一元二次方程的解法(二)配方法

一元二次方程的解法(二)配方法(基础)

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．【思路点拨】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【答案与解析】解：2x2+3x﹣1=0x2+x2+）x+x1=【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．两边都加4，得x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-．于是，原方程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++ 2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.3．用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．【答案与解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值．【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式．【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 3312222a -=-=-=-．【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （2015•滨州）用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣10=0时，下列变形正确的为（）A ．（x+3）2=1B ．（x ﹣3）2=1C ．（x+3）2=19D ．（x ﹣3）2=192．下列各式是完全平方式的是（）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-15．把方程x 2+3=4x 配方，得（）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=26．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（）A ．2．-2．．二、填空题7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2.8．若223(2)1x mx x ++=--，那么m ＝________．9．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．（2014•资阳二模）当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为． 12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为．三、解答题13. 用配方法解方程（1）（2）221233x x +=14. （2014秋•西城区校级期中）已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断三角形的形状．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D ；【解析】方程移项得：x 2﹣6x=10，配方得：x 2﹣6x+9=19，即（x ﹣3）2=19，故选D ．2．【答案】C ；【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 3.【答案】C ；【解析】若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±；4.【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ；5.【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.6.【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-214二、填空题7．【答案】（1）4；2；（2）9；3；（3）16；4.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】-4；【解析】22343x mx x x ++=-+，∴ 4m =-．9．【答案】±3；【解析】2239m ==．∴ 3m =±.10．【答案】-338；【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338， 11．【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1；故答案为：﹣1，1．【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 12．【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，∴=4．三、解答题13.【答案与解析】（1）x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5x-2=5 x 1=5x 2=5(2) 221233x x += 226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x += 1744x +=± 132x = 22x =-14.【答案与解析】解：∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0，∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0，∴a ﹣2=0，b+3=0，∴a=2，b=﹣3，∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案与解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= 又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥，∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．。

一元二次方程的解法(用配方法解一元二次方程)

★一除、二移、三配、四开、五解、六定.
用配方法解 2x2 x 1 0 时,配方结果正确的是( D )
( A) ( x 1 )2 3 24
(B) ( x 1)2 3 44
(C ) ( x 1 )2 17 4 16
(D) ( x 1)2 9 4 16
例6、用配方法解下列一元二次方程
∴ x+1= 10 , 或 x+1=- 10
2
2
x2-8/3x +16/9=25/9 即：（x -4/3)2=25/9 ∴ x - 4/3= 5/3
或 x - 4/3= - 5/3
∴ x1= -1+
10 ,
2
x2=-1-
10 2
∴ x1=3 ，x2= -1/3
1.用配方法解下列方程:
（1）x2 + 6x + 3 = 0
解：(1)方程两边都加上16，得
x2- 8x+16=4+16，即(x-4)2=20 则 x 4 2 5，或 x 4 2 5;
解得 x1 4 2 5, x2 4 2 5
解:（2）化简，得 x2 -5x=6，
方程两边同时加上 25 ，得
x2
-5x
+
25 4
25
=6+ 4
,
4
即（
x
-
5 2
引例、解方程5x2 =10x+1
解：方程两边都除以5，得 x2=2x+1/5
移项，得 x2 -2x=1/5 两边都加上1，
一除
二移
得x2-2x+1=1/5+1，即（x-1）2=6/5
三配
x 1 30 , 或 x 1 30

1.2.2一元二次方程的解法(配方法2)

助手:
a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
否
写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)
x
2
b a
x
c a
0.
配方解两个一元一次方程用因式分解法或直接开平方法
练习
解下列方程
(1) x 3 x 2 0;
2
(2)3 x 15 x 18 0;
2
(3) 2 x 3 x 1 .
2
小结
拓展
回味无穷
• 本节课复习了哪些旧知识呢？ • 继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法” 的理解运用: 平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a . 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
随堂练习 1
你能行吗
5.3x2 +8x –3=0 ;
这个方程与前4个方程不一样的是二次项系数不是 1,而是3. 基本思想是: 如果能转化为前4个方程的形式,则问题即可解决.
用配方法解下列方程.

