等差等比数列综合求和
【数列】“等差乘等比”型的三种求和方式
【数列】“等差乘等比”型的三种求和方式看到 @鸟杰魔方的一篇文章，想就此做一些推广~通项形如 a_n=(an+b)\cdot q^n 的数列 \{a_n\} 通常被老师们称为“等差乘等比”型数列。
这种数列的求和在高考中经常出现，通常使用“错位相减法”，如下面的例题：例已知数列 \{a_n\} 的通项公式为 a_n=n\cdot2^n ，求数列 \{a_n\} 的前 n 项的和 S_n解1 （错位相减法）S_n=1\times2^1+2\times2^2+\dots+n\times2^n2S_n=1\times2^2+\dots+(n-1)\times2^n+n\times2^{n+1}作差得 -S_n=(2^1+2^2+\dots+2^n)-n\cdot2^{n+1}故 S_n=(n-1)\cdot2^{n+1}+2除了错位相减法以外，高中还经常用到一种求和方法，叫做“裂项相消法”。
我们可以尝试将 a_n=n\cdot2^n 写成两项的差的形式：n\cdot2^n=f(n+1)\cdot2^{n+1}-f(n)\cdot2^n ，其中f(n)=An+B即 n\cdot2^n=(2A(n+1)+2B-An-B)\cdot2^n=(An+2A+B)\cdot2^n即 n \equiv An+2A+B ，于是 A=1 ， B=-2 ， f(n)=n-2（其中使用了恒等号“ \equiv ”，表示对任意 n 都有该等式成立）因此我们有： n\cdot2^n=(n-1)\cdot2^{n+1}-(n-2)\cdot2^n解2 （裂项相消法）注意到 a_n=n\cdot2^n=(n-1)\cdot2^{n+1}-(n-2)\cdot2^n故 S_n=\sum_{k=1}^{n}{(k\cdot2^k)}=\sum_{k=1}^{n}{[(k-1)\cdot2^{k+1}-(k-2)\cdot2^k]}=(n-1)\cdot2^{n+1}+2推广对于数列 a_n=(an+b)\cdot q^n ，应用待定系数法可以得到如下列项公式：(an+b)\cdot q^n=f(n+1)\cdot q^{n+1}-f(n)\cdot q^{n}其中 f(n)=\frac{a}{q-1}\cdot n+\frac{q(b-a)-b}{(q-1)^2} ，由此可以得到：\sum_{k=1}^{n}{a_k}=f(n+1)\cdot q^{n+1}-\frac{bq^2-(a+b)q}{(q-1)^2}使用裂项求和法就可以绕开“错位相减法”，防止在考场中计算出错。
2024年新高考版数学专题1_7.4 数列求和、数列的综合
1 2
+
1 2
1 3
+…+
1 n
n
1 1
=1-
n
1 1
,
又因为n≥1,所以0< 1 ≤ 1 ,即有 1 ≤Tn<1,
n1 2
2
所以 1 ≤Tn<1 2
≤Tn<1.
解析 (1)选①.因为a4是a3与a5-8的等差中项,所以2a4=a3+a5-8,则16a1=4a1+ 16a1-8,解得a1=2,所以数列{an}的通项公式是an=2n.
选②.设{an}的公比为q,依题意,有 aS23
a1q 4, a1(1 q
13+23+33+…+n3= n(n 1) 2 .
2
2.倒序相加法 如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常
数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而 求得其和.以下为常见的拆项公式:
1) 1 = 1 - 1 ;
n(n 1) n n 1
2)
(2n
1 1)(2n
1)
=
1 2
1 2n 1
1 2n 1
;
3) 1 = n 1- n .
n n1
5.分组求和法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、等比或常见的数列,即先分别求和,再合并,例如:
高考 数学
专题七 数列
数列求和7种方法(方法全-例子多)
数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c =.解： 原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n-+---[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝ 18+n n [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。
高三数学等差和等比数列的通项及求和公式
凭借这种内在自由，这种独立人格和独立思考的能力，那些优秀的灵魂和头脑对于改变人类社会的现实发生了伟大的作用。教育就应该为促进内在自由、产生优秀的灵魂和头脑创造条件。如果只是适应现实，要教育做什么！ 第四条箴言：最重要的教育原则是不要爱惜时间，要浪费时间
这句话出自卢梭之口，由我们今天的许多耳朵听来，简直是谬论。然而，卢梭自有他的道理。如果说教育即生长，那么，教育的使命就应该是为生长提供最好的环境。什么是最好的环境？第一是自由的时间，第二是好的老师。在希腊文中，学校一词的意思就是闲暇。在希腊人看来，学生
当我的人生来到凭吊的遗址，当我的爱情走进玫瑰的墓冢，
当我的耕耘陷进世俗的泥塘。忧伤就是我所能呈现给你的唯一姿态。我的逃避与我的遮掩，只是我无援的思想。也许往前走一步，就来到了崩溃的边缘。我所能做出的选择就是在忧伤的背后，还自已一个无欲无求的心情。
忧伤不会是错误的判断，忧伤是在困境中的辗转。你
的酸楚，与我的苦涩一样，充满了梅雨时节的味道。当你陷进突如其来的情绪低谷，当我遭遇难以摆脱的人生乱麻，忧伤就是命定的人间底色。诱惑逼得你忧伤，想像惹得我忧伤。伤痕刻入了肌肤的深处，埋葬了多年苦苦经营的事业与理想。
尘的心，忧伤是天鹅湖的芭蕾王子没有配角的悲哀，忧伤是玫瑰凋落红颜盈盈含泪，忧伤是枫叶林里边弹琵琶边自吟的舞女，忧伤是再别康桥的思绪万千，忧伤是独上高楼的天地茫茫，忧伤是少年维特的烦恼，忧伤是波光艳影里人生余绪，忧伤是皇城根下遗老遗少的帝都旧影，忧伤是梦
想剧院的破灭，忧伤是沧桑的碎片。
忧伤是美的另一个驿站，是你我生命的另一个海岸。忧伤是无望的追逐，忧伤是困倦的想像，忧伤里藏着夏天的炎热与冬天的寒冷。忧伤书写了人类的不幸与苦难，忧伤引领着人群一步步走出黑暗的迷宫。 ? 宽待人性 一
高考数学-等差数列、等比数列与数列求和(教师版)
例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.【高考命题】一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n（4）{}n a 为等差数列，公差为d ，则11n n a a += 【小测】1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.解析 设等比数列的首项为a 1，公比为q .因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 11－q 51－q·1－q a 11－q 2＝1－q 51－q 2＝1－－251－4＝－11.3．(2012·无锡市第一学期期末考试)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1.由2S 9＝S 3＋S 6得2·a 11－q 91－q＝a 11－q 31－q＋a 11－q 61－q，所以2q 9＝q 3＋q 6，即1＋q 3＝2q 6.由于a 2＋a 5＝2a m ，所以a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q m －1，即1＋q 3＝2q m －2，所以m －2＝6，所以m ＝8.4．数列{a n }是等差数列，若a 11a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝________.解析 由题意，可知数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以公差小于零，故a 11＜a 10，又因为a 11a 10＜－1，所以a 10＞0，a 11＜－a 10，由等差数列的性质有a 11＋a 10＝a 1＋a 20＜0，a 10＋a 10＝a 1＋a 19＞0，所以S n 取得最小正值时n ＝19.【考点1】等差数列与等比数列的综合【例1】 (2011·江西卷)(1)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3，若数列{a n }唯一，求a 的值；(2)是否存在两个等比数列{a n }，{b n }，使得b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n }，{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．解 (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ，b 2＝2＋aq ，b 3＝3＋aq 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，即aq 2－4aq ＋3a －1＝0.*由a ＞0得，Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程*有两个不同的实根． 再由{a n }唯一，知方程*必有一根为0，将q ＝0代入方程*得a ＝13.(2)假设存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列． 设{a n }的公比为q 1，{b n }的公比为q 2，则b 2－a 2＝b 1q 2－a 1q 1，b 3－a 3＝b 1q 22－a 1q 21，b 4－a 4＝b 1q 32－a 1q 31. 由b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成等差数列，得 ⎩⎨⎧2b 1q 2－a 1q 1＝b 1－a 1＋b 1q 22－a 1q 21，2b 1q 22－a 1q 21＝b 1q 2－a 1q 1＋b 1q 32－a 1q 31，即⎩⎨⎧b 1(q 2－1)2－a 1(q 1－1)2＝0， ①b 1q 2(q 2－1)2－a 1q 1(q 1－1)2＝0. ②①×q 2－②得a 1(q 1－q 2)(q 1－1)2＝0， 由a 1≠0得q 1＝q 2或q 1＝1.(ⅰ)当q 1＝q 2时，由①②得b 1＝a 1或q 1＝q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾． (ⅱ)当q 1＝1时，由①②得b 1＝0或q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾．综上所述，不存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列．[方法总结] 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．【变式】 (2012·苏州市自主学习调查)已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在曲线(x ＋1)2＝4y 上．(1)求数列{a n }的通项公式；第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消求和． 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)又b n ＝S n 2n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. [方法总结] 使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．【变式】 在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n n ＋12n ＋1＝n2.∴b n ＝2a n ·a n ＋1＝2n 2·n ＋12＝8nn ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴S n ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝8nn ＋1. 【考点4】错位相减法求和【例4】 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .审题视点 (1)由已知写出前n －1项之和，两式相减．(2)b n ＝n ·3n 的特点是数列{n }与{3n }之积，可用错位相减法． 解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，① ∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② ①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝13n . (2)∵b n ＝na n，∴b n ＝n ·3n .∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.④ ④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )， 即2S n ＝n ·3n ＋1－31－3n 1－3，∴S n ＝2n －13n ＋14＋34.[方法总结] 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n －1a n }的前n 项和，从而利用a n 与S n 的关系求出通项3n －1a n ，进而求得a n ；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养． 【变式】 (2011·辽宁卷)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)n2n －1.即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12(舍去)． 又∵a 25＝a 10＝a 5·q 5，∴a 5＝q 5＝25＝32， ∴32＝a 1·q 4，解得a 1＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n ，故a n ＝2n .4．(2012·重庆卷)已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎨⎧a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12，得⎩⎨⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)得S n ＝na 1＋a n 2＝n2＋2n 2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1·S k ＋2，即(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)， 也即k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)．7．(2012·常州一中期中)已知数列{a n }与{2a n ＋3}均为等比数列，且a 1＝1，则a 168＝________.解析 设{a n }公比为q ，a n ＝a 1q n －1＝q n －1， 则2a 1＋3,2a 2＋3,2a 3＋3也为等比数列， ∴5,2q ＋3,2q 2＋3也为等比数列， 则(2q ＋3)2＝5(2q 2＋3)，∴q ＝1， 从而a n ＝1为常数列，∴a 168＝1.10．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.13(4n－1)． 14.(2012·盐城市二模)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m 15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________． 解析 由条件得公差d ＝21－54＝4，从而a 1＝1，所以a n ＝4n －3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ＝1＋15＋…＋14n －3.11。
高三数学等差和等比数列的通项及求和公式
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2
d
等比数列前n项和 Sn naa1 11 qn
1 q
3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是 等差数列，则q=__1_
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的 值为( D )
(A)3
(B)4
(C)7
(D)8
5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6 为( B )
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q
(D) 2(p+q)
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能力·思维·方法
1.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式， 并指出此数列是否为等差数列.
