高三数学第62课时空间的角教案教案

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高考复习专题--数学空间角教案

2014年高考数学第二轮复习专题立体几何---空间角【考点审视】立体几何高考命题及考查重点、难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考查的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，更是年年反复进行考查，在难度上也始终以中等偏难为主。

空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，空间角高考中每年必考，复习时必须高度重视。

对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．考试要求考点1：掌握空间两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、二面角的平面角等概念；考点2：能熟练地在图形中找出相关的角并证明；考点3：能用向量方法和非向量方法进行计算；考点4：通过空间角的计算和应用进一步考察运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．【高考链接】1.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．2．三种空间角，即异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面所成二面角。

它们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角，通常“线线角抓平移，线面角找射影，面面角作平面角”而达到化归目的，有时二面角大小出通过cos θ=原射S S 来求。

3．由于近年考题常立足于棱柱、棱锥和正方体，因此复习时应注意多面体的依托作用，熟练多面体性质的应用，才能发现隐蔽条件，利用隐含条件，达到快速准确解题的目的。

【复习回顾】（一）空间角三种角的定义异面直线所成的角(1)定义：,a b 是两条异面直线，经过空间任意一点o ，分别引直线//'a a ，//'b b ,则'a 和'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.(2)取值范围：090θ≤≤. (3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 直线和平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种：斜线和平面所成的角这条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角. 一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)取值范围090θ≤≤° (3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小. ③最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角二面角及二面角的平面角 (1)半平面 (2)二面角.(3)二面角的平面角二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°②二面角的平面角具有下列性质：二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面。

空间角的求法教案

空间角的求法教案一、教学目标1. 让学生掌握空间角的概念，理解空间角的求法。

2. 培养学生运用空间角解决实际问题的能力。

3. 提高学生对空间几何的兴趣和认识。

二、教学内容1. 空间角的概念2. 空间角的求法3. 空间角的运用三、教学重点与难点1. 教学重点：空间角的概念，空间角的求法。

2. 教学难点：空间角的求法在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间角的求法。

2. 利用多媒体课件，直观展示空间角的求法过程。

3. 开展小组讨论，培养学生的合作意识。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生了解空间角的概念。

2. 新课讲解：讲解空间角的定义，演示空间角的求法过程。

3. 案例分析：分析实际问题，运用空间角解决问题。

4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的解题心得。

5. 总结与拓展：总结空间角的求法，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

教案内容请根据实际教学情况进行调整和补充。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对空间角概念和求法的掌握情况。

2. 练习题：布置课堂练习题，评估学生对空间角求法的运用能力。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和解决问题的能力。

七、教学反思1. 教师总结：反思教学过程中的优点和不足，为下一步教学做好准备。

2. 学生反馈：听取学生的意见和建议，改进教学方法。

3. 教学调整：根据教学反思，调整教学计划和内容。

八、课后作业1. 巩固空间角的概念和求法，完成相关练习题。

2. 思考空间角在实际问题中的应用，尝试解决相关问题。

3. 预习下一节课内容，为课堂学习做好准备。

九、拓展与延伸1. 研究空间角的其他求法，如利用向量、坐标等方法。

2. 探索空间角在立体几何中的应用，如对立体图形的分类、性质等方面进行研究。

3. 关注空间角在现实生活中的应用，举例说明空间角在工程、设计等领域的作用。

高三立体几何重点专题复习教案(空间角)

2．如图，平面，，若，求二面角的正弦值
分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角
解：过作于，过作交于，连结，
则垂直于平面，为二面角的平面角，
∴ ，
又平面，∴ ，，ຫໍສະໝຸດ ∴ 平面，∴ ，，又∵ ，，
∴ 平面，∴ ，
设，则，
在中，，∴ ，
同理，中，， ∴ ，
（2）A、D的连线和直线BC所成的角；
（3）二面角A—BD—C的正切值；
10答案.(1) (2) (3)-2
∴AC与PB所成的余弦值
(3)解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN，在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC.∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角。∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中, ∴ ∵AB=2,∴
故所求的二面角余弦值为说明:本题也可通过建立坐标系采用向量方法求解.
7.如图所示,正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线,分别交AB\AC于B1,C1,将△AB1C1折起到△A1B1C1的位置.使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M,求(1)二面角A1—B1C1—M的大小。（2）异面直线A1B1与CC1所成角的余弦值大小。
2、直线与平面所成角的定义？直线与平面所成角的范围是什么？怎样求直线与平面所成的角？
3、二面角的定义？怎样定义二面角的平面角？二面角的平面角的范围？怎样确定二面角的平面角？
二、基本技能训练讲评:
在一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是( )
(A)相等(B)互补

