武汉市江岸区九年级上期中数学试卷含答案解析
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江岸区2015~2016学年度第一学期期中考试九年级数学试卷参考答案 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A CD B C D C B D D 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．3、－2、－1 12．(1，－2) 13．－214．2217 15．x ＜－1或x ＞3 16．416．提示：根据共顶点等腰三角形的旋转模型 △AEC ≌△ADB （SAS ）∴∠ADB ＝∠AEC ＝150°∴∠BDE ＝150°－60°＝90°连接CD∵∠CED ＝360°－150°－60°＝150°∴∠CED ＝∠CEA∴△AEC ≌△DEC （SAS ）∴CA ＝CD∴CE 为AD 的垂直平分线延长CE 交AD 于F ，则∠AEF ＝30°∴AF ＝3，EF ＝3在△ACF 中，522=-=AF AC CF∴CE ＝BD ＝5－3＝2在Rt △BED 中，422=+=BD DE BE三、解答题（共8题，共72分）17．解：2131±-=x18．解：(1) y ＝x 2－2x －3；(2) x ＜－1或x ＞319．证明：易证：△AOF ≌△COE∴CE ＝AF由垂径定理得：CE ＝21CD ，AF ＝21AD∴AD ＝CD20．解：(3) 145+π21．解：设横彩条宽为2x cm ，则竖彩条宽为3x cm ，由题意得(20－4x )(30－6x )＝2516×600，解得x 1＝1，x 2＝9当x ＝9时，宽为18∵18×2＞20（舍去）∴x ＝1答：使横彩条宽为7 cm ，竖彩条宽为3 cm22．解：(1) 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥=+12401500202012121x x x x x ，解得10≤x 1≤13即共有四种进货方案(2) 设利润为W ，则W ＝[1760－(－20x 1＋1500)]x 1＋[1700－(－10x 2＋1300)]x 2＝30x 12－540x 1＋12000 ＝30(x 1－9)2＋9570当x 1＝13时，W 有最大值为10050即采购高级羽绒服13件时，总利润最大为10050件23．解：(1) AF ＝BM ＋MF(2) 过点A 作AG ⊥CM 于G ，反向延长GA 交EN 于H ∴四边形GMNH 为矩形∴AH ⊥EN根据三垂直得：△CMB ≌△AGC ，△AEH ≌△EDN ∴CM ＝AG ，EN ＝AH∴MN ＝GH ＝GA ＋AH ＝CM ＋EN(3) 中线倍长CP ，则△BCP ≌△DGP∴BC ＝DG ，BC ∥DG可证：△CAE ≌△GDE∴CE ＝EG ，CE ⊥EG∴△CPE 为等腰直角三角形∴CP ＝PE ，CP ⊥PE24．解：(1) D (2，－3)(2) 作D 关于AB 对称的点D ′必在AE 上A (－m ，0)、B (3m ，0)，C (0，－3am 2)，D (2m ，－3am 2) ∴D ′(2m ，3am 2)∵抛物线过点C∴－3am 2＝－3，am 2＝1∴直线AD ′的解析式为11+=x my 联立⎪⎩⎪⎨⎧--=+=)32(1122m mx x a y x m y ，整理得x 2－3mx －4m 2＝0解得x 1＝4m ，x 2＝－m （舍去）∴E (4m ，5)∴E 在y ＝5上运动(3) F (m ，－4)、E (4m ，5)、A (－m ，0)、D (2m ，－3) 设P (b ，0)∴PF 2＝(m －b )2＋16，AD 2＝9m 2＋9，AE 2＝25m 2＋25∴(m－b)2＋16＋9m2＋9＝25m2＋25，解得b1＝－3m，b2＝5m ∴P(－3m，0)或(5m，0)。
2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和32．平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，3）C．（﹣4，﹣3）D．（4，﹣3）3．二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）4．点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能判断直线l与⊙P 相交的是（）A．1B．2C．3D．45．用配方法解一元二次方程x2+2x＝0，下列配方正确的是（）A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝1D．（x+1）2＝﹣1 6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，当a取下列值时，使方程无实数解的是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．17．如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC＝α（α为锐角），则∠APB＝（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．75°+αD．3α8．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位9．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣110．如图，在⊙O中，直径AB＝，EF为弦，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，BD 交⊙O于点G．若BD＝2AC，CE＝EF，则CD＝（）A．B．C．6D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程ax2+2x＝0的一个根是1，则a＝．12．二次函数y＝2x2﹣2x的对称轴是．13．在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，点P是圆上不同于点A、B的点，则∠APB＝°．14．已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝．15．如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D 为半径OB上一动点．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形内部（不包括边界），则OD的取值范围为．16．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），则a•b满足的条件是．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：x2﹣x﹣1＝0．18．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为．19．要在一幅长为20分米、宽8分米的画的外围配一个四条边宽度相等的画框，且画框的面积为画的面积的，求画框的宽度．20．利用所学的知识在下列网格中进行操作，要求：仅用无刻度的直尺、保留作图痕迹，如图点A、B、C在小正方形的顶点．（1）在图1中，作出△ABC的中线AD；确定一个格点P，使AP⊥AB；（2）在图2中，作出△ABC的高线CE．21．如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，过点E 作⊙O的切线交BC于点H．（1）求证：EH＝FH；（2）若点C为的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度．22．作为“第七届世界军人运动会”的举办地，“武汉每天不一样”，武汉越来越美，吸引大量游客来游玩．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置．宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用．根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调x元（x为10的正整数倍），设一天订住的房间数为y．（1）直接写出y与x的函数关系式：，自变量x的取值范围是；（2）若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？（3）房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？23．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）（1）延长ED交CH于点F，求证FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明；（3）如图3，作▱ABGE，连结DG，点N为DG的中点，连结EN．若AC＝EN＝3，直接写出四边形ADGE的面积．24．已知抛物线C：y1＝﹣x2+bx+4．（1）如图，抛物线与x轴相交于两点（1﹣m，0）、（1+m，0）．①求b的值；②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值．（2）已知直线l：y2＝2x﹣b+9，当x≥0时，y1≤y2恒成立，求b的取值范围．2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和3【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项是﹣2x，常数项是3，故选：C．2．平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，3）C．（﹣4，﹣3）D．（4，﹣3）【解答】解：∵点P（﹣4，3），∴关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3），故选：D．3．二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）【解答】解：二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．故选：B．4．点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能判断直线l与⊙P 相交的是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵点P到圆心O的距离d为3，∴当d＜r时，直线l与⊙P相交，即r＞3故选：D．5．用配方法解一元二次方程x2+2x＝0，下列配方正确的是（）A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝1D．（x+1）2＝﹣1【解答】解：x2+2x＝0，x2+2x+1＝0+1，（x+1）2＝1，故选：C．6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，当a取下列值时，使方程无实数解的是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【解答】解：∵方程无实数解，∴△＝4+4a＜0，∴a＜﹣1，故选：A．7．如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC＝α（α为锐角），则∠APB＝（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．75°+αD．3α【解答】解：连接BD，如图，∵点C为弧AB的中点，∴＝，∴∠BDC＝∠ADC＝α，∵∠APB+∠ADB＝180°，∴∠APB＝180°﹣2α．故选：B．8．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），而点（3，﹣2）先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点（0，0），抛物线y＝（x﹣3）2﹣2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线y＝x2．故选：D．9．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣1【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，而a、b、m、n为互不相等的实数，∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，∴ab＝mn﹣2，∴ab﹣mn＝﹣2．故选：C．10．如图，在⊙O中，直径AB＝，EF为弦，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，BD 交⊙O于点G．若BD＝2AC，CE＝EF，则CD＝（）A．B．C．6D．【解答】解：连接AG、OE，作OM⊥CD于M，交AG于N，则EM＝FM，∵AB是直径，∴∠AGD＝90°，∵AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，∴四边形ACDG是矩形，∴AC＝DG，AG＝CD，AG∥CD，∵OM⊥CD，∴OM⊥AG，∴AN＝GN，∵AC∥MO∥BD，∴CM＝DM，∴CE＝DF，∵CE＝EF，∴CE＝EF＝DF，∵OM∥BD，OA＝OB，∴ON＝BG，∴OM＝BG，∵AC＝DG，BD＝2AC，∴BG＝DG，设AC＝BG＝GD＝m，CE＝EF＝FD＝n，则AG＝CD＝3n，在Rt△ABG中，AG2+BG2＝AB2，在Rt△OME中，OM2+EM2＝OE2，∴解得n＝2，∴CD＝3n＝6，故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程ax2+2x＝0的一个根是1，则a＝﹣2．【解答】解：∵一元二次方程ax2+2x＝0的一个根为1，∴x＝1满足关于x的一元二次方程ax2+2x＝0，∴a+2＝0，解得，a＝﹣2；故答案是：﹣2．12．二次函数y＝2x2﹣2x的对称轴是直线x＝．【解答】解：根据题意得x＝﹣＝﹣＝．即对称轴是直线x＝，故答案为直线x＝．13．在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，点P是圆上不同于点A、B的点，则∠APB＝40或140°．【解答】解：如图，点P点在优弧AB上，则∠APB＝∠AOB＝×80°＝40°，点P点在劣弧AB上，则∠AP′B＝180°﹣40°＝140°，综上所述，∠APB的度数为40°或140°．故答案为40或140．14．已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝（x﹣1）（x+3）．【解答】解：∵y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3），∴x2+mx+n＝（x﹣1）（x+3）．故答案为（x﹣1）（x+3）．15．如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D 为半径OB上一动点．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形内部（不包括边界），则OD的取值范围为﹣1＜OD＜．【解答】解：当点E落在半径OB上时，连接OC，如下图1所示，∵∠ADC＝90°，∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，点A（2，0），∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，∴CD＝OC•sin30°＝2×＝1，∴OD＝OC•cos30°＝2×＝，∴BD＝OB﹣OD＝2﹣，∵DE＝DB，∴OE＝OD﹣DE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，当点E落在半径OA上时，连接OC，CD，如图2所示，由已知可得，CE＝CA＝CB，由上面的计算可知，OE＝2﹣2，∴点E的横坐标为：（2﹣2）×cos60°＝﹣1，点E的纵坐标为：（2﹣2）×sin60°＝3﹣，∴E（﹣1，3﹣），∴直线BE的解析式为y＝﹣x+2，∵CD⊥AE，C（，1），∴直线CD的解析式为y＝x+1﹣，令y＝0，解得x＝﹣1，∴D（﹣1），观察图形可知：OD的取值范围为﹣1＜OD＜．故答案为：﹣1＜OD＜．16．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），则a•b满足的条件是ab＝0．【解答】解：因为二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点，所以△＝0，即b2﹣4ac＝0．因为二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），所以此坐标为（0，0），所以抛物线经过原点，且对称轴为y轴，所以b＝0，因为a≠0，所以ab＝0．故答案为ab＝0．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：x2﹣x﹣1＝0．【解答】解：x2﹣x﹣1＝0，∴，．18．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为x．【解答】解：（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2+2…①；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2…②，联立①②并解得：x＝，从图象可以看出，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：x＜；故答案为：x．19．要在一幅长为20分米、宽8分米的画的外围配一个四条边宽度相等的画框，且画框的面积为画的面积的，求画框的宽度．【解答】解：设画框的宽度为x分米，依题意，得：（20+2x）（8+2x）＝20×8×（1+），整理，得：x2+14x﹣15＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．答：画框的宽度为1分米．20．利用所学的知识在下列网格中进行操作，要求：仅用无刻度的直尺、保留作图痕迹，如图点A、B、C在小正方形的顶点．（1）在图1中，作出△ABC的中线AD；确定一个格点P，使AP⊥AB；（2）在图2中，作出△ABC的高线CE．【解答】解：（1）线段AD即为△ABC的中线；点P即为所求作的点；（2）线段CE即为所求．21．如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，过点E 作⊙O的切线交BC于点H．（1）求证：EH＝FH；（2）若点C为的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度．【解答】（1）证明：连结OE．∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∵HE与⊙O相切于点E，∴OE⊥EH，∴∠OEA+∠AEH＝90°，在Rt△ADF中，∠A+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝∠AEH，又∵∠AFD＝∠HFE，∴∠HFE＝∠AEH，∴EH＝FH；（2）解：连结OC交AE于M，AC，∵点C为的中点，∴，∴∠AOC＝∠EOC，∴OC垂直平分EF于点M，∵OA⊥BC，∴，BD＝CD，∴，∴∠CAE＝∠BCA，∴AF＝CF，∵，∴DC＝BC＝AE＝AM，在Rt△ODC中，CD＝，设DF＝x，则AF＝﹣x，在Rt△ADF中，x2+22＝，解得：x＝，连接OH，设EH＝y，则OH2＝12+＝32+y2，解得：y＝∴EH＝．22．作为“第七届世界军人运动会”的举办地，“武汉每天不一样”，武汉越来越美，吸引大量游客来游玩．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置．宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用．根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调x元（x为10的正整数倍），设一天订住的房间数为y．（1）直接写出y与x的函数关系式：y＝40﹣，自变量x的取值范围是0＜x≤90且x为10的正整数倍；（2）若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？（3）房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？【解答】解：（1）y＝40﹣（0＜x≤90且x为10的正整数倍），故答案为：y＝40﹣；（2）设总利润为W元，则W＝（210+x﹣30）（40﹣）＝﹣（x+180）（x﹣400）﹣（x﹣110）2+8410＝7770，x1＝30，x2＝190＞90舍去∴x＝30∴房间的定价为210+30＝240元；（3）W＝﹣（x﹣110）2+8410 （）0＜x≤90且为10的正整数倍）∵﹣＜0，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴当x＝90时，W有最大值为8370元，∴当房价为300元时，宾馆有最大利润为8370元．23．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）（1）延长ED交CH于点F，求证FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明；（3）如图3，作▱ABGE，连结DG，点N为DG的中点，连结EN．若AC＝EN＝3，直接写出四边形ADGE的面积．【解答】（1）证明：如图1中，∵△ADE由△ABC旋转得到．∴AC＝AD，∠ACF＝∠ADE＝∠ADF＝90°，∴FA平分∠CFE．（2）结论：2DM+AD＝DE．证明：如图2中，延长AD交BC于F，连CD．∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，AD＝CD＝AC，∵∠ACF＝90°，∴∠AFC＝30°，∴AC＝AF，∴AD＝DF，∴D为AF的中点，又∵M为AD的中点，∴DM＝FB，在Rt△AFC中，FC＝AC，∴DM＝FB＝（BC﹣CF）＝（BC﹣AC）＝（DE﹣AD）∴2DM+AD＝DE．（3）如图3中，连接CN，延长CN到M，使得NM＝CN，连接MG，ME，EC，延长CD交EG于J．∵DN＝GN，∠DNC＝∠MNG，NC＝NM，∴△NDC≌△NGM（SAS），∴GM＝CD，∠ADN＝∠MGN，∴CJ∥MG，∴∠CJG＝∠MGN，∵△ACD，△ABE都是等边三角形，∴∠ACD＝∠BAE＝60°，∵四边形AEGB是平行四边形，∴EG∥AB，∴∠AEG+∠EAB＝180°∴∠AEG＝120°，∴∠ACJ+∠AEJ＝180°，∴∠CAF+∠CJF＝180°，∵∠CJF+∠GJC＝180°，∴∠CAF＝∠GJC，∴∠CAF＝∠MGE，∵AE＝AB，∴四边形AEGB是菱形，∴AE＝GE，∴△CAE≌△MGE（SAS），∴EC＝EN，∠AEC＝∠CEM，∴∠CEM＝∠AEG＝120°∵CN＝NM，∴EN⊥CM，∴∠CEN＝∠MEN＝60°，∴CN＝EN＝3，MN＝2CN＝6∵S四边形ADGE＝S四边形AENC+S四边形EMGN﹣S△ACD﹣S△DNC﹣S△EMG＝S△AEC+S△ECM+S△MNG﹣S△ACD﹣S△DNC﹣S△EMG＝S△ECM﹣S△ACD＝×6×3﹣×32＝．24．已知抛物线C：y1＝﹣x2+bx+4．（1）如图，抛物线与x轴相交于两点（1﹣m，0）、（1+m，0）．①求b的值；②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值．（2）已知直线l：y2＝2x﹣b+9，当x≥0时，y1≤y2恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）﹣x2+bx+4＝0x1+x2＝＝1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小．i：n+1≤1即n≤0，当x＝n+1时，y有最大值，﹣（n+1）2+2（n+1）+4＝3，又∵n≤0，∴，ii：n≤1≤n+1即0≤n≤1，当x＝1时y有最大值，﹣12+2＜1+4＝3不成立，iii：n≥1时，当x＝n时，y有最大值，﹣n2+2n+4＝3，又∵n≥1，∴，综上所述：或；（3）y1≤y2，﹣x2+bx+4≤2x﹣b+9，x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0，①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0，﹣4≤b≤4；②：△＞0则b＞4或b＜﹣4，i：，不成立，ii：，b≤2，又∵b＞4或b＜﹣4，∴b＜﹣4，综上所述b≤4．s。
