高中数学(苏教版必修2)：第1章 1.3.2 空间几何体的体积

1.3.2空间几何体的体积

1．了解球、柱、锥和台的体积的计算公式(不要求记忆公式)．(重点) 2．会求柱、锥、台和球的体积．(重点、易错点)

3．会求简单组合体的体积及表面积．(难点

)

[基础·初探]

教材整理1柱体、锥体、台体的体积

阅读教材P56～P58第8行，完成下列问题．

柱体、锥体、台体的体积

几何体体积

柱体V

柱体

＝Sh(S为底面面积，h为高)，V

圆柱

＝πr2h(r为底面半径) 锥体

V锥体＝

1

3Sh(S为底面面积，h为高)

V圆锥＝

π

3r

2h(r为底面半径)

台体

V台体＝

1

3h(S＋SS′＋S′)(S′，S分别为上、下底面面积，h

为高)，V

圆台

＝

1

3πh(r′

2＋rr′＋r2)(r′，r分别为上、下底面半径)

1．若正方体的体对角线长为a，则它的体积为________．

【解析】设正方体的边长为x，则3x＝a，故x＝

a

3

，V＝

3

9a

3.

【★答案★】

3

9a

3

2．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方体，则此圆柱的体积为__________．

【解析】 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有2πr ＝2，即r ＝1

π，故圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1π2×2＝2π.

【★答案★】 2

π

3．如图1－3－6，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.

图1－3－6

【解析】 设三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ·12h ＝

1

24Sh

＝1

24V 2，即V 1∶V 2＝1∶24. 【★答案★】 1∶24

教材整理2 球的体积和表面积 阅读教材P 58～P 59例1，完成下列问题． 若球的半径为R ，则 (1)球的体积V ＝4

3πR 3. (2)球的表面积S ＝4πR 2.

1．若球的表面积为36π，则该球的体积等于________． 【解析】 设球的半径为R ，由题意可知4πR 2＝36π，∴R ＝3. ∴该球的体积V ＝4

3πR 3＝36π.

【★答案★】 36π

2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为________.

【导学号：41292051】

【解析】 S 1S 2＝4πr 214πr 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1

9.

【★答案★】 1∶9

[小组合作型]

多面体的体积

如图1－3－7，已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝4，

BC ＝3，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，求三棱锥A 1－B 1CD 的体积．

图1－3－7

【精彩点拨】 法一：VA 1－B 1CD ＝V 柱

－VA 1－ADC －VB 1－BDC －VC －

A 1

B 1

C 1.

法二：利用等体积法求解，VA 1－B 1CD ＝VC －A 1B 1D .

【自主解答】 ∵AA 1＝AC ＝4，BC ＝3，AC ⊥BC ，∴AB ＝A 1B 1＝5. 法一 由题意可知VA 1B 1C 1－ABC ＝S △ABC ×AA 1 ＝1

2×4×3×4＝24.

又VA 1－ADC ＝13×12S △ABC ×AA 1＝1

6S △ABC ×AA 1＝4.

VB 1－BDC ＝13×12S △ABC ×BB 1＝1

6S △ABC ×BB 1＝4. VC －A 1B 1C 1＝1

3S △A 1B 1C 1×CC 1＝8，

∴VA 1－B 1CD ＝VA 1B 1C 1－ABC －VA 1－ADC －VB 1－BDC －VC －A 1B 1C 1 ＝24－4－4－8＝8.

法二 在△ABC 中，过C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， 由平面ABB 1A 1⊥平面ABC 知，CF ⊥平面A 1B 1BA .

又S △A 1B 1D ＝12A 1B 1·AA 1＝1

2×5×4＝10. 在△ABC 中，CF ＝AC ·BC AB ＝3×45＝125. ∴VA 1－B 1CD ＝VC －A 1B 1D ＝1

3S △A 1B 1D ·CF ＝13×10×12

5＝8.

几何体的体积的求法

1．直接法：直接套用体积公式求解．

2．等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到．

3．分割法：在求一些不规则的几何体的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体．

4．补形法：对一些不规则(或难求解)的几何体，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的几何体．

[再练一题]

1．如图1－3－8，在三棱锥P－ABC中，P A＝a，AB＝AC＝2a，∠P AB＝∠P AC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P－ABC的体积．

图1－3－8

【解】∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC为正三角形，设D为BC的中点，连结AD，PD，作PO⊥平面ABC.

∵∠P AB＝∠P AC且AB＝AC，∴O∈AD.

作PE⊥AB于点E，连结OE，

则OE⊥AB.

在Rt△P AE中，PE＝a sin 60°

＝

3

2a，AE＝

a

2.

在Rt△AEO中，OE＝a

2tan 30°＝

3

6a.

∴OP＝PE2－OE2＝

6 3a.

又S

△ABC ＝

1

2BC·AD＝3a

2.

∴V P

－ABC ＝

1

3·S△ABC·OP＝

2

3a

3.

旋转体的体积

圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？

【导学号：41292052】