1.x2
– 2 = 0;
1 4

2.x2
-3x-
=0 ;
3.x2－6x＋1＝0 ；
你想到了什么办法?

一元二次方程的解法(2)

一元二次方程的解法（2）一、新知：解：.522=+x x 原方程两边都加上1，得,15122+=++x x 即,6)1(2=+x 直接开平方，得.61±=+x 所以,61±-=x 即.61,6121--=+-=x x通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做 .例1：用配方法解方程：;014)1(2=+-x x .065)2(2=--x x练习：;028)1(2=-+x x .01124)2(2=--x x二、应用：1. 用配方法解方程,0322=-+x x下列配方结果正确的是（） A. 2)1(2=-x B.4)1(2=-x C.2)1(2=+x D.4)1(2=+x2.）A.3. 用配方法把一元二次方程,0162=+-x x 配成q p x =+2)(的形式,p为，q 为 .4. 一元二次方程式4882=-x x 可表示成b a x +=-48)(2的形式,其中a 、b 为整数,求a+b 之值为何（）A. 20B. 12C. −12D. −205. 用配方法解下列方程时,配方有错误的是（）A.09922=--x x化为 100)1(2=-x B.0982=++x x 化为25)4(2=+xC.04722=--t t 化为D.02432=--x x 化为6. 用配方法解方程0122=-+x x时,配方结果正确的是（） A.2)2(2=+x B.2)1(2=+x C.3)2(2=+x D.3)1(2=+x7. 用配方法解方程,01632=+-x x则方程可变形为（）D.1)13(2=-x 8. 若方程01)1(252=+--x k x 的左边可以写成一个完全平方式;则k 的值为（） A. −9或11 B. −7或8 C. −8或9 D. −6或7 9. 已知等腰三角形的一边长为8,另一边长为方程0962=+-x x 的根,则该等腰三角形的周长为（）A. 14B. 19C. 14或19D. 不能确定10. 在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,文本框①中是嘉嘉作的,文本框②中是琪琪作的,对于两人的做法,说法正确的是( )A. 两人都正确B. 嘉嘉正确，琪琪不正确C. 嘉嘉不正确，琪琪正确D. 两人都不正确11. 把方程3102-=-x x左边化成含有x 的完全平方式,其中正确的是（） A.28)5(1022=-+-x xB.22)5(1022=-+-x xC.2251022=++x xD.25102=+-x x12. 用配方法解关于x 的一元二次方程),0(02≠=++a c bx ax 此方程可变形为（）。