2017-2018湖北武汉江岸区九年级上学期期中数学试题初三试卷答案分析
2017-2018湖北武汉江岸区九年级上学期期中数学试题初三试卷答案分析（考试时间：120分钟满分：120分）姓名分数一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程220x x-=的根的是（）A．2 B．0 C．0和2 D．13．若关于x的函数2(2)y a x x=--是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞24．已知方程2210x x--=两根分别是x1和x2，则x1+x2的值等于（）A．2 B．12-C．12D．－15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则线段BE的长度为（）A．2B．3C．4D．第5题图第6题图第9题图第10题图6．如图，在⊙O 中，圆心角︒=∠120AOB ，P 为弧AB 上一点，则∠APB 度数是（ ） A ．100° B ．110° C ．120° D ．130°7．将二次函数y ＝x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）． A ．y ＝(x －1)2＋2 B ．y ＝(x ＋1)2＋2 C ．y ＝(x －1)2－2 D ．y ＝(x ＋1)2－28．九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝愿的卡片，全班共送了1190张卡片．设全班有x 名学生，根据题意列出方程为（ ） A ．21x (x －1)＝1190 B ．21x (x ＋1)＝1190 C ．x (x ＋1)＝1190 D ．x (x －1)＝11909．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，CE 平分∠ACB 交⊙O 于E ，∠E =30°，交AB 于点D ，连接AE ，则S △ADC ：S △ADE 的比值为（ ）A ．21 B ．22 C ．23D ．1 10．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示（1 < x = h < 2 ），下列结论：① 2a +b ＞0；② abc ＜0；③ 若OC =2OA ，则2b －ac = 4；④ 3a ﹣c ＜0，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ． 2C ． 3D ．4二、填空题（每小题3分，共18分）。
武汉市江岸区九年级上期中考试数学试卷及答案
2022-2023江岸区第一学期期中考试试题九年级数学一 选择题：每小题3分，共10小题，共30分。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）2.一元二次方程x 2-2x=0的根是（ ）A.2B.0C.0和2D.13.若关于x 的函数y=(2-a)x 2-x 是二次函数，则a 的取值范围是（ ）A.a ≠0B.a ≠2C.a<2D.a>24.已知方程2x 2-x-1=0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2的值等于（ ） A.2 B.-21 C. 21 D.-15.如图，在△ABC 中，C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC 绕A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则线段BE 的长度为（ ）A.2B.3C.4D.256.如图，在⊙O 中，∠AOB=120°，P 为弧AB 上的一点，则∠APB 的度数是（ ）A.100°B.110°C.120°D.130°7.将二次函数y=x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式时（ ）A.y=(x-1)2+2B.y=(x+1)2+2C.y=(x-1)2-2D.y=(x+1)2-28.九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1190张卡片，设全班有x 名学生，根据题意列出方程为（ ） A.21x(x-1)=1190 B.21x(x+1)=1190 C.x(x+1)=1190 D.x(x-1)=1190 9.如图，△ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径，CE 平分∠ACB 交⊙O 于点E,∠E=30°，交AB 于点D,连接AE,则ADE ADC S S ∆∆:的比值为（ ）A.21B.22C.23 D.110.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的大致图象如图所示(1<x=h<2,0<x A <1).下列结论：①2a+b>0；②abc<0；③若OC=2OA,则2b-ac=4；④3a-c<0.其中正确的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二 填空题：每小题3分，共6小题，共18分。
江岸区2016-2017学年上学期期中考试九年级数学答案
江岸区2016~2017学年度第一学期期中考试九年级数学参考答案答案一、选择题（每题3分，共计30分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CCBCACADCC二、填空题（每题3分，共计18分）11、)1,2(- 12、1)1(2--=x y 13、c =－614、3或515、414或=m 16、22 三、解答题（共计72分） 17、2230x x --= 解： 0)3)(1(=-+x x 4)1(2=-x ......................................4分01=+x 或03=-x 21±=-x......................................6分11-=x 、32=x 11-=x 、32=x ......................................8分18、解： ∵ABC ∆绕点B 顺时针旋转︒60后得到DBE ∆ ∴ABC ∆≌DBE ∆ ∴D A ∠=∠ ......................................3分 又∵21∠=∠∴︒=∠=∠60ABD DFA （旋转角） ......................................6分 ∴︒=∠=∠60DFA EFC ......................................8分19、解（1）将A （1，0），B （0，3）代入解析式c bx x y ++-=2得： 103b c c -++=⎧⎨=⎩ 则23b c =-⎧⎨=⎩......................................3分∴322+--=x x y ......................................4分 （2） 2-<x 或0>x .......................................6分 抛物线322+--=x x y 的对称轴为1-=x ， 当3=y 时，02或-=x结合图象，当2-<x 或0>x 时y < 3 ........................8分20、（1）3 .....................................2分（2）画图略 ......................................5分（按作图步骤，看痕迹） （3）10130.....................................8分21、（1）∵OD OA = ∴21∠=∠ .....................................1分 ∵AD 平分CAB ∠∴31∠=∠ .....................................2分 ∴32∠=∠ ....................................3分 ∴OD ∥AC ......................................4分（2）连接BD 、BC ，设BC 交OD 于E 点∵AB 是直径∴AC ⊥BC ，AD ⊥BD 又∵OD ∥AC∴OD ⊥BC 于点E ∴点E 为BC 的中点 又∵点O 为AB 的中点 ∴482121=⨯==AC OE .....................................6分在OEB Rt ∆中，34)1021(2222=-⨯=-=OE OB BE 在DEB Rt ∆中，10)45(32222=-+=-=ED EB BD在OEB Rt ∆中，103)10(102222=-=-=BD AB AD (8)分22、（1）x y 10150-= （1600≤<x ，且为10的整数倍）（不写、写错不扣分）............2分（2）)10150)(20180(x x w --+= =8000341012++-x x=10890)170(1012+--x ...................................6分（3）0101<-，抛物线开口向下，对称轴：170=x ...................................7分又∵1600≤<x 在对称轴的左侧 （求自变量的取值范围1分）∴ w 随x 的增大而增大∴当160=x 时，w 的最大值为10880元 ...................................9分此时34=y则当一天订住34个房间时，宾馆的最大利润为10880元 ...................................10分23、（简要答案）（1）证明：证明PCE Rt ABP Rt ∆≅∆⇒PC AB =，CE BP = ...................................2分 DE CP BP DE AD ++=+=DE CE CP ++ =CD CP + =AB 2 ...................................4分（2）方法一证明：BDC AFB ABF ∠=∠=∠⇒EDF AFD ∠=∠ 证明EDF AFD ∆≅∆ ...................................6分 证明︒=∠=∠=∠90ADE APE AFE ⇒点AFPDE 在AE 为直径的圆上 ⇒ADB APF ∠=∠ ...................................8分方法二（图2）证明：BDC AFB ABF ∠=∠=∠⇒EDF AFD ∠=∠ ⇒DEA FAE ∠=∠⇒DEP FAP ∠=∠（等角减去45度角）证明EPD APF ∆≅∆⇒α=∠=∠NDP MFP ...................................7分 证明︒=∠=∠4521 ⇒ADB APF ∠=∠=α-︒45.................8分 方法三（图2）证明：设AP 、EP 交BD 分别于点M 、N 证明︒=∠=∠4521证明BDC AFB ABF ∠=∠=∠⇒EDF AFD ∠=∠ 证明EDN AFM ∆≅∆证明EPD APF ∆≅∆（或DNP FMP ∆≅∆） 证明α=∠=∠NDP MFP ⇒ADB APF ∠=∠=α-︒45方法四（图三）证明：BDC AFB ABF ∠=∠=∠⇒EDF AFD ∠=∠ ⇒DEA FAE ∠=∠⇒DEP FAP ∠=∠（等角减去45度角）利用对称性证明α=∠=∠NDP MFP ⇒ADB APF ∠=∠=α-︒45（3）53- ..................................10分 24、（1）①（－1，0 ） ..................................2分 ②2)1(21+=x y ..................................4分（2）画图.................................5分抛物线1C 与x 轴仅有一个公共点，则∆=0，1-=m 1C ：2)1(21+-=x y 2C ：2)1(21+=x y抛物线1C 、2C 关于x 轴对称，PAB ∆为等腰直角三角形 则P A =PB P A ⊥PB ，x 轴垂直平分线段AB .......................6分则P B B x x y -=，即)1()1(212+±=+x x 解得1=x 、3-=x 、1-=x （不能构成三角形，舍去） 则直线l 为1=x 或3-=x .........................8分（3）根据题意得：D )23,2(---m 、C )0,12(+m 、M ))1(21,(2+m m作MN ⊥CP 于点H ，交CD 于点T直线CD 的解析式为2121--=m x y ， 则T )2121,(--m m∵MCD PCD S S ∆∆=，即)(2121C D D x x MT y CP -∙=∙ ∴)23)(121(21-----m m =[])12(2)1(21)1(21212+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+m m m ...............10分 )32)(1(++m m =)32)(2)(1(21+++-m m m0)4)(32)(1(=+++m m m∴11-=m 、232-=m 、43-=m 又∵顶点M 在第二象限，点D 在点M 与点P 之间∴11-=m 、232-=m 舍去 ∴43-=m ................................12分另外的面积表示（复杂）MCD PCD S S ∆∆=)23)(121(21-----m m =[]2)1(21)12(21+∙+-m m m +)2()1(21)23(212m m m --⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--－[])23()12(221--+--m m（其他步骤同上，一样用整体的思想）。
初中数学湖北省武汉市江岸区九年级上期中考模拟试数学考试题及答案
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:若关于x的方程(a-1)x2+2x-1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A.a≠1B.a＞1C.a＜1D.a≠0试题2:一元二次方程x2-2x-3=0的根的情况是（）A.无实根B.有两个相等实根C.有两不等实根D.无法判断试题3:下列图形中既是中心对称又是轴对称图形的是（）等边三角形平行四边形正五边形正方形A B C D试题4:已知方程2x2-4x-3=0两根分别是x1和x2，则x1x2的值等于（）A.-3B.C.3D.试题5:如图，△ABC≌△ADE，点D落在BC上，且∠B=60°，则∠EDC的度数等于（）A.45°B.30°C.60°D.75°试题6:如图，在圆O中，半径OC⊥弦AB于P，且P为OC的中点，则∠BAC的度数是（）A.45°B.60°C.25°D.30°试题7:如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼搭而成，第一图案需4根小木棒，则第六个图案需小木棒根数是（）A.42B.48C.54D.56试题8:某树主干长出若干数目的支干，每个枝干又长出同样数目小分支，主干、支杆和小分支总数是57，若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A.(1+x)2=57B.1+x+x2=57C.(1+x)x=57D.1+x+2x=57试题9:将抛物线y=2x2-1,先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是（）A.(2，1)B.(1，2)C.(1,-1)D.(1，1)试题10:如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，点P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（）A.3B.C.2D.试题11:方程3x2-2x-1=0的二次项系数是________，一次项系数是______，常数项是______试题12:点A(-1，2)关于原点的对称点B的坐标是______试题13:小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数(x,-2x)放入其中，得到-1，则x=_______试题14:如图，圆O的直径AB为13cm，弦AC为5cm，∠ACB的平分线圆O于D，则CD长是_______cm试题15:抛物线y=ax2+bc+c的部分图象如图所示，则当y<0时，x的取值范围是______试题16:如图，等边△ABC和等边△ADE中，AB=，AD=，连CE，BE，当∠AEC=150°时，则BE=______试题17:按要求解下列方程：x2+x-3=0（公式法）试题18:已知抛物线的顶点为(1,-4)，且过点(-2,5)(1)求抛物线解析式；(2)求函数值y>0时，自变量x的取值范围试题19:如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB于弦E，CO⊥AD于F，求证：AD=CD试题20:如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上将△ABC绕点A顺时针旋转90°(1)画出旋转后的△AB′C′；(2)以点C为坐标原点，线段BC、AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，请直线写出点B′的坐标______；(3)写出△ABC在旋转过程中覆盖的面积_____试题21:如图，要设计一个宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？试题22:2015年十一黄金周商场大促销，某店主计划从厂家采购高级羽绒服和时尚皮衣两种产品共20件，高级羽绒服的采购单价y1（元/件）与采购数量x1（件）满足y1=-20x1+1500(0＜x1≤20，x1为整数)；时尚皮衣的采购单价y2(元/件)与采购数量x2（件）满足y2=-10x2+1300(0<x2≤20，x2为整数)（1）经店主与厂家协商，采购高级羽绒服的数量不少于时尚皮衣数量，且高级羽绒服采购单价不低于1240元，问该店主共有几种进货方案？（2）该店主分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出高级羽绒服和时尚皮衣，且全部售完，则在（1）问的条件下，采购高级羽绒服多少件时总利润最大？并求最大利润。
江岸区2023-2024学年度上学期期中考试数学试卷九年级答案