【解题回顾】公式 an
SS1n
q 1 q 1
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
an
SS1n
S n 1
n n
1 2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
高三数学等差等比数列的求和公式
§23 等差、等比数列的求和公式教学要求：掌握等差数列前n 项和的公式；掌握等比数列前n 项和公式.教学设计： 一、知识回顾1. 等差数列、等比数列有哪些性质？2. 评讲作业 二、问题探究1. 等比数列求和公式是如何证明？2. 等差数列求和公式能否类比得到等比数列的和公式？为什么？ 三、数学建构1. 等差数列前n 项和公式：2. 等比数列前n 项和公式：3. 求和方法：①倒序相加；②错位相减4. 类比的前提是什么？ 四、思路与方法1.（１）等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15的值是一个确定的常数，则数列{S n }中也为常数的项是 ( ) A.S 7 B.S 8C.S 13D.S 15 （２）等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0且a 11＞|a 10|，S n 为其前n 项和，则 ( )A.S 1，S 2，…，S 10都小于0，S 11，S 12，…都大于0B.S 1，S 2，…，S 19都小于0，S 20，S 21，…都大于0C.S 1，S 2，…，S 5都小于0，S 6，S 7，…都大于0D.S 1，S 2，…，S 20都小于0，S 21，S 22，…都大于0 （３）已知{}n a 是等比数列，且a n＞0,若a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a3＋a 5的值等于 .（４）已知数列{}n a 的前n 项的和22n S n n =++，则______.n a =2. 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项的和为75，各偶数项的和为90,末项与首项的差为27，则项数2n 为多少？3. 已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若1001010,100S S ==，求110.S4. 已知{}n a 是等差数列，设212(),n n n f x a x a x a x n =+++为偶数.且2(1),(1).n n f n f n =-=（１）求数列{}n a 的通项公式；（２）证明：51()3(3)42n f n <<≥五、课堂练习（３０分钟限时练习）1. 若等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则12a 的值是（ ） A.15 B.30 C.31 D.642. 在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果14231812a a a a +=+=，则这个等比数列前8项的和为A.513B.512C.510D.2258 3. 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若95S S =2，则53______.a a = 4. 等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和n S 、n T 满足231n n S n T n +=+，则55a b = . 5. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知6636,324,144n n S S S -===(6)n >，则n =_______.6. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n ＝5S n －3 （n ∈N ＋），{b n }是{a n }的奇数项构成的数列，求数列{b n } 的通项公式．7. 在等差数列{}n a 中，117925,a S S ==，求n S 的最大值.8. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，…….求：a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；。
数列求和的几种常用方法
专题: 数列求和的几种常用方法知识点归纳1等差数列的前n 项和公式, 等比数列的前n 项和公式： S n =d n n na 2)1(1-+S n =2)(1n a a n + S n =d n n na n 2)1(--当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0； 当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式 当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)； 当q≠1时，S n =qq a n--1)1(1 S n =qq a a n --112．基本公式法：○1等差、等比数列的前n项和公式、○2()()2221121216n n n n +++=++ 、○3()23333112314n n n ++++=+⎡⎤⎣⎦ 、○40122nnn n n n C C C C ++++=3拆项法求数列的和，如a n =2n+3n4错位相减法求和，如a n =(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式） 5分裂项法求和，如a n =1/n(n+1)111n n =-+（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式） 6反序相加法求和，如a n =nnC 1007求数列{a n }的最大、最小项的方法：①a n+1-a n =……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000如a n = -2n 2+29n-3②⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 nn a a (a n >0) 如a n =nnn 10)1(9+ ③ a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n =1562+n n题型讲解例7 （分情况讨论）求和：)(*122221N n b abba b ab a a S n n n n n nn ∈++++++=----解：①当a=0或b=0时，)(n n n a b S =②当a=b 时，n n a n S )1(+=； ③当a ≠b 时，ba baS n n n --=++11例8（分部求和法）已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求解：首先由3145291010110=⇒=⨯⨯+=d da S则12(1)32322n nn a a n d n a =+-=-⇒=⋅- 22423(222)2n na a a n ∴+++=+++- 12(12)32322612nn n n +-=-=⋅---练习（分部求和法）求数列1，3＋13，32＋132， (3)＋13n的各项的和解：其和为： (1＋3＋ (3))＋(13132+＋……＋13n)=3121321n n+--+-=12(3n ＋1-3-n )例9（裂项求和法）)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++解：)1(2211+=+⋯++=k k k a k ，])1n (n 1321211[2S n ++⋯+⋅+⋅=∴1211121113121211[2+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n 练习（裂项求和法）已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：∑=+ni i i a a 111解：首先考虑=∑=+ni i i a a 111∑=+-ni i ia a d 11)11(1则∑=+ni i i a a 111=1111)11(1++=-n n a a na a d.242n a a a +++点评：已知数列{}na为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和11n ni id===∑∑例10（错位相减法）1.设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，na n，…的前n项和解：①若a=0时，S n=0②若a=1，则S n=1+2+3+…+n=)1n(n21-③若a≠1，a≠0时，S n-aS n=a（1+a+…+a n-1-na n），S n=]naa)1n(1[)a1(a1nn2+++--练习（错位相减法）2.已知1,0≠>aa，数列{}n a是首项为a，公比也为a的等比数列，令)(lg Nnaabnnn∈⋅=，求数列{}n b的前n项和n S解：,lgn nn na ab n a a==⋅232341(23)lg(23)lgnnnnS a a a na aaS a a a na a+∴=++++=++++……①……②①-②得：anaaaaSa nnnlg)()1(12+-+++=-3.求和Sn=nnnn212232252321132-+-++++-解由原式乘以公比21得:21Sn=1322122322321+-+-+++nnnn原式与上式相减,由于错位后对应项的分母相同,可以合并,∴S n-21Sn=21+112212212121+---+++nnn即S n=32232++-nn一般地, 当等比数列{b n}的公比为q, 则错位相减的实质是作“S n- qS n”求和.点评：设数列{}n a的等比数列，数列{}n b是等差数列，则数列{}n n ba的前n项和nS求解，均可用错位相减法例11（递推法）已知数列{}n a的前n项和n S与n a满足：21,,-n n n S S a )2(≥n 成等比数列，且11=a ，求数列{}n a 的前n 项和n S解：由题意：21(),2n n n S a S =-1n n n a S S -=-∴211111()()()22n n n n n n n n S S S S S S S S ---=--⇒-=1111112(1)2211.21nn nn n n S S S S S n -∴-=⇒=+-=-∴=-点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列{}n a 的前n 项和n S 的递推公式，是一种最佳解法例12 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈ ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ； ⑶设n b =)12(1n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ，由题意得2382-=⇒+=d d ，n n a n 210)1(28-=--=∴（2）若50210≤≥-n n 则，5,n ≤时12||||||n n S a a a =+++ 21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=-6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 765214092)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n故229940n n n S n n ⎧-=⎨-+⎩ 65≥≤n n（3）)111(21)1(21)12(1+-=+=-=n n n n a n b n n ∴n T )]111()111()4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n nnn .)1(2+=n n若32m T n >对任意*N n ∈成立，即161mn n>+对任意*N n ∈成立，)(1*N n n n ∈+ 的最小值是21，,2116<∴m m ∴的最大整数值是7 即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32m T n >说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题 例13（倒数法）已知函数13)(+=x x x f ,数列{a n }满足a 1 = 1,a n+1 = f(a n ) (n ∈N *)(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ) 记S n = a 1a 2 +a 2a 3+…+a n a n+1 , 求S n 解: (Ⅰ) 由131+=+n n n a a a 得 3a n a n+1 +a n+1 = a n ,从而 1113+=+n na a ,即 3111=-+nn a a ,数列}1{na 是以111=a 为首项3为公差的等差数列∴233)1(11-=⋅-+=n n a n, ∴231-=n a n(Ⅱ) 设b n = a n a n+1 ,则 )131231(31)13)(23(1+--=+-=n n n n b n ,∴ )1312311017171414111(3121+--++-+-+-=+++=n n b b b S n n ∴ 13)1311(31+=+-=n nn S n ,1等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,复杂的数列转化为等差、等比数列 2 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想,数学归纳法是这一思想的理论基础练习1（倒数法）已知数列{a n }中，a 1=53，a n +1=12+n n a a ，求{a n }的通项公式．