正方体截面形状
正方体的截面问题
正方体的截面问题作者：陈斌来源：《读与写·教师版》2018年第12期摘要：近几年高考全国数学试卷涉及正方体的截面问题的试题，本文就正方体的截面形状及性质进行了归纳整理，并对几道高考试题提出了解法。
关键词：高考;理数;正方体;截面中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2018）12-0237-01正方体的截面就是用一个平面去截正方体，正方体的表面与这个平面的交线围成的平面图形。
1.正方体的截面形状正方体的截面可以是三角形，四边形，五边形或六边形，具体说：（1）截面三角形一定是锐角三角形;其中可以是等边三角形、等腰三角形、不等边三角形;但不能是直角三角形、钝角三角形;（2）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形;并且四边形中至少有一组对边平行;截面不能是直角梯形;（3）截面可以是五边形;截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等;截面五边形不可能是正五边形（因为必有两组对边平行）;（4）截面可以是六边形;截面六边形必有分别平行的边，同时有两个角相等;截面六边形可以是等角（均为1200）的六边形，特别地，可以是正六边形。
2.正方体的截角面的性质所谓正方体的截角面就是沿正方体的某三个顶点截去它的一个角后的三角形截面。
如右图中的△A'BD。
（1）每个正方体都有八个截角面;（2）正方体的截角面垂直于它的一条体对角线，垂足是这条体对角线的一个三等分点。
（3）正方体的截角面与它的12条棱所成的角相等，也与它的六个面所成角相等。
由于截去的是正三棱锥，结合线面平行或面面平行的有关性质容易证明上述结论。
3.有关试题解法浅析（1）把正方体截去一个角，求证：截面三角形是锐角三角形。
分析：如图，应该从截去的部分入手，关注被截去棱的部分长AE、AF，AG对△EFG形状的影响。
解答：如图，设AE=a，AF=b，AG=c，则所以所以∠EFG所以为锐角;同理∠FGE，∠GEF都为锐角;故ΔEFG为锐角三角形。
正方体截面总结(最全适用于公事员图形推理)
正方体截面的形状可能出现锐角三角型、等边、等腰三角形,但不可能出现直角和钝角三角形四边形:可能出现正方形、矩形、非矩形的平行四边形、结论如下：1、可能显现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能显现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，觉察截面有很多形状。
假设用不同的截面去截一个正方体，取得的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方式先进行猜想，再利用马铃薯和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，因此用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取能够取得，或和侧面平行进行截取，由以下图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，取得的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，取得的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，因此对正方形的证明同适用于矩形。
第二，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体能够取得矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4.三角形：依照必然角度过正方体的三条棱进行截取能够取得三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体能够截得三角形截面。
但必然是锐角三角形，包括等腰和等边三角形专门的，当截面恰好通过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》取得：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如以下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如下图，当按必然角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如下图，能够截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法取得正五边形。
正方体的截面形状与训练含详解
正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。
（4）六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质1.正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。
聚焦核心素养,构建生动课堂——“正方体截面的形状”教学设计与思考
优质课例 ^l W\聚焦核心素养，构建生动课堂—“正方俥截面的形状”教字设计与思考■曾敏《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：数 学课程应倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习 数学的方式。
这些方式有助于发挥学生学习的主动 性，对培养学生良好的数学思维习惯、抽象能力及交 流合作能力大有裨益，从而促进学生发展，提高学生 数学核心素养。
截面问题是立体几何的典型问题。
教学“正方 体截面的形状”这节课时，教师利用正方体玻璃缸、水、量杯等实验工具开展数学探究活动，让学生在实 验探究中以分组讨论的方式开展研究性学习。
教师 通过问题导向、合作探究、数学实验，引导学生逐步 探究“正方体截面形状有哪些”和“正方体截面形状 的特征”，加深对截面问题的理解，实现由“教”到 “学”的转变,从而提升学生的核心素养。
教材分析“正方体截面的形状”是北师大版高中数学必修 2第1章“立体几何初步”中的课题学习内容。
在教 学中，我们希望学生通过“正方体截面的形状”的课 题学习，体会到“如何获得知识，比关注得到别人给 予的知识更重要”,体会到“问题是思考的结果，是深 人思考的开始；数学学习不仅要提高解决别人提出40 I X灰t 问题的能力，还要保持永不满足的好奇心，大胆地发 现问题、提出问题，养成问题意识和交流的习惯”，让 学生在学会数学的同时，培养数学核心素养。
学情分析学生已经学习了“立体几何初步”，对三维空间 有初步的认识，对简单几何体的基本特性和直观图、三视图有基本了解。
对空间的点、线、面的位置关系 也有了一定的理解，并初步学会用数学语言来描述 和论证某些位置关系（特别是平行和垂直关系）。
对 直观感知、操作确认、思辨论证和度量计算等方法有 了一定的体验。
有一定的空间想象能力，初步有了 推理论证和运用图形语言进行交流的能力。
教学过程一、创设情境，引人课题教师播放视频：《舌尖上的中国》(如下图），学生 观看视频。
Q I&S I S I 师：从视频中我们能感受到中国饮食文化的色、香、味、形。
正方体的截面
正方体的截面
作者：刘思武
来源：《初中生世界·七年级》2018年第12期
研究立体图形的时候，我们有时考虑截一个立体图形，研究截面的形状.本文通过研究正方体的截面来探究几何体截面的规律.