利用向量法求空间角教案

利用向量法求空间角-经典教案教案章节一：向量基础教学目标：1. 理解向量的概念及其表示方法。

2. 掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘。

教学内容：1. 向量的定义及表示方法。

2. 向量的运算规则：a) 向量加法：三角形法则和平行四边形法则。

b) 向量减法：向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。

c) 数乘：一个实数乘以一个向量，得到一个新的向量，其实数乘以原向量的模，新向量的方向与原向量相同。

d) 点乘：两个向量的点乘，得到一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值。

教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解向量的概念和表示方法。

2. 通过例题，让学生掌握向量的运算规则。

教案章节二：空间向量教学目标：1. 理解空间向量的概念及其表示方法。

2. 掌握空间向量的运算规则，包括空间向量的加法、减法、数乘和点乘。

教学内容：1. 空间向量的定义及表示方法。

2. 空间向量的运算规则：a) 空间向量加法：三角形法则和平行四边形法则。

b) 空间向量减法：空间向量减去另一个空间向量等于加上这个空间向量的相反空间向量。

c) 空间向量的数乘：一个实数乘以一个空间向量，得到一个新的空间向量，其实数乘以原空间向量的模，新空间向量的方向与原空间向量相同。

d) 空间向量的点乘：两个空间向量的点乘，得到一个实数，表示两个空间向量的夹角的余弦值。

教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解空间向量的概念和表示方法。

2. 通过例题，让学生掌握空间向量的运算规则。

教案章节三：向量的投影教学目标：1. 理解向量的投影的概念及其计算方法。

2. 掌握向量的正交投影和斜投影的计算方法。

教学内容：1. 向量的投影的定义及计算方法。

2. 向量的正交投影和斜投影的计算方法：a) 向量的正交投影：将向量投影到垂直于某一平面的向量上，得到的投影向量与投影平面垂直。

b) 向量的斜投影：将向量投影到某一平面上，得到的投影向量与投影平面不垂直。

求空间中的角—教学设计

求空间中的角—教学设计教学目标：1.理解角的概念。

2.掌握角的度量方法。

3.能够根据角的度量分类，并进行角的比较和运算。

教学重点：1.角的概念。

2.角的度量方法。

教学难点：角的度量方法。

教学准备：1.白板、黑板、彩色粉笔。

2.角的示例图片、实物角模型。

教学过程：Step 1：导入新知识（10分钟）1.教师出示一些手表的图片，引导学生观察时针和分针的位置。

2.提问：时针和分针之间形成了什么形状？请用手势表示。

学生回答：角。

3.教师追问：角是什么？能告诉我角的概念吗？Step 2：角的概念（10分钟）1.教师解释角的概念：角是由两条射线共同起源于一个点所夹的部分。

2.图示：教师在黑板上画出一个角，并标注重要的术语。

3.示范：教师用示例图片和实物角模型展示不同种类的角，如锐角、钝角、直角等。

Step 3：角的度量方法（30分钟）1.角度的旋转：教师引导学生思考，时针和分针绕圆心旋转一周后回到原位，这个过程称为一周。

一周有多少度？2.教师介绍度量角的概念和单位：度。

教师解释1周＝360度。

3.教师演示如何用量角器测量角的度数，引导学生跟随操作。

4.学生练习：提供一些角的图片和实物，学生用量角器测量角的度数并记录下来。

Step 4：角的度量分类（20分钟）1.教师给出一些角度度数，让学生判断是锐角、直角还是钝角。

2.学生练习：教师以小组为单位，给每组发放一些角的度数，要求学生根据度数进行分类。

3.请一名学生将小组的分类结果列在黑板上，与其他小组比较。

Step 5：角的比较和运算（20分钟）1.角度的比较：教师出示几个角，让学生根据度数大小判断它们的大小关系。

2.角的运算：教师出示两个角度，引导学生思考如何进行角的加法、减法和乘除运算，引导学生进行小组讨论。

Step 6：总结与拓展（10分钟）1.教师复习角的概念和度量方法。

2.教师总结角的分类和运算方法。

3.提问：角的度量方法适用于什么情况？学生回答：适用于平面角和空间角。

高中数学空间角度问题教案

高中数学空间角度问题教案
学科：数学
年级：高中
课时安排：2课时
教学目标：
1. 理解空间角度的概念，能够准确描述和度量空间角度；
2. 能够运用空间角度的知识解决相关问题；
3. 培养学生的空间想象力和逻辑推理能力。

教学步骤：
第一课时：
1. 导入：通过展示一些真实生活中的空间角度问题，引导学生思考空间角度的概念及其重要性。

2. 讲解：介绍空间角度的定义和性质，分别讲解平面角度和空间角度的区别；
3. 案例分析：给出一些实际问题，让学生尝试计算空间角度，并讨论解决方法；
4. 练习：让学生在小组内进行练习，互相讨论并解答问题；
5. 总结：总结本节课所学内容，强调空间角度的重要性及运用。

第二课时：
1. 复习：通过解答一些简单空间角度问题，复习上节课的内容；
2. 练习：给出一些复杂的空间角度问题，让学生自主解答，并制定解题思路；
3. 探究：引导学生思考空间角度问题的不同解法和解题技巧；
4. 实践：让学生在实际情景中应用空间角度知识，解决一些具体问题；
5. 总结：总结本节课的内容，检查学生对空间角度问题的理解和掌握情况。