九年级数学参考答案一、选择题题序12345678910答案DDCACBCACB10．B 解析：x =4时，y =16+4b +c =c ∴b =－4对称轴：x =2b-=2故y =x 2－4x +c 又1≤q －p ＜8∴x=2+4或x=2－4时，y =62－4×6+c =c +12，x=2+12或x=2－12时，y =255422⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭+c =c－154∴c －154≤m＜c +12二、填空题11．(3，－5)12．y =－(x +1)2+313．50+50(1+x )+50(1+x )2=19614．15．①③④16．621716．解析：设折叠后的AC 所在圆的圆心为O ′，连O ′A ，O′D ，OA ，OB ，∴AB =AD ∠AO ′D =2∠ACB =120°，∠AOB =2∠ACB =120°又∵⊙O ′与⊙O 为等圆=过A 作AH ⊥BC 于H设BH =HD =x，CD =2x ，AH =，AC =6x AH2+BH 2=AB 2，222)x +=，x =7，∴AC =7，三、解答题17．解：法1：因式分解法(x +1)(2x +3)=0………………………………………………………………………………4分x +1=0或2x +3=0…………………………………………………………………………6分x 1=－1，x 2=32-……………………………………………………………………………8分法2：公式法a =2，b =5，c =3………………………………………………………………………………3分Δ=b 2－4ac =25－4×2×3=1＞0……………………………………………………………4分∴55144x -±-±==………………………………………………………………………6分∴15114x -+==-，251342x --==-．……………………………………………………8分18．解：设应邀请x 个球队参加比赛(1)212x x -=…………………………………………………………………………………4分（列式正确给4分；如果只有设，没列式不给分）19．（1）x =1，(1，5)…………………………………………………4分（每空2分）（2）≥1(“=”可以不取)…………………………………………………6分（3）1＜y ≤5………………………………………………………………8x 2－x －42=0，(x －7)(x +6)=0x －7=0或x +6=0湖北新中考试卷交流群550374303x 1=7，x 2=－6………………………………………………………………………………6分又x ＞0，∴x =7……………………………………………………………………………7分答：应邀请7个球队参加比赛.…………………………………………………………8分分（1带等号，5没有带等号，均不给分）20．（1）证明：法1：连AD ∵ CDBD =，∴∠DAB =∠DAC =12∠CAB ，…………………………………2分又∠DAB =∠12∠DOB ，∴∠CAB =∠DOB ，…………………………………3分∴AC ∥DO ，…………………………………4分法2：连AD ∵ CDBD =，∴∠DAB =∠DAC =12∠CAB ，………………………………………………………2分又OA=OD ，∴∠OAD =∠ODA=∠CAD ，……………………………………………………………3分∴AC ∥DO ，……………………………………………………………………………4分（2）解：连DB ，∵ CDBD =，CD ，∴CD =BD 5分又DE ，DE ⊥AB ，∴在Rt △DBE 中，DB 2=DE 2+EB 2，∴EB =1，……………………………………………………………………………6分设OE =x ，则OB =OD =x +1Rt △DOE 中，DE2+OE 2=OD 2，222(1)x x +=+∴x =2=OE ，r =x +1=3，∴AE =AO +OE =3+2=5，…………………………………………………………………8分21．图1图2每个步骤2分（用实线画的不扣分）22．（1）4501000………………………………………………………2分（一空一分）（2）①w =805080(20)z z z x z-⎧⎨-+⎩0303050x x <≤≤≤化简得w =23030050600x x x +⎧⎪⎨-++⎪⎩0303050x x <≤≤≤………………………………………………4分当0≤x ≤30时，w =30x +300∵k =30＞0∴w 随x 增大而增大当x =30时，w max =30×30+300=1200………………………………………………………5分当30＜x ≤50时，w =－x 2+50x +600∵a =－1＜0开口向下∴对称轴50252(1)x =-=⨯-②w =30＜x ≤50时，w 随x 增大而减小又x 为整数∴x =31时，w max =－312+50×31+600=1189…………………………………………………6分∵1189＜1200湖北新中考试卷交流群550374303∴w max =1200，x =30即第30天利润最大，最大利润1200元，………………………………………………7分23030050600x x x +⎧⎪⎨-++⎪⎩0303050x x <≤≤≤当0≤x ≤30时，w =30x +300≥112530x ≥825x ≥27.5又0≤x ≤30且x 为整数∴28≤x ≤30，x =28或29或30当30＜x ≤50时，－x 2+50x +600≥1125x 2－50x +525≤0令x 2－50x +525=0(x －15)(x －35)=0∴x 1=15，x 2=35∴15≤x ≤35又30＜x ≤50∴30＜x ≤35且x 为整数∴x =31或32或33或34或35综上所述，第28，29，30，31，32，33，34，35天共计8天利润不低于1125元，②8____天…………………………………………………………………………10分23．解：（1）DF =DE ；…………………………………………………………………3分（2）∵∠CAB =60°，AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠CAB =∠B =∠ACB =60°，AB =AC =BC ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACF ，连接EF ，则AF =AD ，FC =BD =2，∠ACF =∠B =60°，∠CAF =∠BAD .∵∠CAB =60°，∠DAE =30°，∴∠CAE +∠BAD =30°，∴∠EAF =∠CAE +∠CAF =∠CAE +∠BAD =30°=∠DAE .∵AE =AE ，∴△EAF ≌△EAD (SAS )，∴EF =DE ，…………………………………………………………………………………5分过点F 作FG ⊥BC ，交BC 的延长线于点G ，∵∠ECF =∠ACE +∠ACF =60°+60°=120°，∴∠FCG =60°，∴∠CFG =30°，∴CG =12FC =12×2=1，∴EG =EC +CG =32+1=52，∴FG =DE =EF2=；…………………………………7分（3）将△CDF 绕点D 顺时针旋转90°，得到△ADG ，取AB 的中点O ，连接OD ，OE ，OF ，则OA =OB =12AB =1.∵DE ＞OD －OE ，∴DE 取最小值时，点E 在OD 上.由旋转的性质得DF =DG ，∠CDF =∠ADG ，∵∠EDF =45°，∴∠CDF +∠ADE =90°－45°=45°，∴∠ODG =∠ADO +∠ADG =∠ADO +∠CDF =45°，∴∠ODF =∠ODG .∵OD =OD ，∴△ODF ≌△ODG (SAS )，∴OF =OG .设CF =x ，则OF =OG =OA +AG =1+x ，BF =BC －CF =AB －CF =2－x ，在Rt △OBF 中，(2－x )2+12=(x +1)2，解得x =23，∴当DE 取最小值时CF 的长为23.（3）CF=23………………………………………………………………………………10分湖北新中考试卷交流群55037430324．（1）∵y =x 2+bx －3经过点A (3，0)∴9+3b －3=03b =－6b =－2……………………………………………………………………………1分∴抛物线解析式：y =x 2－2x －3……………………………………………………………2分对称轴x =22--=1联立233x =1时y =12－2×1－3=－4∴顶点C (1，－4)…………………………………………………………………………3分综上所述，抛物线解析式y =x 2－2x －3，顶点C (1，－4)（2）y =kx －k ，x －1=0，x =1，y =0，PQ 过定点（1，0）过A 作AR ⊥AC ，AR =AC ，连RC 湖北新中考试卷交流群550374303过M 作l ∥RC 交抛物线于P ，Q过A 作GH ∥y 轴，过R 作RG ⊥GH 于G ，过C 作CH ⊥GH 于H 易得△RGA ≌△AHC (AAS )∴RG =AH =4，CH =GA =2，R (－1，2).又C (1，-4)，∴RC ：y =－3x －1∵l ∥RC ，∴l ：y =－3x +3……………………………………………5分23y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，x 1=－3，x 2=2.又x P ＜x Q∴x Q =2，Q (2，－3)∴Q 点坐标为(2，－3).………………………………………7分（3）方法1设AP ：y=k （x-3）（k ≠0），AG:：y=k'（x-3）（k'≠0）∴M （0，-3k ），N （0，-3k'）∵3m n ⋅=-∴()()33'3k k --=- ∴1'3k k ⋅=-……………………………………………………………………………8分联立：2323y kx k y x x =-⎧⎨=--⎩∴()22330x k x k -++-=21A P P x x k x k ∴+=+∴=-'1G x k =-同理：……………………………………………………………………9分设():0PG y ax b a =+≠联立：223y ax by x x =+⎧⎨=--⎩()2230x a x b ∴-+--=2,3P G P G x x a x x b ∴+=+=-- ……………………………………………………10分1'12k k a ∴-+-=+，()()1'13k k b --=--'4k k a ∴+=+，()''13kk k k b -++=--'kk a b∴=-1'3kk =-13b a ∴=+……………………………………………………………………………11分()11133y ax a a x ∴=++=++∴定点（-1，13） (12)分方法2：证明：AP ：3m y x m =+-，AG ：3n y x n =+-联立2323m y x m y x x ⎧=+⎪-⎨⎪=--⎩3+x P =2－3m ，则x P =13m--同理x G =13n--……………………………………………………………………………8分设PG ：y =kx +b 联立223y kx b y x x =+⎧⎪⎨=--⎪⎩x G +x P =k +2……………………………………………9分即1(1)33m n--+--=k +2，m +n =－3k －12又x G ·x P =－3－b 1133m n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=－3－b (m +3)(n +3)=－27－9bmn +3（m +n ）+9=－27－9b －3+3(－3k －12)+9=－27－9b 9b =9k +3b =k +13…………………………………………………………………………11分∴PG ：y =kx +k +13过定点（－1，13）………………………………………………………………………12分每联立1次，用了根与系数的关系求出两根之和和两根之积给1分，最多可以联立3次，最多可以得到3分。
湖北省武汉市江岸区2024-2025学年上学期九年级数学期中试题
2024-2025年江岸区九年级期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.1.一元二次方程2x2+3x＝-1化为一般形式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别可以是A.2，3，1B.2，3，-1C.2，-3，1D.2，3，02.下列文物标识中，是中心对称图形的是（ ）A.黄鹤楼B.太阳神鸟C.华表D.天坛3.在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）A.y＝x2+2B.y＝x2-2C.y＝-x2+2D.y＝-x2-24.判断方程x2-2x-8＝0的根的情况正确的是（ ）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根5.如图，在平面内将△AOB绕点O按顺时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝30°，则∠AOD的度数为（ ）A.50°B.60°C.70°D.80°6.下列说法中，正确的是（ ）①同圆中，所有的半径都相等;②圆中的直径是弦，弦是直径;③在圆中，弦的垂直平分线经过圆心;④相等的圆心角所对的弧相等.A.①②B.①③C.①④D.③④7.根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为（ ）x…-1012…y…-7-5-15…A.y＝x2+3x+5B.y＝x2+3x-5C.y＝-x2+3x-5D.y＝-x2-3x-58.在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10cm，在操场地上砸出一个深2cm的小坑，则该坑的直径AB为（ ）A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm9.已知二次函数y＝x2-2x-2024的图象上有两点A（a，1）和B（b，1），则a2+2b 的值为（ ）A.2023B.2024C.2028D.202910.对于正数x，规定，例如:f（1）＝212+1＝1，f（2）＝222+2＝13，f（3）＝232+3＝16，则f（1）+f（2）+…+f（2023）+f（2024）的值为（ ）A.2023B.20231012C.20232024D.40482025二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置.11.在平面直角坐标系中，点（3，-4）关于原点对称的点的坐标为_______.12.已知x1，x2是方程x2-6x-7＝0的两个不相等的实数根，则x1x2-x1-x2的值为.13.某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是57，根据题意可列方程_____________.（不必解方程）14.如图，点A，B，C在圆O上，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P，点M为圆O上不同于点B，C的一点，若∠BPC＝130°，则∠BMC＝.15.已知二次函数y＝x2-2ax+a（a为常数），下列四个结论:①若a＞1，则该二次函数图象与x轴有两个交点;②该二次函数图象经过定点（12，12）;③该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上;④若a＞0，该二次函数图象与直线y＝x交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则|x1-x2|＜2a.其中正确的结论序号是_______.16.点C在以AB为直径的圆上，∠CAB＝30°，点E为线段AC的中点，点D在BE的延长线上，∠ADB＝30°，若AD＝2，则DB＝_____.三、解答题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17.（本小题满分8分）解方程:3x2-4x-7＝018.（本小题满分8分）参加某次聚会，每两人都握了一次手，所有人共握手15次，共有多少人？19.（本小题满分8分）已知函数y＝12x2-2x-1.（1）该函数图象的开口方向是______;（2）抛物线与y轴的交点坐标是______;（3）当-3＜x＜6时，则函数y的最小值是______;（4）当y＞-1时，则自变量x的取值范围是_________.20.（本小题满分8分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的点，连接AC、BC、OD，DF⊥AB于点F，∠CBA+2∠BAD＝90°.（1）求证:点D是BC的中点;（2）若BF＝1，DF＝2，求AC的长.下图是由单位长度为1的小正方形组成的10×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.（1）在射线AB上取格点D，使AD＝AC;（2）画∠CAD的角平分线AE;（3）在AC上取点F，使AF＝2;（4）将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为∠BAC，得到△AFG.22.（本小题满分10分）又是一年秋风起，武汉某花圃基地计划将如图1所示的一块长40m，宽20m 的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉，其中花卉B区是正方形（边长不超过15m），育苗区一边与花卉B区重合，另一边长是10m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是100元，200元，300元.（1）设花卉B区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量:花卉A的种植面积是_______m2，花卉B的种植面积是______m2，花卉C的种植面积是_______m2.（2）花卉B区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？（3）如图2，为了方便游客拍照，基地计划在花卉A、B区铺设一条宽为a米（0＜a＜3）且与大矩形边平行的小路，若小路铺设完成后，A，B，C三种花卉的总产值之和最小值为73000元，则a的值为______.（直接填写答案）（1）[问题背景]如图1，在△ABC中，AB＝AC，P为△ABC外一点，点M 为BP延长线上一点,点N为线段PC上一点,AM⊥BP于点M,AN⊥CP于点N,且∠ACP＝∠ABP.求证:AM＝AN;（2）[类比探究]如图2，在△ABC中，AB＝AC，Q为△ABC外一点，当∠BAC ＝60°，∠AQB＝150°，AQ＝2，BQ＝3时，求CQ的长度;（3）[拓展应用]如图3，在△ABC中，∠B＝60°，点D，E分别在边BC，AB 上，BD＝BE，AE＝BC,连结AD、DE,点F是DE延长线上一点,且∠FAC＝60°,连接CF.求证:∠ACF＝∠ADF.24.（本小题满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2-2ax-3经过点A（-1，0）.（a为常数，且a≠0）（1）求抛物线的函数表达式;，试（2）已知点C（1，-5），点D为x轴下方的抛物线上一点，满足S△ACD＝52求点D的横坐标;（3）如图2，若直线y＝kx-k-5与抛物线交于M，N两点，点N关于抛物线对称轴的对称点为点P，求证:直线PM过定点，并求出定点坐标.。
【精品】2018最新年湖北省武汉市江岸区九年级上学期数学期中试卷及解析
2018学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）一元二次方程x2=x的根为（）A．0B．1C．0或1D．0或﹣12．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣34．（3分）下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正八边形5．（3分）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB，∠BAC=20°，则∠AOC的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．（3分）抛物线y=﹣x2+2x+6在直线y=﹣2上截得的线段长度为（）A．2B．3C．4D．67．（3分）下列抛物线中，与x轴无公共点的是（）A．y=x2﹣2B．y=x2+4x+4C．y=﹣x2+3x+2D．y=x2﹣x+28．（3分）将二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象沿x轴翻折，所得图象的函数表达式为（）A．y=﹣（x﹣1）2+3B．y=（x+1）2﹣3C．y=﹣（x+1）2﹣3D．y=（x﹣1）2+39．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（）x…﹣1012…y…﹣3131…A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=4时，y＞0D．方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间10．（3分）如图，等边△ABC的边长为1，D、E两点分别在边AB、AC上，CE=DE，则线段CE的最小值为（）A．2﹣B．2﹣3C．D．二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）点（﹣2，7）关于原点的对称点为．12．（3分）关于x的一元二次方程mx2+4x+2=0有实数根，则m的取值范围是．13．（3分）在半径为4的圆中，40°的圆周角所对的弧长为．14．（3分）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是．15．（3分）如图，∠AOB=30°，P点在∠AOB内部，M点在射线OA上，将线段PM绕P点逆时针旋转90°，M点恰好落在OB上的N点（OM＞ON），若PM=，ON=8，则OM=．16．（3分）二次函数y=的函数图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A2015在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B2015在二次函数位于第一象限的图象上，△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3…△A2014B2015A2015都为等边三角形，则△A2014B2015A2015的边长为．。
武汉市江岸区2016届九年级上期中数学试卷含答案解析
一、选择题 1．若关于 x 的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是（ ） A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0 2．一元二次方程 x2﹣2x﹣3=0 的根的情况是（ ） A．无实根 B．有两相等实根 C．有两不等实根 D．无法判断 3．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正方形 4．已知方程 2x2﹣4x﹣3=0 两根分别是1x 和 2x ，则 x1 x2 的值等于（ ） A．﹣3 B．﹣ C．3 D． 5．如图，△ABC≌△AED，点 D 落在 BC上，且∠B=60°，则∠EDC的度数等于（ ）
A．45° B．30° C．60° D．75° 6．如图，在⊙O 中，半径 OC⊥弦 AB于 P，且 P 为 OC的中点，则∠BAC的度数是（ ）
A．45° B．60° C．25° D．30° 7．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼撘而成，第一个图案需 4 根小木棒，则第 6 个图案小木棒根数是（ ）
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（3）设该二次函数图象顶点为 F，试探究：在 x 轴上是否存在点 P，使以 PF、AD、AE为边构成的 三角形是以 AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含 m 的代数式表示点 P 的横坐标；如果不存 在，请说明理由．