正方体的截面可以分为以下几种：
截面是三角形：如图1为锐角三角形，图2为等腰三角形，图3为等边三角形；
截面是四边形：如圖4为任意四边形，图5为等腰梯形，图6为长方形，图7为正方形；
截面是五边形：图8为任意五边形；
截面为六边形：图9为普通六边形，图10为正六边形.
（作者单位：南京外国语学校仙林分校燕子矶校区）。
正方体的几种截面
正方体的几种截面正方体是一种具有六个相等的正方形面的立体图形。
它的截面有多种形式，每一种截面都展现了正方体在不同方向上的特性和特点。
本文将以几种常见的正方体截面为标题，详细介绍它们的特点和应用。
一、正方形截面正方形截面是正方体最基本的截面形式。
它的特点是四条边相等且内角均为90度。
正方形截面在建筑、工程和设计领域中广泛应用。
例如，在建筑结构设计中，正方形截面的柱子能够提供较好的稳定性和承重能力，因此常用于大型建筑物的支撑结构。
二、长方形截面长方形截面是正方体的另一种常见截面形式。
它的特点是两对相等的边，且每一对边长度可以不相等。
长方形截面在工程和建筑领域中有着广泛的应用。
例如，在桥梁设计中，长方形截面的梁能够提供较好的强度和刚度，从而能够承受大量的荷载。
三、三角形截面正方体的三角形截面是指由正方体的三个顶点和与它们相连的三条边所围成的图形。
三角形截面具有较高的稳定性和刚度，因此常用于建筑中的支撑结构或桥梁中的支撑柱。
此外，三角形截面还常用于设计飞机或汽车的支撑杆，以提高结构的强度和稳定性。
四、菱形截面菱形截面是指由正方体的四个角点和与它们相连的四条边所围成的图形。
菱形截面具有较好的强度和稳定性，因此常用于建筑物的支撑结构或桥梁中的支撑柱。
此外，在船舶设计中，菱形截面的船体能够提供较好的抗风浪能力，因此被广泛应用于各类船舶的设计和制造。
五、圆形截面正方体的圆形截面是指由正方体的四个角点围成的圆形。
圆形截面具有较好的强度和稳定性，因此常用于建筑物的支撑结构或桥梁中的支撑柱。
此外，在机械工程领域中，圆形截面的轴能够提供较好的扭转刚度，因此被广泛应用于各类机械设备的设计和制造。
六、椭圆形截面椭圆形截面是指由正方体的四个角点围成的椭圆形。
椭圆形截面具有较好的强度和刚度，因此常用于建筑物的支撑结构或桥梁中的支撑柱。
此外，在电子工程中，椭圆形截面的导线能够提供较好的电流传输能力，因此被广泛应用于各类电子设备的设计和制造。
几何体截面的形状
几何体截面的形状取决于几何体的形状以及截取的方向和角度。
以下是一些常见的几何体截面形状：
1. 正方体：截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形。
2. 长方体：截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形。
3. 圆柱体：截面可能是圆形、椭圆形、矩形、三角形等。
4. 圆锥体：截面可能是圆形、椭圆形、抛物线等。
5. 球体：截面可能是圆形、椭圆形等。
需要注意的是，对于不规则的几何体，其截面的形状也可能不规则。
此外，对于一些复杂的几何体，如多面体等，其截面的形状也可能比较复杂。
正方体截面总结
结论如下：1、可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。
（4）六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形 2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质1.正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。
正方体截面的形状 (3)
正方体截面的形状1.按截面图形的边数分类：三边形（锐角三角形，等腰三角形，等边三角形）四边形（矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形）五边形（五边形）六边形（六边形，正六边形）2.（1）证明：截面是三角形①锐角三角形证明：∵设三边为a,b,c ，∴则证明a^2+b^2>c^2,且cosC>0,C为锐角。
同理可证，B、C也是锐角，所以三角形ABC是锐角三角形。
②等腰三角形证明：取相邻两边任意两点，距离两边交点相等，在第三边取任意一点（与交点不重合）∵AB长确定，AC=AD,∠CAB=∠DAB=90°。
∴根据勾股定理可知CB=DB且三角形为等腰三角形③等边三角形证明：在AB.AC.AD上,取三点距离原点A相同。
∵图形为正方体。
∴AB=AC=AD又∵三线两两垂直，根据勾股定理知BC=CD=BD，且截面为等边三角形。
（2）证明：截面是四边形。
①．矩形.正方形。
证明：：取任意一平面平行于上下底面或侧面。
且所截图形为正方形。
又∵正方形是特殊的矩形，∴截面可以是矩形。
∵ABCD平行于上底面，∴AB=BC=CD=AD又∵AB.BC.CD.AD相交互相垂直，所以截面为正方形。
②．菱形证明：以相对顶点为菱形对点，取与顶线不相交的相对侧棱中点，所截平面。
∵图形为正方体，所以对边平行且相等。
∴截面为平行四边形。