一元二次方程的解法(二)配方法—巩固练习

一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习【基础练习】一、选择题1.用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（） A ．（x +2）2=1 B ．（x +2）2=7 C ．（x +2）2=13 D ．（x +2）2=19 2．下列各式是完全平方式的是（）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对 4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（）A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 5．把方程x 2+3=4x 配方，得（）A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=26．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（） A ．2±10 B ．-2±14 C ．-2+10 D ．2-10二、填空题 7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2. 8．用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x +m ）2=n 的形式为．9．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为． 12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为．三、解答题13. 用配方法解方程（1）（2）221233x x +=14.已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值； (2)判断三角形的形状．【提高练习】一、选择题1.一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方组可变形为（）A ．（x ﹣3）2=14B ．（x ﹣3）2=4C ．（x +3）2=14D ．（x +3）2=4 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x +=D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3．把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成（x+n ）2=m 的形式时，m+n 的值为（）A ．8B ．6C ．3D ．2 4．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-43x+ =（）2；（2）x 2+px+ =（）2. 8．把代数式x 2﹣4x ﹣5化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数，则4m+k= ．9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，•所以方程的根为_________．11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．已知.则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程.（1）解方程：x 2﹣2x=4．（2）解方程：x 2﹣6x ﹣4=0．14．分解因式44x +．15．当x ，y 取何值时，多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．【基础答案与解析】一、选择题 1.【答案】B ．【解析】x 2+4x=3，x 2+4x +4=7，（x +2）2=7． 2．【答案】C ；【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．3.【答案】C ；【解析】若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±； 4.【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ； 5.【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1. 6.【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-2±14.二、填空题 7．【答案】（1）4；2；（2）9；3；（3）16；4. 【解析】配方:加上一次项系数一半的平方. 8.【答案】（x ﹣3）2=2．【解析】移项，得x 2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x 2﹣6x +9=﹣7+9，（x ﹣3）2=2． 9．【答案】±3；【解析】2239m ==．∴ 3m =±. 10．【答案】-338；【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338， 11．【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1；故答案为：﹣1，1．【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 12．【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3， ∴=4．三、解答题13.【答案与解析】（1）x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5 x-2=5± x 1=2+5x 2=2-5 (2)221233x x +=226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x +=1744x +=±132x =22x =- 14.【答案与解析】解：∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0， ∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0， ∴a ﹣2=0，b+3=0， ∴a=2，b=﹣3， ∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案与解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥， ∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．【提高答案与解析】一、选择题 1.【答案】A ．【解析】x 2﹣6x ﹣5=0，x 2﹣6x=5，x 2﹣6x +9=5+9，（x ﹣3）2=14，故选：A ． 2．【答案】C ；【解析】选项C ：2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=．3．【答案】D ；【解析】 x 2﹣6x=﹣4，∴ x 2﹣6x+9=﹣4+9，即得（x ﹣3）2=5，∴ n=﹣3，m=5，∴ m+n=5﹣3=2．故选D ．4．【答案】D ；【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．5．【答案】A ；【解析】原方程化简为：（x 2+y 2）2-2(x 2+y 2)-8=0,解得x 2+y 2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A. 6．【答案】A .【解析】由t 是方程的根得at 2+bt+c=0,M=4a 2t 2+4abt+b 2=4a(at 2+bt)+b 2= b 2-4ac=△.故选A.二、填空题7．【答案】（1）49；23x -；（2）24p ；2p x +.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】﹣1；【解析】x 2﹣4x ﹣5=x 2﹣4x+4﹣4﹣5=（x ﹣2）2﹣9， ∴ m=2，k=﹣9，∴ 4m+k=4×2﹣9=﹣1．故答案为﹣1．9．【答案】4；【解析】4x 2-ax+1=(2x-b)2化为4x 2-ax+1=4x 2-4bx+b 2, 所以241a bb =-⎧⎨=⎩－解得41a b =⎧⎨=⎩或41a b =-⎧⎨=-⎩所以4ab =.10．【答案】（x-1）2=5；15± ．【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=15±.11．【答案】；2或6.【解析】3x 2-2x-3=0化成；即2(-)232aa =-，a=2或6.12.【答案】5；【解析】原式三、解答题13.【答案与解析】解：（1）配方x 2﹣2x +1=4+1 ∴（x ﹣1）2=5 ∴x=1±∴x 1=1+，x 2=1﹣．（2015•大连）解方程：x 2﹣6x ﹣4=0．（2）解：移项得x 2﹣6x=4，配方得x 2﹣6x +9=4+9，即（x ﹣3）2=13，开方得x ﹣3=±， ∴x 1=3+，x 2=3﹣． 14. 【答案与解析】4222224()22222x x x x +=++-g g g g22222(2)(2)(22)(22)x x x x x x =+-=++-+．15. 【答案与解析】解：x 2+4x+4y 2﹣4y+1=x 2+4x+4+4y 2﹣4y+1﹣4 =（x+2）2+（2y ﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y ﹣1）2的最小值是0， ∴x 2+4x+4y 2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．。

一元二次方程的解法--配方法

ax bx c 0a 0配方成ax m n后，
2
利用配方法求代数式的值
• 例1若x 4x y 6 y z 6 13 0, 求xy 的值解： x 2 4 x y 2 6 y z 2 13 0
2 2 z
x2 4x 4 y2 6 y 9 z 2 0 x 2 y 3 z 2 0 x 2 0, y 3 0, z 2 0 x 2, y 3, z 2
•本节课你又学会了哪些新知识呢？ •用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1、把方程化为一般形式 •2.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数 ); 3.移项:把常数项移到方程的右边; 4.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 5.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 6.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 7.求解:解一元一次方程; 8.定解:写出原方程的解. •用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题(即列一元二次方程解应用题).简而言之：一化二移三配四开方。
2 2
xy 6 36
z 2
方法规律：
• 当一个方程出现多个未知数，且方程中具备完全平方数的雏形时，可以考虑凑完全平方式，将方程化成几个非负数的和为0的情形，从而将一个方程化成多个方程分别求解。
• 1、已知
a b 4a 2b 5 0
2 2
1.x2
– 2 = 0;
1 -3x- 4 =0 ;

2.x2
3.x2－6x＋1＝0 ；
你想到了什么办法?
师生合作
1
解 : 3x 8x 3 0.