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2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和32．平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，3）C．（﹣4，﹣3）D．（4，﹣3）3．二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）4．点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能判断直线l与⊙P 相交的是（）A．1B．2C．3D．45．用配方法解一元二次方程x2+2x＝0，下列配方正确的是（）A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝1D．（x+1）2＝﹣1 6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，当a取下列值时，使方程无实数解的是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．17．如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC＝α（α为锐角），则∠APB＝（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．75°+αD．3α8．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位9．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣110．如图，在⊙O中，直径AB＝，EF为弦，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，BD 交⊙O于点G．若BD＝2AC，CE＝EF，则CD＝（）A．B．C．6D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程ax2+2x＝0的一个根是1，则a＝．12．二次函数y＝2x2﹣2x的对称轴是．13．在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，点P是圆上不同于点A、B的点，则∠APB＝°．14．已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝．15．如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D 为半径OB上一动点．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形内部（不包括边界），则OD的取值范围为．16．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），则a•b满足的条件是．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：x2﹣x﹣1＝0．18．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为．19．要在一幅长为20分米、宽8分米的画的外围配一个四条边宽度相等的画框，且画框的面积为画的面积的，求画框的宽度．20．利用所学的知识在下列网格中进行操作，要求：仅用无刻度的直尺、保留作图痕迹，如图点A、B、C在小正方形的顶点．（1）在图1中，作出△ABC的中线AD；确定一个格点P，使AP⊥AB；（2）在图2中，作出△ABC的高线CE．21．如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，过点E 作⊙O的切线交BC于点H．（1）求证：EH＝FH；（2）若点C为的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度．22．作为“第七届世界军人运动会”的举办地，“武汉每天不一样”，武汉越来越美，吸引大量游客来游玩．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置．宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用．根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调x元（x为10的正整数倍），设一天订住的房间数为y．（1）直接写出y与x的函数关系式：，自变量x的取值范围是；（2）若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？（3）房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？23．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）（1）延长ED交CH于点F，求证FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明；（3）如图3，作▱ABGE，连结DG，点N为DG的中点，连结EN．若AC＝EN＝3，直接写出四边形ADGE的面积．24．已知抛物线C：y1＝﹣x2+bx+4．（1）如图，抛物线与x轴相交于两点（1﹣m，0）、（1+m，0）．①求b的值；②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值．（2）已知直线l：y2＝2x﹣b+9，当x≥0时，y1≤y2恒成立，求b的取值范围．2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和3【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项是﹣2x，常数项是3，故选：C．2．平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，3）C．（﹣4，﹣3）D．（4，﹣3）【解答】解：∵点P（﹣4，3），∴关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3），故选：D．3．二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）【解答】解：二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．故选：B．4．点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能判断直线l与⊙P 相交的是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵点P到圆心O的距离d为3，∴当d＜r时，直线l与⊙P相交，即r＞3故选：D．5．用配方法解一元二次方程x2+2x＝0，下列配方正确的是（）A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝1D．（x+1）2＝﹣1【解答】解：x2+2x＝0，x2+2x+1＝0+1，（x+1）2＝1，故选：C．6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，当a取下列值时，使方程无实数解的是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【解答】解：∵方程无实数解，∴△＝4+4a＜0，∴a＜﹣1，故选：A．7．如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC＝α（α为锐角），则∠APB＝（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．75°+αD．3α【解答】解：连接BD，如图，∵点C为弧AB的中点，∴＝，∴∠BDC＝∠ADC＝α，∵∠APB+∠ADB＝180°，∴∠APB＝180°﹣2α．故选：B．8．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），而点（3，﹣2）先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点（0，0），抛物线y＝（x﹣3）2﹣2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线y＝x2．故选：D．9．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣1【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，而a、b、m、n为互不相等的实数，∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，∴ab＝mn﹣2，∴ab﹣mn＝﹣2．故选：C．10．如图，在⊙O中，直径AB＝，EF为弦，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，BD 交⊙O于点G．若BD＝2AC，CE＝EF，则CD＝（）A．B．C．6D．【解答】解：连接AG、OE，作OM⊥CD于M，交AG于N，则EM＝FM，∵AB是直径，∴∠AGD＝90°，∵AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，∴四边形ACDG是矩形，∴AC＝DG，AG＝CD，AG∥CD，∵OM⊥CD，∴OM⊥AG，∴AN＝GN，∵AC∥MO∥BD，∴CM＝DM，∴CE＝DF，∵CE＝EF，∴CE＝EF＝DF，∵OM∥BD，OA＝OB，∴ON＝BG，∴OM＝BG，∵AC＝DG，BD＝2AC，∴BG＝DG，设AC＝BG＝GD＝m，CE＝EF＝FD＝n，则AG＝CD＝3n，在Rt△ABG中，AG2+BG2＝AB2，在Rt△OME中，OM2+EM2＝OE2，∴解得n＝2，∴CD＝3n＝6，故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程ax2+2x＝0的一个根是1，则a＝﹣2．【解答】解：∵一元二次方程ax2+2x＝0的一个根为1，∴x＝1满足关于x的一元二次方程ax2+2x＝0，∴a+2＝0，解得，a＝﹣2；故答案是：﹣2．12．二次函数y＝2x2﹣2x的对称轴是直线x＝．【解答】解：根据题意得x＝﹣＝﹣＝．即对称轴是直线x＝，故答案为直线x＝．13．在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，点P是圆上不同于点A、B的点，则∠APB＝40或140°．【解答】解：如图，点P点在优弧AB上，则∠APB＝∠AOB＝×80°＝40°，点P点在劣弧AB上，则∠AP′B＝180°﹣40°＝140°，综上所述，∠APB的度数为40°或140°．故答案为40或140．14．已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝（x﹣1）（x+3）．【解答】解：∵y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3），∴x2+mx+n＝（x﹣1）（x+3）．故答案为（x﹣1）（x+3）．15．如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D 为半径OB上一动点．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形内部（不包括边界），则OD的取值范围为﹣1＜OD＜．【解答】解：当点E落在半径OB上时，连接OC，如下图1所示，∵∠ADC＝90°，∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，点A（2，0），∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，∴CD＝OC•sin30°＝2×＝1，∴OD＝OC•cos30°＝2×＝，∴BD＝OB﹣OD＝2﹣，∵DE＝DB，∴OE＝OD﹣DE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，当点E落在半径OA上时，连接OC，CD，如图2所示，由已知可得，CE＝CA＝CB，由上面的计算可知，OE＝2﹣2，∴点E的横坐标为：（2﹣2）×cos60°＝﹣1，点E的纵坐标为：（2﹣2）×sin60°＝3﹣，∴E（﹣1，3﹣），∴直线BE的解析式为y＝﹣x+2，∵CD⊥AE，C（，1），∴直线CD的解析式为y＝x+1﹣，令y＝0，解得x＝﹣1，∴D（﹣1），观察图形可知：OD的取值范围为﹣1＜OD＜．故答案为：﹣1＜OD＜．16．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），则a•b满足的条件是ab＝0．【解答】解：因为二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点，所以△＝0，即b2﹣4ac＝0．因为二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），所以此坐标为（0，0），所以抛物线经过原点，且对称轴为y轴，所以b＝0，因为a≠0，所以ab＝0．故答案为ab＝0．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：x2﹣x﹣1＝0．【解答】解：x2﹣x﹣1＝0，∴，．18．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为x．【解答】解：（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2+2…①；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2…②，联立①②并解得：x＝，从图象可以看出，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：x＜；故答案为：x．19．要在一幅长为20分米、宽8分米的画的外围配一个四条边宽度相等的画框，且画框的面积为画的面积的，求画框的宽度．【解答】解：设画框的宽度为x分米，依题意，得：（20+2x）（8+2x）＝20×8×（1+），整理，得：x2+14x﹣15＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．答：画框的宽度为1分米．20．利用所学的知识在下列网格中进行操作，要求：仅用无刻度的直尺、保留作图痕迹，如图点A、B、C在小正方形的顶点．（1）在图1中，作出△ABC的中线AD；确定一个格点P，使AP⊥AB；（2）在图2中，作出△ABC的高线CE．【解答】解：（1）线段AD即为△ABC的中线；点P即为所求作的点；（2）线段CE即为所求．21．如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，过点E 作⊙O的切线交BC于点H．（1）求证：EH＝FH；（2）若点C为的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度．【解答】（1）证明：连结OE．∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∵HE与⊙O相切于点E，∴OE⊥EH，∴∠OEA+∠AEH＝90°，在Rt△ADF中，∠A+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝∠AEH，又∵∠AFD＝∠HFE，∴∠HFE＝∠AEH，∴EH＝FH；（2）解：连结OC交AE于M，AC，∵点C为的中点，∴，∴∠AOC＝∠EOC，∴OC垂直平分EF于点M，∵OA⊥BC，∴，BD＝CD，∴，∴∠CAE＝∠BCA，∴AF＝CF，∵，∴DC＝BC＝AE＝AM，在Rt△ODC中，CD＝，设DF＝x，则AF＝﹣x，在Rt△ADF中，x2+22＝，解得：x＝，连接OH，设EH＝y，则OH2＝12+＝32+y2，解得：y＝∴EH＝．22．作为“第七届世界军人运动会”的举办地，“武汉每天不一样”，武汉越来越美，吸引大量游客来游玩．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置．宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用．根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调x元（x为10的正整数倍），设一天订住的房间数为y．（1）直接写出y与x的函数关系式：y＝40﹣，自变量x的取值范围是0＜x≤90且x为10的正整数倍；（2）若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？（3）房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？【解答】解：（1）y＝40﹣（0＜x≤90且x为10的正整数倍），故答案为：y＝40﹣；（2）设总利润为W元，则W＝（210+x﹣30）（40﹣）＝﹣（x+180）（x﹣400）﹣（x﹣110）2+8410＝7770，x1＝30，x2＝190＞90舍去∴x＝30∴房间的定价为210+30＝240元；（3）W＝﹣（x﹣110）2+8410 （）0＜x≤90且为10的正整数倍）∵﹣＜0，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴当x＝90时，W有最大值为8370元，∴当房价为300元时，宾馆有最大利润为8370元．23．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）（1）延长ED交CH于点F，求证FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明；（3）如图3，作▱ABGE，连结DG，点N为DG的中点，连结EN．若AC＝EN＝3，直接写出四边形ADGE的面积．【解答】（1）证明：如图1中，∵△ADE由△ABC旋转得到．∴AC＝AD，∠ACF＝∠ADE＝∠ADF＝90°，∴FA平分∠CFE．（2）结论：2DM+AD＝DE．证明：如图2中，延长AD交BC于F，连CD．∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，AD＝CD＝AC，∵∠ACF＝90°，∴∠AFC＝30°，∴AC＝AF，∴AD＝DF，∴D为AF的中点，又∵M为AD的中点，∴DM＝FB，在Rt△AFC中，FC＝AC，∴DM＝FB＝（BC﹣CF）＝（BC﹣AC）＝（DE﹣AD）∴2DM+AD＝DE．（3）如图3中，连接CN，延长CN到M，使得NM＝CN，连接MG，ME，EC，延长CD交EG于J．∵DN＝GN，∠DNC＝∠MNG，NC＝NM，∴△NDC≌△NGM（SAS），∴GM＝CD，∠ADN＝∠MGN，∴CJ∥MG，∴∠CJG＝∠MGN，∵△ACD，△ABE都是等边三角形，∴∠ACD＝∠BAE＝60°，∵四边形AEGB是平行四边形，∴EG∥AB，∴∠AEG+∠EAB＝180°∴∠AEG＝120°，∴∠ACJ+∠AEJ＝180°，∴∠CAF+∠CJF＝180°，∵∠CJF+∠GJC＝180°，∴∠CAF＝∠GJC，∴∠CAF＝∠MGE，∵AE＝AB，∴四边形AEGB是菱形，∴AE＝GE，∴△CAE≌△MGE（SAS），∴EC＝EN，∠AEC＝∠CEM，∴∠CEM＝∠AEG＝120°∵CN＝NM，∴EN⊥CM，∴∠CEN＝∠MEN＝60°，∴CN＝EN＝3，MN＝2CN＝6∵S四边形ADGE＝S四边形AENC+S四边形EMGN﹣S△ACD﹣S△DNC﹣S△EMG＝S△AEC+S△ECM+S△MNG﹣S△ACD﹣S△DNC﹣S△EMG＝S△ECM﹣S△ACD＝×6×3﹣×32＝．24．已知抛物线C：y1＝﹣x2+bx+4．（1）如图，抛物线与x轴相交于两点（1﹣m，0）、（1+m，0）．①求b的值；②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值．（2）已知直线l：y2＝2x﹣b+9，当x≥0时，y1≤y2恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）﹣x2+bx+4＝0x1+x2＝＝1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小．i：n+1≤1即n≤0，当x＝n+1时，y有最大值，﹣（n+1）2+2（n+1）+4＝3，又∵n≤0，∴，ii：n≤1≤n+1即0≤n≤1，当x＝1时y有最大值，﹣12+2＜1+4＝3不成立，iii：n≥1时，当x＝n时，y有最大值，﹣n2+2n+4＝3，又∵n≥1，∴，综上所述：或；（3）y1≤y2，﹣x2+bx+4≤2x﹣b+9，x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0，①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0，﹣4≤b≤4；②：△＞0则b＞4或b＜﹣4，i：，不成立，ii：，b≤2，又∵b＞4或b＜﹣4，∴b＜﹣4，综上所述b≤4．s。
2020-2021学年湖北省武汉市江岸区九年级(上)期中数学试卷(带答案解析)
