高中数学隐含条件的挖掘

目录一引言 (1)二．从概念与性质中挖掘隐含条件 (1)（一）严格查看概念与性质，从概念与性质中去挖掘隐含条件 (1)三．从类比中去挖掘隐含条件 (2)（一）仔细分析已知条件，从类比中挖掘隐含条件 (2)（二）利用“降维思想”将空间问题转化为平面问题，从类比中挖掘隐含条件 (2)四．从推理中挖掘隐含条件 (3)（一）严格审视求证结论，从推理中挖掘隐含条件 (3)（二）联系数列方程与韦达定理，从推理中去挖掘隐含条件 (3)五．从题目的结构特征中挖掘隐含条件 (4)（一）从题目中挖掘数学公式 (4)（二）从题目中挖掘几何图形 (4)六．从联想中挖掘隐含条件 (5)（一）类比联想数量关系，从认知动因与方法中挖掘隐含条件 (6)（二）联想数列方程，从抽象函数中挖掘隐含条件 (6)七．从联系中挖掘隐含条件 (7)（一）联想中审视已知条件，从联系中挖掘隐含条件 (7)（二）仔细分析条件，从联系中挖掘隐含条件 (7)八．从数形结合中挖掘隐含条件 (7)（一）仔细分析已知条件，从图形特征中挖掘隐含条件 (7)（二）利用转化思想，从图形特征中挖掘隐含条件 (8)九．结束语 (9)十．参考文献 (10)引 言随着近几年高考数学难度的增大，减轻了计算难度，加大了对思维能力的考查。

许多数学试题看起来很常见，但做起来却非常困难，原因这几年的高考题所给题的信息比较隐晦，有隐含条件，这是高考数学成绩低的一个重要原因之一。

因此，为了提高高考学子的挖掘隐含条件的能力，使他们在较短的时间内提高数学解题的能力，提高他们的数学成绩本文拟从概念与性质中，从类比中，从推理中，从题目的结构特征中，从联想中，从联系中，从数形结合中七个方面去挖掘隐含条件。

隐含条件是指数学问题中那些若明若暗,含而不露的已知条件,或者从题设中不断挖掘并利用条件进行推理和变形而从新发现的条件.它的表现形式主要包括:(1)问题中的字母,变量或关系式所隐含的制约条件和取值范围;(2)问题中的字母,变量或关系式所隐含的几何图形的特征和位置关系;(3)问题所涉及的基本概念,它所属对象的性质;(4)问题所适合的数学模型或公式,定理,法则;(5)生产,生活的实际问题中所讨论的变量的适用范围及相互间满足的关系.一． 从概念与性质中挖掘隐含条件（一）严格查看定义，从概念与性质中挖掘隐含条件定义与性质是数学解题（证明）的出发点，虽然这是浅层次的隐含条件，但不注意也会变成深层次的隐蔽条件，如一元二次方程的二次项系数不为零，指数函数的底数是非1正数等。

例1 无穷数列{}n a 中，111(),313,1(),313n n n n a n k k n a n k --⎧=≠-⎪⎪∈⎨⎪=-=-⎪⎩时，则此数列的各项和为21/26，证明这个命题。

挖掘隐含条件的分析：首先，数列通项是一个分段函数，这是隐含条件，其次，数列是一个以自然数为自变量的函数，它的值域也是由自然数组成的分数，当n=3k-1时，即n被3除不足1时，换句话说，n 被3除余2时，由13n⎛⎫- ⎪⎝⎭表出，否则，31n k ≠-时，即被3除余数不为2时，数列用13n⎛⎫⎪⎝⎭表出，第三，揭示这“无穷递缩等比数列”的关键 是把数列揭示出来：0123456711111111(),(),(),(),(),(),(),()33333333---从定义和性质中，挖掘隐含条件得出三个首项不同，而公比相同的三个“无穷递缩等比数列”（1）036111(),(),(),333（2）147111(),(),(),333--- （3）258111(),(),(),33303614712258312311127111()()(),()()()3332633391113,()()()263332627932126262626S S S S S S =+++==----=-=+++=-++=++=二 从类比中挖掘隐含条件（一）仔细分析已知条件，从类比中挖掘隐含条件从相似比较中挖掘隐含条件的实质是类比，是一种铺垫激活策略。

例2已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:22213a b c ++≥证明:设113a t =+,213b t =+,313c t =+,则1230t t t ++=∴222a b c ++=222123111()()()333t t t +++++=22212312312()33t t t t t t ++++++=22212313t t t +++13≥ 这是高中学习阶段的一个重要的题型，本题提供了一个很好的解法，循环增量换元法。

例题如下：已知m ，n ，k 均大于1，求证：()()()222log log log 1.m n k mnk mnk mnk ++≥如果被比较的两道题中，前者是认知者已经掌握的知识，后者是认知者目前还不会证明的，在两个中仔细观察分析中，发现隐含条件是log log log 1m n kmnk mnk mnk ++=，这样这题的解法就被激活了。

上述两题的条件一样，要证明的结论也一样，只不过第二个看起来形式复杂一些，但它们本质上是一样的。

（二） 利用降维思想将空间问题转化为平面问题，从类比中挖掘隐含条件例3求证：正四面体内任意一点到各个面的距离之和为定值 证明：如图1，将正四面体与正三角形类比：正三角形内任意一点到各个边的距离之和为定值（等于此三角形的高），只须用平积法即可得到结论，那么我们只须用体积法来处理本例。

