高三数学专题——恒成立与存在性问题

高三复习专题——恒成立与存在性问题

知识点总结：

(1)恒成立问题

1. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A；

2. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则f(x)ma x

3. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立，则F(x)=f(x)- g(x) >0，∴F(x)min >0

4. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)- g(x) ﹤0，∴F(x) ma x﹤0

5. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)ma x

6. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1)

(2)存在性问题

1. ∃x0∈D,使得f(x0)>A成立，则f(x) ma x >A；

2. ∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则f(x) min

3. ∃x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立，设F(x)=f(x)- g(x)，∴F(x) ma x >0

4. ∃x0∈D,使得f(x0)

5. ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x) ma x > g(x) min

6. ∃x1∈D, ∃x2∈E,均使得f(x1)

(3)相等问题

1. ∀x1∈D, ∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{ f(x)}{g(x)}

(4)恒成立与存在性的综合性问题

1. ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)m in>g(x)m in

2. ∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1)

(5)恰成立问题

1. 若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D；

2.若不等式f(x)

► 探究点一 ∀x ∈D ，f (x )>g (x )的研究

例1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，x

a x g =)(，其中0>a ，0≠x ． 对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；

【思路分析】等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，通过分离变量，创设新函数求最值解决．

简解：（1）由12012232

++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是

320<

► 探究点二 ∃x ∈D ，f (x )>g (x )的研究

对于∃x ∈D ，f (x )>g (x )的研究，先设h (x )＝f (x )－g (x )，再等价为∃x ∈D ，h (x )max >0，其中若g (x )＝c ，则等价为∃x ∈D ，f (x )max >c .

例 已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10.

(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；

(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x ，使得f (x )<0成立，求实数a 的取值范围．

【解答】 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ，f (2)＝14，

曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率k ＝f ′(2)＝8，

所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (x ))处的切线方程为

8x －y －2＝0.

(2)解法一：f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝⎛⎭

⎫x －23a (1≤x ≤2)， 当23a ≤1，即a ≤32时，f ′(x )≥0，f (x )在[1,2]上为增函数，

故f (x )m in ＝f (1)＝11－a ，所以11－a <0，a >11，这与a ≤32矛盾．

当1<23a <2，即32

当1≤x <23a ，f ′(x )<0；当23a 0，

所以x ＝23a 时，f (x )取最小值，

因此有f ⎝⎛⎭

⎫23a <0，即827a 3－49a 3＋10＝－427a 3＋10<0，解得a >3352，这与32

4a <0，解得a >92，这符合a ≥3.

综上所述，a 的取值范围为a >92.

解法二：由已知得：a >x 3＋10x 2＝x ＋10x 2，

设g (x )＝x ＋10x 2(1≤x ≤2)，g ′(x )＝1－20x 3，

∵1≤x ≤2，∴g ′(x )<0，所以g (x )在[1,2]上是减函数．

g (x )m in ＝g (2)，所以a >92.

【点评】 解法一在处理时，需要用分类讨论的方法，讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用的参数分离，由于ax 2>x 3＋10中x 2∈[1,4]，所以可以进行参数分离，而无需要分类讨论．

► 探究点三 ∀x 1∈D ，∀x 2∈D ，f (x 1)>g (x 2)的研究

例、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4

1[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．

思路分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．

方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；

方法2：变量分离，)(

10x x

a b +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a x a ϕ，]2,21[∈a 简解：

方法1:对b x x a b x x g x h ++=

++=)()(求导，22))((1)(x

a x a x x a

x h +-=-='， 由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者． ⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴a b a b b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ．

► 探究点四 ∀x 1∈D ，∃x 2∈D ，f (x 1)>g (x 2)的研究

对于∀x 1∈D ，∃x 2∈D ，f (x 1)>g (x 2)的研究，第一步先转化为∃x 2∈D ，f (x 1)m in >g (x 2)，再将该问题按照探究点一转化为f (x 1)m in >g (x 2)m in .

例、已知函数f (x )＝2|x －m |和函数g (x )＝x |x －m |＋2m －8.

(1)若方程f (x )＝2|m |在[－4，＋∞)上恒有惟一解，求实数m 的取值范围；

(2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[4，＋∞)，

使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．

【解答】 (1)由f (x )＝2|m |在x ∈[－4，＋∞)上恒有惟一解，

得|x －m |＝|m |在x ∈[－4，＋∞)上恒有惟一解．

当x －m ＝m 时，得x ＝2m ，则2m ＝0或2m <－4，

即m <－2或m ＝0.

综上，m 的取值范围是m <－2或m ＝0.

(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －m x ≥m ，2m －x x g (x 2)m in .

①当4≤m ≤8时，f (x )在(－∞，4]上单调递减，故f (x )≥f (4)＝2m －4，g (x )在[4，m ]上单调递减，[m ，

＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (m )＝2m －8，所以2m －4>2m －8，解得46.

所以4