教学反思：
本节课以空间角度为主题，通过讲解和案例分析，引导学生掌握空间角度的计算方法和应用技巧，帮助他们在实际问题中运用空间角度知识进行思考和解决。

通过本节课的学习，
学生不仅提高了空间角度问题的解决能力，还培养了他们的空间想象力和逻辑推理能力。

希望学生能够在实际生活中运用所学知识，不断提升自己的数学素养。

利用向量法求空间角教案

利用向量法求空间角-经典教案教案章节：一、向量法求空间角的概念教学目标：1. 了解向量法求空间角的概念。

2. 掌握向量法求空间角的基本方法。

教学内容：1. 向量法求空间角的概念介绍。

2. 向量法求空间角的计算方法。

教学步骤：1. 引入向量法求空间角的概念，解释空间角的概念。

2. 讲解向量法求空间角的计算方法，通过示例进行演示。

3. 进行练习，让学生巩固向量法求空间角的方法。

教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量法求空间角概念的理解。

2. 通过练习题，检查学生对向量法求空间角计算方法的掌握。

二、向量法求空间角的计算方法教学目标：1. 掌握向量法求空间角的计算方法。

2. 能够应用向量法求解空间角的问题。

教学内容：1. 向量法求空间角的计算方法介绍。

2. 向量法求空间角的计算实例。

教学步骤：1. 复习向量法求空间角的概念，引入计算方法。

2. 讲解向量法求空间角的计算步骤，通过示例进行演示。

3. 进行练习，让学生巩固向量法求空间角的计算方法。

教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量法求空间角计算方法的理解。

2. 通过练习题，检查学生对向量法求解空间角问题的能力。

三、向量法求空间角的练习题教学目标：1. 巩固向量法求空间角的计算方法。

2. 提高学生应用向量法求解空间角问题的能力。

教学内容：1. 向量法求空间角的练习题。

教学步骤：1. 给出向量法求空间角的练习题，让学生独立完成。

2. 对学生的答案进行讲解和指导，解决学生在解题过程中遇到的问题。

3. 进行练习，让学生进一步巩固向量法求空间角的计算方法。

教学评估：1. 通过练习题，检查学生对向量法求解空间角问题的能力。

2. 通过学生的解题过程，了解学生对向量法求空间角计算方法的掌握情况。

四、向量法求空间角的拓展与应用教学目标：1. 了解向量法求空间角的拓展与应用。

2. 能够应用向量法解决实际问题中的空间角问题。

教学内容：1. 向量法求空间角的拓展与应用介绍。

高三数学第62课时空间的角教案

课题：空间的角教学目标：掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题. 教学重点：直线与平面所成的角，二面角的求解.（一）主要知识及主要方法：1.三垂线定理(课本30P )：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.2.三垂线的逆定理(课本31P )：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.3.空间角的计算步骤一作、二证、三算.4.异面直线所成角：()1范围：(]0,90︒︒；()2计算方法:①平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移.②向量法：设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccosa b a b；③补体法；④证明两条异面直线垂直,即所成角为90︒.5.直线与平面所成的角：①定义：（课本29P ）平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角.②范围 []0,90︒︒；③最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.⑤斜线与平面所成角的计算：()1直接法：关键是作垂线，找射影可利用面面垂直的性质； ()2平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角.也可平移平面()3通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离d ()4应用结论：如右图所示，PO α⊥，O AB αÔ，AP 与平面α所成的角为1θ，BAO ∠PAB θ∠=，则12cos cos cos θθθ=.()5向量法：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θl n l n=.6.二面角：①定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规α AP O aabαl定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0，当两个半平面合成一个平面时，二面角为π，因此，二面角的大小范围为[]0,π.②确定二面角的方法：()1定义法；()2三垂线定理及其逆定理法；()3垂面法；()4射影面积法：cos S S θ=射影多边形原多边形，此方法常用于无棱二面角大小的计算；无棱二面角也可以先根据线面性质恢复二面角的棱，然后再用方法()1、()2计算大小；()5向量法：法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如左图，则二面角l αβ-- 的平面角αarccosa b a b=；其方向如右图，则二面角l αβ--的平面角α=arccosa b a bπ-（同等异补）法二、设1n ,2n 是二面角l αβ--外侧（同等异补），则二面角l αβ--α1212arccos||||n n n n =（二）典例分析：问题1．（07全国Ⅰ）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =︒∠，2AB =，BC =SA SB == ()1证明：SA BC ⊥；()2求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（本小题要求用多种方法解答,包括向量法）.SBCDA1n 2nSBCDA问题2．（07届高三湖北、荆州、宜昌4月模拟）边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱1CC 上任一点，CP m =（01m <<）.()1若12m =时，求证：面1BPD ⊥面11BDD B ；()2试确定m 值，使直线AP 与平面11BDD B 所成的角的正切值为ABDC1A1B1C1DP S B C D A问题3．（07四川）如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，PM ∥BC ， 1PM =，2BC =，又1AC =，120ACB ∠=︒， AB PC ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒.()1求证：平面PAC ⊥平面ABC ； ()2求二面角B AC M --的大小; ()3求三棱锥P MAC -的体积.(要求第()2小题用多种方法解答,包括向量法）.问题4．（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．4PA =，2AD =，AB =6BC =A BCM P A BC MP()1求证：BD ⊥平面PAC （此小题这里略去不做）；()2求二面角A PC D --的大小． (要求第()2小题用多种方法解答,包括向量法）.（三）课后作业：1.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点.那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于PC BA DEPC BADEOABCD 1A1B1C 1DE F2.(05浙江文)在三棱锥P ABC -中，1,2AB BC AB BC PA ⊥==，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC .()1求证：OD ∥平面PAB ；()2求直线PA 与平面PBC 所成角的大小3.如图，ABC △的边长为2，AD ，1BB ，1CC 都垂直于平面ABC ，且112BB CC ==， 1AD =，点E 为1DB 的中点，求直线 1C E 与平面ABC 所成的角.（四）走向高考： 4.（07浙江）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．()1求证：CM EM ⊥；()2求CM 与平面CDE 所成的角．ED CMABC A B1A1B1CD EFAPCBDOE F5.(07北京)如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =． Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． ()1求证：平面COD ⊥平面AOB ；()2当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小； ()3求CD 与平面AOB 所成角的最大值．OCADBv6.（07福建）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．()1求证：1AB ⊥平面1A BD （此小题这里略去不做）； ()2求二面角1A A D B --的大小；()3求点C 到平面1A BD 的距离．ABCD1A 1C1B。