一元二次方程的解法--配方法

变成了(x+h)2=k 的形式
开平方
x3 5
得 : x1 3 5 , x2 3 5
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,将方程左边配成完全平方式开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
系？
(2)你能将方程转化成（x+h)2=k(k ≥ 0)的形式吗?
体现了转化的数学思想
x 6x 4 0
2
x 6 x 4
2
2 2
移项
x 6 x 3 4 3
两边加上32,使左边配成完全平方式
2
( x 3) 5
2
左边写成完全平方的形式
-6x +4 =0
点拨提升
• 已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x² -4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
学能检测
• 1．已知x² -8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）． • A．X² -8x+（-4）² =31 B．X² -8x+（-4）² =1 • C．X² +8x+42=1 D．X² -4x+4=-11 • 2．填空： • （1）x² +10x+____=（x+____）² • （2）x² -12x+____=（x-___）² • （3）x² +5x+____=（x+__）² ． • （4）x² -x+___=（x-_____）²
21.2 一元二次方程的解法（2）
自主预习

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【答案与解析】解：2x 2+3x ﹣1=0x 2+x 2+） x+x 1= 【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax 2+bx+c=0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2．两边都加4，得x 2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-．于是，原方程的根为x=2+或x=2-． (2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x 2+6x+32=-8+32， ∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4】【答案与解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值．【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式．【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 3312222a -=-=-=-．【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．。

一元2次方程4种解法

一元2次方程4种解法
标题：四种解法揭示一元二次方程的奥秘
引言：一元二次方程是数学中的重要概念，它可以用来解决很多实际问题。

本文将介绍四种不同的解法，帮助读者更好地理解和应用一元二次方程。

第一种解法：因式分解法
当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因子时，我们可以通过将方程两边因式分解后，令每个因子等于零来求解方程。

这种解法适用于一元二次方程的解为整数或分数的情况。

第二种解法：配方法
对于一元二次方程，如果无法直接因式分解，我们可以采用配方法。

通过将方程两边用合适的常数进行配方，将方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。

这种解法适用于无理数根的情况。

第三种解法：求根公式法
一元二次方程的求根公式是解决方程的重要工具。

该公式是通过将方程转化为标准形式后，利用公式计算出方程的根。

这种解法适用于无法通过因式分解或配方法求解的复杂方程。

第四种解法：图像法
通过绘制一元二次方程的图像，我们可以直观地看出方程的解。

根据图像的形状和位置，我们可以判断方程有几个解，以及解的范围。

这种解法适用于对方程的整体特征有较好了解的情况。

结论：通过以上四种解法，我们可以更全面地理解和应用一元二次方程。

无论是因式分解法、配方法、求根公式法还是图像法，都可以帮助我们解决不同类型的一元二次方程。

掌握这些解法，可以提高我们解决实际问题的能力，并在数学学习中更加得心应手。

一元二次方程三种解法

一元二次方程三种解法
一元二次方程是高中数学中比较重要的一个概念，它的解法也有很多种。

在本文中，将介绍三种解一元二次方程的方法。

第一种方法是配方法。

这种方法是将一元二次方程进行配方，将其化为完全平方形式，然后再进行求解。

例如，对于方程 x^2+4x+4=0，我们可以将其配方，得到 (x+2)^2=0，进而解得 x=-2。

第二种方法是公式法。

这种方法是利用一元二次方程的求根公式，直接求得方程的解。

对于方程 ax^2+bx+c=0，求根公式可以表示为：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

例如，对于方程 x^2-2x-3=0，我们可以
利用求根公式，得到 x=3 或 x=-1。

第三种方法是图像法。

这种方法是通过一元二次函数的图像来判断方程的解。

当一元二次函数的图像与 x 轴交于两个点时，方程有
两个实数解；当一元二次函数的图像与 x 轴交于一个点时，方程有
一个实数解；当一元二次函数的图像与 x 轴没有交点时，方程无解。

