振动作业

振动作业

1．立方体木块质量为m 静止在平静的湖面上，水的密度为ρ，浸水深度为h ，表面积为s, 在竖直方向做小幅振动。（１）证明若只考虑重力和水的浮力，则木块做简谐振动； （２）求振动周期。

解：（１）因木块平衡时mg gsh ρ=

当有位移x 时木块所受合力()F mg gs h x gsx ρρ=-+=-

由牛顿定律有22d x gsx m dt ρ-= 即220d x gsx

dt m

ρ+

= 令2

gs

m ρω= 则22

20d x x dt

ω+= 所以木块做简谐振动

（２）222T T

ππ

ωω

=

∴=

= 2．轻弹簧下端连接一质量为m 的物块，静止时弹簧在弹性限度内伸长0l 。突然物块断裂，有一半脱落，余下的一半物块开始振动，证明物块做简谐振动并写出振动表达式。 解：设弹性系数为k 则0

mg mg kl k l ==

剩下一半物块的平衡位置为1x 则

112

22

l m

mg g kx x k ==

= 以半个物块的平衡位置为坐标原点竖直向下为x 轴正方向，当物块有位移x 时所受合

力1()2m F g k x x kx =-+=- 22

2m d x kx dt

∴-= 2220d x k x dt m

∴+= 所以物块做简谐振动 取开始时刻为计时起点，则t=0时位移0

012

l x x == 速度00v = 则0

0A x ϕ== 又因为22k m

ω=

所以振动表达式为0cos()0)2l x A t ωϕ=+=+

3．某质点的振动曲线如图，用旋转矢量法求初相位和圆频率，并写出质点的振动方程。

解：

0.02002

A t x v ===

> 3ϕ∴=-

t=5 x=0 56t πω=

6

πω∴= cos()0.02cos()63

x A t t ππ

ωϕ∴=+=- 4．质量为10克的小球与轻弹簧组成的系统，按0.5cos(8)3

x t π

π=+

的规律而振动，式中

各量均为SI 制。求：（1）振动的园频率、周期、振幅、初相位、速度及加速度的最大值；

（2）t=1s t=2s 时刻的相位各为多少？

解：将运动方程与标准式比较cos()x A t ωϕ=+得

825.12/rad s ωπ== 0.252T s ωπ=

= 0.5A m = 3

πϕ= sin()dx v A t dt ωωϕ=

=-+ 2cos()dv

a A t dt

ωωϕ==-+ 12.6/m v A m s ω∴== 2316/m a A m s ω==

5．如图所示圆半径为10厘米，根据矢量图写出个图对应的振动的振动方程

x(m)

解：在旋转矢量图中振幅对应旋转半径，所以A=10cm=0.1m t=0时刻矢量与x 轴夹角为初相位ϕ 所以334

4

4

a b c π

ϕϕπ

ϕπ=

==-

t 时刻矢量与x 轴夹角为相位t ωϕ+ 所以ωπ=

c o s ()0.1c o s ()

4

a x A t t π

ω

ϕπ=+=+ 3cos()0.1cos()4b x A t t π

ωϕπ=+=+

3cos()0.1cos()4

c x A t t π

ωϕπ=+=-

6．如图所示根据振动位移曲线写出各条曲线的振动方程

解：由图知各条曲线对应的初相位为12

π

ϕ=-

2ϕπ= 32

πϕ=

221/T r a d s T

π

π

ω=∴=

= 1cos()0.1cos()2

x A t t π

ωϕ=+=-

2cos()0.1cos()x A t t ωϕπ=+=+

3cos()0.1cos()2

x A t t π

ωϕ=+=+

7．一原长0.6米的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.2kg 的小球。当小球静止时，弹簧的长度变为0.8米。现在将小球慢慢托起，使弹簧回到原长，然后释放，任其运动。（1）证明小球在竖直方向的运动为简谐振动；（2）求振动的振幅和园频率；（3）若从小球被释放时开

x(m)

始计时，写出振动方程。 解：（1）取小球平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标正方向

小球静止时弹簧伸长量00.80.60.2x m =-= 则0mg k x = 当有位移x 时合力0()F mg k x x kx =--=-

所以22d x kx m dt

-= 即220d x k

x dt m += 所以小球做简谐振动

（2）振幅000.2A x x m ===

园频率7/rad s ω=

=== （3）t=0时00.2x A =-=- ϕπ∴=

cos()0.2cos(7)x A t t ωϕπ∴=+=+

8．一质点同时参与两个在同一直线上的简谐运动：10.04cos(2)6

x t π

=+

250.03cos(2)6

x t π

=-

求和振动的振幅。（式中各量均为SI 制） 解：由表达式知两振动相位相反所以和振幅为120.01A A A m =-=

9．用三角函数法证明两个同方向同频率简谐运动的合成仍是同频率的简谐振动，且合振幅

为222

1212212cos()A A A A A ϕϕ=++-

证明： 111c o s ()x A t ωϕ=+ 222

c o s ()

x A t ωϕ=+ 121112

2(c o s c o s s i n s i n )(c o s c o s s i n s i n )

x x x A t t A t t ω

ϕωϕωϕωϕ

=+=-+- 11221122cos (cos cos )sin (sin sin )t A A t A A ωϕϕωϕϕ=+-+ cos cos sin sin cos()tA tA A t ωϕωϕωϕ=-=+ 1122

c o s c o s c o

s A A A ϕϕϕ+= 1122sin sin sin A A A ϕϕϕ+= 两式平方后相加得

222

1212212cos()A A A A A ϕϕ=++-

10．一弹簧振子做简谐振动，振幅A=0.2m 弹簧劲度系数k=2N/m 所系物体质量m=0.5kg 。