空间角计算的教案

空间角计算的教案教案标题：空间角计算的教案教学目标：1. 理解空间角的概念和性质。

2. 能够计算和解决与空间角相关的问题。

3. 发展学生的几何思维和解决问题的能力。

教学资源：1. 教材：包含有关空间角计算的相关知识和例题的教材。

2. 白板和马克笔：用于展示和解释教学内容。

3. 视频教学资源：用于辅助教学，展示实际应用场景。

教学步骤：引入：1. 向学生介绍空间角的概念，并与平面角进行对比，强调其在三维空间中的重要性。

2. 展示一些实际应用场景，如建筑设计、航空航天等，说明空间角计算的实际价值。

探究：3. 提出一个问题，例如：已知两条直线在平面上的夹角为30度，它们分别与一条垂直于该平面的直线相交，求它们在空间中的夹角。

4. 引导学生思考如何解决这个问题，并鼓励他们运用已学的几何知识进行推理和计算。

讲解：5. 利用白板和马克笔，详细解释如何计算空间角。

a. 引入空间角的度量单位：弧度制和度制。

b. 解释如何利用向量和点积计算空间角。

c. 提供一些实例进行演示和说明。

练习：6. 分发练习题，让学生独立或小组完成。

7. 监督学生的练习过程，及时给予指导和解答疑惑。

拓展：8. 引导学生思考更复杂的空间角计算问题，并提供一些挑战性的练习题，以巩固和拓展他们的知识。

总结：9. 回顾本节课所学的内容，强调空间角计算的重要性和应用。

10. 鼓励学生在实际生活中运用所学知识，并提供相关资源和参考资料。

评估：11. 针对学生的学习情况，设计一些评估题目，检查他们对空间角计算的理解和应用能力。

12. 根据评估结果，给予学生相应的反馈和指导。

延伸活动：13. 鼓励学生进行实际观察和实验，寻找更多与空间角相关的实际应用。

14. 组织小组讨论或展示，让学生分享他们的发现和思考。

教学反思：15. 教学结束后，对本节课的教学过程进行反思和总结，寻找改进的方法和策略。

【课堂新坐标】数学苏教版选修教案：空间的角的计算Word版含解析

3.2.3 空间的角的计算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握利用空间向量求空间角(两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角)的方法，并能熟练准确地求解及完整合理地表达．2．过程与方法经历向量法求空间三种角的过程，体会空间向量夹角公式的应用，培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力．使学生更好的掌握化归和转化的思想．3．情感、态度与价值观激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；使学生感受和体会数学的魅力，激发“学数学用数学”的热情．●重点难点重点：用直线的方向向量、平面的法向量、向量夹角公式求空间三种角．难点：(1)两条异面直线的夹角、直线和平面所成的角及二面角的平面角与两个空间向量的夹角求法之间的区别．(2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标．根据三种空间角的定义和范围，结合具体的图形和向量夹角公式求三种空间角，并且根据向量夹角与三种空间角的关系，恰当的进行转化．(教师用书独具)●教学建议向量知识的引入是高中数学教材改革的一个亮点．本节课是在学生已经掌握空间向量的坐标运算、数量积运算及异面直线所成角、线面角、二面角的基础上，进一步研究用向量法求解这三种角．通过对空间角的深入研究，突出体现空间向量作为一种重要工具，为立体几何中夹角的求解提供了通法．本节课主要是通过寻找异面直线所成角、线面角、二面角与向量夹角间的关系，分析例题，总结解题思路．所以，遵照以教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则，采取教师提供资源，创设情境，引导学生主动参与，自主进行问题的探究学习．通过启发、提问、小组讨论、教师点拨、演示过程、归纳总结的教学方法，让学生想、学生做、学生说，并采用多媒体电教手段，增加课堂容量，激发学习兴趣．●教学流程回顾实例，导入新课．问题1：直线方向向量的求法．问题2：平面法向量的求法．问题3：向量的夹角公式．问题4：空间三种角的定义及范围．学生回答以上问题，教师配以多媒体，展示定义、图形、及范围，为进一步利用向量法求空间角做好知识铺垫和策略提示．⇒新知探究：空间三种角的向量求法．三个公式的统一性在于都是向量夹角公式的应用，将空间角的求解转化为向量夹角的求解；区别在于由于空间角的定义和范围的区别，三个公式各不相同，向量夹角与空间角的关系也不相同，应注意求出向量夹角后，如何转化为空间角．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握异面直线所成角的向量求法，即转化为其方向向量的夹角，利用向量夹角公式求解，但应注意方向向量夹角为钝角时，异面直线所成角为其补角．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握直线与平面所成角的向量求法，即转化为求直线的方向向量与平面的法向量的夹角，利用向量夹角公式求解，但应注意直线的方向向量与平面的法向量夹角并不是线面角，应注意按公式进行转化．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握二面角的向量求法，即转化为其法向量的夹角，利用向量夹角公式求解，但应注意法向量的夹角并不一定是二面角的大小，求出法向量的夹角后，应注意根据图形判定所求二面角是所得向量夹角还是其补角．⇒通过易错易误辨析，辨析向量夹角与空间角的对应关系．不能错误的认为所求向量夹角就是空间角，而应根据定义、范围和公式，进行适当转化．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.两条异面直线所成角的向量求法【问题导思】异面直线所成的角与其方向向量夹角是否一定相等，有何关系？【提示】设异面直线所成的角为θ，方向向量为a ，b ，则θ＝〈a ，b 〉不一定成立． (1)当〈a ，b 〉∈(0，π2]时，θ＝〈a ，b 〉，(2)当〈a ，b 〉∈(π2，π]时，θ＝π－〈a ，b 〉．若异面直线l 1、l 2的方向向量分别为a 、b ，l 1、l 2所成的角为θ，则cos θ＝|cos a ，b |.直线和平面所成的角直线与平面所成的角θ，该直线的方向向量a 与平面法向量n 的夹角为〈a ，n 〉，θ＝〈a ，n 〉，对吗？【提示】 θ＝〈a ，n 〉不正确．如图(1)时， θ＝a ，n ，如图(2)时，θ＝〈a ，n 〉－π2.(1)(2)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为θ1，l与α所成的角为θ2，则sin θ2＝|cos_θ1|＝|a·n| |a||n|.利用平面法向量求二面角时，怎样由法向量的夹角得二面角的大小？【提示】二面角α－l－β与〈n1，n2〉相等或互补，在求出〈n1，n2〉后，应根据图形，凭直线判断二面角α－l－β是锐二面角、直二面角，还是钝二面角，若〈n1，n2〉与二面角α－l－β范围相同，则二者相等；若范围不同，则互补．设二面角α－l－β的大小为θ，α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|cos n1，n 2|＝|n1·n2||n1||n2|，θ取锐角或钝角由图形确定.求两条异面直线所成的角在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值为________．【思路探究】思路一，以AB →，AD →，AA 1→为基向量，表示AM →，CN →，求AM →，CN →的余弦值；思路二：以AB ，AD ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求AM →，CN →坐标，利用坐标求cos AM →，CN →．【自主解答】法一 AM →＝12AB →＋AA 1→，CN →＝12AA 1→－BC →＝12AA 1→－AD →，∴cos AM →，CN →＝(12AB →＋AA 1→)·(12AA 1→－AD →)52×52＝1254＝25，∴AM 与CN 所成角的余弦值为25.法二以AB ，AD ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立坐标系如图，则A (0,0,0)，M (12，0,1)，C (1,1,0)，N (1,0，12)，∴AM →＝(12，0,1)，CN →＝(0，－1，12)，∴cos AM →，CN →＝1252×52＝25. ∴AM 与CN 所成角的余弦值为25.【答案】 251．