解：211211+=+=+nnn n a a a a∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以35为首项，公差为2的等差数列，即351=na +2（n －1）=316-n ∴a n =163-n练习2（倒数法）已知数列{a n }中，a 1=1，S n =1211+--n n S S ，求{a n }的通项公式．解：21121111+=+=---n n n nS S S S∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是以1为首项，公差为2的等差数列． ∴nS 1=1+2（n －1）=2n －1，即S n =121-n ．∴a n =S n －S n －1=321121---n n =)32)(12(2---n n∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧---3211211n n )2()1(≥=n n例14（叠加法）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3×（－21）n －1（n ≥3），且S 1=1，S 2=－23，求{a n }的通项公式．解：先考虑偶数项有：S 2n －S 2n －2=－3·1221-⎪⎭⎫⎝⎛nS 2n －2－S 2n －4=－3·3221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 4－S 2=－3·321⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得S 2n －S 2=－3×4114112113-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ，所以S 2n =－2+)1(2112≥⎪⎭⎫⎝⎛-n n ．再考虑奇数项有：S 2n ＋1－S 2n －1=3·n221⎪⎭⎫⎝⎛S 2n －1－S 2n －3=3·2221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 3－S 1=3·221⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得S 2n ＋1=2－)1(212≥⎪⎭⎫⎝⎛n n．所以a 2n +1=S 2n +1－S 2n =4－3×n221⎪⎭⎫⎝⎛，a 2n =S 2n －S 2n －1=－4+3×1221-⎪⎭⎫⎝⎛n ．综上所述a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-⎪⎭⎫⎝⎛⨯---为偶数，为奇数n n n n 112134,2134，即a n =（－1）n －1·⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--12134n ． 例15（a n +1=pa n +r 类型数列）在数列{a n }中，a n +1=2a n －3，a 1=5，求{a n }的通项公式．解：∵a n +1－3=2（a n －3）∴{a n －3}是以2为首项，公比为2的等比数列． ∴a n －3=2n ∴a n =2n +3．练习．在数列{a n }中，a 1=2，且a n +1=212+n a ，求{a n }的通项公式．解：a n +12=21a n 2+21∴a n +12－1=21（a n 2－1）∴{a n +12－1}是以3为首项，公比为21的等差数列．∴a n +12－1=3×121-⎪⎭⎫⎝⎛n ，即a n =1231-+n例16（a n +1=pa n +f （n ）类型）已知数列{a n }中，a 1=1，且a n =a n －1+3n －1，求{a n }的通项公式．解：（待定系数法）设a n +p ·3n =a n －1+p ·3n －1则a n =a n －1－2p ·3n －1，与a n =a n －1+3n －1比较可知p =－21．所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-23nn a 是常数列，且a 1－23=－21． 所以23nn a -=－21，即a n =213-n．。
等差数列、等比数列与数列求和
突破4个考向
揭秘3年高考
①×q2－②得a1(q1－q2)(q1－1)2＝0，
由a1≠0得q1＝q2或q1＝1. (ⅰ)当q1＝q2时，由①②得b1＝a1或q1＝q2＝1，这时(b2－ a2)－(b1－a1)＝0，与公差不为0矛盾． (ⅱ)当q1＝1时，由①②得b1＝0或q2＝1，这时(b2－a2)－(b1
抓住2个考点 突破4个考向 揭秘3年高考
2．数列求和的常用方法 (1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式 求和
①等差数列的前n项和公式： nn－1 na1＋an na1＋ d Sn＝ ＝_______________； 2 2
②等比数列的前 n 项和公式： na1，q＝1， Sn＝a1－anq 1－q ＝__________________
抓住2个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
2．(2011· 广东卷)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3 ＝4，则此数列的公比q＝________.
解析
1)． 答案
由a4－a3＝a2q2－a2q＝2q2－2q＝4，解得q＝2(q＞
2
抓住2个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
3．(2012· 无锡市第一学期期末考试)设Sn是等比数列{an}的
抓住2个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
考向二
等差数列与等比数列的判定或证明
【例2】 (2012· 盐城调研二)在数列{an}中，a1＝1，且对任
意的k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等比数列，其公比为 qk.
(1)若qk＝2(k∈N*)，求a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1；
(2)若对任意的 k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2 成等差数列，其 1 公差为 dk，设 bk＝ . qk－1 ①求证：{bk}是等差数列，并指出其公差； ②若 d1＝2，试求数列{dk}的前 k 项的和 Dk.
数列求和的几种方法
数列求和的几种方法一、数列的求和问题在数学中非常常见，可以通过各种方法进行求解。
下面将介绍一些数列求和的常用方法。
1.直接求和法直接求和法是最基础的求和方法，即将数列中的所有项相加得到数列的总和。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
根据等差数列求和公式Sn = n(a1 + an)/2，可以直接将数列中的所有项相加来求和。
2.差分法差分法是一种将数列转化为差分序列进行求和的方法。
对于数列an，可以构造差分序列∆an = an+1 - an，然后将差分序列的所有项相加，得到数列的和。
差分法在数列中的应用较为广泛，尤其对于一些递推关系式的求和问题具有很好的效果。
3.转化法转化法是将数列进行变换，使其转化为容易求解的形式进行求和的方法。
例如，对于等差数列an，可以将其转化为等比数列，再利用等比数列的求和公式进行求解。
转化法需要根据具体数列的性质进行变换，通常需要一定的技巧和经验。
4.等差数列求和公式对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数，有等差数列求和公式Sn = n(a1 + an)/2、该公式是数列求和中最常用的公式之一，可以快速计算得到等差数列的和。
此外，还可以利用等差数列的对称性求和，即Sn = na1 + n(n-1)d/25.等比数列求和公式对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数，有等比数列求和公式Sn = a1 * (q^n - 1)/(q - 1)。
该公式是数列求和中另一个常用的公式，可以迅速计算得到等比数列的和。
6.综合求和法当数列无法通过上述方法直接求和时，可以尝试使用综合求和法。
综合求和法是利用数列中的递推关系式和数学归纳法进行求和的方法。
通过观察数列中的规律，可以得到数列中前n项的和与前n-1项的和之间的关系，从而得到数列的总和。
以上是数列求和的一些常用方法，不同的数列可以采用不同的方法求解。
高三数学等差和等比数列的通项及求和公式
4.已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n2，求数列{|an|}的前n项和Sn
S’n ．
【解题回顾】
一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与Sn：当ak≥0 时，有 Sn Sn；当ak＜0时，Sn Sn ( k =1，2，…，n).若在
a1，a2,…，an中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零 ，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
争很快就能结束,人们可以继续挖掘.却不知,战乱时期初现末世端倪,人人自身难保,哪里还顾得上古墓解密？炮弹到处飞,躲哪儿都危险.而且末世时流通の不再是钱币,而是晶核或者各种锋税武器.人人只顾着打猎抢夺晶核,再也没人提起那个宝藏墓穴.当然,不排除有人将埋藏の地点牢记于心,静待 和平年代到来重返旧地.古董文物能让后世了解过去の文明,千金难求,实属难得,不管在哪个年代都是弥足珍贵の宝物,也是大发横财扬名立万の捷径.战争突至,世界各地陷入纷乱.大国核战争输赢,小国趁乱使用生化武器互相暗算,核生化污染让地球变得乌烟瘴气,民不聊生.没几年后,幸存下来の孩 子们对于太阳、月亮与星星等词语一派陌生.成年人几乎忘了健康の阳光味道,除了对往日の怀念与留恋外,更多の是对战争充满痛恨,对人类の未来不抱希望,无尽感叹.不知何时起,异常开始出现,先是人类,接着是各种动物,最后是植物...国界乱了套,人们到处乱跑逃命.人类の变异共有三种,一种 是异能者,一种是灵能者.最惨の一种是捕食者,俗称丧尸,世界灾难の一种主力灾害.它们分几个等级,最高阶の丧尸属于智慧型,普通人遇上必死无疑.变异兽亦然,异能、灵能者都一样.第12部分植物也变了,变得过分巨大,在她死之前尚未发现植物吃人事件,但植物散发毒气叩人倒是略有所闻.大战 期间,普通人死伤无数.战后出现丧尸之类の异形四处捕食生灵,人类因此又少了一部
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2
d
等比数列前n项和 Sn naa1 11 qn
1 q
Hale Waihona Puke A.18B.36C.54
D.72
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以涉危害，舒奥迫近之变也。始皇即冠，{土母}惧诛作乱，始皇诛之，斩首数百级，大臣二十人，皆车裂以徇，夷灭其宗，迁四千余家於房陵。是岁四月，寒，民有冻死者。数年之间，缓急如此，寒奥辄应，此其效也。刘歆以为大雨雪，及未当雨雪而雨雪，及大雨雹，陨霜杀叔草，皆常 寒之罚也。刘向以为常雨属貌不恭。京房《易传》曰“有德遭险，兹谓逆命，厥异寒。诛过深，当奥而寒，尽六日，亦为雹，害正不诛，兹谓养贼，寒七十二日，杀蜚禽。道人始去兹谓伤，其寒物无霜而死，涌水出。战不量敌，兹谓辱命，其寒虽雨物不茂。闻善不予，厥咎聋”桓公八年 “十月，雨雪”。周十月，今八月也，未可以雪，刘向以为时夫人有淫齐之行，而桓有妒媢之心，夫人将杀，其象见也。桓不觉寤，后与夫人俱如齐而杀死。凡雨，阴也，雪又雨之阴也，出非其时，迫近象也。董仲舒以为象夫人专恣，阴气盛也。釐公十年“冬，大雨雪”。刘向以为，先 是釐公立妾为夫人，阴居阳位，阴气盛也。《公羊经》曰“大雨雹”。董仲舒以为，公胁於齐桓公，立妾为夫人，不敢进群妾，故专一之象见诸雹，皆为有所渐胁也，行专一之政云。昭公四年“正月，大雨雪”。刘向以为，昭取於吴而为同姓，谓之吴孟子。君行於上，臣非於下。又三家 已强，皆贱公行，慢侮之心生。董仲舒以为季孙宿任政，阴气盛也。文帝四年六月，大雨雪。后三岁，淮南王长谋反，发觉，迁，道死。京房《易传》曰“夏雨雪，戒臣为乱”景帝中六年三月，雨雪。其六月，匈奴入上郡取苑马，吏卒战死者二千馀人。明年，条侯周亚夫下狱死。武帝元 狩元年十二月，大雨雪，民多冻死。是岁，淮南、衡山王谋反，发觉，皆自杀。使者行郡国，治党与，坐死者数万人。元鼎二年三月，雪，平地厚五尺。是岁，御史大夫张汤有罪自杀，丞相严青翟坐与三长史谋陷汤，青翟自杀，三长史皆弃市。元鼎三年三月水冰，四月雨雪，关东十馀郡 人相食。是岁，民不占缗线有告者，以半畀之。元帝建昭二年十一月，齐、楚地大雪，深五尺。是岁，魏郡太守京房为石显所告，坐与妻父淮阳王舅张博、博弟光劝视淮阳王以不义。博要斩，光、房弃市，御史大夫郑弘坐免为庶人。成帝即位，显伏辜，淮阳王上书冤博，辞语增加，家属 徙者复得还。建昭四年三月，雨雪，燕多死。谷永对曰“皇后桑蚕以治祭服，共事天地宗庙，正以是日疾风自西北，大寒雨雪，坏败其功，以章不乡。宜斋戒辟寝，以深自责，请皇后就宫，鬲闭门户，毋得擅上。且令众妾人人更进，以时博施。皇天说喜，庶几可以得贤明之嗣。即不行臣 言，灾异俞甚，天变成形，臣民欲复捐身关策，不及事已”其后许后坐祝诅废。阳朔四年四月，雨雪，燕雀死。后十二年，许皇后自杀。定公元年“十月，陨霜杀菽”。刘向以为，周十月，今八月也。消卦为“观”，阴气未至君位而杀，诛罚不由君出，在臣下之象也。是时，季氏逐昭公， 公死於外，定公得立，故天见灾以视公也。