例如，对于方程 x^2-4x+3=0，我们可以画出其函数图像，发现其与 x 轴交于两个点，因此方程有两个实数解。

以上就是三种解一元二次方程的方法，它们各自有其适用的场合，需要根据实际情况选择合适的方法。

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一元二次方程的解法(二)配方法

一元二次方程的解法（二）配方法作者：吕延涛来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第03期【摘要】在数学教学中，最重要的教学目标就是培养学生的解题能力，使学生掌握解题的手段和方法。

但是，很多学生在实际学习的过程中，都会因为概念不清等因素，无法从根本上掌握解题技巧。

因此，为了强化学生的数学素养，教师就要从学生的兴趣出发，为学生创建多样化的数学课堂。

【关键词】初中数学；一元二次方程；配方法配方法作为一元二次方程的解答方式的一种，在培养学生的解题能力，强化学生的素质发展方面发挥着至关重要的作用。

因此，为了加强数学教学的效率和效果，教师就要从教学内容和学生的实际状况出发，为学生构建多样化的数学活动。

本文结合笔者的实践经验，对于如何讲解“一元二次方程的解法（二）配方法”进行了以下几点探究：1.创设情境，引入配方法有效的数学情境，不仅能够激发学生的兴趣，还能够促进学生的思维发展。

并且，情境教学是最符合初中生的性格特点的教学手段之一。

因此，教师在讲解一元二次方程的解法的过程中，就可以联系学生已经掌握的知识，为学生构建数学情境，从而加深学生的印象，使学生能够从根本上理解配方法，同时这也是引出配方法的重要渠道之一。

总之，教师在日常教学的过程中，一定要注重学生的主观体验，并且，教师要从学生的兴趣和学习状况出发，为学生构建多样化的数学课堂，从而满足学生的情感体验，强化学生的综合素养。

【参考文献】[1]钟菊红.寻求数学课堂教学中的平衡——“一元二次方程的解法：配方法”教学思考[J].上海中学数学，2017（Z1）：4-6.[2]韩新正.本真教学的一种取向：过程简实，关注“四基”——以一元二次方程解法（配方法）教學为例[J].中学数学杂志，2015（06）：23-25.。

配方法求解一元二次方程

配方法求解一元二次方程（原创实用版3篇）目录（篇1）一、配方法求解一元二次方程1.介绍一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=0（a≠0）2.配方法介绍：将一元二次方程移项，加上一次项系数一半的平方，得到：ax+bx+c+bx=0+bx3.配方法步骤：（1）移项，将方程化为x=a-b/2x（2）加上一次项系数一半的平方，得到x+bx+b/4x+bx+c=a-b/2x+b/4 （3）化简，得到x+bx+b/4x+b/4-b/2x-c=a-b/44.配方法的应用：配方法可以简化方程的解法，尤其适用于一次项系数为1的情况正文（篇1）一元二次方程是数学中的重要概念，求解一元二次方程的方法有很多种，其中之一就是配方法。

配方法是将一元二次方程移项，加上一次项系数一半的平方，从而得到更简单的形式。

具体步骤如下：1.移项，将方程化为x=a-b/2x2.加上一次项系数一半的平方，得到x+bx+b/4x+bx+c=a-b/2x+b/43.化简，得到x+bx+b/4x+b/4-b/2x-c=a-b/4通过配方法，可以将一元二次方程转化为更简单的形式，从而更容易求解。

在应用方面，配方法尤其适用于一次项系数为1的情况。

目录（篇2）一、配方法求解一元二次方程1.介绍一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=02.配方法的基本原理：将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别加上一次项系数的一半的平方，从而得到平方法。

3.配方法的步骤：将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别加上一次项系数的一半的平方，然后合并同类项，最终得到平方法。

4.配方法的应用：配方法可以用来求解一元二次方程，并广泛应用于解决其他数学问题。

正文（篇2）配方法是一种常用的数学方法，可以用来求解一元二次方程。

它的基本原理是将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别加上一次项系数的一半的平方，从而得到平方法。