本例中，也可能先求的是cos AM →，NC →＝－25，但考虑到异面直线所成角的范围是一个锐角或直角，故应取绝对值．2．向量法求异面直线所成角的步骤：(1)建立坐标系(或选取基向量)，求直线方向向量坐标(或用基向量线性表示)； (2)求〈a ，b 〉；(3)利用cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|，求θ.如图3－2－17，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.设E 为BC 的中点，求AE 与DB 夹角的余弦值．图3－2－17【解】由题意可知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设DB ＝1，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (1，0,0)，C (0,3,0)，A (0,0，3)，E (12，32，0)，∴AE →＝(12，32，－3)，DB →＝(1,0,0)，∴cos AE →，DB →＝AE →·DB→|AE →||DB →|＝12224×1＝2222，即AE 与DB 夹角的余弦值为2222.图3－2－18如图3－2－18，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的大小．【思路探究】求出平面A 1B 1CD 的一个法向量n ，求出A 1B →与n 的夹角，然后转化为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角．【自主解答】以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如题图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1(1,0,1)，C (0,1,0)．∴DA 1→＝(1,0,1)，DC →＝(0,1,0)．设平面A 1B 1CD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·DA 1→＝0，n ·DC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，y ＝0.令z ＝－1，得x ＝1. ∴n ＝(1,0，－1)．又B (1,1,0)， ∴A 1B →＝(0,1，－1)．cos n ，A 1B →＝A 1B →·n |A 1B →|·|n |＝12·2＝12.∴n ，A 1B →＝60°.即A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角为30°.1．要注意n ，A 1B →并不是A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角，而其余角才是所求角． 2．求线面角的步骤如下：(1)建立空间直角坐标系，确定直线的方向向量和平面的法向量． (2)求两个向量夹角的余弦值． (3)确定向量夹角的范围．(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角或直角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角或平角时，线面角等于这个夹角减去90°.图3－2－19如图3－2－19，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB ＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值．【解】以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz.设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0)．又设S(x，y，z)，则x>0，y>0，z>0.(1)证明：A S →＝(x －2，y －2，z )，B S →＝(x ，y －2，z )，D S →＝(x －1，y ，z )，由|A S →|＝|B S →|得(x －2)2＋(y －2)2＋z 2 ＝x 2＋(y －2)2＋z 2，故x ＝1. 由|D S →|＝1得y 2＋z 2＝1，又由|B S →|＝2得x 2＋(y －2)2＋z 2＝4，即y 2＋z 2－4y ＋1＝0，故y ＝12，z ＝32.于是S (1，12，32)，A S →＝(－1，－32，32)，BS →＝(1，－32，32)，D S →＝(0，12，32)，D S →·A S →＝0，D S →·B S →＝0，故DS ⊥AS ，DS ⊥BS ，又AS ∩BS ＝S ，所以SD ⊥平面SAB . (2)设平面SBC 的法向量a ＝(m ，n ，p )，则a ⊥B S →， a ⊥C B →，a ·B S →＝0，a ·C B →＝0.又B S →＝⎝⎛⎭⎫1，－32，32，C B →＝(0,2,0)，故⎩⎪⎨⎪⎧m －32n ＋32p ＝0，2n ＝0.取p ＝2得a ＝(－3，0,2)．又A B →＝(－2,0,0)，cos 〈A B →，a 〉＝A B →·a|A B →|·|a |＝217. 故AB 与平面SBC 所成的角的正弦值为217.图3－2－20如图3－2－20所示是一个直三棱柱(以A 1B 1C 1为底面)被一平面所截得的几何体，截面为ABC .已知A 1B 1＝B 1C 1＝1，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3.求二面角B －AC －A 1的大小．【思路探究】转化为求平面ABC 与平面AA 1C 1C 的法向量的夹角的余弦值，从而可得二面角B －AC －A 1的大小．【自主解答】如图所示，以B 1为坐标原点，B 1C 1，B 1A 1，B 1B 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，1,4)，B (0,0,2)，C (1,0,3)，所以AB →＝(0，－1，－2)，BC →＝(1,0,1)．设m ＝(x ，y ，z )是平面ABC 的法向量，则由⎩⎨⎧AB →·m ＝0BC →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－y －2z ＝0x ＋z ＝0，取x ＝1，则y ＝2，z ＝－1，故平面ABC 的一个法向量为m ＝(1,2，－1)．显然，l ＝(1,1,0)为平面AA 1C 1C 的一个法向量，则cos m ，l ＝m·l |m ||l |＝1＋2＋06×2＝32.此时m ，l ＝π6.易知二面角B －AC －A 1的平面角是锐角，故二面角B －AC －A 1的大小为π6.1．本例中，求出两平面法向量的夹角后，应注意数形结合，判断二面角的范围．2．求二面角的步骤如下：(1)建立空间直角坐标系，确定两平面的法向量；(2)求两法向量的夹角；(3)确定二面角与面面角的关系：要通过观察图形来确定二面角的范围．(2013·天津高考)图3－2－21如图3－2－21，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值．【解】如图，以点A 为原点，以AD ，AA 1，AB 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0，0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)证明：易得B 1C 1→＝(1,0，－1)，CE →＝(－1,1－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2)B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m ||B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217.所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217.错将法向量的夹角当作二面角已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD .设P A ＝AB ＝a ，BC ＝2a ，求二面角B －PC －D 的余弦值．【错解】建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a,0,0)，C (a,2a,0)，P (0,0，a )，D (0,2a,0)，所以BC →＝(0,2a,0)，BP →＝(－a,0，a )，CD →＝(－a,0,0)，PD →＝(0,2a ，－a )．