数列知识点归纳

数列知识点归纳

（一）数列的概念 一．数列的概念

1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .

2．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。

3．数列可以看做定义域为*

N （或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。 二、数列的表示方法

数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。 三、数列的分类

1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。

2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。 3． 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。

递增数列的判断：比较f(n+1)与f(n)的大小 四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==

++++=n

i i

n n a a a a a S 1321 2．⎩⎨⎧≥-==-2

11

1

n S S n S a n n n

（二）等差数列的相关知识点

1．定义：)()(1∙

+∈=-N n d a a n n 常数。

当d>0时，递增数列，d<0时，递减数列，d=0时，常数数列。

2．通项公式：d n a a n )1(1-+=d m n a m )(-+=q pn d a dn +=-+=)(1

d =

11--n a a n ，d =m

n a a m

n -- 是点列（n ，a n ）所在直线的斜率. 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2)

1(2)(11-+=+=21()22

d d n a n =+-Bn An +=2 {

n

S n

}是等差数列。 4．等差中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5、等差数列的判定方法(n ∈N*)

(1)定义法: a n+1-a n =d 是常数 (2)等差中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:q pn a n += (4)前n 项和法:Bn An S n +=2

6．性质:设{a n }是等差数列，公差为d,则

(1)m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q

(2) a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公差为md 的等差数列.

(3) S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ……组成公差为n 2

d 的等差数列. (4) 若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则

21

21

m m m m a S b T --=

（5）n S 的最值可求二次函数2

n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，

即：当100a d ><，，解不等式组10

n n a a +≥⎧⎨

≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.

当100a d <>，，由1

0n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.

7．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 8、巧设元：三数:d a a d a +-,,, 四数：d a d a d a d a 3,,,3-+-- 9、项数为偶数n 2的等差数列{}

n a ，

有nd S S =-奇偶 ，

1

+=

n n

a a S S 偶

奇

项数为奇数12-n 的等差数列{}

n a ，

有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

n a S S =-偶奇，

1

-=

n n S S 偶

奇. （三）等比数列（类比等差数列） 1、定义：

1

n n

a q a +=（q 为常数，0q ≠0,≠n a ）， ，摆动数列

当时时，数列递减且；且当时，数列递增且；且当0q 10100100101111<><<<><<<>>q a q a q a q a 2、通项公式：11-=n n q a a =（0,1≠q a ）m n m n q a a -==

3、前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪

-⎩

（要注意q 的讨论）A Aq n

-=

4、等比中项：x G y 、、成等比数列2

G xy ⇒=

，或G =

),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S

5、等比数列的判定方法(n ∈N*)

(1)定义法: a n+1/a n =q 是常数 (2)等比中项法:22

1++∙=n n n a a a (3)通项法: n n cq a =(q c ,为非零常数). (4)前n 项和法: A Aq S n

n -= 6、性质：{}n a 是等比数列

（1）若m n p q +=+，则m

n p q a a a a =··

（2）a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公比为 的等比数列.

（3）232n n n n n S S S S S --，，……)0(≠n S 仍为等比数列,公比为n

q . 7．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 8、巧设元：三数:d a a d a ⋅,,/, 四数：d a d a d a d a 3,.,/,3/⋅⋅

9．、．非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 10、正数列{n a }成等比，则数列)1}({log >a a n

a 成等差数列；

若数列{n a }成等差，则数列}{n a

a 成等比数列； 11.会从函数角度理解和处理数列问题.

（四）、求通项

1、形如 a n+1-a n =f(n) 形式，求法：累加法

2、形如a n+1=a n ·f(n), 求法：累乘法

3、形如a n+1=Aa n +B (A B ≠0), 求法：构造法

4、形如

a a

n n n

m

ka 1-=+ (k ≠0)形式，求法：m=1时求倒数；另外可能周期数列或构造法

5、已知S n ,求a n

例1：已知数列{a n }中，a 1=1，na n =a 1+2a 2+3a 3+……(n-1)a n-1(n ≥2),求a n

例2：已知数列{a n }中，a 1=1，对所有n ≥2,都有a 1a 2a 3……a n =n 2

,求a n （五）数列求和的常用方法： 1、公式法：（等差、等比数列直接用公式）

常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()6

1213212222++=+++n n n n ③()2

213213333⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡+=++n n n 2.等差数列的绝对值的和

① 当a 1>0,d<0时，若a k ≥

0,a k+1<0,则: S=|a 1|+|a 2|+……|a k |+|a k+1|+……|a n |= ② 当a 1<0,d>0时，若a k ≤0,a k+1>0,则: S=|a 1|+|a 2|+……|a k |+|a k+1|+……|a n |=