2020-2021学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．3，﹣6，1B．3，6，1C．3，1，﹣6D．3，1，62．（3分）在以下绿色食品、可回收物、响应环保、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）4．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．2B．﹣2C．5D．﹣55．（3分）将二次函数y=13x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所的图象的解析式为（）A．y=13（x﹣1）2+3B．y=13（x+1）2+3C．y=13（x﹣1）2﹣3D．y=13（x+1）2﹣36．（3分）《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（）A ．13寸B ．26寸C ．18寸D ．24寸7．（3分）“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．2017年双十一淘宝销售额达到1682亿元．2019年双十一淘宝交易额达2684亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．1682（1+x ）＝2684B ．1682（1+2x ）＝2684C ．1682（1+x ）2＝2684D ．1682（1+x ）+1682（1+x ）2＝26848．（3分）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°．将△ABC 绕点B 逆时针旋转得到△A ′BC ′，使点C 的对应点C ′恰好落在边AB 上，则∠CAA ′的度数是（ ）A ．50°B ．70°C ．110°D ．120°9．（3分）若无论x 取何值，代数式（x +1﹣3m ）（x ﹣m ）的值恒为非负数，则m 的值为（ ）A ．0B ．12C ．13D ．110．（3分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是实数，且a ≠0）的图象的对称轴是直线x ＝2，点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）为其图象上的两点，且y 1＜y 2，（ ）A ．若x 1﹣x 2＜0，则x 1+x 2﹣4＜0B ．若x 1﹣x 2＜0，则x 1+x 2﹣4＞0C ．若x 1﹣x 2＞0，则a （x 1+x 2﹣4）＞0D．若x1﹣x2＞0，则a（x1+x2﹣4）＜0二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是．12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．13．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于．14．（3分）如图，把小圆形场地的半径增加6m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为m．15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）上有五点（﹣1，p）、（0，t）、（1，n）、（2，t）、（3，0）：有下列结论：①b＞0；②关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3；③p+2t＜0；④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确的结论（填序号即可）．16．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD所成的锐角为60°，AC+BD＝10，则四边形ABCD的面积最大值为．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：x2+x﹣6＝0．18．（8分）10月11日，2020中国女超联赛在昆明海埂基地落幕，最终武汉车都江大队夺得冠军．本赛季共有x 支球队参加了第一阶段的比赛，每两队之间进行一场比赛，第一阶段共进行了45场比赛，求x 的值．19．（8分）已知，如图，AD ＝BC ．求证：AB ＝CD ．20．（8分）如图，已知A ，B ，C 均在⊙O 上，请用无刻度的直尺作图．（1）如图1，若点D 是AC 的中点，试画出∠B 的平分线；（2）若∠A ＝42°，点D 在弦BC 上，在图2中画出一个含48°角的直角三角形．21．（8分）已知二次函数y ＝﹣x 2+4x ﹣3．（1）若﹣3≤x ≤3，则y 的取值范围为 （直接写出结果）；（2）若﹣8≤y ≤﹣3，则x 的取值范围为 （直接写出结果）；（3）若A （m ，y 1），B （m +1，y 2）两点都在该函数的图象上，试比较y 1与y 2的大小．22．（10分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x 天的售价与销量的相关信息如下表：第x 天 售价（元/件）日销售量（件） 1≤x ≤30 x +60 300﹣10x已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果．23．（10分）【问题背景】如图1，P是正三角形ABC外一点，∠APB＝30°，则P A2+PB2＝PC2．小明为了证明这个结论，将△P AB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小明完成他的作图；【迁移应用】如图2，在等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，使得∠BPC＝45°，若S△P AC＝4.5，求PC；【拓展创新】如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在四边形ABCD内部，且DE ＝EC，∠DEC＝90°，∠AEB＝135°，AD＝3，BC＝4，直接写出AB的长．24．（12分）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0），顶点为（0，0）．（1）求b，c的值；（2）如图1，若a＝1，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线PN⊥x轴交x轴于点N，交直线：y=12x+2于M点，设P点的横坐标为m，当2PM＝PN时，求m的值；（3）如图2，点P（0，y0）为y轴正半轴上一定点，点A，B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若∠APO＝∠BPy，求证：直线AB经过一个定点．2020-2021学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．3，﹣6，1B．3，6，1C．3，1，﹣6D．3，1，6【解答】解：方程整理得：3x2﹣6x+1＝0，二次项系数为3；一次项系数为﹣6，常数项为1，故选：A．2．（3分）在以下绿色食品、可回收物、响应环保、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形．故本选项不合题意；B、不是中心对称图形．故本选项不合题意；C、是中心对称图形．故本选项符合题意；D、不是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：C．3．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），∴抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），故选：D．4．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．2B．﹣2C．5D．﹣5【解答】解：设方程的另一个根为a，根据题意得：﹣1+a＝4，解得：a＝5．故选：C．5．（3分）将二次函数y=13x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所的图象的解析式为（）A．y=13（x﹣1）2+3B．y=13（x+1）2+3C．y=13（x﹣1）2﹣3D．y=13（x+1）2﹣3【解答】解：将二次函数y=13x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图象的函数表达式是y=13（x﹣1）2+3，故选：A．6．（3分）《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（）A．13寸B．26寸C．18寸D．24寸【解答】解：连接OA，AB⊥CD，由垂径定理知，点E是AB的中点，AE=12AB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，设半径为r寸，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，即r2＝52+（r﹣1）2，解得：r＝13，所以CD＝2r＝26，即圆的直径为26寸．故选：B．7．（3分）“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．2017年双十一淘宝销售额达到1682亿元．2019年双十一淘宝交易额达2684亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1682（1+x）＝2684B．1682（1+2x）＝2684C．1682（1+x）2＝2684D．1682（1+x）+1682（1+x）2＝2684【解答】解：如果设从2017年到2019年年平均增长率为x，那么根据题意得今年为1682（1+x）2，列出方程为：1682（1+x）2＝2684．故选：C．8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）A．50°B．70°C．110°D．120°【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，∴∠A ′BA ＝∠ABC ＝40°，A ′B ＝AB ，∴∠BAA ′＝∠BA ′A =12（180°﹣40°）＝70°，∴∠CAA '＝∠CAB +∠BAA ′＝50°+70°＝120°．故选：D ．9．（3分）若无论x 取何值，代数式（x +1﹣3m ）（x ﹣m ）的值恒为非负数，则m 的值为（ ）A ．0B ．12C ．13D ．1【解答】解：（x +1﹣3m ）（x ﹣m ）＝x 2+（1﹣4m ）x +3m 2﹣m ，∵无论x 取何值，代数式（x +1﹣3m ）（x ﹣m ）的值恒为非负数，∴Δ＝（1﹣4m ）2﹣4（3m 2﹣m ）＝（1﹣2m ）2≤0，又∵（1﹣2m ）2≥0，∴1﹣2m ＝0，∴m =12．故选：B ．10．（3分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是实数，且a ≠0）的图象的对称轴是直线x ＝2，点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）为其图象上的两点，且y 1＜y 2，（ ）A ．若x 1﹣x 2＜0，则x 1+x 2﹣4＜0B ．若x 1﹣x 2＜0，则x 1+x 2﹣4＞0C ．若x 1﹣x 2＞0，则a （x 1+x 2﹣4）＞0D ．若x 1﹣x 2＞0，则a （x 1+x 2﹣4）＜0【解答】解：∵直线x ＝2是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是实数，且a ≠0）的图象的对称轴，∴x =−b 2a =2，∴b ＝﹣4a ，∴y ＝ax 2﹣4ax +c ，∵点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）为其图象上的两点，∴y 1＝ax 12﹣4x 1+c ，y 2＝ax 22﹣4ax 2+c ，当 x 1＜x 2，y 1＜y 2即y 1﹣y 2＜0，∴ax 12﹣4ax 1+c ﹣（ax 22﹣4ax 2+c ）＜0，整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＜0，∵x1﹣x2＜0，∴a（x1+x2﹣4）＞0，故A，B不符合题意；当x1＞x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0，∴ax12﹣4ax1+c﹣（ax22﹣4ax2+c）＜0，整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＜0，∵x1﹣x2＞0，∴a（x1+x2﹣4）＜0，故C不符合题意，D符合题意；故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）点M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）．【解答】解：M（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4），故答案为：（﹣1，4）．12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴22﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．13．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于80°．【解答】解：∵∠CBE＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣40°＝140°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣140°＝40°，∴∠AOC＝2∠D＝2×40°＝80°．故答案为：80°．14．（3分）如图，把小圆形场地的半径增加6m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为6+6√2m．【解答】解：设小圆形场地的半径为rcm，则大圆形场地的半径为（r+6）cm，由题意得，π×（r+6）2＝π×r2×2，解得r1＝6+6√2，r2＝6﹣6√2＜0（舍去），故答案为：6+6√2．15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）上有五点（﹣1，p）、（0，t）、（1，n）、（2，t）、（3，0）：有下列结论：①b＞0；②关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3；③p+2t＜0；④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确的结论①②④（填序号即可）．【解答】解：∵当x＝0和x＝2时，y＝t，∴对称轴为：x=0+22=1，∴当x＝3和x＝﹣1时，y的值相等，∴p＝0，∴x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，故②正确；∵当x＝0时，y＝t，且c＞0，∴t＝c＞0，∴p+2t＝0+2t＞0，故③错误；∵x＝2，y＝t＞0，x＝3，y＝0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，∴a＜0，∵x=−b2a=1，∴b＝﹣2a＞0，故①正确；∴9a +3b +c ＝0， ∴3a +c ＝0， ∴c ＝﹣3a ，∴﹣4a ﹣c ＝﹣4a +3a ＝﹣a ， ∵顶点坐标为（1，n ），a ＜0， ∴am 2+bm +c ≤a +b +c ， ∴am 2+bm ≤a +b ， ∴am 2+bm ≤﹣a ，∴am 2+bm ≤﹣4a ﹣c ，故④正确， 故答案为①②④．16．（3分）如图，四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 所成的锐角为60°，AC +BD ＝10，则四边形ABCD 的面积最大值为25√34．【解答】解：∵AC 与BD 所成的锐角为60°，∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD 的面积S =12AC ×BD ×sin60°， 设AC ＝x ，则BD ＝10﹣x ，所以S =12x （10﹣x ）×√32=−√34（x ﹣5）2+25√34， 所以当x ＝5，S 有最大值25√34．故答案为：25√34．三、解答题（共8题，共72分） 17．（8分）解方程：x 2+x ﹣6＝0． 【解答】解：∵x 2+x ﹣6＝0， ∴（x +3）（x ﹣2）＝0，∴x 1＝﹣3或x 2＝2．18．（8分）10月11日，2020中国女超联赛在昆明海埂基地落幕，最终武汉车都江大队夺得冠军．本赛季共有x 支球队参加了第一阶段的比赛，每两队之间进行一场比赛，第一阶段共进行了45场比赛，求x 的值．【解答】解：∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为12x （x ﹣1），∴共比赛了45场， ∴12x （x ﹣1）＝45，解得：x 1＝10，x 2＝﹣9， ∵x ＞0， ∴x ＝10， 答：x 的值为10．19．（8分）已知，如图，AD ＝BC ．求证：AB ＝CD ．【解答】证明：∵AD ＝BC ， ∴AD̂=BC ̂， ∴AD ̂+AC ̂=BC ̂+AC ̂， 即CD ̂=AB ̂， ∴AB ＝CD ．20．（8分）如图，已知A ，B ，C 均在⊙O 上，请用无刻度的直尺作图． （1）如图1，若点D 是AC 的中点，试画出∠B 的平分线；（2）若∠A ＝42°，点D 在弦BC 上，在图2中画出一个含48°角的直角三角形．【解答】解：（1）如图1，BE为所作；（2）如图2，△BMN为所作．21．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．（1）若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为﹣24≤y≤1（直接写出结果）；（2）若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为﹣1≤x≤0或4≤x≤5（直接写出结果）；（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴对称轴为直线x＝2，有最大值1，当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3﹣2）2+1＝﹣24，∴若﹣3≤x≤3，则y的取值范围为﹣24≤y≤1，故答案为﹣24≤y≤1；（2）把y＝﹣8代入y＝﹣x2+4x﹣3得，﹣8＝﹣x2+4x﹣3，解得x1＝5，x2＝﹣1，把y＝﹣3代入y＝﹣x2+4x﹣3得，﹣3＝﹣x2+4x﹣3，解得x3＝0，x4＝4，∴若﹣8≤y≤﹣3，则x的取值范围为﹣1≤x≤0或4≤x≤5，故答案为﹣1≤x≤0或4≤x≤5；（3）∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，∴y1＝﹣m2+4m﹣3，y2＝﹣（m+1）2+4（m+1）﹣3＝﹣m2+2m，∴y2﹣y1＝3﹣2m，令y2﹣y1＞0，即y2＞y1，此时m＜3 2，令y2﹣y1＝0，即y2＝y1，此时m=3 2，令y2﹣y1＜0，即y2＜y1，此时m＞3 2，综上，m＜32，y2＞y1；m=32，y2＝y1；m＞32，y2＜y1．22．（10分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售价与销量的相关信息如下表：第x天售价（元/件）日销售量（件）1≤x≤30x+60300﹣10x已知该商品的进价为40元/件，设销售该商品的日销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元，请直接写出结果．【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+60﹣40）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000；（2）y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，∵﹣10＜0，故抛物线开口向下，当x＝5（天）时，y取得最大值为6250（元）．∴销售该商品第5天时，日销售利润最大，最大日销售利润6250元；（3）令y＝﹣10x2+100x+6000＝5440，解得x＝﹣4或x＝14，故当月有14天的日销售利润不低于5440元．23．（10分）【问题背景】如图1，P是正三角形ABC外一点，∠APB＝30°，则P A2+PB2＝PC2．小明为了证明这个结论，将△P AB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小明完成他的作图；【迁移应用】如图2，在等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，使得∠BPC＝45°，若S△P AC＝4.5，求PC；【拓展创新】如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在四边形ABCD内部，且DE＝EC，∠DEC＝90°，∠AEB＝135°，AD＝3，BC＝4，直接写出AB的长．【解答】解：【问题背景】如图1．【迁移应用】如图2，作线段BM垂直于BP交PC的延长线于点M，连接AM，∵∠BPM＝45°，∠PBM＝90°，∴△BPD为等腰直角三角形，∴BP＝BM，∵∠ABM+∠MBC＝∠ABC＝90°，∠PBM＝∠PBC+∠MBC＝90°，∴∠PBC＝∠ABM，在△PBC和△MBA中，{PB =PM∠PBC =∠ABM BA =BC， ∴△PBC ≌△MBA （SAS ）， ∴∠AMP ＝90°，∴S △PAC =12PC ⋅AD =12PC 2=4.5， ∴PC ＝3． 【拓展创新】如图3，将△AED 绕点E 顺时针旋转90°至△FEC ，连接BF ，则AD ＝CF ＝3，AE ＝EF ，∠ADE ＝∠FCE ， ∵AD ∥BC ，∴∠ADE +∠EDC +∠ECD +∠ECB ＝180°， ∵ED ＝EC ，∠CED ＝90°， ∴∠EDC ＝∠ECD ＝45°， ∴∠ADE +∠ECB ＝90°， ∴∠FCE +∠ECB ＝90°， 即∠FCB ＝90°，∴FB =√BC 2+CF 2=√42+32=5， ∵∠AEB ＝135°，∠AEF ＝90°， ∴∠FEB ＝360°﹣135°﹣90°＝135°， ∴∠AEB ＝∠FEB ， 在△ABE 和△FBE 中， {AE =EF∠AEB =∠FEB BE =BE，∴△ABE ≌△FBE （SAS ）， ∴AB ＝FB ＝5．24．（12分）已知抛物线C ：y ＝ax 2+bx +c （a ＞0），顶点为（0，0）． （1）求b ，c 的值；（2）如图1，若a ＝1，P 为y 轴右侧抛物线C 上一动点，过P 作直线PN ⊥x 轴交x 轴于点N ，交直线：y =12x +2于M 点，设P 点的横坐标为m ，当2PM ＝PN 时，求m 的值； （3）如图2，点P （0，y 0）为y 轴正半轴上一定点，点A ，B 均为y 轴右侧抛物线C 上两动点，若∠APO ＝∠BPy ，求证：直线AB 经过一个定点．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝ax 2①， 故b ＝0，c ＝0；（2）a ＝1时，抛物线的表达式为y ＝x 2，设点P 的坐标为P （m ，m 2），则点M （m ，12m +2），∵2PM ＝PN ，则|12m +2﹣m 2|=12m 2，解得m =−√17+12（舍去）或√17+12或 43或﹣1（舍去），故m =√17+12或 43；（3）作点A 关于y 轴的对称轴M ，∵抛物线关于y 轴对称，故点M 在抛物线上，连接MP ， ∵∠MPO ＝∠OP A ＝∠BPy ，故M 、P 、B 三点共线， 设点A （p ，ap 2），则点M （﹣p ，ap 2），设直线PM 的表达式为y ＝kx +b ，则{ap 2=−pk +b y 0=b，解得{k =y 0−ap 2pb =y 0，故直线PM 的表达式为y =y 0−ap 2p +y 0②，联立①②并整理得：ax 2−ap 2−y 0px ﹣y 0＝0，则x B +x M =−ap 2−y 0ap，即x B ﹣p =−ap 2−y 0ap ，则x B =y 0ap ，将xB 的值代入y ＝ax 2得，y =y 02ap 2，故点B 的坐标为（y 0ap ，y 02ap2），由点B 、A 的坐标得，直线AB 的表达式为y =y 0+ap 2px ﹣y 0， 当x ＝0时，y ＝﹣y 0， 故直线AB 恒过点（0，﹣y 0）．。