釐公二年“十月，陨霜不杀草”，为嗣君微，失秉事之象也。其后卒在臣下，则灾为之生矣。异故言草，灾故言菽，重杀谷。一曰菽，草之难杀者也，言杀菽，知草皆死也。言不杀草，知菽亦不死也。董仲舒以为，菽，草之强者，天戒若曰，加 诛於强臣。言菽，以微见季氏之罚也。武帝元光四年四月，陨霜杀草木。先是二年，遣五将军三十万众伏马邑下，欲袭单于，单于觉之而去。自是始征伐四夷，师出三十馀年，天下户口减半。京房《易传》曰“兴兵妄诛，兹谓亡法，厥灾霜，夏杀五谷，冬杀麦。诛不原情，兹谓不仁，其 霜，夏先大雷风，冬先雨，乃陨霜，有芒角。贤圣遭害，其霜附木不下地。佞人依刑，兹谓私贼，其霜在草根土隙间。不教而诛兹谓虐，其霜反在草下”元帝永兴元年三月，陨霜杀桑。九月二日，陨霜杀稼，天下大饑。是时，中书令石显用事专权，与《春秋》定公时陨霜同应。成帝即位， 显坐作威福诛。釐公二十九年“秋，大雨雹”。刘向以为，盛阳雨水，温暖而汤热，阴气胁之不相入，则转而为雹。盛阴雨雪，凝滞而冰寒，阳气薄之不相入，则散而为霰。故沸汤之在闭器，而湛於寒泉，则为冰，及雪之销，亦冰解而散，此其验也。故雹者阴胁阳也，霰者阳胁阴也， 《春秋》不书霰者，犹月食也。釐公末年信用公子遂，遂专权自恣，将至於杀君，故阴胁阳之象见。釐公不寤，遂终专权，后二年杀子赤，立宣公。《左氏传》曰“圣人在上无雹，虽有不为灾”说曰“凡物不为灾不书，书大，言为灾也。凡雹，皆冬之愆阳，夏之伏阴也”昭公三年，“大 雨雹”。是时季氏专权，胁君之象见。昭公不寤，后季氏卒逐昭公。元封三年十二月，雷雨雹，大如马头。宣帝地节四年五月，山阳济阴雨雹如鸡子，深二尺五寸，杀二十人，蜚鸟皆死。其十月，大司马霍禹宗族谋反，诛，霍皇后废。成帝河平二年四月，楚国雨雹，大如斧，蜚鸟死。 《左传》曰釐公三十二年十二月己卯，“晋文公卒，庚辰，将殡於曲沃，出绛，柩有声如牛”。刘向以为近鼓妖也。丧，凶事。声如牛，怒象也。将有急怒之谋，以生兵革之祸。是时，秦穆公遣兵袭郑而不假道，还，晋大夫先轸谓襄公曰，秦师过不假途，请击之。遂要崤厄，以败秦师， 匹马觭轮无反者，操之急矣。晋不惟旧，而听虐谋，结怨强国，四被秦寇，祸流数世，凶恶之效也。哀帝建平二年四月乙亥朔，御史大夫朱博为丞相，少府赵玄为御史大夫，临延登受策，有大声如钟鸣，殿中郎吏陛者皆闻焉。上以问黄门侍郎杨雄、李寻，寻对曰“《洪范》所谓鼓妖者也。 师法以为人君不聪，为众所惑，空名得进，则有声无形，不知所从生。其传曰岁月日之中，则正卿受之。今以四月日加辰巳有异，是为中焉。正卿谓执政大臣也。宜退丞相、御史，以应天变。然虽不退，不出期年，其人自蒙其咎”扬雄亦以为鼓妖，听失之象也。失博为人强毅多权谋，宜 将不宜相，恐有凶恶亟疾之怒。八月，博、玄坐为奸谋，博自杀，玄减死论。京房《易传》曰“今不修本，下不安，金毋故自动，若有音”史记秦二世元年，天无云而雷。刘向以为，雷当托於云，犹君托於臣，阴阳之合也。二世不恤天下，万民有怨畔之心。是岁，陈胜起，天下畔，赵高 作乱，秦遂以亡。一曰，《易》，“震”为雷，为貌不恭也。史记秦始皇八年，河鱼大上。刘向以为近鱼孽也。是岁，始皇弟长安君将兵击赵，反、死屯留，军吏皆斩，迁其民於临洮。明年，有嫪毒之诛。鱼阴类，民之象，逆流而上者，民将不从君令为逆行也。其在天文，鱼星中河而处， 车骑满野。至於二世，暴虐愈甚，终用急亡。京房《易传》曰“众逆同志，厥妖河鱼逆流上”武帝元鼎五年秋，蛙与虾蟆群斗。是岁，四将军众十万征南越，开九郡。成帝鸿嘉四年秋，雨鱼於信都，长五寸以下。成帝永始元年春，北海出大鱼，长六丈，高一丈，四枚。哀帝建平三年，东 莱平度出大鱼，长八丈，高丈一尺，七枚，皆死。京房《易传》曰“海数见巨鱼，邪人进，贤人疏”桓公五年“秋，螽”。刘歆以为贪虐取民则螽，介虫之孽也，与鱼同占。刘向以为介虫之孽属言不从。是岁，公获二国之聘，取鼎易邑，兴役起城。诸螽略皆从董仲舒说云。严公二十九年 “有蜚”。刘歆以为负蠜也，性不食谷，食谷为灾，介虫之孽。刘向以为蜚色青，近青眚也，非中国所有。南越盛暑，男女同川泽，淫风所生，为虫臭恶。是时，严公取齐淫女为夫人，既入，淫於两叔，故蜚至。天戒若曰，今诛绝之尚及，不将生臭恶，闻於四方。严不寤，其后夫人与两 叔作乱，一嗣以杀，卒皆被辜。董仲舒指略同。釐公十五年“八月，螽”。刘向以为，先是釐有鹹会，后城缘陵，是岁，复以兵车为牡丘会，使公孙敖帅师，及诸侯大夫救徐，丘比三年在外。文公三年“秋，雨螽於宋”。刘向以为，先是宋杀大夫而无罪。有暴虐赋敛之应。《谷梁传》曰 上下皆合，言甚。董仲舒以为宋三世内取，大夫专恣，杀生不中，故螽先死而至。刘歆以为，螽为谷灾，卒遇贼阴，坠而死也。八年“十月，螽”。时公伐邾取须朐，城郚。宣公六年“八月，螽”。刘向以为，先是时宣伐莒向，后比再如齐，谋伐莱。十三年“秋，螽”。公孙归父会齐伐 莒。十五年“秋，螽”。宣亡熟岁，数有军旅。襄公七年“八月，螽”。刘向以为，先是襄兴师救陈，滕子、郯子、小邾子皆来朝。夏，城费。哀公十二年“十二月，螽”。是时，哀用田赋。刘向以为春用田赋，冬而螽。十三年“九月，螽。十二月，螽”。比三螽，虐取於民之效也。刘
等差、等比数列及其求和及答案
等差、等比数列及其求和一、考点、热点1．a n 与S n 的关系：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d(1)q ≠1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q (2)q ＝1，S n ＝na 12．数列求和的方法技巧 (1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和． 3．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n }，利用该数列的通项公式、递推公式或前n 项和公式．二、典型例题题型一 等差(比)数列的基本运算例1 已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m . 审题破题 (1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a 1和d ，从而求出a n .(2)求出b m ，再根据其特征选用求和方法．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ，由T 5＝105，a 10＝2a 5， 得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×(5－1)2d ＝105，a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1. 所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 1(1－q m )1－q ＝7×(1－49m )1－49＝7×(72m －1)48＝72m ＋1－748.变式训练1 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0.故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.题型二 等差(比)数列性质的应用例2 (1)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是 ( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 013的值为( )A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 010D ．－2 013 审题破题 (1)根据等差数列的性质，a 7＋a 14＝a 1＋a 20，S 20＝20(a 1＋a 20)2可求出a 7＋a 14，然后利用基本不等式；(2)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．解析 (1)∵S 20＝a 1＋a 202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤⎝⎛⎭⎫a 7＋a 1422＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．(2)根据等差数列的性质，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S 11＝a 1＝－2 013，公差d ＝1，故S 2 0132 013＝－2 013＋(2 013－1)×1＝－1，所以S 2 013＝－2 013.变式训练2 (1)数列{a n }是等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析 ∵{a n }的前n 项和S n 有最大值，∴数列为递减数列．又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，得a 10＋a 11<0.而S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0，S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0.故当n ＝19时，S n 取得最小正值．(2)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10等于 ( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析 ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5. 题型三 等差数列、等比数列的综合应用例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件2S n ＝3(a n －1)，其中n ∈N *.(1)证明：数列{a n }为等比数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和．审题破题 (1)利用a n ＝S n －S n －1求出a n 与a n －1之间的关系，进而用定义证明数列{a n }为等比数列．(2)由(1)的结论得出数列{b n }的通项公式，求出c n 的表达式，再利用错位相减法求和．(1)证明 由题意得a n ＝S n －S n －1＝32(a n －a n －1)(n ≥2)，∴a n ＝3a n －1，∴a na n －1＝3(n ≥2)，又S 1＝32(a 1－1)＝a 1，解得a 1＝3，∴数列{a n }为首项为3，公比为3的等比数列．(2)解 由(1)得a n ＝3n ，则b n ＝log 3a n ＝log 33n ＝n ，∴c n ＝a n b n ＝n ·3n ，设T n ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋(n －1)·3n －1＋n ·3n ，3T n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.∴－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3(1－3n )1－3－n ·3n ＋1，∴T n ＝(2n －1)3n ＋1＋34.变式训练3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *，均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋…＋c 2 013.解 (1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，d >0，∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )，解得d ＝2.则a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.又∵b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3.∴b n ＝b 2q n －2＝3×3n －2＝3n －1.(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝a n ＋1，得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n ，两式相减，得c nb n ＝a n ＋1－a n ＝2，∴c n ＝2b n ＝2×3n －1(n ≥2)而当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.∴c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32 012＝3＋6－6×32 0121－3＝3－3＋32 013＝32 013.题型四 分组转化法求和例4 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .审题破题 (1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得a n ；(2)可以分组求和：将{b n }前n 项和转化为数列{a n }和数列{(－1)n ln a n }前n 项的和．解 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3.故a n ＝2·3n －1 (n ∈N *)． (2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3.所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝⎛⎭⎫n －12－n ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln 3－1， n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1， n 为奇数.