设平面PBC 和平面PCD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 1·BC →＝0n 1·BP →＝0和⎩⎨⎧n 2·CD →＝0n 2·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2ay 1＝0－ax 1＋az 1＝0和⎩⎪⎨⎪⎧－ax 2＝02ay 2－az 2＝0.取n 1＝(1,0,1)，n 2＝(0,1,2)，则cos n 1，n 2＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝105，故二面角B －PC －D 的余弦值为105.【错因分析】错解中把两向量的夹角视为二面角．【防范措施】二面角的取值范围是[0，π]，面面角的取值范围是[0，π2]，二面角既可能是锐角也可能是钝角，应仔细观察图形，寻找二面角与法向量夹角的关系，避免出错．【正解】同错解得cos n 1，n 2＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝105. 观察图形知二面角B －PC －D 为钝角，故二面角B －PC －D 的余弦值为－105.1．向量法求异面直线所成的角θ，按公式cos θ＝|cos a ，b |进行，应注意θ的范围是[0，π2]，因此θ＝a ，b 或θ＝π－a ，b ．2．向量法求直线与平面所成的角θ，按公式sin θ＝|cos AP →，n |进行，AP →为直线的方向向量，n 为平面法向量．3．向量法求二面角的大小，按公式|cos θ|＝|cos n 1，n 2|进行，θ＝n 1，n 2还是θ＝π－n 1，n 2由图形确定．4．求点到平面的距离，按公式d ＝|AP →·n ||n |进行，n 为平面任一法向量，AP →为P 与平面内任一点A 构成向量．1．已知a ＝(0，－1,1)和b ＝(1,2，－1)分别是直线l 1和l 2的方向向量，则l 1和l 2所成的角θ等于________．【解析】 ∵cos a ，b ＝0×1＋(－1)×2＋1×(－1)2×6＝－32，∴a ，b ＝56π，∴θ＝π－56π＝π6.【答案】 π62．若直线l 的方向向量为a ＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量为n ＝(1,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值等于________．【解析】 ∵cos a ，n ＝(－2，3，1)·(1，0，1)14×2＝－714，∴直线l 与平面α所成角的正弦值sin θ＝|cos a ，n |＝714. 【答案】7143．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1－BD －C 1所成平面角的余弦值为________．【解析】画出图形(图略)，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面A 1BD 与平面C 1BD 的法向量分别为n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1,1)．则cos n 1，n 2＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝13. 【答案】 134．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，求BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角θ.【解】取AC ，A 1C 1的中点O ，O 1，由正三棱柱性质易知BO ⊥平面ACC 1A 1，以O 为坐标原点，直线OC ，OB ，OO 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则B (0，32，0)，C (12，0,0)，C 1(12，0，2)，则BC 1→＝(12，－32，2)，OB →＝(0，32，0)为平面ACC 1A 1的一个法向量，则sin θ＝cos BC 1→，OB →＝|BC 1→·OB →||BC 1→||OB →|＝12，∴θ＝π6.一、填空题1．(2013·唐山高二检测)ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，M 、N 分别是AA 1、BB 1的中点，设C 1M 与DN 所成的角为θ，则cos θ的值为________．【解析】设正方体棱长为2，建立空间直角坐标系如图，则D (0,0,0)，N (2,2,1)，M (2,0,1)，C 1(0,2,2)，∴DN →＝(2,2,1)，C 1M →＝(2，－2，－1)，∴cos θ＝|cos 〈DN →，C 1M →〉|＝|DN →·C 1M →||DN →||C 1M →|＝13×3＝19.【答案】 192．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________．【解析】 cos m ，n ＝m·n |m ||n |＝11×2＝22， ∴m ，n ＝45°，其补角为135°. ∴两平面所成二面角为45°或135°. 【答案】 45°或135°3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为________．【解析】建系如图，设正方体棱长为2，则AO →＝(2,1,1)，又平面ABCD 一法向量为n ＝(0,0,1)，∴sin θ＝|cos AO →，n |＝66.【答案】664．如图3－2－22，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为________．图3－2－22【解析】建系如图，设AB ＝AA 1＝2，则C 1(1,0,0)，A (0，3，2)，AC 1→＝(1，－3，－2)． ∵平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， ∴sin θ＝|cos AC 1→，n |＝64.【答案】64图3－2－235．如图3－2－23所示在四面体ABOC 中，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，∠AOB ＝120°，且OA ＝OB ＝OC ＝1，则二面角O －AC －B 的平面角的余弦值为________．【解析】以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则O (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,0,1)，B (－12，32，0)，则AB →＝(－32，32，0)，CA →＝(1,0，－1)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由n ⊥CA →，n ⊥AB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，－32x ＋32y ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，3，1)．又平面OAC 的法向量为e ＝(0,1,0)．∴cos 〈n ，e 〉＝(1，3，1)·(0，1，0)5×1＝35＝155.二面角O －AC －B 的平面角是锐角，记为θ，则cos θ＝155. 【答案】1556．在正四面体ABCD 中，相邻两个平面所成的二面角的余弦值为________．【解析】如图，对于二面角A －BC －D ，取BC 中点E ，连接EA ，ED ，∠AED 为二面角A －BC －D 的平面角，设正四面体棱长为2，则AE ＝ED ＝3，AD ＝2，∴cos ∠AED ＝3＋3－42×3×3＝13.【答案】 137．如图3－2－24，二面角α－l －β的大小是120°，A 、B ∈l ，AC ⊂α，BD ⊂β，AC ⊥l ，BD ⊥l ，若AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的值为________．图3－2－24【解析】 |CD →|＝(CA →＋AB →＋BD→)2 ＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD→＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×cos 60°＝2. 【答案】 28．四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，ABCD 为正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面所成的角的正弦值为________．