湖北省武汉市江岸区2019-2020学年度上学期期中考试九年级数学试题(附答案)
江岸区 2019-2020 上学期九年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）一元二次方程 3x 2＝5x ＋2 的二次项的系数为 3，则一次项的系数和常数项分别为A ．5，2 B．5，－2 C ．－5，2 D ．－5，－22．下列学生喜欢的手机应用软件图标中，是中心对称图形的是A． B．C ．D ． 3．用配方法解方程 x 2－6x ＋8＝0 时，方程可变形为A ．(x －3)2＝1B ．(x －3)2＝－1C ．(x ＋3)2＝1D ．(x ＋3)2＝－14．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2015 年年收人 200 美元， 预计 2017 年年收人将达到 1000 美元，设 2015 年到 2017 年该地区居民年人均收人平均增长率为 x ，可列方程为A ．200(1＋2x )＝1000B ．200(1＋x )2＝1000C ．200(1＋x 2)＝1000D ．200＋2x ＝10005．如图，在⊙O 中，相等的弦 AB ，AC 互相垂直，E 是 AC 的中点，OD ⊥AB 于点 D ，则四边形 OEAD 为A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形 第 5 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图6．抛物线 y ＝－ 1 x 2 向左平移 1 个单位长度得到抛物线的解析式为2 A ．y ＝－ 1 (x ＋1)2 B ．y ＝－ 1 (x －1)2 C ．y ＝－ 1 x 2＋1 D ．y ＝－ 1 x 2－12 2 2 27．二次函数 y ＝2x 2－1 的图象是一条抛物线，下列关于抛物线的说法，正确的是A ．抛物线开口向下B ．抛物线的对称轴是直线 x ＝1C ．抛线经过点(2，1)D ．抛物线与 x 轴有两个交点8．在探索“尺规三等分角”这个数学名题过程中，曾利用了第 8 题图，该图中，四边形 ABCD 是矩形，线段 AC 绕点 A 逆时针旋转得线段 AF ，CF 、BA 的延长线交于点 E ，若∠E ＝∠FAE ，∠ACB ＝21°，则∠ECD 的度数是A ．7°B ．21°C ．23°D ．34°9．如图，已知 A (0，2)，B (1，0)，C (2，1)，若抛物线 y ＝x 2＋bx ＋1 与△ABC 的边一定有公共点，则 b 的取值范围是A ．b ≤0B ．b ≤－2C ．b ≥0D ．b ≥－210．如图，在平面直角坐标系中，已知 A (2，0)，B (5，0)，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA ＝2，以 PB为边作等边△PBM，则线段AM 的最大值为A．3 B．5 C．7 D．21二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共18 分）11．关于x 的方程x2＋a＝0 有两个相同的实数根，则a 满足的条件是12．若二次函数y＝x2 的图象向下平移2 个单位，得到的图象满足的解析式为13．在圆中一条弦所对的圆心角为60°，则这条弦所对的圆周角的度数为14．如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A′BC′，使点A′落在AC 上．已知∠C＝40°，AC∥BC′，则∠A′BC＝度15．如图，在四边形ABCD 中，∠A＝120°，∠C＝60°，AD＝CD＝m，AB＝n，则S四边形ABCD＝（用m、n 表示）16．已知二次函数y＝mx2－nx＋n（m＞0，n＞0）的图象与x 轴交于A、B 两点，图象顶点的纵坐标不大于 n，则线段AB 长度的范围为2三、解答题（共8 题，共72 分）17．（本题8 分）解方程：x2－4x＋3＝018．（本题8 分）已知二次函数y＝x2＋kx＋4，若二次函数的图象与x 轴的一个公共点坐标为(－1，0)，求二次函数的图象与x 轴的两一个公共点的坐标19．（本题8 分）用一条长40 厘米的绳子能围成一个面积为101 平方厘米的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由20．（本题8 分）如图，函数y1＝x2＋2x－3 与y2＝－x－3(1)求出y1 与y2 的交点坐标(2)将绕(－1，－2)顺时针旋转得到y3，在图中画出y3 的图象，并直接写出y1＜y3＜y2 的解集⎪ ⎪21．（本题 8 分）如图，在⊙O 中，直径 CD ⊥弦 AB 于点 E ，点 P 是 CD 延长线上一点，连接 PB 、BD(1) 若 BD 平分∠ABP ，求证：PB 是⊙O 的切线(2) 连接 AP ，延长 BD 交 AP 于点 F ，若 BD ⊥AP ，AB ＝，OP ＝ 5 ，求 OE 的长度422．（本题 10 分）某水产品销售摊点销售小河虾，已知每千克小河虾成本为 6 元，在整个销售旺季的 80 天里，销售单价 m （元/千克）与时间第 t （天）之间的函数关系为：⎧ 1 t +16 m = 4 (1 ≤ t ≤ 40 ，t 为整数) ，日销售量 y （千克）与时间第 t （天）之间的函数关系如图 ⎨ ⎪- ⎩ 所示：1 t + 46 2(41 ≤ t ≤ 80 ，t 为整数) (1) 求日销售量 y 与时间 t 的函数关系式？(2) 哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？2(3) 该摊主有多少天日销售利润不低于 2400 元？23．（本题 10 分）如图，已知点 M 、N 是线段 AB 上的点，AM ＝1，将线段 AM 绕点 M 旋转， 将线段 BN 绕点 N 旋转，点 A 、点 B 的对应点恰好重合记作点 P ，设 MN ＝x(1) 当 AB ＝3 时，求 x 的取值范围(2) 如图，当∠PMN ＝90°时，∠MPN ＞∠PNM ，作∠NPC ＝45°时 PC 交 MN 于点 C ，过 PN 上一点 D 作 DE ⊥PM 于点 E ，交 PC 于点 F ．若 DE ＝PM ，求证：MC ＝DF －PE(3) 当 AB ＝3，x ＝1 时，平面内一点 Q ，满足∠PQN ＝30°．若 PQ ＝m ，NQ ＝n ，则 MQ ＝ （直接用 m 、n 表示）24．（本题 12 分）已知二次函数 y ＝ax 2＋bx －4a ＋2b(1) 二次函数图象过定点 P ，则点 P 的坐标为(2) 已知点 A 的坐标为(0，1)，连接 AP ，将线段 AP 绕点 P 旋转 90°得到线段 BP ．若点 B 二次函数的图象上，求 a 与 b 的数量关系(3)已知二次函数图象与一次函数图y＝bx－3b的图象交于点(2a-b，b-2)，求二次函数的解析a式。
2021-2022学年湖北省武汉市江岸区部分学校九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年湖北省武汉市江岸区部分学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.将一元二次方程x2−1=−5x化为一般形式后，常数项为−1，二次项系数和一次项系数分别为()A. 1，5B. 1，−5C. 1，1D. −1，12.用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是()A. (x+4)2=−9B. (x+4)2=−7C. (x+4)2=25D. (x+4)2=73.下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图案是()A. B. C. D.4.方程2x2+6x−1=0的两根为x1、x2，则x1+x2等于()A. −6B. 6C. −3D. 35.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OE=12，AB=10，那么直径CD的长为()A. 12.5B. 13C. 25D. 266.电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为()A. 3(1+x)=10B. 3(1+x)2=10C. 3+3(1+x)2=10D. 3+3(1+x)+3(1+x)2=10,y3)都在函数y=−x2−4x+5的图象上，则y1、y2、7.已知点(−4,y1)、(−1,y2)、(53y3的大小关系为()A. y1>y2>y3B. y3>y2>y1C. y2>y1>y3D. y3>y1>y28.如图，在边长为12的等边△ABC中，D为边BC上一点，BD=8，点E是AC上一动点，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF.当点F恰好落在边AB上时，则△AEF的面积是()A. 4B. 4√3C. 8D. 8√39.已知关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0有两根α，β.若1α+1β=1，则m的值为()A. 3B. −1C. 3或−1D. 3410.如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为()A. 8√2B. 7C. 9D. 203二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.一元二次方程x2−4=0的解是．12.点P(−3,−4)关于原点对称的点的坐标是______．13.将抛物线y=x2先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为：______．14.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为______米．15.抛物线y=ax2+bx+c(a<0,a,b,c为常数)的部分图象如图所示，其顶点坐标为(−1,n)，且与x轴的一个交点在点(−3,0)和(−2,0)之间．则下列结论：①a+b+c<0；②2a−b=0；③一元二次方程ax2+(b+n2)x+c−n2=0的两根为x1，x2，则|x1−x2|=2；④对于任意实数m，不等式a(m2−1)+(m+1)b≤0恒成立．则上述说法正确的是______.(填序号)16.如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=7，AD=2√2，点E为边AB上一动点(不与点A，B重合)，沿DE折叠该纸片使点A的对应点为A′，再沿经过点E的直线EF对折(点F在边BC上)，若点B的对应点B′恰好落在边CD上，且E，A′，B′三点在同一直线上，则DE的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.解方程：x2−2x−1=0．四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）18.如图，已知二次函数y=ax2+2x+3的图象与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式和点B的坐标；(2)直接写出y的最大值为______．19.用一元二次方程解应用题参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？20.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的9×11网格中，点A(−1,1)、B(3,1)、C(3,4)均在格点上．(1)边AC的长等于______．(2)请用无刻度的直尺，在所给的网格中画出一个格点P，连接PA，使∠PAC=45°；(3)沿过点C直线l，把△ABC翻折，得到△A′B′C，使点B的对应点B′恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出翻折后的图形△A′B′C，并直接写出直线l的解析式．21.如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC//OD，过点D作DE⊥AB于点E．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)若BC=3，DE=2，求⊙O的半径长．22.某商场要求所有商家商品的利润率不得超过40%，一商家以每件16元的价格购进一批商品．该商品每件售价定为x元，每天可卖出(170−5x)件，每天销售该商品所获得的利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；(2)若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？(3)请直接写出这个商家每天销售该商品可获得的最大利润为______元．23.【操作发现】(1)如图所示，在△ABC和△DEF中，AC=DF，CB=EF，∠A=∠D，DE>AB，在边DE上截取DG=AB，连接FG，试探究∠B和∠E的数量关系，请写出证明过程；【问题解决】(2)在(1)的条件下，若∠A=∠D=45°，其他条件不变，请直接写出AB、DE与AC之间的数量关系：______；【灵活运用】(3)如图，在四边形ABCD中，BC=AD，AC=4，BD=3，AC与BD交于点M，若24.如图，抛物线y=ax2−2ax+m与x轴交于A(−1,0)和B两点，与y轴交于点C(0,−3)．(1)求此抛物线的解析式；(2)若直线l：y=−2x−4与x和y轴分别交于点D和点E，直线BC交直线DE于点F，在第二象限内的抛物线上是否存在一点P，使∠PBF=∠DFB，若存在，请求出点P 坐标，若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，对于直线l上任意给定的一点G，过点G的另外一条直线交抛物线于M，N两点，在抛物线上是否都一定能找到点M，使得GM=MN？请证明你的结论．答案和解析1.【答案】A【解析】解：x2−1=−5x，移项，得x2+5x−1=0，二次项系数和一次项系数分别是1，5，故选：A．先把−5x改变符号后从方程的右边移到方程的左边，再找出二次项系数和一次项系数即可．本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+ bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)，②找项的系数带着前面的符号．2.【答案】D【解析】【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．根据完全平方公式配方可得到结果．【解答】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=−9，配方得：x2+8x+16=7，即(x+4)2=7，故选：D．3.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，旋转180°能与原图形重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．B、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180°能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180°不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转180°不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选B．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由于△>0，∴x1+x2=−3，故选：C．5.【答案】D【解析】解：连接OA，∵AB⊥CD，CD过圆心O，AB=10，∴AE=BE=5，∠AEO=90°，由勾股定理得：OA=√AE2+OE2=√52+122=13，即CO=DO=OA=13，连接OA，根据垂径定理求出AE=BE=5，再根据勾股定理求出OA即可．本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．6.【答案】D【解析】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3(1+x)亿元，第三天票房约为3(1+ x)2亿元，依题意得：3+3(1+x)+3(1+x)2=10．故选：D．若把增长率记作x，则第二天票房约为3(1+x)亿元，第三天票房约为3(1+x)2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵y=−x2−4x+5，∴函数图象的对称轴是直线x=−−4−2=−2，图象的开口向下，∴当x<−2时，y随x的增大而增大，点(53,y3)关于对称轴的对称点的坐标是(−173,y3)，∵−173<−4<−1，∴y2>y1>y3，故选：C．根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是直线x=−−4−2=−2，根据函数的性质得出图象的开口向下，当x<−2时，y随x的增大而增大，求出点(53,y3)关于对称轴的对称点的坐标是(−173,y3)，再根据二次函数的性质比较即可．本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．8.【答案】D【解析】解：如图，∵BC=12，BD=8，∴CD=4，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠C=60°，由题意得，ED=EF，∠DEF=60°，又∵∠C+∠CDE+∠CED=180°，∠CED+∠DEF+∠AEF=180°，∴∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120°，∴∠CDE=∠AEF，在△CDE与△AEF中，{∠A=∠C∠CDE=∠AEF DE=EF，∴△CDE≌△AEF(AAS)，∴AE=CD=4，∴EC=AC−AE=12−4=8，∵S△AEF=S△EDC，∵∠C=60°，CE=8，过点E作EH⊥BC于H，则CH=4，∴CD=CH=4，即点D与H重合，∴∠EDC=90°，∴ED=√EC2−DC2=4√3，∴S△EDC=12×CD×ED=12×4×4√3=8√3，∴S△AEF=8√3，故选：D．首先利用SAS证明△CDE≌△AEF，得AE=CD=4，再证明∠EDC=90°，即可解决问题．本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，证明∠EDC=90°是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：根据题意得Δ=(2m+3)2−4m2≥0，解得m≥−34，根据根与系数的关系得α+β=2m+3，αβ=m2，∵1α+1β=1，∴α+β=αβ，即2m+3=m2，整理得m2−2m−3=0，解得m1=3，m2=−1，∵m≥−34，∴m的值为3．故选：A．先利用根的判别式得到m≥−34，再根据根与系数的关系得α+β=2m+3，αβ=m2，则2m+3=m2，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定m的值．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了根的判别式．10.【答案】A【解析】解：如图，过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD=8，∠D=∠BCD=90°，AB//CD，∴∠D=∠EPF=90°，∴∠AED+∠DAE=90°，由旋转知，AE=FE，∠AEF=90°，∴∠AED+∠PEF=90°，∴∠PEF=∠DAE，在△PEF与△DAE中，{∠PEF=∠DAE ∠EPF=∠DFE=AE，∴△PEF≌△DAE(AAS)，∴PF=DE，PE=AD，∴PE=CD，∴PE−CE=CD−CE，∴PC=DE，∵FP⊥CD，∴∠PCF=45°，∴点F在∠BCP的平分线上，如图2，作点B关于直线CF的对称点M，连接AM交直线CF于点F，此时，AF+BF最小，∵点B关于直线CF的对称点M，{∠BCF=∠MCF CF=CF∠BFC=∠MFC，∴△BFC≌△MFC(ASA)，∴CM=BC=AB=8，∵AB//CD，∴四边形ABMC为平行四边形，∴BG=CG=12BC=4，设DE=x，由图1知，PE=PC=DE=x，∴PM=CM−PC=8−x，∵∠BCM=∠FPM=90°，∴PF//BC，∴△MPF∽△MCG，∴PFCG =PMCM，即x4=8−x8，解得：x=83，∴CE=CD−DE=8−83=163，∴EG=√CG2+CE2=203，故选：A．过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF，首先证明△PEF≌△DAE，得PF=DE，PE=AD，再证明点F在∠BCP的平分线上，作点B关于直线CF的对称点M，连接AM交直线CF于点F，此时，AF+BF最小，设DE=x，由图1知，PE=PC=DE=x，则PM= CM−PC=8−x，由△MPF∽△MCG，得到对应边成比例即可求出x的值，再利用勾股定理即可解决问题．本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力．11.【答案】x=±2【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程−直接开平方法，属于基础题．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．【解答】解：移项得x2=4，∴x=±2．