接下来，我们将介绍如何使用配方法求解一元二次方程。

一元二次方程的解法——配方法

一元二次方程的解法——配方法1.配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。

2.配方法解一元二次方程（20ax bx c ++=，a ≠0）的一般步骤：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式；⑤如果是非负数，就可以用直接开平方法求出方程的解，如果n<0，则原方程。

同步练习（1）用适当的数填空：①x 2+6x+ =（x+ ）2； ②x 2－5x+ =（x －）2；③x 2+ x+ =（x+ ）2； ④x 2－9x+ =（x －）2（2）将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．（3）已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．（4）解下列方程①0662=--y y ②x x 4232=-③9642=-x x ④0542=--x x⑤01322=-+x x ⑥07232=-+x x⑦01842=+--x x ⑧0222=-+n mx x（5）若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（）A ．3B ．-3C ．±3D ．以上都不对（6）用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-1（7）把方程x+3=4x 配方，得（）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=2（8）用配方法解方程x 2+4x=10的根为（）A ．2．-2．．（9）不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数（10）配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为（）． A ．（x-13）2=89 B ．（x-23）2=0 C ．（x-13）2=89 D ．（x-13）2=109。

2.2 配方法(2) 一元二次方程的解法

当堂训练
（10分钟）
解下列方程:
(1).6x2 -7x+ 1 = 0; （5）做随堂1+1
1 1.x1 1; x2 . 6 (2).5x2 -9x –18=0; 5 2.x1 3; x2 . 6 (3).4x 2 –3x =52; 13 3.x1 4; x2 . 4 1 21 1 21 2 (4). 5x =4-2x. 4.x1 5 ;x2 5 .
2.印度古算书中有这样一首诗:“一群猴子分两队, 高高兴兴在游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少,两队”？
解：设总共有 x 只猴子，根据题意得
即
x2 - 64x+768 ＝0.
1 x 12 x. 8
2
解这个方程,得 x1 ＝48， x2 ＝16 答:一共有猴子48只或者说6只.
仿例题做习题（10分钟）
完成P57-1T，P58-1T
自觉检测（10分钟）用配方法解下列方程 1）4x2 - 12x - 1 = 0 ， 2）2x2 + x – 6 = 0 3）4x2+4x+10 =1-8x，
4) 4x2 - 32x = - 64
5) -3x2+22x-24=0
自学指导二：（4分钟）
2.移项:把常数项移到方程的右边;
4 5 4.变形:方程左分解因式,右边合 x . 并同类项; 3 3 4 5 x . 5.开方:根据平方根意义,方程两边 34 53 开平方; x . 3 13 6.求解:解一元一次方程; x1 , 7.定解:写出原方程的解. 3 x2 3.

一元二次方程的解法(配方法)

通海中学初二数学导学案班级______授课时间________执笔人:初二备课组审核人: 邵玲备课内容: 22.2.2一元二次方程的解法（第二课时）（配方法）一、教学目标：:1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2、掌握配方法。

会把一元二次方程2ax+bx+c=0（a≠0）配方成为a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程，求出方程的解．二、重点、难点：1、重点：会把一元二次方程2ax+bx+c=0（a≠0）配方成为a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程，求出方程的解．2、难点：配方的过程三、学习过程：（一）、自学指导通过自学课本P32.思考后请同学们完成：例：解方程2x+x6-16=0解：总结：___________________________________________________叫做配方法。

配方法是为了_________,把_________________________________________。

（二）、师生互动例：解方程：（1）2x-x8+1=0；（2）2x2+1=3x；（3）3x2-6x+4=0。

（三）、练习：（1）、x 2+10x+9=0；（2）、x 2-x-47=0(3)、3x 2+6x-4=0; （4）、4x 2-6x-3=0;(5)、x 2+4x-9=2x-11；（6）、x(x+4)=8x+12.（四）、归纳小结掌握配方法的步骤：1、_______________________________________2、_________________________________________________________3、_________________________________________________________4、__________________________________________________________5、_____________________________________________________6、_____________________________________________________。