等差等比数列综合求和

（ 1 ）求数列 {a n }的通项公式； 1 （2）设b n , 求数列{b n }的前n项和Sn . nan
小结： 1.数列求和通常从通项公式入手，利用通 项公式探求数列求和的方法 2.在求和过程中经常用公式法，到倒序 相加法，错位相减法，分组并项求和， 裂项相消等方法 3.在求和过程中主要的是将一般数列根据 它的特征转化为等差等比数列求和.
复习回顾：
问题一：等差数列前n项求和公式用什么 方法推导得到的？那些数列适合这样方 法？
1+2+3+ …… +100 = ？
高斯的算法是： 首项与末项的和： 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: …… 1+100=101 2+99 =101 3+98 =101
第50项与倒数第50项的和: 50+51=101 于是所求的和是：101× =5050
(1 2 n) (
1 1 (1 n ) n(n 1) 2 2 1 2 1 2
1 1 1 2 n ) 2 2 2
1 1 2 1 1 n n n 2 2 2
拓展提升:
拓展1：数列 1,1 2,1 2 22， 1 2 22 23， ,1 2 22 2 ,的前n项和.
探究发现1
1 1 1 1 1 例1：求数列 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ， 的前 n项和. 2 4 8 16 32
分析：要求数列的前 n项和，首先要求出数列 的通项公式， 然后根据数列的特点和 等差等比数列求解 1 解：数列的通项公式为 an n n , 2
1 1 1 Sn 1 2 2 n n 2 2 2
Sn a1 a2 a3 an
2 n 2
Sn a1 a1q a1q a1q
a1q .
n1
⑴
⑴×q, 得
qSn
⑴－⑵，得
a1q a1q 2 a1q n2 a1q n1 a1q n . n 1 q Sn a1 a1q ,
等差等比数列综合求和
学习目标
1.掌握数列求和的常用方法：并项法、裂项法、倒 序相加法、错位相减法等，能将一些特殊数列的 求和问题转化为等差、等比数列的求和问题。 2.通过自己观察，分组讨论，自己体会参与的学习 方法体会数列求和常用方法的技巧和本质，能够 熟练的应用已学的知识解决一些特殊数列的求和 问题。 3.通过对特殊方法的介绍和学习，培养数学思维的 严谨性和逻辑性，锻炼自己学习数学的能力。
分析：要求数列前 n项和，先根据数列特征 求出数列 {an }的通项公式
n 1
解：an 1 2 2 2
2
n1
2 1
n
Sn (2 1) (2 1) (2 1)
1 2 n
2 2 2 (1 1 1)
1 2 n
2(1 2 n ) n 1 2
高考提升
1.设数列{a n }是公比为正数的等比数 列，a1 2, a3 a2 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }是首项为 1，公差为2的等差数列，求数列 {a n b n } 的前n项和Sn .
2 2.等差数列 {an }的前n项和S n .已知S3 a2 , 且S1 , S 2 , S 4成等比数列 .
如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？
如何求等差数列an 的前n项和Sn ?
Sn a1 (a1 d ) [a1 （n 1)d ]
Sn an (an d )
2Sn n(a1 an )
an a1 (n 1)d
[an (n 1)d ]
说明:这种方法称为裂项法
拓展提升：
拓展2：
1 1 1 数列 , , ,求它的前 n项和 S n 1 3 2 4 3 5 1 1 1 1 解：an ( ) n ( n 2) 2 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 S n a1 a2 a3 an ( - - ) 2 1 2 2 3 n n2 1 1 1 1 (1 ) 2 3 n 1 n 2
2
n 1
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n2
探究发现2
1 例1：数列 {a n }的通项通项公a n (n N ), 求数列 n(n 1) 的前n项和.
1 1 1 解：an n(n 1) n n 1 1 1 1 1 S n a1 a2 a3 an - - 1 2 2 3 1 1 1 n 1 n n 1 n 1 n 1
高斯的算法实际上法解决了等差数列：1， 2，3· · · · ，n，· · · 的前n项和问题
问题 ： 如何求等差数列an 的前n项和?
等差数列an 的前n项和,用Sn表示， 记作：
Sn a1 a2 a3 an1 an
Sn an an1 an2 a2 a1
a1 1 q Sn 1 q
⑵
由此得q≠1时，

n

说明：这种求和方法称为错位相减法
当q≠1时，
∵
a1 1 q n Sn 1 q


a1q n a1q n1 q an q,
a1 an q Sn 1 q


∴
显然，当q=1时，
Sn na1
思考： 数列求和还有其他方法吗？什么方法？
n(a1 an ) 公式1 S n 2
n(n 1) 公式2 Sn na1 d 2
说明：这种方法称为倒序相加法
问题二：等比数列前n项求和公式是用什 么方法推导得到的？哪些数列适合这 种方法？
等比数列的前n项和
设等比数 列
a1 , a2 , a3 ,, an ,
它的前n项和是 即