0.

2

若方=2,且九（兀）=/（兀）_g（x）存在单调递减区间

求实数i的取值范围

例11、（2005年辽宁22）

3 -

若关于的不等+l>ax+b >— 0在［0, + oo)上

2

恒成立其中4、〃为实数求实魏的取值范围及与方所满足的关系

已知r =1是函^(x) = mx3 -3(m + l)x2 +HX + 1 的—个极值;中加、n e R^jn < 0.

（1）求加与〃的关系表达式；

⑵求/⑴的单调区间;

（3）Sx G [-1,1时，函数y = /（兀丿的图象上任意一#

的切线的斜率恒大血，求实数w的取值范围（l）n = 3m + 6;

⑵/（兀）在（-8，1 + Z）和（1，+8）上单调递减

m

在(1+-,1)上单调递增; m

4

(3) - —< m V 0・

3