设四面体A-BCD 内一点O 到各个面的距离分别是1234,,,h h h h ，O 点与四个面构成了四个小四面体，则它们的体积之和等于原四面体的体积，即1234112233441111,3333V V V V V h s h s h s h s =+++=+++其中1234S S S S S ====为四个三角形的面积，则1234123411(),33Sh S h h h h h h h h =+++∴+++为定值。

（h 为正四面体的高） “降维思想”是一重要的类比的方法，空间中的许多问题都可以用这一类比方法去解决。

三 从推理中挖掘隐含条件（一） 严格审视求证结论，从推理中挖掘隐含条件根据手段——目的分析的策略，解题的实质是消除或缩小当前状态与目标状态的差异，并运用数学知识与方法来缩小这种差异，直到问题解决。

例4 在三角形ABC 中，求证：2221222A B Ctg tg tg ++≥ 由此题的结构特征我们想到了“交叉不等式”，要想证明上述结论成立，不妨看一看222222A B B C C Atgtg tg tg tg tg ++是否大于或等于1。

这样或许能消除已知条件与求证之间的差异，这是推理中所需要解决的问题，事实上，122()2222221222222B CtgtgA B C B C tg tg ctg B C tg tg A B B C C A tg tg tg tg tg tg π-++=-==⇒+++= 这是由推理所得出的隐含条件，它的发现把已知和求证之间的差异彻底消除了。

所以命题B OADC图1得证。

实际上，推理的过程中也需要我们观察题目特征，联想有关的数学公式，这样或许能够帮助缩短已知、求证之间的差异，进而使推理有效的进行。

（二）联系数列方程与韦达定理，从抽象函数中挖掘隐含条件有的数列方程与降标方程一起，表明数列的两个项是二次方程之两根，于是根据韦达定理而得一可解型方程。

例5 数列{}n a满足010,5n n a a a +==求其通项。

解：去根号化为：22111010*n n n n a a a a ++-+-=降标得：22111010n n n n a a a a ---+-=也就是：22111010**n n n n a a a a ---+-=*与**式表明1n a +与1n a -是方程2210(1)0n n x a x a -+-=的两个根。

这是该题的隐含条件，利用它将该题转化为较简单的数列问题。

于是由韦达定理有：1110n n n a a a +-+=特征方程：21010,5y y y -+=⇒=±((1255nnn a c c ∴=++-注意到105a a =，有：(((1212120,1552424552424nnn c c c c c c a =+=++-⇒==-∴=+-- 本题隐含条件的挖掘不仅需要学习者有丰富的数列方程知识，而且还需要观察能力。

四 从题目的结构特征中挖掘隐含条件解题时，如果题设中隐含着与某些数学概念、公式具有类似结构的数式或图形信息，则应抓住结构特征，挖掘隐含条件，用构造的方法转化研究对象，使问题顺利解决。

（一）从题目中挖掘所应用的数学公式例6 求函数32412x x y x x -=++的值域。

分析：分子，分母为x 的高次幂且上下又无公因式，无法直接进行解答。

但是，注意到分母可以分解为()221x +，分子可以分解为()21x x -，即32242212112211x x x x y x x x x--==⋅⋅++++。

联想到三角中万能公式，令x tg α=，则 11sin 2cos 2sin 4,24y ααα=⋅=所以11,44y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦本题的函数表达式中隐含着数学公式，能挖掘出来这一条件可使问题顺利解决。

（二）从题目中挖掘所应用的几何模型例7已知锐角,,αβγ满足222cos cos cos 1αβγ++=，求证：tg tg tg αβγ++≥分析：直接用三角方法来证颇感棘手，若由条件联想到立体几何中长方体对角线的性质则茅塞顿开。

证明：构造长，宽，高分别为,,a b c 的长方体1111ABCD A B C D -，如图2，使其对角线1AC 与棱,AB AD ，1AA 的夹角分别为,,αβγ，显然222cos cos cos 1αβγ++=，且tg tg tg αβγ===则tg tg tg αβγ++≥)b c c a a b a b c +++++[()()()]b a c a c b a b a c b c +++++22)≥++=当且仅当a=b=c 时取等号，即αβγ==时结论成立。

此题也体现了数形结合思想，题目的结构特征隐藏着数学模型。

利用数形结合这一转化方法把问题的难度降低了，这有利于培养思维的独创性。

五．从联想中挖掘隐含条件（一）类比联想数量关系，从认知动因与方法中挖掘隐含条件在数学教学中，既有激活认知动因的策略，还有激活认知内容与方法的策略。

前者靠联想，后者靠类比。

解题过程既是联想过程，又是类比过程。

1D 图2A1C B1A C1B D例8 一个等比数列的前n 项和是48，前2n 项的和是60，则前3n 项的和是多少？ 挖掘隐含条件的分析：读者根据认知动因的激活策略，联想到等差数列的类似题，必须分清前n 项，次n 项与后n 项是与题设中的前n 项，前2n 项与前3n 项是完全不同的概念，为了挖掘隐含条件，解题经验说明一个等差数列的前n 项之和，次n 项之和与后n 项之和也同样成等差数列，试问此题中等比数列的前n 项之和，次n 项之和与后n 项之和是否也成等比数列呢？这即可以证明，又可以用特殊激活一般的策略，设2，4，8，16，32，64 成等比数列，前2项的和是6，次2项的和是24，后2项的和是96，同样也成等比数列，其公比是4（原公比是2）。