变式训练4 在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝42，a 8＝30.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝(3)a n ＋2＋λ(λ∈R )，则是否存在这样的实数λ使得{b n }为等比数列；(3)数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数12a n －1，n 为偶数，T n 为数列{c n }的前n 项和，求T 2n .解 (1)因为{a n }是一个等差数列，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝42，∴a 4＝14. 设数列{a n }的公差为d ，则4d ＝a 8－a 4＝16，故d ＝4.故a n ＝a 4＋(n －4)d ＝4n －2. (2)b n ＝(3)a n ＋2＋λ＝9n ＋λ.假设存在这样的λ使得{b n }为等比数列，则b 2n ＋1＝b n ·b n ＋2，即(9n ＋1＋λ)2＝(9n ＋λ)·(9n ＋2＋λ)，整理可得λ＝0，即存在λ＝0使得{b n }为等比数列．(3)∵c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数2n －3，n 为偶数，∴T 2n ＝1＋(2×2－3)＋22＋(2×4－3)＋24＋…＋22n －2＋(2×2n －3) ＝1＋22＋24＋…＋22n －2＋4(1＋2＋…＋n )－3n ＝1－4n 1－4＋4×n (n ＋1)2－3n ＝4n －13＋2n 2－n .题型五 错位相减法求和例5 已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝2，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －1b n ＝a n ，求数列{nb n }的前n 项和T n . 审题破题 (1)列方程求{a n }的通项公式；(2)先求b n (两式相减)，再用错位相减法求T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由⎝⎛⎭⎫1a 22＝1a 1·1a 4，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )． 因为d ≠0，所以d ＝a 1＝2，所以a n ＝2n . (2)b 1＋2b 2＋4b 3＋…＋2n －1b n ＝a n① b 1＋2b 2＋4b 3＋…＋2n －1b n ＋2n b n ＋1＝a n ＋1②②－①得：2n ·b n ＋1＝2.∴b n ＋1＝21－n .当n ＝1时，b 1＝a 1＝2，∴b n ＝22－n .T n ＝12－1＋220＋321＋…＋n 2n －2，12T n ＝120＋221＋322＋…＋n 2n －1，上两式相减得12T n ＝2＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1＝2＋2⎝⎛⎭⎫1－12n －1－n2n －1，∴T n ＝8－n ＋22n －2.变式训练5 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)．令c n ＝b 2n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和R n .解 (1)设公差为d ，令n ＝1，则a 2＝2a 1＋1，a 1＝d －1， ① 又S 4＝4S 2，即2a 1＝d ，②由①②得：a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由题意知，T n ＝λ－n 2n －1，∴当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝λ－n 2n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－n －12n －2＝n －22n －1.∴c n ＝b 2n ＝n －14n －1(n ∈N *)．∴R n ＝c 1＋c 2＋…＋c n －1＋c n ＝0＋14＋242＋…＋n －14n －1，①14R n ＝142＋243＋…＋n －24n －1＋n －14n ， ② ①－②得：34R n ＝14＋142＋…＋14n －1－n －14n ＝14⎝⎛⎭⎫1－14n －11－14－n －14n ＝13⎝⎛⎭⎫1－14n －1－n －14n＝13⎝⎛⎭⎫1－3n ＋14n ，∴R n ＝49⎝⎛⎭⎫1－3n ＋14n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1. 题型六 裂项相消法求和例6 在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列．(1)已知数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差．审题破题 (1)列方程组(两个条件)确定a n ；(2)不可以采用裂项相消法求得，应该和已知T n ＝19－1n ＋9对比求得公差．解 设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得a 24＝a 1·a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋7d )， ∴a 21＋6a 1d ＋9d 2＝a 21＋7a 1d ，而d ≠0，∴a 1＝9d .(1)由数列{a n }的前10项和为45可得S 10＝10a 1＋10×92d ＝45，即90d ＋45d ＝45，故d ＝13，a 1＝3，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)·13＝13(n ＋8)．(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为T n ＝1d [⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1]＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫19d －19d ＋nd ＝1d 2⎝⎛⎭⎫19－1n ＋9＝19－1n ＋9.故数列{a n }的公差d ＝1或－1.变式训练6 等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．解 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6，得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13. 由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1]＝－2nn ＋1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.题型七 数列的综合应用例7 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，点(n ，S n )在函数f (x )＝12x 2＋32x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项；(2)若c n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n，求证：2n <c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12.审题破题 (1)由S n 求a n 可考虑a n ＝S n －S n －1；(2)利用不等式放缩、数列求和分析． (1)解 因为点(n ，S n )在f (x )的图象上，所以S n ＝12n 2＋32n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，适合上式．所以a n ＝n ＋1对任意n ∈N *都成立．(2)证明 c n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1>2 n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋1＝2，所以c 1＋c 2＋…＋c n >2n .又因为c n ＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1＝2＋1n ＋1－1n ＋2.故c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋[(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)]＝2n ＋12－1n ＋2<2n ＋12.所以2n <c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12成立．反思归纳 数列与不等式综合的问题是常见题型，常见的证明不等式的方法有：①作差法；②作商法；③综合法；④分析法；⑤放缩法．变式训练7 已知各项全不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n (1＋a n )2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)若a 2＝3，求证：当n ∈N *时，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12. 证明 (1)由S 1＝1＋a 12＝a 1知a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (1＋a n )2－(n －1)(1＋a n －1)2，化简得(n －2)a n －(n －1)a n －1＋1＝0，①以n ＋1代替n 得(n －1)a n ＋1－na n ＋1＝0.② 两式相减得(n －1)a n ＋1－2(n －1)a n ＋(n －1)a n －1＝0.则a n ＋1－2a n ＋a n －1＝0，其中n ≥2. 所以，数列{a n }为等差数列．(2)由a 1＝1，a 2＝3，结合(1)的结论知a n ＝2n －1(n ∈N *)．于是1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12(1－13)＋12(13－15)＋…＋12(12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)<12. 典例 (已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1,2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．(1)解 对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列．于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.[5分](2)证明 ①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n >0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B (n )A (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q (a 1＋a 2＋…＋a n )a 1＋a 2＋…＋a n＝q ，C (n )B (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q (a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ，即B (n )A (n )＝C (n )B (n )＝q . 所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．[8分]②充分性：若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则 B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )，于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1.由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0.因为a n >0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q .故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．[11分]综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．[12分]专题限时规范训练一、选择题1． 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63答案 C 解析 ∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14.∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.2． 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．72 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝8S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48.3． 