【解析】以D 为原点，射线DA 为x 轴正半轴，射线DC 为y 轴正半轴，射线DP 为z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，∴G (23，23，0)，PG →＝(23，23，－1)．又平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，则cos PG →，n ＝－1(23)2＋(23)2＋1＝－31717.∴PG 与平面ABCD 所成角的正弦值为31717.【答案】31717二、解答题9．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长都等于2，M 是BC 的中点．试问：在侧棱CC 1上是否存在一点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°？【解】以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz . 则A (0,0,0)，B 1(3，1,2)，M (32，32，0)，所以AB 1→＝(3，1,2)．假设侧棱CC 1上存在一点N ，可设N (0,2，m )(0≤m ≤2)，则MN →＝(－32，12，m )．如果异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°，那么向量AB 1→和MN →的夹角是45°或135°，而cos AB 1→，MN →＝AB 1→·MN →|AB 1→||MN →|＝2m －122·m 2＋1，所以2m －122·m 2＋1＝±22，解得m ＝－34，这与0≤m ≤2矛盾．故在侧棱CC 1上不存在一点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°.图3－2－2510．如图3－2－25，在四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．(1)求证：PB ⊥DM ；(2)求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．【解】如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A －xyz ，设BC ＝1，则A (0,0,0)，P (0,0,2)， B (2,0,0)，C (2,1,0)，M (1，12，1)，D (0,2,0)．(1)证明：∵PB →·DM →＝(2,0，－2)·(1，－32，1)＝0，∴PB ⊥DM .(2)∵PB →·AD →＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0，∴PB ⊥AD .又∵PB ⊥DM ，∴PB ⊥平面ADMN .∴PB →，DC →的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角．∵cos PB →，DC →＝PB →·DC →|PB →||DC →|＝105.∴CD 与平面ADMN 所成角的正弦值为105.图3－2－2611．(2013·北京高考)如图3－2－26，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值．【解】 (1)证明：因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)， C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )则⎩⎨⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0. 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角，所以二面角 A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625.(教师用书独具)如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD ＝3，BD ＝CD ＝1.另一个侧面ABC 是等边三角形．(1)求证：AD ⊥BC ；(2)在线段AC 上是否存在一点E ，使ED 与平面BCD 所成的角为30°？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．【思路探究】建系求出关键点的坐标；然后利用法向量解决第(2)题．【自主解答】 (1)作AH ⊥平面BCD 于H ，连接BH 、CH 、DH ，则四边形BHCD 是正方形，且AH ＝1，以D 为原点，以DB 为x 轴，DC 为y 轴建立空间直角坐标系如图所示．则B (1,0,0)，C (0,1,0)，A (1,1,1)． BC →＝(－1,1,0)，DA →＝(1,1,1)， ∴BC →·DA →＝0，则AD ⊥BC .(2)存在．设点E 为(x ，y ，z )，则x ＝z >0，y ＝1，平面BCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，DE →＝(x,1，x )，要使ED 与平面BCD 所成的角为30°，由图可知DE →与n 的夹角为60°， ∴cos DE →，n ＝DE →·n |DE →|·|n |＝x 1＋2x 2＝cos 60°＝12.则2x ＝1＋2x 2，解得x ＝22，即E (22，1，22)， |AC →|＝2，|CE →|＝1.故线段AC 上存在点E ，且点E 到点C 的距离为1.1．存在性探索型命题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在．一般来说，是否存在型问题，实质上是探索结论的开放性问题，相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少(只有存在、不存在两个结论，有些时候需讨论)，因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试的命题者的青睐．2．解答这一类问题，往往从承认结论，变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或推理证明其合理性，探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素．(2013·广州高三调研)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2.(1)证明：当点E 在棱AB 上移动时，D 1E ⊥A 1D ；(2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角D 1－EC －D 的平面角为π4？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．【解】以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则D (0,0,0)，C (0,2,0)， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)．设E (1，y 0,0)(0≤y 0≤2)．(1)证明：∵D 1E →＝(1，y 0，－1)，A 1D →＝(－1,0，－1)．则D 1E →·A 1D →＝(1，y 0，－1)·(－1,0，－1)＝0， ∴D 1E →⊥A 1D →，即D 1E ⊥A 1D .(2)当AE ＝2－3时，二面角D 1－EC －D 的平面角为π4.∵EC →＝(－1,2－y 0,0)，D 1C →＝(0,2，－1)，设平面D 1EC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 1·EC →＝0n 1·D 1C →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y (2－y 0)＝0，2y －z ＝0. 取y ＝1，则n 1＝(2－y 0,1,2)是平面D 1EC 的一个法向量．而平面ECD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，要使二面角D 1－EC －D 的平面角为π4，则cos π4＝|cos n 1，n 2|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝2(2－y 0)2＋12＋22＝22，解得y 0＝2－3(0≤y 0≤2)．∴当AE ＝2－3时，二面角D 1－EC －D 的平面角为π4。