故答案：x=±2．12.【答案】(3,4)【解析】解：点P(−3,−4)关于原点对称的点的坐标是(3,4)，故答案为：(3,4)．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)．13.【答案】y=(x−4)2−3【解析】解：将抛物线y=x2先向右平移4个单位长度，得：y=(x−4)2；再向上平移3个单位长度，得：y=(x−4)2−3，故答案为：y=(x−4)2−3．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．14.【答案】3.5【解析】解：建直角坐标系，如图：根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(−10,0)、(10,0)、(0,6)．将B、C的坐标代入y=ax2+c，得：{ c=6100a+c=0，解得：a=−350，c=6．∴抛物线的表达式是y=−350x2+6(−10≤x≤10)；在y=−350x2+6(−10≤x≤10)中，令x=5得y=−350×52+6=4.5，∴支柱MN的长度是8−4.5=3.5(米)；故答案为：3.5．根据题目建立直角坐标系，可得A.B，C的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，令x=5即可求出支柱MN的长度．本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．15.【答案】①②④【解析】解：①∵抛物线与x轴的一个交点在点(−3,0)和(−2,0)之间，而抛物线的对称轴为直线x=−1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间．∴当x=1时，y<0，即a+b+c<0，所以①结论正确；②∵抛物线的对称轴为直线x=−1，∴−b2a=−1，∴b=2a，∴2a−b=0，所以②结论正确；③一元二次方程ax2+(b+n2)x+c−n2=0的两根为x1，x2，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=−n2x+n2的交点的横坐标为x1，x2，∵直线y=−n2x+n2经过点(1,0)，(−1,n)，抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间．∴x1=−1，0<x2<1，∴|x1−x2|<2，所以③结论错误；④∵x=−1时，函数有最大值，∴a−b+c≥am2+bm+c(意实数m)，∴a(m2−1)+(m+1)b≤0，所以④结论正确；故答案为：①②④．利用抛物线的对称性，借组图象即可判断①；根据对称轴为直线x=−1即可判断②；根据题意得出x1=−1，0<x2<1，即可判断③；根据x=−1时，函数有最大值即可判断④．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．16.【答案】23√19【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AB//CD，∴∠AED=∠CDE，设AE=x(0<x<7)，则BE=AB−AE=7−x，∵沿DE 折叠该纸片使点A 的对应点为A′，再沿经过点E 的直线EF 对折(点F 在边BC 上)，点B 的对应点B′恰好落在边CD 上，∴A′E =AE =x ，A′D =AD =2√2，∠DA′E =∠A =90°，∠A′ED =∠AED ，B′E =BE =7−x ，∴∠CDE =∠A′ED ，∴B′D =B′E =7−x ，∵E ，A′，B′三点在同一直线上，∴∠B′A′D =90°，A′B′=BE −A′E =7−x −x =7−2x ，在Rt △A′B′D 中，由勾股定理得：A′D 2+A′B′2=B′D 2，即(2√2)2+(7−2x)2=(7−x)2，整理得：3x 2−14x +8=0，解得：x =23或x =4，∵0<x <7，A′B′=7−2x >0，∴0<x <72，∴x =23，即AE =23，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：DE =√AE 2+AD 2=√(23)2+(2√2)2=23√19， 故答案为：23√19．设AE =x(0<x <7)，则BE =7−x ，由折叠的性质得A′E =AE =x ，A′D =AD =2√2，∠DA′E =∠A =90°，∠A′ED =∠AED ，B′E =BE =7−x ，再证B′D =B′E =7−x ，然后在Rt △A′B′D 中，由勾股定理得出方程，求出AE =23，最后由勾股定理求解即可． 本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．17.【答案】解：∵a =1，b =−2，c =−1∴b 2−4ac =4−4×1×(−1)=8>0∴x =−b ±√b 2−4ac 2a =2±√82×1=1±√2 ∴x 1=1+√2，x 2=1−√2．【解析】本题考查了解一元二次方程的方法．先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解．18.【答案】4【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+2x+3经过点A(−1,0)，∴a−2+3=0，解得：a=−1，∴二次函数的解析式为y=−x2+2x+3，令y=0，得−x2+2x+3=0，解得：x1=3，x2=−1，∴B(3,0)；(2)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴当x=1时，y最大值=4．故答案为：4．(1)运用待定系数法即可求得二次函数的解析式，令y=0，解一元二次方程即可求得点B的坐标；(2)运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出答案．本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与x轴交点坐标，二次函数最值等，难度较小，是常见的基础题．19.【答案】解：设共有x个队参加比赛，则每队要参加(x−1)场比赛，=45，根据题意得：x(x−1)2解得：x1=10，x2=−9(不合题意，舍去)．答：共有10个队参加参加比赛．【解析】设共有x个队参加比赛，则每队要参加(x−1)场比赛，根据共要比赛45场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20.【答案】5【解析】解：(1)∵点A(−1,1)、B(3,1)、C(3,4)，∴AB=4，BC=3，∴AC=√AB2+BC2=√42+32=5，故答案为：5；(2)如图，点P即为所求；(3)如图，△A′B′C即为所求；直线l的解析式为：y=2x−2．(1)根据点A(−1,1)、B(3,1)、C(3,4)，利用勾股定理即可求出AC的长；(2)取格点D，E，F连接CD，EF交于点G，连接AG交格点于点P即可；(3)根据题意和翻折的性质即可画出翻折后的图形△A′B′C，进而可得直线l的解析式．本题考查作图−复杂作图，勾股定理，翻折变换，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．21.【答案】(1)证明：∵OD//BC ，∴∠ODB =∠CBD ，∵OB =OD ，∴∠ODB =∠OBD ，∴∠OBD =∠CBD ，∴BD 平分∠ABC ；(2)解：过O 点作OH ⊥BC 于H ，如图，则BH =CH =12BC =32，∵DE ⊥AB ，OH ⊥BC ，∴∠DEO =90°，∠OHB =90°，∵OD//BC ，∴∠DOE =∠OBH ，在△ODE 和△BOH 中，{∠DEO =∠OHB ∠DOE =∠OBH OD =BO，∴△ODE≌△BOH(AAS)，∴DE =OH =2，在Rt △OBH 中，OB =√BH 2+OH 2=√(32)2+22=52， 即⊙O 的半径长为52．【解析】(1)利用平行线的性质得到∠ODB =∠CBD ，加上∠ODB =∠OBD ，所以∠OBD =∠CBD ；(2)过O 点作OH ⊥BC 于H ，如图，根据垂径定理得到BH =CH =32，再证明△ODE≌△BOH 得到DE =OH =2，然后利用勾股定理计算OB 的长即可．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和全等三角形的判定与性质．22.【答案】371.2【解析】解：(1)y=(x−16)(170−5x)=−5x2+250x−2720；(2)由y=280，得−5x2+250x−2720=280．化简整理得x2−50x+600=0．解得x1=20，x2=30．由题意可知，x≤16×(1+40%)=22.4，∴x=20，答：每件商品的售价应定为20元；(3)在y=−5x2+250x−2720中，∵a=−5<0，x=− b2a =−2502×(−5)=25，∴当x≤22.4时，y随x的增大而增大．∴当x=22.4时，y的值最大，此时y=(22.4−16)(170−5×22.4)=371.2，故答案为：371.2．(1)根据：每件盈利×销售件数=总盈利额；其中每件盈利=每件售价−每件进价，建立等量关系；(2)由每天销售该商品要获得280元的利润，结合(1)列方程即可解出答案；(3)根据自变量的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题．本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．23.【答案】DE+AB=√2AC【解析】解：(1)∠E+∠B=180°，理由如下：连接FG，如图1，∵AC=DF，∠A=∠D，AB=DG，∴△ABC≌△DGF(SAS)，∴∠B=∠DGF，BC=GF，又∵BC=EF，∴GF=EF，∴∠E=∠FGE，又∵∠DGF+∠EGF=180°，∴∠EGF+∠B=180°，即∠E+∠B=180°；(2)延长DE至H，使EH=AB，由(1)知，∠B+∠DEF=180°，又∵∠DEF+∠FEH=180°，∴∠B=∠FEH，又∵CB=FE，AD=EH，∴△ABC≌△HEF(ASA)，∴∠H=∠A=45°，∵∠D=45°，∴DF=HF，∠DFH=90°，sinH=sin45°=DFDH =√22，∴DH=DF√22=√2DF，∵DH=DE+EH=DE+AB，DF=AC，∴DE+AB=√2AC，故答案为：DE+AB=√2AC；(3)过A作AF⊥BD交BD的延长线于F，过B作BE⊥AC于E，∵∠ADB+∠ACB=180°，∠ADB+∠ADF=180°，∴∠ADF=∠ACB，∵∠AFD=∠BEC=90°，AD=BC，∴△AFD≌△BEC(AAS)，∴DF=EC，AF=BE，又∵AB为公共边，∴Rt△ABE≌Rt△ABF(HL)，∴BF=AE，∴BD +DF =BF =AE =AC −EC ，∴3+EC =4−EC ，∴EC =12， ∴AE =4−12=72， 在Rt △ABE 中，cos∠EAB =AE AB =√32， ∴AB =2√33AE =2√33×72=7√33． (1)连接FG ，利用SAS 证明△ABC≌△DGF ，得∠B =∠DGF ，BC =GF ，再利用等腰三角形的性质可得结论；(2)延长DE 至H ，使EH =AB ，利用ASA 证明△ABC≌△HEF ，得∠H =∠A =45°，则有DH =√2DF ，即可解决问题；(3)过A 作AF ⊥BD 交BD 的延长线于F ，过B 作BE ⊥AC 于E ，证明△AFD≌△BEC(AAS)，得DF =EC ，AF =BE ，又AB 为公共边，证得Rt △ABE≌Rt △ABF(HL)，得BF =AE ，求出AE 的长，从而解决问题．本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，能够熟练运用基本模型是解决问题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2−2ax +m 经过点(−1,0)，(0,−3)，∴{a +2a +m =0m =−3． 解得：{a =1m =−3． ∴此抛物线的解析式为：y =x 2−2x −3．(2)在第二象限内的抛物线上存在一点P ，使∠PBF =∠DFB ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，过点F 作FG ⊥OA 于点G ，如图，设P(t,t 2−2t −3)，点P 在第二象限内，∴PH =t 2−2t −3，OH =−t ，∴HB =OB +OH =3−t ．令y =0，则x 2−2x −3=0．解得：x =−1或3，∴B(3,0)．设直线BC 的解析式为y =kx +b ，由题意得：{3k +b =0b =−3， 解得：{k =1b =−3． ∴直线BC 的解析式为y =x −3．∴{y =x −3y =−2x −4． 解得：{x =−13y =−103． ∴F(−13,−103).∴OG =13，FG =103． ∵A(−1,0)，∴OA =1．对于y =−2x −4，令y =0，则−2x −4=0，解得：x =−2，∴D(−2,0)．∴OD =2，∴DG =OD −OG =53．∴BG =OB +OG =103． ∴FG =BG ．∴∠GFB =∠GBF =45°．∵∠PBF =∠DFB ，∴∠GFD =∠PBH ．∵∠DGF =∠PHB =90°，∴△AFD∽△HPB ．∴DG GF =PH BH ．∴53103=t2−2t−33−t．解得：t=3或−32．∵点P在第二象限内，∴t=−32．∴P(−32,9 4 ).∴在第二象限内的抛物线上存在一点P，使∠PBF=∠DFB，此时点P的坐标为：(−32,9 4 ).(3)在抛物线上一定能找到点M，使得GM=MN.理由：设点G(m,−2m−4)，M(n,n2−2n−3)，∵GM=MN，∴N(2n−m,2(n2−2n−3)++2m+4)，∵点N在抛物线y=x2−2x−3上，∴2(n2−2n−3)++2m+4=(2n−m)2−2(2n−m)−3．整理得：m2−4mn+2n2−1=0．∵Δ=(−4n)2−4×1×(2n2−1)=8n2+4>0，∴无论n为任何值，关于m的方程总有两个不相等的实数根，即对于直线l上任意给定的点G，在抛物线上总能找到两个满足条件的点M，使得MG= MN．【解析】(1)利用待定系数法将A，C坐标代入解析式即可求得结论；(2)过点P作PH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥OA于点G，利用直线的解析式求得点B，F的坐标从而求出线段OG，FG，AG，BG的长度，设P(t,t2−2t−3)，则PH=t2−2t−3，OH=−t，HB=OB+OH=3−t，利用△AFD∽△HPB，列出比例式即可求解；(3)在抛物线上一定能找到点M，使得GM=MN.设点G(m,−2m−4)，M(n,n2−2n−3)，利用GM=MN可得点N的坐标，将点N坐标代入抛物线解析式得到关于m，n的关系式，利用Δ>0说明无论n为任何值，关于m的方程总有两个不相等的实数根，从而得出结论．本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．。
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2022-2023湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠02．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的根的情况是（）A．无实根B．有两相等实根 C．有两不等实根 D．无法判断3．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形 D．正方形4．已知方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2，则x1x2的值等于（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．5．如图，△ABC≌△AED，点D落在BC上，且∠B=60°，则∠EDC的度数等于（）A．45° B．30° C．60° D．75°6．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于P，且P为OC的中点，则∠BAC的度数是（）A．45° B．60° C．25° D．30°7．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼撘而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案小木棒根数是（）A．42 B．48 C．54 D．568．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A．（1+x）2=57 B．1+x+x2=57 C．（1+x）x=57 D．1+x+2x=579．将抛物线y=2x2﹣1，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是（）A．（2，1） B．（1，2） C．（1，﹣1）D．（1，1）10．如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（）A．3 B．3C．2 D．2二、填空题11．方程3x2﹣2x﹣1=0的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．12．点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是．13．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x= ．14．如图，⊙O的直径AB为13cm，弦AC为5cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长是cm．15．抛物线y=ax2+b+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是．16．如图，等边△ABC和等边△ADE中，AB=2，AD=2，连CE，BE，当∠AEC=150°时，则BE= ．三、解答题17．按要求解下列方程：x2+x﹣3=0（公式法）18．已知抛物线的顶点为（1，﹣4），且过点（﹣2，5）．（1）求抛物线解析式；（2）求函数值y＞0时，自变量x的取值范围．19．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，求证：AD=CD．20．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上将△ABC绕点A顺时针旋转90°．（1）画出旋转后的△AB′C′；（2）以点C为坐标原点，线段BC、AC所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，请直接写出点B′的坐标；（3）写出△ABC在旋转过程中覆盖的面积．21．如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？22． 十一黄金周商场大促销，某店主计划从厂家采购高级羽绒服和时尚皮衣两种产品共20件，高级羽绒服的采购单价y 1（元/件）与采购数量x 1（件）满足y 1=﹣20x 1+1500（0＜x 1≤20，x 1为整数）；时尚皮衣的采购单价y 2（元/件）与采购数量x 2（件）满足y 2=﹣10x 2+1300（0＜x 2≤20，x 2为整数）．（1）经店主与厂家协商，采购高级羽绒服的数量不少于时尚皮衣数量，且高级羽绒服采购单价不低于1240元，问该店主共有几种进货方案？（2）该店主分别以1760元/件和1700元/件的销售出高级羽绒服和时尚皮衣，且全部售完，则在（1）问的条件下，采购高级羽绒服多少件时总利润最大？并求最大利润．23．已知在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，BM ⊥CM 于M ，且CM ＞BM（1）如图1，过点A 作AF ⊥CM 于F ，直线写出线段BM 、AF 、MF 的数量关系是（2）如图2，D 为BM 延长线上一点，连AD 以AD 为斜边向右侧作等腰Rt △ADE ，再过点E 作EN ⊥BM 于N ，求证：CM+EN=MN ；（3）将（2）中的△ADE 绕点A 顺时针旋转任意角α后，连BD 取BD 中点P ，连CP 、EP ，作出图形，试判断CP 、EP 的数量和位置关系并证明．24．如图，二次函数y=a （x 2﹣2mx ﹣3m 2）（其中a ，m 为常数，且a ＞0，m ＞0）的图象与x 轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 左侧），与y 轴交于点C （0，﹣3），点D 在二次函数图象上，且CD ∥AB ，连AD ；过点A 作射线AE 交二次函数于点E ，使AB 平分∠DAE（1）当a=1时，求点D 的坐标；（2）证明：无论a 、m 取何值，点E 在同一直线上运动；（3）设该二次函数图象顶点为F ，试探究：在x 轴上是否存在点P ，使以PF 、AD 、AE 为边构成的三角形是以AE 为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m 的代数式表示点P 的横坐标；如果不存在，请说明理由．2022-2023湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的根的情况是（）A．无实根B．有两相等实根 C．有两不等实根 D．无法判断【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）=16＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．3．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形 D．正方形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．已知方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2，则x1x2的值等于（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．【考点】根与系数的关系．【分析】利用根与系数的关系，直接得出两根的积．【解答】解：∵方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2，∴x1x2=﹣．故选：B．【点评】此题考查根与系数的关系，设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=．5．