已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝32＋f (x ) (x ∈R )，且f (1)＝52，则数列{f (n )} (n ∈N *)前20项的和为( )A ．305B ．315C ．325D ．335 答案 D 解析 因为f (1)＝52，f (2)＝32＋52，f (3)＝32＋32＋52，…，f (n )＝32＋f (n －1)，所以{f (n )}是以52为首项，32为公差的等差数列．所以S 20＝20×52＋20(20－1)2×32＝335. 4． 已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为 ( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2＋2－12n －1解析 因为a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝1＋2n －12n ＋⎝⎛⎭⎫1－12n ·121－12＝n 2＋1－12n . 5． 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋3n ，若a n ＋1a n ＋2＝80，则n 的值等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 A 解析 由S n ＝－n 2＋3n 可得a n ＝4－2n .因此a n ＋1a n ＋2＝[4－2(n ＋1)][4－2(n ＋2)]＝80，即n (n －1)＝20，解得n ＝5，故选A. 6． 数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析 ∵a n ＝(－1)n (3n －2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.7． 设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析 结合三角函数性质，寻求数列前n 项和的符号特点． ∵a n ＝1n sin n π25，∴当1≤n ≤24时，sin n π25>0，即a 1，a 2，…，a 24>0；当n ＝25时，a 25＝0；当26≤n ≤49时，a n ＝1n sin n π25＝－1n sin (n －25)π25<0，且|a n |<1n －25sin (n －25)π25＝a n －25；当n ＝50时，a 50＝0.∴S 1，S 2，S 3，…，S 50>0，同理可知S 51，S 52，S 53，…，S 100>0. ∴在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数为100.8． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于( )A ．1B ．9C ．10D ．55解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1.可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1. 二、填空题9． 在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2解析 a n ＋1＝13S n ，a n ＋2＝13S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝13(S n ＋1－S n )＝13a n ＋1，∴a n ＋2＝43a n ＋1 (n ≥1)．∵a 2＝13S 1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2.10．各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________.解析 设每10项一组的和依次组成的数列为{b n }，由已知可得，b 1＝10，b 1＋b 2＋b 3＝70.①设原等比数列{a n }的公比为q ，则b 2b 1＝a 11＋a 12＋…＋a 20a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1q 10＋a 2q 10＋…＋a 10q 10a 1＋a 2＋…＋a 10＝q 10.同理：b 3b 2＝q 10，b 4b 3＝q 10，…，∴{b n }构成等比数列，且公比q ′＝q 10.由①可得10＋10q ′＋10(q ′)2＝70，即(q ′)2＋q ′－6＝0，解得q ′＝2或q ′＝－3. ∵q ′＝q 10>0，∴q ′＝2.∴{b n }的前4项依次是10,20,40,80.∴S 40＝150.11．在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n＝________.答案 n n ＋1解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.12．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，14，…的前100项的和等于________．答案 19114解析 S 100＝1×1＋2×12＋3×13＋4×14＋…＋13×113＋9×114＝19114.三、解答题13．正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)由a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n ，则b n ＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n2(n ＋1). 14．已知：数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足b n ＝na n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)S n ＝2a n －n .令n ＝1，解得a 1＝1；令n ＝2，解得a 2＝3.(2)S n ＝2a n －n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＝2a n －1＋1， 所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，又因为a 1＋1＝2， 所以数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． 所以a n ＋1＝2n ，即通项公式a n ＝2n －1(n ∈N *)． (3)b n ＝na n ，所以b n ＝n (2n －1)＝n ·2n －n ，所以T n ＝(1·21－1)＋(2·22－2)＋(3·23－3)＋…＋(n ·2n －n )，T n ＝(1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n )－(1＋2＋3＋…＋n )． 令S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， ① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，－S n ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1， S n ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1，所以T n ＝2＋(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2(n ∈N *)．。
等差数列求和公式
小结2：
本题利用的是“裂项相消法”，此 法常用于形如{1/f(n)g(n)}的数列求和， 其中f(n),g(n)是关于n（n∈N)的一次 函数。 方法：把数列中的每一项都拆成两项的 差，从而产生一些可以相消的项， 最后剩下有限的几项。
此方法应注意： 对裂项公式的分析，通俗地 说，裂项，裂什麽？裂通项。
小结 1:
“错项相减法”求和,常应用于型 如{anbn}的数列求和,其中{an}为等 差数列, {bn} 为等比数列.
练习 1
求和: 1/2+2/4+3/8+……+n/2n 方法: 可以将等式两边同时乘以2或1/2, 然后利用“错位相减法”求和.
1 1 1 1 例2：求和 Sn= + + + …+ 2×5 5×8 8×11 (3n-1) (3n+2)
解：∵数列的通项公式为 1 1 1 1 an= = ( ) (3n-1) (3n+2) 3 3n-1 3n+2
1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn= ( - + - + - +…+ 3 2 5 5 8 8 11 3n-4 1 1 1 + ) 3n-1 3n-1 3n+2 1 1 1 1 = ( )= 3 2 3n+2 6n+4
练习 2： 求和 1 1 + 1×4 4×7 1 (3n-2)×(3n+1)
1 + 7×10
+…+
1 1 1 1 分析： = an = ( ) (3n-2)×(3n+1) 3 3n-2 3n+1
接下来可用“裂项相消 法”来求和。
例 3：求和 1 1 1 1 1 1+(1+ )+(1+ + )+…+(1+ + +…+ 2 2 4 2 4 1 1 ) 1× （1- n ） 2n-1 1 1 1 2 1 =2- n-1 解：∵an=1+2 +4 +…+2n-1 = 1 2
求数列和的三种途径
思路探寻数列求和问题具有较强的综合性，通常要求根据已知的项、递推关系式等求数列的前n 项和.此类问题侧重于考查等差数列和等比数列的性质、定义、通项公式以及前n 项和公式.下面重点谈一谈求数列和的三种途径.一、分组转化法若一个数列由几个等差、等比数列、常数列的和构成，则可采用分组转化法，将数列进行适当的拆分并重新组合，把数列分成若干个等差、等比数列、常数列，再根据等差、等比数列的前n 项和公式进行求和.例1.已知等比数列{}a n 的公比大于1，a 2+a 4=20，a 3=8.记b m 为{}a n 在区间（0,m ]()m ∈N *中的项的个数，求数列{}b m 的前100项和S 100.解：设{}a n 的公比为q ()q >1，由题意可知a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=20，即a 3=a 1q 2=8，解得q =2或q =12()舍，所以a n =2n，所以b 1=0，因为当2n ≤m <2n +1时，b m =n ，所以S 100=b 1+()b 2+b 3+⋯+()b 64+b 65+⋯+b 100=0+1×2+2×22+3×23+⋯+6×()100-63=480.仔细观察，可发现b m 随着m 的取值变化而变化，于是将其按照区间2n ≤m <2n +1进行分组，再进行分组求和.二、错位相减法对于形如{}a n ∙b n 的数列，通常可采用错位相减法来求其前n 项的和.可先将数列{}a n ∙b n 的前n 项和记作S n ，然后在S n =a 1∙b 1+a 2∙b 2+⋯+a n ∙b n 的左右同时乘以等比数列的公比q ，再将该式与数列的前n 项和式作差，并错开一位相减，即可得到数列{}a n ∙b n 的前n 项和.例2.设数列{}a n 是公比不为1的等比数列，a 1=1，a 1为a 2、a 3的等差中项，求数列{}na n 的前n 项和.解：设数列{}a n 的公比为q ()q ≠1，由题意可得2a 1=a 2+a 3，即2a 1=a 1q +a 1q 2，所以q 2+q -2=0，解得q =1（舍去）或q =-2，所以a n =()-2n -1，所以S n =1+2×()-2+⋯+n ∙()-2n -1，n 2n -1n，所以3S n =1+()-2+()-22+⋯+()-2n -1-n ∙()-2n=1-()-2n3-n ∙()-2n ，可得S n =19-()3n +1()-2n9.运用错位相减法求和的关键在于将S n 与qS n 的表达式错位相减，以便使差式中的部分项构成等比数列，根据等比数列的前n 项和公式进行求和.三、裂项相消法若遇到形如{}ca n a n +1数列，需采用裂项相消法来求和.通常需将数列的通项公式裂为两项之差的形式，那么在求和时，相邻的项便会相互抵消，从而达到快速求和的目的.例3.已知数列{}b n 为等差数列，公差d >0,c n +1=b nb n +2⋅c n 且b 1⋅b 2⋅c 1=1+d ，证明：c 1+c 2+⋯+c n <1+1d ，n ∈N *.证明：由题意得，c n +1=bn b n +2∙c n ()n ∈N *，可得b n +2∙c n +1=b n ∙c n ，所以b n +1∙b n +2∙c n +1=b n +1∙b n ∙c n ，因为b 1∙b 2∙c 1=1+d ，所以数列{}b n b n +1c n 是一个常数列，且常数为1+d ，则b n b n +1c n =1+d ，所以c n =1+d b n b n +1=æèöø1+1d æèçöø÷1b n -1b n +1.因为b 1=1，d >0，所以b n +1>0，所以c 1+c 2+⋯+c n =æèöø1+1d ∙éëêæèçöø÷1b 1-1b 2+æèçöø÷1b 2-1b 3+⋯ùûú+æèçöø÷1b n -1b n +1=æèöø1+1d æèçöø÷1-1b n +1<1+1d ，所以c 1+c 2+⋯+c n <1+1d()n ∈N *.在采用裂项相消法来求数列的和时，要找出相互抵消的项之间的规律，避免出错.在求数列的和时，同学们要仔细研究数列的通项公式或各项，找出数列中各项之间的规律，如数列由几个特殊数列的和构成，数列的通项公式形如a n ∙b n 、ca n a n +1，便可采用分组转化法、错位相减法、裂项相消法来求.（作者单位：江苏省盐城市大丰区南阳中学）管小红51。
等差等比数列求和(最新高三总复习)
[例题分析]： 例1． 求数列 9,99,999,┅,的前 n 项和.
