非惯性系中的功能原理及应用

非惯性系中的功能原理及应用摘 要: 在理论力学中,关于非惯性参照系中动力学问题,从来未涉及到非惯性系中的功能原理。

为此,本文先推证出质点系相对非惯性系的动能定理,再推出质点系相对非惯性系的功能原理及机械能守恒定理,然后再运用此原理解决实际问题。

关键词: 非惯性系；牵连惯性力；科氏惯性力；功能原理；机械能守恒定理The function of the inertial system principle and applicationAbstract: In the theory of mechanics,about the dynamics inertia reference in question never involved in noninertial system function and principle.For this reason this paper first inferred, particle system to a relative non-inertial systems of kinetic energy theorem,and then launch the relative particle noninertial system of function and principle, the last to solve practical problems by using the principle.Key words: Noninertial system; Involved the inertial force; Division type inertia force; principle of work and energy; Mechanical energy conservation theorem0 引言处理非惯性参考系中的动力学问题有两种方法，一种是在惯性参考系中考虑问题，然后运用相对运动的关系进行两种坐标参考系之间坐标、速度和加速度诸量的转换，化成非惯性系中的结论。

另一种方法是研究在非惯性系中适用的动力学基本方程，从而研究非惯性系中的动力学问题。

关于关于非惯性系中的动力学问题，在理论力学中只是研究动力学方程。

机械能是自然界普遍存在的，在非惯性系中也依然如此。

在非惯性系动力学方程的基础上推导出非惯性系中的功能原理及机械能守恒定理。

从而，从能量的观点出发去研究非惯性系中的动力学问题。

1 非惯性系的动能定理平面转动参考系(例如平板)s '以角速度ω 绕垂直与自身的轴转动,在这参考系上取坐标系xy O -它的原点和静止坐标系s 的原点O 重合,并且绕着通过O 并垂直于平板的直线以角速度ω 转动（图1）。

令单位矢量i ，j 固着在平板上的x 轴及y 轴上，并一同以角速度ω 和平板一起转动。

ω 矢量在z 轴上，我们可以把它写成kωω=。

如果p 为在平板上运动着的一质点，则p 的位矢为 j y i x r += （1） s ' ω θ ηζ p r k j i y x 图 1因质点p 和坐标轴都随着平板以相同的角速度转动，且ω的量值为θ ，则将（1）式对时间t 求微商后得到p 对静止坐标系s 的速度，即为 dtk d z dt j d y dt i d x k z j y i x dt r d v +++++== j x y i y x)()(ωω++-= （2） 可以简写成 r v v ⨯+'=ω （3）亦即绝对速度等于相对速度与牵连速度之和。

将（2）式对时间t 求微商后得到p 点对静止坐标系s 的加速度j x i y j y x y i x y x dtv d a ωωωωωω+--++--==)2()2(22 （4） 上式中x及y 为质点p 对转动参考系s '轴向加速度分量，其合成为a ' ，它是相对加速度。

i x 2ω-及j y 2ω-合成为r 2ω-沿矢径指向O 点，是由于平板以角速度ω转动所引起的向心加速度。

v j x i y'⨯=+ωωω222-这个加速度称之为科氏加速度。

讨论更一般的情况，参考系不是平面的而是空间的，参考系转动的角速度ω的量值和方向都可以改变。

设坐标系s '的原点和坐标系s 的原点重合。

故任一矢量G 可以写成k G j G i G G z y x ++= （5）在静止参考系s 中看到G 的变化率为 dtk d G dt j d G dt i d G k dt dG j dt dG i dt dG dt G d z y x z y x +++++= （6） 单位矢量i 、j 、k 固着在s '系上，且以ω 绕O 点转动，可以认为i 、j 、k 是距离O 点为单位长的动点对固定点的位矢得 i dt i d ⨯=ω ， j dt j d ⨯=ω ， k dtk d ⨯=ω （7） 把这些关系代入（6）式得G dtG d dt G ⨯+=*ωd （8）式中k dt G d j dt G d i dt G d dt G d z y x ++=*如空间转动坐标系s '的原点与固定坐标系s 的原点O 重合，并以角速度ω绕O 转动，则对s 系而言，一个在s '系中运动的质点p 的绝对速度由(8)式可知为dr d r v r dt dtω*==+⨯ （9） 式中OP =r ,v dtr d '=* 是质点p 相对于s '系的速度，即相对速度。