高中数学空间角教案

高中数学空间角教案一、教学目标1. 知识与技能：学生能够理解空间角的概念，掌握空间角的度量方法和性质；能够应用空间角的知识解决相关问题。

2. 过程与方法：能够通过观察、分析和实践，学习空间角；注重在实际问题中的运用。

3. 情感态度与价值观：培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力；培养学生对数学的兴趣和爱好。

二、教学重点和难点重点：理解空间角的概念；掌握空间角的度量方法和性质。

难点：能够灵活运用空间角的知识解决相关问题。

三、教学内容及任务1. 知识讲解：（1）空间角的概念：介绍空间角的定义，包括角的位置、角的大小和角的平分线等概念。

（2）空间角的度量方法：讲解空间角的度量方法，包括用角度、弧度和正弦定理等方法。

（3）空间角的性质：介绍空间角的性质，包括相等角、补角、余角等性质。

2. 练习与训练：通过实例训练，巩固知识点。

3. 拓展延伸：提供一些拓展练习，拓展学生的思维，培养学生的解决问题的能力。

四、教学方法1. 理论讲解：老师通过讲解、示范和讨论，引导学生理解概念和方法。

2. 示范演示：老师通过举例、演示，展示解题方法和技巧。

3. 练习训练：鼓励学生通过练习巩固所学知识，培养解决问题的能力。

4. 案例分析：通过案例分析，让学生了解实际问题如何应用空间角的知识解决。

五、教学评价1. 经常性的课堂互动和小组合作，检查和引导学生的学习情况。

2. 每节课结束时进行课堂练习和讨论，检查学生对知识的掌握情况。

3. 定期组织测试和考试，检测学生对整个章节知识的掌握情况。

以上为高中数学空间角教案范本，可根据实际情况进行具体的实施和调整。

空间角的求法(教案)

空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。

空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。

异面直线所成的角的范围：090θ<≤（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。

【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。

CEBD ==PE=∴由余弦定理得 222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅ ∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 （二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。

求异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值。

【答案】125直线与平面所成角的范围：090θ≤≤方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。

【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。

AB BC CA ==，所以CD AB ⊥D90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。

不妨设2PA =，则1,4OD OP AB ===在Rt OCP ∆中，tan13OP OCP OC ∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。

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