【同类变式】
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2015 年个性化辅导教案 1． 数列 1,(1 2),
,(1 2
2n1 ),
,的前 n 项和为 Sn ，则 Sn 等于（ ）
( A) 2 n
( B ) 2n n
(C ) 2n 1 n ( D ) 2n 1 n 2
2、 倒序相加求和法 根据推导等差数列前 n 项和的方法，利用 a1 an a2 an1 得出。 3、 错位相减法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的新数列求和。 4、 拆项，裂项法 利用解析式变形，将一个数列分成若干个可以直接求和的数列，即进行拆项重组；或将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和。常 拆项公式有：
[同类变式]： （1） 求和
1 1 1 , , , 1 3 2 4 3 5
,
1 , n(n 2)
（2） 已知数列 {an } 通项为 an
1 n n 1
，求数列的前 n 项之和
[ 能力提高]求下列各式和： （1）求数列
1 n( n1)( n 2)
；前 n 项和
1 1 1 1 （2） 1, 1 2 , 123 , 1234 , 12n
1： 知识 总结 2： 3： 课堂 反馈 组长签字
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x
）
B. －180 . C. －360
D. －400
1 ，利用课本中推导等差数列前 n 项公式的方法，求 f(-5)+f(-4)+….+f(5)+f(6)的值. 2 2
条件求和的一些方法
条件求和的一些方法条件求和是指根据一定条件将一系列数字相加的计算方法。
在数学中，条件求和是重要的概念，可根据问题的不同，采用不同的方法来求解。
以下将介绍一些常见的条件求和方法，包括等差数列求和、等比数列求和、利用积分求解、利用递推关系式求解等。
1.等差数列求和：等差数列是指具有相同公差的数列。
要求这类数列的和，常用的方法是利用等差数列求和公式。
对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
可以利用等差数列求和公式Sn = n(a1 +an)/2来求和。
2.等比数列求和：等比数列是指具有相同公比的数列。
要求这类数列的和，常用的方法是利用等比数列求和公式。
对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
可以利用等比数列求和公式Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)来求和。
3.利用积分求解：对于一些复杂条件求和问题，可以通过转换为连续函数来利用积分进行求解。
将离散的求和问题转化为连续函数的积分可以简化计算过程。
例如，对于连续函数f(x)求和的问题，可以用积分来表示：求和∑(n=1 to N)f(n)可以表示为积分∫(x=1 to N)f(x)dx。
4.利用递推关系式求解：有时候，条件求和问题可以利用递推关系式来求解。
递推关系式指的是将当前项与前一项之间的关系表示为一个式子。
比如，对于斐波那契数列的求和问题，可以利用递推关系式F(n)=F(n-1)+F(n-2)来求解。
除了上述常见方法之外，还有一些其他特殊条件下的求和方法，如傅里叶级数求和、变动求和等。
这些方法在特定的数学领域或问题中有较广泛的应用。
总之，对于条件求和问题，需要根据具体的问题条件，选择合适的求和方法，合理运用数学知识和技巧进行求解。
数列的特殊求和公式
数列的特殊求和公式数列是数学中常见且重要的概念，它是一系列按照特定规律排列的数字。
在数列的研究中，经常需要计算数列的求和值。
一般而言，数列求和公式往往是递推式或者通项式的形式。
但是，对于一些特殊的数列，可能存在更加简洁和方便的求和公式。
在本文中，将介绍几种常见的数列求和公式，并解释它们的应用场景和推导方法。
1. 等差数列求和公式：等差数列是指每一项与它的前一项之差等于一个常数的数列。
求和等差数列的公式为：S = (n/2)(a + l)其中，S表示数列的求和结果，n表示数列的项数，a表示数列的首项，l表示数列的末项。
这个公式的推导可以通过对等差数列逐项求和或者利用数列和的特点得到。
2. 等比数列求和公式：等比数列是指每一项与它的前一项之比等于一个常数的数列。
求和等比数列的公式为：S = (a(1 - r^n))/(1 - r)其中，S表示数列的求和结果，n表示数列的项数，a表示数列的首项，r表示等比数列的公比。
这个公式的推导可以通过对等比数列逐项求和或者利用等比数列的性质得到。
3. 平方数列求和公式：平方数列是指数列的每一项是其项数的平方的数列。
平方数列的求和公式为：S = (n(n+1)(2n+1))/6其中，S表示数列的求和结果，n表示数列的项数。
这个公式可以通过对平方数列逐项求和或者利用平方数列的特征得到。
4. 立方数列求和公式：立方数列是指数列的每一项是其项数的立方的数列。
立方数列的求和公式为：S = [(n(n+1))/2]^2其中，S表示数列的求和结果，n表示数列的项数。
这个公式可以通过对立方数列逐项求和或者利用立方数列的特征得到。
除了以上介绍的常见的数列求和公式，还有其他一些数列的特殊求和公式，如等差数列的倒数求和公式、勾股数列求和公式等，都可以通过类似的方法推导得到。
综上所述，数列求和公式在数学中有着广泛的应用，能够帮助我们高效地计算数列的求和结果。
掌握了这些公式，我们可以更好地理解和应用数列的性质，提高解决实际问题的能力。
“等差乘等比”型数列求和的五种解法
• 14 •理科考试研究•数学版2020年9月1日等誉乘等比”型教列求和的五种解法刘海涛(芜湖市第一中学 安徽 芜湖241000)摘要："等差乘等比"型数列求和常用方法是错位相减法，虽然这种方法模式化很强，但是计算时往往涉及等比数列求和、繁分式化简、指数舉的运算等，学生极容易出错.本文通过一道例题从五个角度探讨如何对“等差乘等比”型 数列求和.关键词：等差乘等比；数列求和；策略1试题呈现题目已知数列巾为等差数列，前"项和s ”5eN*),|6j 是首项为2的等比数列，且公比大于0,b 2 + b 3 =12,b 3 - a 4 -2a t ,S n =llb 4.1) - 4" + 1 =-8-(3n-2)4"».(1) 求巾”]和仏”｝的通项公式；(2) 求数列込”篦”(的前"项和7\(neN ”).2试题解析2. 1第(1)问解析解析 设等差数列｛ a ”｝的公差为d,等比数列 的公比为g(g >0).由题知如严 = g+『=6,解得g =2,则b ”=2”.所以 a 4 - 2a t -8 ,S n =11 x 16.即 3d - =8,110] +554 = 11 x 16.解得¢/=3,5 = 1.由此可得a ” =3n -2.2.2第(2)问解析由(1)得 a 2n b 2n _x = (6n -2)22^1 =(3n-1)4".下面从五个角度来探讨数列)(3n - 1 )4"!的前n 项和T ”的求法.2. 2. 1错位相减法解法 1 由题得 =2 x4' + 5 x42 + 8 x43 + •••+ (3n-4)4n_1 +(3n-l)4".所以 47\=2x 42 +5 x43 + 8 x44 + ••- + (3n -4)• 4" +(3n-l)4n + 1.两式相减，得-37； =2 x4 +3 x (42 +43 + •- +4") -(3n - 1)4"' =8+3 x X (1 ~4"- (3n -1—4则亿=5-寻)4"“ +y.评注在用错位相减法求和时，为了在“错位”后 能“相减”出求和所需的结构式,一般列出前三项和后两项.2.2.2公式法公式 数列{ (an + 6)g" } (gM0,gH 1)的前”项和S ” = 3+B)厂+匚其中/!=話"6( g - 1) - a r证明由题得 S n = (a + b) + ( 2a + 6) g 2 + (3a+ 6)^3 4-••- + [a(n-l) + b]q n~l + (an + b) q",qS n = (a + b) q? + (2a+b)g ‘ + (3a+b)g° +…+[a(n - 1 ) + 6]g n + (an + b)q n+x .两式相减，得(1 - q)S * = (a + b)q' +a(q 2 +q +ag2( ])•••+g") - ( an + b) q n + ｝ = ( a + b) q + 〔b(g - 1 ) - a -. an + 亠1---；-----J g-l-qan + b ) q n + [n + 1q + q.a_6(g_l)q 一 1则S ” =［十“ +缪晋］g" +g •迁by.q (q -1) (g-l)解法2由题知a =3 ,b =- \ ,q =4.由公式，得 A=1 ,B =--|-,C =-|-.因此人=5_寻)4“杠+y.评注公式法虽让问题变得极容易，但是公式本作者简介：刘海涛(1988 -),男，安徽滁州人，本科，中学一级教师，研究方向：高中数学教学.2020年9月1日理科考试研究•数学版•15•身不易记，且考试时无法体现解答过程.2.2.3导数法对于数列｛(an+6)g"｝(gM0,gMl),因为(an+b)q"=aq•nq n｝+bg",所以分别对数列｛aq•nq"'1｝和仏g"｝求和相加即可.数列j bq n|是等比数列，容易求前n项和为“(1_/).