又∵AB=BD,AE=DF.∠BAE=∠BDF=90°，且BE=BF. ∴截面为菱形③梯形.等腰梯形证明：当平面不垂直底面时,且在上底面的截线段平行对角线,所得的截面图形可能为梯形。
当上下底面的截线段都平行于同一条对角线，所得的截面图形可能为等腰梯形。
∵AB∥CD, ∴ABCD为梯形。
作AF’⊥CF，BF1⊥FD又∵AE=BE,CF=FD,AF’=BF1=EF. ∴AC=BD且截面为等腰梯形。
（3）证明：截面是五边形。
证明：第一个为五边形，在正面上画一个直线，直线一端为右下角另一段为左前侧棱1/2往上这样将直线延长与正上棱相交同样的道理在右侧面画一条直线直线一端为右下角（与上同理）另一段为后右侧棱1/2往上这样将直线延长与上右侧棱相交由图得所截平面为五边形。
北师大版必修2《正方体截面的形状》教案及教学反思
北师大版必修2《正方体截面的形状》教案及教学反思一、教学目标1.了解正方体的基本性质和特征。
2.了解正方体截面的形状、数量和位置。
3.掌握正方体截面的形状与位置的关系。
4.学会应用平行四边形的性质解决问题。
二、教学内容1.正方体截面的形状。
2.正方体截面的数量和位置。
3.正方体截面形状与位置的关系。
4.平行四边形的性质。
三、教学过程第一节：正方体截面的形状1.引入学习：以举例的方式介绍正方体的性质和特征，引导学生思考正方体的截面形状与正方体自身的关系，并展示相关资料和图片。
2.观察实验：让学生感知正方体截面形状的多样性，让学生对各类正方体截面形状有一个初步的认识。
3.思考讨论：让学生围绕一组正方体截面图像进行思考讨论，从中归纳出正方体截面形状与位置的关系，帮助学生更好地理解正方体截面的性质。
第二节：正方体截面的数量和位置1.引入学习：通过实物模型和横截面图像的展示，让学生认识正方体的截面数量和位置，并分析其特点。
2.同步练习：带领学生做相关练习，检测学生掌握正方体截面数量和位置的能力。
3.思维拓展：提供实际生活中的例子，引导学生思考正方体截面的应用场合，并探讨其可能的解决方案。
第三节：正方体截面的形状与位置的关系1.引入学习：引导学生首先考虑平面上的平行四边形，帮助他们理解平行四边形的性质。
2.探究实验：通过在正方体中找到各种平面的截面，让学生进一步了解正方体截面的性质。
3.应用实践：提供实际例子，帮助学生应用所学的知识解决实际问题，并强化学生对正方体截面形状与位置的关系的理解。
四、教学反思正方体截面的形状是初中数学中难度较大的一个知识点，需要学生对正方体的特征有很好的掌握，同时也需要学生具备分析、归纳、推理的能力。
在教学过程中，我采用了让学生从具体事例出发，逐渐理解抽象的知识点的方式。
通过引导学生观察实物模型、探究实验、应用拓展等方式，让学生在感性认识的基础上，逐渐过渡到理性认识。
同时，在教学中我也将同步练习贯穿始终，定期检测学生掌握的程度。
正方体三个中点构成的截面
正方体三个中点构成的截面
正方体的三个中点构成的截面可以是一个等边三角形。
在正方体的每个面上，有一个中点，将这些中点连接起来，就可以得到一个等边三角形。
这个等边三角形是正方体的一个截面，它与正方体的边平行且相交于中点。
这个截面的形状与正方体的每个面都不完全相同，因为它是由三个中点构成的。
它的边长与正方体的边长相等，而且它的内角也是60度，因为它是等边三角形。
正方体的三个中点构成的截面是一个等边三角形，它与正方体的边平行且相交于中点。
正方体截面总结(最全,适用于公务员图形推理)
M / * B结论如下：1可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、边形、梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、非矩形的平行四七边形或更多边正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1•正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下: 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3. 平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下:==》》》 ==》》》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4. 三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下==》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下:==》得到: 正三棱锥5. 猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B 为所在棱的中点时，该截面为菱形:(2)梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：(3 )五边形:(4 )六边形：如图所示，可以截得六边形截面:==》》》如图所示，可以截得五边形截面:通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。