电磁场理论课程习题答案

电磁场理论习题集信息科学技术学院

第1章

1-1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。 1-2 试证明：任意矢量E 在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即

∇ ⋅ (∇ ⨯ E ) = 0

1-3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程

t

∂∂-=∇⋅ρ

J

1-4 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为 ε1和 ε2，分界面两侧电场强度矢量E 与单位法向矢量n 21之间的夹角分别是 θ1和 θ2。假设两种媒质分界面上的电荷面密度 ρS = 0，试证明：

2

1

21tan tan εεθθ=

上式称为电场E 的折射定律。

1-5 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为 μ1和 μ2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量J S = 0，把图中的电场强度矢量E 换成磁感应强度矢量B 。试证明：

2

1

21tan tan μμθθ=

上式称为磁场B 的折射定律。若 μ1为铁磁媒质，μ2为非铁磁媒质，即 μ1>>μ2 ，当 θ1 ≠ 90︒ 时，试问 θ2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。

1-6 已知电场强度矢量的表达式为

E = i sin(ω t - β z )＋j 2cos(ω t - β z )

通过微分形式的法拉第电磁感应定律t

∂∂-=⨯∇B

E ，求磁感应强度矢量B (不必写出与时间t 无关的积分常数)。

1-7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R ，间距为d 。其间填充介质的介电常数 ε 。如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I (t ) = I 0sin(ωt )。忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D 。

1-8 在空气中，交变电场E = j A sin(ω t - β z )。试求：电位移矢量D ，磁感应强度矢量B 和磁场强度

矢量H 。

1-9 设真空中的磁感应强度为

)106sin(10)(83kz t e t B y -⨯=-π

试求空间位移电流密度的瞬时值。

1-10试证真空中麦克斯韦方程对于下列变化具有不变性

⎪⎩

⎪⎨⎧+-='+='θθθθcos sin sin cos B c E

B cB E E 式中，0

01

εμ=

c

为真空中的光速。

第2章

2-1 参看图2-5-1，无限大导板上方点P (0, 0, h ) 处有一点电荷q 。试求：z > 0半无限大空间的电场强度矢量E 和电位移矢量D ，以及导板上的面电荷密度 ρS 和总电荷量q 。

2-2 参看图2-6-3，如果将4块导板的电位分别改为：上板120 V ，左板40 V ，下板30 V ，右板90 V 。按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值：(1) 列出联立方程；(2) 用塞德尔迭代法求解；(3) 计算最佳加速因子 α；(4) 用超松弛迭代法求解；(5) 比较两种迭代法的结果和收敛速度。两种迭代方法的迭代次数都取n = 4。

2-3 参看图2-7-1，如果平板电容其中电荷分布的线密度为 ρ = ε0(1 + 4x 2)，其余条件相同，用矩量法(伽辽金法)求两导板之间的电位分布函数 ψ。选择基函数为

f n (x ) = x (1 - x n ) n = 1, 2, 3,…

2-4 参看例2-7-1以及该题示意图图2-7-1。如果在该问题中选择权函数为

x k R

x w k R x w 6)( 2)(2

211-=∂∂=-=∂∂=

和 上式中，R 是余数，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通过这种方式来选择权函数，又称为最小二乘法。在其他已知条件均不变的情况下，用最小二乘法来求解两导板之间的电位分布函数 ψ。

2-5 若带点球的内外区域中的电场强度为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧<>=a r a

qr a r r q

e E r ,,2

试求球内外各点的点位。

2-6 已知空间电场强度E = 3e x + 4e y - 5e z ，试求（0，0，0）与（1，1，2）两点间的电位差。

2-7半径为a 的球内充满介电常数为1ε的均匀介质，球外是介电常数为2ε的均匀介质。若已知球内和球外的电位为

⎪⎩

⎪

⎨

⎧≥=Φ≤=Φa

r r Aa r a r Ar r θθθ

θ221),(),(

式中

A 为常数，求

（1）

两种介质中的E 和D

；

（2） 两种介质中的自由电荷密度。

2-8一半径为a 的薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，如图题2-6所示，球内充满了总电荷量为

Q 的体电荷，球壳上又另充有电量Q ，已知内部的电场为4

)(a

r e E r =

（1）球内的电荷分布；

（2）球外表面的面电荷分布。

2-9中心位于原点，边长为L 的电介质立方体极化强度矢量为P =（1）计算面和体极化电荷密度； （2）证明总的极化电荷为零。

3-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的标量函数 ψ 和矢量函数A 都满足下面关系： (1) ∇ ⨯ (∇ψ) ≡ 0 ； (2) ∇ ⋅ (∇ ⨯ A ) ≡ 0

3-2 同轴线内、外半径分别为a 和b ，内外导体之间介质的介电常数为 ε，电导率为 σ。设在同轴线内外导体上施加的电压为U ab ，求内外导体之间的漏电流密度J 。

3-3 求图3-3-2中1/4垫圈两个弯曲面r = a 和r = b 之间的电阻。

3-4 参见3-4题图。某输电系统的接地体为紧靠地面的半球。土壤的平均电导率为 σ =10-2 S/m 。设有I = 500 A 的电流流入地内。为了保证安全，需要划出一半径为a 的禁区。如果人的正常步伐为b = 0.6 m ，且人能经受的跨步电压为U = 200 V ，问这一安全半径a 应为多大？

3-5 参看图2-5-6，半径为a ，间距为D 的平行双线传输线，周围介质的介电常数为 ε，电导率为 σ。利用例2-5-2的结果，计算平行双线每单位长度的分布漏电导G 1。

3-6 参看图3-2-1(a )，半径分别为a 和b 的两个同心球壳(a < b )之间是电导率为 σ = σ0(1 + k/r )的导电媒质，试求两球壳之间的电阻R ab 。再问此题中的电流位 ψ 是否满足普拉斯方程。

3-7已知一根长直导线的长度为1km ，半径为0.5mm ，当两端外加电压为6V 时，线中产生的电流为1/6A ，试求：①导线的电导率；②导线中的电场强度；③导线中的损耗功率。

3-8当恒定电流通过无限大的非均匀导电媒质时，试证任意一点的电荷密度可以表示为

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∇-∇⋅=σσεερ)(E