对于数列jag•,想到1_q求导公式(光")'-nx n~x，当％H0且兀工1时，1x%°+2x x1+■•・+nx n~1=(x1+x2+•••+x n)z=1~x n).,11-X(1-x)2畔評*所以其前项和为aq(l-g)2a+(l一q)an(1-qY•qn解法3因为T n=£(3/-1)41=1(12xi-4'-'i=1i=1-41)=12f(i•4-1)一f4'=12f(i•41-1)-t=l i=l i=l4n+1—4n•i n又工(i•x，)=》(”')’= 5i=l i=l_n•x n+}-(n+l)x n+1(x-1)2，所以r…=12x".4""_(”+])4”+](汀)'4“+i_43~~(4-1)2评注由分组转化求和法将问题转化为数列I12 x(n-4-)1和⑷丨的前"项和相减，其中数列｛4T 是等比数列求和,而数列!12x(n-4-1)｝的求和，结合导数公式(％”)'=宓""可想到令4=x,对数列求和后再令％=4即可.2.2.4裂项相消法已知数列｛(an+b)q"i(gMO,gMl)，利用待定系数法构造数列2”｝满足b”=(xn+y)q“且6…+1-b”= (an+b)q",求出系数％,y后得到数列口”丨的通项公式，则数列!«J W前“项和S”=(篦-6,)+(63~b2) +…+(b”+i-b”)=b”+i解法4构造数列匕丨满足c”+「c”=(3n-l)•4".设c”=(xn+y)4",则[%(n+1)+y]4"+l-(xn +y)4"=(3n-l)4".整理，得3%n+4%+3y=3n-l.则3x=3,4x+3y=-1，解得x=1,y=-y-.所以c”=(n-寻)4".故T n=C”+1=(n-y)4"+1+y.评注这种裂项相消法，主要是利用待定系数法构造数列｛c”｝满足j-c”=(3“_1)4",然后一步到位得到T”=a,这种做法可以大大减少运算,提高解题效率.2.2.5构造常数列法已知数列｛(an+b)g"｝(gMO,gMl)的前"项和S”，则有S”-S”“=(an+6)g",接下来用待定系数法构造出S n-(xn+y)q"=S…_,-[x(n-l)+y]g"~',于是得到常数列｛S”-(切+y)g"｝，进而得到S”.解法5由题知心2时,7\-7；冲=(3“-1)4".设丁”-3+y)4"=T”一1-[%5-1)+y]4"“,整理，得T”-T—=(3xn+x+3y)4"“.所以3xn+x+3y=4(3n-1).Q 贝!]3%二12,%+3丁二-4,解得％二4』=-亍所以T n-(4n-；)4"=r…_,-[4(n-1)-因此数列I T”-(4n-|-)4"｝为常数列.又儿_(4-寻)x4=a26I-y=y,所以7\-(4“-寻)4"=爭故瞪=5-寻)4"+'+y-评注也可以认为解法5是对解法4的改进，同样都是通过待定系数构造数列，解法5构造的更直接，实现了真正意义上的一步到位解决“等差乘等比”型数列求和问题.以上五种方法从不迥的角度给出了“等差乘等比”型数列求和策略，体现了不同的数学思想方法，学生在学习时，要学会通过这种一题多解来发散思维、提高解题能力.(收稿日期:2020-04-10)。
等比等差混合数列求和
等比等差混合数列求和
摘要：
一、等比等差混合数列求和的概念
二、等比等差混合数列求和的公式
三、等比等差混合数列求和的实例与解析
四、总结与拓展
正文：
一、等比等差混合数列求和的概念
等比等差混合数列求和，是指在等比数列与等差数列相混合的情况下，求出该数列和的一种方法。
等比数列具有公比性质，等差数列具有公差性质，当这两种数列混合在一起时，我们需要分别考虑它们的性质，进而求出总和。
二、等比等差混合数列求和的公式
在等比等差混合数列求和中，我们需要先分别找出等比数列和等差数列的通项公式，然后将它们相加。
设等比数列的首项为a，公比为r，等差数列的首项为b，公差为d，项数为n，则等比等差混合数列的通项公式为：an = a * r^(n-1) + b + (n-1) * d。
求和公式为：S_n = (a * (1 - r^n)) / (1 - r) + n *
(b + b + (n-1) * d) / 2。
三、等比等差混合数列求和的实例与解析
例如，我们有一个等比等差混合数列：3, 6, 9, 12, 15。
我们可以先观察到这是一个等差数列，公差为3，然后再观察到它是一个等比数列，公比为2。
我们可以根据求和公式计算出这个数列的和为：S_5 = (3 * (1 - 2^5)) / (1 - 2)
+ 5 * (6 + 6 + (5-1) * 3) / 2 = 45。
四、总结与拓展
等比等差混合数列求和是一种基本的数学计算方法，它在实际生活中也有很多应用，比如在金融、统计等领域。
对于这类问题，我们需要掌握相关的公式，并能熟练地运用它们来解决问题。
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高考提升
1.设数列{a n }是公比为正数的等比数 列，a1 2, a3 a2 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }是首项为 1，公差为2的等差数列，求数列 {a n b n } 的前n项和Sn .
2 2.等差数列 {an }的前n项和S n .已知S3 a2 , 且S1 , S 2 , S 4成等比数列 .
a1 1 q Sn 1 q
⑵
由此得q≠1时，
n
说明：这种求和方法称为错位相减法
当q≠1时，
∵
a1 1 q n Sn 1 q
a1q n a1q n1 q an q,
a1 an q Sn 1 q
∴
显然，当q=1时，
Sn na1
思考： 数列求和还有其他方法吗？什么方法？
（ 1 ）求数列 {a n }的通项公式； 1 （2）设b n , 求数列{b n }的前n项和Sn . nan
小结： 1.数列求和通常从通项公式入手，利用通 项公式探求数列求和的方法 2.在求和过程中经常用公式法，到倒序 相加法，错位相减法，分组并项求和， 裂项相消等方法 3.在求和过程中主要的是将一般数列根据 它的特征转化为等差等比数列求和.
等差等比数列综合求和
学习目标
1.掌握数列求和的常用方法：并项法、裂项法、倒 序相加法、错位相减法等，能将一些特殊数列的 求和问题转化为等差、等比数列的求和问题。 2.通过自己观察，分组讨论，自己体会参与的学习 方法体会数列求和常用方法的技巧和本质，能够 熟练的应用已学的知识解决一些特殊数列的求和 问题。 3.通过对特殊方法的介绍和学习，培养数学思维的 严谨性和逻辑性，锻炼自己学习数学的能力。
(1 2 n) (
1 1 (1 n ) n(n 1) 2 2 1 2 1 2
1 1 1 2 n ) 2 2 2
1 1 2 1 1 n n n 2 2 2
拓展提升:
拓展1：数列 1,1 2,1 2 22， 1 2 22 23， ,1 2 22 2 ,的前n项和.
高斯的算法实际上法解决了等差数列：1， 2，3· · · · ，n，· · · 的前n项和问题
问题 ： 如何求等差数列an 的前n项和?
等差数列an 的前n项和,用Sn表示， 记作：
Sn a1 a2 a3 an1 an
Sn an an1 an2 a2 a1
探究发现1
1 1 1 1 1 例1：求数列 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ， 的前 n项和. 2 4 8 16 32
分析：要求数列的前 n项和，首先要求出数列 的通项公式， 然后根据数列的特点和 等差等比数列求解 1 解：数列的通项公式为 an n n , 2
1 1 1 Sn 1 2 2 n n 2 2 2
n(a1 an ) 公式1 S n 2
n(n 1) 公式2 Sn na1 d 2
说明：这种方法称为倒序相加法
问题二：等比数列前n项求和公式是用什 么方法推导得到的？哪些数列适合这 种方法？
等比数列的前n项和
设等比数 列
a1 , a2 , a3 ,, an ,
它的前n项和是 即
分析：要求数列前 n项和，先根据数列特征 求出数列 {an }的通项公式
n 1
解：an 1 2 2 2
2
n1
2 1
n
Sn (2 1) (2 1) (2 1)
1 2 n
2 2 2 (1 1 1)
1 2 n
2(1 2 n ) 1 2
2
n 1
n2
探究发现2
1 例1：数列 {a n }的通项通项公a n (n N ), 求数列 n(n 1) 的前n项和.
1 1 1 解：an n(n 1) n n 1 1 1 1 1 S n a1 a2 a3 an - - 1 2 2 3 1 1 1 n 1 n n 1 n 1 n 1
复习回顾：
问题一：等差数列前n项求和公式用什么 方法推导得到的？那些数列适合这样方 法？
1+2+3+ …… +100 = ？
高斯的算法是： 首项与末项的和： 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: …… 1+100=101 2+99 =101 3+98 =101
第50项与倒数第50项的和: 50+51=101 于是所求的和是：101× =5050
说明:这种方法称为裂项法
拓展提升：
拓展2：
1 1 1 数列 , , ,求它的前 n项和 S n 1 3 2 4 3 5 1 1 1 1 解：an ( ) n ( n 2) 2 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 S n a1 a2 a3 an ( - - ) 2 1 2 2 3 n n2 1 1 1 1 (1 ) 2 3 n 1 n 2
Sn a1 a2 a3 an
2 n 2
Sn a1 a1q a1q a1q
a1q .
n1
⑴
⑴×q, 得
qSn
⑴－⑵，得
a1q a1q 2 a1q n2 a1q n1 a1q n . n 1 q Sn a1 a1q ,
如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？
如何求等差数列an 的前n项和Sn ?
Sn a1 (a1 d ) [a1 （n 1)d ]
Sn an (an d )
2Sn n(a1 an )
an a1 (n 1)d
[an (n 1)d ]