如图，△ABC≌△AED，点D落在BC上，且∠B=60°，则∠EDC的度数等于（）A．45° B．30° C．60° D．75°【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE=60°，AB=AD，∴∠ADB=∠B=60°，∴∠EDC=180°﹣∠ADE﹣∠ADB=60°．故选C．【点评】本题考查了全等三角形的性质，邻补角的定义的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．6．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于P，且P为OC的中点，则∠BAC的度数是（）A．45° B．60° C．25° D．30°【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形．【分析】连接OB，根据OC⊥AB，P为OC的中点可得出OP=OB，故∠OBP=30°，由直角三角形的性质得出∠BOP的度数，根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接OB，∵OC⊥AB，P为OC的中点，∴OP=OB，∴∠OBP=30°，∴∠BOP=90°﹣30°=60°，∴∠BAC=∠BOP=30°．故选D．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．7．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼撘而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案小木棒根数是（）A．42 B．48 C．54 D．56【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由题意可知：第1个图案需要小木棒1×（1+3）=4根，第二个图案需要2×（2+3）=10根，第三个图案需要3×（3+3）=18根，第四个图案需要4×（4+3）=28根，…，继而即可找出规律，进一步求出第6个图案需要小木棒的根数．【解答】解：拼搭第1个图案需4=1×（1+3）根小木棒，拼搭第2个图案需10=2×（2+3）根小木棒，拼搭第3个图案需18=3×（3+3）根小木棒，拼搭第4个图案需28=4×（4+3）根小木棒，…拼搭第n个图案需小木棒n（n+3）=n2+3n根．当n=6时，n2+3n=62+3×6=54．故选：C．【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．8．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A．（1+x）2=57 B．1+x+x2=57 C．（1+x）x=57 D．1+x+2x=57【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】关键描述语是“主干、支干、小分支的总数是73”，等量关系为：主干1+支干数目+小分支数目=57，把相关数值代入即可．【解答】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，∴小分支的个数为x×x=x2，∴可列方程为1+x+x2=57．故选B．【点评】考查列一元二次方程，得到主干、支干、小分支的总数的等量关系是解决本题的关键．9．将抛物线y=2x2﹣1，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是（）A．（2，1） B．（1，2） C．（1，﹣1）D．（1，1）【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据平移规律作答即可．【解答】解：将抛物线y=2x2﹣1向上平移2个单位再向右平移1个单位后所得抛物线解析式为y=2（x﹣1）2+1，所以平移后的抛物线的顶点为（1，1）．故选D．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．10．如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（）A．3 B．3C．2 D．2【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】首先作A关于ON的对称点A′，点B关于OM的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA′，OB′，可求得AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°，然后由特殊角的三角函数值，判定∠OA′B′=90°，再利用勾股定理求得答案．【解答】解：作A关于ON的对称点A′，点B关于OM的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA′，OB′，则PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°，∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°，∵cos60°=， =，∴∠OA′B′=90°，∴A′B′==2，∴线段AQ+PQ+PB的最小值是：2．故选D．【点评】此题考查了最短路径问题以及勾股定理．注意准确找到P，Q的位置是解此题的关键．二、填空题11．方程3x2﹣2x﹣1=0的二次项系数是 3 ，一次项系数是﹣2 ，常数项是﹣1 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项进行分析即可．【解答】解：方程3x2﹣2x﹣1=0的二次项系数是3，一次项系数是﹣2，常数项是﹣1，故答案为：3；﹣2；﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．12．点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是（1，﹣2）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：它们的坐标符号相反可直接得到答案．【解答】解：点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．13．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中，会得到一个新的实数a 2﹣2b+3．若将实数（x ，﹣2x ）放入其中，得到﹣1，则x= ﹣2 ．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】新定义．【分析】根据新定义得到x 2﹣2•（﹣2x ）+3=﹣1，然后把方程整理为一般式，然后利用配方法解方程即可．【解答】解：根据题意得x 2﹣2•（﹣2x ）+3=﹣1，整理得x 2+4x+4=0，（x+2）2=0，所以x 1=x 2=﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．14．如图，⊙O 的直径AB 为13cm ，弦AC 为5cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，则CD 长是 cm ．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．【分析】首先作DF ⊥CA ，交CA 的延长线于点F ，作DG ⊥CB 于点G ，连接DA ，DB ．由CD 平分∠ACB ，根据角平分线的性质得出DF=DG ，由HL 证明△AFD ≌△BGD ，得出CF 的长，又△CDF 是等腰直角三角形，从而求出CD 的长．【解答】解：作DF ⊥CA ，垂足F 在CA 的延长线上，作DG ⊥CB 于点G ，连接DA ，DB ．∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD=∠BCD∴DF=DG，，∴DA=DB．∵∠AFD=∠BGD=90°，在Rt△ADF和Rt△BDG，，∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），∴AF=BG．同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），∴CF=CG．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AC=5cm，AB=13cm，∴BC==12（cm），∴5+AF=12﹣AF，∴AF=，∴CF=，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，∵△CDF是等腰直角三角形，∴CD=（cm）．故答案为：．【点评】本题综合考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用．注意准确作出辅助线是解此题的关键．15．抛物线y=ax2+b+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3 ．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】先求出抛物线与x轴另一交点的坐标，再利用函数图象即可而出结论．【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），对称轴是直线x=1，∴抛物线与x轴另一交点的坐标是（3，0），∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故答案为：x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键．16．如图，等边△ABC和等边△ADE中，AB=2，AD=2，连CE，BE，当∠AEC=150°时，则BE= 4 ．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．【分析】如作CM⊥AE于M，设CM=a，在RT△ACM利用勾股定理求出a，再求出CE，由△CAE≌△BAD，得到EC=BD，在RT△EBD中利用勾股定理即可求出BE．【解答】解：如作CM⊥AE于M，设CM=a，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AC=AB=2，AE=AD=DE=2，∠CAB=∠EAD=∠EDA=60°，∴∠CAE=∠BAD，在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD，∴EC=BD，∴∠AEC=∠ADB=150°，∴∠EDB=90°，∵∠AEC=150°，∴∠CEM=180°﹣∠AEC=30°，∴EM=a，在RT△ACM中，∵AC2=CM2+AM2，∴28=a2+（2+a）2a=1（或﹣4舍弃），∴EC=BD=2CM=2，在RT△EBD中，∵DE=2，BD=2，∴EB===4．故答案为4．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形中30度角的性质，解题的关键是利用150°构造30°的直角三角形，求出相应的线段，属于中考常考题型．三、解答题17．按要求解下列方程：x2+x﹣3=0（公式法）【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式x=计算即可．【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣3）=13＞0，x==，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，掌握求根公式x=是本题的关键．18．已知抛物线的顶点为（1，﹣4），且过点（﹣2，5）．（1）求抛物线解析式；（2）求函数值y＞0时，自变量x的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】（1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把（﹣2，5）代入求出a的值即可；（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把（﹣2，5）代入得a•（﹣2﹣1）2﹣4=5，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；（2）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则抛物线与x轴的两交点坐标为（﹣1，0），（3，0），而抛物线的开口向上，所以当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，求证：AD=CD．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，根据垂径定理可得AD=2AF，CD=2CE，∠OEC=∠OFA=90°，然后由AAS判定△COE≌△AOF，继而证得CE=AF，则可证得结论．【解答】证明：∵CD⊥AB，CO⊥AB，∴∠OEC=∠OFA=90°，AD=2AF，CD=2CE，在△OCE和△OAF中，，∴△OCE≌△OAF（AAS），∴CE=AF，∴AD=CD．【点评】此题考查了圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．注意证得△OCE≌△OAF是解此题的关键．20．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上将△ABC绕点A顺时针旋转90°．（1）画出旋转后的△AB′C′；（2）以点C为坐标原点，线段BC、AC所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，请直接写出点B′的坐标（1，1）；（3）写出△ABC在旋转过程中覆盖的面积π+1 ．【考点】作图-旋转变换．【专题】作图题．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B和C的对应点B′、C′，即可得到△AB′C′；（2）建立直角坐标系，然后写出点B′的坐标；（3）根据扇形面积公式，计算S扇形BAB′+S△B′AC′，即可得到△ABC在旋转过程中覆盖的面积．【解答】解：（1）如图，△AB′C′为所作；（2）如图，点B′的坐标为（1，1）；（3）△ABC在旋转过程中覆盖的面积=S扇形BAB′+S△B′AC′=+×1×2=π+1．故答案为（1，1），π+1．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21．如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设横彩条的宽度是2xcm，竖彩条的宽度是3xcm，根据设计的图案宽20cm、长30cm，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，彩条所占面积是图案面积的，列出方程求解即可．【解答】解：设横彩条的宽度是2xcm ，竖彩条的宽度是3xcm ，则（30﹣6x ）（20﹣4x ）=（1﹣）×20×30，解得x 1=1或x 2=9．∵4×9=36＞20，∴x=9 舍去，∴横彩条的宽度是2cm ，竖彩条的宽度是3cm ．【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，根据题、图，正确的列出方程，此时注意，把不合题意的解舍去．22．十一黄金周商场大促销，某店主计划从厂家采购高级羽绒服和时尚皮衣两种产品共20件，高级羽绒服的采购单价y 1（元/件）与采购数量x 1（件）满足y 1=﹣20x 1+1500（0＜x 1≤20，x 1为整数）；时尚皮衣的采购单价y 2（元/件）与采购数量x 2（件）满足y 2=﹣10x 2+1300（0＜x 2≤20，x 2为整数）．（1）经店主与厂家协商，采购高级羽绒服的数量不少于时尚皮衣数量，且高级羽绒服采购单价不低于1240元，问该店主共有几种进货方案？（2）该店主分别以1760元/件和1700元/件的销售出高级羽绒服和时尚皮衣，且全部售完，则在（1）问的条件下，采购高级羽绒服多少件时总利润最大？并求最大利润．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）首先根据题意求出x 的取值范围，结合x 为整数，即可判断出商家的几种进货方案；（2）令总利润为W ，根据利润=售价﹣成本列出W 与x 的函数关系式W=30（x ﹣9）2+9570，求出二次函数的最值即可．【解答】解：（1）设购买羽绒服x 件，则购买皮衣（20﹣x ）件，则： ，∴10≤x ≤13且为整数，∴该店主有4种进货方案：羽绒服10件，皮衣10件；羽绒服11件，皮衣9件；羽绒服12件，皮衣8件；羽绒服13件，皮衣7件；（2）设购买羽绒服x件，利润为W元，则W=（1760+20x﹣1500）x+（1700+10（20﹣x）﹣1300）（20﹣x）=30（x﹣9）2+9570（10≤x≤13且为整数）∵a=30＞0，∴当10≤x≤13且为整数是，W随x的增大而增大，∴当x=13时，最大利润为10050元．答：当采购羽绒服13件时，有最大利润为10050元．【点评】本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润，此题难度一般．23．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BM⊥CM于M，且CM＞BM（1）如图1，过点A作AF⊥CM于F，直线写出线段BM、AF、MF的数量关系是AF=BM+MF（2）如图2，D为BM延长线上一点，连AD以AD为斜边向右侧作等腰Rt△ADE，再过点E作EN⊥BM 于N，求证：CM+EN=MN；（3）将（2）中的△ADE绕点A顺时针旋转任意角α后，连BD取BD中点P，连CP、EP，作出图形，试判断CP、EP的数量和位置关系并证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS推知△ACF≌△CBM，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换，即可解答；（2）如图2，过点A作AG⊥CM于G，反向延长GA交EN于H，由四边形GMNH为矩形，得到AH⊥EN，根据三垂直得：△CMB≌△AGC，△AEH≌△EDN，利用全等三角形的对应边相等得到相等的线段，即可解答．（3）取AB的中点M、AD的中点N，连接PM、CM、NE、PN，则可构造△PNE≌CMP，结论不言而喻．【解答】解：（1）AF=BM+MF，∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCM=90°．又∵AF⊥CM，∴∠ACF+∠CAF=90°，∴∠CAF=∠BCM．在△ACF和△CBM中，，∴△ACF≌△CBM，∴BM=CF，AF=CM，∴CF+MF=BM+MF=MC=AF，即AF=BM+MF．故答案为：AF=BM+MF．（2）如图2，过点A作AG⊥CM于G，反向延长GA交EN于H，∴四边形GMNH为矩形∴AH⊥EN根据三垂直得：△CMB≌△AGC，△AEH≌△EDN，∴CM=AG，EN=AH，∴MN=GH=GA+AH=CM+EN．（3）如图3，取AB的中点M、AD的中点N，连接PM、CM、NE、PN，∵△BCA与△AED均为等腰直角三角形，∴CM=BM=AM，CM⊥BA，EN=AN=DN，NE⊥AD，∵P为BD中点，∴PN=AM=BM=CM，PN∥BA，PM=AN=DN=NE，PM∥AD，∴AMPN是平行四边形，∴∠BMP=∠PND，∴∠PMC=∠ENP，∴△PNE≌CMP（SAS），∴CP=PE，∵CM⊥AB，PN∥AB，∴CM⊥PN，∴CP⊥PE，综上所述，CP=PE且CP⊥PE．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，线段和差关系的证明方法、中点的用法、中位线性质等知识点，难度中等．对于证明线段和差关系的结论，截长或补短构造全等三角形是关键．第（3）问是中点的经典用法，取中点，借助中位线转移线段长度和角度，从而构造全等三角形，这一类题要引起重视．24．如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m为常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），点D在二次函数图象上，且CD∥AB，连AD；过点A作射线AE交二次函数于点E，使AB平分∠DAE（1）当a=1时，求点D的坐标；（2）证明：无论a、m取何值，点E在同一直线上运动；（3）设该二次函数图象顶点为F，试探究：在x轴上是否存在点P，使以PF、AD、AE为边构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意将a=1，C（0，﹣3）代入y=a（x2﹣2mx﹣3m2），进而求出m的值，即可得出答案；（2）首先根据题意表示出A，B，C，D，进而联立，求出E点坐标即可得出答案；（3）由（2）得：F（m，﹣4）、E（4m，5）、A（﹣m，0）、D（2m，﹣3），再利用PF，AD，AE的关系得出答案．【解答】解：（1）当a=1时，y=a（x2﹣2mx﹣3m2）=x2﹣2mx﹣3m2，∵与y轴交于点C（0，﹣3），∴﹣3m2=﹣3，解得：m=±1，∵m＞0，∴m=1，∴抛物线解析式为：y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2+4，故抛物线顶点坐标为：D （2，﹣3）；（2）作D 关于AB 对称的点D′必在AE 上，当y=0，则0=a （x 2﹣2mx ﹣3m 2），解得：x 1=﹣m ，x 2=3m ，当x=0，y=﹣3am 2，可得：A （﹣m ，0）、B （3m ，0），C （0，﹣3am 2），D （2m ，﹣3am 2）∴D′（2m ，3am 2），∵抛物线过点C ，∴﹣3am 2=﹣3，则am 2=1，∴直线AD′的解析式为：y=x+1， 联立，整理得x 2﹣3mx ﹣4m 2=0解得x 1=4m ，x 2=﹣m （舍去）∴E （4m ，5）∴E 在y=5上运动；（3）由（2）得：F （m ，﹣4）、E （4m ，5）、A （﹣m ，0）、D （2m ，﹣3）设P （b ，0）∴PF 2=（m ﹣b ）2+16，AD 2=9m 2+9，AE 2=25m 2+25∴（m ﹣b ）2+16+9m 2+9=25m 2+25，解得：b 1=﹣3m ，b 2=5m∴P （﹣3m ，0）或（5m ，0）．【点评】本题考查了二次函数性质、勾股定理及函数图象上点的坐标性质等知识，正确解方程得出解集进而得出E点坐标是解题关键．。