质点p 相对于s 系的绝对加速度a，根据同样的方法有： v dtv d dt v d a ⨯+==*ω （10） 把（9）式代入（10）得dtr d r r dt d dt r d a ***⨯+⨯⨯+⨯+=ωωωω 2)(2 （11） 令a '代表质点p 对s '系的加速度，则dtr d a *='2 （12） 故（10）式可简写成t c a a a a ++'= （13） 式中r r r dt d a t 2)(ωωωω-⋅+⨯=，v dtr d a c '⨯=⨯=* ωω22 如果s '系的原点O '与s 系的原点O 不重合，且O '对O 的加速度为0a，则任意质点i 相对任意非惯性系的加速度可写成 v a r r r a a ⨯--'⋅+'⋅⋅-'⨯-='ωωωωω2)(02 （14）式中0a 表示非惯性坐标系z y x o '''-相对静止坐标系xyz o -的平动加速度, a '表示质点i 相对静止坐标系xyz o -的加速度,r r r'⋅+'⋅-'⨯-2)(ωωωω表示质点i 的牵连加速度，v ⨯-ω2质点i 的科氏加速度。

由此得到非惯性系中的动力学方程:v m a m r m r m r m F a m i i i i i i ⨯--'⋅+'⋅⋅-'⨯-='ωωωωω2)(02 (15) 或v m a m r m r m F a m i i i i i⨯--'⨯⨯-'⨯-='ωωωω2)(0 （16）也可表示为: ci li i i i F F f F a m +++=' （17）式中i F i f ，li F ，ci F 分别表示质点i 所受的外力、内力、牵连惯性力和科氏惯性力。

由此, 可得质点系相对非惯性系的动能定理。

∑∑∑==='⋅'⨯-'⋅-'⋅+'⋅='n i i i ni n i i i r d r m r d a m r d f r d F T d 1011)( ω ∑∑=='⋅⨯⨯-'⋅'⨯⨯-ni i n i i r d v m r d r m 11)2()(ωωωω （18） 因为科氏惯性力的方向与r d '垂直，所以∑='⋅⨯⨯n i i r d v m 1)2( ωω等于零。

这样(4)式可写成:r d a m r d f r d F T d i ni n i i i '⋅-'⋅+'⋅='∑∑== 011∑∑=='⋅'⨯⨯-'⋅'⨯-n i i ni i r d r m r d r m 11)()( ωωω（19） 此式表明: 相对于非惯性系质点系动能的微分, 等于作用在质点系上的外力、内力和牵连惯性力所作元功之和。

这就是质点系相对非惯性系的动能定理。

2 质点系相对非惯性系的功能原理在(5)式中的内力所作元功可以表示为:r d f r d f r d f n i i n i i ni i '⋅+'⋅='⋅∑∑∑===111内非内保 （20） 牵连惯性力为保守力的充要条件:0=⨯∇F 且是稳定的即不显含时间。

分析如下:若)(00t a a =此时惯性力 )(0t a m F i =惯则不是保守力。

若0a 等于常矢, 此时惯性力0=⨯∇惯F 是稳定的惯性力, 且0)(0=-⨯∇a m i 则是保守力。

若ω等于常矢, )(r m F i '⨯⨯-=ωω惯是稳定的惯性力, 可以证明0=⨯∇惯F , 则是保守力。

若()t ωω= ,ω 等于常矢但不等于零时, 即非惯性系相对静系作变速定轴转动, r m r m F i i '⋅+'⨯⨯-=2)(ωωω惯是不稳定的惯性力, 则不是保守力。

若()t ωω= 不等于零时, 即非惯性系相对静系作定点转动, r m r m F i i '⋅+'⨯⨯-=2)(ωωω惯是不稳定的惯性力, 则不是保守力。

只有在作匀加速直线平动和匀角速转动的非惯性系中的惯性力才是保守力, 此时0r ω'⨯= （18）式 可写成:0111()nn n i i i i i i i dT dr dr dr r dr f m a m F ωω===''''''=⋅+⋅-⋅-⨯⨯⋅∑∑∑ （21） 再结合(19)式得:01111()nn n n nb nf i i i i i i i i i dr dr dr dr r dr f f f m a m ωω====''''''⋅=⋅+⋅-⋅-⨯⨯⋅∑∑∑∑ （22） 在上述的惯性力为保守力的情况下dV r d r m r d a m n i i i ='⋅'⨯⨯-'⋅-∑=10)( ωω (23)(22)式代入(21)式得:dE r d f r d f r d F V T d n i i n i i ni i ='⋅+'⋅+'⋅=+'∑∑∑===111)( 内非内保 (24) 此式表明: 相对于作匀加速直线平动和匀角速转动的非惯性系的质点系的机械能的微分, 等于作用于质点系上的外力、内力所作元功的代数和。